Esercizi di Analisi Mat. 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

Annamaria MazziaEsercizi di Analisi Mat. 2Università degli Studi di Padovacorso di laurea in Ingegneria Edile-Architetturaa.a. 2012-2013Questo lavoro è pubblicato sotto una Creative Commons Attribution-Noncommercial-NoDerivative Works 2.5 Italy License,(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/it/)

CAPITOLO 1Funzioni reali di più variabili reali1.1 Domini di funzioneTrovare il dominio D (e farne il grafico) delle seguenti funzioni:√ x + y + 2Es. 1.1 — f(x, y) =x − 4Es. 1.2 — f(x, y) = 3x ln (4y 2 − x)Es. 1.3 — f(x, y) = √ 16 − x 2 − y 2Es. 1.4 — f(x, y) = 6 − 4xy + 2yEs. 1.5 — f(x, y) = ln (2x + 3y − 1)Es. 1.6 — f(x, y) = x 4 e 3xyEs. 1.7 — f(x, y) = √ 4 + 3x − y 2√Es. 1.8 — f(x, y) = e 2−y−x 2Es. 1.9 — f(x, y) = x − 5yx + 7yEs. 1.10 — f(x, y) = ln (16 − x 2 − 16y 2 )1

1. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI REALIEs. 1.11 — f(x, y) =4x + 7yx 2 + y 2 − 9Es. 1.12 — f(x, y) = √ y − x ln (x + y)Es. 1.13 — f(x, y) = √ x 2 + y 2 − 4 + ln (16 − x 2 − y 2 )1.2 Sui vettoriCalcolare la norma dei seguenti vettori:Es. 1.14 — ⃗p = (2, 4)Es. 1.15 — ⃗q = (3, 8).Dati i seguenti vettori ⃗p e ⃗q, calcolare la distanza tra i due vettori (|⃗p − ⃗q|) e la norma delvettore somma:Es. 1.16 — ⃗p = (3, 3), ⃗q = (2, 1)Es. 1.17 — ⃗p = (6, −2), ⃗q = (2, 5)Calcolare il prodotto scalare dei seguenti vettori:Es. 1.18 — ⃗p = (1, 2), ⃗q = (−2, −1)Es. 1.19 — ⃗p = (3, 4), ⃗q = (1, 2)Es. 1.20 — ⃗p = (1, 10), ⃗q = (2, 6)Soluzioni degli eserciziSol. es. 1.1 — D = {(x, y) t.c. y ≥ −2 − x e x ≠ 4}Sol. es. 1.2 — D = { (x, y) t.c. x < 4y 2}Sol. es. 1.3 — Il cerchio di centro l’origine e raggio 42

1.2. Sui vettoriSol. es. 1.4 — R 2Sol. es. 1.5 — D ={(x, y) t.c. y > 1 − 2x }3Sol. es. 1.6 — R 2Sol. es. 1.7 — D ={}(x, y) t.c. x ≥ y2 − 43Sol. es. 1.8 — D = { (x, y) t.c. y ≤ 2 − x 2}Sol. es. 1.9 — R 2 privato della retta y = − x 7Sol. es. 1.10 — I punti interni dell’ellisse che verificano la disuguaglianza x24 2 + y2 < 1Sol. es. 1.11 — R 2 privato della circonferenza di centro l’origine e raggio 3Sol. es. 1.12 — La regione che verifica y ≥ x e y > −xSol. es. 1.13 — La corona circolare delimitata dalle circonferenze di centro l’origine e raggi2 e 4, escludendo la frontiera della circonferenza di raggio maggioreSol. es. 1.14 — |⃗p| = √ 20Sol. es. 1.15 — |⃗q| = √ 73Sol. es. 1.16 — |⃗p − ⃗q| = √ 5, |⃗p + ⃗q| = √ 41Sol. es. 1.17 — |⃗p − ⃗q| = √ 65, |⃗p + ⃗q| = √ 73Sol. es. 1.18 — ⃗p · ⃗q = −4Sol. es. 1.19 — ⃗p · ⃗q = 11Sol. es. 1.20 — ⃗p · ⃗q = 623

CAPITOLO 2Limiti, continuità, differenziabilità di funzionidi più variabili2.1 LimitiTrovare il limite, se esiste, oppure mostrare che il limite non esiste:Es. 2.1 — lim (x,y)→(0,0)4x 2 − y 2x 2 + y 2Es. 2.2 — lim (x,y)→(0,0)x 2 yx 4 + y 2Es. 2.3 — lim (x,y)→(0,0)5x 2 yx 2 + y 2Es. 2.4 — lim (x,y)→(0,0)5xyx 2 + y 2Es. 2.5 — lim (x,y)→(0,0)x 3 y 2 + x 2 y 3 − 63 − xyEs. 2.6 — lim (x,y)→(0,0)4xy4x 2 + y 2Es. 2.7 — lim (x,y)→(6,3) x 2 y cos (x − 2y)Es. 2.8 — lim (x,y)→(0,0)x 2 + y 2√x2 + y 2 + 4 − 25

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILIEs. 2.9 — lim (x,y)→(0,0)7xy 2x 2 + y 4Es. 2.10 — lim (x,y)→(0,0)x 2 sin 2 (y)2x 2 + y 2Es. 2.11 — lim (x,y)→(0,0)sin 2 (x) + y 2x 2 + 2y 2Es. 2.12 — lim (x,y)→(0,0)xy cos (x)x 2 + 4y 22.2 Continuità.Dire qual è la funzione composta h(x, y) = f(g(x, y)) e determinare l’insieme dei puntiin cui h risulta continua:Es. 2.13 — f(t) = t 3 + √ t, g(x, y) = 2x + 5y − 9Es. 2.14 — f(t) =√3t − 1√t + 1, g(x, y) = x − y 2Determinare l’insieme dei punti in cui le seguenti funzioni sono continue:Es. 2.15 — f(x, y) =sin (xy)e y − x 2Es. 2.16 — f(x, y) =y − x2 + x 2 + y 2Es. 2.17 — f(x, y) = arctan x 2 + √ yEs. 2.18 — f(x, y) = e 4x2y + √ x + y 3⎧⎨ x 3 y 2Es. 2.19 — f(x, y) = x⎩2 per (x, y) ≠ (0, 0)+ 2y2 1 per (x, y) = (0, 0)6

2.2. Continuità⎧⎨ 4xyEs. 2.20 — f(x, y) = x 2 per (x, y) ≠ (0, 0)+ xy + y2 ⎩0 per (x, y) = (0, 0)Soluzioni degli eserciziSol. es. 2.1 — Non esisteSol. es. 2.2 — Non esisteSol. es. 2.3 — Il limite vale 0Sol. es. 2.4 — Non esisteSol. es. 2.5 — Il limite vale −2Sol. es. 2.6 — Non esisteSol. es. 2.7 — Il limite vale 108Sol. es. 2.8 — Il limite vale 4Sol. es. 2.9 — Non esisteSol. es. 2.10 — Il limite vale 0Sol. es. 2.11 — Non esisteSol. es. 2.12 — Non esisteSol. es. 2.13 — h(x, y) = (2x + 5y − 9) 2 + √ 2x + 5y − 9, è continua per y ≥ 9 − 2x5√3x − 3y2 − 1Sol. es. 2.14 — h(x, y) = √ , è continua per x ≥ y2x − y2 + 1}Sol. es. 2.15 —{(x, y) ∈ R 2 t.c. y ≠ ln x 2Sol. es. 2.16 — R 2 7

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILISol. es. 2.17 —{}(x, y) ∈ R 2 t.c. y ≥ 0}Sol. es. 2.18 —{(x, y) ∈ R 2 t.c. x ≥ −y 3Sol. es. 2.19 —{}(x, y) ∈ R 2 t.c. (x, y) ≠ (0, 0)Sol. es. 2.20 —{}(x, y) ∈ R 2 t.c. (x, y) ≠ (0, 0)8

2.3. Derivate parziali2.3 Derivate parzialiTrovare le derivate parziali prime delle seguenti funzioni:yEs. 2.21 — f(x, y) = sin (2 + x )Es. 2.22 — f(x, y) =2y − 3xx + yEs. 2.23 — f(x, y) = 5x yEs. 2.24 — f(x, y) = arctan (y √ 2x)Es. 2.25 — f(x, y) = x 3 e yEs. 2.26 — f(x, y) = √ x 2 + y 2Es. 2.27 — f(x, y) = ln (5x + 7y)Es. 2.28 — f(x, y) = e −x sin (x 2 y)Es. 2.29 — f(x, y) =xy3x + 2yEs. 2.30 — f(x, y) = xye −2x2 −5y 2Es. 2.31 — f(x, y) = y tan (xy)Trovare le derivate parziali seconde delle seguenti funzioni:Es. 2.32 — f(x, y) = ln (2x − 9y)Es. 2.33 — f(x, y) = x tan (4y)Es. 2.34 — f(x, y) = √ x 2 + 3y9

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI2.4 Differenziabilità.Dire se le seguenti funzioni sono continue, derivabili e differenziabili nel punto (0, 0)(giustificare le risposte):⎧⎨ 5y 2 xEs. 2.35 — f(x, y) = x⎩2 + y 2 per (x, y) ≠ (0, 0)0 per (x, y) = (0, 0)⎧⎨1 − cos (4xy)Es. 2.36 — f(x, y) = x⎩2 + y 2 per (x, y) ≠ (0, 0)0 per (x, y) = (0, 0)⎧⎨y ln ( 3x2 + y 2Es. 2.37 — f(x, y) = x⎩2 ) per (x, y) ≠ (0, 0)+ y2 0 per (x, y) = (0, 0)Es. 2.38 — f(x, y) =6x 2 + y 2 − 1⎧⎪⎨ 5x 2 y√ per (x, y) ≠ (0, 0)Es. 2.39 — f(x, y) = x2 + y⎪⎩2 0 per (x, y) = (0, 0)⎧⎨4xy√ per (x, y) ≠ (0, 0)Es. 2.40 — f(x, y) = x2 + y⎩2 0 per (x, y) = (0, 0)Es. 2.41 — Calcolare il differenziale di f(x, y) = x 2 + 4xy − y 2 . Inoltre, facendo variare x dax 0 = 2 a 2.04 e y da y 0 = 4 a 3.96, confrontare il valore df in (x 0 , y 0 ) con il corrispondente ∆f..Spiegare se le seguenti funzioni sono differenziabili nel punto assegnato e, in casoaffermativo, scriverne il differenziale:Es. 2.42 — f(x, y) = x y , (x 0, y 0 ) = (4, 2)Es. 2.43 — f(x, y) = x √ y, (x 0 , y 0 ) generico punto dell’insieme di definizione.10

2.4. DifferenziabilitàEs. 2.44 — f(x, y) = √ x + e 2y , (x 0 , y 0 ) = (4, 2)Soluzioni degli eserciziySol. es. 2.21 — f x (x, y) = −(2 + x) 2 cos ( y2 + x ), f y(x, y) = 12 + x cos ( y2 + x )Sol. es. 2.22 — f x (x, y) = −5y(x + y) 2 , f 5xy(x, y) =(x + y) 2Sol. es. 2.23 — f x (x, y) = 5x y−1 y, f y (x, y) = 5x y ln xSol. es. 2.24 — f x (x, y) =√y2x(1 + 2xy 2 ) √ 2x , f y(x, y) =1 + 2xy 2Sol. es. 2.25 — f x (x, y) = 3x 2 e y , f y (x, y) = x 3 e ySol. es. 2.26 — f x (x, y) =x√x2 + y , f yy(x, y) = √ 2 x2 + y 2Sol. es. 2.27 — f x (x, y) =55x + 7y , f 7y(x, y) =5x + 7ySol. es. 2.28 — f x (x, y) = e −x (y cos (x 2 y) − sin (x 2 y), f y (x, y) = x 2 e −x cos (x 2 y)Sol. es. 2.29 — f x (x, y) =2y 4(x + 2y) 2 , f y(x, y) = xy(3xy + 4y2 )(x + 2y) 2Sol. es. 2.30 — f x (x, y) = (y − 4x 2 y)e −2x2 −5y 2 , f y (x, y) = (x − 10xy 2 )e −2x2 −5y 2Sol. es. 2.31 — f x (x, y) =y 2cos 2 (xy) , f xyy(x, y) = tan (xy) +cos 2 (xy)Sol. es. 2.32 — f xx (x, y) =−81−4(2x − 9y) 2 , f xy(x, y) = f yx (x, y) =18(2x − 9y) 2 , f yy(x, y) =(2x − 9y) 2 11

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILISol. es. 2.33 — f xx (x, y) = 0, f xy (x, y) = f yx (x, y) =4cos 2 (4y) , f 32x tan (4y)yy(x, y) =cos 2 (4y)Sol. es. 2.34 — f xx (x, y) = −x 2 (x 2 +3y) −3/2 , f xy (x, y) = f yx (x, y) = − 3 2 x(x2 +3y) −3/2 , f yy (x, y) =− 9 4 (x2 + 3y) −3/2Sol. es. 2.35 — La f è continua, derivabile ma non differenziabileSol. es. 2.36 — La f è continua, derivabile e differenziabile. Suggerimento: si usi in modoopportuno la formula cos (2θ) = cos 2 θ − sin 2 θ da cui 1 − cos (2θ) = 2 sin 2 θ e si usi il limitenotevole per cui sin2 θθ 2 → 1 per θ → 1Sol. es. 2.37 — La f è continua, derivabile ma non differenziabileSol. es. 2.38 — La f è continua, derivabile (con derivate parziali continue) e differenziabileSol. es. 2.39 — La f è continua, derivabile e differenziabileSol. es. 2.40 — La f è continua, derivabile ma non differenziabileSol. es. 2.41 — df = (2x + 4y)dx + (4x − 2y)dy. Con le variazioni dx = ∆x e dy = ∆y assegnatesi ha df = 0.8 e ∆f = f(2.04, 3.96) − f(2, 4) = 0.7936Sol. es. 2.42 — df = 1 x − y (scrivendo dx = x − 4 e dy = y − 2)2Sol. es. 2.43 — df = √ y 0 dx + x 02 √ y 0dy per (x 0 , y 0 ) ≠ (0, 0), df = 0 per (x 0 , y 0 ) = (0, 0)Sol. es. 2.44 — df =12 √ 4 + e (x − 4) + 4√ (y − 2)4 4 + e412

2.5. Derivate direzionali2.5 Derivate direzionali..Trovare la derivata direzionale delle seguenti funzioni nel punto assegnato e nella direzioneindicata (Ricordare che, se è dato un angolo θ si considera il vettore che ha comecomponenti cos θ, sin θ; se è dato un vettore, bisogna controllare che sia unitario e, incaso contrario, normalizzarlo):Es. 2.45 — f(x, y) = x 3 y − y 5 , P 0 (2, 1), θ = π/4Es. 2.46 — f(x, y) = √ 3x − 2y, P 0 (3, 2), ⃗v = (−4/5, 3/5)Es. 2.47 — f(x, y) = y sin (4xy), P 0 (1, 1), θ = −π/6Es. 2.48 — f(x, y) = xy ln (x), P 0 (1, −2), ⃗v = (5/13, 12/13)Es. 2.49 — f(x, y) = ln (2x 2 + 5y 2 ), P 0 (0, 1), ⃗v = (4, −3)Es. 2.50 — f(x, y) = x 2 e 2y , P 0 (2, 2), ⃗v = (−1, 2)Es. 2.51 — f(x, y) = e −x sin (xy), P 0 (0, π/3), ⃗v = 3⃗i − ⃗j2.6 Derivazione nelle funzioni composte.Calcolare dzdtdove z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) :Es. 2.52 — f(x, y) = xy 2 + x 3 y, x = 2 + t 3 , y = 2 − t 3Es. 2.53 — f(x, y) = √ 4x 2 + y 2 , x = e t , y = e −tEs. 2.54 — f(x, y) = sin(y) cos (x), x = √ t, y = t 2Es. 2.55 — f(x, y) = y ln (2x + y), x = cos (t), y = sin (t)Es. 2.56 — f(x, y) = xe y , x = 1 − t, y = t 2Es. 2.57 — f(x, y) = xy, x = e t , y = e t sin (t)13

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.Calcolare ∂z∂s e ∂z∂tdove z = f(x, y), x = x(s, t), y = y(s, t) :Es. 2.58 — f(x, y) = xy + x 2 y, x = s + t, y = s − tEs. 2.59 — f(x, y) = x y , x = est , y = 1 − e stEs. 2.60 — f(x, y) = arctan (x + y), x = st, y = t ln (s)Es. 2.61 — f(x, y) = e x tan (y), x = s 2 t, y = s tEs. 2.62 — f(x, y) = e xy sin (y), x = s 2 t, y = √ s 2 + t 2Es. 2.63 — Sia z = f(x, y) differenziabile, con x = g(t) e y = h(t) derivabili. Se g(2) = 2,g ′ (2) = −1, h(2) = 5, h ′ (2) = 10, f x (2, 5) = −6, f y (2, 5) = 1 dz, quanto vale2 dt per t = 2 ?Es. 2.64 — Sia z = f(x, y) differenziabile, con x = u(s, t) e y = v(s, t) differenziabili. Sianou(2, 0) = 3, u s (2, 0) = −1, u t (2, 0) = 2, v(2, 0) = 8, v s (2, 0) = 2, v t (2, 0) = −4, f x (3, 8) = 1,f y (3, 8) = −1. Calcolare ∂z∂s e ∂z per s = 2 e per t = 0.∂tSoluzioni degli eserciziSol. es. 2.45 — ∂f√2∂⃗v (P 0) = 152Sol. es. 2.46 — ∂f√5∂⃗v (P 0) = −925Sol. es. 2.47 — ∂f∂⃗v (P 0) = (2 √ sin (4)3 − 2) cos (4) −2Sol. es. 2.48 — ∂f∂⃗v (P 0) = −10/314

2.6. Derivazione nelle funzioni composteSol. es. 2.49 — ∂f∂⃗v (P 0) = −6/5Sol. es. 2.50 — ∂f∂⃗v (P 0) = 12e4 √5Sol. es. 2.51 — ∂f∂⃗v (P 0) = √ π10Sol. es. 2.52 — dzdt = 3t2 (y 2 + 3x 2 y − 2xy − x 3 )Sol. es. 2.53 — dzdt = 4x2 − y 2√4x2 + y 2Sol. es. 2.54 — dzdt1= − sin (y) sin (x)2 √ + cos (y) cos (x)2ttSol. es. 2.55 — dzdt=xy − 2y2x + y+ x ln (2x + y)Sol. es. 2.56 — dzdt = et2 (2t − 2t 2 − 1)Sol. es. 2.57 — dzdt = et (2e t sin (t) + cos (t))Sol. es. 2.58 — ∂z∂s = x2 + 2xy + x + y, ∂z = y + 2xy − x − x2∂tSol. es. 2.59 — ∂z∂s = est ( t y + tx ∂z),y2 ∂t = est ( s y + sxy 2 )Sol. es. 2.60 — ∂z∂s = 11 + (x + y) 2 (t + t ∂z),s ∂t = 1(s + ln (s))1 + (x + y)2Sol. es. 2.61 — ∂z∂s = ex tan (y)2st +ex 1cos 2 (y) t , ∂z∂t = ex tan (y)s 2 +excos 2 (y) (− s t 2 ) 15

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILISol. es. 2.62 — ∂z∂s = yexy sin (y)2st + (xe xy sin (y) + e xy scos (y)) √s2 + t , ∂z2 ∂t = yexy sin (y)s 2 +(xe xy sin (y) + e xy tcos (y)) √s2 + t 2Sol. es. 2.63 — dz (2) = 11dtSol. es. 2.64 — ∂z∂z(2, 0) = −3, (2, 0) = 6∂s ∂t16

2.7. Piano tangente ad una superficie e approssimazione lineare2.7 Piano tangente ad una superficie e approssimazione lineare.Trovare l’equazione del piano tangente alla superficie indicata z e nel punto P 0specificato:Es. 2.65 — z = 4x 2 + y 2 , P 0 (1, 1, 5)Es. 2.66 — z = 5x 2 − 2y 2 + 3y, P 0 (0, −2, −14)Es. 2.67 — z = √ 9 − 2x 2 − 3y 2 , P 0 (−1, 1, 2)Es. 2.68 — z = y ln (xy), P 0 (2, 1, ln 2)Es. 2.69 — z = x 2 cos (x − y), P 0 (3, 3, 9)Es. 2.70 — z = e y2 −2x 2 , P 0 ( 1 √2, 1, 1)Es. 2.71 — z = arctan (x 2 y), P 0 (1, 1, π/4)Scrivere l’approssimazione lineare T 1 (x, y) delle seguenti funzioni nel punto indicato:Es. 2.72 — f(x, y) = √ e 2x + y 2 , P 0 (0, 2)Es. 2.73 — f(x, y) = sin (x 2 y 3 ), P 0 ( √ π, 1)Es. 2.74 — f(x, y) = e 2x cos (xy), P 0 (0, 0)..Trovare l’approssimazione lineare T 1 (x, y) delle seguenti funzioni f nel punto indicatoP 0 e usare T 1 per approssimare la funzione nel punto P assegnato. Confrontare,successivamente, i valori T 1 (P ) e f(P ).Es. 2.75 — f(x, y) = √ x 2 + 5y 2 , P 0 (2, 1), P (2.01, 0.90)Es. 2.76 — f(x, y) = sin (2x + 7y), P 0 (−7, 2), P (−6.98, 2.04)Es. 2.77 — f(x, y) = 1x 2 + y , P 0(1, 1), P (0.98, 0.8)17

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILIEs. 2.78 — f(x, y) =1tan (3x + y) , P 0(0, π/4), P (0.1, 0.78)Soluzioni degli eserciziSol. es. 2.65 — Equazione del piano tangente z = 8x + 2y − 5Sol. es. 2.66 — Equazione del piano tangente z = 11y + 8Sol. es. 2.67 — Equazione del piano tangente z = x − 3 2 y + 9 2Sol. es. 2.68 — Equazione del piano tangente z = 1 x + ln (2)y + y − 22Sol. es. 2.69 — Equazione del piano tangente z = 6x − 9Sol. es. 2.70 — Equazione del piano tangente z = 2y − 2 √ 2x + 1Sol. es. 2.71 — Equazione del piano tangente z = x + 1 2 y + π 4 − 3 2Sol. es. 2.72 — T 1 (x, y) = x + 2y + 1 √5Sol. es. 2.73 — T 1 (x, y) = −2 √ πx + 3πy + 5πSol. es. 2.74 — T 1 (x, y) = 1 + 2xSol. es. 2.75 — T 1 (x, y) = 2 3 x + 5 3 y, T 1(P ) = 2.84, f(P ) = 2.8443Sol. es. 2.76 — T 1 (x, y) = 2x + 7y, T 1 (P ) = 0.32, f(P ) = 0.3146Sol. es. 2.77 — T 1 (x, y) = 5 − 2x − y , T 1 (P ) = 0.61, f(P ) = 0.62114Sol. es. 2.78 — T 1 (x, y) = 1 + π 2 − 6x − 2y, T 1(P ) = 0.4108, f(P ) = 0.534418

CAPITOLO 3Massimi e minimi3.1 Forme quadraticheAssegnata la matrice A, si scrivi la forma quadratica associata ad essa e classificarla:Es. 3.1 — A =( ) 2 11 3Es. 3.2 — A =( ) −1 22 4Es. 3.3 — A =( −2) −1−1 3Es. 3.4 — A =( ) 4 33 −6Es. 3.5 — A =( 4) −3−3 6( ) −4 −3Es. 3.6 — A =−3 −6Es. 3.7 — A =( ) −4 33 −6Soluzioni degli esercizi19

3. MASSIMI E MINIMISol. es. 3.1 — F (x, y) = 2x 2 + 2xy + 3y 2 , è definita positivaSol. es. 3.2 — F (x, y) = −x 2 + 4xy + 4y 2 , è indefinitaSol. es. 3.3 — F (x, y) = −2x 2 − 2xy + 3y 2 , è indefinitaSol. es. 3.4 — F (x, y) = 4x 2 + 6xy − 6y 2 , è indefinitaSol. es. 3.5 — F (x, y) = 4x 2 − 6xy + 6y 2 , è definita positivaSol. es. 3.6 — F (x, y) = −4x 2 − 6xy − 6y 2 , è definita negativaSol. es. 3.7 — F (x, y) = −4x 2 + 6xy − 6y 2 , è definita negativa3.2 Massimi e minimi relativi.Classificare i punti critici (cioè trovare i punti di massimo relativo, di minimo relativo edi sella) delle seguenti funzioni:Es. 3.8 — f(x, y) = x 4 + y 4 − 4xy + 5Es. 3.9 — f(x, y) = 7xy 2 − 3x 2 − 2y 2 − 5x 3 − y 3Es. 3.10 — f(x, y) = 8 + x 3 + y 3 − 3xyEs. 3.11 — f(x, y) = x 4 − 2x + y 2 − 2yEs. 3.12 — f(x, y) = e 3x−x2 −y 2Es. 3.13 — f(x, y) = xy(1 − 2x − 3y)Es. 3.14 — f(x, y) = x − y − x 2 y + xy 2Es. 3.15 — f(x, y) = 6x + 6y + 3x 2 y + 3xy 2Es. 3.16 — f(x, y) = (xy 3 )e −x2 −y 220

3.2. Massimi e minimi relativiEs. 3.17 — f(x, y) = (2 − xy)(x + y)Es. 3.18 — f(x, y) = e 2x cos (3y)Es. 3.19 — f(x, y) = x 3 − 4x + 2y − y 3Es. 3.20 — f(x, y) = 5xy(y − x)Es. 3.21 — f(x, y) = (x 2 + y 2 − 4)(y − x)Es. 3.22 — f(x, y) = x 2 + y 2 + 4x 2 y 2Es. 3.23 — f(x, y) = 6 + 2x 3 + 2y 3 − 6xyEs. 3.24 — f(x, y) = 3xy 2 − 3y 2 + x 3 − 3x 2 + 5Es. 3.25 — f(x, y) = x + y + 1xyEs. 3.26 — f(x, y) = sin (x) cos (2y)Es. 3.27 — f(x, y) = 2x 3 + 6x + y 2 + 2xy + 12y + 4Es. 3.28 — f(x, y) = xy 2 + 3x 3 − x + 5Es. 3.29 — f(x, y) = x 3 y 2 (2 − x − y)Es. 3.30 — f(x, y) = 3x 2 y 2Trovare la minima distanza del punto P 0 , dal piano assegnato, dove:Es. 3.31 — P 0 (1, 0, 4), il piano è x + 3y + z = 4Es. 3.32 — P 0 (0, 2, 3), il piano è z = x − 2y + 1Es. 3.33 — P 0 (4, 1, 0), il piano è 4x − y + z = 521

3. MASSIMI E MINIMI..Si vuole costruire una scatola di cartone rettangolare priva di coperchio, utilizzandouna certa quantita di metri quadri di cartone. Qual è il volume massimo della scatolache si può ottenere se ...Es. 3.34 — ... sono utilizzati 14m 2 di cartone per costruire la scatola?Es. 3.35 — ... sono utilizzati 16m 2 di cartone per costruire la scatola?Soluzioni degli eserciziSol. es. 3.8 — P 0 (0, 0) è di sella, P 1 (1, 1) e P 2 (−1, −1) sono di minimo relativo, concorrispondente minimo relativo dato da f(P 1 ) = f(P 2 ) = 3Sol. es. 3.9 — P 0 (0, 0) è di massimo relativo con f(P 0 ) = 0, P 1 (−2/5, 0), P 2 (0.49426, −0.47846)e P 3 (0.18319, 0.90261) sono punti di sella.Sol. es. 3.10 — P 0 (0, 0) è punto di sella, P 1 (1, 1) è di minimo relativo con f(P 1 ) = 7.Sol. es. 3.11 — P 0 (0, 1) è punto di sella, P 1 (1, 1) e P 2 (−1, 1) sono punti di minimo relativocon f(P 1 ) = f(P 2 ) = 0.Sol. es. 3.12 — P 0 (3/2, 0) è punto di massimo relativo con f(P 0 ) = e 9/4 .Sol. es. 3.13 — P 0 (0, 0), P 1 (1/2, 0), P 2 (0, 1/3) sono punti di sella, P 3 (1/6, 1/9) è un punto dimassimo relativo con f(P 3 ) = 1162 .Sol. es. 3.14 — P 0 (1, 1) e P 1 (−1, −1) sono punti di sella.Sol. es. 3.15 — P 0 (− √ 2, √ 2 e P 1 ( √ 2, − √ 2) sono punti di sella.Sol. es. 3.16 — Punti del tipo P 0 (x, 0) sono punti di sella, P 3 ( √ 1√3, √ ) e P 4 (− 12 √ 23punti di massimo relativo con f(P 3 ) = f(P 4 ) = 3√ 34 e−2 , P 5 ( 1punti di minimo relativo con f(P 5 ) = f(P 6 ) = − 3√ 34 e−2√2, −√2) e P 6 (− 1 √2,√3√ , −√ ) sono2 √ 23√ ) sono 2√ √2 2 2 2Sol. es. 3.17 — P 0 (√1(−√3 , 3 ) e P 3 , − ) sono punti di sella.322

3.2. Massimi e minimi relativiSol. es. 3.18 — Non ci sono punti critici.Sol. es. 3.19 — P 1 ( √ 2√2, √ ) P 2 (− 2√2√ , −√ ) sono punti di sella, P 3 ( 2√2√ , −√ ) è punto di3 3 3 3 √ 3 32√ ) è punto di massimo relativo con3minimo relativo con f(P 3 ) = −16 − 4√ 23 √ , P 4 (−√ 2 ,33f(P 3 ) = 16 + 4√ 23 √ 3Sol. es. 3.20 — P 0 (0, 0) è punto di sella.Sol. es. 3.21 — P 0 ( √ 2 , −√ 2 ) è punto di massimo relativo con f(P 0 ) = 326 6 3 √ 6 , P 1(−√ 2 2, √ ) è 6 6punto di minimo relativo con f(P 0 ) = − 323 √ 6 , P 2( √ 2, √ 2 e P 3 (− √ 2, − √ 2) sono punti di sella.Sol. es. 3.22 — P 0 (1, 2) e P 1 (−1, 2), P 2 (−1, −2) e P 3 (1, −2) sono punti di sella.Sol. es. 3.23 — P 0 (0, 0) è punto di sella, P 1 (1, 1) è punto di minimo relativo con f(P 1 ) = 4.Sol. es. 3.24 — P 0 (0, 0) è punto di massimo relativo con f(P 0 ) = 5, P 1 (2, 0) è punto di minimorelativo con f(P 0 ) = 1, P 2 (1, 1) e P 3 (1, −1) sono punti di sella.Sol. es. 3.25 — P 0 (1, 1) è punto di minimo relativo con f(P 0 ) = 3Sol. es. 3.26 — P 0k ( π 2 +kπ, k π 2 ), k = 0, 1, 2, . . ., sono punti di massimo relativo con f(P 0k) = 1,P 1k (kπ, π 4 + k π ), k = 0, 1, 2, . . ., sono punti di sella.2Sol. es. 3.27 — P 0 (3.5414, −40.625) è punto di minimo relativo con f(P 0 ) = 989, 23,P 1 (−2.5414, −22.376) è punto di sella.Sol. es. 3.28 — P 0 (0, 1) e P 1 (0, −1) sono punti di sella, P 2 ( 1 , 0) è punto di minimo relativo3con f(P 2 ) = 439 , P 3(− 1 3 , 0) è punto di massimo relativo con f(P 3) = 47 9 .Sol. es. 3.29 — P 0 (1, 2 3 ) è punto di massimo relativo con f(P 0) = 4 , graficamente si vede27(poichè si ha hessiano nullo) che i punti del tipo P x (x, 0) sono punti di massimo relativo per2 − x > y, punti di minimo relativo per 0 < x < 2, punti di massimo relativo perx < 0, punti disella per x = 0 e per x = 2. Si ha f(P x ) = 0. Invece i punti del tipo P y (0, y) sono punto di sellaper ogni y.23

3. MASSIMI E MINIMISol. es. 3.30 — P x (x, 0) e P y (0, y) sono punti di minimo relativoSol. es. 3.31 — la minima distanza vale d =√1111Sol. es. 3.32 — la minima distanza vale d = √ 6Sol. es. 3.33 — la minima distanza vale d =√174681 = 4.6428Sol. es. 3.34 — Il volume massimo che si può ricavare è V = 5.0406. Attenzione: qui si puòevitare di fare il test sulle derivate seconde, utilizzando una giustificazione fisica al problemae al punto critico selezionato.Sol. es. 3.35 — Il volume massimo che si può ricavare è V = 6.1584. Attenzione: qui si puòevitare di fare il test sulle derivate seconde, utilizzando una giustificazione fisica al problemae al punto critico selezionato.3.3 Massimi e minimi assoluti su insiemi compatti.Trovare i massimi e i minimi assoluti delle seguenti funzioni sul dominio D indicato(fare anche il grafico dell’insieme D) :Es. 3.36 — f(x, y) = x 2 − 3xy + 3y su D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1}Es. 3.37 — f(x, y) = 2 + 3x − 7y sul triangolo D di vertici A(0, 0, B(0, 2), C(3, 0).Es. 3.38 — f(x, y) = x 3 + y 3 + x 2 y 2 + 8 su D = {(x, y) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}Es. 3.39 — f(x, y) = x 4 + 2y 3 nel cerchio di centro l’origine e raggio 2.Es. 3.40 — f(x, y) = 5x 2 y su D = { (x, y) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 1 }Es. 3.41 — f(x, y) = x 3 − y 3 + 27y − 3x nel rettangolo di vertici A(−4, 5), B(4, 5), C(4, 4),D(−4, −4).Es. 3.42 — f(x, y) = 3x 2 − y 2 + 8y nel cerchio di centro l’origine e raggio 5.24

3.4. Sulle funzioni implicite3.4 Sulle funzioni impliciteSi risolva il seguente esercizio facendo uso del teorema di Dini:Es. 3.43 — Trovare la pendenza dydx del cerchio x2 + y 2 − 4 = 0 nel punto P 0 ( 1 2 , √52 )..Si trovi l’equazione della retta tangente, e si scrivi la pendenza della retta stessa, allacurva f(x, y) = 0 nel punto P 0 assegnato dove f(x, y) e P 0 sono i seguenti:Es. 3.44 — f(x, y) = y + 2 ln (y) + 3x 3 + 2, P 0 (−1, 1).Es. 3.45 — f(x, y) = x 2 − y 2 − 5, P 0 (3, 2).Es. 3.46 — f(x, y) = 2 √ x + √ y − 3, P 0 (1, 1).Es. 3.47 — f(x, y) = 2x + √ xy − 3y, P 0 (2, 2)....Dimostrare che le seguenti equazioni f(x, y) = 0 definiscono implicitamente una funzioney = g(x) (o x = h(x)) in un intorno del punto P 0 (x 0 , y 0 ) assegnato. Dire, inoltre, sela funzione g (o h) ammette massimo o minimo relativo in x 0 (o y 0 ). La funzione f(x, y)e il punto P 0 sono i seguenti:Es. 3.48 — f(x, y) = e sin (x+y) − x − 5y − 1, P 0 (0, 0).Es. 3.49 — f(x, y) = ln (1 + y) + cos (x − y) − e x (y + 1), P 0 (0, 0).Risolvere i seguenti eserciziEs. 3.50 — Data la funzione f(x, y) = x + y 2 sin (2x) + y cos (x) − π , dimostrare che definisce2implicitamente una funzione del tipo y = g(x) e una funzione del tipo x = h(y), in un intornodi P 0 (0, π/2)). Dire quanto valgono g ′ (0) e h ′ (π/2).Es. 3.51 — Applicando il teorema di Dini sulle funzioni implicite, data f(x, y) = 0 conf(x, y) = sin (x 2 y)e x + 3x + 5y, calcolare dydx . 25

3. MASSIMI E MINIMI...Data la funzione f(x, y), dire se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Dini nelpunto P 0 (x 0 , y 0 ) in modo da assicurare esistenza e unicità di un’unica funzione y = g(x)definita implicitamente dalla f. In caso di risposta affermativa, scrivere il polinomio diTaylor del second’ordine della funzione g(x) e di centro x 0 . La funzione f(x, y) e il puntoP 0 sono i seguenti:Es. 3.52 — f(x, y) = e 2xy + xy 2 + 3x − 4, P 0 (1, 0)Es. 3.53 — f(x, y) = sin (x − y) + x 2 y − e x−y , P 0 (1, 1)...Data la funzione f(x, y), dire se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Dini nelpunto P 0 (x 0 , y 0 ) in modo da assicurare esistenza e unicità di un’unica funzione y = g(x)definita implicitamente dalla f. In caso di risposta affermativa, dire se la funzioney = g(x) è crescente o decrescente, concava o convessa in un intorno di x 0 . La funzionef(x, y) e il punto P 0 sono i seguenti:Es. 3.54 — f(x, y) = x 2 e y − sin (x + y), P 0 (0, 0)Es. 3.55 — f(x, y) = ln (x + y 2 ) + 2y − 5xy, P 0 (1, 0)Soluzioni degli eserciziSol. es. 3.36 — A(0, −1) è punto di massimo assoluto con f(A) = −3, B(2, −1) è punto dimassimo assoluto con f(B) = 7. Ci sono anche altri punti che vengono fuori dallo studio,qui la soluzione scritta è sintetica, ma per arrivare al risultato vanno presi in considerazionetutti i punti critici che si trovano all’interno del dominio e sulla frontiera, unitamente aipunti esterni della frontiera. Questo discorso vale per tutti gli esercizi di questo tipo.Sol. es. 3.37 — B punto di minimo assoluto con f(B) = −12, C punto di massimo assolutocon f(C) = 11.Sol. es. 3.38 — I punti A(−1, −1), P 1 (0, −1), P 7 (−1, 0) sono punti di minimo assoluto conf(A) = f(P 1 ) = f(P 7 ) = 7. Il punto C(1, 1) è punto di massimo assoluto con f(C) = 11. (Ivertici del dominio D sono indicati con le lettere A, B, C, D, mentre i punti critici interni aldominio o della frontiera sono indicati con le lettere P 0 , P 1 , . . .)Sol. es. 3.39 — I punti P 1 (2, 0), P 2 (−2, 0), P 5 (0, 2) sono punti di massimo assoluto conmassimo assoluto 16. Il punto P 6 (0, −2) è punto di minimo assoluto con f(P 6 ) = −16.Sol. es. 3.40 — Il punto P 0 ( 2√ 23 , 1 3 ) è punto di massimo assoluto con f(P 0) = 4027 . I puntiP 0x (x, 0) con 0 ≤ x ≤ 1 e i punti P 0y (0, y) con 0 ley ≤ 1 sono punti di minimo assoluto conminimo assoluto che vale 0.26

3.4. Sulle funzioni impliciteSol. es. 3.41 — I punti A C sono punti di massimo assoluto con massimo assoluto 62, B èpunto di minimo assoluto con minimo assoluto −42.Sol. es. 3.42 — I punti P 1 ( √ 24, 1), P 2 (− √ 24, 1) sono punti di massimo assoluto con massimoassoluto 79. P 3 (0, −5) è punto di minimo assoluto con minimo assoluto −65.Sol. es. 3.43 — dydx = − 1 √15Sol. es. 3.44 — retta tangente: y = −3x − 2, pendenza dydx = −3Sol. es. 3.45 — retta tangente: y = 3 dy(x − 3) + 2, pendenza2 dx = 3 2Sol. es. 3.46 — retta tangente: y = 3 − 2x, pendenza dydx = −2Sol. es. 3.47 — retta tangente: 5 2 (x − 2) − 5 dy(y − 2) = 0, pendenza2 dx = 1Sol. es. 3.48 — Esiste un’unica funzione y = g(x) definita implicitamente dalla f in unintorno di P 0 . 0 è punto critico per g (g ′ (0) = 0) e calcolando g ′′ (0) si vede che 0 è punto diminimo relativo (g ′′ (0) = 1/4 > 0).Sol. es. 3.49 — Esiste un’unica funzione x = h(y) definita implicitamente dalla f in unintorno di P 0 . 0 è punto critico per h (h ′ (0) = 0) e calcolando h ′′ (0) si vede che 0 è punto dimassimo relativo (h ′′ (0) = −1 < 0).Sol. es. 3.50 — Si ha g ′ (0) = −1 − π22 e h′ (π/2) = − 22 + π 2Sol. es. 3.51 — Per quei punti in cui si può applicare il teorema di Dini, risulta dydx = g′ (x) =− ex (2xy cos (x 2 y) + sin (x 2 y)) + 3e x x 2 cos (x 2 y) + 5Sol. es. 3.52 — Le ipotesi sono soddisfatte. Il polinomio di Taylor è p(x) = − 15 8 x2 + 9 4 x − 3 8 .Sol. es. 3.53 — Le ipotesi sono soddisfatte. Il polinomio di Taylor è p(x) = 15 2 x2 − 17x + 212 .27

3. MASSIMI E MINIMISol. es. 3.54 — Le ipotesi sono verificate. La g è decrescente e convessa in un intorno di 0(g ′ (0) = −1, g ′′ (0) = 2).Sol. es. 3.55 — Le ipotesi sono verificate. La g è crescente e concava in un intorno di 1(g ′ (0) = 1/3, g ′′ (0) = −37/27).3.5 Estremi vincolati.Trovare (se ci sono) e classificare gli estremi vincolati della funzione f soggetta alvincolo assegnato:Es. 3.56 — f(x, y) = x 2 − 4y 2 , vincolo: x 2 + y 2 = 4Es. 3.57 — f(x, y) = 6x + 4y, vincolo: x 2 + y 2 = 13Es. 3.58 — f(x, y) = xy 2 , vincolo: 2x 2 + y 2 = 9Es. 3.59 — f(x, y) = x 2 + y 2 , vincolo: x 4 + y 4 = 16Es. 3.60 — f(x, y) = e −2xy , vincolo: x 2 + 4y 2 = 9Es. 3.61 — f(x, y) = ln (x 2 y), vincolo x24 + y29 = 1Es. 3.62 — f(x, y) = 5e −x+y , vincolo 2x 2 + y 2 = 1.Trovare gli estremi assoluti della funzione f(x, y) nella regione indicata. Per studiare lafrontiera si usi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.Es. 3.63 — f(x, y) = 4x 2 + 5y 2 − 2x − 10 nella regione x 2 + y 2 ≤ 16Es. 3.64 — Rifare tutti gli esercizi in cui si richiede di trovare gli estremi assoluti di unafunzione, applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la frontiera.ProblemiEs. 3.65 — Usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per provare che il rettangolo cheha area massimo, assegnato un certo perimetro p, è un quadrato.28

3.5. Estremi vincolatiEs. 3.66 — Trovare il massimo valore della funzione f(x, y) = √ xy con x > 0, y > 0 e x+y = c,con c > 0 valore assegnato.Soluzioni degli eserciziSol. es. 3.56 — Si trovano i punti (0, ±2), punti di minimo vincolato con valore di minimovincolato −16 e i punti (±2, 0), punti di massimo vincolato con massimo 4.Sol. es. 3.57 — Si trovano i punti (−3, −2), punto di minimo vincolato con valore di minimovincolato −26 e (3, 2), punto di massimo vincolato con massimo 26.Sol. es. 3.58 — Si trovano i punti (−1, ± √ √67), i punti (−2 , ±√ 6), punti di minimo vincolatocon valore di minimo −3 √ √66 e i punti (+2 , ±√ 6) punti di massimo vincolato con valore dimassimo 3 √ 6.Sol. es. 3.59 — Si trovano i punti (0, ±4), e (±4, 0) che sono punti di massimo vincolato con1valore massimo 16, i punti (±2 √ 2(2) , 11/4 2 √ 2(2) ) (− 11/4 2 √ 2(2) , ± 11/4 2 √ ) punti di minimo2(2)1/4vincolato con valore di minimo 14 √ 2 .Sol. es. 3.60 — Si trovano i punti ( √ 3 3, √ ) e (−√ 3 , −√ 3 ) punti di minimo vincolato con2 2 2 2valore di minimo e −9/2 , e i punti ( √ 3 , −√ 3 ) e (− 3 3√ , √ ) punti di massimo vincolato con2 2 2 2valore di massimo e 9/2 .Sol. es. 3.61 — In questo esercizio si presti attenzione al fatto che la funzione è definitaper y > 0 e per x ≠ 0. Quindi il vincolo non è un insieme chiuso ma la porzione di ellisseche si ha per y > 0 e privata del punto (0, 9). La soluzione accettabile che si trova è dunquedata dai punti (± 2√ 23 , √ 3). Si tratta di punti di massimo vincolato. Per capire che sonopunti di massimo vincolato si può scrivere x 2 in funzione di y nel vincolo e sostituire nellafunzione f(x, y). Si ricava in questo modo una funzione che dipende solo da y, per la quale√3 è un punto critico e studiando il segno della derivata seconda si conclude che il punto èdi massimo.Sol. es. 3.62 — Si trovano i punti (1/ √ 6, −2/ √ 6) che è punto di minimo vincolato conminimo 5e −3/√6 e (−1/ √ 6, 2/ √ 6) che è punto di massimo vincolato con massimo 5e 3/√6 .Sol. es. 3.63 — Si trova il punto interno P 0 (1/4, 0) che è anche di minimo assoluto conminimo assoluto −41/4 e i punti (−1, ± √ 15) e (±4, 0) sulla frontiera. I punti (−1, ± √ 15) sonodi massimo assoluto con massimo 71.29

3. MASSIMI E MINIMISol. es. 3.65 — In questo caso f(x, y) = xy e il vincolo è 2(x + y) = p. Si trova x = y = p/4,cioè un quadrato.Sol. es. 3.66 — Si trova il punto (c/2, c/2). Esso è di massimo perchè f(x, c − x) ≤ f(c/2, c/2)(si arriva infatti alla relazione 0 ≤ (x − c/2) 2 ).30

CAPITOLO 4Le curve4.1 Rappresentazioni di curve parametriche.Fare il grafico delle seguenti curve parametriche, facendo variare il parametro t.Indicare la direzione della curva.Es. 4.1 —{x = 4 − √ ty = t 2 + t0 ≤ t ≤ 4Es. 4.2 —{x = 5 cos (t)y = cos (t) − t0 ≤ t ≤ πEs. 4.3 —{x = e t − ty = e −t + t− 1 ≤ t ≤ 1Eliminare il parametro t per ricavare l’equazione cartesiana della curva.Es. 4.4 —{x = 2t + 6y = 1 − 3tEs. 4.5 —{x = 1 + ty = 5t + 2Es. 4.6 —{x = t − 1y = t 2 + 2− 2 ≤ t ≤ 331

4. LE CURVEEs. 4.7 —{x = 2 √ ty = 3 − tEs. 4.8 —{x = t 2 + 1y = t 3 0 ≤ t ≤ 1.Trovare dydxdelle seguenti curve (nelle ipotesi in cuidx dt ≠ 0):Es. 4.9 —{x = t − t 2y = 4 − 7tEs. 4.10 —{x = t cos (t)y = t + sin (t)Es. 4.11 —{x = e t − t 2y = e −t + t.Trovare l’equazione della retta tangente alla curva nel punto corrispondente al valoredato dal parametro.Es. 4.12 —{x = t 4 + 2y = 3t 3 + t, t = −1Es. 4.13 —{x = e 2√ ty = 3t − ln (t 2 ), t = 1Es. 4.14 —{x = cos (2t) − sin (t)y = sin (2t) + cos (t), t = 0.Trovare l’equazione della retta tangente al punto assegnato in due modi:eliminare il parametro t ed eliminando il parametro t.Es. 4.15 —{x = 3e ty = (t − 2) 2 , P 0 = (3, 4)senzaEs. 4.16 —{x = ln (t + 1)y = t 2 − 2, P 0 = (0, −2)32

4.1. Rappresentazioni di curve parametricheProblemi variEs. 4.17 — Mostrare che la curvaequazioni.{x = cos (t) sin (t)y = cos (t)ha due tangenti in (0, 0) e scriverne leEs. 4.18 — Trovare le equazioni delle tangenti alla curvapunto (3, 4).{x = 2t 3 + 1y = 3t 2 + 1che passano per il.Trovare i punti in cui la curva ha una tangente orizzontale e/o una verticale e provaread abbozzare il grafico della curva.Es. 4.19 —{x = 12 − t 2y = t 3 − 27tEs. 4.20 —{x = 2t 3 + 3t 2 − 2y = 2t 3 + 3t 2 − 12tEs. 4.21 —{x = 3 sin (t)y = 2 cos (2t)Soluzioni degli eserciziSol. es. 4.1 — Togliendo il parametro si ha il grafico della curva y = x 4 − 16x 3 + 97x 2 − 264x +272 con 2 ≤ x ≤ 4. La direzione della curva si ha andando dal punto (4, 0) al punto (2, 20)Sol. es. 4.2 — Eliminando il parametro si ha y = x 5 − arccos (x ). La direzione della curva è5dal punto (5, 1) al punto (−5, −1 − π)33

4. LE CURVESol. es. 4.3 — La curva ha direzione dal punto (1/e + 1, e − 1) al punto (1, 1) e poi va versodestra al punto (e − 1, 1/e + 1)Sol. es. 4.4 — y = 10 − 3 2 xSol. es. 4.5 — y = 5x − 3Sol. es. 4.6 — y = x 2 + 2x + 3 con −3 ≤ x ≤ 2Sol. es. 4.7 — y = 3 − x24Sol. es. 4.8 — y = (x − 1) √ x − 1 con 1 ≤ x ≤ 2Sol. es. 4.9 — dydx = −71 − 2tSol. es. 4.10 — dydx = 1 + cos (t)cos (t) − t sin (t)Sol. es. 4.11 — dydx = −e−t + 1e t − 2t34

4.1. Rappresentazioni di curve parametricheSol. es. 4.12 — Per il valore assegnato del parametro si ha il punto (3, −4) e la rettatangente è: y = 7 2 − 5 2 x.Sol. es. 4.13 — Per il valore assegnato del parametro si ha il punto (e 2 , 3) e la retta tangenteè: y = e −2 x + 2.Sol. es. 4.14 — Per il valore assegnato del parametro si ha il punto (1, 1) e la retta tangenteè: y = 3 − 2x.Sol. es. 4.15 — Il punto si ottiene per t = 0. La retta tangente è y = − 4 x + 8. (Senza3eliminare il parametro, si deve ricavare per quale valore di t si ha il punto e poi calcolarela pendenza della retta usando x(t) e y(t). Se si elimina il parametro dalla curva, si ottieneuna curva scritta come y = f(x) o x = g(y) e si calcola di conseguenza l’equazione della rettatangente, senza dover vedere per quale valore di t si ha il punto assegnato.)Sol. es. 4.16 — Il punto si ottiene per t = 0. La retta tangente è y = −2.Sol. es. 4.17 — Le rette tangenti sono y = x e y = −x che si hanno rispettivamente pert = π 2 + 2kπ k = 0, 1, 2, . . . e per t = 3π 2+ 2kπ k = 0, 1, 2, . . ..Sol. es. 4.18 — Si trovano le rette tangenti y = x + 1 (in corrispondenza di t = 1, è tangenteproprio al punto (3, 4) e, quindi, passa per esso) e y = 112 − x (per t = −2). Infatti, la generica2equazione della retta tangente y − y 0 = m(x − x 0 ) con m = 1 (per t 0 ≠ 0) con x 0 = 2t 3 0 + 1 et 0y 0 = 3t 2 0 + 1, deve passare per (3, 4), quindi sostituendo y = 4 e x = 3 nell’equazione della rettatangente si ricava un’equazione che dipende solo da t 0 e si trovano i valori di t 0 = −2 e t 0 = 1.Per t = 0 la retta tangente è verticale, è x = 1 e non passa per il punto (3, 4).Sol. es. 4.19 — Tangente verticale per t = 0, equazione della retta tangente: x = 12;Tangente verticale per t = ±3, rette tangenti y = ±54.35

4. LE CURVESol. es. 4.20 — Tangente verticale per t = 0 e per t = −1, con rette tangenti x = −2 e x = −1,tangente orizzontale per t = −2 e per t = 1, con rette tangenti y = 20 e y = −7Sol. es. 4.21 — Tangente verticale: nessuna (quando dxdtper t = π 2 +kπ. Si può vedere che per t = π 2 (e per π 2(si applica l’Hôpital). Allo stesso modo per t = 3π 2orizzontale: si ha per t = kπ 2= 0 anchedydt+2kπ) si hadydx = lim t→ π 2(e per 3π2con k pari. La retta tangente è y = 2.= 0: questo si ha−4sin(2t)3 cos (t)= −8/3dy+ 2kπ) si ha = 8/3. Tangentedx4.2 Lunghezza di una curvaCalcolare la lunghezza L delle seguenti curve.Es. 4.22 —{x = 3(sin (t) − t cos (t))y = 3(cos (t) + t sin (t))0 ≤ t ≤ π/236

4.2. Lunghezza di una curvaEs. 4.23 —{x = 4 + 2t 3y = 3t 2 − 50 ≤ t ≤ 1Es. 4.24 —{x = e 2t + e −2ty = 7 − 4t0 ≤ t ≤ 4Es. 4.25 —{x = e t cos (2t)y = e t sin (2t)0 ≤ t ≤ π/2Es. 4.26 —{x = 2e t/2 − ty = 8e t/4 − 10 ≤ t ≤ 2Es. 4.27 —{x = 5 cos 3 (t)y = 5 sin 3 (t)0 ≤ t ≤ 2πEs. 4.28 —{x = cos (2t) + ln (tan (t))y = sin (2t)π/8 ≤ t ≤ 3π/8Es. 4.29 —{x = 10(t − sin (t))y = 10(1 − cos (t))0 ≤ t ≤ 2πEs. 4.30 —⎧⎨x =t2 + t⎩y = ln (2 + t)0 ≤ t ≤ 1Soluzioni degli eserciziSol. es. 4.22 — L = 3π28Sol. es. 4.23 — L = 2(2 √ 2 − 1)Sol. es. 4.24 — L = e 8 − e −8Sol. es. 4.25 — L = √ 5(e π/2 − 1)37

4. LE CURVESol. es. 4.26 — L = 12 + 2e − 2e −5Sol. es. 4.27 — L = 30Sol. es. 4.28 — L = ln (2). Usare la formula sin (2t) = 2 sin (t) cos (t).Sol. es. 4.29 — L = 80. Usare in modo appropriato la formula cos (2t) = 1 − 2 sin 2 (t).Sol. es. 4.30 — Attenzione: la soluzione dell’integrale non è banale. Tutti i passaggi di riso-√ (√ )∣ 4 + uluzione sono stati fatti in aula. L =∣ − 2 4 + u2+ ln + u ∣∣∣∣3 √ √13 13= −u2 2 3 + ln ( + 3 2 2 ) +√ √ 28 82 − ln ( 2 + 1)Calcolare la lunghezza L dei seguenti archi di funzione:Es. 4.31 — y = 2 3 (x − 1)3/2 , 2 ≤ x ≤ 5Es. 4.32 — y = 2x 3/2 , 0 ≤ x ≤ 1Es. 4.33 — Scrivere la funzione precedente come una funzione del tipo x = g(y)Es. 4.34 — x = 1 2 y2/3 , 0 ≤ y ≤ 14.3 Lunghezza di curve in coordinate polariCalcolare la lunghezza L delle seguenti curve in coordinate polari.Es. 4.35 — r = 1 + sin (θ), θ ∈ [0, 2π]Es. 4.36 — r = e 3θ , θ ∈ [0, π]Es. 4.37 — r = cos 2 (θ), θ ∈ [0, π]Es. 4.38 — r = sin 3 ( θ ), θ ∈ [0, 3π]338

4.4. Curve equivalentiEs. 4.39 — r = sin (θ), θ ∈ [0, π/2]Es. 4.40 — r = 2(1 − cos (θ)), θ ∈ [0, π]Soluzioni degli eserciziSol. es. 4.31 — L = 2 3 (5√ 5 − 2 √ 2)Sol. es. 4.32 — L = 2 27 (10√ 10 − 1)Sol. es. 4.33 — La lunghezza della curva coincide con quella dell’esercizio precedente,essendo le curve uguali ma scritte solo in modo diverso.Sol. es. 4.34 — L = 1 27 (10√ 10 − 1)Sol. es. 4.35 — L = 8Sol. es. 4.36 — L =√103 (e3π − 1)Sol. es. 4.37 — L = 2Sol. es. 4.38 — L = 3 2 πSol. es. 4.39 — L = π/2Sol. es. 4.40 — L = 164.4 Curve equivalenti.Provare che le seguenti curve f : [a, b] → R 2 e g : [α, β] → R 2 sono equivalenti cercandola funzione Φ : [α, β] → [a, b] tale che Φ(α) = a, Φ(β) = b, Φ ′ (u) > 0 e f ◦ Φ = g:Es. 4.41 — f data da{x = ty = 2t, 1 ≤ t ≤ 4 g data da{x = u 2y = 2u 2 , 1 ≤ u ≤ 2.39

4. LE CURVEEs. 4.42 — f data da{x = e t2 +1y = cos (t 2 ), 1 ≤ t ≤ 2 g data da{x = e u+1y = cos (u), 1 ≤ u ≤ 4.Es. 4.43 — f data da{{x = 2t + 1x = uy = (2t + 1) 2 , 0 ≤ t ≤ 1 g data day = u 2 , 1 ≤ u ≤ 3.Soluzioni degli eserciziSol. es. 4.41 — Φ(u) = u 2 1 ≤ u ≤ 2Sol. es. 4.42 — Φ(u) = √ u 1 ≤ u ≤ 4Sol. es. 4.43 — Φ(u) = u − 121 ≤ u ≤ 340

CAPITOLO 5Superfici parametriche5.1 Piano tangente ad una superficie parametrica.Trovare l’equazione del piano tangente alla superficie parametrica nel punto P 0(assegnato direttamente o tramite le variabili (u 0 , v 0 )):Es. 5.1 —⎧⎪⎨ x = uvy = u⎪⎩2 , (u 0 , v 0 ) = (2, 1)z = v 2Es. 5.2 —⎧⎪⎨ x = cos (u) sin (v)y = u⎪⎩2z = u cos (v), (u 0 , v 0 ) = (π/2, π/4)Es. 5.3 —⎧⎪⎨ x = 4 cos (u)y = v⎪⎩z = 4 sin (u), (u 0 , v 0 ) = (π/2, 2)Es. 5.4 —⎧⎪⎨ x = u 2 + vy = 3u − 2v , (u 0 , v 0 ) = (1, 1)⎪⎩z = uv 2Es. 5.5 —⎧⎪⎨ x = u − vy = 4u⎪⎩2z = u + v, P 0 (0, 4, 2)41

5. SUPERFICI PARAMETRICHEEs. 5.6 —⎧⎪⎨ x = u − 2vy = 2u − v⎪⎩z = uv, P 0 (0, 3, 2)Es. 5.7 —⎧⎪⎨ x = u 2 vy = u + v⎪⎩2z = u − v, P 0 (1, 2, 0)Es. 5.8 —⎧⎪⎨ x = 3 sin (u) cos (v)y = 2 sin (u) sin (v)⎪⎩z = sin 2 (u), P 0 (3, 0, 1)Es. 5.9 —⎧⎪⎨ x = √ 2 cos (u) √ 1 + v 2y = √ 2 sin (u) √ 1 + v⎪⎩2z = v, P 0 ( √ 2, √ 2, 1)Soluzioni degli eserciziSol. es. 5.1 — Si ha il punto P 0 = (2, 4, 1). Il piano tangente è: z = x − 1 4 ySol. es. 5.2 — Si ha il punto P 0 = (0, π 2 /4, π √ 2/4). Il piano tangente è: y = π24 − π√ 2xSol. es. 5.3 — Si ha il punto P 0 = (0, 2, 4). Il piano tangente è: z = 4Sol. es. 5.4 — Si ha il punto P 0 = (2, 1, 1). Il piano tangente è: z = 8 7 x − 3 7 y − 6 7Sol. es. 5.5 — Il punto P 0 si ha per (u 0 , v 0 ) = (1, 1). Il piano tangente è: z = 1 + 1 4 y − xSol. es. 5.6 — Il punto P 0 si ha per (u 0 , v 0 ) = (2, 1). Il piano tangente è: z =4y − 5x − 63Sol. es. 5.7 — Il punto P 0 si ha per (u 0 , v 0 ) = (1, 1). Il piano tangente è: z = 1 + x − ySol. es. 5.8 — Il punto P 0 si ha per due famiglie di punti: (u 0 , v 0 ) = (π/2 + 2kπ, 0 + 2kπ) e(u 0 , v 0 ) = (3π/2 + 2kπ, π + 2kπ), k = 0, 1, 2, . . .. Il piano tangente è, tuttavia, sempre lo stesso evale: x = 342

5.1. Piano tangente ad una superficie parametricaSol. es. 5.9 — Il punto√P 0 si ha per la famiglia di punti: (u 0 , v 0 ) = (π/4+2kπ, 1), k = 0, 1, 2, . . ..2Il piano tangente è: z =2 (x + y) − 1 43

CAPITOLO 6Integrali6.1 Integrali su domini rettangolariCalcolare i seguenti integraliEs. 6.1 — ∫ 2 ∫ 41 3 xydydxEs. 6.2 — ∫∫ (x + 4y 2 )dA sul dominio R = [0, 1] × [0, 3]Es. 6.3 — ∫ π/2 ∫ π0 0sin (x + y)dxdyEs. 6.4 — ∫ 2 ∫ 40 22xy√x2 + y 2 + 4 dydxEs. 6.5 — ∫∫ydA sul dominio R = [0, 2] × [0, 2]1 + xyEs. 6.6 — ∫∫ xye xy2 dA sul dominio R = [0, 2] × [0, 1]Es. 6.7 — ∫∫ y sin (x + y)dA sul dominio R = [0, π/4] × [0, π/4]Es. 6.8 — ∫ 2 ∫ 1(2 − x − 4y)dxdy0 0Es. 6.9 — ∫ 1 ∫ 20 0 (4 − x2 − y 2 )dydxEs. 6.10 — ∫∫ (1 − x29 − y2)dA sul dominio R = {(x, y)| − 2 ≤ x ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 3}445

6. INTEGRALIProblemi variEs. 6.11 — Calcolare il volume del solido che si trova sotto il piano 2x + 5y + z = 20 e soprail rettangolo R = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}Es. 6.12 — Calcolare il volume del solido che si trova sotto la superficie z = 8 + x 2 + y 2 esopra il rettangolo R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 3}Soluzioni degli eserciziSol. es. 6.1 — I = 214Sol. es. 6.2 — I = 75 2Sol. es. 6.3 — I = 2Sol. es. 6.4 — I = 2 3(48√6 − 24√3 − 40√5 + 16√2)Sol. es. 6.5 — I = ln (25 √ 5) − 2Sol. es. 6.6 — I = 1 2 e2 − 3 2Sol. es. 6.7 — I = π 4 ( √22 − 1) + √ 2 − 1Sol. es. 6.8 — I = −5Sol. es. 6.9 — I = 14 3Sol. es. 6.10 — I = 229Sol. es. 6.11 — I = 6046

6.2. Integrali su domini generaliSol. es. 6.12 — I = 4436.2 Integrali su domini generali.Calcolare i seguenti integrali e, per ciascuno di essi, fare un grafico del dominio diintegrazione:Es. 6.13 — ∫∫ D (x + 4y)dA dove D è la regione limitata dalle parabole y = 4x2 e y = 1 + 2x 2Es. 6.14 — ∫∫ D (x2 + 3y 2 )dA dove D = { (x, y)|0 ≤ x ≤ 4, x 2 ≤ y ≤ 4x }Es. 6.15 — ∫∫ D 2xydA dove D è la regione limitata da y = x + 1 e da y = x2 + 1 nel semipianopositivo.Es. 6.16 — ∫∫ D 2xydA dove D è la regione limitata da y2 = x + 4 e da y = x − 2.Es. 6.17 — ∫ π/2 ∫ sin (x)e cos (x) dydx0 0Es. 6.18 — ∫ 2 ∫ y√0 0 4 − y2 dxdyEs. 6.19 — ∫ 1 ∫ ex√0 x ydydxEs. 6.20 — ∫∫ D (x2 y 2 )dA dove D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, −x ≤ y ≤ x}Es. 6.21 — ∫∫ D2xy 2 + 1 dA dove D = { (x, y)|0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ √ y }Es. 6.22 — ∫∫ Dyx 3 dA dove D = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x}+ 4Es. 6.23 — ∫∫ D (x + y)dA dove D è la regione limitata da y = 2√ 2x e da y = x 2 .Es. 6.24 — ∫∫ D x sin (y)dA dove D è la regione limitata da y = 1, y = x2 e x = 0.Es. 6.25 — ∫∫ D x3 dA dove D è il triangolo di vertici A(0, 2), B(1, −1), C(2, 3).Es. 6.26 — ∫∫ D yx2 dA dove D è la regione limitata da y = 0 e y = √ 4 − x 2 47

6. INTEGRALIEs. 6.27 — ∫∫ (x + 3y)dA dove D è la regione limitata dalla circonferenza di centro l’origineDe raggio 1.Calcolare il volume dei seguenti solidi...Es. 6.28 — ... il volume del solido sotto la superficie z = x + y 2 e sopra la regione limitatada y = x 2 e y = x 3 .Es. 6.29 — ... il volume del solido sotto la superficie z = x + y 2 e sopra la regione limitatada x = y 2 e x = y 3 .Disegnare il dominio di integrazione cambiare l’ordine di integrazione.Es. 6.30 — ∫ 2 ∫ √ 2xf(x, y)dydx0 0Es. 6.31 — ∫ 1 ∫ 8f(x, y)dxdy0 8yEs. 6.32 — ∫ 4 ∫ √ 16−yf(x, y)dxdy0 0Es. 6.33 — ∫ 3 ∫ ln (x)f(x, y)dydx2 0Calcolare i seguenti integrali, cambiando l’ordine di integrazione:Es. 6.34 — ∫ 2 ∫ 6dxdy0 3y ex2Es. 6.35 — ∫ 1 ∫ 1y 3 sin (x 3 )dxdy0 y 2Soluzioni degli eserciziSol. es. 6.13 — I = 6415 √ 2Sol. es. 6.14 — I = 6323235Sol. es. 6.15 — I = 1 448

6.2. Integrali su domini generaliSol. es. 6.16 — I = 62512Sol. es. 6.17 — I = e − 1Sol. es. 6.18 — I = 8 3Sol. es. 6.19 — I = 4 9 e3/2 − 3245Sol. es. 6.20 — I = 1 9Sol. es. 6.21 — I = 1 ln (5)2Sol. es. 6.22 — I = 2 (ln (12) − ln (5))3Sol. es. 6.23 — I = 365Sol. es. 6.24 — I = 1 (sin 1 − cos 1)2Sol. es. 6.25 — I = 214Sol. es. 6.26 — I = 6415Sol. es. 6.27 — I = 0Sol. es. 6.28 — I = 9140Sol. es. 6.29 — I = 13210Sol. es. 6.30 — ∫ 2 ∫ 20 y 2 /2 f(x, y)dxdy 49

6. INTEGRALISol. es. 6.31 — ∫ 8 ∫ x/8f(x, y)dydx0 0Sol. es. 6.32 — ∫ 2 √ 3 ∫ 40 0 f(x, y)dydx + ∫ 4 ∫2 √ 16−x2f(x, y)dydx3 0Sol. es. 6.33 — ∫ ln (2)0∫ 32 f(x, y)dxdy + ∫ ln (3) ∫ 3f(x, y)dxdyln (2) e ySol. es. 6.34 — I = 1 6 (e36 − 1)Sol. es. 6.35 — I =1 − cos (1)126.3 Cambiamento di variabili negli integraliCalcolare i seguenti integrali, passando a coordinate polariEs. 6.36 — ∫∫ D (2x + y2 )dA dove D è la regione limitata dalle circonferenze x 2 + y 2x 2 + y 2 = 9, nel semipiano positivo delle y.= 1 eEs. 6.37 — ∫∫ (x + 3y)dA dove D è limitata dalla circonferenza di centro l’origine e raggio 1.DEs. 6.38 — ∫∫ D (4 − x2 − y 2 )dA dove D è limitata da x 2 + y 2 = 4.Es. 6.39 — ∫∫ D (x2 + y 2 )dA dove D è limitata dall’equazione x 2 + y 2 = 2y.Es. 6.40 — ∫∫ D xey dA dove D è la porzione di circonferenza x 2 + y 2 = 4 nel primo quadrante.Es. 6.41 — ∫∫ D cos (3arccot(x ))dA dove D è la regione limitata dalla curva polare data dayρ = cos (3θ) con − π 6 ≤ θ ≤ π 6 .Es. 6.42 — ∫∫ D√9 − x2 − y 2 dA dove D = { (x, y)|x ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 9 }Es. 6.43 — ∫∫ D e−x2 −y 2 dA dove D = { (x, y)|y ≤ 0, x 2 + y 2 ≤ 4 }Es. 6.44 — ∫∫ D 2arccot(x y )dA dove D = { (x, y)|0 ≤ x ≤ y, 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 }50

6.3. Cambiamento di variabili negli integraliEs. 6.45 — ∫∫ ydA dove D è la regione del primo quadrante delimitata dalle circonferenzeDcirconferenze x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2y.Es. 6.46 — ∫∫ D arctan ( y )dA dove D è il semicerchio di centro (0, 0) e raggio 2 nel semipianoxpositivo delle y.Trovare lo jacobiano delle seguenti trasformazioniEs. 6.47 —{x = u + 2vy = 5u − v.Es. 6.48 —{x = u 2 + v 2y = v 2 − u 2 .Es. 6.49 —{x = uvy = u + v.Fare il grafico dell’insieme trasformato di S mediante la trasfromazione assegnata:Es. 6.50 — S = {(u, v)|0 ≤ u ≤ 4, 0 ≤ v ≤ 3}. Trasformazione{x = 3u + 4vy = u − v.Es. { 6.51 — S è il quadrato limitato da u = 0, u = 2, v = 0 e v = 2.x = uy = v(2 + u 2 .)TrasformazioneEs. 6.52 — S è il triangolo di vertici A(0, 0), B(2, 2), C(2, 0). Trasformazione{x = 2u 2y = 2v.Es. { 6.53 — S è la regione delimitata dalla circonferenza u 2 + v 2 = 4. Trasformazionex = au/2con a e b parametri assegnati positivi.y = bv/2.Calcolare i seguenti integrali utilizzando la trasformazione indicata (ed eventualmentefacendo un ulteriore cambiamento di variabili)Es. 6.54 — ∫∫ D{y2 dA dove D è la regione limitata dall’ellisse 4x 2 + 25y 2 = 100. Si usi lax = 5utrasformazione.y = 2v51

6. INTEGRALIEs. 6.55 — ∫∫ x − 4ydA dove D è il triangolo di vertici A(0, 0), B(1, 3) e C(3, 1). Usare laD{x = 3u + vtrasformazione.y = u + 3vSoluzioni degli eserciziSol. es. 6.36 — I = 10πSol. es. 6.37 — I = 0Sol. es. 6.38 — I = 8πSol. es. 6.39 — Attenzione: il dominio è la circonferenza di centro (0, 1) e raggio 1! I = 3 2 πSol. es. 6.40 — I = e 2 − 1Sol. es. 6.41 — I = 2 9Sol. es. 6.42 — I = 9πSol. es. 6.43 — I = π 2 (1 − e−4 )Sol. es. 6.44 — I = 3 4 π2Sol. es. 6.45 — Attenzione: per risolvere questo integrale o si veda il dominio come normalerispetto all’asse θ oppure si applichi la proprietà per cui ∫∫ D f(x, y)dA = ∫∫ D 1f(x, y)dA −∫∫D 2f(x, y)dA dove D = D 1 − D 2 . I = 8 3 − π 2Sol. es. 6.46 — I = π 2Sol. es. 6.47 —∂(x, y)∂(u, v) = −11Sol. es. 6.48 —∂(x, y)∂(u, v) = 8uv52

6.4. Cenni su integrali tripliSol. es. 6.49 —∂(x, y)∂(u, v) = v − uSol. es. 6.50 — Si ha il rombo individuato dalle rette y = −x/4, y = x/3, y = 7 − x/4,y = x/3 − 7Sol. es. 6.51 — Si ha la regione individuata dalle rette y = 0, x = 0, x = 2, e la parabolay = 4 + 2x 2 .Sol. es. 6.52 — Si ha la regione individuata dalle rette y = 0, x = 8 e la parabola x = y 2 /2.Sol. es. 6.53 — Si ha l’ellisse x2a 2 + y2b 2 = 1.Sol. es. 6.54 — Attenzione: dopo aver effettuato la trasformazione si passa a coordinatepolari. I = 10πSol. es. 6.55 — I = −166.4 Cenni su integrali tripliCalcolare i seguenti integrali tripliEs. 6.56 — ∫∫∫ E (xy − z3 )dV dove E = {(x, y, z)| − 2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2}Es. 6.57 — ∫ 2 ∫ y ∫ zdxdzdy0 0 0 ye−z2Es. 6.58 — ∫∫∫ E 4ydV dove E = { (x, y, z)|0 ≤ z ≤ 2, 0 ≤ y ≤ √ 4 − z 2 , 0 ≤ x ≤ z }6.5 Integrali curvilineiCalcolare i seguenti integrali curvilineiEs. 6.59 — ∫ γ xds dove γ = {x = ty = t 2 , 0 ≤ t ≤ 3Es. 6.60 — ∫ {xγy ds dove γ = x = t 3y = t 4 , 1 ≤ t ≤ 3 253

6. INTEGRALIEs. 6.61 — ∫ γ x4 yds dove γ è la circonferenza di centro l’origine e raggio 1.Es. 6.62 — ∫ γ xey ds dove γ è il segmento da (0, 0) a (1, 3).Es. 6.63 — ∫ γ xy2 ds dove γ ={x = 2 cos (t)y = 2 sin (t), 0 ≤ t ≤ π/2Es. 6.64 — ∫ γ y2 ds dove γ ={x = ty = e t , 0 ≤ t ≤ 26.6 Integrali di superficieCalcolare i seguenti integrali di superficie:Es. 6.65 — ∫∫ S xdS dove S è la superficie data da z = 2 3 (x3/2 + y 3/2 ), 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2.Es. 6.66 — ∫∫ S xydS dove S è la superficie data da ⎧⎪⎨⎪ ⎩x = u cos (v)y = u sin v)z = u 2 ,0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π/2⎧Es. 6.67 — ∫∫ √⎪⎨ x = u cos (v)S 1 + x2 + y 2 dS dove S è la superficie data da y = v⎪⎩z = u sin v)0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π/2,⎧⎪⎨Es. 6.68 — ∫∫ x = sin (u) cos (v)S zdS dove S è la superficie data da y = sin (u) sin (v)⎪ ⎩z = cos u)0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ π/4,Soluzioni degli eserciziSol. es. 6.56 — I = −16Sol. es. 6.57 — I = e−4 + 3454

6.7. Solidi e superfici di rotazioneSol. es. 6.58 — I = 8Sol. es. 6.59 — I = 1 12 (37√ 37 − 1)Sol. es. 6.60 — I = 1 48 (135√ 5 − 125)Sol. es. 6.61 — I = 4 5Sol. es. 6.62 — I =√109 (1 + 2e3 )Sol. es. 6.63 — I = 163Sol. es. 6.64 — I = 1 3 (1 + e4 ) √ 1 + e 4 − 1 3 2√ 2Sol. es. 6.65 — I = 8 √ 5 − 576 √ 8 3 −175 175Sol. es. 6.66 — I = 5√ 548 + 1240Sol. es. 6.67 — I = 2π 3Sol. es. 6.68 — I = 06.7 Solidi e superfici di rotazione.Calcolare la massa m della lamina che occupa la regione D con la densità µ(x, y)assegnata:Es. 6.69 — D = [1, 2] × [0, 3], µ(x, y) = 3xy + y 3Es. 6.70 — D il disco x 2 + y 2 ≤ 9, µ(x, y) = x + y 2 + 2xyEs. 6.71 — D è il triangolo di vertici A(0, 0), B(2, −1), C(3, 2), mentre µ(x, y) = x + y.55

6. INTEGRALI.Calcolare la massa m e il baricentro (x, y) della lamina che occupa la regione D con ladensità µ(x, y) assegnata:Es. 6.72 — D è il triangolo di vertici A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), µ(x, y) = yEs. 6.73 — D è la regione limitata da x = ln y, y = 0, x = 0 e x = 1; µ(x, y) = xEs. 6.74 — D è limitato da y = √ x, y = 0, x = 1, mentre µ = y.Es. 6.75 — D è limitato dalla parabola y = x 2 e dalla retta x = y − 2; µ(x, y) = a con a ∈ Rassegnato e positivo..Calcolare il volume Vspecificato:del solido di rotazione ottenuto ruotando D attorno all’asseEs. 6.76 — D limitato da y = x − x 2 e y = 0; rotazione attorno all’asse xEs. 6.77 — D limitato da y = x e y = 4x 2 ; rotazione attorno all’asse yEs. 6.78 — D limitato da y = e x − 1, y = 0 e x = 2; rotazione attorno all’asse yEs. 6.79 — D limitato da y = 2x − 1, y = x 2 − 4x + 4; rotazione attorno all’asse y.Calcolare l’area area(S) della superficie di rotazione ottenuta ruotando la curva γattorno all’asse specificato:Es. 6.80 — γ data da x = t, y = t con 0 ≤ t ≤ 2; rotazione attorno all’asse xEs. 6.81 — γ data da x = sin (t), y = cos (t) con 0 ≤ t ≤ π/2; rotazione attorno all’asse yEs. 6.82 — γ data dal grafico della funzione y = x 2 , con 0 ≤ x ≤ 2; rotazione attorno all’asseySoluzioni degli eserciziSol. es. 6.69 — m = 81/2Sol. es. 6.70 — m = 81π456

6.7. Solidi e superfici di rotazioneSol. es. 6.71 — m = 23 3Sol. es. 6.72 — m = 1/6, x = 3/4, y = 1/2Sol. es. 6.73 — m = 1, x = e − 2, y = e2 + 18Sol. es. 6.74 — m = 1/4, x = 2/3, y = 8/15Sol. es. 6.75 — m = 9a , x = 1/2, y = 8/52Sol. es. 6.76 — V = π/30Sol. es. 6.77 — V = 26π135Sol. es. 6.78 — V = 2π(e 2 − 1)Sol. es. 6.79 — V = 64πSol. es. 6.80 — area(S) = 4 √ 2πSol. es. 6.81 — area(S) = 2πSol. es. 6.82 — area(S) = π 6 (17√ 17 − 1)57

CAPITOLO 7Equazioni Differenziali Ordinarie7.1 Equazioni differenziali lineari del primo ordineDeterminare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenzialiEs. 7.1 — y ′ + 5x 2 y = 10x 2Es. 7.2 — y ′ + 3 x y = 4Es. 7.3 — y ′ + y x = xEs. 7.4 — y ′ − 2xy = 2xEs. 7.5 — x 2 y ′ + 2xy = sin 2 (x)Es. 7.6 — y ′ + 2xy = xEs. 7.7 — y ′ + y x = √ xRisolvere i seguenti problemi di CauchyEs. 7.8 —{y ′ = y tan (x) + x sin (2x)y(0) = 1, −π/2 ≤ x ≤ π/2Es. 7.9 —⎧⎨y ′ + 3 x y = x4⎩y(1) = 0, x > 059

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEEs. 7.10 —{y ′ − 3x 2 y = 4x 3 e x3y(0) = 27.2 Equazioni differenziali a variabili separabili..Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali (se l’equazione sipuò vedere come un’equazione differenziale lineare, risolverla applicando sia il metodoa variabili separabili, sia il metodo per equazioni differenziali lineari del primo ordine).Es. 7.11 — y ′ = sin (x)yEs. 7.12 — y ′ = e 3(x−y) cos (x)Es. 7.13 — x 2 y ′ = y ln (y)Es. 7.14 — y ′ = (1 + 4y2 )2cos (x)Es. 7.15 — y ′ = x √ y − 1Es. 7.16 — (x − 4) 2 y ′ = x(y − 8)Es. 7.17 — y ′ =x sin (x)6y 2 + 2yEs. 7.18 — y ′ = 3 + 3y + x + xyEs. 7.19 — y ′ + e 2(x+y) = 0Es. 7.20 — y ′ = 1 − √ x1 + √ yEs. 7.21 — y ′ =x2 y4 ln (y)Es. 7.22 — (x 2 + 3)y ′ = xy 260

7.2. Equazioni differenziali a variabili separabili...Risolvere i seguenti problemi di Cauchy (spiegando nei dettagli se sono verificate leipotesi del teorema di Cauchy in grande o in piccolo ) Nelle soluzioni, la risposta non èdata nei dettagli. Per i dettagli si rimanda alla spiegazione in aula.:Es. 7.23 —{y ′ = 4 √ yy(1) = 0, y ≥ 0Es. 7.24 —⎧⎨y ′ = 4y2 + 12⎩y(0) = 0Es. 7.25 —{y ′ = √ xyy(1) = 4Es. 7.26 —{y ′ cotan(x) = 2 + yy(π/4) = 2, 0 < x < π/2Es. 7.27 —{xy ′ − y = 4y 2y(2) = 3Es. 7.28 —{y ′ = 4x √ 1 − y 2y(0) = 1/2Es. 7.29 —{y ′ = 4x √ 1 − y 2y(0) = 4Soluzioni degli eserciziSol. es. 7.1 — y(x) = 2 + Ce −5 3 x3Sol. es. 7.2 — y(x) = x + C x 3Sol. es. 7.3 — y(x) = x23 + C x61

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIESol. es. 7.4 — y(x) = Ce x2 − 1Sol. es. 7.5 — y(x) = 1 cos (x) sin (x)−2x 2x 2 + C x 2Sol. es. 7.6 — y(x) = 1 2 + Ce−x2Sol. es. 7.7 — y(x) = 2 5 (x√ x + C x )Sol. es. 7.8 — y(x) = − 2 3 x cos2 (x) + 2 3 tan (x) − 2 9 tan (x) sin2 (x) + 1cos (x)Sol. es. 7.9 — y(x) = 1 8 (x5 − 1 x 3 )Sol. es. 7.10 — y(x) = e x3 x 4 + 2e x3− cos (x)Sol. es. 7.11 — y(x) = CeSol. es. 7.12 — y(x) = 1 3 ln ( 3 103x(sin (x) + 3 cos (x)) + C)1−Sol. es. 7.13 — y(x) = e Ce xSol. es. 7.14 — y(x) =tan (sin (x) + C)2Sol. es. 7.15 — y(x) = 1 + ( x24 + C)2 integrale generale, y = 1 integrale singolareSol. es. 7.16 — y(x) = 8 + C(x − 4)e − 4x − 4Sol. es. 7.17 — y 2 (2y + 1) = −x cos (x) + sin (x) + CSol. es. 7.18 — y(x) = Ce 3x+x2 /2 − 162

7.3. Alcuni tipi di eq. differenzialiSol. es. 7.19 — y(x) = − ln (e2x + C)2Sol. es. 7.20 — y + 2 3 y√ y = x − 2 3 x√ x + CSol. es. 7.21 — y = e ± v uutx 36 +C1Sol. es. 7.22 — y = −ln ( √ x 2 + 3 + C)int. generale, y = 0 integrale singolareSol. es. 7.23 — Le ipotesi del teorema di Cauchy (in piccolo e in grande) non sono verificate.Il problema ammette infinite soluzioni. Infatti y(x) = 0 è soluzione; y(x) = (2x − 2) 2è soluzione; { inoltre prendendo un qualunque punto x > 1 e considerando la funzione4(x − x) 2 per x > xy(x) =, y(x) è ancora soluzione dell’equazione differenziale. Perciò0 per x ≤ xve ne sono infinite.Sol. es. 7.24 — Sono verificate le ipotesi del teor. di Cauchy in piccolo. y(x) =tan (x)2Sol. es. 7.25 — Sono verificate le ipotesi del teor. di Cauchy in piccolo. y(x) = ( x√ x3+ 5 3 )2Sol. es. 7.26 — Sono verificate le ipotesi del teor. di Cauchy in grande (basta prendere unintervallo [a, b] ⊂]0, π/2[). y(x) = 2√ 2cos (x) − 2Sol. es. 7.27 — Sono verificate le ipotesi del teor. di Cauchy in piccolo. y(x) =3x26 − 12xSol. es. 7.28 — Sono verificate le ipotesi del teor. di Cauchy in piccolo. y(x) = sin (2x 2 + π/6)Sol. es. 7.29 — La y deve appartenere all’intervallo [−1, 1], quindi non può essere y(0) = 4.Il problema non ha soluzione7.3 Alcuni tipi di eq. differenziali.Risolvere le seguenti equazioni differenziali vedendole come equazioni differenziali deltipo F (x, y ′ , y ′′ ) = 0.63

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEEs. 7.30 — y ′′ + 2(y ′ ) 2 = 0Es. 7.31 — y ′ = x(4 − y ′′ )Es. 7.32 — y ′ = 2xy ′′ + (y ′ ) 2Es. 7.33 — y ′′ + y ′ = e −x sin (x)Es. 7.34 — xy ′′ − 2y ′ = x + 2.Risolvere le seguenti equazioni differenziali vedendole come equazioni differenziali deltipo F (y, y ′ , y ′′ ) = 0.Es. 7.35 — y ′′ + 2(y ′ ) 2 = 0Es. 7.36 — yy ′′ + 2(y ′ ) 2 − 2(y ′ ) 3 = 07.4 Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiRisolvere le seguenti equazioni differenzialiEs. 7.37 — y ′′ − 9y = 0Es. 7.38 — y ′′ + 2y ′ + y = 0Es. 7.39 — y ′′′ + 3y ′′ + 2y ′ = 0Es. 7.40 — y ′′ + 2y ′ + 5y = 0Es. 7.41 — y ′′′ + 2y ′′ + 5y ′ = 0Es. 7.42 — y ′′′ − 2y ′′ − 5y ′ + 6y = 0Es. 7.43 — y ′′′ − 6y ′′ + 12y ′ − 8y = 0Es. 7.44 — y ′′′ − 2y ′′ − 5y ′ + 6y = x 2 + 2Es. 7.45 — y ′′ + 4y ′ = x 2 + 464

7.4. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiEs. 7.46 — y ′′′ + y ′′ = 2xEs. 7.47 — y ′′ + 4y ′ − y = e x (x − 3)Es. 7.48 — y ′′ − 2y ′ + y = e x (x + 1)Es. 7.49 — y ′′′ − 3y ′′ + 3y ′ − y = cos (x)Es. 7.50 — y (iv) − y ′′′ − 2y ′′ + 6y ′ − 4y = e x sin (x) (Attenzione ai calcoli: fare l’esercizio conmolta calma)Es. 7.51 — y ′′′ − y ′′ − 8y ′ + 12y = 10e 2xEs. 7.52 — y ′′ − y ′ − 6y = e 3x (x 2 + 1) + e −2xEs. 7.53 — y (iv) + 3y ′′′ − 9y ′′ + 3y ′ − 10y = xRisolvere i seguenti problemi di Cauchy:Es. 7.54 —⎧⎪⎨ y ′′ + 2y ′ = x − 1y(0) = 1⎪⎩y ′ (0) = −1Es. 7.55 —⎧y ′′′ + 4y ′′ = 0⎪⎨y(0) = 0y⎪⎩′ (0) = 1y ′′ (0) = 16Es. 7.56 —⎧⎪⎨ y ′′ − 4y ′ + 5y = e 2x sin (x)y(0) = 1⎪⎩y ′ (0) = 9/2Es. 7.57 —⎧⎪⎨ y ′′ + 5y ′ + 4y = 2e −xy(0) = 1/6⎪⎩y ′ (0) = 1Soluzioni degli esercizi65

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIESol. es. 7.30 — y(x) = 1 2 ln |2x + C 1| + C 2Sol. es. 7.31 — y(x) = x 2 + C 1 ln |x| + C 2Sol. es. 7.32 — y(x) = x+2C 1 ( √ x−C 1 ln |C 1 + √ x|)+C 2 integrale generale, y(x) = C 1 integralesingolareSol. es. 7.33 — y(x) = e−x (cos (x) − sin (x)2− e −x C 1 + C 2Sol. es. 7.34 — y(x) = − x22 − x + C x 313 + C 2Sol. es. 7.35 — y(x) = 1 2 ln (C 1x + C 2 ) (Notare che, formalmente la soluzione sembra diversada quella trovata risolvendo lo stesso esercizio come equazione differenziale che dipende dax, y ′ e y ′′ . In realtà, giocando sulle costanti si arriva alla stessa soluzione)Sol. es. 7.36 — y − C 1y 3singolare3 = x + C 2 integrale generale in forma implicita, y = C 1 integraleSol. es. 7.37 — y(x) = c 1 e 3x + c 2 e −3xSol. es. 7.38 — y(x) = c 1 e −x + c 2 xe −xSol. es. 7.39 — y(x) = c 1 + c 2 e −x + c 3 e −2xSol. es. 7.40 — y(x) = c 1 e −x cos (2x) + c 2 e −x sin (2x)Sol. es. 7.41 — y(x) = c 1 + c 2 e −x cos (2x) + c 3 e −x sin (2x)Sol. es. 7.42 — y(x) = c 1 e x + c 2 e 3x + c 3 e −2xSol. es. 7.43 — y(x) = c 1 e 2x + c 2 xe 2x + c 3 x 2 e 2xSol. es. 7.44 — y(x) = c 1 e x + c 2 e 3x + c 3 e −2x + 73108 + 5 18 x + 1 6 x266

7.4. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiSol. es. 7.45 — y(x) = c 1 + c 2 e −4x + 3332 x − 116 x2 + 112 x3Sol. es. 7.46 — y(x) = c 1 + c 2 x + c 3 e −x + 1 3 x3 − x 2Sol. es. 7.47 — y(x) = c 1 e (−2+√ 5)x + c 2 e (−2−√ 5)x + e x ( 1 4 x − 5 4 )Sol. es. 7.48 — y(x) = c 1 e x + c 2 xe x + e x ( 1 2 x2 + 1 6 x3 )Sol. es. 7.49 — y(x) = c 1 e x + c 2 xe x + c 3 x 2 e x + 1 (cos (x) + sin (x))4Sol. es. 7.50 — y(x) = c 1 e x + c 2 e −2x + c 3 e x cos (x) + c 4 e x sin (x) + xe x ( 112 cos (x) − 1 sin (x))4Sol. es. 7.51 — y(x) = c 1 e 2x + c 2 xe 2x + c 3 e −3x + 10x 2 e 2xSol. es. 7.52 — y(x) = c 1 e 3x + c 2 e −2x + xe 3x ( 81375 − 375 x + 115 x2 ) − x 5 e−2xSol. es. 7.53 — y(x) = c 1 e 2x + c 2 e −5x + c 3 cos (x) + c 4 sin (x) − 3100 − 110 xSol. es. 7.54 — y(x) = 7 8 + 1 8 e−2x − 3 4 x + 1 4 x2Sol. es. 7.55 — y(x) = −1 + 5x + e −4xSol. es. 7.56 — y(x) = e 2x cos (x) + 2e 2x sin (x) + 1 2 xe2x cos (x)Sol. es. 7.57 — y(x) = 1 3 e−x − 1 6 e−4x + 2 3 xe−x 67