Lezioni di Meccanica Quantistica Relativistica A. Bottino e C ... - INFN

Lezioni diMeccanica Quantistica RelativisticaA. Bottino e C. GiuntiAnno Accademico 2006 – 2007

IndiceIndiceiii1 Equazione di Dirac 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 L’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Proprietà delle matrici γ µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Prodotti di matrici γ: matrici Γ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Teorema fondamentale sulle rappresentazioni delle matrici γ . . . 81.2.4 Equazione di Dirac in versione hamiltoniana . . . . . . . . . . . . 91.2.5 Rappresentazione di Dirac delle matrici γ . . . . . . . . . . . . . 101.3 Covarianza dell’equazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 Rotazione attorno all’asse x k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Trasformazione di velocità nella direzione x k . . . . . . . . . . . . 141.3.3 Matrice coniugata hermitiana di S Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Trasformazioni discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.1 Inversione spaziale (parità) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Inversione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Forme bilineari con spinori di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1 Proprietà di trasformazione dello spinore aggiunto . . . . . . . . . 181.5.2 Trasformazioni di forme bilineari per trasformazioni di Lorentzproprie e inversioni spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Soluzioni libere dell’equazione di Dirac 202.1 Soluzioni libere nel sistema di riposo della particella . . . . . . . . . . . . 202.2 Soluzioni libere in un sistema di riferimento generico . . . . . . . . . . . 222.3 Limite non-relativistico (v≪c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Normalizzazione delle soluzioni libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Pacchetti d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Proiettori su stati ad energia positiva e su stati ad energia negativa . . . 283 Operatori momenti angolari in teoria di Dirac 323.1 Operatore di spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Conservazione del momento angolare totale . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Interazione elettrone–campo elettromagnetico 364.1 Qualche richiamo sul campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Interazione elettrone–campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . 37iii

4.3 Invarianza di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Hamiltoniana di interazione elettrone–campo elettromagnetico . . . . . . 384.5 Interazione elettromagnetica nel limite non-relativistico . . . . . . . . . . 394.6 Approssimazione non-relativistica in un campo elettrostatico . . . . . . . 425 Elettrone in un campo a simmetria sferica 465.1 Costanti del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Riduzione a spinori a due componenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3 Separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Soluzione delle equazioni radiali per un atomo idrogenoide . . . . . . . . 526 Coniugazione di carica 606.1 Mare di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2 Coniugazione di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 Spinori chirali 657.1 Autofunzioni dell’operatore chiralità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 Proprietà di elicità per m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.3 Equazioni di Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4 Neutrini e antineutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.5 Operazioni C, P , T sulle equazioni di Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.6 Covarianti bilineari con spinori chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.7 Spinori di Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758 Funzioni di Green e processi di scattering 768.1 Funzione di Green in teoria non-relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . 768.2 Funzione di Green per l’equazione di Dirac libera . . . . . . . . . . . . . 788.3 Funzione di Green per l’equazione di Dirac con interazione . . . . . . . . 798.4 Applicazione: scattering Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81A Unità naturali 85B Quadri-vettori – metrica 86C Tracce di prodotti di matrici γ 88D Rappresentazioni delle matrici γ 90D.1 Proprietà generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90D.1.1 Rappresentazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91D.1.2 Rappresentazione di Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91D.1.3 Rappresentazione chirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92E Trasformazioni di forme bilineari per inversione temporale 94F Dimostrazione della proprietà ⃗ L 2 (⃗σ ·⃗p) ϕ = l χ (l χ + 1) (⃗σ ·⃗p) ϕ 96G Densità Lagrangiana di Dirac 98iv

H Rappresentazione integrale della funzione di Green per l’equazione diDirac libera 101I Calcolo di sezioni d’urto 103v

Capitolo 1Equazione di Dirac1.1 IntroduzioneNella meccanica quantistica non-relativistica l’equazione di Schrödinger per una particellaliberai ∂ψ∂t = − 2∇2m ⃗ 2 ψ (1.1)può essere ottenuta dalla relazione classica non-relativistica tra energia E ed impulso ⃗pE = ⃗p22 m(1.2)mediante sostituzione delle grandezze classiche E e ⃗p con i corrispondenti operatoridifferenziali, ossiaE −→ Ê = i ∂ ∂t ,⃗p −→ ˆ⃗p = −i ⃗ ∇ .(1.3a)(1.3b)Associata all’equazione di Schrödinger vi è l’equazione di continuità∂ρ∂t + ⃗ ∇ ·⃗j = 0 , (1.4)dove ρ (densità di probabilità) e ⃗j (densità di corrente di probabilità) sono date daρ(t, ⃗x) = |ψ(t, ⃗x)| 2 , (1.5)⃗j(t, ⃗x) = − i ( ) ( ][ψ ∗ ⃗∇ψ − ⃗∇ψ ∗)ψ . (1.6)2 mL’equazione di continuità (1.4) ha un ruolo cruciale nell’interpretazione probabilisticadella meccanica quantistica. Dato un volume V nello spazio, utilizzando il teorema diGauss, si ha∫ ∫dρ dV =dt VV∂ρ∂t dV = − ∫V1∫⃗∇ ·⃗j dV = − ⃗j · ⃗n S dS , (1.7)S

dove S è la superficie che racchiude il volume V e ⃗n S è il versore normale alla superficie S.Quindi la variazione di probabilità nel volume V è uguale al flusso del vettore⃗j attraversola superficie S. Per un volume infinito ∫ ⃗j · ⃗n S S dS = 0; ne segue la conservazione globaledella probabilità, ossia∫dρ dV = 0 , (1.8)dtdove l’integrale è esteso a tutto lo spazio.In analogia a quanto fatto nel caso non-relativistico, un’equazione quantisticarelativistica può essere ottenuta dalla relazione classica relativistica tra energia e impulsoE 2 = ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 (1.9)mediante la sostituzione (1.3).In unità naturali ( = c = 1) e con notazioni covarianti 1 si ha che l’espressione (1.9),ossiap µ p µ = m 2 , (1.10)mediante sostituzioneviene trasformata nella relazione operatorialep µ −→ ˆp µ = i ∂ µ (1.11)−∂ µ ∂ µ = m 2 . (1.12)In queste espressioni p µ indica il quadri-vettore energia-impulso p µ = (E,⃗p) e ∂ µ ≡ ∂/∂x µ .Data la proprietà di invarianza dell’operatore ∂ µ ∂ µ + m 2 ≡ □ + m 2 per trasformazioni diLorentz, ne segue che l’equazione(□ + m2 ) ψ = 0 equazione di Klein-Gordon (1.13)è appropriata per la descrizione di particelle scalari (ossia, di spin nullo).Notiamo che l’equazione di Klein-Gordon ammette soluzioni nella forma di onde piane.Infatti, sostituendo nella (1.13) la soluzioneψ p (x) = e −ip·x ≡ e −ipµxµ , (1.14)si ritrova la relazione (1.10), ossia la (1.9). L’equazione agli autovalori per l’operatoreenergia èi ∂ √∂t ψ p(x) = p 0 ψ p (x) = ± ⃗p 2 + m 2 ψ p (x) . (1.15)Siamo quindi in presenza di stati ad energia positiva e di stati ad energia negativa. Questiultimi stati non possono essere eliminati dalla teoria, ma ne costituiscono parte integrante.Nello schema della meccanica quantistica, interazioni con campi esterni possono indurretransizioni della particella (elettrone) tra tutti i livelli energetici.Sottraendo dall’equazione di Klein-Gordon (1.13), moltiplicata per ψ ∗ , la sua complessaconiugata, moltiplicata per ψ, si ottiene l’equazione di continuità scritta in formacovariante∂ µ j µ = 0 , (1.16)1 Vedi Appendici A e B.2

con la quadri-correntej µ =i2 m [ψ∗ (∂ µ ψ) − (∂ µ ψ ∗ ) ψ] . (1.17)Osserviamo che la componente temporale j 0 della quadri-correntej 0 =i [ ( ) ∂ψψ ∗ −2 m ∂t( ∂ψ∗∂t) ]ψ(1.18)non è una quantità definita positiva e non può quindi essere interpretata come densitàdi probabilità. Questo problema dell’equazione di Klein-Gordon si presenta solo nell’ambitodella meccanica quantistica (teoria ad una particella). La struttura (1.17) dellaquadri-corrente è invece perfettamente interpretabile nell’ambito della teoria dei campi 2 .Notiamo ancora che la struttura particolare della ρ nella teoria di Klein-Gordon è attribuibileal fatto che l’equazione in questione è del second’ordine nella derivata temporale(nell’equazione di Schrödinger la derivata temporale è invece del prim’ordine).1.2 L’equazione di DiracPoniamoci ora il problema di determinare la struttura matematica di un’equazione quantisticarelativistica adeguata alla descrizione di una particella di spin 1/2. Vogliamo che,associata all’equazione d’onda, vi sia un’equazione di continuità con densità di probabilitàdefinita positiva. Come abbiamo visto precedentemente, questa richiesta implica chel’equazione d’onda sia del prim’ordine nella derivata temporale.Vediamo di elencare tutte le proprietà a cui deve soddisfare l’equazione che cerchiamo(equazione di Dirac):1. Per avere una corretta equazione di continuità, l’equazione dev’essere del prim’ordinenella derivata temporale;2. per covarianza relativistica, l’equazione dev’essere del prim’ordine anche nelle derivatespaziali;3. per il principio di sovrapposizione, l’equazione dev’essere lineare ed omogenea;4. la funzione d’onda deve descrivere anche gradi di libertà di spin e deve quindi esserea più componenti: ψ l (x), con l = 1, 2, . . . , N (nella teoria non relativistica di Pauli lecomponenti sono 2);5. l’equazione d’onda dev’essere compatibile con l’equazione di Klein-Gordon;6. dall’equazione si deve poter dedurre un’equazione di continuità con densità diN∑probabilità data da ρ = ψl ∗ ψ l .l=12 Vedi, ad esempio, Bjorken & Drell e Itzykson & Zuber.3

Per usare espressioni al più possibile compatte, conviene utilizzare per la funzioned’onda una notazione matriciale⎛ ⎞ψ 1 (x)⎜ ⎟ψ(x) = ⎝ . ⎠ . (1.19)ψ N (x)Questo spinore generalizza lo spinore a 2 componenti di Pauli. Conseguentemente, ladensità di probabilità si scrive ρ = ψ † ψ.Un’equazione che soddisfa ai primi quattro punti è la seguenteiγ µ ∂ µ ψ − mψ = 0 equazione di Dirac . (1.20)Data la natura matriciale della ψ, i coefficienti γ µ che compaiono nella (1.20) vannointesi come matrici di costanti. Quindi una scrittura esplicita dell’equazione (1.20) èiN∑(γ µ ) ln (∂ µ ψ n ) − m ψ l = 0 (l = 1, . . . , N) , (1.21)n=1da cui si vede come l’equazione di Dirac è in realtà equivalente a un sistema di equazionidifferenziali accoppiate nelle componenti ψ l .Per scrivere l’equazione (1.20) abbiamo fatto uso delle condizioni 1-4. Determiniamoora alcune proprietà generali delle matrici γ µ , che discendono dalle condizioni 5-6.Richiediamo innanzi tutto che dall’equazione di Dirac discenda quella di Klein-Gordon. Per far ciò, moltiplichiamo a sinistra l’equazione di Dirac (1.20) perl’operatoreiγ µ ∂ µ + m 11 . (1.22)Si ottiene0 = (iγ µ ∂ µ + m) (iγ ν ∂ ν − m) ψ[ ]1= −2 (γµ γ ν + γ ν γ µ ) ∂ µ ∂ ν + m 2 ψ . (1.23)Affinchè questa equazione coincida con l’equazione di Klein-Gordon (1.13) è necessarioche le matrici γ soddisfino alle relazioniγ µ γ ν + γ ν γ µ = 2 g µν 11 . (1.24)Queste condizioni implicano che le quattro matrici γ µinoltre che i loro quadrati sono dati daanticommutano tra di loro ed(γ0 )2 = 11 ,(γk ) 2= −11 (k = 1, 2, 3) . (1.25)Dalla precedente derivazione discende anche che il coefficiente m nell’operatore diDirac dev’essere identificato con la massa della particella. Notiamo che l’equazione diDirac realizza una linearizzazione dell’equazione di Klein-Gordon.4

Passiamo ora all’esame dell’equazione di continuità. Per ricavarla conviene considerareinnanzi tutto l’equazione hermitiana coniugata dell’equazione di Dirac (1.20):−i∂ µ ψ † γ µ† − mψ † = 0 , (1.26)e quindi sottrarre dalla (1.20) moltiplicata a sinistra per ψ † γ 0 la (1.26) moltiplicata adestra per γ 0† ψ . Otteniamo così[i ψ † γ 0 γ µ (∂ µ ψ) + ( ∂ µ ψ †) ] []γ µ† γ 0† ψ − m ψ † γ 0 ψ − ψ † γ 0† ψ = 0 . (1.27)Per ottenere una struttura appropriata a un’equazione di continuità è necessario chel’ultimo termine nella (1.27) si annulli, ossia che la matrice γ 0 sia hermitiana:γ 0† = γ 0 . (1.28)Il primo termine nella (1.27) può essere identificato con una divergenza solo se le matriciγ sono tali che il prodotto γ 0 γ µ sia una matrice hermitiana:γ 0 γ µ = γ µ† γ 0† = ( γ 0 γ µ)† . (1.29)In questo caso si ottiene l’equazione di continuità (1.16) con la corrente j µ data daj µ = ψ † γ 0 γ µ ψ . (1.30)Osserviamo che la componente temporale della corrente è data daj 0 = ψ † ψ , (1.31)in virtù della proprietà (γ 0 ) 2 = 11 precedentemente dimostrata. Dalle (1.28) e (1.29) siottiene che le hermitiane delle matrici γ µ sono date daγ µ† = γ 0 γ µ γ 0 , (1.32)da cui discende in particolare che le γ k sono anti-hermitiane:La quadri-corrente j µ verrà nel seguito riscritta comeγ k† = −γ k . (1.33)j µ = ψ γ µ ψ , (1.34)dove è stato introdotto lo spinore aggiunto ψ ≡ ψ † γ 0 . Questo spinore aggiunto ψ soddisfaall’equazionei ( ∂ µ ψ ) γ µ + m ψ = 0 , (1.35)come si può dimostrare moltiplicando la (1.26) a destra per γ 0 ed utilizzando la (1.32) ela proprietà (γ 0 ) 2 = 11.5

1.2.1 Proprietà delle matrici γ µDalle proprietà precedentemente viste per le matrici γ µ altre seguono.1. Le matrici γ hanno traccia nullaTr[γ µ ] = 0 . (1.36)Infatti, per esempio, utilizzando la proprietà (1.24), per la traccia delle γ k si ha (nellatraccia dei prodotti di 3 matrici γ prima permutiamo circolarmente e poi commutiamotra di loro γ 0 e γ k )Tr [ γ k] = Tr [ γ 0 γ 0 γ k] = Tr [ γ 0 γ k γ 0] = −Tr [ γ 0 γ 0 γ k] = −Tr [ γ k] ⇒ Tr [ γ k] = 0 .Per le tracce di prodotti di matrici γ si veda l’Appendice C.2. La dimensione N delle matrici γ è pari. Infatti, consideriamo per esempio la relazionePrendendone il determinante si ottieneγ 0 γ k = −γ k γ 0 = (−11) γ k γ 0 . (1.37)Detγ 0 Detγ k = (−1) N Detγ k Detγ 0 . (1.38)Essendo Detγ 0 ≠ 0 e Detγ k ≠ 0 (γ 0 e γ k ammettono gli inversi), si trova1 = (−1) N =⇒ N pari . (1.39)3. La dimensione minima delle matrici γ è N = 4. Infatti, nel caso N = 2 esistono solotre matrici mutuamente anticommutanti, le matrici di Pauli.4. Poichè la matrice γ 0 è hermitiana e le matrici γ k sono anti-hermitiane, le matrici γpossono essere diagonalizzate (non tutte simultaneamente, ma una alla volta, perchèanticommutano). Dalle relazioni (1.25) si ricava che gli autovalori della matrice γ 0sono ±1 e gli autovalori delle matrici γ k sono ±i.Definiamo una matrice γ 5 tale che 3γ 5 ≡ −i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 (1.40)(si utilizzerà anche la notazione γ 5 con l’intesa che γ 5 = γ 5 ). Dalle proprietà delle matriciγ si ottiene che{γ 5 , γ µ} = 0 (1.41a)(γ5 )2 = 11 (1.41b)(γ5 ) †= γ5(1.41c)3 Notare che la nostra definizione di γ 5 differisce di un segno rispetto a quella di alcuni autori (adesempio Bjorken & Drell e Itzykson & Zuber.6

1.2.2 Prodotti di matrici γ: matrici Γ aDefiniamo le 16 matrici Γ a (a = 1, 2, . . . , 16) ottenute da prodotti di matrici γ:Γ 1 11 (1.42a)Γ 2 − Γ 5 γ µ (1.42b)Γ 6 − Γ 11 σ µν ≡ i 2 [γµ , γ ν ] (prodotti di 2 matrici γ) (1.42c)Γ 12 − Γ 15 γ µ γ 5 (prodotti di 3 matrici γ) (1.42d)Γ 16 γ 5 (prodotto di 4 matrici γ) (1.42e)Le matrici Γ godono delle seguenti proprietà:1. Qualsiasi prodotto di matrici γ è proporzionale ad una delle Γ a , con un fattore diproporzionalità uguale a ±1 o ±i.2. Per ogni coppia Γ a , Γ b con a≠b esiste una matrice Γ c ≠ 11 tale cheΓ a Γ b = α Γ c con α = ±1, ±i . (1.43)Infatti, poichè Γ a ≠ Γ b , il prodotto Γ a Γ b contiene almeno una matrice γ µ in numerodispari. Poichè un numero dispari di γ µ non può essere semplificato usando le proprietà(1.25), si ha Γ c ≠ 11.3. Il quadrato di ciascuna matrice Γ a è ±11:(Γ a ) 2 = ±11 (1.44)4. Per ogni Γ a ≠ 11 esiste almeno una Γ b tale cheΓ a Γ b = −Γ b Γ a . (1.45)5. Le matrici Γ a con a > 1 hanno traccia nulla:Tr[Γ a ] = 0 per a > 1 . (1.46)Infatti, utilizzando la matrice Γ b che anticommuta con la matrice Γ a , si ha (primacommutiamo e poi permutiamo circolarmente)[Tr[Γ a ] = ±Tr Γ ( a Γ b) ] 2= ∓Tr [ Γ b Γ a Γ b] [ (Γb= ∓Tr) 2Γa]= −Tr[Γ a ] . (1.47)6. Dalle proprietà (1.43) e (1.46) segue cheTr [ Γ a Γ b] = 0 per a≠b . (1.48)7

7. Le matrici Γ sono linearmente indipendenti, ossia una relazione∑c a Γ a = 0 (1.49)aimplica c a = 0 (a = 1, . . . , 16). Infatti, se prendiamo la traccia della (1.49) troviamoc 1 = 0. Analogamente, prendendo la traccia diΓ b ( ∑ac a Γ a )= 0 , per b = 2, . . . , 16 , (1.50)e utilizzando le (1.44) e (1.48) si trova c b = 0 (b = 2, . . . , 16).8. Per la proprietà precedente la dimensione minima delle matrici Γ è 4 × 4 (esistono solo4 matrici 2 × 2 indipendenti: la matrice identità e le tre matrici di Pauli, mutuamenteanticommutanti); la rappresentazione 4 × 4 è quindi irriducibile.9. Dalle proprietà precedenti segue che qualsiasi matrice X di dimensione 4×4 può esserescritta come una combinazione lineare delle matrici Γ:X = ∑ ax a Γ a , con x a =1Tr[(Γ a ) 2 ] Tr[X Γa ] . (1.51)10. L’algebra generata dalle matrici γ prende il nome di algebra di Clifford.1.2.3 Teorema fondamentale sulle rappresentazioni delle matriciγData una rappresentazione 4 × 4 delle matrici γ, ogni altra rappresentazione γ ′ o èriducibile,⎛⎞Γ a 0 · · · 0Γ ′a 0 Γ a · · · 0−→ ⎜⎝.. . ..⎟ . ⎠ , (1.52)0 0 · · · Γ ao è equivalente, ossia è legata alla precedente tramite la relazione di similitudineγ ′µ = S γ µ S −1 . (1.53)Il teorema fondamentale di Pauli sulle rappresentazioni delle matrici di Dirac affermaappunto che, dati due insiemi γ, γ ′ di matrici 4 × 4 che soddisfano alle relazioni dianticommutazione (1.24), esiste una matrice non-singolare S tale che la relazione (1.53)è soddisfatta 4 . Ciò è consistente con il fatto che la trasformazione (1.53) preserva lerelazioni di anticommutazione (1.24):{γ ′µ , γ ′ ν } = S {γ µ , γ ν } S −1 = 2 g µν 11 . (1.54)4 Si veda, per esempio, W. Grenier, Relativistic Quantum Mechanics, pag.104.8

È evidente che in un cambiamento di rappresentazione tutti i prodotti di matrici γ sitrasformano tramite la (1.53). In particolare le matrici Γ a :Γ ′a = S Γ a S −1 . (1.55)Se si richiede che nelle due rappresentazioni valgano anche le relazioni (vedi la (1.32))γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 e γ ′ µ† = γ ′0 γ ′µ γ ′0 , (1.56)allora la matrice S di trasformazione è unitaria (si veda l’Appendice D). Questa proprietàgarantisce l’invarianza delle forme bilineari ψΓ a ψ per le trasformazioni di equivalenza(1.53):ψ ′ Γ ′a ψ ′ = ψ Γ a ψ . (1.57)Per dimostrare questa relazione è necessario determinare la trasformazione delle funzionid’onda per cambiamento di rappresentazione. Consideriamo l’equazione di Dirac nellarappresentazione γ ′µ :(iγ ′µ ∂ µ − m ) ψ ′ = 0 . (1.58)Utilizzando la (1.53) e moltiplicando a sinistra per S −1 , si ottiene(iγ µ ∂ µ − m) S −1 ψ ′ = 0 . (1.59)Affinchè questa equazione sia equivalente all’equazione di Dirac nella rappresentazione γ µ ,data nell’equazione (1.20), le funzioni d’onda ψ e ψ ′ devono essere legate dalla relazioneLa trasformazione degli spinori aggiunti è data daψ ′ = S ψ . (1.60)ψ ′ = ψ ′† γ ′0 = ψ † S † S γ 0 S −1 = ψ S −1 . (1.61)La relazione di invarianza (1.57) segue immediatamente dalle (1.55), (1.60) e (1.61).1.2.4 Equazione di Dirac in versione hamiltonianaL’equazione di Dirac può essere scritta nella forma hamiltonianai ∂ψ∂t = H ψ (1.62)dove 5 H = −i ⃗α · ⃗∇ + β m . (1.63)Le matrici α k sono date da5 Ricordiamo cheα k = γ 0 γ k (1.64)∇ k ≡ ∂ k ≡∂∂x k .9

e la matrice β è semplicemente una notazione alternativa per la matrice γ 0 (β = γ 0 ).Dalle proprietà delle matrici γ si vede che le matrici β e α k sono hermitianeβ † = β ,(αk ) †= α k , (1.65)per cui l’hamiltoniana di Dirac (1.63) è hermitiana. Le matrici β e α k soddisfano alleseguenti proprietà:α i α j + α j α i = 2 δ ij 11 ,α i β + β α i = 0 ,β 2 = 11 .(1.66a)(1.66b)(1.66c)1.2.5 Rappresentazione di Dirac delle matrici γSi chiama rappresentazione di Dirac quella rappresentazione delle matrici γ in cui γ 0 è diagonale.La forma delle altre matrici γ segue dalle proprietà generali di anticommutazione.Si ha quindiγ 0 =( )11 00 −11( )0 σ, γ k k=−σ k , γ 5 =0( )0 −11, (1.67a)−11 0β =( ) 11 0, α k =0 −11( ) 0 σkσ k 0. (1.67b)Le matrici σ k sono le matrici di Pauli( )0 1σ 1 = , σ 2 =1 0( )( )0 −i1 0, σ 3 = . (1.68)i 00 −1Questa rappresentazione è utile per discutere il limite non-relativistico dell’equazionedi Dirac. Per altre rappresentazioni si veda l’Appendice D.1.3 Covarianza dell’equazione di DiracConsideriamo due sistemi di coordinate inerziali x e x ′ = Λx, nei quali l’equazione diDirac si scrive, rispettivamente,(i γ µ ∂ µ − m) ψ(x) = 0 , (1.69a)(i γ µ ∂ ′ µ − m) ψ ′ (x ′ ) = 0 . (1.69b)Le coordinate e i gradienti nei due sistemi di riferimento sono connessi da unatrasformazione di Lorentz Λ (vedi l’Appendice B):x ′µ = Λ µ ν xν , x µ = Λ µν x′ν , (1.70a)∂ ′ µ = Λ νµ ∂ ν , ∂ µ = Λ ν µ ∂′ ν . (1.70b)10

Assumendo che le funzioni d’onda ψ(x) e ψ ′ (x ′ ) siano connesse da una trasformazionelineare del tipo 6 ψ ′ (x ′ ) = S Λ ψ(x) , (1.71)l’equazione (1.69b) può essere scritta come(iγ µ Λ νµ ∂ ν − m ) S Λ ψ(x) = 0 . (1.72)Per ricondurre questa equazione alla (1.69a), la moltiplichiamo a sinistra per S −1Λ :Si ha quindi invarianza seMoltiplicando per Λ ρ νsi ottiene(i S−1Λγµ S Λ Λ νµ ∂ ν − m ) ψ(x) = 0 . (1.73)S −1Λe tenendo conto cheγµ S Λ Λ νµ = γν . (1.74)Λ ρ ν Λ νµ = gρ µ , (1.75)S −1Λ γµ S Λ = Λ µ ν γν . (1.76)Data una trasformazione di Lorentz Λ, esiste una matrice S Λ che soddisfa la (1.76).Infatti, le matrici γ ′µ = Λ µ νγ ν soddisfano alle stesse relazioni di anticommutazione dellematrici γ µ :γ ′µ γ ′ν + γ ′ν γ ′µ = Λ µ ρ γρ Λ ν σ γσ + Λ ν σ γσ Λ µ ρ γρ= Λ µ ρ Λν σ (γρ γ σ + γ σ γ ρ )= 2 g ρσ Λ µ ρ Λν σ 11 = 2 gµν 11 .(1.77)Perciò esiste una relazione di equivalenza (1.76) che connette le matrici γ µ e le matriciγ ′µ = Λ µ νγ ν .Per trovare l’espressione di S Λ per trasformazioni di Lorentz proprie (trasformazioniconnesse con la trasformazione identica: rotazioni spaziali e trasformazioni di velocità(boosts)), consideriamo una trasformazione infinitesima,Dalla proprietà (1.75) si haPoniamoΛ µ ν = g µ ν + ω µ ν , con |ω µ ν| ≪ 1 . (1.78)ω µ ν = −ω µν . (1.79)S Λ = 11 + a ω µν O µν , (1.80)dove O µν deve avere la struttura di una matrice 4 × 4. Per determinare la forma esplicitadi O µν e il coefficiente a, sostituiamo la (1.80) e la sua inversa,S −1Λ = 11 − a ωµν O µν , (1.81)6 Questa proprietà si applica a trasformazioni di Lorentz proprie e all’inversione spaziale; non si applicainvece all’inversione temporale (vedi la Sezione 1.4.2).11

nella (1.76), con la Λ µ ν data dalla (1.78):( )11 − a ω αβ O ( ) ( )αβ γµ11 + a ω αβ O αβ = gµν + ω µ ν γ ν . (1.82)Al prim’ordine in ω µ ν si ottieneDobbiamo quindi avereγ µ + a ω αβ [γ µ , O αβ ] = γ µ + ω µ ν γ ν . (1.83)a ω αβ [γ µ , O αβ ] = ω µ ν γ ν . (1.84)Questa relazione è soddisfatta da O αβ = σ αβ e a = −i/4. Per dimostrarlo, calcoliamo ilcommutatore [γ µ , σ αβ ] tenendo conto cheγ α γ β = g αβ 11 − iσ αβ ⇒ σ αβ = i ( γ α γ β − g αβ 11 ) , (1.85)e che [A, BC] = {A, B} C − B {A, C}; per cui[γ µ , σ αβ ] = i [γ µ , γ α γ β − g αβ 11] = i [γ µ , γ α γ β ] = i {γ µ , γ α } γ β − i γ α {γ µ , γ β }= 2 i ( g α µ γ β − g µ β γ ) (1.86)α ,e si ha− i 4 ωαβ [γ µ , σ αβ ] = ω µ ν γ ν . (1.87)Abbiamo quindi trovato che per trasformazioni di Lorentz proprie infinitesime lamatrice di trasformazione spinoriale èPer trasformazioni di Lorentz proprie finite si haS Λ = 11 − i 4 ωµν σ µν . (1.88)S Λ = e − i 4 ωµν σ µν. (1.89)Esaminiamo ora separatamente le rotazioni spaziali e le trasformazioni di velocità.1.3.1 Rotazione attorno all’asse x kConsideriamo prima una rotazione infinitesima di un angolo θ attorno all’asse x 1 . Lamatrice di rotazione è⎛⎞ ⎛⎞1 0 0 0 1 0 0 0(R 1 ) µ ν (θ) = ⎜0 1 0 0⎟⎝0 0 cos θ sin θ⎠ = ⎜0 1 0 0⎟⎝0 0 1 θ⎠ + O(θ2 )0 0 − sin θ cos θ 0 0 −θ 1⎛⎞(1.90)0 0 0 0= g ν µ + θ ⎜0 0 0 0⎟⎝0 0 0 1⎠ + O(θ2 ) = g ν µ + θ (r 1 ) µ ν + O(θ 2 ) ,0 0 −1 012

dove⎛⎞(r 1 ) µ ν = d(R 1) µ ν (θ)0 0 0 0dθ ∣ = ⎜0 0 0 0⎟⎝θ=00 0 0 1⎠ (1.91)0 0 −1 0è il generatore delle rotazioni infinitesime attorno all’asse x 1 . Poichè le uniche componentinon nulle di (r 1 ) µ ν sono (r 1 ) 2 3 = +1 e (r 1 ) 3 2 = −1, ossia (r 1 ) 23 = −1 e (r 1 ) 32 = +1, si ha(r 1 ) µν σ µν = −σ 23 + σ 32 = −2 σ 23 , (1.92)ossia ω µν σ µν = −2θσ 23 . Perciò, per una rotazione finita di un angolo θ attorno all’assex 1 si haS R1 (θ) = e i 2 θ σ23 . (1.93)Introduciamo le matrici Σ k definite da (ɛ ijk è un tensore completamenteantisimmetrico con ɛ 123 = +1) 7σ ij = ɛ ijk Σ k ⇐⇒ Σ k = 1 2 ɛkij σ ij (1.94)Ne segue che σ 23 = Σ 1 e la (1.93) può essere scritta comeS R1 (θ) = e i 2 θ Σ1 . (1.95)Per una rotazione finita di un angolo θ attorno ad un generico asse x k si haS Rk (θ) = e i 2 θ Σk = 11 cos θ 2 + i Σk sin θ 2 . (1.96)Lo sviluppo dell’esponenziale si ottiene nel seguente modo:( ∞∑ ie i 2 θ Σk =θ Σk) n ( ∞∑ i2=θ Σk) 2n ( ∞∑ i2+θ Σk) 2n+12n!(2n)! (2n + 1)!n=0n=0n=0( ∞∑ 1= 11 (−1) n θ) 2n∞(∑ 12+ i Σ k (−1) n θ) 2n+12 (1.97)(2n)!(2n + 1)!n=0n=0= 11 cos θ 2 + i Σk sin θ 2 ,poichèNotare chee quindi S Rk( ) Σk 2n ( )= 11 , Σk 2n+1= Σ k , i 2n = (−1) n , (1.98)∞∑∞cos x = (−1) n x2n(2n)! , sin x = ∑(−1) n x 2n+1(2n + 1)! . (1.99)n=0n=0S Rk (θ + 2π) = −S Rk (θ) , (1.100)è una funzione a due valori delle rotazioni.7 Notare che le matrici Σ k possono anche essere scritte come Σ k = −γ 0 γ k γ 513

1.3.2 Trasformazione di velocità nella direzione x kConsideriamo prima un boost con velocità v nella direzione x 1 , per il quale si ha⎧x⎪⎨′0 = cosh ϕ x 0 − sinh ϕ x 1 ,{x ′1 = − sinh ϕ x 0 + cosh ϕ x 1 (,)x⎪⎩′2 = x 2 con cosh ϕ = γ ≡ 1 − v2 −1/2 ,(1.101),sinh ϕ = γ v .x ′3 = x 3 ,Per un boost infinitesimo nella direzione x 1 si ha⎛⎞ ⎛⎞cosh ϕ − sinh ϕ 0 0 1 −ϕ 0 0(Λ 1 ) µ ν(ϕ) = ⎜− sinh ϕ cosh ϕ 0 0⎟⎝ 0 0 1 0⎠ = ⎜−ϕ 1 0 0⎟⎝ 0 0 1 0⎠ + O(ϕ2 )0 0 0 1 0 0 0 1⎛⎞0 −1 0 0= g ν µ + ϕ ⎜−1 0 0 0⎟⎝ 0 0 0 0⎠ + O(ϕ2 ) = g ν µ + ϕ (λ 1) µ ν + O(ϕ2 ) ,0 0 0 0(1.102)dove⎛⎞(λ 1 ) µ ν = d(Λ 1) µ ν (ϕ)0 −1 0 0dϕ ∣ = ⎜−1 0 0 0⎟⎝ϕ=00 0 0 0⎠ (1.103)0 0 0 0è il generatore dei boosts infinitesimi lungo l’asse x 1 . Poichè le uniche componenti nonnulle di (λ 1 ) µ ν sono (λ 1) 0 1 = −1 e (λ 1) 1 0 = −1, ossia (λ 1) 01 = −1 e (λ 1 ) 10 = +1, si ha(λ 1 ) µν σ µν = −σ 01 + σ 10 = −2 σ 01 , (1.104)ossia ω µν σ µν = −2ϕσ 01 . Perciò, per un boost finito lungo l’asse x 1 si haS Λ1 (ϕ) = e i 2 ϕ σ01 . (1.105)Tenendo conto cheσ 0k ≡ i 2[γ 0 , γ k] = i γ 0 γ k = i α k , (1.106)per un boost finito lungo un generico asse x k si ha( ϕ) ( ϕ)S Λk (ϕ) = e − 1 2 ϕ αk = 11 cosh − α k sinh2 2. (1.107)1.3.3 Matrice coniugata hermitiana di S ΛConsideriamo la matrice coniugata hermitiana di S Λ per una trasformazione di Lorentzpropria:S † Λ = e i 4 ωµν σ † µν. (1.108)14

Poichè γ 0 γ µ† γ 0 = γ µ , si hada cui discende cheossiaγ 0 σ † µνγ 0 = − i 2 γ0 [ γ ν † , γ µ† ] γ 0 = − i 2 [γ ν, γ µ ] = σ µν , (1.109)γ 0 S † Λ γ0 = e i 4 ωµν σ µν, (1.110)Esaminiamo separatamente le rotazioni spaziali e i boosts:γ 0 S † Λ γ0 = S −1Λ. (1.111)1. Per una rotazione spaziale di un angolo θ attorno all’asse x k si haPoichè Σ k è hermitiano, si ottieneS Rk (θ) = e i 2 θ Σk . (1.112)S † R k(θ) = e − i 2 θ Σk† = e − i 2 θ Σk = S −1R k(θ) (1.113)Quindi S Rk (θ) è unitaria. Dalla (1.113) e dalla proprietà Σ k γ 0 = γ 0 Σ k segue la (1.111).2. Per un boost lungo l’asse x k si haPoichè α k è hermitiano, si ottieneS Λk (ϕ) = e − 1 2 ϕ αk . (1.114)S † Λ k(ϕ) = e − 1 2 ϕ αk† = e − 1 2 ϕ αk = S Λk (ϕ) (1.115)Quindi S Λk (ϕ) è hermitiano. Dalla (1.115) e dalla proprietà α k γ 0 = −γ 0 α k segue la(1.111).1.4 Trasformazioni discrete1.4.1 Inversione spaziale (parità)Per inversione spaziale x P −→ x ′ = (x 0 , −⃗x) si haψ(x) P −→ ψ ′ (x ′ ) = S P ψ(x) (1.116)e l’equazione di Dirac (i γ 0 ∂ )∂t + i ⃗γ · ⃗∇ − m ψ(x) = 0 (1.117)si trasforma in (i γ 0 ∂ )∂t − i ⃗γ · ⃗∇ − m S P ψ(x) = 0 . (1.118)15

Moltiplicando a sinistra per S −1 , si ottieneP(i S −1P γ0 S P∂∂t − i S−1 PQuindi, per riottenere l’equazione di Dirac (1.117) si deve avereS −1P γ0 S P = γ 0⃗γ S P = −⃗γS −1P})⃗γ S P · ⃗∇ − m ψ(x) = 0 . (1.119)=⇒ S P = η P γ 0 , (1.120)dove η P è una costante moltiplicativa. La condizione di invarianza della densità diprobabilitàψ † (t, ⃗x) ψ(t, ⃗x) = ψ ′† (t, −⃗x) ψ ′ (t, −⃗x) = [ η ∗ P ψ† (t, ⃗x) γ 0] [ η P γ 0 ψ(t, ⃗x) ]= |η P | 2 ψ † (t, ⃗x) ψ(t, ⃗x)(1.121)impone la condizione |η P | 2 = 1, ossia η P = e iφ con φ reale. Il fattore di fase η P dipendedalla natura della particella di spin 1/2 che si sta considerando ed è chiamato paritàintrinseca. Il valore di η P non è misurabile in assoluto, ma le parità relative dei fermionipossono essere misurate sperimentalmente. Convenzionalmente si sceglie η P = +1 perl’elettrone. Notiamo esplicitamente che S P è una matrice unitaria, come richiesto dallacondizione di invarianza della densità di probabilità.Le condizioni (1.120) possono anche essere ottenute dalla formula (1.76), tenendoconto che per inversione spaziale⎛⎞1.4.2 Inversione temporale1 0 0 0Λ = P = ⎜0 −1 0 0⎝0 0 −1 00 0 0 −1⎟⎠ . (1.122)Per inversione temporale x T −→ x ′ = (−x 0 , ⃗x) la legge di trasformazione della funzioned’onda deve contenere l’operazione di coniugazione complessa 8 . Per tenere conto anchedell’inversione dello spin, scriviamo la legge di trasformazione dello spinore nel modoseguente 9 :ψ(x) T −→ ψ ′ (x ′ ) = ˜B ˜ψ(x) , (1.123)dove B è una matrice unitaria, affinchè la densità di probabilità ψ † ψ sia invariante perinversione temporale. Determiniamo B in modo che la teoria sia invariante per inversionetemporale. Dall’equazione di Dirac(i γ 0 ∂ )∂t + i ⃗γ · ⃗∇ − m ψ(x) = 0 (1.124)8 Vedi Landau & Lifshitz, Meccanica Quantistica.9 Notare che la matrice B non può essere determinata mediante la formula (1.76) perchè la (1.123)differisce dall’ espressione (1.71).16

per inversione temporale si ottiene(−i γ 0 ∂ )∂t + i ⃗γ · ⃗∇ − m˜B ˜ψ(x) = 0 . (1.125)Trasponendo la (1.125) si haMoltiplicando a destra per B −1 si ottiene−i ∂ψ∂t−i ∂ψ∂t B ˜γ 0 + i ⃗ ∇ ψ · B ˜⃗γ − m ψ B = 0 . (1.126)(B ˜γ)0 B −1 + i ∇ ⃗ ψ ·(B ˜⃗γ)B −1 − m ψ = 0 . (1.127)Imponendo che questa equazione sia uguale all’equazione di Dirac per ψi ∂ψ∂t γ0 + i ⃗ ∇ ψ · ⃗γ + m ψ = 0 , (1.128)si ottengono le condizioni {Tenendo conto cheB ˜γ 0 B −1 = γ 0 ,B ˜⃗γ B −1 = −⃗γ .(1.129)(γ 0 γ 5) γ 0 ( γ 0 γ 5) −1 = −γ 0 , (1.130)(γ 0 γ 5) ⃗γ ( γ 0 γ 5) −1 = ⃗γ , (1.131)se definiamo una matrice C tale cheC ˜γ µ C −1 = −γ µ , (1.132)si ottiene che le equazioni (1.129) sono soddisfatte dalla matriceB = η T γ 0 γ 5 C , (1.133)dove η T è un fattore di fase arbitrario. Come si vedrà successivamente, la matrice Cinterviene nella legge di trasformazione degli spinori per coniugazione di carica.1.5 Forme bilineari con spinori di DiracVogliamo ora studiare le proprietà di trasformazione di forme bilineari del tipoψ(x) Γ a ψ(x) , con Γ a = 11 , γ µ , σ µν , γ µ γ 5 , γ 5 , (1.134)per trasformazioni di Lorentz.Dobbiamo preliminarmente ricavare le proprietà di trasformazione dello spinoreaggiunto ψ a partire dalle formule di trasformazione dello spinore ψ.17

1.5.1 Proprietà di trasformazione dello spinore aggiuntoTrasformazioni di Lorentz proprie ed inversione spazialeDalla formulaψ ′ (x ′ ) = S Λ ψ(x) (1.135)si haψ ′ (x ′ ) ≡ ψ ′† (x ′ ) γ 0 = ψ † (x) S † Λ γ0 = ψ(x) γ 0 S † Λ γ0 . (1.136)Utilizzando la relazionesi ottieneγ 0 S † Λ γ0 = S −1Λ , (1.137)ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) S −1Λ, (1.138)Inversione temporaleIl trasformato di ψ èψ ′ (x ′ ) =(˜B ˜ψ(x)) †γ 0 =(˜B ˜γ0 ˜ψ† (x)) †γ 0 = ˜ψ(x) ˜γ 0 ˜B † γ 0 . (1.139)Dalle proprietà della matrice B si può dedurre che ˜γ 0 ˜B † γ 0 = ˜B −1 , e quindiψ ′ (x ′ ) = ˜ψ(x) ˜B −1 . (1.140)1.5.2 Trasformazioni di forme bilineari per trasformazioni diLorentz proprie e inversioni spazialiConsideriamo le trasformazioni di Lorentz proprie e le inversioni spaziali. Tenendo contodelle (1.71), (1.76) e (1.138) si ha:1. Γ a = 11.Quindi questo bilineare è uno scalare.2. Γ a = γ µ .ψ ′ (x ′ ) ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) S −1Λ S Λ ψ(x) = ψ(x) ψ(x) . (1.141)ψ ′ (x ′ ) γ µ ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) S −1Λ γµ S Λ ψ(x) = Λ µ ν ψ(x) γν ψ(x) . (1.142)Quindi l’insieme di questi quattro bilineari costituisce un quadri-vettore polare.3. Γ a = σ µν .ψ ′ (x ′ ) σ µν ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) S −1Λ σµν S Λ ψ(x) = Λ µ α Λ ν β ψ(x) σ αβ ψ(x) . (1.143)Segue che questi bilineari costituiscono un tensore di rango 2.18

4. Γ a = γ µ γ 5 .ψ ′ (x ′ ) γ µ γ 5 ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) S −1Λγµ γ 5 S Λ ψ(x) = Λ µ ν ψ(x) γ ν ( S −1Λ γ5 S Λ)ψ(x) . (1.144)Per trasformazioni di Lorentz proprie}S Λ = e − i ωµν σµν4[γ 5 , σ µν] = 0=⇒ S −1Λ γ5 S Λ = γ 5 . (1.145)Per inversioni spazialiS P = γ 0{γ 0 , γ 5} = 0}=⇒ S −1P γ5 S P = −γ 5 . (1.146)Perciò ψ(x)γ µ γ 5 ψ(x) si trasforma come un vettore assiale. Infatti, per trasformazionidi Lorentz propriementre per inversioni spazialiψ ′ (x ′ ) γ µ γ 5 ψ ′ (x ′ ) = Λ µ ν ψ(x) γν γ 5 ψ(x) , (1.147)ψ ′ (x ′ ) γ µ γ 5 ψ ′ (x ′ ) = −Λ µ ν ψ(x) γ ν γ 5 ψ(x) =5. Γ a = γ 5 .Per trasformazioni di Lorentz proprie si hamentre per inversioni spazialiOssia ψγ 5 ψ è uno pseudoscalare.{− ψ(x) γ 0 γ 5 ψ(x) per µ = 0 ,+ ψ(x) γ k γ 5 ψ(x) per µ = k .(1.148)ψ ′ (x ′ ) γ 5 ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) S −1Λ γ5 S Λ ψ(x) . (1.149)ψ ′ (x ′ ) γ 5 ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) γ 5 ψ(x) , (1.150)ψ ′ (x ′ ) γ 5 ψ ′ (x ′ ) = −ψ(x) γ 5 ψ(x) . (1.151)Per le proprietà di trasformazione delle forme bilineari per inversione temporale vediAppendice E.19

Capitolo 2Soluzioni libere dell’equazione diDirac2.1 Soluzioni libere nel sistema di riposo dellaparticellaCerchiamo una soluzione dell’equazione di Dirac(i γ µ ∂ µ − m) ψ(x) = 0 (2.1)che sia anche autofunzione del quadri-impulso p µ , con valore positivo dell’energia (p 0 > 0).Questa soluzione, che indichiamo con ψ p (x), può essere scritta in forma fattorizzata, conun fattore e −i p·x ≡ e −i pµ xµ , che contiene la dipendenza spazio-temporale tipica di un’ondapiana, e un fattore u(⃗p) che descrive le proprietà spinoriali della particellaψ p,+ (x) = e −i p·x u(⃗p) con p 0 > 0 . (2.2)Determiniamo la forma esplicita dello spinore u(⃗p) nella rappresentazione di Dirac.Dall’equazione∂ µ ψ p,+ (x) ≡∂∂x ψ p,+(x) = −i p µ µ ψ p,+ (x) , (2.3)si ottiene(γ µ p µ − m) u(⃗p) = 0 , (2.4)oppure, come anche si scrive, 1 (/p − m) u(⃗p) = 0 . (2.5)Per lo spinore aggiunto si hau(⃗p) (/p − m) = 0 . (2.6)Se m≠0, nel sistema di riposo della particella, dove p µ = (m,⃗0), l’equazione (2.5)diventa(γ 0 − 11 ) u(0) = 0 . (2.7)1 Usiamo la notazione “slash” per indicare la contrazione di un generico quadri-vettore v µ con γ µ ,ossia /v ≡ γ µ v µ .20

Scrivendou(0) =( )χ+ (0)ϕ + (0)(2.8)e tenendo conto dell’espressione della γ 0 nella rappresentazione di Dirac,( ) 11 0γ 0 = , (2.9)0 −11si ottiene ( ) ( )0 0 χ+ (0)= 0 . (2.10)0 11 ϕ + (0)Quest’equazione ha due soluzioni indipendenti:( )( )(χ (1) 1+ (0) = e χ (2) 0 0+ (0) = , con ϕ01+ (0) = , (2.11)0)ossia⎛ ⎞⎛ ⎞10u (1) (0) = ⎜0⎟⎝0⎠ e u (2) (0) = ⎜1⎟⎝0⎠ . (2.12)00È naturale interpretare le due soluzioni indipendenti u (r) (0) (r = 1, 2) nel sistema diriposo della particella come gli stati corrispondenti alle due proiezioni di spin 1/2 dellaparticella stessa. Ciò è in completa analogia con la descrizione alla Pauli. La confermadella correttezza di questa interpretazione deriverà dallo studio dell’operatore di spin inteoria di Dirac.Passiamo ora allo studio delle soluzioni libere dell’equazione di Dirac con energianegativa, ossia tali cheScriviamole nel modo seguente:Per sostituzione nella (2.1) si haL’analoga equazione per lo spinore aggiunto èi ∂ ∂t ψ p,−(x) = −|p 0 | ψ p,− (x) . (2.13)ψ p,− (x) = e i p·x v(⃗p) con p 0 > 0 . (2.14)(/p + m) v(⃗p) = 0 . (2.15)v(⃗p) (/p + m) = 0 . (2.16)Se m≠0, nel sistema di riposo della particella, l’equazione (2.15) diventa(γ 0 + 11 ) v(0) = 0 . (2.17)Scrivendov(0) =( )χ− (0), (2.18)ϕ − (0)21

nella rappresentazione di Dirac si ottiene l’equazioneQuest’equazione ha due soluzioni indipendenti:( )ϕ (1) 1− (0) =0( ) ( )11 0 χ− (0)= 0 . (2.19)0 0 ϕ − (0)( )(e ϕ (2) 0 0− (0) = , con χ1− (0) = , (2.20)0)ossia⎛ ⎞⎛ ⎞00v (1) (0) = ⎜0⎟⎝1⎠ e v (2) (0) = ⎜0⎟⎝0⎠ . (2.21)01Anche in questo caso l’esistenza di due soluzioni indipendenti è da mettersi in relazionecon le due configurazioni di spin della particella.Si nota inoltre che gli stati u sono ortogonali agli stati v. Dalla derivazione precedentesi può concludere che la dimensione 4 alla base della struttura spinoriale alla Dirac èdovuta al fatto che lo spinore di Dirac descrive proprietà intrinseche di spin 1/2 e statienergetici di duplice segno.2.2 Soluzioni libere in un sistema di riferimentogenericoDeterminiamo la forma degli spinori u(⃗p) e v(⃗p) in un sistema di riferimento generico,deducendoli da quelli nel sistema di riposo precedentemente ricavati.Osserviamo innanzi tutto che vale la seguente identità:(/p + m) (/p − m) = γ µ p µ γ ν p ν − m 2 = g µν p µ p ν − m 2 = p 2 − m 2 . (2.22)Per una particella fisica si ha p 2 = m 2 e quindi dalla (2.22) si ottieneCiò consente di scrivere(/p + m) (/p − m) = 0 (2.23)(/p − m) [ (/p + m) u (r) (0) ] = 0 , con r = 1, 2 . (2.24)Quindi le soluzioni dell’equazione (2.5) possono essere messe nella formau (r) (⃗p) = C (/p + m) u (r) (0) , (2.25)22

dove C è una opportuna costante di normalizzazione. Nella rappresentazione di Diracu (r) (⃗p) = C (/p + m) u (r) (0)[( ) ( )11 0 0 ⃗σ= CE − ·⃗p +0 −11 −⃗σ 0( ) ( )E + m −⃗σ ·⃗p(r) χ= C+ (0)⃗σ ·⃗p −E + m 0()(E + m) χ (r)+ (0)= C⃗σ ·⃗p χ (r)+ (0)⎛⎞= C (E + m) ⎝χ(r) + (0)⃗σ ·⃗pE + m χ(r)Determiniamo la costante C in modo che⎠ .+ (0)( ) ] (11 0(r) χm0 11+ (0)0)(2.26)u (r) (⃗p) u (s) (⃗p) = δ rs . (2.27)Poichè() ⎛ ⎞u (r) (⃗p) u (s) (⃗p) = |C| 2 (E + m) 2 χ (r)+ (0) † −χ (r) † ⃗σ ·⃗p+ (0) ⎝ χ(s) + (0)⃗σ ·⃗p ⎠E + mE + m χ(s) + (0)= |C| 2 (E + m)(1 2 ⃗p 2 )−(E + m) 2 δ rs (2.28)= |C| 2 2 m (E + m) δ rs ,la condizione di normalizzazione è soddisfatta se prendiamoper cuiC =1√2 m (E + m), (2.29)u (r) (⃗p) =u (r) (⃗p) = u (r) (0)/p + m√2 m (E + m)u (r) (0) ,/p + m√2 m (E + m).(2.30a)(2.30b)Si noti che il legame stabilito dalle equazioni (2.30a) e (2.30b) tra gli spinori u (r) (⃗p) eu (r) (⃗p) e i loro corrispondenti nel sistema di riposo non dipende dalla rappresentazionedelle γ.Nella rappresentazione di Dirac gli spinori u (r) (⃗p) sono dati da( ) √⎛u (r) χ (r)+ (⃗p) E + m(⃗p) ≡ϕ (r) = ⎝+ (⃗p) 2 m23χ(r) + (0)⃗σ ·⃗pE + m χ(r)⎞⎠ . (2.31)+ (0)

Esplicitamente si ha⎛ ( ⎞√ 1E + mu (1) (⃗p) = ⎜ 0)( ) ⎟2 m ⎝ ⃗σ ·⃗p 1 ⎠ , (2.32)E + m 0⎛ ( ⎞√ 0E + mu (2) (⃗p) = ⎜ 1)( ) ⎟2 m ⎝ ⃗σ ·⃗p 0 ⎠ . (2.33)E + m 1Per le soluzioni a energia negativa si può seguire lo stesso procedimento. Si haNella rappresentazione di Dirac si haQuindiv (r) (⃗p) = C (−/p + m) v (r) (0) . (2.34)v (r) (⃗p) = C (−/p + m) v (r) (0)[ ( ) ( )11 0 0 ⃗σ= C − E + ·⃗p +0 −11 −⃗σ 0⎛⎞⃗σ ·⃗p= C (E + m) ⎝E + m ϕ(r) − (0)⎠ .ϕ (r)− (0)(v (r) (⃗p) v (s) (⃗p) = |C| 2 (E + m) 2 ϕ (r)− (0) † ⃗σ ·⃗pE + m(= |C| 2 (E + m) 2 ⃗p 2 )(E + m) 2 − 1= − |C| 2 2 m (E + m) δ rs .Se poniamo la condizione di normalizzazionela costante C è data dalla (2.29) e si ottiene quindi( ) ] ( )11 0 0m0 11 ϕ (r)− (0)−ϕ (r)(2.35)) ⎛ ⎞⃗σ ·⃗p− (0) † ⎝E + m ϕ(s) − (0)⎠ϕ (s)− (0)δ rs (2.36)v (r) (⃗p) v (s) (⃗p) = −δ rs , (2.37)v (r) (⃗p) =v (r) (⃗p) = v (r) (0)−/p + m√2 m (E + m)v (r) (0) ,−/p + m√2 m (E + m).(2.38a)(2.38b)Nella rappresentazione di Dirac gli spinori v (r) (⃗p) sono dati da( ) √⎛⎞v (r) χ (r)⃗σ ·⃗p− (⃗p) E + m(⃗p) ≡ϕ (r) = ⎝E + m ϕ(r) − (0)⎠ . (2.39)− (⃗p) 2 mϕ (r)− (0)24

Esplicitamente si ha⎛ ( ) ⎞√ ⃗σ ·⃗p 1E + mv (1) (⃗p) = ⎜E + m 0( ⎟2 m ⎝ 1 ⎠0) , (2.40)⎛ ( ) ⎞√ ⃗σ ·⃗p 0E + mv (2) (⃗p) = ⎜E + m 1( ⎟2 m ⎝ 0 ⎠1) . (2.41)Valgono inoltre le seguenti relazioni di ortogonalità:u (r) (⃗p) v (s) (⃗p) = 0 ,v (r) (⃗p) u (s) (⃗p) = 0 .(2.42a)(2.42b)Notiamo che le condizioni di normalizzazione per gli spinori sono state scritte intermini di invarianti, per esempio uu, come ha da essere. Osserviamo che prodotti deltipo u † u si trasformano invece come componenti temporali di quadri-vettori. Infatti,utilizzando l’equazione /pu = mu e la sua aggiunta, si hau (r)† (⃗p) u (s) (⃗p) = u (r) (⃗p) γ 0 u (s) (⃗p) = u (r) (⃗p) /p γ0 + γ 0 /p2 mu (s) (⃗p)= u (r) (⃗p) gµ0 p µm u(s) (⃗p) = E m u(r) (⃗p) u (s) (⃗p) = E m δ rs .(2.43)Questa proprietà è in accordo con la richiesta che la probabilità ψ † p,+(x) ψ p,+ (x) d 3 x mantenga,per trasformazione di Lorentz, il valore che la stessa ha nel sistema di riposo dellaparticella. Dal momento che, nella trasformazione, l’elemento di volume subisce la contrazioned 3 x ′ = √ 1 − v 2 /c 2 d 3 x, la densità di probabilità ρ = ψ † p,+(x) ψ p,+ (x) = u † (p) u(p)deve trasformarsi come ρ ′ = ρ/ √ 1 − v 2 /c 2 = ρ E/m, ossia come ottenuto nella (2.43).2.3 Limite non-relativistico (v≪c)Per le soluzioni ad energia positiva, nella rappresentazione di Dirac, si haϕ (r) † (r)+ (⃗p) ϕ + (⃗p) = E + m † (⃗σ ·⃗p) 22 m χ(r) + (0)(E + m) 2 χ(r) + (0) ==⃗p 2†(E + m) 2 χ(r) (r)+ (⃗p) χ + (⃗p)⃗p 2 c 2†(E + m c 2 ) 2 χ(r) (r)+ (⃗p) χ + (⃗p) in unità ordinarie .(2.44)25

Per il limite non-relativistico sono utili le relazionidalle quali si ottiene⃗p =m ⃗v √1 − v2c 2= m ⃗v( ( )) v21 + Oc 2, (2.45)E =m ( ( ))√c2v= m c 2 21 + O , (2.46)1 −c 2 v2c 2⃗p 2 c 2(E + m c 2 ) 2 = 1 ( ( ))v 2 v21 + O , (2.47)4 c 2 c 2ϕ (r) † (r)+ (⃗p) ϕ + (⃗p) ≃ 1 v 2 †4 c 2 χ(r) (r)+ (⃗p) χ + (⃗p) . (2.48)Quindi, nel limite non-relativistico, negli spinori ad energia positiva u (r) (⃗p) vi è dominanzadegli spinori a due componenti χ (r)+ (⃗p) rispetto a quelli ϕ (r)+ (⃗p); il fattore di soppressionedegli spinori ϕ (r)+ (⃗p) rispetto a quelli χ (r)+ (⃗p) è di ordine (v/c) 2 . Di qui segue la usualedenominazione di “grandi componenti” per le χ (r)+ (⃗p) e di “piccole componenti” per leϕ (r)+ (⃗p).Per le soluzioni ad energia negativa i ruoli delle χ e ϕ sono scambiati: le componentiχ (r)− (⃗p) vengono chiamate “piccole componenti” e quelle ϕ (r)− (⃗p) vengono chiamate “grandicomponenti”.2.4 Normalizzazione delle soluzioni libereOccupiamoci ora della normalizzazione delle soluzioni libere ad energia positiva ψ (r)p,+(x),che riscriviamo comeψ (r)p,+(x) = N e −i p·x u (r) (⃗p) , (2.49)dove N è un fattore di normalizzazione. Adotteremo le seguenti condizioni dinormalizzazione: ∫d 3 x ψ (r) † (s)p,+ (x) ψp ′ ,+ (x) = δ rs δ ⃗p, p ⃗′ (2.50)Vnel caso di normalizzazione in un volume V finito e∫d 3 x ψ (r) † (s)p,+ (x) ψp ′ ,+ (x) = δ rs δ 3 (⃗p − ⃗p ′ ) (2.51)nel caso di normalizzazione in un volume infinito.Per il caso di un volume finito si ha∫∫d 3 x ψ (r) † (s)p,+ (x) ψp ′ ,+ (x) = |N|2 u (r)† (⃗p) u (s) (p ′ ) δ ⃗p, p ⃗′VVd 3 x = |N| 2 E m V δ rs δ ⃗p, ⃗ p ′ , (2.52)per cuiN = 1 √V√ mE . (2.53)26

∫Per la normalizzazione in un volume infinito si ha∫d 3 x ψ (r) † (s)p,+ (x) ψp ′ ,+ (x) = |N|2 u (r)† (⃗p) u (s) (p ′ ) d 3 x e i(p−p′ )·x = |N| 2 E m δ rs (2 π) 3 δ 3 (⃗p−⃗p ′ ) ,per cuiN =1(2.54)(2 π) 3/2 √ mE . (2.55)Analoghe normalizzazioni verranno adottate per le soluzioni libere ad energia negativa.Avremo quindiψ p,−(x) (r) = √ 1 √ mV E ei p·x v (r) (⃗p) (2.56)nel caso di normalizzazione in un volume finito eψ (r)p,−(x) =1(2 π) 3/2 √ mE ei p·x v (r) (⃗p) (2.57)nel caso di normalizzazione in un volume infinito.Le funzioni ψ p,+(x) (r) e ψ p,−(x) (r) sono ortogonali, ossia∫d 3 x ψ (r) † (s)p,+ (x) ψp ′ ,−(x) = 0 . (2.58)Infatti, dalle (2.30b) e (2.38b) si ricava cheu (r)† ( ⃗˜p) = u (r)† (0)v (r)† ( ⃗˜p) = v (r)† (0)/p + m√2 m (E + m),−/p + m√2 m (E + m),(2.59a)(2.59b)dove ˜p µ = (p 0 , ⃗˜p) = (p 0 , −⃗p), e quindi dalla proprietà (2.23) discendono le relazioniu (r)† ( ⃗˜p) v (s) (⃗p) = 0 ,v (r)† ( ⃗˜p) u (s) (⃗p) = 0 .(2.60a)(2.60b)2.5 Pacchetti d’ondaLe soluzioni libere ψ p,+(x) (r) e ψ p,−(x) (r) costituiscono un insieme completo ortonormale equindi la più generale soluzione può essere scritta comeψ(x) = ∑ ∫ []d 3 p b (r)⃗pψ p,+(x) (r) + d (r) ∗ (r)⃗p ψ p,−(x)r1 ∑∫ √ m[] (2.61)=d 3 p b (r)(2π) 3/2 ⃗pu (r) (⃗p) e −ip·x + d (r) ∗⃗p v (r) (⃗p) e ip·x .Er27

I coefficienti b (r)⃗pe d (r) ∗⃗p dello sviluppo sono in generale dei numeri complessi (le notazioniqui adottate seguono le convenzioni standard usualmente utilizzate).La formula (2.61) fa riferimento a stati normalizzati in un volume infinito. Lacorrispondente espressione per una normalizzazione in un volume finito si ottienesostituendo∫1(2π) 3/2d 3 p −→ 1 √V∑⃗p. (2.62)Per le proprietà di ortonormalizzazione viste nel paragrafo precedente, si ha che lacondizione di normalizzazione della ψ(x), ossia∫d 3 x ψ † (x) ψ(x) = 1 , (2.63)implica che∑∫r[]d 3 p |b (r)⃗p|2 + |d (r)⃗p |2 = 1 . (2.64)Uno studio dettagliato delle proprietà del pacchetto d’onda (2.61) ne mette in evidenzadue proprietà importanti 2 :1. la presenza simultanea degli stati ad energia positiva e di quelli ad energia negativanello sviluppo (2.61) è indispensabile per realizzare, mediante la descrizione del pacchettod’onda, una buona localizzazione della particella (dimensione lineare del volumedi localizzazione ≪ lunghezza d’onda Compton della particella);2. l’evoluzione temporale del pacchetto d’onda mostra che l’interferenza tra stati adenergia positiva e stati ad energia negativa genera delle oscillazioni rapide che sisovrappongono al moto rettilineo uniforme di una particella libera (Zitterbewegung).2.6 Proiettori su stati ad energia positiva e su statiad energia negativaIn numerose applicazioni che comportano un calcolo spinoriale è utile definire deiproiettori su stati ad energia positiva e su quelli ad energia negativa.Definiamo come proiettore su stati ad energia positiva la matriceΛ + (⃗p) ≡ ∑u (r) (⃗p) u (r) (⃗p) , (2.65)ossia, più esplicitamente,r=1,2(Λ + (⃗p)) αβ≡ ∑r=1,2u (r)α(⃗p) u(r)βIl ruolo di Λ + (⃗p) come proiettore risulta dalle relazioni∑(Λ + (⃗p)) αβu (s)β(⃗p) = ∑u (r)α (⃗p) ∑ βr=1,2ββ(⃗p) . (2.66)u (r) (⃗p) u(s)β(⃗p) = u(s) (⃗p) (2.67)2 Per la dimostrazione si veda, per esempio, J.J. Sakurai: Advanced Quantum Mechanics.α28

eΛ + (⃗p) soddisfa anche la proprietà di idempotenzacaratteristica degli operatori di proiezione. Infatti,∑ ∑u (r)α (⃗p) u(r) ρ (⃗p) ∑ u ρ(s) (⃗p) u(s)β(⃗p) = ∑ρ r=1,2s=1,2r,sΛ + (⃗p) v (s) (⃗p) = 0 . (2.68)(Λ + (⃗p)) 2 = Λ + (⃗p) (2.69)= ∑r=1,2u (r)α (⃗p) ∑ ρu (r)α (⃗p) u(r)u (r)ρ(⃗p) u (s) (⃗p)ρu (s)β(⃗p)} {{ }δ rs(2.70)β (⃗p) .Analogamente, definiamo come proiettore sugli stati ad energia negativa la matriceΛ − (⃗p) ≡ − ∑v (r) (⃗p) v (r) (⃗p) , (2.71)r=1,2con le proprietà∑β(Λ − (⃗p)) αβv (s)β(⃗p) = v(s) (⃗p) , (2.72)αΛ − (⃗p) u (s) (⃗p) = 0 , (2.73)(Λ − (⃗p)) 2 = Λ − (⃗p) . (2.74)Un’espressione per Λ + (⃗p) utile nelle applicazioni può essere ottenuta dalla formulaΛ + (⃗p) =12 m (E + m)∑(/p + m) u (r) (0) u (r) (0) (/p + m) , (2.75)r=1,2} {{ }Λ + (0)ricavabile dalla definizione (2.65) e dalle formule (2.30). Λ + (0) può essere determinatotenendo presente che dalle equazioni (2.7) e (2.6) discende(γ 0 − 11 ) Λ + (0) = 0 , (2.76a)Λ + (0) ( γ 0 − 11 ) = 0 .(2.76b)Dalle (2.76) e dalla proprietàsi trova che(Λ + (0)) 2 = Λ + (0) (2.77)Λ + (0) = 1 + γ02. (2.78)Per la dimostrazione basta porre Λ + (0) = 1+γ02+ B e dimostrare che dalle equazioni(2.76) e (2.77) segue che B = 0. Quindi, dalle (2.75) e (2.78) si haΛ + (⃗p) =12 m (E + m)(/p + m)1 + γ0229(/p + m) . (2.79)

Tenendo conto delle relazionisi ottiene(/p + m) γ 0 (/p + m) = (/p + m) ( γ 0 p 0 − γ k p k + m ) γ 0= (/p + m) ( −/p + m + 2 γ 0 p 0)γ0= 2 E (/p + m) , (2.80)(/p + m) (/p + m) = (/p + m) (/p − m + 2 m)(/p + m) 1 + γ02Per la Λ + (⃗p) vale inoltre la relazione(Λ + (⃗p)) † = /p† + m2 mAnalogamente, per il proiettore Λ − (⃗p) si ottieneIl proiettore Λ − (⃗p) soddisfa alla relazioneInoltre, si ha= 2 m (/p + m) , (2.81)(/p + m) = (E + m) (/p + m) , (2.82)Λ + (⃗p) = /p + m2 m . (2.83)= γ0/p + m2 m γ0 = γ 0 Λ + (⃗p) γ 0 . (2.84)Λ − (⃗p) = −/p + m2 m . (2.85)(Λ − (⃗p)) † = γ 0 Λ − (⃗p) γ 0 . (2.86)Λ + (⃗p) + Λ − (⃗p) = 11 , (2.87)Λ + (⃗p) Λ − (⃗p) = Λ − (⃗p) Λ + (⃗p) = 0 . (2.88)L’utilità dei proiettori Λ ± deriva dal fatto che l’ampiezza di un processo nel qualeinterviene una particella di spin 1/2 ha la formaM = u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) , (2.89)dove Ω è una matrice 4 × 4 che in generale può essere scritta come combinazione linearedi matrici Γ, e quindi come combinazione lineare di prodotti di matrici γ. La probabilitàdi transizione del processo è proporzionale al modulo quadro di M. Per calcolare |M| 2 =MM ∗ , osserviamo innanzi tutto che[] ∗ [] ∗M ∗ = u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) = u (r)† (p f ) γ 0 Ω u (s) (p i )= u (s)† (p i ) Ω † γ 0† u (r) (p f ) = u (s) (p i ) ( γ 0 Ω † γ 0) u (r) (p f )= u (s) (p i ) Ω ′ u (r) (p f ) , (2.90)30

cone quindiΩ ′ = γ 0 Ω † γ 0 ,|M| 2 = u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) u (s) (p i ) Ω ′ u (r) (p f ) = u (s) (p i ) Ω ′ u (r) (p f ) u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) .(2.91)Se non si è interessati allo spin dello stato finale (cioè lo spin dello stato finale non vienemisurato), si deve sommare sugli stati finali di polarizzazione r:( )∑∑|M| 2 = u (s) (p i ) Ω ′ u (r) (p f ) u (r) (p f ) Ω u (s) (p i ) = u (s) (p i ) Ω ′ Λ + (p f ) Ω u (s) (p i ) ,r=1,2r=1,2(2.92)dove Λ + (p) è il proiettore sugli stati a energia positivaΛ + (p) ≡ ∑u (r) (p) u (r) (p) = /p + m2m . (2.93)r=1,2Se lo stato iniziale non è polarizzato, si deve mediare sugli stati iniziali di polarizzaziones:1 ∑|M| 2 = 1 ∑ 4∑ ( )(u22(s) (p i ) (Ω ′ Λ + (p f ) Ω) αβ u (s) (p i ) )αβr,s=1,2= 1 2= 1 2= 1 2s=1,2 αβ=14∑∑αβ=1 s=1,2(u (s) (p i ) ) ( )u (s) (pβ i ) (Ω ′ Λ + (p f ) Ω) αβα4∑(Λ + (p i )) βα(Ω ′ Λ + (p f ) Ω) αβαβ=14∑(Λ + (p i ) Ω ′ Λ + (p f ) Ω) βββ=1= 1 2 Tr[Λ +(p i ) Ω ′ Λ + (p f ) Ω] , (2.94)dove α e β sono indici di Dirac. Quest’ultima formula consente di ricondurre la valutazionedella somma e media di |M| 2 ad un calcolo di tracce di prodotti di matrici γ.Analogamente, l’ampiezza di un processo nel quale interviene una antiparticella dispin 1/2 ha la formaM = v (s) (p i ) Ω v (r) (p f ) , (2.95)per cui la corrispondente probabilità di transizione nel caso in cui lo stato iniziale non èpolarizzato e lo spin dello stato finale non viene misurato è proporzionale a1 ∑|M| 2 = 1 22 Tr[Λ −(p f ) Ω ′ Λ − (p i ) Ω] , (2.96)r,s=1,2dove Λ − (p) è il proiettore sugli stati a energia negativaΛ − (p) ≡ ∑v (r) (p) v (r) (p) = −/p + m2m . (2.97)r=1,231

Capitolo 3Operatori momenti angolari in teoriadi Dirac3.1 Operatore di spinRiprendiamo in considerazione la trasformazione dello spinore ψ(x) per una rotazioneinfinitesima di un angolo θ attorno all’asse x 3 :⎧⎪⎨⎪⎩x ′0 = x 0x ′1 = x 1 + θ x 2x ′2 = −θ x 1 + x 2x ′3 = x 3 =⇒⎧⎪⎨⎪⎩δx 0 = 0δx 1 = θ x 2δx 2 = −θ x 1δx 3 = 0(3.1)Combinando la legge di trasformazione per una rotazione infinitesima di un angolo θattorno all’asse x 3 (vedi la (1.96))ψ ′ (x ′ ) =(11 + i )2 θ Σ3 ψ(x) (3.2)con lo sviluppo della ψ ′ (x ′ ) in serie di Taylor (al prim’ordine in θ)ψ ′ (x ′ ) = ψ ′ (x) + δx 1 ∂ψ′ (x)+ δx 2 ∂ψ′ (x)( ∂x 1 ∂x )2= ψ ′ (x) + θ x 2 ∂∂x − ∂1 x1 ψ(x)∂x 2= ψ ′ (x) − i θ L 3 ψ(x) ,(3.3)si ottieneψ ′ (x) =(11 + i 2 θ Σ3 + i θ L 3 )ψ(x) , (3.4)dove L 3 è la terza componente del momento angolare orbitale L ⃗ = ⃗r × ⃗p = −i⃗r × ∇ ⃗(ricordiamo che stiamo utilizzando unità naturali). Identificando questa formula conl’espressione generale che fornisce la trasformazione della forma funzionale della ψ(x) perrotazioniψ ′ (x) = ( 1 + i θ J 3) ψ(x) , (3.5)32

si ottiene⃗ J = ⃗ L +12 ⃗ Σ . (3.6)L’operatore momento angolare orbitale ⃗ L trasforma la parte spaziale della ψ, mentrel’operatore ⃗ Σ/2 agisce sulle variabili di spin.L’operatore ⃗ Σ/2 deve quindi essere interpretato come operatore di spin per particelledi spin 1/2 ed è una generalizzazione dell’operatore di Pauli ⃗σ/2. In unità ordinarie⃗ J = ⃗ L +12 ⃗ Σ . (3.7)◮ Autovalori di Σ 3Nella rappresentazione di Dirac la matrice Σ ⃗ è data da( ) ⃗σ 0 ⃗Σ =0 ⃗σe quindi, nel sistema di riposo della particella, abbiamo⎧ ( )(1)( ) ( ) ( ) χσΣ 3 u (r) 3 (r)0 χ(m,⃗0) =0 σ 3 + (0) σ=3 χ (r)+ (0) ⎪⎨,+ (0)= (0)(2)00 ⎪⎩ −χ + (0).0⎧ ( ) 0( ) ( ) ( )σΣ 3 v (r) 30 00⎪⎨ϕ (1) ,(m,⃗0) =0 σ 3 ϕ (r) =− (0) σ 3 ϕ (r)− (0)= ( )− (0)0 ⎪⎩−ϕ (2) .− (0)(3.8)(3.9a)(3.9b)PerciòΣ 3 u (1) (m,⃗0) = +u (1) (m,⃗0)Σ 3 u (2) (m,⃗0) = −u (2) (m,⃗0)Σ 3 v (1) (m,⃗0) = +v (1) (m,⃗0)Σ 3 v (2) (m,⃗0) = −v (2) (m,⃗0)(3.10a)(3.10b)(3.10c)(3.10d)Quindi le quattro funzioni ortonormali u (r) (m,⃗0) e v (r) (m,⃗0), con r = 1, 2, sonoautofunzioni dell’operatore energia i∂/∂t e dell’operatore Σ 3 (con autovalori ±p 0 perl’energia, ±1/2 per la proiezione di spin).◮Commutatori dell’operatore di spinDimostriamo che le componenti di ⃗ Σ soddisfano le proprietà generali di commutazionedei momenti angolari[Σ j , Σ k] = 2 i ɛ jkl Σ l , (3.11)33

Per verificare la (3.11) si può procedere nel modo seguente: per j≠k si ha[Σ j , Σ k] = [ γ 0 γ j γ 5 , γ 0 γ k γ 5] = − [ γ j , γ k] = −2 γ j γ k .Moltiplicando la definizione (1.94) delle matrici Σ jper ɛ jkl e sommando su j si ottieneɛ jkl Σ j = i 2 ɛjkl ɛ jmn γ m γ n = i 2per cuiΣ j = 1 2 ɛjmn σ mn = i 2 ɛjmn γ m γ n ,(δ km δ ln − δ kn δ lm) γ m γ n = i 2γ j γ k = −i ɛ jkl Σ le si ottiene la regola di commutazione (3.11).(γ k γ l − γ l γ k) = i γ k γ l ,3.2 Conservazione del momento angolare totaleVogliamo ora determinare quali siano le leggi di conservazione dei momenti angolari inteoria di Dirac.Ricordiamo che in rappresentazione di Heisenberg un generico operatore Ω (H) soddisfaall’equazionedΩ (H)dt= i [ H , Ω (H)] + ∂Ω(H)∂t. (3.12)Ω (H) è deducibile dall’operatore indipendente dal tempo Ω (S) in rappresentazione diSchrödinger mediante la relazioneΩ (H) (t) = e i H t Ω (S) e −i H t . (3.13)Come abbiamo visto nel Capitolo 1, in teoria di Dirac l’Hamiltoniana libera èH = ⃗α ·⃗p + β m . (3.14)◮Momento angolare orbitale ⃗ LL’evoluzione temporale di L j è data dadL jdt= i [ H , L j] = i [ ⃗α ·⃗p , L j] = i α k [ p k , L j]= ɛ jkl α k p l = (⃗α ×⃗p) j ,(3.15)per cuid ⃗ Ldt= ⃗α ×⃗p . (3.16)Quindi, a differenza di quanto avviene nella teoria di Schrödinger, per una particella diDirac libera ⃗ L non è una costante del moto.34

◮ Momento angolare di spin ⃗ Σ/2L’evoluzione temporale di Σ j è data dadΣ jdtdove si è tenuto conto che= i [ ⃗α ·⃗p + β m , Σ j] = i [ ⃗α ·⃗p , Σ j] , (3.17)[β , Σ ⃗ ]= 0. Per il calcolo del commutatore [⃗α ·⃗p , Σ j ] è utileusare la proprietà ⃗ Σ = −⃗α γ 5 e le proprietà di anticommutazione (3.11):i [ α k p k , Σ j] = i p k [ −Σ k γ 5 , Σ j] = −i p k [ Σ k , Σ j] γ 5 = 2 p k ɛ kjl Σ l γ 5= − 2 ɛ kjl p k α l = −2 (⃗α ×⃗p) j .(3.18)Quindi si had ⃗ Σdt= −2 ⃗α ×⃗p (3.19)e ne segue che neppure l’operatore ⃗ Σ è una costante del moto.Se però consideriamo l’operatore ⃗ Σ ·⃗p, tenendo conto che [H , ⃗p] = 0, troviamod( ) [⃗Σ ·⃗p = i H , Σdt⃗ ] [·⃗p = i H , Σ ⃗ ]·⃗p . (3.20)[Ma, per la dimostrazione precedente, H , Σ ⃗ ]= 2 i ⃗α ×⃗p e quindid( )⃗Σ ·⃗p = 0 . (3.21)dtOssia l’operatore elicitàè una costante del moto.ŝ ≡ ⃗ Σ ·⃗p|⃗p|(3.22)◮Momento angolare totale ⃗ JDalle equazioni (3.16) e (3.19) si ottiene infined ⃗ Jdt = d (⃗L + 1 )Σdt 2 ⃗ = 0 , (3.23)ossia il momento angolare totale ⃗ J è una costante del moto.35

Capitolo 4Interazione elettrone–campoelettromagnetico4.1 Qualche richiamo sul campo elettromagneticoIl campo elettrico ⃗ E e il campo magnetico ⃗ B possono essere espressi mediante il quadripotenzialeA µ nel modo seguente⃗E = − ∂ A ⃗∂t − ∇A ⃗ 0 ,⃗B = ∇ ⃗ × A ⃗ .Il tensore (antisimmetrico) del campo elettromagnetico F µν è definito come(4.1a)(4.1b)e quindiF µν ≡ ∂ µ A ν − ∂ ν A µ , (4.2)⎛⎞0 −E 1 −E 2 −E 3F µν = ⎜E 1 0 −B 3 B 2⎟⎝E 2 B 3 0 −B 1 ⎠ . (4.3)E 3 −B 2 B 1 0Il quadri-potenziale A µ non è unicamente definito a partire dai campi elettrico E ⃗e magnetico B ⃗ (ossia da F µν ); esso è definito solo a meno del quadri-gradiente di unafunzione arbitraria. Infatti, F µν resta invariante per la trasformazioneA µ (x) → A µ (x) + ∂ µ ϕ(x) . (4.4)Questa trasformazione è chiamata trasformazione di gauge su A µ (x).Le equazioni di Maxwell si possono scrivere in forma quadri-vettoriale:⃗∇ · ⃗E⎫= ρ , ⎬⃗∇ × B ⃗ − ∂ E ⃗∂t = =⇒ ∂ µ F µν = j ν , (4.5a)⃗j , ⎭⃗∇ · ⃗B⎫= 0 , ⎬⃗∇ × E ⃗ + ∂ B ⃗∂t = 0 , =⇒ ∂ ρ F µν + ∂ µ F νρ + ∂ ν F ρµ = 0 . (4.5b)⎭36

Nella scrittura di queste equazioni abbiamo fatto uso delle unità (razionalizzate) diHeavyside-Lorentz; in queste unità si haα =e24πc = e24πNotiamo due importanti proprietà:in unità naturali . (4.6)1. La natura antisimmetrica di F µν implica che la quadri-corrente j ν è conservata: infatti,dalla (4.5a) si ottiene∂ ν j ν = ∂ ν ∂ µ F µν = 0 . (4.7)2. In virtù della definizione (4.2), F µν ≡ ∂ µ A ν −∂ ν A µ , l’equazione (4.5b) è identicamentesoddisfatta.Espressa mediante il quadri-potenziale A µ , l’equazione (4.5a) diventa□A ν − ∂ ν (∂ µ A µ ) = j ν . (4.8)4.2 Interazione elettrone–campo elettromagneticoClassicamente, per passare dalla trattazione di un elettrone libero a quella di un elettronein interazione con un campo elettromagnetico si applica la cosiddetta prescrizione diaccoppiamento minimo, ossiap µ → p µ − e c A µ , (4.9)dove e è la carica elettrica dell’elettrone. La regola quantistica corrispondente èossia (in unità naturali)Per l’operatore di Dirac i/∂ − m si haˆp µ → ˆp µ − e c A µ , (4.10)∂ µ → ∂ µ + i e A µ . (4.11)iγ µ ∂ µ − m → iγ µ ∂ µ − e γ µ A µ − m (4.12)e quindi l’equazione di Dirac in presenza di un campo elettromagnetico esterno diventa(i /∂ − e /A − m) ψ(x) = 0 . (4.13)4.3 Invarianza di gaugeData una soluzione ψ(x) dell’equazione di Dirac, anche una generica ψ ′ (x), ottenuta dallaψ(x) per una ridefinizione della fase, ossiaψ ′ (x) = e iα ψ(x) (4.14)37

è soluzione della stessa equazione, se α è una costante. La trasformazione (4.14) vienedetta trasformazione di gauge globale della ψ(x). Nell’ambito di una teoria Lagrangianadi campo si dimostra che l’invarianza per trasformazione di gauge globale di ψ comporta,in base al teorema di Noether, la conservazione della corrente j µ = ψγ µ ψ.Invece l’equazione di Dirac libera non è invariante per la trasformazione di gaugelocaleψ(x) −→ ψ ′ (x) = e iα(x) ψ(x) . (4.15)Infatti, per questa trasformazione di gauge locale∂ µ ψ(x) −→ ∂ µ(e iα(x) ψ(x) ) = ie iα(x) ψ(x) ∂ µ α(x) + e iα(x) ∂ µ ψ(x) , (4.16)e l’equazione di Dirac libera diventa[iγ µ ∂ µ − γ µ ∂ µ α(x) − m] ψ(x) = 0 . (4.17)Invece, l’equazione (4.13) con l’accoppiamento γ µ A µ è invariante per trasformazioni digauge locali se il quadri-potenziale A µ si trasforma come nella (4.4), con ϕ(x) = −α(x)/e:A µ −→ A ′ µ = A µ − 1 e ∂ µα(x) . (4.18)In tal caso, la trasformazione di gauge su ψ(x) e quella su A µ (x) si compensano in mododa garantire l’invarianza dell’equazione di Dirac (4.13).Notare che questa proprietà dipende in modo cruciale dalla prescrizione di accoppiamentominimo, che, come si è visto, consiste nel sostituire la derivata ∂ µ con la cosiddettaderivata covariante D µD µ = ∂ µ + ieA µ . (4.19)Per trasformazioni di gaugeψ(x) −→ e iα(x) ψ(x) ,A µ (x) −→ A µ (x) − 1 e ∂ µα(x) ,(4.20)abbiamo cheD µ ψ(x) −→ e iα(x) D µ ψ(x) . (4.21)La proprietà di invarianza di gauge gioca un ruolo importante non solo nell’ambitodell’elettrodinamica quantistica, ma (in versione generalizzata) nelle moderne teoriedell’interazione elettrodebole e della cromodinamica quantistica.4.4 Hamiltoniana di interazione elettrone–campoelettromagneticoIn questo e nei paragrafi successivi passiamo ad esaminare in dettaglio alcuni dei terminicaratteristici di accoppiamento dell’elettrone con il campo elettromagnetico.Se moltiplichiamo la (4.13)(iγ 0 ∂ 0 + iγ k ∂ k − e γ 0 A 0 + e ⃗γ · ⃗A)− m ψ(x) = 0 (4.22)38

a sinistra per γ 0 , otteniamo(i∂ 0 − ⃗α ·⃗p − e A 0 + e ⃗α · ⃗A)− β m ψ(x) = 0 . (4.23)In forma hamiltoniana si ha quindiconi ∂ψ∂t = (H 0 + H int ) ψ , (4.24)H 0 = ⃗α ·⃗p + β m , (4.25)H int = e A 0 − e ⃗α · ⃗A . (4.26)Ricordiamo che classicamente l’hamiltoniana di interazione è data da e A 0 −e ⃗v· ⃗A. Quindil’operatore ⃗α risulta essere il corrispettivo del vettore classico velocità ⃗v.Calcoliamo le derivate temporali di ⃗r e ⃗π = ⃗p − e ⃗ A:Utilizzando la formulasi ottiened⃗r= i [H , ⃗r] = i [⃗α ·⃗p , ⃗r] = ⃗α , (4.27)dtd⃗πdt = i [H , ⃗π] − e ∂ A ⃗∂t[= i ⃗α ·⃗p + e A 0 − e ⃗α · ⃗A , ⃗p − e A ⃗ ]− e ∂ A ⃗∂t{ [= i −e ⃗α ·⃗p , A ⃗ ][+ e [A 0 , ⃗p] − e ⃗α · ⃗A]}, ⃗p − e ∂ A ⃗∂t . (4.28)[f (⃗r) , ⃗p] = i ⃗ ∇f , (4.29)[A 0 , ⃗p] = i ∇A ⃗ 0 ,[⃗α ·⃗p , A ⃗ ] [+ ⃗α · ⃗A] ( ), ⃗p = i ⃗α × ⃗∇ × A ⃗,(4.30)per cuid⃗π( )dt = e ⃗α × ⃗∇ × A ⃗ − e ∇A ⃗ 0 − e ∂ A ⃗∂t = e ⃗α × B ⃗ + e E ⃗ . (4.31)Il secondo membro di questa equazione rappresenta la forza di Lorentz.4.5 Interazione elettromagnetica nel limite nonrelativisticoPer stati stazionari l’equazione (4.24) diventa[ (⃗α · ⃗p − e A ⃗ ) ]+ β m + e A 0 ψ = E ψ (4.32)39

e quindi, scrivendoψ(x) =nella rappresentazione di Dirac si ottiene( ) ( 0 ⃗σ· ⃗p − e A⃗σ 0⃗ ) ( ) [χ(x) (E=) ( )− e A0 11 0ϕ(x)0 11ossia⎧⎨⎩( )χ(x), (4.33)ϕ(x)(11 0− m0 −11(⃗σ · ⃗p − e A ⃗ )ϕ(x) = ( E − e A 0 − m ) χ(x) ,(⃗σ · ⃗p − e A ⃗ )χ(x) = ( E − e A 0 + m ) ϕ(x) .)] ( )χ(x), (4.34)ϕ(x)(4.35)Dalla seconda di queste equazioni, ponendo ⃗π ≡ ⃗p − e A, ⃗ si ottiene1(ϕ(x) =E − e A 0 + m ⃗σ · ⃗p − e A ⃗ )1χ(x) ≡⃗σ · ⃗π χ(x) . (4.36)E − e A 0 + mSostituendo nella prima si ottiene l’equazione per χ(x):⃗σ · ⃗π1E − e A 0 + m ⃗σ · ⃗π χ(x) = ( E − e A 0 − m ) χ(x) . (4.37)Studiamo ora il caso di un elettrone in regime non-relativistico (v/c ≪ 1) in unaregione spaziale in cui valga la condizione E ≃ m, la quale implica in particolare che∣ e A0 ∣ ∣ ≪ m . (4.38)PoniamoE (nr) ≡ E − m ≪ m , (4.39)ed approssimiamo la frazione dell’eq.(4.37) nel modo seguente1E − e A 0 + m = 12 m + E (nr) − e A 0= 12 m(1 − E(nr) − e A 0All’ordine zero in (E (nr) − eA 0 )/2m la (4.37) diventa2 m)+ . . . .(4.40)12 m (⃗σ · ⃗π)2 χ(x) = ( E (nr) − e A 0) χ(x) . (4.41)Valutiamo (⃗σ · ⃗π) 2 tenendo conto che per le matrici di Pauli si ha[σ j , σ k] = 2 i ɛ jkl σ l{σ j , σ k} = 2δ jk 11=⇒ σ j σ k = δ jk 11 + i ɛ jkl σ l . (4.42)Segue quindi che(⃗σ · ⃗π) 2 = σ j σ k π j π k = ( δ jk + i ɛ jkl σ l) π j π k= ⃗π 2 + 1 2 i ɛjkl σ l [ π j , π k] . (4.43)40

Da[π j , π k] = [ p j − eA j , p k − eA k] = − e [ A j , p k] − e [ p j , A k]( )∂Aj= − i e∂x − ∂Akk ∂x j(4.44)otteniamo(⃗σ · ⃗π) 2 = ⃗π 2 + 1 ( )∂A2 e ɛjkl σ l j∂x − ∂Akk ∂x( )j= ⃗π 2 − e ⃗σ · ⃗∇ × A ⃗(= ⃗p − e A) ⃗ 2− e ⃗σ · B ⃗ . (4.45)L’equazione (4.41) diventa[ 1(⃗p − e A2 m⃗ ) ]2 e −2 m ⃗σ · ⃗B + e A 0 χ(x) = E (nr) χ(x) . (4.46)(I termini e A 0 1e ⃗p − e ⃗ 2A)2 msono quelli che vengono comunemente trovati in teoriaquantistica non-relativistica per l’elettrone in interazione con un campo elettromagnetico,quando nell’equazione di Schrödinger si effettua la sostituzione di accoppiamento minimoIl termine− e ⃗σ · ⃗B2 mp µ −→ p µ − e A µ . (4.47)(− e )2 m c ⃗σ · ⃗B in unità ordinarie(4.48)descrive l’interazione della particella con il campo magnetico esterno tramite l’operatoredi spin. Se riscriviamo il termine (4.48) come−⃗µ · ⃗B , (4.49)possiamo identificare l’operatore ⃗µ (momento magnetico dell’elettrone) come⃗µ ≡ e ( )2 m c ⃗σ ≡ 2 e 12 m c 2 ⃗σ e= g ⃗s , (4.50)2 m ccon⃗s = 1 ⃗σ ,2spin , (4.51)g = 2 , rapporto giromagnetico . (4.52)L’unità di misura del momento magnetico è il magnetone di Bohr µ B dato daµ B ≡ |e| 2 m c = 0.579 × 10−14 MeV gauss −1 . (4.53)41

L’accoppiamento −⃗µ· ⃗B che in teoria di Dirac è contenuto nella H int di eq.(4.26), in teoriadi Schrödinger deve essere aggiunto tramite il formalismo di spin di Pauli. Il valore delrapporto giromagnetico g = 2, trovato nell’ambito della teoria di Dirac, è molto prossimoal valore sperimentale. Correzioni al valore g = 2 sono valutabili nella ElettrodinamicaQuantistica (QED); all’ordine α si ha[g = 2 1 + α ]. (4.54)2πQuesti effetti sono chiamati “correzioni radiative”.Con le approssimazioni (4.38), (4.39) l’equazione (4.36) diventa(⃗σ · ⃗p − e ⃗ )Aϕ(x) ≃χ(x) . (4.55)2 m4.6 Approssimazione non-relativistica in un campoelettrostaticoConsideriamo l’equazione (4.37) con lo sviluppo (4.40) nel caso A ⃗ = 0:[ () ]12m ⃗σ ·⃗p 1 − E(nr) − e A 0⃗σ ·⃗p + e A 0 χ(x) = E (nr) χ(x) . (4.56)2 mNotiamo che lo sviluppo (4.40) è da interpretarsi come sviluppo in serie nel parametrov 2 /c 2 . Infatti, E (nr) − e A 0 ≃ mv 2 /2, ossia( )E (nr) − e A 0 v2= O . (4.57)m c 2 c 2Se vogliamo studiare termini di accoppiamento sino all’ordine (v 2 /c 2 ) 2 , occorre chel’equazione sia riscritta mediante uno spinore a due componenti che, includendo terminidi ordine v 2 /c 2 , sia normalizzato a uno. Osserviamo ( che per∫ipotesi la funzione d’ondaχrigorosamente normalizzata a uno è la ψ = , ossia dϕ)3 x ψ † ψ = 1. Da questacondizione si ottiene∫1 =d 3 x ( χ † χ + ϕ † ϕ ) ∫≃d 3 xχ † (1 + ⃗p24 m 2 )χ . (4.58)Nell’ultimo passaggio è stata utilizzata la (4.55), che per ⃗ A = 0 diventaϕ(x) ≃⃗σ ·⃗p2 m χ(x) =⇒ ϕ(x) ∼ v χ(x) . (4.59)cQuindi, una funzione d’onda spinoriale a due componenti correttamente normalizzata auno, a meno di termini di ordine superiore a v 2 /c 2 non è la χ, ma la funzione spinorialeX = Ω χ , con Ω = 1 + ⃗p28 m 2 . (4.60)42

Infatti∫∫d 3 x X † X =( ) ( (v ) )d 3 x χ † 1 + ⃗p22 2χ = 1 + O . (4.61)4 m 2 c 2Moltiplicando la (4.56) a sinistra per Ω −1 e sostituendo χ = Ω −1 X si ottiene[ () ]1Ω −1 2m ⃗σ ·⃗p 1 − E(nr) − e A 0⃗σ ·⃗p + e A 0 Ω −1 X(x) = E (nr) Ω −2 X(x) . (4.62)2 mTenuto conto cheΩ −1 ≃ 1 − ⃗p28 m 2 , (4.63)si ottiene) [ () ] )(1 − ⃗p2 18 m 2 2m ⃗σ ·⃗p 1 − E(nr) − e A 0⃗σ ·⃗p + e A(1 0 − ⃗p2 X(x)2 m8 m 2= E (nr) (1 − ⃗p24 m 2 )[ (1 − ⃗p28 m 2 ) ( (⃗σ ·⃗p) 22 m + e A0 ) (1 − ⃗p28 m 2 )− ⃗σ ·⃗p E(nr) − e A 04 m 2 ⃗σ ·⃗pX(x) ,]X(x)( )= E (nr) 1 − ⃗p2 X(x) ,4 m 2[ ⃗p2{2 m + e A0 − (⃗p2 ) 2 ⃗p2}]8 m − 3 8 m , e 2 A0 − ⃗σ ·⃗p E(nr) − e A 0⃗σ ·⃗p X(x)4 m 2 ( )= E (nr) 1 − ⃗p2 X(x) .4 m 2Se scriviamo E (nr) ⃗p 2 come { E (nr) , ⃗p 2} /2, otteniamo[ ⃗p22 m + e A0 − (⃗p2 ) 28 m + 1 ({⃗p 2 , E (nr) − e A 0} − 2 ⃗σ ·⃗p ( E (nr) − e A 0) ⃗σ ·⃗p )] X(x)3 8 m 2= E (nr) X(x) .(4.64)(4.65)Utilizziamo ora l’identità {A 2 , B} − 2 A B A = [A , [A , B]] per ottenere{⃗p 2 , E (nr) − e A 0} − 2 ⃗σ ·⃗p ( E (nr) − e A 0) ⃗σ ·⃗p = [ ⃗σ ·⃗p , [ ⃗σ ·⃗p , E (nr) − e A 0]]= [ ⃗σ ·⃗p , [ ⃗σ ·⃗p , −e A 0]] .(4.66)Abbiamo inoltre[ ] ⃗σ ·⃗p , −e A0= − i e ⃗σ · ⃗E ,[⃗σ ·⃗p , ⃗σ · ⃗E]= σ j σ [ k p j , E k] + [ σ j , σ k] E k p j= ( δ jk + i ɛ jkl σ l) [ p j , E k] + 2 i ɛ jkl σ l E k p j= − i ∇ ⃗ · ⃗E( )− 2 i ⃗σ · ⃗E ×⃗p .43

Notare che il termine ɛ jkl σ [ l p j , E k] , con E k = − ∂A0 , è identicamente nullo.∂xk Sostituendo questi risultati nella (4.65) ricaviamo l’equazione[ ⃗p22 m + e A0 − (⃗p2 ) 28 m 3 c − e ( )2 4 m 2 c ⃗σ · ⃗E ×⃗p −e ]2∇ 2 8 m 2 c ⃗ · ⃗E X(x) = E (nr) X(x) ,2dove abbiamo ripristinato le unità ordinarie.I termini di questa equazione hanno il seguente significato:1. e A 0 energia elettrostatica.(4.67)2.⃗p 22 m − (⃗p2 ) 28 m 3 c 2 termine cinetico con correzione relativistica:√⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 − m c 2 = m c 2 (1 + ⃗p2 c 2m 2 c 4 ) 1/2− m c 2()≃ m c 2 1 + ⃗p22 m 2 c − (⃗p2 ) 2− m c 22 8 m 4 c 4≃ ⃗p22 m − (⃗p2 ) 28 m 3 c 2 . (4.68)3. − e ⃗σ·( )⃗E ×⃗p termine di interazione spin-orbita (termine di Thomas). Questo4 m 2 c 2termine descrive l’interazione tra il campo magnetico generato dal moto dell’elettrone⃗B = ⃗ E × ⃗pm ce il momento di dipolo magnetico dell’elettrone(4.69)⃗µ = e ⃗σ , (4.70)2 m ccon un fattore di riduzione 1/2 dovuto alla precessione dello spin (Thomas).Nel caso di un campo elettrico a simmetria sferica⃗E = − ⃗r dA 0r dr ,( )⃗σ · ⃗E ×⃗p = − 1 dA 0r dr ⃗σ · (⃗r ×⃗p) = − 2 = − 2 1 dA 0 r dr ⃗s · ⃗l ,1rdA 0dr( ) 12 ⃗σ · (⃗r ×⃗p)e quindi−e ( )4 m 2 c ⃗σ · ⃗Ee 1 dA 0×⃗p =2 2 m 2 c 2 r dr ⃗s · ⃗l . (4.71)Questo è l’accoppiamento di spin-orbita, che è importante in fisica atomica.44

4. − e 28 m 2 c 2 ⃗ ∇ · ⃗E termine di Darwin. Questo termine è da mettersi in relazionecon la variazione dell’energia elettrostatica dovuta alle fluttuazioni della posizionedell’elettrone su dimensioni lineari dell’ordine della lunghezza d’onda Compton(Zitterbewegung):A 0 (⃗r + δ⃗r) = A 0 (⃗r) + δ⃗r · ⃗∇A 0 + 1 2 δxi δx j ∂ 2 A 0∂x i ∂x , j〈A 0 (⃗r + δ⃗r) 〉 = A 0 (⃗r) + 1 ∂ 2 A 0 〈δx i δx j〉 ,2 ∂x i ∂x j〈δx i δx j〉 = 1 〈(δr)2 〉 δ ij ∼ 1 ( ) 2 δ ij ,33 m cδ(eA 0 ) ∼e 26 m 2 c 2 ∆A0 = − e 2∇6 m 2 c ⃗ · ⃗E .245

Capitolo 5Elettrone in un campo a simmetriasferica5.1 Costanti del motoConsideriamo l’hamiltonianaH = ⃗α ·⃗p + β m + V (r) , (5.1)relativa ad un elettrone in un generico campo a simmetria sferica.Discutiamo le costanti del moto. Dal momento che sia ⃗ L che Σ ⃗ commutano con V (r),anche in questo caso, come nel moto libero, ⃗ J = ⃗ L + Σ/2 ⃗ è una costante del moto.Cerchiamo ora un’altra costante del moto. In una teoria non relativistica vi sarebbela proiezione dello spin su ⃗ J: ⃗σ · ⃗J. Infatti, ⃗σ · ⃗J può essere riscritto come⃗σ · ⃗J = 1 ()2 2⃗ J − ⃗3 L +4 2 ; (5.2)tutti e due i momenti angolari sono costanti del moto e quindi lo è anche ⃗σ · ⃗J. Lageneralizzazione alla teoria di Dirac di ⃗σ ·⃗J dovrebbe essere Σ·⃗J, ⃗ oppure βΣ·⃗J ⃗ (che ha lostesso limite non-relativistico di Σ ⃗ · ⃗J, ma commutatori più semplici). Si può dimostrareche [H , β Σ ⃗ · ⃗J]= 1 [H , β] , (5.3)2e quindi una costante del moto èK ≡ β ⃗ Σ · ⃗J − 1 2 β . (5.4)Infatti, poichè V (r) è un potenziale centrale, il momento angolare totale ⃗ J è conservato([H, ⃗ J] = 0) e si ha[H, K] = ∑ l[ ] H, βΣlJ l − [H, β]2= ∑ klk[α k , βΣ l] p k J l + m ∑ l[ ] β, βΣlJ l − ∑ [α k , β ] p k . (5.5)246

Poiché Σ k = −γ 0 γ k γ 5 , si ottiene[H, K] = − ∑ kl[γ 0 γ k , γ l γ 5] p k J l + m ∑ } {{ }2g kl γ 0 γ 5l[γ 0 , γ l γ 5] J l − ∑ [α k , β ]} {{ } 2 } {{ }k0−2γ k= 2γ 0 γ 5 ⃗p · ⃗J + ⃗γ ·⃗p . (5.6)Esprimendo ora il momento angolare totale come⃗J = ⃗ L + 2 ⃗ Σ (5.7)p ke tenendo conto che ⃗p · ⃗L = 0, si ottiene[H, K] = γ 0 γ 5 ⃗ Σ ·⃗p + ⃗γ ·⃗p = −(−γ 0 γ 5 γ 0 ⃗γγ 5 + ⃗γ) ·⃗p = 0 . (5.8)K può anche essere scritto comeK = β ⃗ Σ ·( )⃗1 L +2 Σ ⃗ − 1 2 β= β Σ ⃗ · ⃗L + 1 2 β }{{} Σ ⃗ 2 − 1 2 β3( )= β ⃗Σ · ⃗ L + .(5.9)Si ha inoltre che ⃗ J e K commutano tra loro:[⃗J , K]= 0 . (5.10)Quindi per un elettrone in un campo centrale gli operatori H, ⃗ J 2 , J 3 , K ammettono uninsieme comune di autofunzioni che scriviamo come⎧⎪⎨⎪⎩H ψ = E ψ ,⃗ J2ψ = 2 j (j + 1) ψ ,J 3 ψ = j 3 ψ ,K ψ = − κ ψ .(5.11)Esiste una semplice relazione tra K 2 e ⃗ J 2 . Per derivarla cominciamo a calcolare K 2 :( ) ( ) ( ) ( )K 2 = β ⃗Σ · ⃗ L + β ⃗Σ · ⃗ L + = ⃗Σ · ⃗ L + ⃗Σ · ⃗ L + .Dalla relazione ( ) ( )⃗Σ · ⃗a ⃗Σ ·⃗ b = ⃗a ·⃗b + i Σ ⃗ ·(⃗a × ⃗ )b(5.12)discende ( ) ( )⃗Σ · ⃗ L ⃗Σ · ⃗ L = ⃗ L 2 + i Σ ⃗ ( )· ⃗L × ⃗ L = ⃗ L 2 − Σ ⃗ · ⃗L ,} {{ }47i ⃗ L

e quindiInoltre si haQuindiK 2 = ⃗ L 2 − ⃗ Σ · ⃗L + 2 ⃗ Σ · ⃗L + 2 = ⃗ L 2 + ⃗ Σ · ⃗L + 2 . (5.13)( ) 22⃗ J = ⃗1 L +2 Σ ⃗ = ⃗ L 2 + Σ ⃗ · ⃗L + 3 4 2 . (5.14)K 2 = ⃗ J 2 + 1 4 2 . (5.15)Questa relazione operatoriale comporta la seguente relazione tra autovalori: 2 κ 2 = 2 j (j + 1) + 1 4 2 = 2 (j + 1 2) 2,per cui(κ = ± j + 1 )2. (5.16)5.2 Riduzione a spinori a due componentiNella rappresentazione di Dirac K può essere scritto come( ) ( ) ( )K = β ⃗Σ · ⃗ 11 0 ⃗σ · ⃗ L + 0L + =0 −11 0 ⃗σ · ⃗L + ( )⃗σ · ⃗ L + 0=0 −⃗σ · ⃗L .− (5.17)Dall’equazione agli autovalori Kψ = −κψ, scrivendo(χψ = , (5.18)ϕ)si ha( ( ) ( ⃗σ · ⃗ L + 0 χ χ0 −⃗σ · ⃗L = − κ ,− )ϕϕ)⎧⎨⎩(⃗σ · ⃗L)+ χ = − κ χ ,(⃗σ · ⃗L)+ ϕ = κ ϕ ,{ ⃗σ · ⃗ L χ = − (1 + κ) χ ,⃗σ · ⃗L ϕ = − (1 − κ) ϕ .(5.19)48

Osserviamo ora che χ e ϕ, essendo autofunzioni di ⃗ J 2 e di ⃗σ · ⃗L, sono anche autofunzionidi ⃗ L 2 . Infatti, gli operatori ⃗ J 2 e ⃗ L 2 , quando operano su χ e ϕ, sono legati dalla relazione( ) 22⃗ J = ⃗1 L +2 ⃗σ = ⃗ L 2 + ⃗σ · ⃗L + 3 4 2 ,ossiaDa questa relazione e dalle (5.19) si ricava()2 2⃗ L χ = ⃗ J − ⃗σ · ⃗3 L −4 2= 2 [j (j + 1) + κ + 1 4⃗ L2= ⃗ J2− ⃗σ · ⃗ L −34 2 , (5.20)]χχ =[ 2 j (j + 1) + 2 (1 + κ) − 3 4 2 ]χ≡ 2 l χ (l χ + 1) χ , (5.21)⃗ L2ϕ =(⃗ J2− ⃗σ · ⃗ L −34 2 )= 2 [j (j + 1) − κ + 1 4]ϕϕ =[ 2 j (j + 1) + 2 (1 − κ) − 3 4 2 ]ϕ≡ 2 l ϕ (l ϕ + 1) ϕ . (5.22)Quindi le funzioni d’onda spinoriali a due componenti χ e ϕ sono autofunzioni di ⃗ L 2 ma,a fissi j e κ, hanno due diversi valori di l: l χ ≠ l ϕ . Questo spiega perchè lo spinore aquattro componenti ψ non può essere autofunzione di ⃗ L 2 . Dalle (5.21), (5.22) si trova⎧⎨ l χ (l χ + 1) = j (j + 1) + κ + 1 , 4(5.23)⎩l ϕ (l ϕ + 1) = j (j + 1) − κ + 1 . 4Utilizzando la (5.16) si haκ = +(j + 1 )2=⇒{lχ = j + 1 2 ,l ϕ = j − 1 2 , (5.24)(κ = − j + 1 )2=⇒{lχ = j − 1 2 ,l ϕ = j + 1 2 , (5.25)Da questo risultato si vede in particolare che, a κ fisso, χ e ϕ hanno parità opposta.5.3 Separazione delle variabiliDalle proprietà viste nel paragrafo precedente segue che, per risolvere l’equazione di Diracper stati stazionari nel caso di un potenziale centrale,[c ⃗α ·⃗p + β m c 2 + V (r) ] ψ(x) = E ψ(x) , (5.26)49

conviene innanzi tutto farne una riduzione a spinori a due componenti, ossia scrivere( ) χ(x)ψ(x) = , (5.27)ϕ(x)per ottenere, con passaggi analoghi a quelli del paragrafo 4.5, in rappresentazione di Dirac{ ( )c ⃗σ ·⃗p ϕ(x) = E − V − m c2χ(x) ,c ⃗σ ·⃗p χ(x) = ( E − V + m c 2) (5.28)ϕ(x) .È conveniente scrivere la χ(x) e la ϕ(x) mediante le seguenti fattorizzazioni:{χ = g(r) Y jlχj 3,ϕ = i f(r) Y jlϕj 3,(5.29)dove le funzioni Y jlj 3sono le funzioni ortonormali di angolo-spin (autofunzioni di ⃗ J 2 , J 3 ,2⃗ L , S ⃗ 2 )Y jlj 3= ∑〈l m l s m s |j j 3 〉 Y l,ml χ s,ms . (5.30)m l ,m sQuando sostituiamo le (5.29) nelle (5.28) dobbiamo saper valutare il risultato dell’applicazionedell’operatore ⃗σ ·⃗p sugli spinori χ e ϕ. Riscriviamo allora quest’operatore nelmodo seguente:⃗σ ·⃗p =⃗σ ·⃗rr 2 (⃗σ ·⃗r) (⃗σ ·⃗p) ,(⃗σ ·⃗r) (⃗σ ·⃗p) = ⃗r ·⃗p + i ⃗σ · (⃗r ×⃗p) = −i r ∂ ∂r + i ⃗σ · ⃗L ,(⃗σ ·⃗r⃗σ ·⃗p = −i r ∂ )+ i ⃗σ · ⃗L . (5.31)r 2 ∂rSi ottiene quindi, per esempio,(⃗σ ·⃗r⃗σ ·⃗p ϕ = i − r ∂ r 2 ∂r(⃗σ ·⃗r df= Y jlϕjr 3dr)+ ⃗σ · ⃗L+(1 − κ)r(⃗σ ·⃗rϕ = i − r ∂ )r 2 ∂r − (1 − κ) ϕ)f . (5.32)Notiamo ora che il risultato dell’applicazione dell’operatore ⃗σ ·⃗r (invariante per rotazionedi spazio, ma pseudoscalare per riflessione spaziale) sulla funzione Y jlϕj 3(autofunzionedi ⃗ J 2 , J 3 , ⃗ L 2 con autovalori 2 j(j + 1), j 3 , 2 l ϕ (l ϕ + 1)) dev’essere quello di generareun’autofunzione Y jlj 3di ⃗ J 2 , J 3 , ⃗ L 2 . Gli autovalori di quest’ultima per ⃗ J 2 e J 3 sono glistessi della Y jlϕj 3, mentre il valore di l deve avere una parità opposta a quella di l ϕ , acausa del cambiamento di parità indotto dalla natura pseudoscalare di ⃗σ ·⃗r. Deve quindiessere l = l χ (per una dimostrazione analitica di questa proprietà, si veda l’AppendiceF). Possiamo allora scrivere⃗σ ·⃗rrY jlϕj 3= η 1 Y jlχj 3, (5.33)50

dove η 1 è un fattore di fase (dal momento che le funzioni Y jlj 3sono normalizzate e ( )⃗σ·⃗r 2r =1). Analogamente, si deve avere⃗σ ·⃗rrY jlχj 3= η 2 Y jlϕj 3. (5.34)Per compatibilità tra le due equazioni (5.33) e (5.34), dev’essere η 1 η 2 = +1. Definendoopportunamente la fase relativa tra le due funzioni Y jlϕj 3e Y jlχj 3, che è arbitraria, possiamoscegliere η 1 = η 2 = −1. Abbiamo quindi⃗σ ·⃗rrY jlχj 3= −Y jlϕj 3,⃗σ ·⃗rrY jlϕj 3= −Y jlχj 3. (5.35)Sostituendo la prima di queste espressioni nella (5.32) otteniamo( df⃗σ ·⃗p ϕ = −dr + 1 − κ )f Y jlχjr3. (5.36)Analogamente si ha( dg⃗σ ·⃗p χ = i dr + 1 + κ )g Y jlϕjr3. (5.37)Usando queste relazioni, le equazioni del moto (5.28) diventano⎧⎪⎨⎪⎩( df− cdr + 1 − κ )f = ( E − V − m c 2) g ,r( dg cdr + 1 + κ )g = ( E − V + m c 2) f .r(5.38)Il problema è stato quindi ricondotto a quello del calcolo delle funzioni d’onda radiali f(r)e g(r), una volta che sia stata precisata la forma funzionale del potenziale V (r). Come sivede, anche nel caso dell’equazione di Dirac, un potenziale centrale consente la separazionenella funzione d’onda tra dipendenza angolare (e di spin) e dipendenza radiale. Unaimportante differenza con il caso dell’equazione di Schrödinger è che adesso abbiamodue equazioni differenziali radiali accoppiate, anzichè una sola equazione. Normalmenteconviene ridefinire le due funzioni radiali come segue:F (r) = r f(r) , G(r) = r g(r) , (5.39)e quindi si ha⎧⎪⎨⎪⎩( dF cdr − κ )r F = − ( E − V − m c 2) G ,( dG cdr + κ )r G = ( E − V + m c 2) F .(5.40)51

5.4 Soluzione delle equazioni radiali per un atomoidrogenoideUtilizziamo ora il formalismo precedente per ricavare lo spettro energetico di un atomoidrogenoide. In questo caso il potenziale centrale èPoniamoz 1 = m c2 + E cγ =V (r) = − 14 πed introduciamo la variabile adimensionaleZ e 2. (5.41)r, z 2 = m c2 − E c(5.42)Z e24 π c ≡ Z α ,⎪⎩ρ = √ z 1 z 2 r . (5.43)Notiamo che z 1 z 2 = (m c2 ) 2 − E 2( c) 2 ≥ 0, perchè consideriamo stati legati.Le equazioni radiali (5.40) diventano⎧dF⎪⎨ dρ − κ (√ρ F = z2− γ )G ,z 1 ρDalle equazioni (5.44), per ρ → ∞, si ha⎧ √dF⎪⎨ dρ = z2G ,z 1⎪⎩dGdρ + κ (√ρ G = z1+ γ )F .z 2 ρdGdρ = √z1z 2F ,con soluzioni asintotiche (per ρ → ∞)=⇒⎧⎪⎨⎪⎩d 2 Fdρ 2 = F ,,(5.44)d 2 Gdρ 2 = G , (5.45)F (ρ) ∼ ρ m e ±ρ , G(ρ) ∼ ρ m′ e ±ρ , (5.46)per qualunque valore finito di m e di m ′ . Per uno stato legato, occorre scegliereF (ρ) ∼ ρ m e −ρ , G(ρ) ∼ ρ m′ e −ρ . (5.47)Studiamo ora il comportamento delle soluzioni a piccolo ρ. Dalle (5.40), per ρ → 0,si ha⎧⎪ ⎨⎪ ⎩dFdρ − κ ρ F = −γ ρ G ,(5.48)dGdρ + κ ρ G = γ ρ F .52

PonendoF ∼ c ρ s , G ∼ c ′ ρ s′ , (5.49)otteniamo⎧⎨⎩c (s − κ) ρ s−1 = −c ′ γ ρ s′ −1 ,c ′ (s + κ) ρ s′ −1 = c γ ρ s−1 .(5.50)Per esempio, dalla prima di queste espressioni si haρ s−s′ = − c′cγs − κ . (5.51)Il secondo membro non dipende da ρ e quindi deve essere s = s ′ . Dalle (5.50),moltiplicando membro a membro, si ricava inoltres 2 − κ 2 = −γ 2 =⇒ s = ± √ κ 2 − γ 2 . (5.52)I due integrali∫dρ |F (ρ)| 2 ,∫dρ |G(ρ)| 2devono essere convergenti e quindi s > −1/2. Questa condizione è incompatibile con ilsegno negativo nella (5.52), tenendo conto cheκ 2 − γ 2 ≥ 1 − (Z α) 2 .Dobbiamo quindi sceglieres = + √ κ 2 − γ 2 . (5.53)Avendo determinato i comportamenti asintotici delle funzioni F e G a piccole e grandidistanze, cerchiamo delle soluzioni nella formaF (ρ) = ρ s e −ρ ∑ na n ρ n ,G(ρ) = ρ s e −ρ ∑ nb n ρ n . (5.54)Sostituendo nelle equazioni (5.44) ed eguagliando i coefficienti dei termini ρ s e −ρ ρ n−1 , sitrovano le relazioni di ricorrenza√z2(s + n − κ) a n − a n−1 = b n−1 − γ b n ,z 1√z1(s + n + κ) b n − b n−1 = a n−1 + γ a n .z 2(5.55a)(5.55b)Moltiplicando la (5.55a) per z 1 , la (5.55b) per √ z 1 z 2 e sottraendo membro a membro,si ottiene una relazione che coinvolge una sola coppia di coefficienti (a n e b n ):(z 1 (s + n − κ) + √ z 1 z 2 γ) a n − ( √ z 1 z 2 (s + n + κ) − z 1 γ) b n = 0 . (5.56)53

Notiamo ora che le somme ∑ n a n ρ n , ∑ n b n ρ n , se illimitate, forniscono, per grandi ρ,un comportamento asintotico del tipo e 2ρ . Infatti, per n → ∞, dalle equazioni (5.55) siottienee dalla (5.56)√z2n a n − a n−1 = b n−1 − γ b n ,z 1√z1n b n − b n−1 = a n−1 + γ a n ,z 2b n =Dalle equazioni (5.57) si ricava, per n → ∞,√z1z 2a n .(5.57a)(5.57b)(5.57c)e quindia na n−1= 2 n , (5.58)∑a n ρ n ∼ e 2ρ (ρ → ∞) . (5.59)nAnalogamente, si ottiene anche∑b n ρ n ∼ e 2ρ (ρ → ∞) . (5.60)nSe le somme ∑ n a n ρ n , ∑ n b n ρ n fossero illimitate, i comportamenti asintotici delle funzioniF (ρ), G(ρ) a grandi ρ sarebbero F (ρ) ∼ ρ s e ρ , G(ρ) ∼ ρ s e ρ e quindi non accettabiliper stati legati. Ne segue che le due somme (5.54) si devono interrompere a una certapotenza di ρ. Supponiamo che il primo coefficiente nullo della prima serie sia a n ′ +1:a n ′ ≠ 0 , a n ′ +1 = 0 .Scriviamo le equazioni (5.55) ponendo n = n ′ + 1:− a n ′ =√z2z 1b n ′ − γ b n ′ +1 ,(s + n ′ + 1 + κ) b n ′ +1 − b n ′ =√z1z 2a n ′ .(5.61a)(5.61b)Perchè queste equazioni siano compatibili, occorre che b n ′ +1 = 0 e quindi le due serie siinterrompano allo stesso ordine, con la relazionea n ′ = −√z2z 1b n ′ . (5.62)Sostituendo questa espressione nella (5.56), scritta per n = n ′ , ed eliminando b n ′, si ha2 √ z 1 z 2 (s + n ′ ) = (z 1 − z 2 ) γ . (5.63)54

n ′ j κ l nnotazionespettroscopica0 1/2 −1 0 1 1S 1/20 3/2 −2 1 2 2P 3/20 5/2 −3 2 3 3D 5/2}1 1/2 −1 0 2 2S 1/2degeneri1 1/2 +1 1 2 2P 1/2}1 3/2 −2 1 3 3P 3/2degeneri1 3/2 +2 2 3 3D 3/2}2 1/2 −1 0 3 3S 1/2degeneri2 1/2 +1 1 3 3P 1/2Dalla definizione di z 1 e z 2 si ottieneTabella 5.1: Livelli di energia.√z1 z 2 = 1 cz 1 − z 2 = 2 E c ,e quindi, sostituendo nella (5.63), si haossiaE 2 (1 +E =√1 +√(m c 2 ) 2 − E , (5.64a))γ 2(s + n ′ ) 2 = ( m c 2) 2,„n ′ +m c 2(Z α) 2q1 (j+(5.64b)2) 2 −(Z α) 2 « 2. (5.65)I valori di E dipendono solo dai numeri quantici n ′ e |κ| = j + 1/2; si ha quindi unadegenerazione di ordine 2 dovuta ai due segni di κ = ± (j + 1/2), che comportano duediversi valori di l χ :κ = + (j + 1/2) =⇒ l χ = j + 1/2 ,κ = − (j + 1/2) =⇒ l χ = j − 1/2 .(5.66)Notare che, se n ′ = 0 si ha solo κ < 0; infatti, dalla (5.55b) e dalla (5.62), per n ′ = 0si ha⎫(s + κ) b 0 = γ a 0 , ⎪⎬√√ z2=⇒ s + κ = − γ . (5.67)z2za 0 = − b 0 , ⎪⎭1z 155

Essendo s > 0, deve essere κ < 0.I livelli vengono abitualmente contraddistinti dalla notazione spettroscopica che fauso dei numeri quantici n, l χ , j, dove n (numero quantico principale) è definito comen = n ′ + |κ| = n ′ +(j + 1 ). (5.68)2I livelli di energia più bassa sono elencati nella Tabella 5.1 (con l = l χ ).Sviluppando la (5.65) in serie nel parametro α 2 si trova⎡⎤E = m c 2 ⎢⎣ 1 − 1 (Z α) 2− 1 (Z α) 4 ( 1} 2 {{ n 2} 2 n 3 j + 1/2 − 3 )+O ( α 6) ⎥4 n ⎦ . (5.69)} {{ }Balmer termine di struttura fineLo schema dei livelli energetici più bassi dell’atomo di idrogeno è illustrato in Fig.5.1.Lo spettro completo è comunque confinato nella banda energetica 0 ≤ E ≤ mc 2 di Fig.5.2.◮Struttura fineIl termine di ordine α 4 nell’espressione (5.69) rappresenta la cosiddetta separazione distruttura fine: a parità di n, sono più bassi nella scala energetica gli stati con j minore.Questo termine rimuove in parte la degenerazione dello spettro non-relativistico per gliatomi idrogenoidi.L’entità della separazione tra stati con uguale n e diverso j, per Z = 1, è data da∆E = m c 2 1 ()α 4 12 n 3 j min + 1/2 − 1j max + 1/2Per esempio= m c 2 1 2α 4n 3(5.70)j max − j min(j min + 1/2) (j max + 1/2) .∆E(2P ) ≡ E ( ) ( ) α 42P 3/2 − E 2P1/2 =2 m 5 c2= 8.87 × 10 −11 m c 2 = 4.53 × 10 −5 eV , (5.71a)ν(2P ) = 12 π∆E = ∆E2 π × 6.58 × 10 −22 MeV sec= 11 GHz . (5.71b)◮ Struttura iperfineNella trattazione degli atomi idrogenoidi precedentemente adottata, l’interazione trail nucleo e l’elettrone è stata semplicemente descritta mediante il potenziale coulombianoV = − Ze2 . È stata in particolare trascurata l’interazione magnetica tra il momento di4πrdipolo magnetico del nucleo e quello dell’elettrone. Introduciamo ora questo termine di56

*)EF-GIHKJ(LMN)*¥¨§ ¥¨§ ¥¨§¡ £¦¥¨§ £¦¥¨§© ¥¨§$ #(+, +#-@01%92 BAC:D©¡ £¦¥¨§©£¦¥¨§2 46OP8Q:D¤! #"¢¡¤£¦¥¨§)*$ +, ( #+-./'(01%,.2 435©7698;:=$ %&"' ( #"Figura 5.1: Livelli energetici più bassi dell’atomo di idrogeno.57

E0−✻+ m c 2 − ✁✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ←Livelli dell’atomodi idrogeno− m c 2 −❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆ ❆❆Figura 5.2: Banda energetica dell’atomo di idrogeno.accoppiamento nel caso dell’atomo di idrogeno. Si può dimostrare che l’hamiltoniana diinterazione è 1 H hf = − 2 3 ⃗µ e · ⃗µ p |ψ n (0)| 2 , (5.72)dove ψ n (0) è la funzione d’onda dell’elettrone nell’origine, ⃗µ e è il momento di dipolomagnetico dell’elettrone (vedi la formula (4.50)) e ⃗µ p è il momento di dipolo magneticodel protone⃗µ p = (1 + a p ) |e| 2 m p c ⃗σ p . (5.73)m p è la massa del protone e a p = 1.79 è il momento anomalo di dipolo magnetico delprotone in unità di magnetoni nucleari; un magnetone nucleare µ N è dato daµ N ≡ |e| 2 m p c = 3.15 × 10−18 MeV gauss −1 . (5.74)Per la funzione d’onda ψ n possiamo utilizzare l’espressione non-relativistica, e quindi|ψ n (0)| 2 =1π a 3 0 n 3 , dove a 0 = 1 αm cè il raggio di Bohr. (5.75)Perciò otteniamoH hf = 2 3 (1 + a p) 1 n 3mm pm c 2 α 4 ⃗σ e · ⃗σ p . (5.76)Tenendo conto che{1 tripletto,⃗σ e · ⃗σ p =−3 singoletto,(5.77)1 Per la dimostrazione di questa formula vedi Sakurai, pag.130.58

si ha∆E hfn=1 (trip-sing) = 8 3 (1 + a p) m m pm c 2 α 4= 5.88 × 10 −6 eV ,(5.78a)ν = 12 π∆E = ∆E2 π × 6.58 × 10 −16 eV secGHz= 1.42 GHz . (5.78b)10 9 sec−1 Notare il fattore di riduzione m/m p (parzialmente compensato da coefficienti numerici)rispetto al termine di struttura fine.◮Lamb shiftLa degenerazione prevista dalla teoria di Dirac tra gli stati di uguale n e uguale j nonsi verifica in natura. L’effetto di eliminazione della degenerazione, detto Lamb shift, puòessere calcolato accuratamente nell’ambito della elettrodinamica quantistica.59

Capitolo 6Coniugazione di carica6.1 Mare di DiracUn atomo in uno stato eccitato transisce allo stato fondamentale emettendo radiazione. Inpresenza del continuo di stati ad energia negativa con valori compresi tra −mc 2 e −∞, unelettrone nello stato fondamentale dell’atomo di idrogeno con energia mc 2 −E leg potrebbetransire indefinitamente a stati di energia inferiore. Perciò, nel 1930 Dirac formulò laseguente ipotesi: tutti gli stati ad energia negativa sono occupati, per cui la stabilitàdell’atomo è garantita dal principio di Pauli. Il sistema fisico costituito dall’occupazionecompleta di tutti gli stati di particella singola ad energia negativa viene chiamato maredi Dirac. Nella scala di energia finora adottata, il mare di Dirac ha un’energia infinitanegativa. Possiamo però interpretare il mare di Dirac come stato di vuoto e ridefinire lascala di energia, associando a questo stato di vuoto il valore di zero.Consideriamo ora lo stato fisico che si ottiene sottraendo dal mare di Dirac un elettronedi energia −E (E > 0), ossia creando una lacuna nel mare di Dirac, e calcoliamonel’energia. Nella consueta scala di energia si haE = E vuoto − (−E) = E vuoto + E , (6.1)dove E vuoto è l’energia associata al mare di Dirac. La ridefinizione della scala di energiaequivale ad associare allo stato del mare di Dirac con una lacuna il valore di energia(osservata)E oss = E − E vuoto = E . (6.2)Procedendo in modo analogo per la carica, si haQ = Q vuoto − e = Q vuoto + |e| , (6.3)Q oss = Q − Q vuoto = |e| . (6.4)Quindi lo stato (ad infinite particelle) costituito dal mare di Dirac con una lacunadi elettrone nel livello energetico −E può essere interpretato come stato di particella(denominata positrone) in un livello energetico E e con carica −e = |e|. La massa delpositrone dev’essere uguale a quella dell’elettrone. Il positrone viene anche chiamatoantiparticella dell’elettrone oppure sua coniugata di carica. Particelle con le proprietà delpositrone vennero scoperte nei raggi cosmici da Carl Anderson nel 1932.60

£ £ £ £ £¢¤ £ £E 2×✻✁✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁ ✁ ✁✁− m c 2❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆+ m c 2− E 1♠Figura 6.1: Transizione di un elettrone da uno stato di energia negativa ad uno stato dienergia positivaLa rimozione di un elettrone da uno stato di energia negativa −E 1 del mare di Diracad uno stato di energia positiva E 2 può avvenire per esempio ad opera di un fotone dienergia E = E 2 + E 1 (vedi Fig.6.1).Secondo quanto visto precedentemente possiamo descrivere questo processo dicendoche il fotone ha creato una coppia elettrone-positrone con energie (positive) E 2 , E 1rispettivamente, ossia schematicamenteγ → e − + e + . (6.5)La conservazione dell’energia-momento impedisce che questo processo, con le tre particelletutte sul loro shell di massa, si realizzi nello spazio libero. Infatti, per il processo¥¨¢¡(6.6)¨¥§¦©¨le relazioni di conservazione di energia–impulso e quelle di shell di massa si scrivonok = p 1 + p 2 , k 2 = 0 , p 2 1 = p2 2 = m2 . (6.7)Queste, nel sistema di riposo dell’elettrone (⃗p 1 = 0), diventanok 0 = p 0 1 + p 0 2 ,⃗ k = ⃗p2 ,k 0 = | ⃗ k| ,p 0 1 = m ,p 0 2 =√⃗p 2 2 + m 2 =√⃗ k2+ m2 .(6.8a)(6.8b)(6.8c)(6.8d)(6.8e)61

¤£¢¡Figura 6.2: Creazione di una coppia virtuale e + –e − .Queste relazioni sono incompatibili, come si vede sostituendo le ultime tre nella prima.Per mantenere la condizione di conservazione di energia–impulso nel vertice di interazioneoccorre rimuovere la condizione di shell di massa per almeno una delle tre particelleconfluenti nel vertice. Questo è quanto avviene in diagrammi con più vertici di interazione,dove le particelle che collegano detti vertici sono particelle virtuali (fuori dallo shell dimassa).La creazione di coppie (6.5) può avvenire per esempio nel campo coulombiano di unnucleo; in questo caso uno dei due leptoni viene creato come particella virtuale e divieneelettrone fisico a seguito dell’interazione con il campo coulombiano.È possibile anche avere il processo inverso del processo (6.5), ossia il processo diannichilazionee − + e + → γ → . . . , (6.9)o anchee − + e + → 2 γ . (6.10)Queste reazioni vengono per esempio prodotte ai collisionatori elettrone-positrone.◮ Polarizzazione del vuotoSecondo quanto visto precedentemente un fotone è soggetto a processi del tipo descrittoin Fig.6.2, nei quali una coppia e + –e − , creata in modo virtuale dal fotone, si annichilarigenerando il fotone stesso. Ciò implica che l’interazione protone-elettrone (mediata dafotoni) nell’atomo di idrogeno risenta della presenza delle coppie virtuali e + –e − dovuteai processi di Fig.6.2. È come se l’interazione p–e − anzichè avvenire nel vuoto, avesseluogo in un mezzo polarizzabile: la carica positiva del protone respinge i positroni virtualied attira gli elettroni virtuali (vedi Fig.6.3). Si genera quindi un effetto di parzialeschermatura della carica vera (nuda) del protone da parte degli elettroni virtuali. L’elettronedell’atomo di idrogeno risente di questo effetto di schermatura della carica nudadel protone in maggiore o in minore misura a seconda dell’orbita quantistica su cui sitrova: la carica elettrica del nucleo “vista” dall’elettrone è più grande a piccole distanze(orbite interne), che non a grandi distanze (orbite esterne), e gli stati S si abbassano perquesto effetto. La polarizzazione del vuoto induce per esempio una separazione E(2P 1/2 )–E(2S 1/2 ) = 27 MHz tra i livelli 2S 1/2 e 2P 1/2 . Quest’effetto, calcolato da Uehling nel 1935,elimina quindi la degenerazione tipica dello spettro dell’atomo di idrogeno in teoria diDirac. Tuttavia, come si ricava in elettrodinamica quantistica, altri effetti oltre a quellodella polarizzazione del vuoto contribuiscono (in maniera più rilevante e con segnoopposto) al Lamb shift.62

✻+ ♠♠−✛✘✛ + ♠ − ♠ + − ♠✚✙♠−+ ♠ ✲+ ♠❄Figura 6.3: Polarizzazione del vuoto6.2 Coniugazione di caricaSecondo la teoria di Dirac, elettroni e positroni (che hanno massa uguale e carica elettricaopposta) devono soddisfare allo stesso tipo di equazione del moto. Per l’elettrone valel’equazione(i /∂ − e /A − m) ψ(x) = 0 . (6.11)Quindi per il positrone deve valere l’equazione(i /∂ + e /A − m) ψ c (x) = 0 . (6.12)Per determinare la funzione ψ c (x) prendiamo l’equazione aggiunta della (6.11),e trasponiamo,Se introduciamo una matrice C tale cheotteniamo−i ∂ µ ψγ µ − e ψ /A − m ψ = 0 ,−i ˜γ µ ∂ µ˜ψ − e ˜γ µ A µ˜ψ − m ˜ψ = 0 .C ˜γ µ C −1 = −γ µ , (6.13)(i /∂ + e /A − m) C ˜ψ(x) = 0 . (6.14)Confrontando questa equazione con la (6.12) deduciamo che il positrone è descritto dallafunzione d’ondaψ c (x) = η c C ˜ψ(x) , (6.15)dove η c è un fattore di fase (|η c | = 1) costante che dipende dalla natura della particella.Nella rappresentazione di Dirac si ha( ) ( ) ( )0 σC = i γ 2 γ 0 2 1 0 0 σ2= i−σ 2 = −i0 0 −1 σ 2 . (6.16)063

Esempio: un elettrone in uno stato con energia negativa e spin in su è descritto (nelsistema di riposo) dalla funzione d’onda⎛ ⎞0ψ(x) = e +imt ⎜0⎟⎝1⎠ . (6.17)0Poichèsi ha( )ψ˜1 0= ˜γ 0 ψ ∗ =0 −1⎛⎞ ⎛0 0 0 −iψ c = −iη c e −imt ⎜0 0 i 0⎟ ⎜⎝0 −i 0 0 ⎠ ⎝i 0 0 0⎛ ⎞⎛0⎜0⎟⎝1⎠ e−imt = e −imt ⎜⎝000−1000−10⎞⎟⎠ ,⎞⎛ ⎞0⎟⎠ = −η ce −imt ⎜1⎟⎝0⎠ . (6.18)0Quindi, in questo caso, ψ c descrive una particella (di carica |e|) con energia positiva espin in giù.◮ Parità relativa particella–antiparticellaPer particelle di spin 1/2, particella e antiparticella hanno parità intrinseche opposte.Infatti, nel sistema di riposo, si ha• per energie positivecon( )ψ (r)χ+ (x) = e −imt (r),0(6.19)( (1 0χ (1) = , χ0)= ;1)(6.20)• per energie negativeψ (r)− (x) = e +imt ( 0χ (r) ). (6.21)Per riflessioni spazialiψ P −→ ψ ′ = γ 0 ψ =⇒{ψ (r)+ (x) −→ P +ψ (r)+ (x) ,ψ (r)− (x) −→ P −ψ (r)− (x) .(6.22)Per la corrispondenza discussa precedentemente tra lacune in stati di energie negative edantiparticelle in stati di energie positive discende che elettrone e positrone hanno paritàintrinseche opposte.Le proprietà viste in questo capitolo indicano che una teoria quantistica ad una solaparticella non può essere una teoria consistente, come indicato per esempio dagli effettivirtuali di creazione e di annichilazione di particelle. Il formalismo adeguato per trattarein modo sistematico i processi fisici dell’elettrodinamica è quello della teoria dei campi,con l’introduzione di campi quantizzati che creano e distruggono particelle e antiparticelle.64

Capitolo 7Spinori chirali7.1 Autofunzioni dell’operatore chiralitàLa matrice γ 5 è detta operatore di chiralità. Poichè l’operatore γ 5 è hermitiano essoè diagonalizzabile; dalla proprietà (γ 5 ) 2 = 11 segue che gli autovalori di γ 5 sono ±1.Indichiamo con ψ L e ψ R le autofunzioni di γ 5 con autovalori +1 e −1, rispettivamente;ossia,γ 5 ψ L = + ψ L ,γ 5 ψ R = − ψ R .(7.1a)(7.1b)A partire da uno spinore generico ψ è possibile generare le due autofunzioni di γ 5 nelmodo seguente:ψ L ≡ 1 + γ52ψ R ≡ 1 − γ52come si può immmediatamente verificare.Uno spinore qualsiasi ψ può essere scomposto nella sommaψ ,ψ ,(7.2a)(7.2b)Conviene definire due operatori di proiezione di chiralità:ψ = ψ L + ψ R . (7.3)che soddisfano alle proprietàP L ≡ 1 + γ52P R ≡ 1 − γ52, (7.4a), (7.4b)P L + P R = 11 ,(7.5a)(P L ) 2 = P L , (7.5b)(P R ) 2 = P R , (7.5c)P L P R = P R P L = 0 .(7.5d)65

◮ψ L e ψ R in rappresentazione chiraleLa rappresentazione chirale delle matrici γ è definita come la rappresentazione in cuiγ 5 è diagonale:( )( )( )0 110 σγ 0 = , γ k k11 0=11 0−σ k , γ 5 = . (7.6)00 −11In questa rappresentazione la forma esplicita degli operatori di proiezione di chiralità èparticolarmente semplice:P L ≡ 1 + ( )γ5 1 0= , (7.7a)2 0 0P R ≡ 1 − ( )γ5 0 0= . (7.7b)2 0 1Scrivendo un generico spinore ψ comeψ =(χ1), (7.8)χ 2dove χ 1 e χ 2 sono spinori a due componenti, per le autofunzioni (7.2) dell’operatorechiralità si ha( ) ( ) ( )1 0 χ1 χ1ψ L = P L ψ == , (7.9a)0 0 χ 2 0( ) ( ) ( )0 0 χ1 0ψ R = P R ψ == . (7.9b)0 1 χ 2 χ 2Conviene quindi usare le definizioniχ L ≡ χ 1 , χ R ≡ χ 2 , (7.10)per cui( )( )χL0ψ L = , ψ0R = , (7.11)χ R( )χLψ = ψ L + ψ R = . (7.12)χ R◮Equazioni del moto per ψ L e ψ RSe ψ è una generica soluzione dell’equazione di Dirac libera, abbiamoe analogamentei /∂ ψ L ≡ i /∂ 1 + γ52= 1 − γ52ψ = 1 − γ52m ψ ≡ m ψ R ,i /∂ ψ(7.13)i /∂ ψ R = m ψ L . (7.14)66

Queste sono le due equazioni del moto per ψ L e ψ R . Esse sono accoppiate dal termine dimassa e si disaccoppiano solo se m = 0. Tale proprietà è da mettersi in relazione con ilfatto che la chiralità è un buon numero quantico (ossia γ 5 commuta con l’hamiltonianadi Dirac H = ⃗α ·⃗p + β m) solo se m = 0; infatti,[γ 5 , α k] [= 0 , γ 5 , β ] = 2 γ 5 β ≠ 0 . (7.15)Poichè per una particella di spin 1/2 con m = 0 le equazioni del moto (7.13) e (7.14) pergli spinori ψ L e ψ R sono disaccoppiate, in questo caso è possibile che per la descrizionedella particella sia sufficiente solo uno dei due spinori, ψ L o ψ R .◮ Valore medio dell’elicità nello stato descritto dallo spinore u LL’interazione debole è responsabile di numerosi processi di decadimento come• il decadimento del muoneµ − → e − + ν µ + ¯ν e , (7.16)• il decadimento di pioni carichi in muoni e neutriniπ + → µ + + ν µ , (7.17)• il decadimento del neutronen → p + e − + ¯ν e , (7.18)• i decadimenti β nucleariN (Z, N) → N (Z + 1, N − 1) + e − + ¯ν e} {{ }n → p + e − + ¯ν e nel nucleo NN (Z, N) → N (Z − 1, N + 1) + e + + ν e} {{ }p → n + e + + ν e nel nucleo N ; questo processoè energeticamente impossibile per protoni liberi(decadimento β − ) , (7.19)(decadimento β + ) ; (7.20)Dalle osservazioni sperimentali di numerosi processi di decadimento β si è visto che• nei decadimenti β − vengono sempre emessi un elettrone con valore medio dell’elicità= −v e /c e un antineutrino elettronico con elicità = +1;• nei decadimenti β + vengono sempre emessi un positrone con valore medio dell’elicità+v e /c e un neutrino elettronico con elicità = −1.Queste proprietà implicano che nei decadimenti β la violazione della parità è massimae che l’elettrone e il neutrino partecipano a questi processi con lo spinore (nello spaziodegli impulsi)u L ≡ P L u ≡ 1 + γ5267u . (7.21)

Per verificare questa proprietà, calcoliamo il valore medio dell’elicità dell’elettrone nellostato descritto dallo spinore u L :〈 〉 ⃗Σ ·⃗pe=|⃗p e |L∑u (r) † ΣL (pe ) ⃗ ·⃗p eu (r)L|⃗p e |(p e)r∑ru (r) †L (pe ) u (r)L (p e)[Calcoliamo il numeratore della (7.22), tenendo conto che ⃗Σ , γ 5]= 0,. (7.22)numeratore = 1 4= 1 2∑r∑r= 1 2 Tr [ ⃗Σ ·⃗pe|⃗p e |= 1 2 Tr [ ⃗Σ ·⃗pe|⃗p e |u (r)† (p e ) ( 1 + γ 5) ⃗ Σ ·⃗pe|⃗p e |u (r)† (p e ) ⃗ Σ ·⃗p e|⃗p e |(1 + γ5 ) u (r) (p e )(1 + γ5 ) u (r) (p e )( ) ]∑1 + γ5u (r) (p e ) u (r)† (p e )r( ) ]1 + γ5 /p e + m eγ 0 .2m e(7.23)Essendo ⃗ Σ = −γ 0 ⃗γγ 5 , per il numeratore della (7.22) si ottienenumeratore = 14 m ep k e|⃗p e | Tr[ Σ k ( 1 + γ 5) (/p e + m e ) γ 0]= 14 m ep k e= − 14 m ep k e|⃗p e |Calcoliamo ora il denominatore della (7.22):|⃗p e | Tr[( −γ k) ( 1 + γ 5) (/p e + m e ) ]⎧⎪⎨⎪⎩ Tr[ ]γ k /p e − Tr [ γ k /p e γ 5]} {{ }4 p k edenominatore = 1 ∑u (r)† (p e ) ( 1 + γ 5) ( 1 + γ 5) u (r) (p e )4r[= 1 (12 Tr ) ]∑+ γ5u (r) (p e ) u (r)† (p e )r⎫⎪⎬} {{ } ⎪⎭ = −|⃗p e|.m e= 1 2 Tr [ (1+ γ5 ) /p e + m e2m eγ 0 ]= 14 m eTr [ /p e γ 0] = E em e.0(7.24)(7.25)Quindi, per il valor medio dell’elicità dell’elettrone si ottiene〈 〉 ⃗Σ ·⃗pe= − |⃗p e|= − v e(in unità ordinarie) . (7.26)|⃗p e | E e cL68

Analogamente, si ottiene che il valore medio dell’elicità in uno stato descritto dallospinoreèu R ≡ P R u ≡ 1 − γ52u (7.27)〈 〉 ⃗Σ ·⃗pe= + v e|⃗p e | c . (7.28)RSe vi fosse conservazione della parità nel decadimento β − , l’elettrone sarebbe descrittodallo spinore completo u = u L + u R 〈 ed il valore 〉 medio dell’elicità sarebbe nullo. Dal fatto⃗Σ ·⃗peche sperimentalmente si osserva= − v e(che è uno dei due valori estremi|⃗p e | c±v e /c), si deduce che nel processo in esame non solo si ha violazione di parità, ma ancheche questa violazione è massima.7.2 Proprietà di elicità per m = 0L’equazione di Dirac per m = 0 può essere scritta come(i γ 0 ∂ 0 + i ⃗γ · ⃗∇)ψ = 0 . (7.29)Moltiplicandola a sinistra per γ 5 γ 0 si ha−i γ 5 γ 0 ⃗γ · ⃗∇ ψ = i γ 5 γ 0 γ 0 ∂ 0 ψ ,ossia, utilizzando la definizione Σ ⃗ = −γ 0 ⃗γγ 5 ,i Σ ⃗ · ⃗∇ ψ = γ 5 i ∂ 0 ψ . (7.30)Sostituendosi ottieneψ(x) = e −ip·x u(p) (p 0 = +|⃗p|) , (7.31)− ⃗ Σ ·⃗p|⃗p|} {{ }operatoredielicitàu(p) = γ 5}{{}operatoredichiralitàu(p) . (7.32)Quindi le autofunzioni dell’operatore di chiralità sono anche autofunzioni dell’operatoreelicità, con autovalori di segno opposto per soluzioni ad energia positiva (per soluzioni adenergia negativa, p 0 = −|⃗p|, gli autovalori sono identici).69

7.3 Equazioni di WeylNella rappresentazione chirale si ha( ) ⃗σ 0⃗Σ = −γ 0 ⃗γ γ 5 =0 ⃗σe quindi l’eq.(7.30) si scrive, (7.33)( ) ( ) ( )i ⃗σ · ∇ ⃗ 0 χL 1 00 i ⃗σ · ⃗∇ = i ∂ ( )χL. (7.34)χ R 0 −1 ∂t χ RDa questa equazione si ottengono le due equazioni disaccoppiatei ⃗σ · ⃗∇ χ L = i ∂ ∂t χ L ,(7.35a)−i ⃗σ · ⃗∇ χ R = i ∂ ∂t χ R . (7.35b)Queste sono le equazioni di Weyl e gli spinori a due componenti χ L e χ R , loro soluzioni,sono detti spinori di Weyl.Sostituendo nelle (7.35)χ L,R (x) = e −ip·x χ L,R (p) , (7.36)si ottiene−⃗σ ·⃗p χ L (p) = p 0 χ L (p) ,⃗σ ·⃗p χ R (p) = p 0 χ R (p) .(7.37a)(7.37b)Queste equazioni implicano chep 2 0 χ L,R (p) = (⃗σ ·⃗p) 2 χ L,R (p) = ⃗p 2 χ L,R (p) , (7.38)da cui segue che p 0 = ±|⃗p|. Quindi (vedi la Fig.7.1a)χ L (p) descrive uno stato ad elicità −1 (sinistrorsa) per p 0 = +|⃗p|,χ L (p) descrive uno stato ad elicità +1 (destrorsa) per p 0 = −|⃗p|,mentre (vedi la Fig.7.1b)χ R (p) descrive uno stato ad elicità +1 (destrorsa) per p 0 = +|⃗p|,χ R (p) descrive uno stato ad elicità −1 (sinistrorsa) per p 0 = −|⃗p|.7.4 Neutrini e antineutriniPer particelle con m ≠ 0 l’elicità non è una grandezza Lorentz–invariante. Infatti, peresempio, mediante una trasformazione di Lorentz che manda ⃗p in −⃗p, si può cambiareil segno dell’elicità della particella. Questa operazione non è possibile per particelle di70

(' "!¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢¤£¦¥¨§¢¤£#©¨§¢¤£¦©¨§¢¤£#¥¨§%$&Figura 7.1: Stati di elicità di χ L e χ R .massa nulla, che si propagano con la velocità della luce; per queste particelle l’elicità èquindi una grandezza Lorentz–invariante.I neutrini sono particelle neutre con spin 1/2 e massa talmente piccola che finora none’ stata misurata direttamente 1 . Perciò, in prima approssimazione è possibile considerarei neutrini come particelle a massa nulla. In questo caso i neutrini soddisfano alle equazionidi Weyl e possono essere descritti da spinori a due componenti χ L o χ R (che, attraversol’eq.(7.11), sono equivalenti agli spinori a quattro componenti ψ L e ψ R ). Per stabilire qualedi queste soluzioni sia realizzata in natura, occorre fare ricorso ai risultati sperimentalisullo studio dei processi deboli. Dalle misure di elicità dei leptoni emessi nei decadimentiβ nucleari risulta che i neutrini, emessi nei processi β + unitamente ai positroni, hannoelicità = −1. Pertanto i neutrini devono essere associati a spinori sinistrorsi χ L , con iseguenti valori di elicità:ν con E > 0 =⇒ elicità = −1ν con E < 0 =⇒ elicità = +1Osserviamo ora che, in generale, per una particella di Dirac si haenergia impulso spin elicitàparticella con E < 0 −|E| ⃗p2 〈⃗ Σ〉antiparticella con E > 0 +|E| −⃗p − 2 〈⃗ Σ〉〈 ⃗Σ〉 ·⃗p|⃗p|〈 ⃗Σ〉 ·⃗p|⃗p|Ne segue che, se si associa ad un neutrino con energia E > 0 un valore di elicità −1,allora occorre associare ad un antineutrino (¯ν) con energia E > 0 un valore di elicità +1.Quindi ν e ¯ν, oltre ad essere differenziati da valori opposti di numero leptonico, sonoanche caratterizzati da valori opposti di elicità (e di chiralità).1 Sappiamo però che le masse dei neutrini non sono nulle perchè esse sono responsabili del fenomenodi oscillazione dei neutrini osservato sperimentalmente.71

7.5 Operazioni C, P , T sulle equazioni di WeylStudiamo ora le proprietà di trasformazione delle equazioni di Weyl per le trasformazionidiscrete C, P , T .◮Inversione spazialeLa trasformazione dello spinore ψ(x) per l’operazione di inversione spaziale x =(t, ⃗x) P −→ x ′ = (t, −⃗x) è data daψ(x) P −→ ψ ′ (x ′ ) = γ 0 ψ(x) , (7.39)dove è stato omesso un possibile fattore di fase η P . Scrivendo la (7.39) in rappresentazionechirale, si ha( ) ( ) ( ) ( ) ( )χL (x) P χ′−→ L (x ′ ) 0 1 χL (x) χR (x)χ R (x) χ ′ == , (7.40)R (x′ ) 1 0 χ R (x) χ L (x)e quindi, per inversione spaziale,χ L (x) P ⇆ χ R (x) . (7.41)Questa proprietà di trasformazione può essere immediatamente verificata mediante leconfigurazioni illustrate in Fig.7.1, tenendo conto che l’impulso è un vettore polare e lospin un vettore assiale.Per l’operazione di inversione spaziale le due equazioni di Weyl (7.35) si trasformanol’una nell’altra. Per esempio, la (7.35a),i ⃗σ · ⃗∇ χ L (x) = i ∂ ∂t χ L(x) . (7.42)diventaPoichèsi ottienei ⃗σ · ⃗∇ ′ χ ′ L (x′ ) = i ∂ ∂t χ′ L (x′ ) . (7.43)⃗∇ ′ = − ⃗ ∇ , χ ′ L (x′ ) = χ R (x) , (7.44)−i ⃗σ · ⃗∇ χ R (x) = i ∂ ∂t χ R(x) , (7.45)che coincide con la (7.35b). Analogamente, per trasformazione P la (7.35b) si trasformanella (7.35a).Quindi, le singole equazioni di Weyl non sono invarianti per l’operatore P , ma sitrasformano l’una nell’altra.◮daConiugazione di caricaLa trasformazione dello spinore ψ(x) per l’operazione di coniugazione di carica è dataψ C −→ ψ c = C ˜ψ , (7.46)72

dove è stato omesso un possibile fattore di fase η C . Nella rappresentazione chirale( ) iσ20C =0 −iσ 2 , (7.47)e, scrivendo ψ(x) nella forma (7.12), per ˜ψ si ha( ) ( ) ( )ψ˜0 1 χ= ˜γ 0 ψ ∗ ∗=L χ∗1 0 χ ∗ = RR χ ∗ , (7.48)Lper cuiψ c = C ˜ψ =( ) ( ) ( )iσ20 χ∗R iσ0 −iσ 2 χ ∗ = 2 χ ∗ RL −iσ 2 χ ∗ . (7.49)LCombinando le operazioni di coniugazione di carica e inversione spaziale si ottiene( )ψ −→ P ψ P (x ′ ) = γ 0 χR (x)ψ(x) = , (7.50)χ L (x)ψ(x) −−→ CPC ˜ψ( ) ( χ P (x ′ ∗) = C L (x) iσχ ∗ R (x) =2 χ ∗ L (x) )−iσ 2 χ ∗ R (x) . (7.51)Le equazioni di Weyl sono invarianti per l’operazione CP . Per esempio, per CP la (7.42)assume la forma (7.43) con⃗∇ ′ = − ⃗ ∇ , χ ′ L(x ′ ) = costante × σ 2 χ ∗ L(x) , (7.52)cioè−i ⃗σ · ⃗∇ σ 2 χ ∗ L(x) = i ∂ ∂t σ2 χ ∗ L(x) .Moltiplicando a sinistra per σ 2 ,−i (σ 2 ⃗σ σ 2 )} {{ }·⃗∇ χ ∗ L (x) = i (σ2 ) 2} {{ }−⃗σ ∗ 1e prendendo il complesso coniugato si ottiene∂∂t χ∗ L (x) ,i ⃗σ · ⃗∇ χ L (x) = i ∂ ∂t χ L(x) , (7.53)che coincide con la (7.42).Quindi le equazioni di Weyl non sono invarianti per le singole trasformazioni discreteP e C, ma lo sono per l’operazione congiunta CP .◮Inversione temporaleLe equazioni di Weyl sono invarianti per inversione temporale. Infatti, la trasformazionedello spinore ψ(x) per l’operazione di inversione temporale x = (t, ⃗x) T −→ x ′ = (−t, ⃗x)è data daψ(x) T −→ ψ ′ (x ′ ) = ˜B ˜ψ(x) , (7.54)73

con B = γ 0 γ 5 C. Nella rappresentazione chirale si ha( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0 iσB = γ 0 γ 5 20 0 iσ2C =1 0 0 −1 0 −iσ 2 =iσ 2 , (7.55)0( ) ( )0 i˜σ2 0 −iσ2˜B =i˜σ 2 =0 −iσ 2 , (7.56)0ψ ′ (x ′ ) = ˜B ˜ψ(x)( ) ( ) ( )0 −iσ2 χ∗=R −iσ−iσ 2 = 2 χ ∗ L0−iσ 2 χ ∗ . (7.57)RPer inversione temporale l’equazione di Weyl (7.42) assume la formai ⃗σ · ⃗∇ χ ′ L (x′ ) = i ∂∂t ′ χ′ L (x′ ) . (7.58)con∂= − ∂ ∂t ′ ∂t , χ′ L (x′ ) = costante × σ 2 χ ∗ L (x) , (7.59)Perciò, seguendo lo stesso procedimento adottato nel caso dell’operazione CP , si dimostrache l’Eq.(7.58) è equivalente alla (7.42).Le proprietà di invarianza delle equazioni di Weyl per trasformazioni CP e T sonoin accordo con il teorema CP T , che asserisce l’invarianza delle leggi fisiche per latrasformazione CP T .7.6 Covarianti bilineari con spinori chiraliStudiamo le proprietà dei covarianti bilineari con spinori chirali, ossia delle espressionidel tipoψ L,R Γ a ψ L,R , (7.60)dove le matrici Γ a sono le 16 matrici 4 × 4 definite nel Paragrafo 1.2.2.Raggruppiamo le Γ a in 2 classi a seconda delle loro proprietà di commutazione conγ 5 :1) Γ a = 11, γ 5 , σ µν , che hanno le seguenti proprietà di commutazione:2) Γ a = γ µ , γ µ γ 5 , con le seguenti proprietà:χ ∗ L[γ 5 , Γ a ] = 0 , [P L , Γ a ] = [P R , Γ a ] = 0 . (7.61){γ 5 , Γ a } = 0 , P L Γ a = Γ a P R , P R Γ a = Γ a P L . (7.62)Da queste proprietà e da[ ] † 1ψ L =2 (1 + γ 5) ψ γ 0 = ψ † 1 2 (1 + γ 5) γ 0 = ψ 1 2 (1 − γ 5) , (7.63)segue cheψ L Γ a ψ L = ψ P R Γ a P L ψ ={ ψ Γ a P R P L ψ = 0 (Γ a = 11, γ 5 , σ µν ) ,ψ Γ a PL 2 ψ ≠ 0 (Γa = γ µ , γ µ γ 5 ) .(7.64)74

Le stesse proprietà valgono per i covarianti ψ R Γ a ψ R . Per i covarianti bilineari misti L-R,si ha inveceψ L Γ a ψ R = ψ P R Γ a P R ψ ={ ψ Γ a PR 2 ψ ≠ 0 (Γa = 11, γ 5 , σ µν ) ,ψ Γ a P L P R ψ = 0 (Γ a = γ µ , γ µ γ 5 ) .. (7.65)e proprietà analoghe per ψ R Γ a ψ L .Si notino in particolare i seguenti risultati:Γ a = 11 : ψ L ψ R ≠ 0 , ψ R ψ L ≠ 0 , ψ L ψ L = ψ R ψ R = 0 ; (7.66)Γ a = γ µ , γ µ γ 5 : ψ L γ µ ψ L ≠ 0 , ψ L γ µ γ 5 ψ L ≠ 0 . (7.67)Ne segue che per particelle descritte da spinori chirali ψ L (per esempio il neutrino) èpossibile scrivere correnti vettoriali ed assiali, mentre l’invariante ψ L ψ L , che viene naturalecollegare con un termine di massa della Lagrangiana, è identicamente nullo.7.7 Spinori di MajoranaPer spinore di Majorana si intende uno spinore a quattro componenti autoconiugato dicarica:ψ M = (ψ M ) c . (7.68)Determiniamo la forma di ψ M . Dato un generico spinore( )χLψ = , (7.69)χ Ril suo coniugato di carica è (con una particolare scelta del fattore di fase)( )σψ c = 2 χ ∗ R−σ 2 χ ∗ . (7.70)LLa condizione ψ = ψ c è quindi equivalente a( ) ( )χL σ= 2 χ ∗ Rχ R −σ 2 χ ∗ , (7.71)Lossiaχ R = −σ 2 χ ∗ L (che implica χ L = σ 2 χ ∗ R ) . (7.72)Quindi uno spinore di Majorana può essere scritto nella forma( )ψ M χL=−σ 2 χ ∗ . (7.73)LÈ chiaro che gli spinori di Majorana, come gli spinori di Weyl, hanno metà gradi di libertàrispetto agli spinori di Dirac.75

Capitolo 8Funzioni di Green e processi discattering8.1 Funzione di Green in teoria non-relativisticaPrendiamo in esame l’equazione del motoi ∂ψ∂t = H ψ , (8.1)dove H è l’operatore hamiltoniano non-relativistico. Se H è indipendente dal tempo, uninsieme ortonormale completo è costituito dalle soluzioni χ n (t,⃗x) = ϕ n (⃗x) e −iEnt , conH ϕ n (⃗x) = E n ϕ n (⃗x) . (8.2)Le funzioni ϕ n (⃗x) soddisfano la condizione di ortonormalità∫d 3 x ϕ ∗ n (⃗x) ϕ m(⃗x) = δ nm (8.3)e quella di completezza∑ϕ ∗ n(⃗x) ϕ n (⃗x ′ ) = δ 3( ⃗x − ⃗x ′) . (8.4)nUna generica funzione d’onda ψ(x) può essere sviluppata comeψ(t,⃗x) = ∑ nc n χ n (t,⃗x) = ∑ nc n ϕ n (⃗x) e −iEnt , (8.5)dove∫c n =d 3 x χ ∗ n (t,⃗x) ψ(t,⃗x) . (8.6)Quindiψ(t ′ ,⃗x ′ ) = ∑ c n χ n (t ′ ,⃗x ′ ) = ∑ ∫d 3 x χ ∗ n (t,⃗x) ψ(t,⃗x) χ n(t ′ ,⃗x ′ )nn∫= d 3 x ∑ χ n (t ′ ,⃗x ′ ) χ ∗ n (t,⃗x) ψ(t,⃗x) . (8.7)n} {{ }≡K(t ′ ,⃗x ′ ;t,⃗x)76

La funzioneK(t ′ ,⃗x ′ ; t,⃗x) ≡ ∑ nχ n (t ′ ,⃗x ′ ) χ ∗ n (t,⃗x) = ∑ nϕ n (⃗x ′ ) ϕ ∗ n (⃗x) e−iEn(t′ −t)(8.8)è la funzione di Green che fornisce l’evoluzione della funzione d’onda da (t,⃗x) a (t ′ ,⃗x ′ ):∫ψ(t ′ ,⃗x ′ ) = d 3 x K(t ′ ,⃗x ′ ; t,⃗x) ψ(t,⃗x) . (8.9)Osserviamo che per t ′ = t si haK(t,⃗x ′ ; t,⃗x) = δ 3 (⃗x ′ − ⃗x) . (8.10)Imponiamo la condizione t ′ ≥ t, includendo una funzione θ(t) nella definizione diK(x ′ , x):K(x ′ , x) = ∑ χ n (t ′ ,⃗x ′ ) χ ∗ n (t,⃗x) θ(t′ − t) . (8.11)nSe applichiamo alla funzione K(x ′ , x) l’operatore i ∂ − H(⃗x ′ ), otteniamo∂t ′[i ∂ ]− H(⃗x ′ ) K(x ′ , x) = ∑ {[i ∂ ] }∂t ′ ∂t − ′ H(⃗x′ ) χ n (t ′ ,⃗x ′ ) χ ∗ n(t,⃗x) θ(t ′ − t)n+ ∑ χ n (t ′ ,⃗x ′ ) χ ∗ n (t,⃗x) i ∂∂t ′ θ(t′ − t) . (8.12)nIl primo termine del secondo membro è nullo e quindi, tenuto conto che dθ(t) = δ(t),dt[i ∂ ]∂t − ′ H(⃗x′ ) K(x ′ , x) = i δ 3 (⃗x ′ − ⃗x) δ(t ′ − t) . (8.13)Questa proprietà può essere utilizzata per generalizzare la definizione di K(x ′ , x) al casoin cui H dipende dal tempo.Nel caso di una teoria perturbativa, in cui l’operatore hamiltoniano H viene scrittocome H 0 + V , e V viene trattato come perturbazione, si ha∫K(x ′ , x) = K 0 (x ′ , x) − i d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) V (x 1 ) K(x 1 , x) , (8.14)dove K 0 (x ′ , x) è la funzione di Green per H = H 0 (ossia V = 0). Infatti, applicandol’operatore i ∂ − H∂t ′ 0 (x ′ ) ad ambo i membri della (8.14) si ottiene[i ∂ ]∫∂t − H 0(x ′ ) K(x ′ , x) = i δ 4 (x ′ − x) + d 4 x ′ 1 δ 4 (x ′ − x 1 ) V (x 1 ) K(x 1 , x)= i δ 4 (x ′ − x) + V (x ′ ) K(x ′ , x) , (8.15)ossia [i ∂ ]− H(x ′ ) K(x ′ , x) = i δ 4 (x ′ − x) . (8.16)∂t ′77

Dalla (8.14) si trova, per iterazione,∫[K(x ′ , x) = K 0 (x ′ , x) − i d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) V (x 1 ) K 0 (x 1 , x)∫[] ]− i d 4 x 2 K 0 (x 1 , x 2 ) V (x 2 ) K 0 (x 2 , x) − . . .∫= K 0 (x ′ , x) − i d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) V (x 1 ) K 0 (x 1 , x)∫ ∫+ (−i) 2 d 4 x 1 d 4 x 2 K 0 (x ′ , x 1 ) V (x 1 ) K 0 (x 1 , x 2 ) V (x 2 ) K 0 (x 2 , x) + . . . .(8.17)8.2 Funzione di Green per l’equazione di Dirac liberaIn analogia a quanto fatto precedentemente in teoria non-relativistica, definiamo lafunzione di Green relativamente all’equazione di Dirac libera mediante l’equazione(iγ µ ∂ ′ µ − m) K 0 (x ′ , x) = i δ 4 (x ′ − x) . (8.18)Si può mostrare che una soluzione particolare dell’Eq.(8.18) è data daK 0 (x ′ , x) = ∑ nu n (⃗x ′ ) u n (⃗x) e −iEn(t′ −t) + ∑ nv n (⃗x ′ ) v n (⃗x) e iEn(t′ −t)per t ′ ≥ t , (8.19)doveu n (⃗x) = e i⃗p·⃗x u n (⃗p) ,v n (⃗x) = e −i⃗p·⃗x v n (⃗p) ,(8.20a)(8.20b)e K 0 (x ′ , x) = 0 per t ′ < t.Determiniamo ora la trasformata di Fourier di K 0 (x ′ , x), ossia la funzione K(p),K 0 (x ′ , x) = 1 ∫d 4 p K(p) e −ip(x′ −x) . (8.21)(2π) 4Sostituendo quest’espressione nella (8.18) si ottiene∫∫1d 4 p (/p − m) K(p) e −ip(x′ −x) 1= i(2π) 4 (2π) 4d 4 p e −ip(x′ −x) , (8.22)e quindio ancorain quanto(/p − m) K(p) = i 11 , (8.23)K(p) = i/p + mp 2 − m 2 , (8.24)(/p − m) (/p + m) = p 2 − m 2 . (8.25)78

Im p 0✻✲−E ✲✚✙C F✲✛✘ ✲+E✲Re p 0Figura 8.1: Il cammino di integrazione C F di Feynman.La formula (8.21) può quindi essere riscritta comeK 0 (x ′ , x) =i ∫(2π) 4d 4 p /p + mp 2 − m 2 e−ip(x′ −x) . (8.26)La funzione integranda ha due punti di singolarità che sono dati dap 2 0 −⃗p2 − m 2 = 0 . (8.27)Nella variabile p 0 i due poli semplici sono localizzati nei punti√p 0 = ± ⃗p 2 + m 2 ≡ ±E (E > 0) , (8.28)che si trovano nell’intervallo di integrazione della (8.26). Per evitare queste singolaritàoccorre deformare il cammino di integrazione sulla variabile p 0 nel piano complesso di p 0 .Utilizziamo la prescrizione di Feynman che equivale al cammino di integrazione C F nellaFigura 8.1. L’integrazione sulla variabile p 0 è svolta nell’Appendice H.Questa prescrizione può essere inclusa nella definizione di K(p), ossiaK(p) = i/p + mp 2 − m 2 + iɛ , (8.29)infatti(p 0 + E − iɛ) (p 0 − E + iɛ) = p 2 − m 2 + iɛ . (8.30)8.3 Funzione di Green per l’equazione di Dirac coninterazioneDefiniamo ora una funzione di Green relativa all’equazione di Dirac in presenza diinterazione elettrone – campo elettromagnetico, ossia(iγ µ ∂ ′ µ − m − eγ µ A µ (x ′ ) ) K(x ′ , x) = i δ 4 (x ′ − x) . (8.31)79

Si può mostrare che, come nel caso non-relativistico, la funzione di Green forniscel’evoluzione temporale della funzione d’onda dal tempo t al tempo t ′ (t ′ ≥ t) mediante laformula∫ψ(x ′ ) = d 3 x K(x ′ , x) γ 0 ψ(x) . (8.32)Quindi, l’ampiezza di transizione da uno stato ψ i (x) ad uno stato ψ f (x ′ ) con x ′ 0 > x 0 èdata da∫ ∫M fi = d 3 x d 3 x ′ ψ † f (x′ ) K(x ′ , x) γ 0 ψ i (x)∫ ∫= d 3 x d 3 x ′ ψ f (x ′ ) γ 0 K(x ′ , x) γ 0 ψ i (x) . (8.33)K(x ′ , x) può essere espressa nel modo seguente:∫K(x ′ , x) = K 0 (x ′ , x) − i e d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) /A(x 1 ) K(x 1 , x)∫= K 0 (x ′ , x) − i e d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) /A(x 1 ) K 0 (x 1 , x)∫ ∫+ (−i e) 2 d 4 x 1 d 4 x 2 K 0 (x ′ , x 1 ) /A(x 1 ) K 0 (x 1 , x 2 ) /A(x 2 ) K 0 (x 2 , x) + . . . .(8.34)Al prim’ordine l’ampiezza di transizione è∫ ∫∫M (1)fi= − i e d 3 x d 3 x ′ ψ f (x ′ ) γ 0 d 4 x 1 K 0 (x ′ , x 1 ) /A(x 1 ) K 0 (x 1 , x) γ 0 ψ i (x)∫= − i e d 4 x 1 ψ f (x 1 ) /A(x 1 ) ψ i (x 1 ) . (8.35)Supponiamo che gli stati iniziale e finale dell’elettrone siano autostati del quadri-impulsocon valori positivi dell’energia,ψ i (x) = 1 √V√ mE iu i (p i ) e −ip ix ,ψ f (x) = 1 √V√ mE fu f (p f ) e −ip f x ,(8.36a)(8.36b)e scriviamo A µ (x) mediante la sua trasformata di Fourier∫A µ (x) = d 4 q a µ (q) e −iqx . (8.37)Sostituendo le (8.36) e (8.37) nella (8.35) si ottiene∫ ∫Vm (E iE f ) 1/2 M (1)fi= − i e d 4 x 1 d 4 q u f (p f ) /a(q) u i (p i ) e i(p f −q−p i )x 1∫= − i e (2π) 4 d 4 q u f (p f ) /a(q) u i (p i ) δ 4 (p f − q − p i )= − i e (2π) 4 u f (p f ) /a(p f − p i ) u i (p i ) . (8.38)80

¥££ £££ £¢ £¡£ ¤¥§¦ ¥©¨Figura 8.2: Rappresentazione diagrammatica (Feynman) dell’ampiezza di transizione alsecondo termine perturbativo M (2)finell’equazione (8.41), con p = p i + k = p f − q 1 .Dalle espressioni (8.33) e (8.34) si trova che il secondo termine perturbativodell’ampiezza di transizione è∫ ∫M (2)fi= (−i e) 2 d 4 x 1 d 4 x 2 ψ f (x 1 ) /A(x 1 ) K 0 (x 1 , x 2 ) /A(x 2 ) ψ i (x 2 )= m ∫ ∫∫1V (E i E f ) (−i 1/2 e)2 d 4 x 1 d 4 x 2 u f (p f ) e ip f x 1d 4 q 1 /a(q 1 ) e −iq 1x 1= m V× i(2π) 4 ∫d 4 p/p + mp 2 − m 2 + iɛ e−ip(x 1−x 2 )∫1(E i E f ) (−i 1/2 e)2 i (2π) 4× u f (p f ) /a(q 1 )d 4 q 1∫∫d 4 q 2 /a(q 2 ) e −iq 2x 2u i (p i ) e −ip ix 2∫d 4 q 2 d 4 p δ 4 (p f − q 1 − p) δ 4 (p − q 2 − p i )/p + mp 2 − m 2 + iɛ /a(q 2) u i (p i ) . (8.39)Indicando con f(q 1 , q 2 , p) la parte matriciale della funzione integranda, abbiamo∫ ∫ ∫d 4 q 1 d 4 q 2 d 4 p f(q 1 , q 2 , p) δ 4 (p f − q 1 − p) δ 4 (p − q 2 − p i ) =∫ ∫= d 4 q 1 d 4 q 2 f(q 1 , q 2 , p) δ 4 (p f − q 1 − q 2 − p i ) ∣e quindiM (2)fi= i (−i e) 2 (2π) 4 m V∫=∣p=pf −q 1d 4 q 2 f(q 1 , q 2 , p)∣ p=pi +q 2, (8.40)q 1 =p f −p i −q 2∫1(E i E f ) 1/2d 4 k u f (p f ) /a(p f −p i −k)Questa ampiezza è rappresentata diagrammaticamente nella Figura 8.2.8.4 Applicazione: scattering Rutherford/k + /p i + m(k + p i ) 2 − m 2 + iɛ /a(k) u i(p i ) .(8.41)Calcoliamo lo scattering di un elettrone in un campo coulombiano all’ordine più basso.81

◮Ampiezza di scatteringNello spazio degli impulsi l’ampiezza di scattering èM (1)fi= −i e (2π) 4 m V1(E i E f ) 1/2 u f(p f ) /a(p f − p i ) u i (p i ) , (8.42)dovecon/a(q) può essere espresso come/a(q) = 1(2π) 4 ∫A µ = (V,⃗0) ,/a(q) = − 1(2π) 4 ∫= − Z e4πd 4 x /A(x) e iqx , (8.43)V = − Z e4π r . (8.44)d 4 x γ 0 Z e4π r ei(q 0t−⃗q·⃗x)∫1(2π) δ(q 0) γ 0 3d 3 x e−i⃗q·⃗x)r. (8.45)EssendootteniamoQuindiM (1)fi= m V∫d 3 x e−i⃗q·⃗x)r= 4π⃗q 2 , (8.46)/a(q) = − Z e(2π) 3 δ(q 0) γ 0 1⃗q 2 . (8.47)1(E i E f ) i Z 11/2 e2 (2π) δ(E i − E f ) ( ) 2u f (p f ) γ 0 u i (p i ) . (8.48)⃗pi −⃗p f◮Sezione d’urto differenzialeCalcoliamo il modulo quadro di M (1)fi :|M (1)fi |2 = m2V 2 1E i E f(Ze2 )2 [2π δ(E i − E f )] 2 1[ (⃗pi−⃗p f) 2] 2|A| 2 , (8.49)doveA = u f (p f ) γ 0 u i (p i ) . (8.50)Il quadrato [2π δ(E i − E f )] 2 può essere scritto come∫[2π δ(E i − E f )] 2 = 2π δ(E i − E f ) dt e −i(E i−E f )t= 2π δ(E i − E f ) T , (8.51)dove T è l’intervallo di tempo in cui avviene il processo.82

Quindi, la probabilità di transizione per unità di tempo è (vedi anche l’Appendice I)[ ] 2dw fi = 2π δ(E i − E f ) m2 1 Z e 2V 2 ( )E i E 2|A| 2 dn f , (8.52)f ⃗pi −⃗p fossia, integrando sull’energia E f ,∫dw fi ′ = dw fidE fdE f[ ] 2= 2π m2 1 Z e 2V 2 ( )E i E 2|A| 2 dn ∣f ∣∣∣Ef. (8.53)f ⃗pi −⃗p fdE f =E iLa sezione d’urto differenziale èdove I è l’intensità del fascio:dσ = dw′ fiI, (8.54)I = v i ρ = v iV , (8.55)essendo v i = |⃗p i |/E i la velocità dell’elettrone incidente rispetto al centro diffusore e ρ ladensità.Per la densità degli stati finali abbiamodn fdE f=V(2π) 3 d 3 p fdE f= V(2π) 3 dΩ |⃗p f| 2 d|⃗p f|dE f. (8.56)Essendo d|⃗p f|dE fe quindi= E f|⃗p f | , otteniamo dn fdE f=V(2π) 3 E f |⃗p f | dΩ , (8.57)[ ]dσ = 12Z e 2(2π) 2 ( ) 2|A| 2 m 2 dΩ . (8.58)⃗pi −⃗p fPossiamo anche scrivere(⃗pi −⃗p f) 2= 2p 2 (1 − cos ϑ) = 4p 2 sin 2 ϑ 2 , (8.59)dove ϑ è l’angolo di diffusione e p = |⃗p i | = |⃗p f |. Introducendo la costante di strutturafine α = e24π , la (8.58) diventa dσ = (Z α)2 m 24 p 4 sin 4 ϑ 283|A| 2 dΩ . (8.60)

Se non siamo interessati alle polarizzazioni dell’elettrone negli stati iniziale e finale,allora mediamo e sommiamo sugli stati di spin:12∑|A| 2 = 1 ∑2r,sDalla formula (C.5) si hae quindir,su (s)f(⃗p f) γ 0 u (r)= 1 2 Tr [γ 0 /p i + m2mi(⃗p i ) u (r)i (⃗p i ) γ 0 u (s)f (⃗p f)/p ]γ0 f + m2m= 18 m 2 Tr[ γ 0 /p i γ 0 /p f + m 2 11 ] . (8.61)Tr [ γ 0 γ µ γ 0 γ ν] p iµ p fν = 4 ( g 0µ g 0ν − g 00 g µν + g 0ν g 0µ) p iµ p fν12∑r,s= 4 ( E i E f +⃗p i ·⃗p f), (8.62)|A| 2 = 12 m 2 (Ei E f +⃗p i ·⃗p f + m 2) . (8.63)Nel caso di scattering elastico si ha E i = E f ≡ E e |⃗p i | = |⃗p f | = √ E 2 − m 2 , per cui12∑r,sUtilizzando la formula relativistica|A| 2 = 12 m 2 [E 2 + ( E 2 − m 2) cos ϑ + m 2]= 1 [ 1 (E 2 − m 2) ](1 + cos ϑ) + m 2 . (8.64)m 2 2si ottiene12∑r,sm 2E 2 = 1 − v2 , (8.65)|A| 2 = E2m 2 [ 12 v2 (1 + cos ϑ) + 1 − v 2 ]= E2m 2 (1 − v 2 sin 2 ϑ 2). (8.66)La formula finale per la sezione d’urto differenziale per scattering non polarizzato è quindidσdΩ = (Z α) 24 v 2 p 2 sin 4 ϑ 2(1 − v 2 sin 2 ϑ ). (8.67)284

Appendice AUnità naturaliIn unità ordinarie le costanti e c hanno le dimensioni[] = [E · t] ,[c] = [ l · t −1] .(A.1)(A.2)Le unità naturali sono definite dalla condizione = c = 1 .(A.3)Questa condizione implica quindi che, in unità naturali, valgano le seguenti relazionidimensionali:[E] = [ t −1] = [ l −1] .(A.4)Inoltre, dalla relazione relativistica energia-impulso, scritta in unità naturali,E 2 = ⃗p 2 + m 2(A.5)si ricava che[E] = [|⃗p|] = [m] .(A.6)Per la conversione numerica tra le diverse grandezze in unità naturali è utile usare laformula c = 197 Mev · fm ,(A.7)che, in unità naturali, si riduce a197 Mev · fm = 1 . (A.8)85

Appendice BQuadri-vettori – metricaConsideriamo uno spazio vettoriale a 4 dimensioni. Gli elementi di questo spazio vettorialesi chiamano quadri-vettori. Il quadri-vettore v ha componenti controvariantiv µ = (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ), dove v 0 è la componente temporale e v 1 , v 2 , v 3 sono le componentispaziali 1 , le quali si trasformano come le componenti di un tri-vettore euclideo⃗v = (v 1 , v 2 , v 3 ) per rotazioni spaziali. Le componenti covarianti v µ = (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) delquadri-vettore v sono legate alle componenti controvarianti dalla relazionev µ = g µν v µ ,dove g e’ il tensore metrico, con componenti covarianti g µν date dag µν =⎛⎜⎝1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1⎞⎟⎠ .(B.1)(B.2)Perciò, le componenti covarianti e controvarianti del quadri-vettore v sono legate dallerelazioniv 0 = v 0 , v k = −v k (k = 1, 2, 3) . (B.3)Le componenti controvarianti (g µν ) del tensore metrico sono date dalla relazionecong µρ g ρν = g µ ν ,⎛ ⎞1 0 0 0g ν µ ≡ ⎜0 1 0 0⎟⎝0 0 1 0⎠ .0 0 0 1(B.4)(B.5)1 Per gli indici quadri-dimensionali, che vanno da 0 a 3, usiamo lettere greche µ, ν, ρ, . . ., mentre gliindici tri-dimensionali, che vanno da 1 a 3, usiamo lettere romane k, i, j, . . .. Usiamo anche la notazionesecondo la quale quando un indice è ripetuto in uno stesso termine è implicita la somma sui suoi valori.Ad esempiou µ v µ = u 0 v 0 + u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 .86

Perciòg µν = g µν =⎛⎜⎝1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1⎞⎟⎠ .(B.6)Il prodotto scalare tra due quadri-vettori u, v è dato dau · v = u µ v µ = u µ v µ = g µν u µ v ν = g µν u µ v ν = u 0 v 0 − ⃗u · ⃗v .(B.7)I quadri-vettori si dividono in tre gruppi, a seconda del segno della loro norma v 2 ≡ v · v,v 2 > 0 quadri-vettori di tipo tempo (B.8a)v 2 = 0 quadri-vettori di tipo luce (B.8b)v 2 < 0 quadri-vettori di tipo spazio (B.8c)Una trasformazione di Lorentz L(Λ) agisce sui quadri-vettori trasformando un quadrivettorev in un quadri-vettore v ′ v ′µ = Λ µ ν vν , (B.9)in modo da mantenere invariante la norma dei quadri-vettori:v ′2 = v 2 ⇐⇒ g µν Λ µ α Λ ν βv α v β = g αβ v α v β . (B.10)Ciò implica che le matrici Λ µ ν devono soddisfare alla relazioneg µν Λ µ α Λ ν β = g αβ .(B.11)La trasformazione inversa della (B.9) ècome si verifica immediatamente utilizzando la (B.11).v ν = Λ νµ v ′µ , (B.12)87

Appendice CTracce di prodotti di matrici γProprietà fondamentali:1) La traccia del prodotto di un numero dispari di matrici γ è nulla. Infatti(Tr(γ µ 1(γ. . . γ µn 5) = Tr)2 )γ µ 1. . . γ µn = Tr ( γ 5 γ µ 1. . . γ µn γ 5)( (γ= (−1) n 5Tr) )2γµ 1. . . γ µn = (−1) n Tr(γ µ 1. . . γ µn ) ,(C.1)dove γ 5 è stato prima permutato circolarmente e poi commutato con le γ µ k. Inparticolare, si haTr(γ µ ) = 0 ,Tr ( γ µ γ 5) = 0 .(C.2)(C.3)2) Se il numero n di matrici γ è pari, il numero di fattori può essere progressivamentescalato di 2 utilizzando le proprietà di anticommutazione. Per esempio,Tr(γ µ γ ν ) = 1 2 Tr(γµ γ ν + γ ν γ µ ) = g µν Tr(11) = 4 g µν .(C.4)Analogamente,Tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = g µν Tr(γ ρ γ σ ) − g µρ Tr(γ ν γ σ ) + g µσ Tr(γ ν γ ρ )= 4 (g µν g ρσ − g µρ g νσ + g µσ g νρ ) .(C.5)La formula generale per ridurre la traccia di un prodotto di n matrici γ, con n pari,alla somma di tracce di prodotti di n − 2 matrici γ è data daTr(γ µ 1γ µ 2γ µ3 · · · γ µn ) = g µ 1µ 2Tr[γ µ 3γ µ4 · · · γ µn ] − g µ 1µ 3Tr[γ µ 2γ µ4 · · · γ µn ] + · · ·· · · + g µ 1µ nTr[γ µ 2γ µ3 · · · γ µ n−1] .(C.6)Notare alcuni casi particolari:Tr ( γ 5) = 0 ,Tr ( γ µ γ ν γ 5) = 0 .(C.7)(C.8)88

InfattiTr ( (γ µ ) 2 γ 5) = −Tr ( γ µ γ 5 γ µ) = −Tr ( (γ µ ) 2 γ 5)e da (γ µ ) 2 ± 11 segue che Tr(γ 5 ) = −Tr(γ 5 ) = 0. La (C.8) può essere verificata usando ladefinizione (1.40) della matrice γ 5 :Tr ( γ µ γ ν γ 5) = − i Tr ( γ µ γ ν γ 0 γ 1 γ 2 γ 3)= − i 2 Tr( γ µ γ ν γ 0 γ 1 γ 2 γ 3) − i 2 Tr( γ ν γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ µ)= − i g µ3 Tr ( γ ν γ 0 γ 1 γ 2) + i g µ2 Tr ( γ ν γ 0 γ 1 γ 3) − i g µ1 Tr ( γ ν γ 0 γ 2 γ 3)+ i g µ0 Tr ( γ ν γ 1 γ 2 γ 3) − i g µν Tr ( γ 0 γ 1 γ 2 γ 3)= 0 .Il prodotto di matrici γ di ordine più basso contenente la γ 5 con traccia non nulla èγ µ γ ν γ ρ γ σ γ 5 :Tr ( γ µ γ ν γ ρ γ σ γ 5) = 4 i ɛ µνρσ ,(C.9)dove ɛ µνρσ è il tensore di rango 4 completamente antisimmetrico con ɛ 0123 = +1. Infatti,la traccia (C.9) è antisimmetrica per tutte le permutazioni dispari degli indici µ, ν, ρ, σe si ha inoltreTr ( γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 γ 5) = i Tr ( γ 5 γ 5) = 4 i = 4 i ɛ 0123 .In base alle proprietà precedenti si ritrova che tutte le matrici Γ a hanno traccia nulla,eccetto la matrice identità Γ 1 ≡ 11.Per i prodotti di un numero n pari di matrici γ vale la proprietàTr(γ µ 1γ µ2 · · · γ µ n−1γ µn ) = Tr(γ µn γ µ n−1· · · γ µ 2γ µ 1) . (C.10)Infatti, inserendo tra tutte le coppie di matrici γ l’identità nella forma C −1 C = 11, dove Cè la matrice di coniugazione di carica tale che Cγ µ C −1 = −˜γ µ , poichè n è pari si haTr(γ µ 1γ µ2 · · · γ µ n−1γ µn ) = Tr ( C γ µ 1C −1 C γ µ 2C −1 · · · C −1 C γ µ n−1C −1 C γ µn C −1)= (−1) n Tr(˜γ µ1 ˜γ µ2 · · · ˜γ µ n−1˜γ µn ) = Tr([γ )µn γ µ n−1· · · γ µ 2γ µ 1] T= Tr(γ µn γ µ n−1· · · γ µ 2γ µ 1) .89

Appendice DRappresentazioni delle matrici γD.1 Proprietà generaliLe matrici γ sono definite dalla relazione di anticommutazionee dalla condizione{γ µ , γ ν } = 2 g µν 11 , (D.1)γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 .(D.2)Una scelta specifica delle matrici che soddisfano alla (D.1) viene chiamatarappresentazione delle matrici γ.Secondo il teorema fondamentale di Pauli sulle rappresentazioni delle matrici di Dirac,date due rappresentazioni γ µ e γ ′µ di dimensione 4×4, esiste una matrice S non-singolare(cioè tale che esiste la matrice inversa S −1 ) che connette le due rappresentazioni tramitela relazione di equivalenzaγ ′µ = S γ µ S −1 .(D.3)La matrice S è definita univocamente a meno di una costante moltiplicativa arbitraria.La condizione (D.2), che nella rappresentazione γ ′µ si scriveγ ′ µ† = γ ′0 γ ′µ γ ′0 ,(D.4)implica che la matrice S deve essere unitaria:S † = S −1 .(D.5)Infatti, utilizzando la (D.2) e la relazione inversa della (D.3),γ µ = S −1 γ ′µ S ,(D.6)dalla relazione (D.3) si ottieneγ ′ µ† = (SS † ) −1 γ ′0 γ ′µ γ ′0 (SS † ) .(D.7)Per soddisfare la relazione (D.4), si deve avereS S † = 11 .(D.8)90

Analogamente, utilizzando la (D.4) e la (D.3), dalla relazione (D.6) si ottieneγ µ† = (S † S) γ 0 γ µ γ 0 (S † S) −1 .(D.9)Per soddisfare la relazione (D.2), deve essereS † S = 11 .(D.10)Le relazioni (D.8) e (D.10) implicano la relazione di unitarietà (D.5). Dalle relazioni(D.3) e (D.5) segue che la matrice S è definita univocamente a meno di una fase.Questo è il teorema fondamentale di Pauli sulle rappresentazioni delle matrici γ, che siriassume dicendo che tutte le rappresentazioni delle matrici di Dirac sono unitariamenteequivalenti.In questa Appendice considereremo le tre rappresentazioni maggiormente utilizzate:la rappresentazione di Dirac, quella di Majorana e quella chirale.D.1.1Rappresentazione di DiracQuesta rappresentazione viene anche chiamata rappresentazione standard ed è utile perdiscutere il limite non-relativistico dell’equazione di Dirac.( )( )11 00 σγD 0 = , γD k 0 −11= k−σ k , (D.11)0γ 5 D =( )0 −11, αD k =−11 0( )0 σkσ k 0, (D.12)( ) 0 σC D = i γD 2 γ0 D = −i α2 D = −i 2σ 2 , (D.13)0σ 0kD( )0 σk= iσ k 0( ), σ ij σD = k0ɛijk0 σ k , (D.14)D.1.2( ) 0 −11γD 0 γ5 D = 11 0Rappresentazione di Majorana( ) −σ, γD k γ5 D = k00 σ k . (D.15)Questa rappresentazione rende reale l’equazione di Dirac scambiando tra loro αD 2 (l’unicamatrice complessa nella rappresentazione di Dirac) e β D . Infatti l’equazione di Dirac informa hamiltoniana può essere scritta come( ∂∂t + ⃗α · ⃗∇ + i β m)ψ = 0 ,(D.16)da cui si vede che l’equazione di Dirac è reale se le α k sono reali e β è immaginaria.91

Le trasformazioni αD 2 → β M e β D → αM 2 sono realizzate dalla trasformazione diequivalenzaγ µ M = S M γ µ D S−1 M(D.17)cone cheS M =√ 1 ( )( )βD + αD2 1 ( )= √2 γ0D + γD 0 1 11 σ22 γ2 D = √2σ 2 . (D.18)−11Utilizzando la (D.18) si verifica esplicitamente cheS M = S −1M = S† M . (D.19)β M = S M β D S −1M = α2 D , (D.20)αM 2 = S M αD 2 S−1 M = β D . (D.21)In conclusione, nella rappresentazione di Majorana si ha( )( )0 σγM 0 = 2iσσ 2 , γM 1 0= 300 iσ 3 , (D.22)( )0 −σγM 2 2=σ 2 0, γ 3 M =( )−iσ100 −iσ 1 , (D.23)( ) ( )0 −σαM 1 = 111 0−σ 1 , αM 2 0= , (D.24)0 −11( )0 −σαM 3 3=−σ 3 0, γ 5 M =( )−σ200 σ 2 , (D.25)D.1.3( ) 0 σC M = −i γM 0 = −i 2σ 2 . (D.26)0Rappresentazione chiraleQuesta rappresentazione è utile per studiare le proprietà di chiralità (γ 5 è diagonale) eper risolvere l’equazione di Dirac per particelle di massa nulla (quali potrebbero essere ineutrini). La rappresentazione chirale si ottiene dalla rappresentazione di Dirac in modoche γ 5 C = γ0 D e γ0 C = −γ5 D .La trasformazione di equivalenza dalla rappresentazione di Dirac a quella chirale èdata daγ µ C = S C γ µ D S−1 C , (D.27)conS C = √ 1( )( )11 + γ0D γD5 1 11 −11= √22 11 1192(D.28)

Notare cheS † C = ˜S C = S −1C = √ 1( )( )11 − γ0D γD5 1 11 11= √22 −11 11. (D.29)Le matrici γ k nella rappresentazione chirale sono uguali alle corrispondenti matricinella rappresentazione di Dirac:γ k C = S C γ k D S −1C = γk D . (D.30)La matrice di coniugazione di carica è data da( iσ2C C = S C C D ˜SC =0)0−iσ 2 . (D.31)In conclusione, nella rappresentazione chirale si ha( )( )0 110 σγC 0 = , γC k 11 0= k−σ k 0, (D.32)( )( )11 0−σγC 5 = , αC k 0 −11= k00 σ k , (D.33)( ) ( )σ20σC C = i0 −σ 2 , Σ k k0C =0 σ k . (D.34)93

Appendice ETrasformazioni di forme bilineari perinversione temporalePer inversione temporale si haψ ′ (x ′ ) Γ a ψ ′ (x ′ ) = ˜ψ(x) ˜B −1 Γ a ˜B ˜ψ(x) =[˜ψ(x) ˜B−1 Γ a ˜B ˜ψ(x)] T= ψ(x) B ˜Γ a B −1 ψ(x) .(E.1)Per ottenere le matrici B˜Γ a B −1 basta tenere conto delle proprietà (1.129) e delle relazionida queste ricavabili:Si ha quindiB ˜γ 5 B −1 = −γ 5 ,B (˜γ 5 ˜γ µ) B −1 = B ˜γ µ B −1 γ 5 ={+σB ˜σ µν B −1 µν={ +γ 0 γ 5 per µ = 0 ,−γ k γ 5 per µ = k .per µ = 0, ν≠0 oppure µ≠0, ν = 0 ,−σ µν per µ≠0, ν≠0 .(E.2), (E.3). (E.4)1) Γ a = 11.2) Γ a = γ µ .ψ ′ (x ′ ) ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) B B −1 ψ(x) = ψ(x) ψ(x) .(E.5)ψ ′ (x ′ ) γ µ ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) B ˜γ µ B −1 ψ(x) ={ + ψ(x) γ 0 ψ(x) per µ = 0 ,− ψ(x) γ k ψ(x) per µ = k .(E.6)3) Γ a = σ µν .ψ ′ (x ′ ) σ µν ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) B ˜σ µν B −1 ψ(x){+ψ(x) σ µν ψ(x) per µ = 0, ν≠0=−ψ(x) σ µν ψ(x) per µ≠0, ν≠0 .oppure µ≠0, ν = 0 ,(E.7)94

4) Γ a = γ µ γ 5 .ψ ′ (x ′ ) γ µ γ 5 ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) B ˜γ 5 ˜γ µ B −1 ψ(x) ={+ψ(x) γ 0 γ 5 ψ(x) per µ = 0 ,−ψ(x) γ k γ 5 ψ(x) per µ = k .(E.8)5) Γ a = γ 5 .ψ ′ (x ′ ) γ 5 ψ ′ (x ′ ) = ψ(x) B ˜γ 5 B −1 ψ(x) = −ψ(x) γ 5 ψ(x) .(E.9)95

Appendice FDimostrazione della proprietà⃗L 2 (⃗σ · ⃗p) ϕ = l χ(lχ + 1 ) (⃗σ · ⃗p) ϕConsideriamo gli spinori a due componenti χ e ϕ definiti nell’eq.(5.27), i quali sonoautofunzioni di ⃗ L 2con rispettivi autovalori 2 l χ (l χ + 1) e 2 l ϕ (l ϕ + 1) (si vedano leeq.(5.21), (5.22)). In questa appendice dimostriamo che ⃗σ ·⃗p ϕ è un autofunzione di ⃗ L 2con autovalore 2 l χ (l χ +1). Analogamente, si può dimostrare che ⃗σ·⃗p χ è un autofunzionedi ⃗ L 2 con autovalore 2 l ϕ (l ϕ + 1).L’azione dell’operatore ⃗ L 2 sulla funzione ⃗σ ·⃗p ϕ è data da[ ]2 2⃗ L (⃗σ ·⃗p) ϕ = (⃗σ ·⃗p) ⃗ L ϕ + ⃗L2, ⃗σ ·⃗p ϕ[ ]= 2 l ϕ (l ϕ + 1) (⃗σ ·⃗p) ϕ + ⃗L2, ⃗σ ·⃗p ϕ .(F.1)Calcoliamo il commutatore nella (F.1) utilizzando l’identità [L k L k , p j ] = [L k , [L k , p j ]] +2[L k , p j ]L k e il commutatore [L k , p j ] = ɛ kml [r m , p j ]p l = i ∑ ɛ kjl p l :l[⃗L2, ⃗σ ·⃗p]= ∑ k,jσ j {[ L k , [ L k , p j]] + 2 [ L k , p j] L k}= ∑ σ { j − 2 ɛ kjl ɛ klm p m + 2 i ɛ kjl p l L k}k,j(= 2 2 ⃗σ ·⃗p + 2 (⃗σ ·⃗p) ⃗σ · ⃗L).L’ultima eguaglianza discende dalle proprietà∑ɛ klj ɛ klm = 2 δ jm ,k,li ∑ jσ j ɛ jkl = δ kl − σ k σ l ,(F.2)(F.3)(F.4)e da ⃗p · ⃗L = 0.96

Poichè ϕ è un’autofunzione dell’operatore ⃗σ · ⃗L con autovalore −(1 − κ) (si vedal’eq.(5.19)), dalla (F.2) si ha[ ]⃗L2, ⃗σ ·⃗p ϕ = 2 2 κ (⃗σ ·⃗p) ϕ .(F.5)Infine, utilizzando la relazione l ϕ (l ϕ + 1) + 2κ = l χ (l χ + 1) (si veda l’eq.(5.23)), dalle(F.1) e (F.5) si ottiene2⃗ L (⃗σ ·⃗p) ϕ = lχ (l χ + 1) (⃗σ ·⃗p) ϕ .(F.6)97

Appendice GDensità Lagrangiana di DiracSupponiamo di avere un insieme di campi ϕ α (x), con α = 1, . . . , N (per esempio, nel casodi una particella con spin 1/2 si ha lo spinore ψ α (x) dove α = 1, . . . , 4 sono gli indici diDirac) con una densità lagrangianaL = L(ϕ α , ∂ µ ϕ α )(G.1)che sia uno scalare di Lorentz. La formulazione lagrangiana della teoria dei campi è particolarmenteadatta a descrivere la dinamica relativistica con un formalismo esplicitamentecovariante.I valori dei campi ϕ α (x) in ogni punto x dello spazio-tempo e i valori delle loro derivate∂ µ ϕ α rappresentano un infinito continuo di gradi di libertà.◮Principio variazionale ed equazioni di campoLe equazioni di campo sono ottenute dal principio variazionale seguente. Definiamol’integrale d’azione∫I(Ω) ≡ d 4 x L(ϕ α , ∂ µ ϕ α )(G.2)Ωsu una regione spazio-temporale Ω arbitraria. Se i campi sono variati, ϕ α (x) → ϕ α (x) +δϕ α (x), in modo tale che le variazioni si annullino sull’iper-superficie Γ che delimita Ω,l’integrale d’azione ha un valore stazionario:δI(Ω) = 0 .(G.3)La variazione dell’integrale d’azione è data da∫ [ ∂LδI(Ω) = d 4 x∂ϕ α δϕα +∫=ΩΩ[ ∂Ld 4 x∂ϕ α δϕα + ∂ µ(]∂L∂(∂ µ ϕ α ) δ(∂ µϕ α )} {{ }∂ µ(δϕ α )) ∂L∂(∂ µ ϕ α ) δϕα( ) ]∂L− ∂ µ δϕ α . (G.4)∂(∂ µ ϕ α )Utilizzando il teorema di Gauss, si ha∫ () ∫∂Ld 4 x ∂ µ∂(∂ µ ϕ α ) δϕα =ΩΓdS µ∂L∂(∂ µ ϕ α ) δϕα = 0 ,(G.5)98

perchè δϕ α = 0 sull’iper-superficie Γ. Quindi, dal principio variazionale (G.3) ricaviamo∫ [ ]∂L0 = δI(Ω) = d 4 x∂ϕ − ∂ ∂Lα µ δϕ α .(G.6)∂(∂ µ ϕ α )ΩData l’arbitrarietà delle variazioni δϕ α , si ottengono le equazioni di campo (equazioni diEuler-Lagrange)∂L∂ µ∂(∂ µ ϕ α ) − ∂L = 0 (α = 1, . . . , N) . (G.7)∂ϕα Sottolineiamo che le proprietà di covarianza delle equazioni di campo (G.7) dipendonodal requisito che la densità lagrangiana (G.1) sia un invariante di Lorentz. Questacondizione determina la struttura esplicita della densità lagrangiana di ogni singolocampo.◮Lagrangiana di Dirac ed equazioni di campoDimostriamo che la densità lagrangiana di Dirac (Lorentz invariante)L(x) = ψ(x) (i c ↛ ∂ −m c 2 ) ψ(x)(G.8a)= ψ(x) (−i c ↚ ∂ −m c 2 ) ψ(x) (G.8b)conduce, tramite le equazioni di Euler-Lagrange (G.7), all’equazione di Dirac. (Le dueespressioni (G.8a) e (G.8b) per la L sono equivalenti perchè differiscono per una quadridivergenza,che costituisce un termine ininfluente nella derivazione delle equazioni diEuler-Lagrange.)Nella variazione di L per la derivazione delle equazioni di campo secondo la (G.7), ψe ψ devono essere considerati indipendenti. Consideriamo la variazione di L rispetto aψ. Utilizzando la (G.8a) si ha∂L∂ψ = (i c ↛ ∂ −mc 2 ) ψ(x) ,per cui si ottiene l’equazione di campo∂L∂(∂ µ ψ) = 0 ,(G.9)(i c /∂ − mc 2 ) ψ(x) = 0 , (G.10)che in unità naturali si scrive(i /∂ − m) ψ(x) = 0 . (G.11)Se consideriamo la variazione di L rispetto a ψ, utilizzando la (G.8b) si ottiene∂L∂ψ = ψ(x) (−i ↚ ∂ −m) ,per cui si ottiene l’equazione di campo∂L∂(∂ µ ψ) = 0 ,(G.12)ψ(x) (i ↚ ∂ +m) = 0 .(G.13)99

Se avessimo variato la (G.8b) rispetto a ψ e la (G.8a) rispetto a ψ, avremmo ottenuto lestesse equazioni (G.11) e (G.13), rispettivamente.◮Trasformazioni chiraliLe proprietà peculiari delle particelle di spin 1/2 con massa nulla discusse nel Capitolo7 derivano dall’invarianza della densità Lagrangiana di Dirac per trasformazionichirali. Definita come trasformazione chirale la trasformazioneψ → γ 5 ψ ,(G.14)la Lagrangiana di Dirac si trasforma nel modo seguente:L D = ψ (i /∂ − m) ψ −−−−→ψ→γ 5 ψψ (−γ 5) (i /∂ − m) γ 5 ψ= ψ (i /∂ + m) γ5 2 ψ = ψ (i /∂ + m) ψ= L D + 2 m ψ ψ . (G.15)Si ha quindi invarianza per trasformazione di chiralità se e solo se m = 0.100

Appendice HRappresentazione integrale dellafunzione di Green per l’equazione diDirac liberaLa funzione di Green relativa all’equazione di Dirac libera può essere scritta come (vedila Sezione 8.2)K F (x ′ − x) =i ∫d 4 p /p + m −x) ,(H.1)(2π) 4 C Fp 2 − m 2 e−ip(x′dove C F è il cammino di integrazione di Feynman nel piano complesso della variabile p 0mostrato nella Figura 8.1. Il cammino di integrazione può essere chiuso all’infinito inmodo da applicare il teorema di Cauchy∫f(z) dz = 2πi ∑ lim [(z − a n ) f(z)] ,(H.2)Cz→a nndove i punti z = a n sono i poli (semplici) di f(z) e l’integrale sul contorno C viene percorsoin senso antiorario. Poichè la convergenza dell’integrale (H.1) dipende dal fattoree −ip0 (x ′ 0 −x 0) = e −i(x′ 0 −x 0)Re(p 0) e (x′ 0 −x 0)Im(p 0) ,(H.3)occorre (vedi la Figura H.1):1) chiudere il cammino di integrazione inferiormente per x ′ 0 > x 0;2) chiudere il cammino di integrazione superiormente per x ′ 0 < x 0.Applicando il teorema di Cauchy alla funzione di Green K F (x ′ − x), si ottiene∫ []K F (x ′ − x) = 2πθ(x ′ 10 − x 0 ) d 3 /p + mp lim (p(2π) 4 0 − E)e−ip·(x′ −x)p 0 →E (p 0 − E) (p 0 + E)∫ []− 2πθ(x 0 − x ′ 0 ) 1d 3 /p + mp lim (p(2π) 4 0 + E)e−ip·(x′ −x)p 0 →−E (p 0 + E) (p 0 − E)∫d 3 p{}=θ(x ′(2π) 3 02E− x 0) (/p + m) e −ip·(x′ −x) − θ(x 0 − x ′ 0 ) (/p − m) eip·(x′ −x).p 0 =E(H.4)101

(A)x ′ 0 > x 0Im p 0✻✠Im p 0✻■✲−E ✲✖ ✕✲✗ ✔ ✲+E✲Re p 0✲−E ✲✖ ✕✲✗ ✔ ✲+E✲Re p 0■✠(B)x ′ 0 < x 0Figura H.1: Chiusura del cammino di integrazione di Feynman.102

Appendice ICalcolo di sezioni d’urtoIn un sistema fisico descritto da un operatore hamiltoniano H 0 con autovalori E n , unaperturbazione H int induce delle transizioni tra gli stati imperturbati. Dalla teoria delleperturbazioni si trova che la probabilità di transizione per unità di tempo da uno statoiniziale i di energia E i ad uno stato finale f di energia E f è (vedi per esempio l’eq. (43.1)di Landau & Lifšits, Meccanica Quantistica) 1dw fi = 2π |〈f|H int |i〉| 2 δ(E i − E f ) dn f ,(I.1)dove dn f = dn fdE f e dn fè la densità degli stati finali, equivalente al numero di celledE f dE fdi volume (2π) 3 ((2π) 3 in unità ordinarie) nello spazio delle fasi. Per una particella convolume di normalizzazione V ed impulso ⃗pIntegrando dw fi sull’energia E f si hadn f = V d3 p f(2π) 3 . (I.2)dw fi = 2π |〈f|H int |i〉| 2 dn fdE f∣ ∣∣∣Ef=E i. (I.3)La sezione d’urto differenziale dσ è definita come rapporto tra la probabilità di transizionenell’unità di tempo e l’intensità del fascio I (numero di particelle incidenti perunità di superficie e unità di tempo). Notare che sia w fi che la sezione d’urto si intendonoper centro di scattering. Indicando con v la velocità del fascio relativamente al centro discattering, si haI = v ρ = v V ,(I.4)dove ρ è la densità di particelle del fascio. Quindi, per la sezione d’urto differenziale siottienedσ = 2π v |〈f|H int|i〉| 2 V 2 d 3 p f(2π) 3 ∣ ∣∣∣Ef=E i. (I.5)1 Nel linguaggio espressivo di Fermi questa regola era denominata “regola d’oro n. 2”.103