Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Appendice GDensità Lagrangiana di DiracSupponiamo di avere un insieme di campi ϕ α (x), con α = 1, . . . , N (per esempio, nel casodi una particella con spin 1/2 si ha lo spinore ψ α (x) dove α = 1, . . . , 4 sono gli indici diDirac) con una densità lagrangianaL = L(ϕ α , ∂ µ ϕ α )(G.1)che sia uno scalare di Lorentz. La formulazione lagrangiana della teoria dei campi è particolarmenteadatta a descrivere la dinamica relativistica con un formalismo esplicitamentecovariante.I valori dei campi ϕ α (x) in ogni punto x dello spazio-tempo e i valori delle loro derivate∂ µ ϕ α rappresentano un infinito continuo di gradi di libertà.◮Principio variazionale ed equazioni di campoLe equazioni di campo sono ottenute dal principio variazionale seguente. Definiamol’integrale d’azione∫I(Ω) ≡ d 4 x L(ϕ α , ∂ µ ϕ α )(G.2)Ωsu una regione spazio-temporale Ω arbitraria. Se i campi sono variati, ϕ α (x) → ϕ α (x) +δϕ α (x), in modo tale che le variazioni si annullino sull’iper-superficie Γ che delimita Ω,l’integrale d’azione ha un valore stazionario:δI(Ω) = 0 .(G.3)La variazione dell’integrale d’azione è data da∫ [ ∂LδI(Ω) = d 4 x∂ϕ α δϕα +∫=ΩΩ[ ∂Ld 4 x∂ϕ α δϕα + ∂ µ(]∂L∂(∂ µ ϕ α ) δ(∂ µϕ α )} {{ }∂ µ(δϕ α )) ∂L∂(∂ µ ϕ α ) δϕα( ) ]∂L− ∂ µ δϕ α . (G.4)∂(∂ µ ϕ α )Utilizzando il teorema di Gauss, si ha∫ () ∫∂Ld 4 x ∂ µ∂(∂ µ ϕ α ) δϕα =ΩΓdS µ∂L∂(∂ µ ϕ α ) δϕα = 0 ,(G.5)98