Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

1.2.2 Prodotti di matrici γ: matrici Γ aDefiniamo le 16 matrici Γ a (a = 1, 2, . . . , 16) ottenute da prodotti di matrici γ:Γ 1 11 (1.42a)Γ 2 − Γ 5 γ µ (1.42b)Γ 6 − Γ 11 σ µν ≡ i 2 [γµ , γ ν ] (prodotti di 2 matrici γ) (1.42c)Γ 12 − Γ 15 γ µ γ 5 (prodotti di 3 matrici γ) (1.42d)Γ 16 γ 5 (prodotto di 4 matrici γ) (1.42e)Le matrici Γ godono delle seguenti proprietà:1. Qualsiasi prodotto di matrici γ è proporzionale ad una delle Γ a , con un fattore diproporzionalità uguale a ±1 o ±i.2. Per ogni coppia Γ a , Γ b con a≠b esiste una matrice Γ c ≠ 11 tale cheΓ a Γ b = α Γ c con α = ±1, ±i . (1.43)Infatti, poichè Γ a ≠ Γ b , il prodotto Γ a Γ b contiene almeno una matrice γ µ in numerodispari. Poichè un numero dispari di γ µ non può essere semplificato usando le proprietà(1.25), si ha Γ c ≠ 11.3. Il quadrato di ciascuna matrice Γ a è ±11:(Γ a ) 2 = ±11 (1.44)4. Per ogni Γ a ≠ 11 esiste almeno una Γ b tale cheΓ a Γ b = −Γ b Γ a . (1.45)5. Le matrici Γ a con a > 1 hanno traccia nulla:Tr[Γ a ] = 0 per a > 1 . (1.46)Infatti, utilizzando la matrice Γ b che anticommuta con la matrice Γ a , si ha (primacommutiamo e poi permutiamo circolarmente)[Tr[Γ a ] = ±Tr Γ ( a Γ b) ] 2= ∓Tr [ Γ b Γ a Γ b] [ (Γb= ∓Tr) 2Γa]= −Tr[Γ a ] . (1.47)6. Dalle proprietà (1.43) e (1.46) segue cheTr [ Γ a Γ b] = 0 per a≠b . (1.48)7