Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

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(A)x ′ 0 > x 0Im p 0✻✠Im p 0✻■✲−E ✲✖ ✕✲✗ ✔ ✲+E✲Re p 0✲−E ✲✖ ✕✲✗ ✔ ✲+E✲Re p 0■✠(B)x ′ 0 < x 0Figura H.1: Chiusura del cammino di integrazione di Feynman.102
Appendice ICalcolo di sezioni d’urtoIn un sistema fisico descritto da un operatore hamiltoniano H 0 con autovalori E n , unaperturbazione H int induce delle transizioni tra gli stati imperturbati. Dalla teoria delleperturbazioni si trova che la probabilità di transizione per unità di tempo da uno statoiniziale i di energia E i ad uno stato finale f di energia E f è (vedi per esempio l’eq. (43.1)di Landau & Lifšits, Meccanica Quantistica) 1dw fi = 2π |〈f|H int |i〉| 2 δ(E i − E f ) dn f ,(I.1)dove dn f = dn fdE f e dn fè la densità degli stati finali, equivalente al numero di celledE f dE fdi volume (2π) 3 ((2π) 3 in unità ordinarie) nello spazio delle fasi. Per una particella convolume di normalizzazione V ed impulso ⃗pIntegrando dw fi sull’energia E f si hadn f = V d3 p f(2π) 3 . (I.2)dw fi = 2π |〈f|H int |i〉| 2 dn fdE f∣ ∣∣∣Ef=E i. (I.3)La sezione d’urto differenziale dσ è definita come rapporto tra la probabilità di transizionenell’unità di tempo e l’intensità del fascio I (numero di particelle incidenti perunità di superficie e unità di tempo). Notare che sia w fi che la sezione d’urto si intendonoper centro di scattering. Indicando con v la velocità del fascio relativamente al centro discattering, si haI = v ρ = v V ,(I.4)dove ρ è la densità di particelle del fascio. Quindi, per la sezione d’urto differenziale siottienedσ = 2π v |〈f|H int|i〉| 2 V 2 d 3 p f(2π) 3 ∣ ∣∣∣Ef=E i. (I.5)1 Nel linguaggio espressivo di Fermi questa regola era denominata “regola d’oro n. 2”.103
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4.3 Invarianza di gauge . . . . . .
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Capitolo 1Equazione di Dirac1.1 Int
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con la quadri-correntej µ =i2 m [
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Passiamo ora all’esame dell’equ
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1.2.2 Prodotti di matrici γ: matri
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È evidente che in un cambiamento d
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Assumendo che le funzioni d’onda
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dove⎛⎞(r 1 ) µ ν = d(R 1) µ
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Poichè γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ
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per inversione temporale si ottiene
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4. Γ a = γ µ γ 5 .ψ ′ (x ′
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Scrivendou(0) =( )χ+ (0)ϕ + (0)(2
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dove C è una opportuna costante di
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Esplicitamente si ha⎛ ( ) ⎞√
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∫Per la normalizzazione in un vol
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eΛ + (⃗p) soddisfa anche la prop
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cone quindiΩ ′ = γ 0 Ω † γ
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si ottiene⃗ J = ⃗ L +12 ⃗ Σ
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◮ Momento angolare di spin ⃗ Σ
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Nella scrittura di queste equazioni
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a sinistra per γ 0 , otteniamo(i
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Da[π j , π k] = [ p j − eA j ,
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Infatti∫∫d 3 x X † X =( ) ( (
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4. − e 28 m 2 c 2 ⃗ ∇ · ⃗E
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Poiché Σ k = −γ 0 γ k γ 5 ,
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Osserviamo ora che χ e ϕ, essendo
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Page 105 and 106: perchè δϕ α = 0 sull’iper-sup
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