Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Appendice FDimostrazione della proprietà⃗L 2 (⃗σ · ⃗p) ϕ = l χ(lχ + 1 ) (⃗σ · ⃗p) ϕConsideriamo gli spinori a due componenti χ e ϕ definiti nell’eq.(5.27), i quali sonoautofunzioni di ⃗ L 2con rispettivi autovalori 2 l χ (l χ + 1) e 2 l ϕ (l ϕ + 1) (si vedano leeq.(5.21), (5.22)). In questa appendice dimostriamo che ⃗σ ·⃗p ϕ è un autofunzione di ⃗ L 2con autovalore 2 l χ (l χ +1). Analogamente, si può dimostrare che ⃗σ·⃗p χ è un autofunzionedi ⃗ L 2 con autovalore 2 l ϕ (l ϕ + 1).L’azione dell’operatore ⃗ L 2 sulla funzione ⃗σ ·⃗p ϕ è data da[ ]2 2⃗ L (⃗σ ·⃗p) ϕ = (⃗σ ·⃗p) ⃗ L ϕ + ⃗L2, ⃗σ ·⃗p ϕ[ ]= 2 l ϕ (l ϕ + 1) (⃗σ ·⃗p) ϕ + ⃗L2, ⃗σ ·⃗p ϕ .(F.1)Calcoliamo il commutatore nella (F.1) utilizzando l’identità [L k L k , p j ] = [L k , [L k , p j ]] +2[L k , p j ]L k e il commutatore [L k , p j ] = ɛ kml [r m , p j ]p l = i ∑ ɛ kjl p l :l[⃗L2, ⃗σ ·⃗p]= ∑ k,jσ j {[ L k , [ L k , p j]] + 2 [ L k , p j] L k}= ∑ σ { j − 2 ɛ kjl ɛ klm p m + 2 i ɛ kjl p l L k}k,j(= 2 2 ⃗σ ·⃗p + 2 (⃗σ ·⃗p) ⃗σ · ⃗L).L’ultima eguaglianza discende dalle proprietà∑ɛ klj ɛ klm = 2 δ jm ,k,li ∑ jσ j ɛ jkl = δ kl − σ k σ l ,(F.2)(F.3)(F.4)e da ⃗p · ⃗L = 0.96