Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

7. Le matrici Γ sono linearmente indipendenti, ossia una relazione∑c a Γ a = 0 (1.49)aimplica c a = 0 (a = 1, . . . , 16). Infatti, se prendiamo la traccia della (1.49) troviamoc 1 = 0. Analogamente, prendendo la traccia diΓ b ( ∑ac a Γ a )= 0 , per b = 2, . . . , 16 , (1.50)e utilizzando le (1.44) e (1.48) si trova c b = 0 (b = 2, . . . , 16).8. Per la proprietà precedente la dimensione minima delle matrici Γ è 4 × 4 (esistono solo4 matrici 2 × 2 indipendenti: la matrice identità e le tre matrici di Pauli, mutuamenteanticommutanti); la rappresentazione 4 × 4 è quindi irriducibile.9. Dalle proprietà precedenti segue che qualsiasi matrice X di dimensione 4×4 può esserescritta come una combinazione lineare delle matrici Γ:X = ∑ ax a Γ a , con x a =1Tr[(Γ a ) 2 ] Tr[X Γa ] . (1.51)10. L’algebra generata dalle matrici γ prende il nome di algebra di Clifford.1.2.3 Teorema fondamentale sulle rappresentazioni delle matriciγData una rappresentazione 4 × 4 delle matrici γ, ogni altra rappresentazione γ ′ o èriducibile,⎛⎞Γ a 0 · · · 0Γ ′a 0 Γ a · · · 0−→ ⎜⎝.. . ..⎟ . ⎠ , (1.52)0 0 · · · Γ ao è equivalente, ossia è legata alla precedente tramite la relazione di similitudineγ ′µ = S γ µ S −1 . (1.53)Il teorema fondamentale di Pauli sulle rappresentazioni delle matrici di Dirac affermaappunto che, dati due insiemi γ, γ ′ di matrici 4 × 4 che soddisfano alle relazioni dianticommutazione (1.24), esiste una matrice non-singolare S tale che la relazione (1.53)è soddisfatta 4 . Ciò è consistente con il fatto che la trasformazione (1.53) preserva lerelazioni di anticommutazione (1.24):{γ ′µ , γ ′ ν } = S {γ µ , γ ν } S −1 = 2 g µν 11 . (1.54)4 Si veda, per esempio, W. Grenier, Relativistic Quantum Mechanics, pag.104.8