Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

perchè δϕ α = 0 sull’iper-superficie Γ. Quindi, dal principio variazionale (G.3) ricaviamo∫ [ ]∂L0 = δI(Ω) = d 4 x∂ϕ − ∂ ∂Lα µ δϕ α .(G.6)∂(∂ µ ϕ α )ΩData l’arbitrarietà delle variazioni δϕ α , si ottengono le equazioni di campo (equazioni diEuler-Lagrange)∂L∂ µ∂(∂ µ ϕ α ) − ∂L = 0 (α = 1, . . . , N) . (G.7)∂ϕα Sottolineiamo che le proprietà di covarianza delle equazioni di campo (G.7) dipendonodal requisito che la densità lagrangiana (G.1) sia un invariante di Lorentz. Questacondizione determina la struttura esplicita della densità lagrangiana di ogni singolocampo.◮Lagrangiana di Dirac ed equazioni di campoDimostriamo che la densità lagrangiana di Dirac (Lorentz invariante)L(x) = ψ(x) (i c ↛ ∂ −m c 2 ) ψ(x)(G.8a)= ψ(x) (−i c ↚ ∂ −m c 2 ) ψ(x) (G.8b)conduce, tramite le equazioni di Euler-Lagrange (G.7), all’equazione di Dirac. (Le dueespressioni (G.8a) e (G.8b) per la L sono equivalenti perchè differiscono per una quadridivergenza,che costituisce un termine ininfluente nella derivazione delle equazioni diEuler-Lagrange.)Nella variazione di L per la derivazione delle equazioni di campo secondo la (G.7), ψe ψ devono essere considerati indipendenti. Consideriamo la variazione di L rispetto aψ. Utilizzando la (G.8a) si ha∂L∂ψ = (i c ↛ ∂ −mc 2 ) ψ(x) ,per cui si ottiene l’equazione di campo∂L∂(∂ µ ψ) = 0 ,(G.9)(i c /∂ − mc 2 ) ψ(x) = 0 , (G.10)che in unità naturali si scrive(i /∂ − m) ψ(x) = 0 . (G.11)Se consideriamo la variazione di L rispetto a ψ, utilizzando la (G.8b) si ottiene∂L∂ψ = ψ(x) (−i ↚ ∂ −m) ,per cui si ottiene l’equazione di campo∂L∂(∂ µ ψ) = 0 ,(G.12)ψ(x) (i ↚ ∂ +m) = 0 .(G.13)99