Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Per usare espressioni al più possibile compatte, conviene utilizzare per la funzioned’onda una notazione matriciale⎛ ⎞ψ 1 (x)⎜ ⎟ψ(x) = ⎝ . ⎠ . (1.19)ψ N (x)Questo spinore generalizza lo spinore a 2 componenti di Pauli. Conseguentemente, ladensità di probabilità si scrive ρ = ψ † ψ.Un’equazione che soddisfa ai primi quattro punti è la seguenteiγ µ ∂ µ ψ − mψ = 0 equazione di Dirac . (1.20)Data la natura matriciale della ψ, i coefficienti γ µ che compaiono nella (1.20) vannointesi come matrici di costanti. Quindi una scrittura esplicita dell’equazione (1.20) èiN∑(γ µ ) ln (∂ µ ψ n ) − m ψ l = 0 (l = 1, . . . , N) , (1.21)n=1da cui si vede come l’equazione di Dirac è in realtà equivalente a un sistema di equazionidifferenziali accoppiate nelle componenti ψ l .Per scrivere l’equazione (1.20) abbiamo fatto uso delle condizioni 1-4. Determiniamoora alcune proprietà generali delle matrici γ µ , che discendono dalle condizioni 5-6.Richiediamo innanzi tutto che dall’equazione di Dirac discenda quella di Klein-Gordon. Per far ciò, moltiplichiamo a sinistra l’equazione di Dirac (1.20) perl’operatoreiγ µ ∂ µ + m 11 . (1.22)Si ottiene0 = (iγ µ ∂ µ + m) (iγ ν ∂ ν − m) ψ[ ]1= −2 (γµ γ ν + γ ν γ µ ) ∂ µ ∂ ν + m 2 ψ . (1.23)Affinchè questa equazione coincida con l’equazione di Klein-Gordon (1.13) è necessarioche le matrici γ soddisfino alle relazioniγ µ γ ν + γ ν γ µ = 2 g µν 11 . (1.24)Queste condizioni implicano che le quattro matrici γ µinoltre che i loro quadrati sono dati daanticommutano tra di loro ed(γ0 )2 = 11 ,(γk ) 2= −11 (k = 1, 2, 3) . (1.25)Dalla precedente derivazione discende anche che il coefficiente m nell’operatore diDirac dev’essere identificato con la massa della particella. Notiamo che l’equazione diDirac realizza una linearizzazione dell’equazione di Klein-Gordon.4