Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

1.2.1 Proprietà delle matrici γ µDalle proprietà precedentemente viste per le matrici γ µ altre seguono.1. Le matrici γ hanno traccia nullaTr[γ µ ] = 0 . (1.36)Infatti, per esempio, utilizzando la proprietà (1.24), per la traccia delle γ k si ha (nellatraccia dei prodotti di 3 matrici γ prima permutiamo circolarmente e poi commutiamotra di loro γ 0 e γ k )Tr [ γ k] = Tr [ γ 0 γ 0 γ k] = Tr [ γ 0 γ k γ 0] = −Tr [ γ 0 γ 0 γ k] = −Tr [ γ k] ⇒ Tr [ γ k] = 0 .Per le tracce di prodotti di matrici γ si veda l’Appendice C.2. La dimensione N delle matrici γ è pari. Infatti, consideriamo per esempio la relazionePrendendone il determinante si ottieneγ 0 γ k = −γ k γ 0 = (−11) γ k γ 0 . (1.37)Detγ 0 Detγ k = (−1) N Detγ k Detγ 0 . (1.38)Essendo Detγ 0 ≠ 0 e Detγ k ≠ 0 (γ 0 e γ k ammettono gli inversi), si trova1 = (−1) N =⇒ N pari . (1.39)3. La dimensione minima delle matrici γ è N = 4. Infatti, nel caso N = 2 esistono solotre matrici mutuamente anticommutanti, le matrici di Pauli.4. Poichè la matrice γ 0 è hermitiana e le matrici γ k sono anti-hermitiane, le matrici γpossono essere diagonalizzate (non tutte simultaneamente, ma una alla volta, perchèanticommutano). Dalle relazioni (1.25) si ricava che gli autovalori della matrice γ 0sono ±1 e gli autovalori delle matrici γ k sono ±i.Definiamo una matrice γ 5 tale che 3γ 5 ≡ −i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 (1.40)(si utilizzerà anche la notazione γ 5 con l’intesa che γ 5 = γ 5 ). Dalle proprietà delle matriciγ si ottiene che{γ 5 , γ µ} = 0 (1.41a)(γ5 )2 = 11 (1.41b)(γ5 ) †= γ5(1.41c)3 Notare che la nostra definizione di γ 5 differisce di un segno rispetto a quella di alcuni autori (adesempio Bjorken & Drell e Itzykson & Zuber.6