Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Appendice HRappresentazione integrale dellafunzione di Green per l’equazione diDirac liberaLa funzione di Green relativa all’equazione di Dirac libera può essere scritta come (vedila Sezione 8.2)K F (x ′ − x) =i ∫d 4 p /p + m −x) ,(H.1)(2π) 4 C Fp 2 − m 2 e−ip(x′dove C F è il cammino di integrazione di Feynman nel piano complesso della variabile p 0mostrato nella Figura 8.1. Il cammino di integrazione può essere chiuso all’infinito inmodo da applicare il teorema di Cauchy∫f(z) dz = 2πi ∑ lim [(z − a n ) f(z)] ,(H.2)Cz→a nndove i punti z = a n sono i poli (semplici) di f(z) e l’integrale sul contorno C viene percorsoin senso antiorario. Poichè la convergenza dell’integrale (H.1) dipende dal fattoree −ip0 (x ′ 0 −x 0) = e −i(x′ 0 −x 0)Re(p 0) e (x′ 0 −x 0)Im(p 0) ,(H.3)occorre (vedi la Figura H.1):1) chiudere il cammino di integrazione inferiormente per x ′ 0 > x 0;2) chiudere il cammino di integrazione superiormente per x ′ 0 < x 0.Applicando il teorema di Cauchy alla funzione di Green K F (x ′ − x), si ottiene∫ []K F (x ′ − x) = 2πθ(x ′ 10 − x 0 ) d 3 /p + mp lim (p(2π) 4 0 − E)e−ip·(x′ −x)p 0 →E (p 0 − E) (p 0 + E)∫ []− 2πθ(x 0 − x ′ 0 ) 1d 3 /p + mp lim (p(2π) 4 0 + E)e−ip·(x′ −x)p 0 →−E (p 0 + E) (p 0 − E)∫d 3 p{}=θ(x ′(2π) 3 02E− x 0) (/p + m) e −ip·(x′ −x) − θ(x 0 − x ′ 0 ) (/p − m) eip·(x′ −x).p 0 =E(H.4)101