Appunti in teoria dei gruppi

1 Brevi Appunti sulla Teoria dei Gruppi di LieConsideriamo un gruppo G = {g} visto come insieme di elementi g che soddisfano alle seguentiproprietà:1) esiste una legge di composizione: presi g 1 , g 2 ∈ G allora g 1 g 2 = g 3 ∈ G,2) esite l’elemento identità: ∃e ∈ G tale che ge = eg = g,3) esiste l’elemento inverso: se g ∈ G allora ∃g −1 ∈ G tale che gg −1 = gg −1 = e,4) associatività: (g 1 g 2 )g 3 = g 1 (g 2 g 3 ).1.1 EsempiFacciamo alcuni esempi di gruppi di Lie, cioè di gruppi i cui elementi dipendono in modo continuoda alcuni parametri:U(1) = {z | z ∈ C, |z| = 1} = {e iα |α ∈ R}, gruppo delle fasiO(n) gruppo delle matrici reali ortogonali n × nSO(n) gruppo delle matrici reali ortogonali n × n con det g = 1U(n) gruppo delle matrici unitarie n × nSU(n) gruppo delle matrici unitarie n × n con det g = 1SO(n, m), SL(n, R), SL(n, C), etc.1.2 RapresentazioniIntroduciamo ora il concetto di rappresentazioni del gruppo. Una rappresentazione di un gruppoastratto G è una “realizzazione” delle relazioni moltiplicative del gruppo G in un corripondentegruppo di matrici quadrate. Queste matrici agiscono su uno spazio vettoriale la cui dimensione èdetta dimensione della rappresentazione. Esplicitamente in formuler : G ↦−→ Matricig ↦−→ r(g) (1)tali che1) r(g 2 )r(g 2 ) = r(g 1 g 2 )2) r(e) = I con I matrice identità.Da questo segue anche che r(g −1 )r(g) = r(e) = I. Inoltre l’associatività è automatica perchè ilprodotto tra matrici è associativo. Quindi tutte le proprietà del gruppo sono realizzate esplicitamentedalle matrici della rappresentazione. In effetti, negli esempi descritti sopra abbiamo usatodirettamente una rappresentazione ben definita (detta rappresentazione fondamentale) per definirei vari gruppi.Un esempio tipico, probabilmente già familiare al lettore, è costituito dalle reppresentazioni delgruppo delle rotazioni in uno spazio tridimensionale, gruppo indicato con SO(3). Una rappresentazionedel gruppo delle rotazioni è costituita dalle matrici che mescolano le armoniche sferiche Y lm .Le Y lm , pensate come vettori di uno spazio lineare, costituiscono ad l fissato uno spazio vettorialedi dimensione 2l + 1 (tante dimensioni quanti sono i possibili valori di m) e ciascuna rotazione èrappresentata in tale spazio da una matrice (2l + 1) × (2l + 1). Queste sono appunto le rappresentazioniirriducibili di SO(3): sono identificate dal valore (intero) di l e sono 2l + 1 dimensionali.Irriducibile significa che non c’è modo di ridurre le dimensioni della rappresentazione in questione(non c’è modo di ridurre con trasformazioni di similitudine r(g) ↦−→ r(g) ′ = A r(g) A −1 tutte lematrici della rappresentazione in forma diagonale a blocchi).1

1.3 Indici in “alto”, in “basso” ed indici puntatiDato un gruppo G ed una sua rappresentazione n dimensionale R = {r(g), matrici n × n}, allorapossiamo pensare a queste matrici come agenti su uno spazio vettoriale di dimensioni n. I vettoridi questo spazio vettoriale V a (dove a = 1, 2, . . . , n è l’indice che descrive le varie componenti delvettore) sono trasformati dalle matrici [r(g)] a b e diremo che il vettore V a si trasforma in modocovariante sotto l’azione del gruppo GV ag∈G↦−→ V a′ = [r(g)] a b V b (2)(notare che si usa la convenzione per cui indici ripetuti sono sommati automaticamente sui loropossibili valori). Diremo che vettori che si trasformano in modo identico a quello descritto qui soprahanno gli indici in “alto”. Data una rappresentazione r(g) (che come abbiamo detto corrisponde atrasformare vettori con indici in “alto”) ne possiamo immediatamente costruire altre: rappresentazione“complesso coniugata” r(g) ∗ , “inverso trasposta” r(g) −1 T ed “inverso hermitiana” r(g) −1 † .Per convenzione le faremo corrispondere a trasformazioni di vettori con “indici puntati in alto”,“indici in basso” ed “indici puntati in basso”, rispettivamente. In formuleV ȧV aVȧg∈G↦−→V ȧ′ = [r(g) ∗ ]ȧḃ V ḃg∈G↦−→ V a ′ = [r(g) −1 T ] a b V b (4)g∈G↦−→ Vȧ′ = [r(g) −1 † ]ȧḃ Vḃ (5)(3)È immediato verificare che queste sono rappresentazionie del gruppo se r(g) lo è. Si possonoottenere grandezze invarianti sotto l’azione del gruppo G prendendo il prodotto scalare tra vettoricon indici in alto (a volte detti controvarianti) e quelli con indici in basso (a volte detti covarianti)entrambi puntati o meno:V a W aXȧY ȧg∈G↦−→ V a ′ W a′ = V T′ W ′ = V T r(g) −1 r(g)W = V T W = V a W a (6)g∈G↦−→Xȧ′ Y ȧ′ = X T ′ Y ′ = X T r(g) −1 ∗ r(g) ∗ Y = X T Y = XȧY ȧ(7)In questi calcoli il tipo di notazione usata dovrebbe essere ovvia dal contesto. In generale non hasenso da un punto di vista gruppale contrarre in altro modo gli indici dei vettori sopra descritti. Sinoti che i tensori delta di Kroneker δ a b e δȧḃ, numericamente identici alla matrice identità, rimangonoinvariati per trasformazioni del gruppo se si trasformano i loro indici nel modo corrispondentealla natura degli indici descritto sopra.È possibile che alcune di queste diverse rappresentazioni siano equivalenti tra loro, cioè collegateda una trasformazione di similitudine. Infatti per rappresentazioni reali vale r(g) ∗ = r(g): dunqueV ȧ ∼ V a e Vȧ ∼ V a . dove il simbolo ∼ significa “si trasforma come”. Non c’è dunque bisogno inquesto caso di introdurre indici puntati. Per rappresentazioni unitarie vale r(g) −1 = r(g) † , e quindir(g) −1† = r(g), dunque Vȧ ∼ V a e V ȧ ∼ V a , Di nuovo non c’è bisogno di usare indici puntati. Infineper rappresentazioni unitarie e reali (cioè ortogonali) tutte e quattro le rappresentazioni descrittesopra sono equivalenti. Osservazione: le rappresentazioni finito dimensionali del gruppo di Lorentznon sono unitarie né reali. In questo caso tutti e quattro i diversi tipi di indici devono essere usatiperchè indicano rappresentazioni diverse.1.4 RappresentazioniDescriviamo SO(2) ed SO(3) in qualche dettaglio, e vediamo il concetto di generatori infinitesimi....2