Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

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Appendice FDimostrazione della proprietà⃗L 2 (⃗σ · ⃗p) ϕ = l χ(lχ + 1 ) (⃗σ · ⃗p) ϕConsideriamo gli spinori a due componenti χ e ϕ definiti nell’eq.(5.27), i quali sonoautofunzioni di ⃗ L 2con rispettivi autovalori 2 l χ (l χ + 1) e 2 l ϕ (l ϕ + 1) (si vedano leeq.(5.21), (5.22)). In questa appendice dimostriamo che ⃗σ ·⃗p ϕ è un autofunzione di ⃗ L 2con autovalore 2 l χ (l χ +1). Analogamente, si può dimostrare che ⃗σ·⃗p χ è un autofunzionedi ⃗ L 2 con autovalore 2 l ϕ (l ϕ + 1).L’azione dell’operatore ⃗ L 2 sulla funzione ⃗σ ·⃗p ϕ è data da[ ]2 2⃗ L (⃗σ ·⃗p) ϕ = (⃗σ ·⃗p) ⃗ L ϕ + ⃗L2, ⃗σ ·⃗p ϕ[ ]= 2 l ϕ (l ϕ + 1) (⃗σ ·⃗p) ϕ + ⃗L2, ⃗σ ·⃗p ϕ .(F.1)Calcoliamo il commutatore nella (F.1) utilizzando l’identità [L k L k , p j ] = [L k , [L k , p j ]] +2[L k , p j ]L k e il commutatore [L k , p j ] = ɛ kml [r m , p j ]p l = i ∑ ɛ kjl p l :l[⃗L2, ⃗σ ·⃗p]= ∑ k,jσ j {[ L k , [ L k , p j]] + 2 [ L k , p j] L k}= ∑ σ { j − 2 ɛ kjl ɛ klm p m + 2 i ɛ kjl p l L k}k,j(= 2 2 ⃗σ ·⃗p + 2 (⃗σ ·⃗p) ⃗σ · ⃗L).L’ultima eguaglianza discende dalle proprietà∑ɛ klj ɛ klm = 2 δ jm ,k,li ∑ jσ j ɛ jkl = δ kl − σ k σ l ,(F.2)(F.3)(F.4)e da ⃗p · ⃗L = 0.96
Poichè ϕ è un’autofunzione dell’operatore ⃗σ · ⃗L con autovalore −(1 − κ) (si vedal’eq.(5.19)), dalla (F.2) si ha[ ]⃗L2, ⃗σ ·⃗p ϕ = 2 2 κ (⃗σ ·⃗p) ϕ .(F.5)Infine, utilizzando la relazione l ϕ (l ϕ + 1) + 2κ = l χ (l χ + 1) (si veda l’eq.(5.23)), dalle(F.1) e (F.5) si ottiene2⃗ L (⃗σ ·⃗p) ϕ = lχ (l χ + 1) (⃗σ ·⃗p) ϕ .(F.6)97
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4.3 Invarianza di gauge . . . . . .
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Capitolo 1Equazione di Dirac1.1 Int
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con la quadri-correntej µ =i2 m [
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Passiamo ora all’esame dell’equ
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1.2.2 Prodotti di matrici γ: matri
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È evidente che in un cambiamento d
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Assumendo che le funzioni d’onda
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dove⎛⎞(r 1 ) µ ν = d(R 1) µ
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Poichè γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ
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per inversione temporale si ottiene
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4. Γ a = γ µ γ 5 .ψ ′ (x ′
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Scrivendou(0) =( )χ+ (0)ϕ + (0)(2
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dove C è una opportuna costante di
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Esplicitamente si ha⎛ ( ) ⎞√
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∫Per la normalizzazione in un vol
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eΛ + (⃗p) soddisfa anche la prop
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cone quindiΩ ′ = γ 0 Ω † γ
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si ottiene⃗ J = ⃗ L +12 ⃗ Σ
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◮ Momento angolare di spin ⃗ Σ
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Nella scrittura di queste equazioni
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a sinistra per γ 0 , otteniamo(i
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Da[π j , π k] = [ p j − eA j ,
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Infatti∫∫d 3 x X † X =( ) ( (
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Page 105 and 106: perchè δϕ α = 0 sull’iper-sup
Page 107 and 108: Appendice HRappresentazione integra
Page 109: Appendice ICalcolo di sezioni d’u
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