Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Appendice ICalcolo di sezioni d’urtoIn un sistema fisico descritto da un operatore hamiltoniano H 0 con autovalori E n , unaperturbazione H int induce delle transizioni tra gli stati imperturbati. Dalla teoria delleperturbazioni si trova che la probabilità di transizione per unità di tempo da uno statoiniziale i di energia E i ad uno stato finale f di energia E f è (vedi per esempio l’eq. (43.1)di Landau & Lifšits, Meccanica Quantistica) 1dw fi = 2π |〈f|H int |i〉| 2 δ(E i − E f ) dn f ,(I.1)dove dn f = dn fdE f e dn fè la densità degli stati finali, equivalente al numero di celledE f dE fdi volume (2π) 3 ((2π) 3 in unità ordinarie) nello spazio delle fasi. Per una particella convolume di normalizzazione V ed impulso ⃗pIntegrando dw fi sull’energia E f si hadn f = V d3 p f(2π) 3 . (I.2)dw fi = 2π |〈f|H int |i〉| 2 dn fdE f∣ ∣∣∣Ef=E i. (I.3)La sezione d’urto differenziale dσ è definita come rapporto tra la probabilità di transizionenell’unità di tempo e l’intensità del fascio I (numero di particelle incidenti perunità di superficie e unità di tempo). Notare che sia w fi che la sezione d’urto si intendonoper centro di scattering. Indicando con v la velocità del fascio relativamente al centro discattering, si haI = v ρ = v V ,(I.4)dove ρ è la densità di particelle del fascio. Quindi, per la sezione d’urto differenziale siottienedσ = 2π v |〈f|H int|i〉| 2 V 2 d 3 p f(2π) 3 ∣ ∣∣∣Ef=E i. (I.5)1 Nel linguaggio espressivo di Fermi questa regola era denominata “regola d’oro n. 2”.103