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Appunti diGeometria e Topologia IDavide L. FerrarioA.A. 2004/2005Dipartimento di Matematica e ApplicazioniUniversità di Milano–Bicocca

c○ Davide L. Ferrario, 2005Prima bozza: Marzo-Maggio 2005.Copia Preliminare (Per uso didattico e personale): 30 Maggio 2005Data di stampa: 7 giugno 2005Appunti del corso di Geometria e Topologia I (A.A. 2004/2005)Davide L. Ferrariodavide.ferrario@unimib.itDipartimento di Matematica e ApplicazioniUniversità di Milano-Bicocca

PremessaQueste sono le note per il corso di Geometria e Topologia I (primo anno del cdl in Matematica),tenuto nel secondo semestre dell’A.A. 2004/2005 presso il Dipartimento di Matematica e Applicazionidell’Università di Milano-Bicocca. Gli argomenti presentati a lezione sono riassuntiin modo molto schematico (e approssimativo nonché non esente da errori di varia natura);ogni settimana viene presentato un elenco di esercizi assegnati (facoltativi). La parte teoricadi queste note non può essere considerata un testo su cui studiare, ma solo un compendioabbastanza dettagliato degli argomenti affrontati. Lo studio deve essere necessariamente svoltosui libri consigliati (o sui numerosi volumi presenti in letteratura e in biblioteca dedicati aquesti argomenti) e sui propri appunti, possibilmente confrontando quanto si legge con quantopresentato in queste note. Gli esercizi proposti settimanalmente possono essere semplici, dimedia difficoltà, oppure presentare difficoltà significative (questi esercizi sono segnalati in generecon un asterisco). A volte l’asterisco segnala semplicemente l’importanza dell’argomentoaffrontato nell’esercizio.Milano, 30 Maggio 2005Davide L. Ferrario(davide.ferrario@unimib.it)i

Indice1 Richiami di logica matematica 12 Richiami di teoria degli insiemi 43 Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metrici 64 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico 135 Spazi topologici 156 Funzioni continue 207 Topologia prodotto 218 Spazi di identificazione e topologie quoziente 229 Compattezza 2610 Compattezza in spazi metrici ed euclidei 3111 Spazi metrici completi 3612 Spazi connessi 4013 Gruppi topologici 4614 Gruppi di trasformazione 4915 Spazi affini 5616 Sottospazi affini 6017 Mappe affini 6518 Incidenza e parallelismo 6919 Spazi affini euclidei 7420 Angoli e proiezioni ortogonali 7921 Spazi proiettivi 8322 Coniche proiettive 9223 Coniche affini e coniche euclidee 96

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 11 Richiami di logica matematicaDefinire cos’è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni).La definizione è data in termini di una proprietà dell’enunciato: l’essere vero o falso(logica bivalente). Dunque si assume che ogni proposizione abbia un solo valore di verità sceltotra i due: vero oppure falso. Sistemi logici più completi possono averne altri (indeterminato,per esempio).Variabili: Lettere dell’alfabeto (maiuscole o minuscole), se serve con sottoscritte (con apicio pedici): A, x, B 1 , j, . . . Assegnamento di valore alle variabili.Connettivi logici: : (Operazioni binarie, unarie tra proposizioni). Si formano nuoveproposizioni a partire da proposizioni date.• negazione: ¬p.• congiunzione (AND): p ∧ q.• disgiunzione (OR, p vel q): p ∨ q.• disgiunzione esclusiva (p XOR q, aut p aut q) : p ⊕ q.• implicazione (materiale) (se p allora q, p implica q): p =⇒ q.• doppia implicazione (se e solo se): p ⇐⇒ q.Valori di verità: Vero (1) e Falso (0). Dato che gli enunciati p, q, . . . assumo valori diverità 0/1, è possibile definire i connettivi logici scrivendo le corrispondenti tabelle di verità.p ¬p1 00 1p q p =⇒ q1 1 10 1 11 0 00 0 1p q p ∧ q1 1 10 1 01 0 00 0 0p q p ⇐⇒ q1 1 10 1 01 0 00 0 1p q p ∨ q1 1 10 1 11 0 10 0 0p q p XOR q1 1 00 1 11 0 10 0 0Simboli primitivi ed espressioni logiche: A partire da proposizioni date p, q, r, . . . sicostruiscono espressioni composte (dette anche forme o espressioni, nel calcolo delle proposizioni),utilizzando le parentesi per esplicitare la precedenza tra le operazioni. Alcune espressionisono sempre vere (cioè assumono valore di verità 1 per ogni possibile scelta dei valoridelle variabili), e si chiamano tautologie. Altre, invece, sono sempre false (cioè assumono valoredi verità 0 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili): si chiamano contraddizioni.Quando due espressioni hanno le medesime tavole di verità si dicono equivalenti. A e B sonoequivalenti se e solo se A ⇐⇒ B è una tautologia.Le seguenti sono tautologie:(i) A ∨ ¬A (terzo escluso);(ii) ¬(A ∧ ¬A) (non contraddizione);D.L. Ferrario 7 marzo 2005 1

2 7 marzo 2005 Geometria e Topologia I(iii) ¬(¬A) ⇐⇒ A (doppia negazione);(iv) A ∧ A ⇐⇒ A, A ∨ A ⇐⇒ A;(v) A ∨ B ⇐⇒ B ∨ A, A ∧ B ⇐⇒ B ∧ A (commutatività);(vi) associatività:(A ∨ B) ∨ C ⇐⇒ A ∨ (B ∨ C);(A ∧ B) ∧ C ⇐⇒ A ∧ (B ∧ C);(vii) Leggi distributive:A ∧ (B ∨ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C);A ∨ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C);(viii) Leggi di de Morgan:¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B;¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬B ∧ ¬A;Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale. Sono esempi disillogismi, riscritti nei termini della logica matematica delle proposizioni.(i) (A ∧ B) =⇒ A;(ii) (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A) (contronominale, contrapposizione, per assurdo);(iii) (A =⇒ B) ∧ A =⇒ B (modus ponens);(iv) (A =⇒ B) ∧ ¬B =⇒ ¬A (modus tollens);(v) (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C) =⇒ (A =⇒ C) (modus barbara, sillogismo ipotetico);(vi) ((A ∨ B) ∧ ¬A) =⇒ B (sillogismo disgiuntivo).Predicati Quando una espressione p(x) contiene delle variabili (x) che non sono state assegnate(variabili libere) si dice predicato, proprietà, funzione proposizionale o anche enunciatoaperto.Quantificatori: I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false).Se ci sono più variabili libere, si possono usare più quantificatori. Le variabili con un valoreassegnate oppure quantificate da un quantificatore si dicono vincolate.• Quantificatore universale: ∀ (per ogni, per tutti).Uso: ∀x, p(x).Significato: Per ogni x (nell’universo U), la proprietà p(x) è vera (cioè x gode dellaproprietà p). Anche: ∀x ∈ U, p(x).• Quantificatore esistenziale: ∃ (esiste, esiste almeno un x).Uso: ∃x : p(x).Significato: Esiste almeno un x (nell’universo U) per cui la proprietà p(x) è vera(cioè x gode della proprietà p). Anche: ∃x ∈ U : p(x).2 7 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 3• ¬(∀x, p(x)) ⇐⇒ ∃x : ¬p(x) (principio di negazione).• ¬(∃x : p(x)) ⇐⇒ ∀x, ¬p(x) (principio di negazione).• ∀x, ∀y, p(x, y) ⇐⇒ ∀y, ∀, xp(x, y) (principio di scambio).• ∃x : ∃y : p(x, y) ⇐⇒ ∃y : ∃ : xp(x, y) (principio di scambio).• ∃x : ∀y, p(x, y) =⇒ ∀y, ∃x : p(x, y) (principio di scambio).D.L. Ferrario 7 marzo 2005 3

4 7 marzo 2005 Geometria e Topologia I2 Richiami di teoria degli insiemiConcetti primitivi (non definiti):• Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia).• Relazione di appartenenza: x ∈ X, x ∉ X.In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi 1 si definisce un insiemecome collezione di oggetti definiti e distinguibili (cioè si deve essere in grado di stabilire sex = y oppure x ≠ y). Si assumono anche i seguenti principi:(i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.(ii) Principio di astrazione: Una proprietà p(x) definisce un insieme A con la convenzioneche gli elementi di A sono esattamente gli “oggetti” x per cui P (x) è vera:(iii) Assioma della . . .Estensioni di questa notazione:A = {x : p(x)}.{x ∈ A : p(x)} Esempio: {x ∈ R : x ≥ 4}{f(x) : p(x)} Esempio: {x 2 : x ∈ Z}Insieme vuoto: ∅. 2Relazioni tra insiemi:{1, 2, 3}, {1, 2}• (Inclusione) A ⊂ B (anche A ⊆ B): se x ∈ A implica x ∈ B. A è un sottoinsieme diB.• A ⊃ B: se B ⊂ A.• A = B se e solo se (A ⊂ B) e (B ⊂ A).Operazioni con gli insiemi:• Unione A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.• Intersezione A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} (due insiemi sono disgiunti quandoA ∩ B = ∅).1 G. Cantor (1845–1918). Il termine intuitiva è usato anche poiché la sola intuizione dovrebbe essere ilcriterio per stabilire cosa è un insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi(contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia X l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengonoa se stessi, cioè che non hanno se stessi come elementi (x ∉ x); se X appartiene a se stesso, X ∈ X, allora perdefinizione X ∉ X, cioè X non appartiene a se stesso. Viceversa. . .2 Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S’intende che questo viene scelto– e sottinteso – in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali, . . .4 7 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 5• Prodotto cartesiano (insieme delle coppie ordinate) A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} ={(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.• Complemento di A in B ⊃ A (differenza tra insiemi): A ′ (= A c = B A) = {x ∈ B :x ∉ A}.• Insieme delle parti: P(X) = 2 X = l’insieme dei sottoinsiemi di X (cioè l’insieme dellefunzioni f : X → {0, 1}).Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di sommatoria ∑ puòessere usato per definire la somma di una serie di numeri, così i simboli di unione e intersezionepossono essere usati per famiglie di insiemi. Siano J e U due insiemi non vuoti e f : J → 2 Uuna funzione. Per ogni i ∈ J, il sottoinsieme f(i) ∈ 2 U può anche essere denotato con X i , peresempio (cf. successioni x i vs. funzioni x = f(i)).• ⋃ i∈JX i := {x ∈ U : (∃i ∈ I : x ∈ X i )}, o equivalentemente 3⋃i∈J X i := {x ∈ U : x ∈ X i per qualche i ∈ I}.• ⋂ i∈JX i := {x ∈ U : (∀i ∈ J, x ∈ X i )}, o equivalentemente⋂i∈J X i := {x ∈ U : x ∈ X i per tutti gli i ∈ J}.In ultimo, si ricordi che una funzione f : X → Y si dice iniettiva se ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, (x ≠y =⇒ f(x) ≠ f(q)), suriettiva se ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f(x) = y, bijettiva (biunivoca) se è siainiettiva sia suriettiva.(2.1) Definizione. Sia f : X → Y una funzione. Se B ⊂ Y è un sottoinsieme di Y , lacontroimmagine di B èf −1 (B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}.3 Si noti l’uso del simbolo “:=” usato per le definizioni o gli assegnamenti.D.L. Ferrario 7 marzo 2005 5

6 9 marzo 2005 Geometria e Topologia I3 Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metriciRicordiamo alcuni fatti elementari sugli spazi metrici.(3.1) Definizione. Uno spazio metrico è un insieme X munito di una funzione d: X ×X → Rtale che per ogni x 1 , x 2 ,x 3 ∈ X:(i) ∀x 1 , ∀x 2 , d(x 1 , x 2 ) ≥ 0 e d(x 1 , x 2 ) = 0 se e solo se x 1 = x 2 .(ii) Simmetria: d(x 1 , x 2 ) = d(x 2 , x 1 ).(iii) Disuguaglianza triangolare: d(x 1 , x 3 ) ≤ d(x 1 , x 2 ) + d(x 2 , x 3 ).La funzione d viene chiamata metrica su X. Gli elementi di X vengono anche chiamati punti.(3.2) Esempio. Metrica su R: d: R × R → R, d(x, y) = |x − y|, ha le proprietà che per ognix, y ∈ R(i) |x − y| ≥ 0 e |x − y| = 0 ⇐⇒ x = y.(ii) |x − y| = |y − x|.(iii) |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|.Importante concetto associato al concetto di metrica/distanza:(3.3) Definizione. Palla aperta (intorno circolare) di raggio r e centro in x 0 ∈ X (X spaziometrico):(Anche più esplicitamente B r (x 0 , X))B r (x 0 ) = {x ∈ X : d(x, x 0 ) < r}.(3.4) Nota. Una funzione f : A ⊂ R → R è continua nel punto x ∈ A se per ogni ɛ > 0 esisteun δ > 0 tale che |x − y| < δ =⇒ |f(x) − f(y)| < ɛ. Cioè, equivalentemente, f è continua inx ∈ R se per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tale che y ∈ B δ (x) =⇒ f(y) ∈ B ɛ (f(x)), cioèf (B δ (x)) ⊂ B ɛ (f(x)).In generale, f : A → R è continua in A ⊂ R se è continua per ogni x ∈ A, cioè se per ogniɛ > 0 e per ogni x ∈ A esiste δ (dipendente da ɛ e x) tale che f (B δ (x)) ⊂ B ɛ (f(x)).Dal momento che f(A) ⊂ B ⇐⇒ A ⊂ f −1 B (esercizio (1.7) a pagina 12), la funzione f ècontinua in A se e solo se per ogni ɛ > 0 e per ogni x ∈ A esiste δ (dipendente da ɛ e x) taleche B δ (x) ⊂ f −1 (B ɛ (f(x))).(3.5) Definizione. 4 Un sottoinsieme U di uno spazio metrico X si dice intorno di un puntox ∈ U se contiene un intorno circolare di x, cioè se esiste δ > 0 tale cheB δ (x) ⊂ USe U è un intorno di x, si dice che x è interno ad U.4 U può non essere aperto. . .6 9 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 9 marzo 2005 7(3.6) Nota. Se U è un intorno di x e U ⊂ V , allora V è un intorno di V .Con questo linguaggio, la definizione di continuità in x diventa: la controimmagine f −1 (B ɛ (f(x)))di ogni intorno circolare di f(x) è un intorno di x. Notiamo che una palla è intorno di ognisuo punto (esercizio (1.10) a pagina 12).(3.7) Se f : A ⊂ X → Y è continua in A, allora la controimmagine di ogni palla B r (y) in Y(intervallo!) è intorno di ogni suo punto.Dimostrazione. Se x ∈ f −1 B ɛ (y), cioè f(x) ∈ B ɛ (y), allora esiste r abbastanza piccolo per cuiB r (f(x)) ⊂ B ɛ (y). Dal momento che f è continua in x, f −1 (B r (f(x))) è intorno di x. MaB r (f(x)) ⊂ B ɛ (y) =⇒ f −1 (B r (f(x))) ⊂ f −1 (B ɛ (y))e quindi f −1 (B ɛ (y)) è un intorno di x.q.e.d.(3.8) Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio metrico si dice aperto se è intornodi ogni suo punto (equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno circolare tutto contenutoin A, o, equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno tutto contenuto in A).(3.9) Una palla aperta B r (x) è un aperto.Dimostrazione. (Esercizio (1.10) di pagina 12)q.e.d.(3.10) Una funzione f : X → Y è continua in X se e soltanto se la controimmagine in X diogni palla B r (y) di Y è un aperto.Dimostrazione. Per la proposizione precedente se una funzione è continua allora la controimmaginedi ogni palla è un aperto. Viceversa, assumiamo che la controimmagine di ogni pallaB r (y) è un aperto. Allora, per ogni x ∈ X e per ogni ɛ > 0f −1 (B ɛ (f(x)))è un aperto, ed in particolare è un intorno di x; per definizione di intorno, quindi per ogni xe ɛ esiste δ > 0 tale che B δ (x) ⊂ f −1 (B ɛ (f(x))), cioè f è continua.q.e.d.3.1 Proprietà dei sottoinsiemi apertiSe A ⊂ X è aperto, allora per ogni x ∈ A esiste r = r(x) > 0 tale che B r(x) ⊂ A, e quindi A èunione di (anche infinite) palle aperteA = ⋃ x∈AB r(x) (x).Viceversa, si può mostrare che l’unione di una famiglia di palle aperte è un aperto. Quindivale:(3.11) Un sottoinsieme A ⊂ X è aperto se e solo se è unione di intorni circolari (palle).(3.12) Corollario. L’unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto.(3.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni reali non utilizzanonull’altro che proprietà degli intorni circolari in R. Dato che queste proprietà valgono ingenerale per spazi metrici, le medesime proposizioni valgono per spazi metrici.D.L. Ferrario 9 marzo 2005 7

8 9 marzo 2005 Geometria e Topologia ISi possono riassumere tutti i fatti visti nel seguente teorema.(3.14) Teorema. Una funzione f : X → Y (spazi metrici) è continua se e solo se la controimmaginedi ogni aperto di Y è un aperto di X.Dimostrazione. Sia V un aperto di Y . Allora è unione di intorni circolari B j := B rj (y j )V = ⋃ j∈JB je dunque la sua controimmagine( ) ⋃f −1 V = f −1 B j = ⋃ f −1 B jj∈Jj∈Jè unione di aperti, e quindi è un aperto. Viceversa, se la controimmagine di ogni aperto in Yè un aperto di X, allora in particolare la controimmagine di ogni intorno circolare di Y è unaperto di X, e quindi f è continua.q.e.d.La continuità di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di f sulle famigliedi aperti degli spazi in considerazione, e non dal valore della metrica.(3.15) Sia X uno spazio metrico. Allora l’insieme vuoto e X sono aperti.(3.16) Siano A e B due aperti di X spazio metrico. Allora l’intersezione A ∩ B è un aperto.Dimostrazione. Sia x ∈ A ∩ B. Dato che A e B sono aperti, esistono r A e r B > 0 tali cheB rA (x) ⊂ A e B rB (x) ⊂ B.Sia r il minimo tra r A e r B : B r ⊂ B rA , B r ⊂ B rB , e quindi B r ⊂ A∧B r ⊂ B( ⇐⇒ B r ⊂ A∩B).Quindi A ∩ B è intorno di x e la tesi segue dall’arbitrarietà di x.q.e.d.Riassumiamo le proprietà degli aperti: consideriamo il sottoinsieme dell’insieme delle partiA ⊂ 2 X che consiste di tutti i sottoinsiemi aperti di X.(3.17) L’insieme A di tutti gli aperti (secondo la definizione (3.8 ) di pagina 7) di uno spaziometrico X verifica le seguenti proprietà:(i) ∅ ∈ A, X ∈ A,(ii) B ⊂ A =⇒ ⋃ B∈B B ∈ A,(iii) B ⊂ A, B è finito, allora ⋂ B∈B B ∈ A.(3.18) Possiamo riassumere le proprietà degli intorni circolari di uno spazio metrico X:(i) Ogni elemento x ∈ X ha almeno un intorno (aperto) B ∋ x.(ii) L’intersezione di due intorni circolari B 1 ∩B 2 è un aperto, e quindi per ogni x ∈ B 1 ∩B 2esiste un terzo intorno circolare B di x per cui x ∈ B ⊂ B 1 ∩ B 2 .8 9 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 9 marzo 2005 9(3.19) Definizione. La topologia di uno spazio metrico X è la famiglia A di tutti i sottoinsiemiaperti definita poco sopra. Si dice anche che è A è la topologia di X generata dagliintorni circolari (definiti a partire dalla metrica).(X, d) ↦→ (X, d, A)Dal momento che per determinare la continuità di una funzione è sufficiente conoscere lefamiglie di aperti (nel dominio e codominio) e le controimmagini degli stessi, diciamo che duemetriche sono equivalenti se inducono la stessa topologia.(3.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme X sono equivalenti seinducono la stessa topologia su X.(3.21) Due metriche d e d ′ su X sono equivalenti se e solo se la seguente proprietà è vera: perogni x ∈ X e per ogni palla Br d (x) (nella metrica d) esiste r ′ > 0 tale che Br d′ (x) ⊂ ′ Bd r (x) (doveBr d′ (x) è la palla nella metrica ′ d′ ) e, viceversa, per ogni r ′ e x esiste r tale che Br d (x) ⊂ Br d′ (x). ′Dimostrazione. Supponiamo che le due metriche d e d ′ siano equivalenti e siano x e r > 0 dati.Per (3.9) la palla Br d (x) è aperta nella topologia indotta da d e quindi anche nella topologiaindotta da d ′ : pertanto esiste r ′ tale che Br d′ (x) ⊂ ′ Bd r (x). Analogamente se si scambia il ruolodi d e d ′ . Viceversa, supponiamo A aperto secondo la topologia indotta da d. Per ogni x ∈ Aesiste, per definizione, r = r(x) > 0 tale cheed un corrispondente r ′ > 0 tale cheCioè, per ogni x esiste r ′ = r ′ (x) > 0 tale cheB d r (x) ⊂ A,B d′r ′ (x) ⊂ Bd r (x).Br d′′ (x) ⊂ A,e quindi A è aperto nella topologia indotta da d ′ . Analogamente, ogni aperto nella topologiaindotta da d ′ è anche aperto nella topologia indotta da d e quindi le due topologie coincidono.q.e.d.(3.22) Esempio. Esempi di metriche su R 2 :(i) d(x, y) = √ (x 1 − y 1 ) 2 − (x 2 − y 2 ) 2 = |x − y| (metrica euclidea).{0 se x = y(ii) d(x, y) =(metrica discreta).1 altrimenti(iii) d(x, y) = |x 1 − y 1 | + |x 2 − y 2 |.(iv) d(x, y) = maxi=1,2 |x i − y i |.(v) d(x, y) = mini=1,2 |x i − y i | (?).(vi) d(x, y) = (x 1 − y 1 ) 2 + (x 2 − y 2 ) 2 (?).D.L. Ferrario 9 marzo 2005 9

10 9 marzo 2005 Geometria e Topologia I(3.23) Esempio. Sia p ∈ N un primo ≥ 2. Sappiamo che ogni intero n ∈ Z ha una decomposizionein fattori primi, per cui esiste unico l’esponente α per cui n = p α k, dove l’intero knon contiene il fattore primo p. Si consideri in Z la funzione | · | p definita da|p α k| p = p −αogni volta che k è primo con p, e |n| p = 0 quando n = 0. Sia quindi d: Z × Z → Q ⊂ R lafunzione definita da d(x, y) = |x − y| p . Si può vedere che è una metrica su Z.10 9 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 10 marzo 2005 11Esercizi: foglio 1(1.1) Dimostrare che:(i) L’insieme vuoto ∅ è unico.(ii) per ogni insieme A, ∅ ⊂ A.(iii) per ogni insieme A, A ⊂ A.(iv) per ogni insieme A, A = A ∪ ∅.(1.2) Dimostrare (utilizzando le tautologie viste nella lezione 1) che se A, B, C e X sonoinsiemi arbitrari:(i) A ∪ B = B ∪ A.(ii) A ∩ B = B ∩ A.(iii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).(iv) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).(v) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).(vi) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).(vii) Se A ⊂ X, allora X (X A) = A.(viii) Se A, B ⊂ X, allora X (A ∪ B) = (X A) ∩ (X B).(ix) Se A, B ⊂ X, allora X (A ∩ B) = (X A) ∪ (X B).(1.3) Dimostrare che le seguenti proposizioni sono equivalenti:(i) A ⊂ B;(ii) A ∩ B = A;(iii) A ∪ B = B.(1.4) Costruire una bijezione tra l’insieme delle parti P(X) di un insieme X e l’insieme dellefunzioni f : X → {0, 1}.*(1.5) Siano A e B due insiemi e X l’insieme definito da X = {{{a}, {a, b}} : a ∈ A, b ∈ B}.Mostrare che {{a}, {a, b}} = {{b}, {b, a}} se e solo se a = b e costruire una bijezione X →A × B.*(1.6) Sia f : X → Y una funzione tra insiemi. Dimostrare che, se A ⊂ X e B ⊂ Y sonosottoinsiemi di X e Y :(i) f (f −1 (B)) ⊂ B.(ii) f è suriettiva se e solo se per ogni B ⊂ Y , ff −1 (B) = B.(iii) A ⊂ f −1 f(A).D.L. Ferrario 10 marzo 2005 11

12 10 marzo 2005 Geometria e Topologia I(1.7) Sia f : X → Y una funzione tra insiemi, A ⊂ X e B ⊂ Y sottoinsiemi di X e Y .Dimostrare che:f(A) ⊂ B ⇐⇒ A ⊂ f −1 B.(1.8) Sia X un insieme e f : X × X → R una funzione tale che:(i) f(x, y) = 0 se e solo se x = y.(ii) ∀x, y, z ∈ X, f(x, z) ≤ f(x, y) + f(z, y).Dimostrare che f è una metrica su X.(1.9) Dimostrare che ogni intervallo aperto di R è intorno di ogni suo punto.*(1.10) Dimostrare che in uno spazio metrico ogni palla è intorno di ogni suo punto (cioè è unaperto).(1.11) Dimostrare che l’unione di una famiglia qualsiasi di palle aperte di uno spazio metricoè un aperto.*(1.12) Sia {B j } j∈J una famiglia di insiemi in Y e f : X → Y una funzione. Dimostrare che( ) ⋃f −1 B j = ⋃ f −1 B jj∈Jj∈J(1.13) Quali tra questi sottoinsiemi di R 2 (con la metrica euclidea) sono aperti?(i) {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 1} ∪ {(1, 0)}.(ii) {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}.(iii) {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 > 1}.(iv) {(x, y) ∈ R 2 : x 4 + y 4 ≤ −1}.(v) {(x, y) ∈ R 2 : x 4 + y 4 ≥ 1}.*(1.14) È vero che l’intersezione di una famiglia qualsiasi di intorni aperti di R è un aperto?Se la famiglia è finita?*(1.15) Dimostrare che, dato uno spazio metrico X e un punto x 0 ∈ X, la funzione f(x) =d(x, x 0 ) è continua.(1.16) Dimostrare che una metrica d e la metrica 2d sono equivalenti. Quali delle metrichedell’esempio (3.22) sono equivalenti?(1.17) Trovare gli errori inseriti nelle lezioni (valido anche nelle prossime lezioni).12 10 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 16 marzo 2005 134 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio metrico(4.1) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio metrico X. Un punto x ∈ Xsi dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni r > 0 l’intersezioneB r (x) ∩ A contiene almeno un punto oltre al centro x.Idea: i punti di accumulazione di A dovrebbero essere i punti limite di successioni in A.Se A = {x n } n∈N ⊂ X è una successione convergente, allora il limite della successione è puntolimite di A.(4.2) Definizione. Sia X uno spazio metrico. Un sottoinsieme C ⊂ X si dice chiuso secontiene tutti i suoi punti di accumulazione.(4.3) Il complementare in X di un chiuso è aperto. Il complementare in X di un aperto èchiuso. Quindi C ⊂ X è chiuso se e solo se X C è aperto.Dimostrazione. Sia C ⊂ X un chiuso e x ∈ X C. Dato che C è chiuso, x non può essere unpunto di accumulazione, e quindi esiste r > 0 per cui B r (x)∩C = ∅. Ma allora B r (x) ⊂ (XC)e quindi X C è intorno di x. Per l’arbitrarietà di x in X C si ha che X C è aperto.Viceversa, sia A ⊂ X un aperto e sia C il complementare X A. Se x è un punto diaccumulazione di C allora non è un punto di A: infatti, A sarebbe intorno di x, per cui cisarebbe r > 0 tale che B r (x) ⊂ A, ma allora B r (x) ∩ C ⊂ A ∩ C = ∅, cioè x non sarebbe diaccumulazione per C. In altre parole, i punti di accumulazione di C sono contenuti in C edunque C è chiuso.q.e.d.(4.4) L’insieme C di tutti i chiusi di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprietà:(i) ∅ ∈ C, X ∈ C,(ii) B ⊂ C =⇒ ⋂ C∈B C ∈ C,(iii) B ⊂ C, B è finito, allora ⋃ C∈B C ∈ C.Dimostrazione. Basta considerare la proposizione (3.17) e il fatto che i chiusi sono i complementaridegli aperti (dualità).q.e.d.(4.5) Definizione. Sia A ⊂ X. L’unione di A con l’insieme di tutti i suoi punti di accumulazionesi dice chiusura di A in X e si indica con A.(4.6) Nota. La chiusura A di A contiene A. Inolre, se A ⊂ B, si ha che A ⊂ B (esercizio(2.5)).(4.7) La chiusura A di A è il più piccolo insieme chiuso che contiene A (in altre parole:l’intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare, è un chiuso.Dimostrazione. Per prima cosa vediamo che A è chiuso e per farlo mostriamo che X A èaperto. Se x ∈ X A, cioè x non è né punto di A né punto di accumulazione, allora inparticolare esiste r > 0 per cui B r (x) ∩ A = ∅; l’altro canto B r (x) è aperto (cioè intornodi ogni suo punto), e quindi non può contenere punti di accumulazione per A. Ma alloraB r (x) ∩ A = ∅, cioè B r (x) ⊂ X A.Ora, consideriamo un insieme chiuso C che contiene A. Dato che A ⊂ C, si ha che A ⊂ C,ed essendo C chiuso si ha: C = C. Ma allora A ⊂ C, cioè A è contenuto in tutti i chiusiche contengono A. Essendo A chiuso, in particolare A è un chiuso contenente A, e quindi latesi.q.e.d.D.L. Ferrario 16 marzo 2005 13

14 16 marzo 2005 Geometria e Topologia I(4.8) Corollario. Un insieme A ⊂ X è chiuso se e solo se coincide con la sua chiusuraA = A.(4.9) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi metrici. Le tre proposizioni seguenti sonoequivalenti:(i) f è continua(ii) ∀A ⊂ X, f(A) ⊂ f(A).(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1 (C) ⊂ X è chiuso.Dimostrazione. Supponiamo f continua. Mostriamo che 1 =⇒ 2. Sia x ∈ A. Se x ∈ A,allora f(x) ∈ f(A) ⊂ f(A), e quindi f(x) ∈ f(A). Se x ∈ A A, allora x deve essere diaccumulazione per A. Vogliamo mostrare che o f(x) appartiene a f(A) oppure ne è punto diaccumulazione. Se f(x) ∈ f(A), allora non c’è altro da dimostrare. Supponiamo altrimentiche f(x) ∉ f(A). Ora, dato che f è continua, per ogni r > 0 la controimmagine dell’intornocircolare f −1 (B r (f(x))) è un intorno di x, e quindi esiste ɛ > 0 (che dipende da r e x) percui B ɛ (x) ⊂ f −1 (B r (f(x))). Ma x è di accumulazione per A, e quindi B ɛ (x) ∩ A ≠ {x}, cioèesiste un punto z ∈ B ɛ (x) ∩ A, z ≠ x, ed in particolaref(z) ⊂ B r (f(x))Dato che stiamo supponendo f(x) ∉ f(A) e che z ∈ A, si ha che f(z) ∈ f(A) e quindif(z) ≠ f(x). Cioè, per ogni r > 0 l’intorno B r (f(x)) contiene punti di f(A) diversi da f(x),e quindi f(x) è di accumulazione per f(A).Ora dimostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia C ⊂ Y un chiuso e A = f −1 C la sua controimmaginein X. Dal momento che f(A) ⊂ f(A), e che f(A) = C, f(A) ⊂ C = C, e quindiA ⊂ f −1 C. Ne segue che A ⊂ A, da cui A = A, visto che anche A ⊂ A.Ora dimostriamo che (iii) =⇒ (i). Se A ⊂ Y è aperto, allora C = Y A è chiuso in Y ,e quindi f −1 C è chiuso in X, il che implica che X f −1 C è aperto. MaX f −1 C = {x ∈ X : f(x) ∉ C} = f −1 (X C) = f −1 (A),quindi f −1 (A) è aperto.q.e.d.(4.10) Nota. Continuità: f(lim) = lim(f) . . .Ancora: Tutti i punti di uno spazio metrico sono chiusi. Infatti, se y ≠ x ∈ X e r = d(x, y),allora r > 0 e y ∈ B r/2 (y) ∌ x, cioè X {x} è aperto.14 16 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 17 marzo 2005 155 Spazi topologiciSe si analizzano le dimostrazioni delle proprietà finora vista degli aperti, chiusi e funzionicontinue di spazi metrici, ci si rende conto che la metrica serve solo per definire la famigliadegli intorni circolari e alcune proprietà caratterizzanti.Sia X un insieme. Una famiglia di sottoinsiemi A ⊂ 2 X che verifica le proprietà di (3.17)consente di fatto di introdurre una definizione non solo metrica di continuità.(5.1) Definizione. Una famiglia A ⊂ 2 X di sottoinsiemi di un insieme X si dice topologia severifica le seguenti proprietà:(i) ∅ ∈ A, X ∈ A,(ii) B ⊂ A =⇒ ⋃ B∈B B ∈ A,(iii) B ⊂ A, B è finito, allora ⋂ B∈B B ∈ A.Uno spazio X munito di una topologia A ⊂ 2 X (spesso indicata con la lettera τ) viene dettospazio topologico 5 e gli elementi di A si dicono gli aperti di X.È banale verificare che la definizione di aperto di uno spazio metrico consente di associaread ogni spazio metrico una topologia come nella definizione (3.19), che è detta anche topologiametrica. Sappiamo già che spazi metrici diversi possono avere la stessa topologia metrica (sele metriche sono equivalenti). Non tutti gli spazi topologici però ammettono l’esistenza di unametrica che genera la topologia (cioè, non tutti sono metrizzabili).(5.2) Esempio. Consideriamo le due topologie estreme, cioè quella con più aperti possibilee quella con meno aperti possibile.(i) Topologia banale: ha solo i due aperti A = {∅, X} ⊂ 2 Xpoter soddisfare tutti gli assiomi della definizione (5.1)).(che devono esistere per(ii) Topologia discreta: tutti i sottoinsiemi sono aperti A = 2 X .Questo serve a rilassare il concetto di “vicinanza” che è intrinseco per gli spazi metrici.(5.3) Definizione. Se X è uno spazio topologico, A ⊂ X è un sottoinsieme e x ∈ A, si diceche A è un intorno di x se contiene un aperto B tale che x ∈ B ⊂ A. 6 Allora x si dice puntointerno di A.Possiamo anche definire funzioni continue usando la caratterizzazione del teorema (3.14).(5.4) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Una funzione f : X → Y si dice continuase per ogni aperto A ⊂ Y la controimmagine f −1 A è aperto di X.Anche il concetto di sottoinsieme chiuso, di punto di accumulazione e di chiusura può essereesteso agli spazi topologici, utilizzando il fatto che gli aperto sono per definizione intorni deipropri punti.5 Così come uno spazio metrico X è più propriamente una coppia (X, d), anche uno spazio topologicodovrebbe essere indicato come coppia (X, τ) con τ ⊂ 2 X , ma per brevità la topologia non viene espressamenteindicata, se non quando necessario.6 Alcuni definiscono intorni solo gli aperti che contengono x.D.L. Ferrario 17 marzo 2005 15

16 17 marzo 2005 Geometria e Topologia I(5.5) Definizione. Sia A ⊂ X un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Un puntox ∈ X si dice di accumulazione (anche: punto limite) per A in X se per ogni intorno B di xl’intersezione B ∩ A contiene almeno un altro punto oltre a x. La chiusura A di A è definitacome l’unione di A con tutti i suoi punti di accumulazione.(5.6) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Le seguenti proposizionisono equivalenti.(i) X C è aperto.(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.Dimostrazione. Basta ripetere la dimostrazione di (4.3) sostituendo ovunque intorni apertiinvece che intorni circolari.q.e.d.(5.7) Definizione. Un sottoinsieme C ⊂ X di uno spazio topologico si dice chiuso se unadelle due proposizioni equivalenti di (5.6) è verificata.Ancora, cambiando di poco la dimostrazione di (4.7) si può dimostrare che (vedi esercizio(2.8)):(5.8) La chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X è il più piccolo sottoinsieme chiuso di X checontiene A (in altre parole: l’intersezione di tutti i chiusi che contengono A). In particolare,è un chiuso.5.1 Base di una topologiaLa topologia metrica è generata dalla famiglia di tutti gli intorni circolari, nel senso che gliaperti sono tutti e soli le unioni di intorni circolari. Ci si può chiedere quando una famigliadi insiemi genera una topologia in questo modo. Basta prendere le proprietà degli intornicircolari di spazi metrici di (3.18).(5.9) Definizione. Una famiglia di sottoinsiemi B ⊂ 2 X di un insieme X si dice base se leseguenti proprietà sono soddisfatte:(i) per ogni x ∈ X esiste almeno un elemento della base B ∈ B che contiene x (equivalentemente,X = ⋃ B∈B B).(ii) Se B 1 , B 2 ∈ B e x ∈ B 1 ∩ B 2 , allora esiste B x ∈ B tale che x ∈ B ⊂ B 1 ∩ B 2(equivalentemente, B 1 ∩ B 2 è unione di elementi della base).Possiamo riscrivere (3.18) dicendo: gli intorni circolari costituiscono una base. Il modo digenerare una topologia a partire da una base procede dall’osservazione che gli aperti sono leunioni di intorni circolari.(5.10) Sia X un insieme. Data una base B ⊂ 2 X , sia A ⊂ 2 X la famiglia di tutte le unionidi elementi di B unita a ∅. Allora A è una topologia per X ed è la più piccola topologia in cuigli elementi della base B sono aperti.Dimostrazione. Esercizio.q.e.d.(5.11) Definizione. La topologia generata come in (5.10) si dice topologia generata dallabase B.16 17 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 17 marzo 2005 175.2 Topologia indottaSe X è uno spazio topologico, la topologia τ di X induce una topologia, detta topologia indottaper restrizione sui sottospazi Y ⊂ X. Cioè, per definizione A ⊂ Y è aperto se e solo se esisteU ⊂ X aperto la cui intersezione con Y è A: gli aperti di Y sono tutte e sole le intersezioniA = Y ∩ Udi aperti di X con Y . Quando si considerano sottoinsiemi di uno spazio topologico, si assumeche abbiano la topologia indotta, se non esplicitamente indicato in altro modo.D.L. Ferrario 17 marzo 2005 17

18 17 marzo 2005 Geometria e Topologia IEsercizi: foglio 2(2.1) Dimostrare che, se A, B ⊂ X sono sottonsiemi di uno spazio metrico:(i) A ∪ B = A ∪ B.(ii) A ∩ B ⊂ A ∩ B.(2.2) Trovare i punti di accumulazione dei seguenti sottoinsiemi di R:(i) { 1 n(ii) { k n: n ∈ N, n > 0}.: k, n ∈ N, n > 0}.(iii) { k2 n : k, n ∈ N}.(iv) { 1 k + 1 n: k, n ∈ N, k, n > 0}.*(2.3) Dimostrare che se A e B sono sottoinsiemi di uno spazio metrico X allora(i) A ∪ B = A ∪ B;(ii) A ⊆ A;(iii) (A) = A;(iv) ∅ = ∅.Viceversa, si consideri un operatore C : 2 X → 2 X con le seguenti proprietà:(i) CA ∪ CB = C(A ∪ B);(ii) A ⊆ CA;(iii) CCA = CA;(iv) C∅ = ∅.Dimostrare che, definiendo chiusi tutti i sottoinsiemi fissati dall’operatore C (CA = A) siottiene una topologia su X (cioè valgono gli assiomi. . . . Questi assiomi alternativi si chiamanoassiomi di Kuratowski ).(2.4) Quali sono i punti di accumulazione per la successione { 1 } (per n > 0) nella retta reale{n0 se x = yR munita della metrica discreta d(x, y) =1 altrimenti ?(2.5) Dimostrare che se A ⊂ B, allora A ⊂ B.*(2.6) Dimostrare che uno spazio topologico con più di due punti con la topologia banale nonè metrizzabile, mentre ogni spazio topologico discreto (con topologia discreta) è metrizzabile.*(2.7) Sia X uno spazio topologico e C ⊂ X un suo sottoinsieme. Dimostrare che le seguentiproposizioni sono equivalenti.18 17 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 17 marzo 2005 19(i) X C è aperto.(ii) C contiene tutti i suoi punti di accumulazione.*(2.8) Dimostrare che la chiusura A di un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio topologico X èil più piccolo sottoinsieme chiuso di X che contiene A.(2.9) Sia X un insieme e Y ⊂ X un suo sottoinsieme. Dimostrare che se τ ⊂ 2 X è unatopologia per X, allora τ Y = {U ∩ Y : U ∈ τ} è una topologia per Y , e che l’inclusionei: Y → X è una funzione continua.(2.10) Sia X un insieme di tre elementi X = {a, b, c}. Le seguenti sono topologie per X:(i) {{}, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}.(ii) {{}, {a}, {a, b, c}}.(iii) {{}, {a, b, c}}.Le seguenti non sono topologie(i) {{}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}.(ii) {{a}, {a, b, c}}.Quante topologie ci sono su X in tutto? Quanti sono i sottoinsiemi di 2 X ?*(2.11) (Topologia dei complementi finiti) Sia X un insieme e τ ⊂ 2 X la famiglia di tuttii sottoinsiemi A di X con complemento finito, cioè tali che X A ha un numero finito dielementi, unita all’insieme X (si vuole che ∅ sia aperto). Si dimostri che τ è una topologia.(2.12) Consideriamo le seguenti famiglie di sottoinsiemi della retta reale R.(i) Tutti gli intervalli aperti: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.(ii) Tutti gli intervalli semiaperti: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.(iii) Tutti gli intervalli del tipo: (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.(iv) Tutti gli intervalli del tipo: (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}.Quali sono basi? Come sono relazionate le topologie che generano (Cioè quando le topologiesono contenute una nell’altra)?(2.13) Dimostrare che se f : R → R è una funzione continua, allora l’insieme {x ∈ R : f(x) =0} è chiuso in R mentre l’insieme {x ∈ R : f(x) > 0} è aperto in R.*(2.14) Sia A ⊂ R un insieme e χ A la funzione (detta funzione caratteristica di A) definita da{1 se x ∈ A;χ A (x) =0 se x ∉ A;In quali punti di R la funzione χ A è continua?*(2.15) Quale topologia deve avere R affinché tutte le funzioni f : R → R siano continue?*(2.16) Dimostrare che una funzione f : R → R è continua se e solo se per ogni successioneconvergente {x n } (cioè per cui esiste ¯x tale che lim n→∞ |x n − ¯x| = 0) vale l’uguaglianzalim |f(x n) − f(¯x)| = 0.n→∞(2.17) Dimostrare che un insieme finito di punti di uno spazio metrico non ha punti limite.D.L. Ferrario 17 marzo 2005 19

20 23 marzo 2005 Geometria e Topologia I6 Funzioni continueLe funzioni continue tra spazi topologici si dicono anche mappe. Si può dimostrare, esattamentecome in (4.9) e in (3.10), che vale la seguente proposizione.(6.1) Sia f una funzione f : X → Y tra spazi topologici. Le tre proposizioni seguenti sonoequivalenti:(i) f è continua(ii) ∀A ⊂ X, f(A) ⊂ f(A).(iii) per ogni C ⊂ Y chiuso, la sua controimmagine f −1 (C) ⊂ X è chiuso in X.(iv) Se B è una base per Y , allora per ogni elemento della base B ∈ B la controimmaginef −1 B è aperto in X.(6.2) Teorema. La composizione di funzioni continue è continua.Dimostrazione. Sia f : X → Y una funzione continua e g : Y → Z una funzione continua. Lacomposizione gf : X → Z è continua se e solo se (gf) −1 (A) è aperto in X ogni volta che A èaperto in Z. Ora,(gf) −1 (A) = {x ∈ X : g(f(x)) ∈ A}= {x ∈ X : f(x) ∈ g −1 (A)}= f −1 (g −1 (A))e dunque se A è aperto anche g −1 (A) è aperto in Y (dato che g è continua), e poiché f ècontinua f −1 (g −1 (A)) è aperto in X.q.e.d.(6.3) Teorema. Sia f : X → Y una funzione continua. Se A ⊂ X ha la topologia indotta,allora la restrizione f| A è continua.Dimostrazione. Sia B ⊂ Y un aperto. La controimmagine f −1 (B) è aperta in X, dato che fè continua. La controimmagine di B mediante la funzione ristretta f| A è data dall’insieme{x ∈ A : f(x) ∈ B},e quindi da A ∩ f −1 (B). Per definizione di topologia indotta, questo è un aperto di A.q.e.d.(6.4) Definizione. Una funzione f : X → Y tra spazi topologici è un omeomorfismo se èbiunivoca e sia f che la funzione inversa f −1 sono continue. Si dice allora che X e Y sonoomeomorfi (e si indica con X ≈ Y ).(6.5) Definizione. Una funzione f : X → Y è(i) aperta se l’immagine f(A) di ogni aperto A di X è aperta in Y .(ii) chiusa se l’immagine f(C) di ogni chiuso C di X è chiusa in Y .(6.6) Una funzione f : X → Y è un omeomorfismo se e solo se almeno una delle due proprietàè vera:(i) f è biunivoca, continua e aperta.20 23 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 23 marzo 2005 21(ii) f è biunivoca, continua e chiusa.La topologia studia gli spazi a meno di omomorfismo. Infatti, una biiezione non è altroche un “cambiamento di coordinate” in uno spazio, e l’essere omeomorfismo significa che lafamiglia degli aperti viene conservata.(6.7) Esempio. Sia X l’insieme delle matrici 2×2 a coefficienti reali. Sia d la metrica munitodella metrica d((a i,j ), (b i,j )) = max (|a i,j − b i,j |). X è omeomorfo a R 4 con la metrica euclideai,jd((x i ), (y i )) =√ ∑4i=1 (x i − y i ) 2 tramite l’omeomorfismo( )a1,1 a 1,2↦→a 2,1 a 2,2⎡⎢⎣⎤a 1,1a 2,1⎥a 1,2⎦a 2,2(6.8) Esempio. La circonferenza meno un punto è omeomorfa alla retta reale (proiezionestereografica).7 Topologia prodotto(7.1) Definizione. Siano X e Y spazi topologici. Il prodotto cartesiano X × Y ammette unatopologia, chiamata topologia prodotto definita a partire dalla basebase = {U × V ⊂ X × Y : U è aperto in X e V è aperto in Y }.Affinché la definizione sia ben posta dobbiamo verificare che effettivamente l’insieme diaperti sopra descritto costituisca una base per X × Y : esercizio (3.1).Le funzione p 1 : X × Y → X e p 2 : X × Y → Y definite da p 1 (x, y) = x e p 2 (x, y) = y sidicono le proiezioni.(7.2) Se X × Y ha la topologia prodotto, allora X × Y ≈ Y × X (sono omeomorfi), e leproiezioni p 1 : X × Y → X, p 2 : X × Y → Y sono continue e aperte.Iterando il procedimento, si può definire la topologia prodotto di un insieme finito di spazitopologici X 1 ,X 2 , . . . , X n , che ha come base la famiglia di sottoinsiemi del tipo U 1 ×U 2 × ˙×U n ⊂X 1 × X 2 × · · · × X n .(7.3) Esempio. La retta è omeomorfa ad un segmento aperto: R ≈ (a, b) per ogni a < b.(7.4) Esempio. La topologia di R n indotta dalla metrica euclidea (topologia metrica) è ugualealla topologia prodotto.(7.5) Esempio. I × I è il quadrato (pieno) di R 2 . Analogamente, I n è il cubo di dimensionen.D.L. Ferrario 23 marzo 2005 21

22 24 marzo 2005 Geometria e Topologia I8 Spazi di identificazione e topologie quozienteAbbiamo visto la definizione di funzioni continue, proprietà di composizione e restrizione difunzioni continue. Vediamo ora come costruire spazi topologici a partire da spazi dati.Problema: sia ∼ una relazione di equivalenza su uno spazio topologico, e f : X → X/ ∼ laproiezione sullo spazio quoziente (lo spazio delle classi di equivalenza).(8.1) Esempio. (i) I 0∼1 .(ii) R con x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z.(iii) R 2 con x = (x 1 , x 2 ) ∼ y = (y 1 , y 2 ) ⇐⇒ x − y ∈ Z 2 .(iv) Striscia di Möbius.In modo equivalente, data una funzione suriettiva f : X → Y , Y si può vedere come insiemedelle classi di equivalenza date dalla relazione∀x, y ∈ X, x ∈ y ⇐⇒ f(x) = f(y).(8.2) Definizione. Se X è uno spazio topologico e f : X → Y una funzione suriettiva,allora si definisce la topologia quoziente su Y come la topologia i cui aperti sono tutti e solii sottoinsiemi A ⊂ Y per cui la controimmagine f −1 (A) ⊂ X è aperto. Lo spazio Y si dicespazio quoziente di X rispetto alla proiezione f.(8.3) Se f : X → Y è continua e suriettiva, allora la topologia di Y è contenuta nella topologiaquoziente (cioè ogni aperto di Y è aperto nella topologia quoziente di X).Dimostrazione. Per definizione di continuità, se f : X → Y è continua e A ⊂ Y è aperto nellatopologia di Y , allora f −1 (A) è aperto in X, e quindi per definizione di topologia quoziente èaperto nella topologia quoziente.q.e.d.(8.4) Definizione. Se X è uno spazio topologico e A ⊂ X un sottospazio, si scrive X/A(quoziente di X su A) per indicare lo spazio ottenuto identificando A ad un punto, che è lospazio ottenuto dalla relazione di equivalenza in cui le classi di equivalenza sono tutti i singolipunti di X A e A.(8.5) Esempio. Il toro: [0, 1] × [0, 1] con le identificazioni (i.e. relazione di equivalenza. . . )(i) (0, 0) ∼ (1, 0) ∼ (1, 1) ∼ (0, 1).(ii) (x, 0) ∼ (x, 1) per 0 < x < 1.(iii) (0, y) ∼ (1, y) per 0 < y < 1.È omeomorfo a S 1 × S 1 ?(8.6) Esempio. Il disco: D 1 (0, R 2 ) = D 2 = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}, quozientato rispettoalla relazione di equivalenza:{x ∈ ∂D 2 ∧ y ∈ ∂D 2 (x e y stanno sul bordo)x ∼ y ⇐⇒x = yaltrimenti22 24 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 24 marzo 2005 23(8.7) Esempio. Il piano proiettivo: D 2 quozientato rispetto alla relazione:{x = −y se x ∈ ∂D 2 ∧ y ∈ ∂D 2x ∼ y ⇐⇒x = y altrimentiAnalogo: S 2 / ∼ dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale).(8.8) Esempio. Nastro di Möbius:D.L. Ferrario 24 marzo 2005 23

24 24 marzo 2005 Geometria e Topologia IEsercizi: foglio 3(3.1) Verificare che la famiglia di sottoinsiemi U × V , con U aperto in X e V aperto in Y èuna base di intorni nello spazio prodotto (cartesiano) X × Y .(3.2) Dimostrare che se X × Y ha la topologia prodotto e A ⊂ X, B ⊂ Y sono sottospazi,allora A × B = A × B, e che A × B è aperto in X × Y se e solo se A è aperto in X e B èaperto in Y .*(3.3) Dimostrare che [0, 1) × [0, 1) è omeomorfo a [0, 1] × [0, 1).(3.4) Dimostrare che R = R (dove Q denota il campo dei razionali) ma che Q non ha puntiinterni in R.(3.5) Dimostrare che il quadrato {(x, y) ∈ R 2 : max(|x|, |y|) = 1} è omeomorfo alla circonferenza{(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 1}.(3.6) Dimostrare che la mappa diagonale ∆: X → X × X definita da x ↦→ (x, x) è continua.*(3.7) Dimostrare che una mappa suriettiva, continua e chiusa è una mappa quoziente.*(3.8) È vero che la mappe di proiezione p 1 : X × Y → X è sempre una mappa chiusa?(3.9) Sia p 1 : R 2 = R × R → R la proiezione sulla prima coordinata. SiaA = {(x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0 ∨ y = 0},e f : A → R la restrizione di p 1 a A. La mappa f è aperta/chiusa?(3.10) Dimostrare che se f : X → Y è una funzione tra insiemi allora la relazione x ∼ y ⇐⇒f(x) = f(y) è una relazione di equivalenza, e la funzione f induce una funzione biunivoca tral’insieme delle classi di equivalenza e f(X) ⊂ Y .*(3.11) Che spazio si ottiene identificando ad un punto il bordo di un nastro di Möbius?(3.12) Classificare in modo intuitivo (a meno di omeomorfismo) i seguenti spazi:(i) Cilindro = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 = 1 ∧ z 2 ≤ 1}.(ii) Cono = {(x, y, z) ∈ R 3 : z 2 = x 2 + y 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.(iii) Toro (≈ S 1 × S 1 ≈ . . . ).(iv) Cilindro (vedi sopra) con ognuna delle due circonferenze (date da z = 1 e z = −1) dibordo identificate ad un punto.(v) La sfera {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}.(vi) La sfera (vedi sopra) meno un punto.(vii) Il piano R 2 .*(3.13) Dimostrare che la somma, il prodotto e la sottrazione sono operazioni continue su R.(3.14) Dimostrare che i seguenti insiemi sono insiemi chiusi di R 2 :24 24 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 24 marzo 2005 25(i) {(x, y) : xy = 1}.(ii) (x, y) : x 2 + y 2 = 1}.(iii) {(x, y) : x 2 + y 2 ≤ 1}.(iv) {(x, y) : x 3 + y 3 = 1} (e in generale, {(x, y) : x n + y n = 1}).*(3.15) Sia f : X → Y una funzione continua (mappa). Dimostrare che se esiste una funzionecontinua g : Y → X (inversa destra) tale che f ◦ g è l’identità di Y , allora f è una mappaquoziente. Se g = i è l’inclusione di un sottospazio i: Y = A ⊂ X (dove A ha la topologiaindotta da X), allora il fatto che i sia inversa destra di f si legge f ◦ i = 1 Y , e cioè ∀x ∈A, f(x) = x, cioè la restrizione f| A è uguale all’identità 1 A . In questo caso la mappa f si diceretrazione.*(3.16) Consideriamo in R la relazione di equivalenza x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q (se la differenzaè razionale); Qual è la topologia dello spazio quoziente R/ ∼ ? (Dimostrare che è la topologiabanale.)(3.17) Dimostrare che la composizione di mappe quoziente è una mappa quoziente.(3.18) Dimostrare che una funzione quoziente è iniettiva se e solo se è un omeomorfismo.*(3.19) Siano X e Y due spazi metrici con metriche d X e d Y . Dimostrare che la funzioned: X × Y → R definita dad ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = √ d X (x 1 , x 2 ) 2 + d Y (y 1 , y 2 ) 2è una metrica sul prodotto X × Y . Dimostrare anche che la topologia indotta da d coincidecon la topologia prodotto.*(3.20) (Orecchini delle Hawaii) Sia X l’unione delle circonferenze {(x, y) ∈ R 2 : (x− 1 n )2 +y 2 =( 1 n )2 }, per n = 1, 2, 3 . . . con la topologia indotta da R 2 , e sia Y lo spazio ottenuto identificandotutti gli interi Z ⊂ R ad un punto. Dimostrare che X e Y non sono omeomorfi.D.L. Ferrario 24 marzo 2005 25

26 31 marzo 2005 Geometria e Topologia I9 CompattezzaAlcune importanti proprietà di R (dove un sottoinsieme viene detto compatto se è chiuso elimitato):(i) L’immagine di un compatto è compatta.(ii) L’immagine di un intervallo chiuso è un intervallo chiuso (teorema del valore intermedio).(iii) Una funzione continua ammette massimo e minimo in ogni intervallo chiuso.(iv) Ogni successione di Cauchy converge.(v) Se A ⊂ R è compatto, allora ogni successione in A ammette una sottosuccessioneconvergente.Vedremo che queste proprietà derivano da certe proprietà topologiche della retta reale.Richiamiamo gli assiomi della retta reale R (un campo ordinato con due ulteriori assiomi):(9.1) Valgono i seguenti assiomi del campo ordinato dei numeri reali:(i) Assiomi di campo:(a) ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz).(b) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx.(c) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx + 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x ≠ 0 =⇒ 1x = x.(d) ∀x ∈ R, ∃ unico y ∈ R : x + y = 0. ∀x ∈ R, x ≠ 0, ∃ unico y ∈ R : xy = 1.(e) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz.(ii) Asiomi di campo ordinato: la relazione > induce un ordine totale su R in modo tale che(a) x > y =⇒ x + z > y + z.(b) x > y, z > 0 =⇒ xz > yz.(iii) Proprietà dell’ordinamento (continuo lineare):(a) (Completezza di Dedekind) La relazione d’ordine < ha la proprietà dell’estremosuperiore (cioè ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha l’estremo superiore).(b) Se x < y, allora esiste un numero z ∈ R tale che x < z < y.(9.2) Definizione. Uno spazio topologico X viene detto di Hausdorff se per ogni x, y ∈ X,x ≠ y, esistono due intorni U x e U y di x e y rispettivamente tali cheU x ∩ U y = ∅.(9.3) Nota. Ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)).Abbiamo già accennato alla definizione di successione convergente (in spazi metrici). Definiamoora la convergenza di successioni in spazi topologici.26 31 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 31 marzo 2005 27(9.4) Definizione. Si dice che una successione {x n } in X converge ad un punto ¯x ∈ X seper ogni intorno U¯x di ¯x esiste un intero n (che dipende da U¯x ) tale cheIn tal caso si scrivej ≥ n =⇒ x j ∈ U¯x .limnx n = ¯xe si dice che x n converge a ¯x.(9.5) Se x nk è una sottosuccessione di una successione convergente x n (con limite lim n x n =¯x), allora la sottosuccessione converge al medesimo limite lim k x nk = ¯x.Dimostrazione. Vedi esercizio (4.6).q.e.d.(9.6) (Unicità del limite) Sia X uno spazio di Hausdorff e {x n } una successione in X. Selim n x n = ¯x e lim n x n = ȳ, allora ¯x = ȳ.Dimostrazione. Esercizio (4.7).q.e.d.(9.7) Definizione. Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto{U i } i di X (cioè una famiglia di aperti {U i } i∈J tale che X = ∪ i∈J U i ) ha un sottoricoprimentofinito, cioè esiste un sottoinsieme finito di indici J 0 ⊂ J tale cheX = ∪ i∈J0 U i(9.8) Nota. Uno spazio metrico si dice compatto quando lo spazio topologico associato (conla topologia metrica) è compatto.(9.9) Nota. Se B è una base di intorni per la topologia di X, e X è compatto, allora, in particolare,ogni ricoprimento di X mediante intorni (che sono aperti) di B ammette un ricoprimentofinito. Viceversa, se ogni ricoprimento mediante intorni di B ammette un ricoprimento finito,allora X è compatto (cioè ogni ricoprimento di aperti ammette un sottoricoprimento finito,non solo ogni ricoprimento mediante intorni della base). Infatti, se {U i } è un generico ricoprimentodi X, allora (visto che ogni U i è aperto) U i = ∪ j B i,j dove i B i,j sono una famiglia diintorni della base B (ogni aperto è unione di intorni aperti della base B). Ma alloraX = ∪ i U i = ∪ i ∪ j B i,j = ⋃ i,jB i,j ,e quindi {B i,j } i,j è un ricoprimento di X mediante aperti della base, che ammette l’esistenzadi un sottoricoprimento finitoX = B i1 ,j 1∪ B i2 ,j 2∪ · · · ∪ B iN ,j N.Dal momento che U i = ∪ j B i,j , per ogni i, j si ha B i,j ⊂ U i , e quindicioè {U i } i ammette sottoricoprimento finito.X = U i1 ∪ U i2 ∪ · · · ∪ U iN ,D.L. Ferrario 31 marzo 2005 27

28 31 marzo 2005 Geometria e Topologia I(9.10) Se X è compatto e C ⊂ X è un sottoinsieme chiuso, allora C è compatto (con latopologia indotta).Dimostrazione. Se {U i } i∈J è un ricoprimento mediante aperti di C, allora, con un abuso dinotazione, possiamo considerare un ricoprimento di C mediante aperti dato da {C ∩ U i } i∈J ,dove U i sono aperti di X. Dato che C è chiuso X C è aperto, e quindi{X C} ∪ {U i } i∈Jè un ricoprimento aperto di tutto X (dato che C ⊂ ∪ i U i ), e quindi esiste un sottoricoprimentofinito, che sarà della forma{X C} ∪ {U i } i∈J0oppure {U i } i∈J0 . In entrambi i casi, risultaC ⊂ ⋃U i ,i∈J 0e quindi la tesi.q.e.d.(9.11) Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausforff è chiuso.Dimostrazione. Sia C ⊂ X sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff X. Dimostriamoche C è chiuso. Sia x ∈ X C. Per ogni c ∈ C, dato che X è di Hausdorff, esistono dueintorni disgiunti U c e V c tali che U c ∩ V c = ∅, c ∈ U c , x ∈ V c . Ora, {U c } c∈C è un ricoprimentodi C di aperti, quindi esiste un sottoricoprimento finito, cioèC ⊂ U c1 ∪ U c2 ∪ · · · ∪ U cN .L’intersezione di un numero finito di aperti è aperto, quindiV = V c1 ∩ V c2 ∩ · · · ∩ V cNè un aperto che contiene x. Dato inoltre che per ogni i = 1 . . . N, l’intersezione V ci ∩ U ci = ∅,V ∩ C = ∅,cioè V ⊂ X C e quindi X C è aperto per l’arbitrarietà di x, cioè C è chiuso.q.e.d.(9.12) L’immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta.Dimostrazione. Sia X compatto e f : X → Y una funzione continua. Dobbiamo dimostrareche f(X) è compatto con la topologia indotta da Y . Ogni ricoprimento aperto {U i } i di f(X)in Y induce un ricoprimento aperto{f −1 (U i )} idi X, che ha un sottoricoprimento finito dal momento che X è compatto. La tesi segue dalfatto che per ogni if(f −1 (U i )) ⊂ U i .q.e.d.28 31 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 31 marzo 2005 29(9.13) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è compatto se esolo se Y è compatto.Dimostrazione. Sia f : X → Y un omeomorfismo. Se X è compatto, allora f(X) = Y ècompatto. Viceversa, se Y è compatto, allora X = f −1 (Y ) è compatto dato che f −1 è continua.q.e.d.(9.14) Teorema. Una funzione f : X → Y continua e suriettiva tra X compatto e Y Hausdorffè sempre chiusa, e dunque una mappa quoziente.Dimostrazione. Se C ⊂ X è un chiuso di X, allora per (9.10) C è compatto. Ma per (9.12)f(C) è compatto di Y , ed un compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso per (9.11), quindif(C) è chiuso. Una funzione continua, suriettiva e chiusa è una mappa quoziente (vedi esercizio(3.7)). q.e.d.(9.15) Teorema (Thychonoff). Se X e Y sono due spazi topologici compatti, allora ilprodotto cartesiano X × Y (con la topologia prodotto) è compatto.D.L. Ferrario 31 marzo 2005 29

30 31 marzo 2005 Geometria e Topologia IEsercizi: foglio 4*(4.1) Sia A ⊂ R un sottoinsieme non vuoto. Un numero m ∈ R è un maggiorante se∀a ∈ A, a ≤ m (per definizione, un insieme limitato superiormente è un insieme con almenoun maggiorante). L’insieme di tutti i maggioranti di A è chiuso? È limitato inferiormente(nota: l’estremo superiore sup A è il minimo dell’insieme dei maggioranti)?*(4.2) Dimostrare che se A ⊂ R è un sottoinsieme di R (con la metrica euclidea), allora sup Ae inf A appartengono alla chiusura A.(4.3) Sia C ⊂ [a, b] ⊂ R un sottoinsieme chiuso di [a, b] (chiuso nella topologia indotta su[a, b] da R). Dimostrare che C è chiuso in R. Dimostrare che la stessa proprietà è falsa per gliaperti: trovare un sottoinsieme A ⊂ [a, b] ⊂ R aperto nella topologia di [a, b] ma non in quelladi R.(4.4) Dimostrare che uno spazio X metrizzabile è di Hausdorff.(4.5) Sia A ⊂ X un sottoinsieme di X spazio topologico. Dimostrare che x ∈ X è un puntodi accumulazione di A se e solo sex ∈ A {x}.(4.6) Dimostrare che ogni sottosuccessione di una successione convergente converge.(4.7) Dimostrare l’unicità del limite di successioni in spazi di Hausdorff: Se X è uno spaziodi Hausdorff e {x n } una successione in X, allora lim n x n = ¯x e lim n x n = ȳ implica ¯x = ȳ.*(4.8) Diciamo che uno spazio topologico X ha la f.i.p. (finite intersection property) se ognifamiglia di chiusi {C i } i∈J di X con la proprietà∀J 0 ⊂ J, |J 0 | < ∞ =⇒ ⋂i∈J 0C i ≠ ∅(l’intersezione di ogni sottofamiglia finita di chiusi è non vuota) ha anche la proprità⋂C i ≠ ∅.i∈JDimostrare che X è compatto se e solo se ha la f.i.p. (Suggerimento: X C i è aperto, e quindi).*(4.9) Dimostrare che l’ultimo assioma della lista di assiomi di R è ridondante (si può dedurredai primi 7).30 31 marzo 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 6 aprile 2005 3110 Compattezza in spazi metrici ed euclidei(10.1) Teorema. Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme. Le seguenti proposizionisono equivalenti:(i) C è compatto ( Heine-Borel).(ii) Ogni insieme infinito di punti di C ha un punto di accumulazione in C ( Bolzano-Weierstrass).(iii) Ogni successione in C ammette una sottosuccessione che converge in C (i.e. C è compattoper successioni).Dimostrazione. Cominciamo a dimostrare che (i) =⇒ (ii), cioè che ¬(ii) =⇒ ¬(i). Seè vero ≠ (ii), esiste un insieme infinito A ⊂ C di punti di C che non ha nessun punto diaccumulazione in C (cioè nessun punto di C è di accumulazione per A, e quindi in particolarenessun punto di A è di accumulazione per A). Questo significa che ogni a ∈ A non è diaccumulazione, e quindi per ogni a ∈ A esiste un intorno aperto U a di a tale che U a ∩ A noncontiene altri punti oltre ad a, cioèSi consideri ora il ricoprimento aperto di A:U a ∩ A = {a} (10.2)A ⊂ ⋃ a∈AU a .Per la (10.2), il ricoprimento {U a } di A non ammette nessun sottoricoprimento, e dato che seA è infinito anche il ricoprimento è infinito, risulta che A non è compatto. Per mostrare cheC non è compatto, basta osservare che A è chiuso in C (dal momento che nessun punto di Cè di accumulazione per A, la chiusura di A in C è uguale a A): se C fosse compatto anche Adovrebbe essere compatto, per (9.10). Quindi C non è compatto.Ora mostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia {x i } i∈J una successione di punti di C e A ⊂ Cl’insieme dei punti di {x i } i∈J . Se A è un insieme finito, allora c’è (in modo banale) unasottosuccessione {x i } i∈J0 con J 0 ⊂ J che converge in C: basta prendere una successionecostante. Altrimenti, A è un insieme infinito, e dunque per (ii) esiste un punto ¯x ∈ C che èdi accumulazione per A. Per definizione, questo vuol dire che per ogni ɛ > 0 l’intersezioneB ɛ (¯x) ∩ (A {¯x}) ≠ ∅.Cioè, per ogni ɛ > 0 esiste y ∈ A, y ≠ ¯x per cuiy ∈ B ɛ (¯x)(ricordiamo anche che y ∈ A ⇐⇒ y = x n per qualche n). Dato che X è uno spazio metrico,segue che per ogni ɛ > 0 B ɛ (¯x)∩A ha infiniti punti (vedi anche esercizio (5.2)). Ora, definiamola successione {n k } per induzione: si scelga y ∈ B 1 (¯x) ∩ A. Allora esiste n 1 tale che x n1 = y.Supponiamo di aver definito n k . Definiamo ɛ k+1 = 1 , ed allora esistono infinite scelte perk + 1y ∈ B ɛk+1 (¯x) ∩ A, dunque infinite soluzioni (intere) dell’equazionex n ∈ B ɛk+1 (¯x).D.L. Ferrario 6 aprile 2005 31

32 6 aprile 2005 Geometria e Topologia IDato che sono infinite, ne esiste una per n > n k , che chiamiamo n k+1 . È facile vedere che lasottosuccessione {x nk } converge a ¯x ∈ C.Infine mostriamo che (iii) =⇒ (i). Questa è la parte più difficile della dimostrazione.Per prima cosa, supponiamo di avere un ricoprimento {U i } di C costituito esclusivamente daintorni circolari U i = B ri (c i ) e mostriamo che esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno B δ (x)è contenuto in qualche U i (cioè, per ogni x ∈ C esiste U i = B ri (c i ) tale che B δ (x) ⊂ B ri (c i )).Se ciò non fosse vero, dovrebbe essere vero che per ogni δ > 0 esiste x = x(δ) ∈ C tale che perogni i B δ (x) ⊄ B i . Consideriamo la successione δ n = 1 . Allora, per ogni n ≥ 1 si può definirenun elemento x n ∈ C per cui∀i : B δn (x n ) ⊄ U i . (10.3)Di nuovo, consideriamo che per ipotesi (iii) è vera, e quindi la successione {x n } ammette unasottosuccessione {x nk } che converge ad un certo y ∈ C. Dal momento che C è ricoperto dagliaperti U i , esiste un aperto U iy del ricoprimento che contiene y, cioè tale chelimkx nk = y ∈ U iy .Ma per ipotesi U iy è aperto, quindi esiste un raggio r > 0 tale che B r (y) ⊂ U iy , e se k è grandeabbastanza si ha che x nk ∈ B r/2 (y) (dalla convergenza della sottosuccessione) e quindi per ladisuguaglianza triangolare cheB r/2 (x nk ) ⊂ B r (y) ⊂ U iy .Dato che per k abbastanza grande δ nk < r , si può trovare un k per cui2B δnk (x nk ) ⊂ B r (y) ⊂ U iy .Ma questo contraddice la definizione degli {x n } (equazione (10.3)), per cui l’ipotesi è falsa.Abbiamo mostrato che esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno B δ (x) è contenuto inqualche U i del ricoprimento aperto.Ora, mostriamo che per ogni ɛ > 0 l’insieme C può essere ricoperto da un numero finito diintorni circolari di raggio ɛ. Se ciò non fosse vero, per un certo ɛ > 0, si scelga x 1 ∈ C; dato cheB ɛ (x 1 ) non può ricoprire C (per ipotesi), esiste x 2 ∈ C tale che x 2 ∉ B ɛ (x 1 ). Analogamente,si scelga x 3 ∈ C (B ɛ (x 1 ) ∪ B ɛ (x 2 )), e per induzione( n)⋃x n+1 ∈ C B ɛ (x i ) .La successione (di infiniti punti distinti) esiste perché ⋃ ni=1 B ɛ(x i ) non può mai coprire C.Inoltre, se h ≠ k si hai=1d(x h , x k ) ≥ ɛ,e quindi la successione {x i } i non può avere sottosuccessioni convergenti. Ma dato che stiamoassumendo (iii) vera, ogni successione in C deve avere almeno una sottosuccessione convergente,e questa proprità è contraddetta dall’esistenza della successione {x i }. Quindi l’ipotesiera falsa, e per ogni ɛ > 0 l’insieme C è ricoperto da un numero finito di intorni circolari diraggio ɛ.32 6 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 7 aprile 2005 33Sia quindi C ricoperto da un numero finito di intorni circolari B ɛ (c j ) di raggio ɛ e {U i } ilricoprimento di C di intorni circolari definito sopra, con ɛ < δ. Dato che ɛ < δ, ogni per ogniintorno B ɛ (c j ) (nell’insieme finito di intorni che ricopre C) esiste un intorno U i = U i(j) taleche B ɛ (c j ) ⊂ U i(j) . L’insieme finito di intorni {U i(j) } j ricopre C, dato che B ɛ (c j ) ricopre C, edè quindi un sottoricoprimento finito di {U i }. Per concludere la dimostrazione, bisogna trovaresottoricoprimenti finiti per ricoprimenti aperti generici, e non solo per ricoprimenti di intornidella base di intorni circolari. Ma questo segue da (9.9).q.e.d.(10.4) Esempio. L’intervallo [0, 1] di Q non è compatto. Per (10.1), basta trovare unasuccessione in [0, 1] che converge a un numero irrazionale.(10.5) Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme. Se C è compatto, allora C èchiuso e limitato.Dimostrazione. Ogni spazio metrico è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)), e ogni compatto diuno spazio di Hausdorff è chiuso (vedi (9.11)), per cui se C è compatto di X allora C è chiuso.Dobbiamo quindi mostrare che C è limitato. Sia x 0 un punto di X e B n (x 0 ) la successionecrescente di intorni circolari di raggio n ∈ N. Dato che {B n (x 0 )} n è un ricoprimento aperto diC, deve ammettere un sottoricoprimento finito, cioè deve esistere n 0 ∈ N per cui C ⊂ B n0 (x 0 ),cioè C è limitato.q.e.d.(10.6) Teorema (Heine-Borel). L’intervallo unitario [0, 1] ⊂ R è compatto.Prima dimostrazione. Sia {U i } i∈J un ricoprimento di [0, 1] e definiamoF = {t ∈ I : [0, t] è coperto da una famiglia finita di intervalli di {U i } i∈J .Si vede che 0 ∈ F (e quindi F non è vuoto) e che t ∈ F, 0 ≤ s < t =⇒ s ∈ F . Si considerim = sup F (l’estremo superiore di F , che esiste per gli assiomi (9.1)). Allora t < m =⇒ t ∈ Fe t > m =⇒ t ∉ F . Vediamo se m ∈ F oppure no. Dato che m ∈ [0, 1] e {U i } ricopre [0, 1],esiste i m ∈ J per cui m ∈ U im . Ma U im è aperto, e dunque esiste un intorno circolare di raggioɛ tale che B ɛ (m) ⊂ U im . Visto che m − ɛ ∈ F , l’intervallo [0, m − ɛ] è ricoperto da un numerofinito di aperti U i , che uniti ad U im costituiscono un numero finito di aperti che copre [0, m],e dunque m ∈ F , cioèF = [0, m].Ora, se m < 1, allora un ricoprimento finito di [0, m] sarebbe anche ricoprimento finito di[0, m + ɛ] per un certo ɛ abbastanza piccolo, per cui deve essere m = 1, cioè F = [0, 1] (in altreparole, abbiamo trovato il ricoprimento finito di [0, 1]).q.e.d.Seconda dimostrazione. Sia {U i } i∈J un ricoprimento aperto di I 0 = [0, 1]. Supponiamo perassurdo che non ammetta sottoricoprimenti finiti. Dividiamo I 0 nelle due metà di lunghezza12 : [0, 1] = [0, 1 2 ] ∪ [1 2 , 1].Se entrambe le metà fossero ricoperte da un numero finito di U i , cadremmo in contraddizione,per cui almeno una delle due non lo è, e la chiamiamo I 1 . Dividendo I 1 in due metà, possiamodi nuovo applicare lo stesso argomento per definire I 2 , e così via una successione I n di intervalliD.L. Ferrario 7 aprile 2005 33

34 7 aprile 2005 Geometria e Topologia Ichiusi non ricopribili da un numero finito di aperti U i , di lunghezza 2 −n , e con la proprietàI n ⊂ I n−1 per ogni n ≥ 1.Ora, se definiamoI 0 ⊇ I 1 ⊇ I 2 ⊇ · · · ⊇ I n ⊇ . . . .I ∞ =∞⋂I n ,osserviamo che I ∞ non può avere più di un punto (infatti, x, y ∈ I ∞ =⇒ ∀n ≥ 0, x, y ∈I n =⇒ ∀n ≥ 0, |x − y| ≤ 2 −n , che implica |x − y| = 0). Come conseguenza dell’esistenzadell’estremo superiore in R, si può mostrare (vedi esercizio (5.3)) che I ∞ non è vuoto, e chei=0I ∞ = {inf(max I n ) = sup(min I n )}.Sia p ∈ I ∞ . Dato che p ∈ I, esiste i p ∈ J per cui p ∈ U ip , e quindi esiste un ɛ > 0 tale cheB ɛ (p) ⊂ U ip .Ma se n è abbastanza grande, I n ⊂ B ɛ (p), e dunque esiste un n per cuiI n ⊂ B ɛ (p) ⊂ U ip :ciò contraddice l’ipotesi che ogni I n non si può coprire con un insieme finito di U i (un solo U ipè sufficiente!).q.e.d.(10.7) Corollario. Per ogni a < b ∈ R, l’intervallo [a, b] è compatto.Dimostrazione. Dato che l’intervallo [a, b] è omeomorfo all’intervallo [0, 1], segue immediatamenteda (10.6).q.e.d.(10.8) Teorema (Heine-Borel II). Se X = R n con la metrica euclidea, allora C è compattose e solo se chiuso e limitato.Dimostrazione. La proposizione (10.5) è la parte “solo se”. Viceversa, se C ⊂ R n è limitato,allora è contenuto nel parallelepipedo del tipoC ⊂ [a, b] n ⊂ R n ,che è compatto per il corollario (10.7) unito al teorema (9.15). Quindi, se C è chiuso in X,è chiuso anche in [a, b] n e quindi è un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto, e quindi ècompatto per la proposizione (9.10).q.e.d.(10.9) Corollario (Bolzano-Weierstrass). Ogni insieme infinito e limitato in R n ha almenoun punto di accumulazione.Dimostrazione. Un insieme infinito e limitato in R n è anche, come sopra, un sottoinsiemeinfinito di del compatto [a, b] n per qualche a, b. Per (10.1), (ii), esiste quindi un punto diaccumulazione.q.e.d.(10.10) Teorema. Una funzione continua f : X → R definita su un dominio compatto X hamassimo e minimo.Dimostrazione. Dato che X è compatto, f(X) è compatto e quindi chiuso e limitato in R. Datoche è limitato, sia l’estremo superiore M = sup(f(X)) che l’estremo inferiore m = inf(f(X))esistono finiti. Gli estremi m e M appartengono alla chiusura f(X) (vedi esercizio (4.2)), checoincide con f(X) dato che f(X) è chiuso, quindi m ∈ f(X), M ∈ f(X), e quindi sia m cheM sono assunti in X, cioè m = min x∈X f(x), M = max x∈X f(x).q.e.d.34 7 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 7 aprile 2005 35Esercizi: foglio 5*(5.1) Si consideri su N la famiglia τ di insiemi formata dall’insieme vuoto ∅ e dagli tutti i sottoinsiemidi N con complementare finito. Sia X uno spazio topologico e {x n } una successionein X (vista come una funzione f : N → X, definita da ∀n ∈ N : f(n) := x n ).(i) Dimostrare che τ è una topologia per N.(ii) Dimostrare che se {x n } è una successione convergente, allora la corrispondente funzionef : N → X è continua all’infinito, cioè la controimmagine di ogni intorno del limite¯x = lim n x n ∈ X è un aperto di N (nella topologia dei complementari finiti).(iii)È vero che f è continua?(5.2) Dimostrare che un punto di accumulazione a di un sottoinsieme A ⊂ X di uno spaziometrico X ha la seguente proprietà: ogni intorno di a in X interseca A in infiniti punti.*(5.3) Si consideri in un campo totalmente ordinato una famiglia di intervalli chiusi I n =[a n , b n ] decrescenti I n ⊃ I n+1 , per n → ∞. Si dimostri che se X ha la proprietà dell’estremosuperiore (cioè ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore), allora⋂I n ≠ ∅.n(5.4) Dimostrare che il cilindro {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 = 1 ∧ z 2 ≤ 1} con il bordo su z = 1identificato ad un punto è omeomorfo al cono {(x, y, z) ∈ R 3 : z 2 = x 2 + y 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}.(5.5) Dimostrare che il toro, definito come nell’esempio (8.5), è omeomorfo a S 1 × S 1 (doveS 1 è la circonferenza di raggio 1).(5.6) Dimostrare che lo spazio dell’esempio (8.6) è omeomorfo ad una sfera di dimensione 2.*(5.7) Dimostrare che il piano proiettivo, definito come nell’esempio (8.7), è omeomorfo alquoziente S 2 / ∼ , dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale).(5.8) Dimostrare che incollando lungo il bordo due nastri di Möbius si ottiene una bottigliadi Klein (che cos’è una bottiglia di Klein?).(5.9) Quali dei seguenti spazi è compatto?(i) Q.(ii) La sfera S 2 .(iii) La sfera S 2 meno un numero finito di punti.(iv) La sfera S 2 meno un disco chiuso.(v) La striscia di Möbius.(5.10) Dimostrare che ogni sottospazio di uno spazio di Hausdorff è di Hausdorff.D.L. Ferrario 7 aprile 2005 35

36 14 aprile 2005 Geometria e Topologia I11 Spazi metrici completi(11.1) Definizione. Una successione {x n } n in uno spazio metrico si dice di Cauchy se perogni ɛ > 0 esiste un intero N = N(ɛ) per cuin, m > N =⇒ d(x n , x m ) < ɛ.(11.2) Una successione convergente in uno spazio metrico è di Cauchy.Dimostrazione. Se lim n x n = ¯x, allora per ogni ɛ > 0 esiste n 0 > 0 tale che n > n 0 =⇒d(¯x, x n ) < ɛ. Quindi se n, m > n 0 si ha (per la disuguaglianza triangolare)d(x n , x m ) ≤ d(x n , ¯x) + d(¯x, x m ) < 2ɛ,e quindi la successione è di Cauchy.q.e.d.(11.3) Ogni successione di Cauchy è limitata.Dimostrazione. Per definizione, esiste N ≥ 1 tale che m, n ≥ N =⇒ d(x n , x m ) < 1. Maallora in particolare per ogni n ≥ N d(x n , x N ) < 1 e quindi per ogni n ≥ 1d(x n , x 1 ) ≤ M = max{d(x 1 , x 2 ), d(x 1 , x 3 ), . . . , d(x 1 , x N )} + 1,e dunque {x n } ⊂ B M (x 1 ) è limitata.q.e.d.(11.4) Definizione. Uno spazio metrico X si dice completo!spazio metrico se ogni successionedi Cauchy in X converge in X.(11.5) Uno spazio metrico X è completo se e solo se ogni successione di Cauchy in X ammetteuna sottosuccessione convergente.Dimostrazione. È ovvio che se è completo allora ognu successione di Cauchy converge, e dunquebasta prendere la successione stessa {x n }. Supponiamo invece che ogni successione diCauchy ammetta una sottosuccessione convergente. Sia {x n } una successione di Cauchy e{x nk } la sottosuccessione convergente a ¯x ∈ X. Per ogni ɛ > 0 esiste N tale cheed un K tale che k > K =⇒ n k > N eMa allora se n > N si ha per ogni k > Km, n > N =⇒ d(x n , x m ) < ɛ/2,d(x nk , ¯x) < ɛ/2.d(x n , ¯x) ≤ d(x n , x nk ) + d(x nk , ¯x) < ɛ,cioè {x n } converge a ¯x.q.e.d.(11.6) Siano X e Y due spazi metrici con metriche d X e d Y . Allora X × Y è uno spaziometrico con la metrica prodotto definita dad ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = √ d X (x 1 , x 2 ) 2 + d Y (y 1 , y 2 ) 2Dimostrazione. Esercizio (3.19).q.e.d.36 14 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 14 aprile 2005 37(11.7) Se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y con la metrica prodotto è unospazio metrico completo.Dimostrazione. Esercizio (6.1).q.e.d.(11.8) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiusoin X.Dimostrazione. Esercizio (6.2).q.e.d.(11.9) La retta reale R è uno spazio metrico completo. Per ogni n ≥ 1 lo spazio euclideo R nè completo.Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che R è completo. Se {x n } è una successione diCauchy, allora per (11.3) è una successione limitata che per (10.9) ha una sottosuccessioneconvergente ad un limite in R (se non fosse infinita sarebbe immediato trovare il limite. . . ). Maper (11.5) allora {x n } converge in R, e dunque R è completo. La seconda parte dell’enunciatosegue da (11.7).q.e.d.(11.10) Nota. Il campo Q non è completo: basta trovare successioni convergenti a numeriirrazionali.D.L. Ferrario 14 aprile 2005 37

38 14 aprile 2005 Geometria e Topologia IEsercizi: foglio 6*(6.1) Dimostrare che se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y con la metricaprodotto è uno spazio metrico completo.*(6.2) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiusoin X.*(6.3) Si consideri Q con la topologia generata dagli intervalli aperti (a, b), con a, b ∈ Q,a < b (generata dalla metrica d(x, y) = |x − y|, notiamo che è una metrica a valori razionali).Dimostrare che se {x n } e {y n } sono due successioni di Cauchy in Q, allora la somma {x n +y n }e il prodotto {x n y n } sono successioni di Cauchy in Q. (Suggerimento: per la moltiplicazioneusare il fatto che ogni successione di Cauchy è limitata (11.3 ))*(6.4) Consideriamo l’insieme R di tutte le successioni di Cauchy su Q. Dimostrare che R èun anello commutativo con unità, cioè che valgono i seguenti assiomi:(i) ∀x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz).(ii) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx.(iii) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx + 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x ≠ 0 =⇒ 1x = x.(iv) ∀x ∈ R, ∃ unico y ∈ R : x + y = 0.(v) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz.*(6.5) Sia R come nell’esercizio precedente l’anello delle successioni di Cauchy, e N ⊂ R ilsottoinsieme definito daN = {{x n } ∈ R : limnx n = 0 ∈ Q}.Mostrare che N è un ideale in R, cioè che N è un sottogruppo additivo e se {x n } è unasuccessione di Cauchy e {z n } una successione di Cauchy convergente a zero allora la successione{z n x n } converge a zero. Dedurre che il quoziente (algebrico) R := R/N è un anello (cioèl’insieme di classi di equivalenza di successioni di Cauchy, dove {x n } ≡ {y n } ⇐⇒ lim n (x n −y n ) = 0).*(6.6) Dimostrare che R, definito come quoziente nell’esercizio precedente, è un campo, checontiene il campo dei razionali Q come sottocampo. (Suggerimento: basta far vedere che se{x n } ∉ N, allora esiste ɛ > 0 per cui se n è abbastanza grande x n > ɛ (oppure x n < −ɛ), edunque. . . )*(6.7) Dimostrare che la relazione di ordine di Q può essere estesa a R ponendo x < y ⇐⇒y − x > 0 (e dunque è sufficiente descrivere l’insieme dei numeri reali positivi, cioè le classidi equivalenza di successioni di Cauchy che sono definitivamente positive), e cioè che R è uncampo ordinato.*(6.8) Dimostrare che R (definito sopra) è completo (cioè che ogni successione di Cauchy in Rconverge). (Suggerimento: una successione in R è una successione di classi di equivalenza disuccessioni: possiamo scrivere la successione {x n } come {[a n,k ]}, dove x n è uguale alla classedi equivalenza [a n,k ] della successione di Cauchy (in k) {a n,k } k )38 14 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 14 aprile 2005 39*(6.9) Dimostrare che R ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè che ogni sottoinsieme limitatosuperiormente ha estremo superiore in R). (Suggerimento: utilizzare un argomento di tipo“bisezione di intervalli” per associare ad un insieme limitato superiormente una successionedecrescente di intervalli chiusi, e quindi la successione di Cauchy degli estremi – razionali –di questi intervalli; vedi la seconda dimostrazione di (10.5 ))*(6.10) Se invece della metrica euclidea in Q si ripete il procedimento degli esercizi precedentipartendo dalla metrica discreta su Q, cosa si ottiene? Cosa sono le successioni di Cauchy? Ilquoziente R/N è ancora una estensione del campo dei razionali Q? Quale?D.L. Ferrario 14 aprile 2005 39

40 20 aprile 2005 Geometria e Topologia I12 Spazi connessiIl teorema del valore intermedio si può esprimere in termini di connessione:(12.1) Definizione. Uno spazio topologico X è detto connesso se gli unici sottoinsiemi di Xsimultaneamente aperti e chiusi 7 sono ∅ e X.Quando si considera un sottospazio Y ⊂ X, allora Y è connesso se è connesso nellatopologia indotta da X. Osserviamo che se A ⊂ X è un sottoinsieme sia chiuso che aperto,anche il suo complementare X A è sia chiuso che aperto. Quindi X = A ⊂ (X A), cioè Xè unione disgiunta di due aperti non vuoti.(12.2) Teorema. Uno spazio topologico X è connesso se e solo se X non è unione di dueaperti non vuoti e disgiunti X = A 1 ∪ A 2 . (Equivalentemente: uno spazio topologico X non èconnesso se e solo se X è unione di due aperti non vuoti e disgiunti X = A 1 ∪ A 2 ).(12.3) Esempio. Sia S 0 = {−1, +1} la sfera di dimensione 0 (soluzioni dell’equazione x 2 = 1).Entrambi i punti sono chiusi in R, quindi S 0 non è connesso.(12.4) Definizione. Un intervallo in R (più in generale: in un insieme ordinato) è un insiemeI ⊂ R contentente più di un punto, tale che x, y ∈ I, s ∈ R, x < s < y =⇒ s ∈ I.Dato che R ha la proprietà dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore, gli intervallisono tutti gli insiemi del tipo (−∞, b],(−∞, b),(a, b),(a, b], [a, b), [a, b], [a, +∞), (a, +∞), cona < b. Mostreremo che tutti gli intervalli sono connessi. Cominciamo dall’intervallo compatto[a, b].(12.5) Teorema. Ogni intervallo [a, b] ⊂ R è connesso.Dimostrazione. Per assurdo, supponiamo che l’intervallo [a, b] sia unione di due aperti disgiuntinon vuoti [a, b] = A 1 ∪ A 2 (dove A 1 , A 2 ≠ ∅, A 1 ∩ A 2 = ∅, e quindi A 1 e A 2 sono chiusi nellatopologia di [a, b]). Essendo [a, b] chiuso in R, A 1 e A 2 sono anch’essi chiusi e non vuoti in R(nota: non sono necessariamente aperti! Vedi esercizio (4.3)). Dato che gli estremi superioree inferiore di un sottoinsieme chiuso di R sono contenuti nell’insieme stesso (vedi esercizio(4.2)), risulta sup A i ∈ A i , inf A i ∈ A i per i = 1, 2. Consideriamo per ogni y ∈ [a, b] l’insiemechiusoB y = {x ∈ A 1 : x ≤ y} = [a, y] ∩ A 1 ⊂ A 1 .L’intersezioneB = ⋂y∈A 2B y = {x ∈ A 1 : ∀y ∈ A 2 , x ≤ y}.è dunque un chiuso contenuto in A 1 (che consiste di tutti i minoranti di A 2 in A 1 ). Ora, a menodi cambiare gli indici, possiamo supporre che a ∈ A 1 (e quindi a ∉ A 2 , poiché A 1 ∩ A 2 = ∅), equindi a ∈ B. L’estremo superiore s 1 = sup B (che esiste perché B ≠ ∅) appertiene al chiusoB (e quindi è un minorante di A 2 ), e dunque appartiene a A 1 (che contiene B). D’altra parte,consideriamo l’estremo inferiore s 2 di A 2 : si ha che s 2 ≤ t per ogni t ∈ A 2 , e7 In inglese: clopen.t ∈ [a, b] ∧ t > s 2 =⇒ ∃y ∈ A 2 : t > y,40 20 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 20 aprile 2005 41(cioè non esistono minoranti più grandi di s 2 , s 2 è il massimo dei minoranti). Dato che perdefinizione di s 1 (estremo superiore di B)si ha, equivalentemente,t ∈ [a, b] ∧ t > s 1 =⇒ t ∉ B,t ∈ [a, b] ∧ t > s 1 =⇒ ¬ (∀y ∈ A 2 , t ≤ y) .Ma allora s 1 = s 2 , e dunque s = s 1 = s 2 ∈ A 1 ∩ A 2 = ∅, che è assurdo.q.e.d.(12.6) Nota. Usando la stessa tecnica di dimostrazione di (12.5), si può dimostrare che A ⊂ Rnon è connesso se e solo se esistono x, y ∈ A, s ∉ A tali che x < s < y (cioè A è connesso see solo se x, y ∈ A, x < s < y =⇒ s ∈ A). Infatti, se A non fosse connesso, si definiscono A 1 ,A 2 , B, s 1 e s 2 come sopra (s 1 = sup B e s 2 = inf A 2 ), e deve risultare s 1 < s 2 . Ma allora esistes ∉ A tale che s 1 < s < s 2 – basta prendere s = 1 2 (s 1 + s 2 ). Questo fa seguire dall’ultimoassioma di (9.1) la connessione di R. Viceversa, se esistono x, y ∈ A e s ∉ A tali che x < s < y,allora si possono definire i seguenti sottoinsiemi (chiusi e aperti) di A:la cui intersezione è vuota e la cui unione è A.A 1 = {x ∈ A : x ≤ s} = {x ∈ A : x < s}A 2 = {x ∈ A : x ≥ s} = {x ∈ A : x > s}(12.7) Teorema. Se X è connesso e f : X → Y è una funzione continua, allora f(X) ⊂ Y èconnesso (con la topologia indotta da Y – si dice che l’immagine di un connesso è connessa).Dimostrazione. Se f(X) fosse non connesso, esisterebbero A 1 ⊂ f(X) e A 2 ⊂ f(X) apertidisgiunti (nella topologia indotta) e non vuoti tali che f(X) = A 1 ∪ A 2 . Le controimmaginif −1 A 1 e f −1 A 2 sarebbero aperti disgiunti non vuoti in X tali che X = f −1 A 1 ∪ f −1 A 2 , edunque X non sarebbe connesso.q.e.d.(12.8) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è connesso se esolo se Y è connesso.Dimostrazione. Come nella dimostrazione del corollario (9.13)q.e.d.(12.9) Siano B ⊂ X e {Y w } w∈W sottoinsiemi connessi di uno spazio topologico X tali che∀w ∈ W, B ∩ Y w ≠ ∅. Allora l’unione Y = B ∪ ⋃ w∈W Y w è connesso.Dimostrazione. Supponiamo che A 1 e A 2 siano aperti disgiunti tali che Y = A 1 ∪ A 2 . Per ogniw ∈ W , A 1 ∩ Y w e A 2 ∩ Y w sono aperti disgiunti in Y w , e quindi non possono essere entrambinon vuoti, visto che Y w è connesso: cioè, Y w ⊂ A 1 oppure Y w ⊂ A 2 . Lo stesso per A 1 ∩ B eA 2 ∩ B: supponiamo senza perdere in generalità che B ⊂ A 1 . Ma allora, poiché per ipotesiB ∩ Y w ≠ ∅, deve anche essere ∀w ∈ W, Y w ⊂ A 1 , e cioè Y ⊂ A 1 . Ma allora A 2 = ∅. q.e.d.(12.10) Corollario. La retta reale R è connessa.Dimostrazione. Basta osservare che si può scrivere R = {0} ∪ ⋃ R>0[−R, R] e applicare (12.9).q.e.d.(12.11) Esempio. R n è connesso: è unione di rette per l’origine. R n {0} è connesso.Perché? Vedi esercizio (7.2).D.L. Ferrario 20 aprile 2005 41

42 20 aprile 2005 Geometria e Topologia I(12.12) Teorema. Due spazi topologici X e Y sono connessi se e solo se il prodotto X × Yè connesso.Dimostrazione. Se X × Y è connesso, allora X e Y , in quanto immagini delle proiezionicanoniche p 1 : X × Y → X e p 2 : X × Y → Y , sono connessi (vedi (12.7)). Viceversa, se Xe Y sono connessi, allora si scelga y 0 ∈ Y : per ogni x ∈ X i sottospazi {x} × Y ⊂ X × Y eX × {y 0 } ⊂ X × Y sono omeomorfi rispettivamente a Y e X, e quindi entrambi connessi. MaalloraX × Y = X × {y 0 } ∪ ⋃ x∈X({x} × Y ),e quindi possiamo applicare (12.9) con B = X × {y 0 } e Y x = {x} × Y .q.e.d.(12.13) Definizione. Uno spazio non connesso è unione di sottospazi sia aperti che chiusi.Definiamo componenti connesse di X i sottospazi connessi massimali (cioè i sottospazi connessidi X che non sono contenuti in sottospazi connessi di X).(12.14) (Teorema del valore intermedio) Sia f : [a, b] → R una funzione continua taleche f(a) < 0 e f(b) > 0. Allora esiste x 0 ∈ (a, b) tale che f(x 0 ) = 0.Dimostrazione. L’intervallo [a, b] è connesso per (12.5), e quindi la sua immaginef([a, b]) = {f(x) : a ≤ x ≤ b}è connessa, e dunque un intervallo (vedi anche (12.6)). Cioè, visto che f(a) ∈ f([a, b]) ef(b) ∈ f([a, b]), anche tutti i valori intermedi y ∈ [f(a), f(b)] appartengono all’immaginef([a, b]). In particolare, 0 ∈ [f(a), f(b), e quindi 0 ∈ f([a, b]), cioè esiste x ∈ [a, b] tale chef(x) = 0.q.e.d.12.1 Spazi connessi per archiUn arco (oppure un cammino) in uno spazio X è una mappa γ : [0, 1] → X. Si dice che l’arcoparte da γ(0) e arriva a γ(1).(12.15) Definizione. Si dice che uno spazio X è connesso per archi se per ogni coppia dipunti x 0 , x 1 ∈ X esiste un arco γ tale che γ(0) = x 0 e γ(1) = x 1 .(12.16) Se f : X → Y è una funzione suriettiva e X è connesso per archi, allora Y è connessoper archi.Dimostrazione. Siano y 0 , y 1 due punti di Y . La funzione è suriettiva, e dunque esistono x 0e x 1 in X tali che f(x 0 ) = y 0 e f(x 1 ) = y 1 . Dato che X è connesso, esiste un camminoγ : [0, 1] → X tale che γ(0) = x 0 e γ(1) = x 1 . Ma la composizione di funzioni continue ècontinua, e quindi il cammino ottenuto componendo γ con f: f ◦ γ : [0, 1] → X → Y è uncammino continuo che parte da y 0 e arriva a y 1 .q.e.d.(12.17) Corollario. Se due spazi X e Y sono omeomorfi, allora X è connesso per archi see solo se Y è connesso per archi.Dimostrazione. Si dimostra come nel caso della connessione e della compattezza (9.13).q.e.d.(12.18) Teorema. Uno spazio connesso per archi è connesso.42 20 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 20 aprile 2005 43Dimostrazione. Sia X uno spazio connesso per archi. Supponiamo che non sia connesso, edunque che esista A ⊂ X, A ≠ ∅, A ≠ X sia aperto che chiuso. Dato che A ≠ ∅, possiamoscegliere un punto x 0 ∈ A. Dato che A ≠ X, possiamo scegliere un punto x 1 ∉ A. Dato che Xè connesso, esiste un cammino γ : [0, 1] → X che parte da x 0 e arriva a x 1 . La controimmagineγ −1 (A) è un sottoinsieme chiuso di [0, 1] (dato che γ è continua e A è chiuso) ed al tempostesso un sottoinsieme aperto (dato che γ è continua e A aperto). Ma [0, 1] è connesso, quindiγ −1 A può solo essere oppure tutto [0, 1]. Ma x 0 ∈ γ −1 A, e quindi γ −1 A ≠ ∅, e x 1 ∉ γ −1 A, equindi γ −1 A ≠ [0, 1], e questo ci porta ad una contraddizione.q.e.d.(12.19) Teorema. Se X è un sottoinsieme aperto e connesso di R n , allora X è connesso perarchi.Dimostrazione. Vedi esercizio (7.19)q.e.d.D.L. Ferrario 20 aprile 2005 43

44 21 aprile 2005 Geometria e Topologia IEsercizi: foglio 7*(7.1) Dimostrare che gli intervalli semiaperti [a, b) sono connessi, così come gli intervalli(−∞, a), (−∞, a], (a, ∞) e [a, ∞) (vedi teorema (12.5) e (12.9)).(7.2) Dimostrare che R n {0} è connesso.(7.3) Dimostrare che i punti di uno spazio topologico sono connessi.(7.4) Dimostrare che Q non è connesso. Quali sono le sue componenti connesse? (Nota: Qnon ha la topologia discreta!)(7.5) Dimostrare che i sottoinsiemi connessi di R sono tutti e soli i singoli punti e gli intervalli(dove diciamo che un sottoinsieme A ⊂ R è un intervallo se contiene almeno due punti distintie se x, y ∈ A, x < s < z =⇒ s ∈ A).(7.6) Sia X un insieme con almeno due elementi. Quali sono i sottoinsiemi connessi, se X hala topologia discreta? E se ha la topologia banale?(7.7) Determinare quali dei seguenti sottospazi di R 2 sono connessi:(i) {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 1}.(ii) {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 1}.(iii) {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≠ 1}.*(7.8) Supponiamo che f : X → Z sia una funzione continua (dove Z, con la topologia indottada R, ha la topologia discreta) e non costante. Dimostrare che X non è connesso.*(7.9) Dimostrare che R n {0} è connesso per n ≥ 2.(7.10) Dimostrare che le componenti connesse (definite in (12.13)) di uno spazio topologicosono disgiunte e (effettivamente) spazi connessi.*(7.11) Sia X l’unione dei sottospazi A e B di R 2 definiti da A = {(x, y) ∈ R 2 : x = 0 ∧ −1 ≤y ≤ 1} e B = {(x, y) ∈ R 2 : y = cos 1 ∧ 0 < x ≤ 1}. Dimostrare che X è connesso.x(Suggerimento: dimostrare prima che A e B sono connessi)1y0.500 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x-0.5-144 21 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 21 aprile 2005 45*(7.12) Siano A = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 1, y = 0} e B = {(x, y) : y = x , 0 ≤ x ≤ 1 per qualche n ∈ N}.2 nDimostrare che X = A ∪ B è connesso.1.21y0.80.60.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x-0.2(7.13) Sia S n = {x ∈ R n+1 : |x| 2 = 1}. Dimostrare che S n è connesso. (Suggerimento:R n {0} è connesso)*(7.14) Dimostrare che S 1 non è omeomorfo ad un intervallo. (Suggerimento: S 1 meno unpunto . . . )*(7.15) Dimostrare che gli intervalli (0, 1) e [0, 1] non sono omeomorfi.(7.16) Dimostrare che un insieme X è connesso se e solo se ogni volta che si scrive comeX = A ∪ B con A ≠ ∅ e B ≠ ∅ allora A ∩ B ≠ ∅ oppure B ∩ A ≠ ∅.(7.17) Dimostrare che se S ⊂ R non è un intervallo (cioè se esistono x, y, z con x < s < y,x, y ∈ S e s ∉ S ) allora S non è connesso.(7.18) Dimostrare che se uno spazio ha un numero finito di componenti connesse allora essesono sia aperte che chiuse. Trovare un esempio di spazio con infinite componenti tutte chiusema mai aperte.*(7.19) Dimostrare che se X ⊂ R n è un sottoinsieme aperto e connesso di R n , allora è ancheconnesso per archi. (Suggerimento: osservare che i cammini si possono comporre nel seguentemodo: se γ : [0, 1] → X è un cammino che va da x 0 ∈ X a x 1 ∈ X, e γ ′ : [0, 1] → X unsecondo cammino che va da x 1 a x 2 , allora γ ′ può essere riparametrizzato (utilizzando unomeomorfismo [0, 1] ≈ [1, 2]) come γ ′′ : [1, 2] → X. Ma allora è possibile definire un nuovocammino α: [0, 2] → X “incollando” i due cammini – e verificare che è ancora continuo.Ora non rimane che dimostrare la seguente cosa: se si sceglie x 0 ∈ X, lo spazio di tutti ipunti raggiungibili con un cammino che parte da x 0 è un aperto (“incollando” al cammino unpezzettino di cammino rettilineo. . . ), ma è anche un chiuso (cioè lo spazio di tutti i punti nonraggiungibili con un cammino che parte da x 0 è un aperto) . . . )(7.20) Sia X uno spazio topologico, e ∼ la seguente relazione in X: x ∼ y se e solo se esistecammino γ : [0, 1] → X che parte da x e arriva a y. Dimostrare che la relazione “∼” è diequivalenza. Cosa sono le classi di equivalenza?D.L. Ferrario 21 aprile 2005 45

46 27 aprile 2005 Geometria e Topologia I13 Gruppi topologiciRicordiamo gli assiomi di gruppo: un gruppo è un insieme G, munito di operazione binaria (disolito indicata con la moltiplicazione) G × G → G che sia associativa, in cui esista l’elementoneutro 1 ∈ G, e per cui ogni g ∈ G abbia un inverso g −1 (cioè un elemento g −1 tale chegg −1 = g −1 g = 1.(13.1) Definizione. Un gruppo topologico è sia un gruppo sia uno spazio topologico diHausdorff, con in più le seguenti proprietà di continuità:(i) Il prodotto G × G → G, definito da (g, h) ↦→ gh è una funzione continua.(ii) L’inversione G → G definita da g ↦→ g −1 è una funzione continua.(13.2) Esempio. I campi Q e R (visti come gruppi additivi) sono gruppi topologici rispettoalla somma. I gruppi moltiplicativi Q{0}, R{0} sono gruppi topologici rispetto al prodotto.(13.3) Nota. Ogni gruppo, munito della topologia discreta, può essere visto come gruppotopologico. Per esempio, l’anello degli interi Z (in cui si considera solo la struttura di somma)è un gruppo discreto infinito.(13.4) Sia G un gruppo topologico. Allora: Se H ⊂ G è un sottogruppo di G allora (con latopologia indotta da G) è un gruppo topologico.Dimostrazione. Se H ⊂ G è un sottogruppo, allora la moltiplicazione e l’inversa sono mappeottenute per restrizione:m: H × H ⊂ G → G, i: H ⊂ G → H,e quindi sono continue. Questo dimostra (13.4) (insieme al fatto che un sottospazio di unospazio di Hausdorff è di Hausdorff).q.e.d.(13.5) Siano dati N spazi topologici X 1 , X 2 , X 3 , . . . X N . Consideriamo il prodotto X = X 1 ×X 2 × · · · × X N e le proiezioni sulle componenti p 1 : X → X 1 , p 2 : X → X 2 , . . . , p N : X → X N .Allora una funzione f : Y → X 1 × X 2 × · · · × X N è continua se e solo se lo sono tutte lecomposizioni p i ◦ f : Y → X i . (Di solito si scrive, per semplificare, f i = p i ◦ f)Dimostrazione. Sappiamo per (7.2) che le proiezioni p i sono continue, per cui le composizionip i ◦ f sono continue se f è continua. Viceversa, supponiamo che le composizioni p i ◦ f sianocontinue e dimostriamo che f è continua. Sia A = A 1 × A 2 × · · · × A N un intorno (nellabase canonica di intorni del prodotto X) aperto in X, e consideriamo la sua controimmaginef −1 (A). Essa si può scrivere comef −1 (A) = {y ∈ Y : f(y) ∈ A}= {y ∈ Y : p 1 (f(y)) ∈ A 1 ∧ p 2 (f(y)) ∈ A 2 ∧ · · · ∧ p N (f(y)) ∈ A NN⋂= {y ∈ Y : p i (f(y)) ∈ A i }=i=1N⋂(p i ◦ f) −1 A ii=1che è intersezione di aperti, e quindi aperto.q.e.d.46 27 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 27 aprile 2005 47(13.6) Lo spazio euclideo R n è gruppo topologico rispetto alla somma(x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ).Dimostrazione. È una conseguenza del fatto che la somma è una funzione continua (comeanche il prodotto), e del lemma (13.5).q.e.d.(13.7) Sia GL(n) = GL(n, R) il gruppo (chiamato gruppo lineare) di tutte le matrici invertibilin × n a coefficienti reali (gruppo rispetto alla moltiplicazione di matrici), munitodella topologia metrica – indotta dalla inclusione GL(n) ⊂ R n2 . Allora GL(n) è un gruppotopologico.Dimostrazione. Osserviamo che lo spazio di tutte le matrici n × n è isomorfo (come spaziovettoriale, per esempio) a R n2 , per cui in questa lezione denoteremo con il simbolo R n2 lospazio delle matrici n × n. L’inclusione GL(n) ⊂ R n2 è indotta dall’inclusione di GL(n) nellospazio di tutte le matrici n × n. Dal momento che R n2 è metrico, GL(n) è di Hausdorff.Dobbiamo mostrare che la moltiplicazione di matrici e l’inversione inducono funzioni continuem: GL(n) × GL(n) → GL(n) e i: GL(n) → GL(n). Osserviamo che, dato che GL(n) ha latopologia indotta da R n2 , le funzioni m e i sono continue se e solo se lo sono le corrispondentifunzioni m: GL(n) × GL(n) → R n2 e i: GL(n) → R n2 , e quindi, per (13.5) se tutte lecomposizioni con le proiezioni p i sono continue (cioè, se ogni componente è continua). Ma ilprodotto di matrici (righe per colonne) si scrive come((a i,j ), (b i,j )) ↦→ (N∑a i,k b k,j ),cioè è un polinomio nei coefficienti delle matrici (a i,j ) e (b i,j ). Dal momento che ogni polinomioè funzione continua, la moltiplicazione è continua. Analogamente, il determinante di unamatrice è espressione polinomiale dei suoi coefficienti ed è sempre diverso da zero in GL(n),ed anche i cofattori (che compaiono nella definizione di matrice inversa) si esprimono comepolinomi dei coefficienti, per cui la funzione di inversione i è continua.q.e.d.(13.8) Il gruppo lineare GL(n, R) non è compatto.Dimostrazione. Nella dimostrazione di (13.7) abbiamo usato il fatto che la funzione determinantedet: R n2 → R è continua. Per definizione si hak=1GL(n, R) = {M : det(M) ≠ 0},cioè GL(n, R) è la controimmagine del sottospazio aperto R {0} ⊂ R, ed è quindi un aperto.Per il teorema (10.8) un sottoinsieme di R n2 è compatto se e solo se chiuso e limitato, e quindiGL(n, R) non è compatto.q.e.d.(13.9) Sia O(n) il gruppo ortogonale, costituito da tutte le matrici ortogonali n × n a coefficientireali, e SO(n) il gruppo speciale ortogonale, costituito da tutte le matrici di O(n) condeterminante +1. Allora O(n) e SO(n) sono gruppi topologici compatti.Dimostrazione. Ricordiamo che O(n) è formato da tutte le matrici A (invertibili) di GL(n)tali che AA t = A t A = I n (dove A t indica la trasposta di A e I n la matrice identica n × n).Dato che O(n) ⊂ GL(n) ⊂ R n2 , per (10.8) dobbiamo mostrare che è chiuso e limitato. LaD.L. Ferrario 27 aprile 2005 47

48 27 aprile 2005 Geometria e Topologia Imoltiplicazione di matrici è continua, e chiaramente l’operazione di trasposizione induce unomeomorfismo R n2 → R n2 , per cui la funzionedefinita daf : R n2 → R n2A ↦→ AA tsi può scrivere come composizione di funzioni continue. Gli insiemi costituiti da singoli puntidi R n2 sono tutti chiusi, ed in particolare l’insieme {I n } ⊂ R n2 è chiuso. Dunque f −1 (I n ) è unsottospazio chiuso di R n2 ; maf −1 (I n ) = {A ∈ R n2 : f(A) = I n }= {A ∈ R n2 : AA t = I n }= O(n)e dunque O(n) è chiuso. Ora, si indichino con a :,1 , a :,2 , . . . a :,n i vettori colonna di A ∈ O(n).La condizione AA t = I n si può riscrivere come{1 se i = ja :,i · a :,j =0 se i ≠ jdove v·w indica il prodotto scalare standard in R n , e dunque, considerando la prima equazione,si ha per ogni ia :,i · a :,i == a 2 1,i + a 2 2,i + · · · + a 2 n,i = 1,e quindi a i,j ≤ 1 per ogni i, j = 1, . . . , n, Ne segue che∑a 2 i,j ≤ n,i,je dunque O(n) è limitato nella metrica euclidea di R n2 .Non rimane che dimostrare che SO(n) è compatto. Ma, dato che si può scrivere come lacontroimmagine di 1 mediante la funzione (continua) determinante det: O(n) → R, esso è unsottospazio chiuso di O(n). Allora segue da (9.10) che esso è compatto.q.e.d.48 27 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 28 aprile 2005 4914 Gruppi di trasformazioni(14.1) Definizione. Sia G un gruppo e X un insieme. Si dice che G agisce (da sinistra) suX se esiste una funzione φ: G × X → X, denotata da (g, x) ↦→ g · x = gx, per cui(i) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 ∈ G è l’elemento neutro).(ii) ∀x ∈ X, ∀g, h ∈ G, g · (h · x) = (gh) · x.L’insieme X si dice anche G-insieme.(14.2) Definizione. Se G agisce su X, allora per ogni x ∈ X si definiscono:(i) lo stabilizzatore di x: G x = {g ∈ G : g · x = x}.(ii) L’orbita di x: G · x = {gx : g ∈ X}.(14.3) Sia G un gruppo e X un insieme su cui G agisce. Allora la relazione x ∼ y ⇐⇒∃g ∈ G : gx = y è una relazione di equivalenza, che partiziona X in classi di equivalenza. Leclassi di equivalenza sono le orbite di G in X.Dimostrazione. Per mostrare che la relazione è di equivalenza, bisogna mostrare che è riflessiva,simmetrica e transitiva. Dato che 1x = x, si ha che x ∼ x, per cui è riflessiva. Inoltre, segx = y (cioè x ∼ y) allora g −1 (gx) = g −1 y, e quindi x = g −1 y, cioè y ∼ x. Quindi è simmetrica.Infine, è transitiva: se x ∼ y e y ∼ z, si ha che esistono g 1 e g 2 per cui g 1 x = y e g 2 y = z.Quindi (g 1 g 2 )x = g 2 (g 1 x) = g 2 y = z, cioè x ∼ z. Ora, è facile vedere che due punti stannonella stessa classe di equivalenza se e solo se appertengono alla medesima orbita. q.e.d.(14.4) Definizione. L’insieme di tutte le orbite (classi di equivalenza) di X secondo perl’azione di un gruppo G su X si indica con X/G e si chiama spazio delle orbite.(14.5) Definizione. L’azione di G su X si dice fedele se per ogni g ∈ G, g ≠ 1 ∈ G, la mappaindotta g : X → X (da x ↦→ g · x) non è l’identità 1 X : X → X.(14.6) Definizione. L’azione di G su X viene detta transitiva se per ogni x, y ∈ X esisteg ∈ G per cui g · x = y. In questo caso si dice che X è uno spazio omogeneo.(14.7) L’azione è transitiva se e solo se esiste solo una G-orbita in X.Dimostrazione. Sia x ∈ X un punto fissato. Allora per ogni y esiste g ∈ G per cui g · x = y,cioè ogni y in X sta nella stessa G-orbita di x, che quindi è unica. Viceversa, supponiamoesista una sola orbita: allora esiste x ∈ X per cui {g · x|g ∈ G} = X, e quindi per ogni y ∈ Xesiste g ∈ G tale che g · x = y.q.e.d.(14.8) Nota. Se G è un gruppo, G agisce su se stesso X = G semplicemente per moltiplicazionea sinistra. L’azione è transitiva e fedele. Se H è un sottogruppo di G, anche H agisce suG per moltiplicazione da sinistra. Le orbite sono i laterali (sinistri) di H in G. La notazioneG/H quindi è consistente: da un lato indica l’insieme (algebrico) dei laterali sinistri di H inG, dall’altro l’insieme delle orbite dell’azione di H su G.(14.9) Definizione. Se G è un gruppo topologico, allora si dice che G agisce su uno spaziotopologico X se esiste una funzione φ: G × X → X che induca una azione di G su X (comenella definizione (14.1)) con l’ulteriore proprietà che la funzioneè continua. Allora X si chiama G-spazio.G × X → XD.L. Ferrario 28 aprile 2005 49

50 28 aprile 2005 Geometria e Topologia I(14.10) Esempio. È facile vedere che R2 agisce su R 2 come gruppo (additivo) di traslazioni(x, y) · (u, v) = (x + u, y + v).(14.11) Esempio. I gruppi GL(n, R), O(n) e SO(n) agiscono su R n in modo canonico. Comevisto sopra, si può vedere facilmente che l’azione è continua, cioè che agiscono come gruppitopologici su R n .(14.12) Definizione. Se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio topologico X, lospazio delle orbite X/G è uno spazio topologico con la topologia quoziente.(14.13) Esempio. Sia G = Z (con la topologia discreta) e X = R. Allora G agisce su Rmediante la somma (g, t) ↦→ g+t per ogni g ∈ Z e ogni t ∈ R. Lo spazio delle orbite è uguale allospazio R/ ∼ dell’esempio (8.1). Mostriamo che è omeomorfo a S 1 = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 +y 2 = 1}.Sia f : R → R 2 la funzione definita daf(t) = (cos(2πt), sin(2πt)).Si vede subito che induce una funzione f(t): R → S 1 ⊂ R 2 , e che è continua (le funzionitrigonometriche sono continue, poi si usa (13.5)). Dal momento chef(g + t) = (cos(2πt + 2gπ), sin(2πt + 2gπ))= (cos(2πt), sin(2πt))= f(t),la funzione f induce una funzione sullo spazio delle orbite ¯f : R/Z → S 1 . La funzione indotta¯f è continua: infatti, se U ⊂ S 1 è un aperto di S 1 , la sua controimmagine ¯f −1 (U) in R/Z ècontinua se e soltanto se (per definizione di topologia quoziente) il sottoinsiemep −1 ( ¯f −1 (U) ) ⊂ Rè aperto in R, dove p indica la proiezione sul quoziente p: R → R/Z. Map −1 ( ¯f −1 (U) ) = {t ∈ R : ¯f (p(t)) ∈ U}= {t ∈ R : f(t) ∈ U}= f −1 (U),che è aperto, visto che f è continua.Ora, la funzione indotta ¯f : R/Z → S 1 è iniettiva: se ¯f(t 1 ) = ¯f(t 2 ) si ha che cos(2πt 1 ) =cos(2πt 2 ) e sin(2πt 1 ) = sin(2πt 2 ), e quindi t 2 = 2kπ + t 1 per un certo k ∈ Z, cioè esiste g ∈ Ztale che g · t 1 = t 2 : i due punti t 1 e t 2 appartengono alla stessa G-orbita. È facile vedere che¯f è suriettiva. Osserviamo che l’inclusione [0, 1] ⊂ R è una funzione continua, e quindi lacomposizione [0, 1] → R → R/Z è anch’essa una funzione continua, e suriettiva. Quindi la suaimmagine R/Z, per (9.12), è un compatto. Ora, ¯f è una funzione continua e biunivoca da uncompatto ad uno spazio di Hausdorff (S 1 ), e quindi un omeomorfismo per (9.14).(14.14) Esempio. Sia G = Z 2 ⊂ R 2 il reticolo degli interi (h, k) ∈ R 2 . Allora R 2 /G èomeomorfo a S 1 × S 1 . Sappiamo dall’esempio precedente che R/Z ≈ S 1 . Per prima cosamostriamo che la funzionef : R 2 /Z 2 → R/Z × R/Z ≈ S 1 × S 150 28 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 28 aprile 2005 51definita da(x, y) + Z 2 ↦→ (x + Z, y + Z)è ben posta. Se (x ′ , y ′ )+Z 2 = (x, y)+Z 2 ∈ R 2 /Z 2 , allora per definizione x ′ −x ∈ Z e y ′ −y ∈ Z,e quindi x + Z = x ′ + Z e y + Z = y ′ + Z. È iniettiva: se (x + Z, y + Z) = (x ′ + Z, y ′ + Z),allora x − x ′ ∈ Z e y − y ′ ∈ Z, e quindi (x ′ , y ′ ) + Z 2 = (x, y) + Z 2 ∈ R 2 /Z 2 . Analogamente sipuò mostrare che è suriettiva.Dimostriamo che è continua: denotiamo con P : R 2 → R 2 /Z 2 la proiezione sul quozientee con p × p la mappa p × p: R × R → R/Z × R/Z (che è continua). Se U ⊂ R/Z × R/Z èun aperto, allora (p × p) −1 (U) è aperto in R × R, e quindi è aperto in R 2 (che è identificatocon R × R tramite la mappa ˜f : R 2 → R × R che induce f). Ma il sottoinsieme di R 2 datoda ˜f −1 (p × p) −1 (U) coincide con P −1 (f −1 (U)), che quindi è aperto. Ora, per definizione ditopologia quoziente f −1 (U) è aperto se e solo se P −1 (U) è aperto in R 2 , e quindi f −1 (U) èaperto. Di nuovo, una funzione biunivoca da uno spazio compatto ad uno spazio di Hausdorffè un omeomorfismo.(14.15) Esempio. Si consideri l’azione di SO(2) sulla circonferenza unitaria S 1 . Ogni elementodi SO(2) agisce ruotando la circonferenza su se stessa: ogni punto ha stabilizzatorebanale e l’azione è transitiva e fedele. Fissiamo e 0 = (1, 0) ∈ S 1 . L’orbita di e 0 è tutto S 1 , equindi c’è una funzione continuaf : SO(2) → S 1definita da f(g) = g · e 0 . L’azione è transitiva, e quindi f è suriettiva. Inoltre lo stabilizzatoreè banale, e quindi f è iniettiva. Dato che SO(2) è compatto e S 1 di Hausdorff, f è unomeomorfismo tra SO(2) e S 1 .(14.16) Esempio. Consideriamo ora l’azione di SO(3) su S 2 (la sfera di dimensione 2, centronell’origine e raggio 1, contenuta in R 3 ). L’azione è ancora transitiva (perché?), fedele, ma ognipunto ha uno stabilizzatore non banale (cosa sono le rotazioni di R 3 che fissano un punto?).D.L. Ferrario 28 aprile 2005 51

52 28 aprile 2005 Geometria e Topologia IEsercizi: foglio 8(8.1) Sia G un gruppo e H ⊂ G un sottogruppo. L’insieme G/H è definito come l’insiemedi tutti i laterali, cioè di tutti gli insiemi del tipo {gh : h ∈ H} per qualche g (fissato) in G.Equivalentemente, sia ∼ H la relazione in G definita da: x ∼ H y ⇐⇒ x −1 y ∈ H. Dimostrareche la relazione ∼ H è di equivalenza, e che le classi di equivalenza sono proprio i laterali di Hin G.(8.2) Dimostrare che GL(n, R) non è limitato.(8.3) Si scriva la funzione GL(n) → GL(n) ⊂ R n2 definita da A ↦→ AA t (dove A t indica latrasposta di A) come composizione di funzioni continue.(8.4) Sia G un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo. Dimostrare che la chiusura H diH in G è anch’esso un sottogruppo.(8.5) Dimostrare che Z è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R.(8.6)È vero che Q è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R?(8.7) Dimostrare che GL(n) e O(n) non sono connessi. (Suggerimento: utilizzare il teorema(12.7 ) con la mappa determinante)*(8.8) Dimostrare che se S ⊂ R è un sottogruppo discreto (nel senso che ha la topologiadiscreta), allora è isomorfo a Z (cioè è un gruppo ciclico infinito).(8.9) Sia nZ ⊂ Z il sottogruppo (additivo) di tutti i multipli di un intero n ∈ N. L’azione dasinistra g · x = g + x fa agire G = nZ su Z. L’azione è fedele? È transitiva? Cosa è l’insiemedelle classi di equivalenza?(8.10) Mostrare che il quoziente R 2 /Z 2 è compatto.*(8.11) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y 2 ≤ 1} ⊂ R 2 tale cheX/G sia omeomorfo al cilindro S 1 × [0, 1].*(8.12) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y 2 ≤ 1} ⊂ R 2 tale cheX/G sia omeomorfo al nastro di Möbius.*(8.13) Si consideri S 2 con l’azione antipodale di G = Z 2 (gruppo di due elementi) data dag · x = −x se g ≠ 1. Che cosa è S 2 /G? È compatto? È connesso?(8.14) Trovare un’azione sul toro che abbia come spazio quoziente un cilindro.(8.15) Dimostrare che lo stabilizzatore di un punto x ∈ X rispetto ad un’azione di un gruppotopologico G è un sottogruppo chiuso di G.(8.16) Si consideri il gruppo G generato da una rotazione nel piano di angolo θ, che agiscesulla circonferenza S 1 = {(x, y) : x 2 + y 2 = 1} ⊂ R 2 . Studiare, al variare di θ, la topologiadello spazio quoziente S 1 /G.(8.17) Siano r 1 e r 2 riflessioni lungo due rette passanti per l’origine in R 2 . Mostrare che lacomposizione r 1 r 2 è una rotazione.52 28 aprile 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 28 aprile 2005 53*(8.18) Sia G = Q e X = R, con azione data da g · x = g + x per ogni g ∈ Q e x ∈ R.Dimostrare che è un’azione di gruppo topologico. È transitiva? Lo spazio quoziente X/G è diHausdorff?(8.19) Si consideri l’azione di GL(1) = R {0} su R data dalla moltiplicazione g · x = gx.Quali sono le orbite?(8.20) Sia G = R (gruppo additivo) e X = R 2 , con azione data da g · (x, y) = (g + x, g + y)per ogni g ∈ G e ogni (x, y) ∈ X. Che cosa è lo spazio delle orbite?(8.21) Consideriamo la stessa azione dell’esercizio precedente. Che cosa è lo spazio delleorbite per l’azione di Z ⊂ G = R su X? È compatto? È connesso? È Hausdorff?(8.22) Quanti elementi ha il gruppo di simmetrie G di un quadrato Q in R 2 ? Che cosa è(cioè, descriverlo esplicitamente) lo spazio quoziente Q/G.(8.23) Sia X uno spazio su cui un gruppo topologico X agisca in modo transitivo. Dimostrareche lo spazio è “omogeneo”, cioè per ogni coppia di punti c’è un omeomorfismo f : X → X chemanda x in y (cioè un “cambio di coordinate” che manda x in y). Rispetto a quale gruppo Rè omogeneo? E R n ?(8.24) Trovare un gruppo topologico che agisca in modo transitivo su O(n). Più in generale,se G è un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo, determinare un gruppo che agiscetransitivamente sullo spazio quoziente G/H.*(8.25) Dimostrare che se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio X, allora laproiezione sullo spazio delle orbite X → X/G è una mappa aperta. Se G è finito, è anchechiusa. (Suggerimento: se U ⊂ X è un aperto, allora p(U) è aperto (chiuso) se e solo seGU = {g · x : g ∈ G, u ∈ U} è aperto (chiuso) in X.)(8.26) Dimostrare che se G (gruppo topologico) agisce su X, allora per ogni g ∈ G la mappax ↦→ g · x è un omeomorfismo.D.L. Ferrario 28 aprile 2005 53

54 5 maggio 2005 Geometria e Topologia IEsercizi: foglio 9(9.1) Consideriamo il sottoinsieme Q ⊂ Q dei numeri razionali positivi o nulli: Q = {x ∈Q : x ≥ 0}. Lo scopo di questo esercizio (e dei seguenti) è di rivisitare la costruzione dellesezioni di Dedekind in termini di connessione (così come la costruzione di Cantor dei numerireali come completamento di Q è fatta in termine di convergenza di successioni di Cauchy). 8Sappiamo che Q e Q non sono connessi (perché?): esistono quindi due aperti-e-chiusi nonvuoti A 1 ,A 2 ⊂ Q tali che A 1 ∪ A 2 = Q. Definiamo le sezioni di Q come segue: una sezioneα ⊂ Q è un intervallo aperto e limitato di Q contenente lo 0, cioè(i) 0 ∈ Q;(ii) p ∈ α =⇒ ∃ɛ > 0, B ɛ (p) ⊂ α (α è aperto).(iii) p ∈ α =⇒ [0, p) ⊂ α (α è un intervallo che contiene lo 0);(iv) α è limitato (equivalentemente, α ≠ Q, dal momento che α è un intervallo che contiene0).Dimostrare che le sezioni (definite come sopra) soddisfano le seguenti proprietà:(i) α non è vuoto e α ≠ Q;(ii) Se p ∈ α e q ∈ Q e q < p allora q ∈ α;(iii) Se p ∈ α allora p < r per qualche r ∈ α.(9.2) Sia S l’insieme di tutte le sezioni di Q. Consideriamo la funzione f : Q {0} → Sdefinita da f(q) = α = [0, q), per ogni q ∈ Q {0}. Dimostrare che è iniettiva (non è definitain 0).*(9.3) Dimostrare che la relazione di inclusione α < β ⇐⇒ α ⊂ β ∧ α ≠ β è una relazione diordine totale su Q, cioè:(i) Se α e β sono sezioni in S, allora una sola delle relazioni seguenti è vera: α < β, β < α,β = α.(ii) (proprietà transitiva): se α, β e γ sono in S, e α < β ∧ β < γ, allora α < γ.*(9.4) Dimostrare che l’insieme delle sezioni S ha la proprietà dell’estremo superiore: ogniinsieme non vuoto e limitato in S ammette estremo superiore. (Suggerimento: se A ⊂ S èun insieme limitato e non vuoto, allora si può definire l’unione U = ⋃ α∈Aα – le sezioni sonosì elementi di S, ma sono anche intervalli di numeri razionali, e quindi è possibile definirel’unione. . . poi si dimostra che l’unione in effetti è una sezione, e quindi U ∈ S . . . è unmaggiorante di A, ed è poi possibile vedere che è il minimo dei maggioranti. . . )*(9.5) Ora dobbiamo mostrare che la somma e il prodotto, definite in Q, si estendono a S.Definiamo la somma comeα + β = {a + b : a ∈ α, b ∈ β}8 Questa non è la costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind.54 5 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 5 maggio 2005 55e il prodotto comeαβ = {ab : a ∈ α, b ∈ β}.Dimostrare che la somma e il prodotto di sezioni sono ancora sezioni. Dimostrare che lafunzione f dell’esercizio (9.2) conserva le operazioni di somma, prodotto e la relazione d’ordine:f(p + q) = f(p) + f(q), f(pq) = f(pq), p < q =⇒ f(p) < f(q).*(9.6) Dimostrare che se α, β ∈ S, e α < β, allora esiste un unico γ ∈ S tale che β = α + γ.(9.7) Dimostrare che se α ∈ S, allora esiste un unico β tale che αβ = 1 (dove identifichiamo1 = [0, 1) = f(1).*(9.8) Ora siano S + e S − due copie di S, e sia R = S − ∪{0}∪S + . Se α ∈ S, allora indicheremocon +α (o anche semplicemente con α) l’elemento corrispondente in S + , e con −α l’elementocorrispondente di S − . Definire operazioni di addizione, moltiplicazione e la relazione d’ordinesu R in modo che R risulti un campo ordinato.*(9.9) Mostrare che la funzione f di (9.2) si estende in modo naturale ad una inclusione dicampiQ ⊂ R.(Vale la pena di concludere osservando che R = R. . . ).D.L. Ferrario 5 maggio 2005 55

56 11 maggio 2005 Geometria e Topologia I15 Spazi affiniSappiamo come è definita l’azione di un gruppo G su un insieme e l’azione di un gruppotopologico su uno spazio topologico. Ricordiamo anche che cosa è uno spazio vettoriale su uncampo K (per esempio, K = R, K = C).(15.1) Definizione. Uno spazio vettoriale V è un gruppo abeliano (additivo) su cui il campodegli scalari K “agisce”; l’azione di un campo K su un gruppo abeliano è data in termini diuna legge di composizione (“prodotto per uno scalare”)con le proprietà seguenti.(k, v) ∈ K × V ↦→ kv ∈ V(i) Per ogni k ∈ K la funzione indotta v ∈ V ↦→ kv ∈ V è un omomorfismo del gruppoadditivo V (cioè è additiva, manda lo zero nello zero, . . . )(ii) Per ogni k 1 , k 2 ∈ K, v ∈ V :(a) (k 1 + k 2 )v = k 1 v + k 2 v,(b) (k 1 k 2 )v = k 1 (k 2 v)(iii) 1v = v.(15.2) Esempio. Sia R n il prodotto diretto di n copie di R. Ha per elementi le n-uple dinumeri reali, ed è un gruppo additivo rispetto alla somma componente-per-componente. Ilprodotto di uno scalare per una n-upla è il modello di prodotto di scalare per vettore più ingenerale. Infatti, in molti contesti non si distingue il concetto di vettore (riga o colonna) dalconcetto di n-upla.L’idea di spazio affine è l’applicazione della omogeneità degli spazi vettoriali (vedi definizione(14.6)) rispetto al gruppo delle traslazioni: a meno di traslazioni, gli intorni dei puntiR n sono gli stessi. 9 Si può dire che uno spazio affine è uno spazio che localmente è come unospazio vettoriale, e dati due punti c’è ben definita una unica trasformazione (traslazione) chemanda un punto nell’altro (trasporto parallelo). Vedremo poi come da questa idea si deduconoi concetti di parallelismo e incidenza.(15.3) Definizione. Uno spazio affine X su un campo K è un insieme X (insieme di punti)su cui agisce in modo fedele e transitivo uno spazio vettoriale −→ X su K (considerato solo comegruppo additivo – insieme delle traslazioni). Gli elementi di X si chiamano punti, gli elementidi −→ X si dicono vettori affini o traslazioni, e il campo K viene detto campo dei coefficienti.9 La parola affine fu usata per la prima volta da Eulero, ma la geometria affine fu riconosciuta come disciplinasoltanto dopo il l’avvio del programma di Erlangen di Felix Klein (1849–1925) – cioè il famoso discorso tenutonel 1872 da Klein nell’Università di Erlangen, in cui Klein propone una unificazione delle geometrie note altempo (euclidea piana e dello spazio, non-euclidea, proiettiva, affine, . . . ) con una interpretazione in termini digruppi di simmetria – o meglio gruppi di trasformazioni: gli spazi tradizionali sono “spazi omogenei” rispetto aduna opportuna scelta del gruppo di trasformazioni (le similitudini e le rototraslazioni per la geometria euclidea,le trasformazioni lineari per la geometria affine, . . . ) e le proprietà che si studiano sono quelle invarianti rispettoall’azione di tale gruppo (angoli, lunghezze, . . . ). Questo approccio ha avuto una significativa influenza sulmodo in cui la geometria è stata insegnata e divulgata nei successivi (≥ 50) anni.56 11 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 11 maggio 2005 57(15.4) Sia X uno spazio affine e −→ X lo spazio vettoriale (su campo K) associato. Alloraesiste (unica) una funzione X × X → −→ X , indicata da (A, B) ↦→ −→ AB (indicato anche come−→AB = B − A), con le seguenti proprità:(i) ∀A ∈ X, ∀v ∈ −→ X , ∃ unico B ∈ X : −→ AB = v.(ii) ∀A, B, C ∈ X, −→ AB + −→ BC = −→ AC.Dimostrazione. L’azione di −→ X su X è per definizione transitiva: dunque per ogni scelta di Ae B in X esiste v ∈ −→ X tale che v + A = B. Ora, se v, w ∈ −→ X sono due vettori di −→ X tali chev + A = B e w + A = B, allora si ha v + A = w + A, cioè il vettore v − w fissa il punto A((v − w) + A = A). Ma se v − w fissa il punto A allora, dal momento che (essendo l’azionetransitiva) ogni punto di X si può scrivere come z + A per qualche z ∈ −→ X , per ogni B ∈ X siha(v − w) + B = (v − w) + (z + A)= (v − w + z) + A= (z + (v − w)) + A= z + (v − w + A)= z + A= Be dunque v−w fissa ogni punto di X. Ma l’azione è fedele, e quindi deve essere v = w (cioè perogni A, B in X esiste unico v ∈ −→ X per cui B = v + A. Si può dunque indicare con −→ AB = v.Ora mostriamo che ∀A, B, C ∈ X, −→ AB + −→ BC = −→ AC. Infatti, per definizione risulta−→AB + A = B−→BC + B = Ce quindiC = −→ BC + B = ( −→ BC + −→ AB) + Ache per definizione (e commutatività) si legge come−→AC = −→ AB + −→ BC.q.e.d.(15.5) Supponiamo di avere un insieme non vuoto X e uno spazio vettoriale −→ X , insieme conuna funzione X × X → −→ X , indicata da (A, B) ↦→ −→ AB che soddisfa i due assiomi:(i) ∀A ∈ X, ∀v ∈ −→ X , ∃ unico B ∈ X : −→ AB = v.(ii) ∀A, B, C ∈ X, −→ AB + −→ BC = −→ AC (assioma di Chasles. 10 )Allora X è spazio affine rispetto all’azione(v, A) ∈ −→ X × X ↦→ A + v,dove si definisce A + v l’unico punto B ∈ X tale che −→ AB = v (primo assioma).10 Michel Chasles, matematico francese (1793–1880).D.L. Ferrario 11 maggio 2005 57

58 11 maggio 2005 Geometria e Topologia IDimostrazione. Vedi esercizio (10.1).q.e.d.(15.6) Esempio. −→ X = X = R n . Allora lo spazio affine si indica con A n (R). Analogamente,per K = C, lo spazio affine n-dimensionale si indica con A n (C).(15.7) Definizione. Una retta nello spazio affine X è un sottoinsieme di X che si può scriverecomer = {x 0 + tv : t ∈ K}per un certo x 0 ∈ X e v ∈ −→ X {0}. 11appartiene alla retta.Si dice che la retta passa per un punto se il punto(15.8) Due rette r = {A + tv : t ∈ K} e s = {B + tw : t ∈ K} coincidono se e solo se ivettori v e w sono linearmente dipendenti e A ∈ s ∧ B ∈ r.Dimostrazione. Supponiamo che r = s. Allora è ovvio che A ∈ s ∧ B ∈ r. Ora, dato cheA ∈ s, esiste t A ∈ K tale che A = B +t A w; analogamente, esiste t B ∈ K tale che B = A+t B v.Segue cheB − A = −t A w = t B v,cioè t A w + t B v = 0. Se t A ≠ 0 oppure t B ≠ 0, allora abbiamo dimostrato che v e w sonolinearmente dipendenti. Altrimenti, t A = 0 = t B cioè A = B. Ma allora, dato che A+v ∈ r = s, esiste t ′ ∈ K tale che A + v = A + t ′ w, e quindi v − t ′ w = 0 (ancora, v e w sono linearmentedipendenti).Viceversa, supponiamo che A ∈ s e B ∈ R e che v e w siano linearmente dipendenti. Segueche A = B + t A w per un certo t A ∈ K e che esiste t ′ ∈ K, t ′ ≠ 0, tale che v = t ′ w; quindir = {A + tv : t ∈ K}= {B + t A w + tv : t ∈ K}= {B + t A w + tt ′ w : t ∈ K}= {B + (t A + tt ′ )w : t ∈ K}= {B + tw : t ∈ K}= sq.e.d.(15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A ∈ A 2 (K) è un punto e r una rettache non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca r (la parallela a rpassante per A).Dimostrazione. Per definizione esistono un punto x 0 e un vettore v ≠ 0 per cuir = {x 0 + tv : t ∈ K},e non esiste t ∈ K per cui x 0 + tv = A (dato che r non passa per A). La rettar ′ = {A + tv : t ∈ K}11 In altre parole, una retta è l’orbita del punto x 0 ∈ X mediante l’azione di un sottogruppo 1-dimensionale( ∼ = K) dello spazio di traslazioni −→ X58 11 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 11 maggio 2005 59passa certamente per A. Supponiamo che r ∩ r ′ ≠ ∅. Allora esistono t 1 , t 2 ∈ K tali chee quindiA + t 1 v = x 0 + t 2 v ∈ r ∩ r ′ ,A = x 0 + (t 2 − t 1 )v =⇒ A ∈ rche è assurdo. Abbiamo mostrato che esiste una retta che non interseca r.Supponiamo di avere due rette s e s ′ tali che s ∩ r = ∅ e s ′ ∩ r = ∅ e passanti per A.Allora si possono scrivere con le equazioni s = {A + tw} e s ′ = {A + tw ′ }. Per la proposizione(15.8) le due rette coincidono se e solo se w e w ′ sono linearmente dipendenti. Analogamentea quanto visto sopra, s ∩ r = ∅ se e solo se non esistono t 1 e t 2 ∈ K tali che A + t 1 w = x 0 + t 2 v,cioè se e solo se l’equazione vettoriale (nelle incognite t 1 e t 2 )t 1 w − t 2 v = x 0 − Anon ha soluzioni, il che avviene se e solo se il vettore x 0 − A non appartiene al sottospaziodi K 2 generato da w e v. Ora, se v e w sono linearmente indipendenti allora tale sottospaziocoincide con K 2 , per cui la soluzione c’è. Affinché la soluzione non esista è necessario che v e wsiano dipendenti. Abbiamo quindi mostrato che w è necessariamente multiplo di v. Dato chelo stesso vale per w ′ , risulta che w e w ′ sono linearmente dipendenti e quindi s = s ′ . q.e.d.D.L. Ferrario 11 maggio 2005 59

60 12 maggio 2005 Geometria e Topologia I16 Sottospazi affini(16.1) Definizione. Sia X uno spazio affine e −→ X lo spazio vettoriale su campo K associato.Se P ∈ X è un punto fissato di X e W ⊂ −→ X è un sottospazio vettoriale, allora il sottospazioS = {x ∈ X : x − p ∈ W }di tutti i punti x per cui x − P ∈ W si dice sottospazio affine passante per P e parallelo a W .Il sottospazio W si dice giacitura di S. La dimensione di S è per definizione la dimensione diW .(16.2) Nota. I sottospazi affini sono le orbite mediante l’azione del sottospazio W , che agiscemediante traslazioni sullo spazio affine. Osserviamo anche che, seguendo la definizione (16.1),le rette sono proprio i sottospazi affini di dimensione 1. Inoltre non è difficile vedere che i puntisono i sottospazi affini di dimensione 0. I sottospazi di dimensione dim(X) − 1 (codimensione1 in X) si dicono iperpiani. I sottospazi di dimensione 2 si dicono piani. Se n = 3, piani eiperpiani coincidono.(16.3) Proposizione. Se S ⊂ X è un sottospazio affine con giacitura W ⊂ −→ X , allora è unospazio affine con spazio vettoriale associato −→ S = W ⊂ −→ XDimostrazione. Il gruppo additivo −→ X agisce in modo fedele e transitivo su X per definizione,e dunque W ⊂ −→ X agisce in modo fedele e transitivo sulla sua orbita, che per definizione èS! q.e.d.(16.4) Proposizione. Siano P 1 , P 2 ∈ X due punti di uno spazio affine X, W 1 , W 2 ⊂ −→ X duesottospazi vettoriali e S 1 = P 1 + W 1 , S 2 = P 2 + W 2 i due sottospazi affini passanti per P i congiacitura W i (i = 1, 2). Allora S 1 = S 2 se e solo se W 1 = W 2 , P 2 ∈ S 1 e P 1 ∈ S 2 . Cioè, unsottospazio affine è identificato da uno qualsiasi dei suoi punti e dalla giacitura.Dimostrazione. Supponiamo che S 1 = S 2 . Allora è ovvio che P 1 ∈ S 2 e P 2 ∈ S 1 . Vogliamodimostrare che W 1 = W 2 . Osserviamo che per definizione W 1 = S 1 − P 1 e W 2 = S 2 − P 2 . Datoche P 1 ∈ S 1 = S 2 , per definizione il vettore P 1 −P 2 appartiene a W 2 . Inoltre P 2 = P 1 +(P 2 −P 1 )da cui si trae cheS 2 = P 2 + W 2= P 1 + (P 2 − P 1 ) + W 2= P 1 + W 2dato che w+W 2 = W 2 (come insiemi!) per ogni w ∈ W 2 (vedi esercizio (10.4)), ed in particolareper P 2 − P 1 . Ora, questo implica che S 1 = S 2 se e solo seP 1 + W 1 = P 1 + W 2ma questo accade se e solo se W 1 = W 2 .Viceversa, se P 1 ∈ S 2 e P 2 ∈ S 1 e W 1 = W 2 , allora come sopra si può scrivere S 1 = P 1 +W 1e S 2 = P 2 + W 2 , e quindi S 1 = S 2 .q.e.d.Osserviamo che la proposizione (16.4) generalizza la proposizione (15.8): basta considerarei sottospazi 1-dimensionali generati da v e w.60 12 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 12 maggio 2005 61(16.5) Definizione. Consideriamo un insieme di d + 1 punti P 0 , P 1 , . . . P d in uno spazioaffine X. Il più piccolo sottospazio affine S ⊂ X che contiene tutti i punti P 0 , . . . , P d si dicesottospazio affine generato dai d + 1 punti P 0 , . . . , P d .(16.6) Nota. Dobbiamo dimostrare che la definizione (16.5) è ben posta, dal momento chepotrebbe non esistere un sottospazio con la proprietà cercata. Vediamo come.(16.7) Proposizione. Il sottospazio affine di X generato da d + 1 punti P 0 , . . . , P d ∈ X èil sottospazio passante per P 0 e con giacitura〈 −−→ P 0 P 1 , −−→ P 0 P 2 , . . . −−→ P 0 P d 〉 ⊂ −→ X ,e non dipende dall’ordine con cui i punti P 0 , . . . , P d sono stati scelti.Dimostrazione. Sia S il sottospazio affine di X passante per P 0 e con giacituraW = 〈 −−→ P 0 P 1 , −−→ P 0 P 2 , . . . −−→ P 0 P d 〉 ⊂ −→ X .Si ha ovviamente P 0 ∈ S e, inoltre, per ogni i P i ∈ S dato che per ogni i = 1, . . . d si haP i = P 0 + (P i − P 0 ) ∈ P 0 + W = S (per definizione P i − P 0 ∈ W ). Quindi S contiene tutti ipunti P 0 , . . . , P d .Supponiamo che S ′ sia un altro sottospazio affine contenente i punti P 0 , . . . , P d . Inparticolare, P 0 ∈ S ′ , per cui esiste W ′ ⊂ −→ X tale cheS ′ = P 0 + W ′ .Dal momento che per ogni i = 1, . . . , d P i ∈ S ′ , e quindi P i − P 0 ∈ W ′ ,W = 〈 −−→ P 0 P 1 , −−→ P 0 P 2 , . . . −−→ P 0 P d 〉 ⊂ W ′ .Cioè S è contenuti in ogni sottospazio affine contenente i d + 1 punti. Sia ora S ′ il sottospazioaffine costruito a partire da una permutazione dei d + 1 punti esattamente come S. Alloral’argomento di sopra si applica sia a S che a S ′ , per cui S ⊂ S ′ e S ′ ⊂ S, cioè S = S ′ . q.e.d.(16.8) Nota. Consideriamo d + 1 punti x 0 , x 1 , . . . , x d nello spazio affine X. A priori non hasenso scrivere la sommad∑λ i x i =?i=0per dei coefficienti λ i ∈ K, dal momento che non abbiamo definito prodotto di uno scalare λ iper un punto x i (potremmo farlo solo moltiplicando vettori con scalari, non punti con scalari).Però, si può prendere un punto qualsiasi z ∈ X e definire tale somma solo nel caso ∑ di=0 λ i = 1:d∑λ i x i =i=0=d∑i=0d∑i=0( d∑)λ i ( −→ zx i ) + λ i zi=0λ i ( −→ zx i ) + zPossiamo in questo modo definire il baricentro di d + 1 punti, interpretando λ i come masse(più propriamente, densità di massa).D.L. Ferrario 12 maggio 2005 61

62 12 maggio 2005 Geometria e Topologia I(16.9) Definizione. In uno spazio affine di dimensione n, si dice che d + 1 punti sono indipendentise la dimensione del sottospazio affine generato è d, altrimenti si dicono dipendenti.È chiaro che se sono indipendenti, allora d ≤ n. Due punti sono dipendenti se e solo se coincidono.Tre punti sono dipendenti se e solo se appartengono ad una stessa retta (e si diconoallineati. Analogamente, quattro punti sono indipendenti se non sono contenuti in un piano,per cui quattro punti sono dipendenti se e solo se appartengono ad uno stesso piano.(16.10) d + 1 punti x 0 , x 1 , . . . , x d sono dipendenti se e soltanto se esistono λ 1 , . . . , λ n nontutti nulli tali che ∑ di=0 λ −−→ ix 0 x i = 0.Dimostrazione. Segue dalla definizione.q.e.d.(16.11) Nota. Due punti distinti nel piano sono sempre allineati. È vero che tre punti nellospazio sono allineati (dipendenti) se e soltanto se il determinante della matrice 3 × 3 delle lorocoordinate è nullo? Quale direzione della doppia implicazione è vera e quale no?(16.12) Definizione. Sia X uno spazio affine su campo K di dimensione n ≥ 1. Unriferimento affine in X è (equivalentemente):(i) Una scelta di n + 1 punti di X linearmente indipendenti.(ii) Una scelta di un punto x 0 di X e di n vettori indipendenti di −→ X (cioè, di una base per−→ X , visto che dim(−→ X ) = dim(X) = n).(16.13) (Equazioni parametriche) Sia S ⊂ X un sottospazio affine. Allora se si sceglieun riferimento affine x 0 , x 1 , . . . , x d ∈ S si può scrivere S mediante le equazioni parametrichecomeS = {x 0 +d∑i=1t i−−→ x0 x 1 : t i ∈ R},o anche comex = x 0 +d∑i=1t i−−→ x0 x 1(16.14) Nota. Ritroviamo qui le equazioni parametriche di rette (x = x 0 + tv) e piani(x = x 0 + sv + tw).62 12 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 12 maggio 2005 63Esercizi: foglio 10(10.1) Dimostrare la proposizione (15.5): supponiamo di avere un insieme non vuoto X euno spazio vettoriale −→ X , insieme con una funzione X × X → −→ X , indicata da (A, B) ↦→ −→ ABche soddisfa i due assiomi:(i) ∀A ∈ X, ∀v ∈ −→ X , ∃ unico B ∈ X : −→ AB = v.(ii) ∀A, B, C ∈ X, −→ AB + −→ BC = −→ ACAllora X è spazio affine rispetto all’azione(v, A) ∈ −→ X × X ↦→ A + v,dove si definisce A + v l’unico punto B ∈ X tale che −→ AB = v.*(10.2) Sia l una retta del piano affine A 2 (R). Dimostrare che l non può incontrare tutti i latidi un triangolo.(10.3) Dimostrare che il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è paralleloal terzo lato.(10.4) Dimostrare che, se V è uno spazio vettoriale e v ∈ V , V = v + V = {v + w, w ∈ V }.(10.5) Dimostrare che se S ⊂ A n (K) è un sottospazio affine e v ∈ K n è un vettore non nullo,allora S è parallelo al suo traslato v + S (S ‖ (v + S)). e che se v ∉ −→ S allora Determinare perquali v ∈ K n si ha che S ∩ (v + S) = ∅.⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤x 0 1(10.6) Si consideri la retta r in A 3 (R) di equazioni parametriche ⎣y⎦ = ⎣1⎦+t⎣2⎦ . Scrivere⎡ ⎤z 2 31l’equazione della parallela s a r passante per ⎣1⎦.1(10.7) Determinare il piano/i piani (le equazioni di) che contengono le due rette r e sdell’esercizio (10.6).(10.8) Scrivere l’equazione della retta per i due punti A, B ∈ A 4 (R)A =⎡⎢⎣1−1√2− √ 2⎤ ⎡ √ ⎤ 2⎥⎦ , B = ⎢− √ 2⎥⎣ 1 ⎦ .−1(10.9) Scrivere l’equazione della retta per i due punti A, B ∈ A 4 (C)⎡ ⎤ ⎡ ⎤1iA = ⎢−1⎥⎣ i ⎦ , B = ⎢−i⎥⎣ 1 ⎦ .−i −1D.L. Ferrario 12 maggio 2005 63

64 12 maggio 2005 Geometria e Topologia I(10.10) Dimostrare che due rette non parallele nel piano affine si intersecano esattamente inun punto.*(10.11) (Teorema di Talete) Siano l 1 , l 2 e l 3 rette parallele e distinte del piano affine A 2 (R),e r 1 , r 2 rette non parallele a l 1 , l 2 , l 3 . Per l’esercizio precedente (10.10), le intersezioni l i ∩ r jper i = 1, 2, 3 e j = 1, 2 sono sei singoli punti, che chiamiamo P i,j . Dimostrare che esiste t ∈ Rtale che{ −−−−→P 1,1 P 3,1 = t −−−−→ P 1,1 P 2,1−−−−→P 1,2 P 3,2 = t −−−−→ P 1,2 P 2,2 .(10.12) Determinare quali delle seguenti terne di punti di A 3 (R) sono allineate:⎡ ⎤1⎡ ⎤2⎡ ⎤3(i) ⎣2⎦,⎣3⎦,⎣1⎦.3 1 2⎡ ⎤2⎡ ⎤4⎡ ⎤3(ii) ⎣4⎦,⎣6⎦,⎣5⎦.6 2 4⎡ ⎤1⎡ ⎤1⎡ ⎤2(iii) ⎣0⎦,⎣1⎦,⎣1⎦.0 0 1(10.13) Considerare le tre terne di punti dell’esercizio precedente. Siano S 1 , S 2 e S 3 i sottospaziaffini di A 3 (R) generati da esse. Determinare quali tra S 1 , S 2 e S 3 sono parallele,sghembe o incidenti.(10.14) Un piano e una retta in A 3 (R) possono essere sghembi?[ [ [ 1 2 0(10.15) Si considerino i tre punti , , di A1]2]2]2 (R). Se costituiscono un riferimentoaffine, scrivere esplicitamente il cambio di coordinate: un punto di coordinate (generiche) x, ysi scriverà come . . .⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0(10.16) Determinare l’equazione del piano di A 4 (R) passante per i tre punti ⎢0⎥⎣0⎦ , ⎢1⎥⎣0⎦ , ⎢0⎥⎣1⎦ .1 2 3⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0 1/3(10.17) Determinare se i quattro punti di A 4 (R) ⎢0⎥⎣0⎦ , ⎢1⎥⎣0⎦ , ⎢0⎥⎣1⎦ , ⎢1/3⎥⎣1/3⎦ costituiscono un1 2 3 2riferimento affine. Se sì, scrivere le equazioni del piano dell’esercizio precedente (10.16) inqueste coordinate.64 12 maggio 2005 D.L. Ferrario

66 18 maggio 2005 Geometria e Topologia IDimostrazione. Se x 0 , x 1 , . . . x n è un riferimento affine per X, allora si può definire la mappaf : A n (K) → X definita da(λ 1 , . . . , λ n ) ↦→ x 0 +n∑i=1λ i−−→ x0 x i ∈ X.Non è difficile verificare che f è una mappa affine. Dato che i punti x 0 , . . . , x n costituisconoun riferimento affine, la giacitura〈 −−→ x 0 x 1 , . . . , −−→ x 0 x n 〉ha dimensione n, e quindi la funzione lineare indotta f(x 0 + v) − f(v) è un isomorfismo dispazi vettoriali. Da cui segue che f è bijettiva.q.e.d.(17.8) Teorema. Ogni mappa affine f : A d (K) → A n (K) (nel sistema di riferimento affinestandard) si scrivere in modo unico comef(x) = Ax + b = A(x − 0) + (b − 0),dove A è una matrice n × d e b un vettore di R n .Dimostrazione. Basta considerare il punto z = (0, . . . , 0) ∈ A d (K). Per definizione la mappaf(z + v) − f(z) è lineare, e dunque esiste A: K d → K n (rappresentata come matrice nellabasta standard) tale che f(z + v) − f(z) = Av. Ponendo f(z) = b − 0 si hacioè f(x) = Ax + b in coordinate di K d .f(z + v) = Av + b,q.e.d.(17.9) Corollario. Sia X uno spazio affine di dimensione n e Y uno spazio affine di dimensioned. Se p 0 , p 1 , . . . , p n sono un riferimento affine per X, allora per ogni scelta di n + 1punti q 0 , q 1 , . . . , q n in Y esiste una unica mappa affine f : X → Y tale che f(p i ) = q i per ognii = 0, . . . , n.Dimostrazione. Sia X ∼ = A n (K) l’isomorfismo indotto dalla scelta del riferimento affine. Ilriferimento corrispondente in A n (K) è 0, e 1 , . . . , e n , dove gli e i sono i versori canonici di K n .Scelto un qualsiasi riferimento affine per Y , l’applicazione affine cercata si può scrivere comef(x) = Ax + b, dove A è la matrice che ha per colonne le coordinate dei vettori q 1 , . . . , q n ,mentre il termine noto b è il vettore colonna delle coordinate di q 0 . Infatti, se A i,j indicano lecomponenti di A e b i le componenti di b, si ha (nelle coordinate scelte) per ogni i = 1 . . . n⎡∑i,1 A ⎤i,1e j + b ∑ 1i,2f(p i ) = Ae i + b = ⎢A i,2e j + b 2⎥⎣∑. ⎦i,d A i,2e j + b de f(p 0 ) = b. Questo determina i coefficienti A i,j in modo unico, come indicato sopra.q.e.d.(17.10) Teorema (Equazioni cartesiane). Sia S ⊂ X = A n (K) un sottospazio affine didimensione d. Allora esiste una mappa affine e suriettiva f : X → A n−d (K) per cuiS = {x ∈ X : f(x) = 0}.Viceversa, per ogni mappa affine suriettiva f : X → A n−d (K) l’insieme {x ∈ X : f(x) = 0} èun sottospazio affine di X di dimensione d.66 18 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 18 maggio 2005 67Dimostrazione. Sia W la giacitura di S e P un punto di S, in modo tale cheS = P + W.È sempre possibile trovare un completamento W ′ di W in −→ X , cioè un sottospazio vettorialeW ′ di −→ X tale che−→ X = W ⊕ W ′ .Se dim(W ) = d, allora dim(W ′ ) = n − d. Per ogni x ∈ X il vettore x − P si scrive in modounico comex − P = w + w ′con w ∈ W e w ′ ∈ W ′ , ed è possibile definire la proiezione (lineare) L: −→ X → W ′ . Scelta unabase per W ′ , è dato un isomorfismo W ′ ∼ = K n−d . Si consideri quindi (mediante l’identificazionenaturale tra A n−d (K) e K n−d ) la funzione f : X → A n−d (K) definita da(dove 0 appartiene a K n−d ).f(x) = 0 + L(x − P ) ∈ A n−d (K)È facile vedere che è una mappa affine e chef(x) = 0 ⇐⇒ x − P ∈ W⇐⇒ x ∈ P + W⇐⇒ x ∈ S,e dunque S = {x ∈ X : f(x) = 0}.Viceversa, sia f : X → A n−d (K) una mappa affine e suriettiva. Sia S = {x ∈ X : f(x) = 0}e x 0 ∈ S. L’applicazione L: −→ X = K n → K d definita da Lv = f(x 0 + v) − f(x 0 ) è lineare esuriettiva, ha quindi un nucleo W ⊂ K n di dimensione n − (n − d) = d. Dal momento chex 0 ∈ S, per definizione f(x 0 ) = 0, e quindi un elemento x 0 + v appartiene a S se e solo sef(x 0 + v) = 0 ⇐⇒ Lv = 0 ⇐⇒ v ∈ W,e quindi S = x 0 + W , dove W ha dimensione d.q.e.d.(17.11) Esempio. In dimensione 2 e 3, si ritrovano le equazioni cartesiane dei delle rette inA 2 (R) (ax + by + c = 0 ), dei piani in A 3 (R) (ax + by + cz + d = 0) e delle rette in A 3 (R) (vistecome zeri di una funzione A 3 (R) → A 2 (R).{ax + by + cz + d = 0a ′ x + b ′ y + c ′ z + d ′ = 0(17.12) Proposizione. Se f : X → Y è una mappa affine, allora l’immagine di una retta èuna retta. Più in generale, l’immagine di un sottospazio affine di X è un sottospazio affine diY e la controimmagine di un sottospazio affine di Y è un sottospazio affine di Y .Dimostrazione. Sia S ⊂ X un sottospazio affine con giacitura −→ S e passante per p ∈ X: S =p + −→ S . Allora, se L: −→ X → −→ Y denota l’omomorfismo indotto da f (L(v) = f(x 0 + v) − f(x 0 )),si haf(S) = {f(p + s) : s ∈ −→ S }= {f(p + s) − f(p) + f(p) : s ∈ −→ S }= {L(s) + f(p) : s ∈ −→ S }= {f(p) + w : w ∈ L( −→ S ) ⊂ −→ Y }.Dal momento che L è lineare, l’immagine L( −→ S ) ⊂ −→ Y è un sottospazio vettoriale, da cui seguela tesi. In modo analogo si dimostra la seconda parte (vedi esercizio (11.18)). q.e.d.D.L. Ferrario 18 maggio 2005 67

68 19 maggio 2005 Geometria e Topologia I18 Incidenza e parallelismo(18.1) Definizione. Due sottospazi affini S, T ⊂ X di uno spazio affine X sono paralleli se−→ S ⊂−→ T , e si indica con S ‖ T . 12 I due sottospazi S e T si dicono incidenti se S ∩ T ≠ ∅ 13 .(18.2) Proposizione. Se S ⊂ X e T ⊂ X sono due sottospazi affini paralleli e S ∩ T ≠ ∅,allora S ⊂ T oppure T ⊂ S.Dimostrazione. Sia P ∈ S ∩ T . A meno di scambiare S con T , possiamo supporre dim(S) ≤dim(T ) e quindi V ⊂ W se V e W sono le giaciture di S e T rispettivamente. Per ogni x ∈ Ssi ha x − P ∈ V , e quindi x − P ∈ W , da cui x ∈ T . Cioè S ⊂ T .q.e.d.(18.3) Corollario. Se S ⊂ X e T ⊂ X sono due sottospazi affini paralleli, dim(S) = dim(T ),e S ∩ T ≠ ∅ allora S = T .Dimostrazione. Nella notazione della dimostrazione precedente, risulta V = W , e quindi S =T .q.e.d.(18.4) Corollario. Se S ⊂ X è un sottospazio affine e x ∈ X è un punto di X, allora esisteun unico sottospazio affine T ⊂ X di dimensione dim(S) che contiene x e parallelo a S.Dimostrazione. Due sottospazi T ′ e T con la stessa dimensione, contenenti x e paralleli a S,in particolare sono paralleli tra loro e con intersezione non vuota (x ∈ T ∩ T ′ ), per cui si puòusare il corollario (18.3).q.e.d.(18.5) Nota. Nel caso in cui X = A 2 (R), ritroviamo la proposizione (15.9) (quinto postulatodi Euclide – “assioma delle parallele”).(18.6) Definizione. Due sottospazi affini S, T ⊂ X si dicono sghembi se non hanno punti incomune e non sono paralleli.(18.7) Proposizione. Siano S, T ⊂ X sottospazi affini di X. Se l’intersezione S ∩ T non èvuota, allora è un sottospazio affine di X, la cui dimensione soddisfa la disuguaglianzadim(S) + dim(T ) ≤ dim(X) + dim (S ∩ T )Vale l’uguaglianza nella disequazione di se e solo se dim( −→ S + −→ T ) = dim( −→ X ).Dimostrazione. Sia x 0 ∈ S ∩ T . Allora risultada cui si deduce cheS = x 0 + −→ ST = x 0 + −→ TS ∩ T = x 0 + −→ S ∩ −→ T ,12 Alcuni definiscono sottospazi paralleli i sottospazi per cui −→ S = −→ T , mentre se −→ S ⊂ −→ T allora S e T sonoparalleli in senso lato. Altri poi assumono in più che spazi incidenti non sono affini.13 Forse sarebbe meglio, seguendo la tradizione italiana, definire incidenti due rette che si incontrano in unsolo punto, due piani dello spazio che si incontrano in una retta, una retta e un piano nello spazio che siincontrano in un punto, etc. etc. Nella tradizione anglosassone questi vengono chiamati concorrenti (inveceche incidenti). C’è il problema dell’uniformità: due piani nello spazio A 3 (R) che si incontrano in una rettasarebbero incidenti, ma lo sarebbero se immersi in A 4 (R), per esempio aggiungendo una coordinata nulla?68 19 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 19 maggio 2005 69e quindi S ∩ T è un sottospazio affine con giacitura −−−→ S ∩ T = −→ S ∩ −→ T . Ora, la formula diGrassmann (dimensioni di sottospazi vettoriali di uno spazio di dimensione finita) dàda cui si deducedim( −→ S ) + dim( −→ T ) = dim( −→ S + −→ T ) + dim( −→ S ∩ −→ T ), (18.8)dim(S) + dim(T ) = dim( −→ S + −→ T ) + dim(S ∩ T )≤ dim(X) + dim(S ∩ T ),dato che dim( −→ S + −→ T ) ≤ dim( −→ X ) = dim(X). È altresì chiaro che vale l’uguaglianza quandovale l’uguaglianza in quest’ultima disequazione.q.e.d.(18.9) Nota. Osserviamo che dalla dimostrazione di (18.7) si può dedurre un metodo percalcolare la dimensione dell’intersezione di due sottospazi affini (calcolando il rango dellamatrice del sistema di equazioni).(18.10) Proposizione. Siano S, T ⊂ X sottospazi affini di X tali che −→ S + −→ T = −→ X . Alloral’intersezione S ∩ T non è vuota.Dimostrazione. Siano x S e x T punti di S e T rispettivamente. Un punto x ∈ X appartieneall’intersezione S ∩ T se e solo se esistono v ∈ −→ S e w ∈ −→ T tali chex = x S + v = x T + w,cioè l’intersezione è non vuota se e solo se esistono v ∈ −→ S e w ∈ −→ T tali chex T − x S = v − w.Ma per ipotesi −→ S + −→ T = −→ X , e dato che x T − x S ∈ −→ X esistono s ∈ −→ S e t ∈ −→ T per cuix T − x S = s + t.Basta porre v = w ∈ −→ S e w = −t ∈ −→ T per ottenere le soluzioni v e w cercate.q.e.d.(18.11) Definizione. Consideriamo un sottospazio affine S ⊂ X, S ≠ X e un sottospazioW ⊂ −→ X tale che −→ S ⊕ W = −→ X (complemento). Allora si può definire la proiezione di X suS parallela a W , indicata con p S,W : X → S, come segue: se x ∈ X, allora per (16.4) esisteunico il sottospazio affine T = T x,W passante per x con giacitura W . L’intersezione S ∩ T x,Wè non vuota per (18.10), e dato che −→ S + −−→ T x,W = −→ S + W = −→ X per (18.7), la dimensione èdim(S ∩ T x,W ) = 0, cioè consiste di un solo punto. Si può dunque definire la proiezione su Sparallela a W p S,W mediante la relazione∀x ∈ X, p S,W (x) ∈ S ∩ T x,W .(18.12) Definizione. In modo analogo definiamo la riflessione r S,W : X → X, lungo Sparallela a W ⊂ −→ X (con −→ S ⊕ W = −→ X ), mediante la formular S,W (x) = p S,W (x) + −−−−−→ xp S,W (x)(18.13) Proposizione. Riflessioni e proiezioni sono mappe affini. Le riflessioni sono affinitàcon la proprietà che r 2 = r ◦ r = 1 X . Se S è la sottovarietà su cui si proietta (risp., lungo laquale si riflette), allora S rimane fissata dalla proiezione (risp., dalla riflessione).D.L. Ferrario 19 maggio 2005 69

70 19 maggio 2005 Geometria e Topologia IDimostrazione. Cominciamo a mostrare che le proiezioni sono mappe affini: sia f = p S,W ,dove S è un sottospazio affine di X e W un sottospazio vettoriale di −→ X complemento di −→ S .È facile dedurre dalla definizione che se x ∈ S, allora f(x) = x. Vogliamo mostrare cheper qualche x ∈ X la mappa L: −→ X → −→ S definita da L(v) = f(x + v) − f(x) è lineare inv. Per definizione {p S,W (x + v)} = S ∩ T x+v,W e {p S,W } = S ∩ T x,W , dove T x,W e T x+v,Wsono le sottovarietà con giacitura W passanti per x e x + v rispettivamente. Nulla ci vieta diconsiderare x ∈ S, per cui si ha f(x) = x. Dal momento che per ipotesi −→ X = −→ S ⊕ W , ogniv ∈ −→ X si scrive in modo unico come v = s + w con s ∈ −→ S e w ∈ W . Ora, se w ∈ W , alloraper ogni y ∈ X i sottospazi con giacitura W passanti per y e per y + w coincidonoe quindiy + W = y + w + W,T x+v,W = T x+s+w,W = T x+s,W ,da cui f(x+v) = f(x+s). Ma dato che x ∈ S e s ∈ −→ S , anche x+s ∈ S, per cui f(x+s) = x+s.Ma alloraf(x + v) − f(x) = f(x + s) − f(x) = x + s − x = s,cioè L(v) = s, ovvero L: −→ X = −→ S ⊕ W → −→ S è la proiezione (vettoriale) sul primo fattore, edè lineare.Passiamo a dimostrare che le riflessioni sono affini: se r = r S,W è una riflessione X → X,allora si scrive mediante la formula vista poco soprar(x) = p(x) + −−−→ xp(x) = p(x) + (p(x) − x)dove p è la corrispondente proiezione parallela.L(v) = r(x + v) − r(x) è quindi uguale aScelto x ∈ X, la corrispondente funzioneL(v) = p(x + v) + (p(x + v) − (x + v)) − (p(x) + (p(x) − x))= p(x + v) − p(x) + (p(x + v) − p(x) − (x + v) + x)= 2(p(x + v) − p(x)) − v,che è lineare in v dato che p(x+v)−p(x) lo è (e quindi è somma di funzioni lineari in v).q.e.d.(18.14) Nota. Se K = R oppure K = C (con la topologia metrica), allora ogni spaziovettoriale V ∼ = K n ha la topologia data dal prodotto. Quindi, se X è uno spazio affine conspazio vettoriale associato −→ X ∼ = K n , è possibile, fissato x 0 ∈ X, definire una topologia su Xtramite la biiezione −→ X → X definita dav ↦→ x 0 + v.Si può mostrare che la topologia non dipende dalla scelta di x 0 e che tutte le traslazioni sonoomeomorfismi. Quando non indicato altrimenti, uno spazio affine si intende munito dellatopologia di K n . In questo modo si può facilmente vedere che tutte le mappe affini sonocontinue, e che le affinità sono omeomorfismi. Tutti i sottospazi affini risultano chiusi (datoche sono controimmagini di 0 mediante mappe affini, cioè funzioni continue).70 19 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 19 maggio 2005 71Esercizi: foglio 11(11.1) Presi due punti p 1 e p 2 in uno spazio affine X, come osservato nella nota (16.8), si puòdefinire il puntop = λ 1 p 1 + λ 2 p 2ogni volta che λ 1 + λ 2 = 1. Consideriamo il caso in cui il campo K = R. Dimostrare cheil punto ottenuto ponendo λ 1 = λ 2 = 1/2 è il punto medio del segmento con estremi p 1 e p 2 ,cioè è tale che −→ p 1 p = −→ pp 2 .(11.2) Proseguendo con l’esercizio precedente (spazio affine con coefficienti reali), i punti delsegmento di estremi p 1 e p 2 possono essere definiti come tutti i punti per cui esistono λ 1 ≥ 0,λ 2 ≥ 0 tali che λ 1 + λ 2 = 1 ep = λ 1 p 1 + λ 2 p 2 .Dimostrare che ogni segmento è omeomorfo all’intervallo [0, 1] ⊂ R.(11.3) Dimostrare che se S ⊂ A n (R) è un sottospazio affine (proprio) e W un sottospaziocomplementare di −→ S in −→ X (cioè −→ S ⊕ W = −→ X ), allora se p indica la proiezione su S parallelaa W e r la riflessione rispetto a S parallela a W , allora per ogni x ∈ X il punto p(x) è il puntomedio del segmento con estremi x e r(x).(11.4) Dimostrare che la riflessione r rispetto ad un sottospazio affine S fissa tutti i punti diS (cioè, per ogni x ∈ S, r(x) = x).⎡ ⎤ ⎡ ⎤0 [ 1(11.5) Determinare, se esiste, la mappa affine A 3 (R) → A 2 (R) tale che ⎣0⎦ 0↦→ , ⎣0⎦ ↦→1]00[ 10],⎡ ⎤ ⎡ ⎤0 [ 1⎣1⎦ 1↦→ e ⎣1⎦ ↦→1]01[ 00].(11.6) Determinare una mappa affine A 2 (R) → A 2 (R) che sia zero solo sulla retta di equazionex = y.(11.7) ⎡ ⎤ ⎡ Si ⎤determinino ⎡ ⎤ le equazioni cartesiane del piano di A 3 (R) che passa per i tre punti1 1/2 1/3⎣0⎦,⎣1/2⎦,⎣1/3⎦.0 0 1/3(11.8) Dare un esempio di due rette sghembe in A 4 (R).in A 4 ? E due sottospazi di dimensione 3?È possibile trovare due piani sghembi(11.9) Trovare, se esistono, due piani paralleli di A 4 (C).(11.10) Esiste una retta r parallela alla retta di equazioni parametriche⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤x 1 x 0 0incidente alle due rette di equazioni ⎣y⎦ = t ⎣0⎦ e ⎣y⎦ = ⎣1⎦ + t ⎣0⎦?z 0 z 0 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤x 1⎣y⎦ = t ⎣1⎦ ez 1D.L. Ferrario 19 maggio 2005 71

72 19 maggio 2005 Geometria e Topologia I⎡ ⎤ ⎡ ⎤x 1(11.11) Si scriva l’equazione (cartesiana) della retta di A 3 (R) di equazione ⎣y⎦ = ⎣1⎦ +⎡ ⎤z 00t ⎣0⎦.1(11.12) Determinare la dimensione dell’intersezione dei due piani di A 4 (R) (con coordinatex 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) di equazioni{x 1 − x 3 = 1x 2 − x 4 = 1e⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤x 1 1 1 1⎢x 2⎥⎣x 3⎦ = ⎢1⎥⎣0⎦ + u ⎢1⎥⎣1⎦ + v ⎢0⎥⎣0⎦ .x 4 0 1 1(11.13) Scrivere le equazioni parametriche (del primo) e le equazioni cartesiane (del secondo)dei due piani dell’esercizio precedente (11.12).⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 1 1(11.14) Determinare il valore del parametro k per cui i tre punti di A 3 (R) ⎣1⎦,⎣k⎦,⎣1⎦.k 0 0sono allineati. Scrivere l’equazione della retta per questi tre punti in forma parametrica ecartesiana.*(11.15) Dimostrare che una affinità manda sottospazi paralleli in sottospazi paralleli, sottospaziincidenti in sottospazi incidenti, sottospazi sghembi in sottospazi sghembi. È vero ancheper una mappa affine?(11.16) Trovare una mappa affine A 3 (R) → A 2 (R) che manda due rette sghembe in due retteparallele. È possibile mandare due rette parallele in due rette incidenti e distinte? E in duerette coincidenti? Viceversa, è possibile mandare due rette incidenti in due rette parallele?⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤(11.17) Siano in A 3 (R) date le rette di equazioni: r 1 :x⎣y⎦ =z1 0⎣0⎦ + t ⎣1⎦, r 2 :0 0x⎣y⎦ =z⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤0 0 x 0 1⎣1⎦+t⎣0⎦ e r 3 : ⎣y⎦ = ⎣0⎦+t⎣0⎦. Quali di queste rette sono sghembe, parallele, incidenti?0 1 z 1 0Trovare una affinità A: A 3 (R) → A 3 (R) tale che A(r 1 ) = r 2 , A(r 2 ) = r 3 e A ( r 3 ) = r 1 .(11.18) Dimostrare che se f : X → Y è una mappa affine e T ⊂ Y un sottospazio affine diY , allora f −1 (T ) è un sottospazio affine di X (Vedi proposizione (17.12 )).72 19 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 25 maggio 2005 7319 Spazi affini euclidei(19.1) Definizione. Uno spazio vettoriale euclideo è uno spazio vettoriale E di dimensionefinita su campo R, munito di una forma bilineare definita positiva e simmetrica (cioè b: E ×E → R è simmetrica e bilineare, e ∀x ≠ 0, b(x, x) > 0). Scriviamo b(x, y) = 〈x, y〉 = x · y echiamiamo questo numero il prodotto scalare di x con y.(19.2) Definizione. La norma di un vettore x è definita da x = √ x · x.(19.3) Definizione. Se x · y = 0, allora x e y sono ortogonali. Un insieme di vettori{e 1 , e 2 , . . . , e n } ⊂ E si dice ortogonale se i suoi elementi sono a due a due ortogonali:∀i, j, i ≠ j =⇒ e i · e j = 0, e ortonormale se è ortogonale e in più i vettori hanno norma uno,cioè ∀i, |e i | = 1. Se l’insieme di vettori {e 1 , e 2 , . . . , e n } è una base per E, allora si dice che labase è ortogonale (risp. ortonormale) quando lo è come insieme di vettori.(19.4) Esempio. L’esempio standard di spazio vettoriale euclideo è E = R n , con il prodottoscalare canonico dato da⎡ ⎤ ⎡ ⎤x 1 y 1x 2〈 ⎢ ⎥⎣ . ⎦ , y 2n∑⎢ ⎥⎣ . ⎦ 〉 = x i y i .i=1x n y n(19.5) (Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare) Per ognix, y ∈ E si ha:|〈x, y〉|≤ |x||y||x + y| ≤ |x| + |y|.Quindi la distanza definita su E da d(x, y) = |x − y| è una metrica (che rende E spaziotopologico, con la topologia metrica).(19.6) (Formula del parallelogramma) Il prodotto scalare e la norma sono legate dalledue identità (equivalenti)|x + y| 2 = |x| 2 + |y| 2 + 2〈x, y〉〈x, y〉 = 1 2 (|x + y|2 − |x| 2 − |y| 2 ) .(19.7) Definizione. Uno spazio affine euclideo è uno spazio affine (X, −→ X ) per cui lo spaziodelle traslazioni (dei vettori) −→ X è uno spazio vettoriale euclideo. Un riferimento affine{A 0 , A 1 , . . . , A n } di X è ortonormale se ( −−−→ A 0 A 1 , −−−→ A 0 A 2 , . . . , −−−→ A 0 A n ) è una base ortonormale per−→ X . Allora X è uno spazio metrico con la metrica definita dadove la norma è la norma euclidea in −→ X .d(A, B) = | −→ AB|,(19.8) Definizione. Una isometria tra due spazi affini euclidei f : X → Y è una biiezioneche conserva le distanze: per ogni A, B ∈ X, |f(A) − f(B)| X = |A − B| Y (dove la norma | · | Xè la norma di X e la norma | · | Y è la norma di Y ).D.L. Ferrario 25 maggio 2005 73

74 25 maggio 2005 Geometria e Topologia I(19.9) Ogni spazio affine euclideo di dimensione n è isometrico allo spazio standard R n .Dimostrazione. Sia X uno spazio affine euclideo di dimensione n. Scelto un punto O ∈ X, siha la biiezione X ∼ = −→ X data dax ∈ X ↦→ −→ Ox ∈ −→ X .Ora, lo spazio vettoriale euclideo −→ X ha sicuramente una base ortonormale (per esempio, conil processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) {e 1 , e 2 , . . . , e n } ⊂ E, mediante la quale sipuò scrivere un isomorfismof : −→ X ∼ = R ndefinito da⎡ ⎤〈v, e 1 〉f(v) = ⎢〈v, e 2 〉⎥⎣ . . . ⎦〈v, e n 〉La composizione X → −→ X → R n è una isometria. Vediamo per prima cosa come è definita. Sex ∈ X, il vettore associato in −→ X è x − O, che viene mandato da f in⎡ ⎤〈x − O, e 1 〉f(x − O) = ⎢〈x − O, e 2 〉⎥⎣ . . . ⎦ .〈x − O, e n 〉Ora, presi x, y ∈ X, se definiamo per ogni i = 1, . . . , n i numeri x i = 〈x − O, w i 〉 e y i =〈y − O, w i 〉 , si ha chex − O =n∑x i e ii=1y − O =n∑y i e i ,i=1e quindi⎡ ⎤x 1x 2f(x − O) = ⎢ ⎥⎣ . ⎦ ∈ Rnx n⎡ ⎤y 1y 2f(y − O) = ⎢ ⎥⎣ . ⎦ ∈ Rny n74 25 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 25 maggio 2005 75da cui segue ched X (x, y) = |x − y|−→ X= |(x − O) − (y − O)|−→ Xn∑= | (x i − y i )e i |−→ Xi=1√n∑n∑= √〈 (x i − y i )e i , (x j − y j )e j 〉= √i=1j=1n∑(x i − y i )(x j − y j )〈e i , e j 〉i,j=1∑= √ n (x i − y i ) 2i=1= |f(x) − f(y)| R n = d R n(f(x), f(y)).q.e.d.(19.10) Siano X e Y spazi affini euclidei e f : X → Y una isometria (cioè una mappa taleche |f(x) − f(y)| Y = |x − y| X per ogni x, y ∈ X). Allora f è un isomorfismo affine (unatrasformazione affine invertibile).Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che f è una mappa affine, cioè, per la definizione(17.1), che per ogni x ∈ X la funzione indotta sugli spazi vettoriali sottostanti −→ X → −→ Ydefinita dav ∈ −→ X ↦→ f(x + v) − f(x) ∈ −→ Yè lineare. In realtà, per (17.5), basta farlo vedere per un solo x 0 ∈ X. Sia T : −→ X → −→ y lafunzione definita da T (v) = f(x 0 + v) − f(x 0 ). Per ipotesi si ha che per ogni v ∈ −→ X|v|−→ X= |(x 0 + v) − x 0 | X= |f(x 0 + v) − f(x 0 )| Y= |T (v)|−→ Y,e quindi la trasformazione T conserva la norma. Osserviamo anche che per v = 0 questoimplica che |T (0)| = 0, e quindi T (0) = 0 (dove qui con un abuso di notazione usiamo insimbolo 0 sia per indicare 0 X ∈ −→ X che 0 Y ∈ −→ Y . Se v, w ∈ −→ X sono due vettori, allora si hacioè|v − w|−→ X= |(x 0 + v) − (x 0 + w)| X= |f(x 0 + v) − f(x 0 + w)| Y= |f(x 0 + v) − f(x 0 ) + f(x 0 ) − f(x 0 + w)| Y= |T (v) − T (w)|−→ Y,|T (v) − T (w)| 2 = |v − w| 2 .Per la formula del parallelogramma (19.6), si ha quindi per ogni v, w ∈ −→ X2〈T (v), T (w)〉 = |T (v) − T (w)| 2 − |T (v)| 2 − |T (w)| 2= |v − w| 2 − |v| 2 − |w| 2= 2〈v, w〉,D.L. Ferrario 25 maggio 2005 75

76 25 maggio 2005 Geometria e Topologia Icioè T conserva anche il prodotto scalare (non solo la norma).Non rimane che finire dimostrando che T è lineare: siano a, b ∈ R due scalari e v, w ∈ −→ Xdue vettori. Allora, per ogni scelta di un terzo vettore e ∈ −→ X si ha〈T (av + bw), T (e)〉 = 〈av + bw, e〉= a〈v, e〉 + b〈w, e〉,ed anche〈aT (v) + bT (w), T (e)〉 = a〈T (v), T (e)〉 + b〈T (w), T (e)〉= a〈v, e〉 + b〈w, e〉,cioè per ogni e ∈ −→ X si ha〈T (av + bw), T (e)〉 = 〈aT (v) + bT (w), T (e)〉.Ora, dato che f è una biiezione, anche T lo è, per cui necessariamente deve essereT (av + bw) = aT (v) + bT (w),e quindi T è lineare. Per mostrare che è un isomorfismo, basta notare che è una biiezione, percui esiste l’inversa (che è naturalmente una isometria – vedi anche la definizione (17.6)). q.e.d.(19.11) Una isomorfismo affine f : X → Y è una isometria se e soltanto se l’applicazionelineare associata L: v ↦→ f(x + v) − f(x) è una trasformazione ortogonale (cioè unatrasformazione lineare che conserva la norma o, equivalentemente, il prodotto scalare).Dimostrazione. Nella dimostrazione della proposizione precedente (19.10) abbiamo di fattodimostrato anche che la trasformazione L associata ad una isometria conserva il prodottoscalare e le norme (abbiamo usato questa proprietà per mostrare che è lineare), e cioè che èuna trasformazione ortogonale. Viceversa, supponiamo che un isomorfismo affine f : X → Yabbia la proprità che la trasformazione lineare associata L sia ortogonale. Allora L(v − w) =L(v) − L(w) per ogni v, w ∈ −→ X , e quindi per ogni x = x 0 + v e y = x 0 + w in X si hacioè f è una isometria.|f(x) − f(y)| = |f(x 0 + v) − f(x 0 + w)|= |f(x 0 + v) − f(x 0 ) + f(x 0 ) − f(x 0 + w)|= |L(v) − L(w)|= |v − w|= |x 0 + v − (x 0 + w)|= |x − y|,q.e.d.(19.12) Proposizione. Le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono, scelti sistemi diriferimenti ortonormali, comex ↦→ Ax + b,dove A è una matrice ortogonale e b un vettore.Dimostrazione. Come la dimostrazione di (17.8) (esercizio (12.2)).(19.13) Le traslazioni sono isometrie.Dimostrazione. Vedi esercizio (12.3).q.e.d.q.e.d.76 25 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 26 maggio 2005 7720 Angoli e proiezioni ortogonali(20.1) Definizione. Con il prodotto scalare definito su uno spazio euclideo non solo si possonomisurare le distanze tra punti, e quindi in generale lunghezze, ma anche gli angoli (orientati)tra vettori, mediante la formulacos θ =〈v, w〉|v||w| .Questo consente di calcolare l’angolo, per esempio in A, di un triangolo ABC, moltiplicando(mediante prodotto scalare) i vettori −→ AB e −→ AC.(20.2) Nota. Ricordiamo che in uno spazio metrico X la distanza tra un punto p e unsottoinsieme S ⊂ X è definita con l’estremo inferiore delle distanze d(p, x), al variare di p inS. In particolare, se X è uno spazio euclideo, si può definire la distanza di un punto p ∈ X dauna retta, da un piano, . . . , da un sottospazio affine S ⊂ X proprio come l’estremo inferioredelle distanze tra punti di S e il punto p.(20.3) Definizione. Due sottospazi U, W di uno spazio vettoriale euclideo E si dicono ortogonalise per ogni u ∈ U, per ogni v ∈ V i vettori u e v sono ortogonali, cioè il prodottoscalare 〈u, v〉 è nullo.(20.4) Definizione. Sia S ⊂ E n un sottospazio affine di uno spazio affine euclideo congiacitura −→ S ⊂ R n . Sia W il complemento ortogonale di −→ S in R n , cioè l’unico sottospazioortogonale a −→ S tale che −→ S + W = R n (e in questo caso si scrive −→ S ⊕ W invece che −→ S + W ).Allora per ogni x ∈ E n si può definire la proiezione su S parallela al complemento ortogonaleW , seguendo la definizione (18.11)p S,W : E n → S.Questa proiezione si chiama proiezione ortogonale di E n su S ⊂ E n . Dal momento che ilcomplemento ortogonale W esiste ed è unico, la proiezione è unicamente determinata da S.(20.5) Sia r ⊂ E n una retta (sottospazio affine di dimensione 1) di uno spazio affine euclideocon giacitura −→ S = 〈v〉 ⊂ R n e A un punto di r. Allora la proiezione di un punto x ∈ E n sullaretta r si scrive come〈x − A, v〉p S (x) = A + v.〈v, v〉Dimostrazione. La proiezione di x su r è un punto Q di r per cui Q − r è ortogonale a r. Èfacile vedere che tale punto Q è unico (altrimenti si formerebbe un triangolo con due lati di90 ◦ ). Dobbiamo trovare un punto Q per cui〈x − Q, v〉 = 0e quindi, dato che Q = A + tv per un certo t ∈ R, tale che 〈x − (A + tv), v〉 = 0, ovveroMa allora per t =come annunciato.〈x − A, v〉〈v, v〉〈x − A, v〉 − t〈v, v〉.(v ≠ 0!) si ottiene il punto cercatop S (x) = Q = A +〈x − A, v〉v〈v, v〉q.e.d.D.L. Ferrario 26 maggio 2005 77

78 26 maggio 2005 Geometria e Topologia I(20.6) Definizione. Se p S è la proiezione ortogonale p S : E n → S ⊂ E n definita sopra, allorasi può definire come in (18.12) l’isometria (i.e. trasformazione ortogonale)r S : x ↦→ p S (x) + (p S (x) − x),chiamata riflessione attorno a S 14 . È una involuzione (cioè rS 2 è la trasformazione identica,l’identità) che fissa S.(20.7) Sia S ⊂ E n un sottospazio affine di uno spazio affine euclideo, e p ∈ E n un punto nondi S. Allora la distanza di p da S è uguale alla distanza di p dall’unico punto q di S per cuiil vettore p − q è ortogonale a S (cioè la proiezione ortogonale di p su S).Dimostrazione. Supponiamo che la distanza di p sulla sua proiezione q sia maggiore di quellatra p e un terzo punto A. Dal momento che −→ qp per definizione è ortogonale a S, è ortogonaleanche al vettore −→ qA, che appartiene a −→ S (dato che sia q che A appartengono a S). Ma allora,visto che −→ Ap = −→ Aq + −→ qp,d(A, p) 2 = | −→ Ap| 2= 〈 −→ Ap, −→ Ap〉= 〈 −→ Aq + −→ qp, −→ Aq + −→ qp〉= 〈 −→ Aq, −→ Aq〉 + 〈 −→ Aq, −→ qp〉 + 〈 −→ qp, −→ Aq〉 + 〈 −→ qp, −→ qp〉= | −→ Aq| 2 + 0 + 0 + | −→ qp| 2≥ | −→ qp| 2= d(q, p) 2 ,cioè q realizza la minima distanza (è facile vedere che il minimo si ottiene per | −→ Aq| 2 = 0, cioèquando A = q).q.e.d.Ripetendo la dimostrazione del teorema (17.10), si può dimostrare il seguente teorema:(20.8) Teorema. Se S ⊂ E n è un sottospazio affine passante per A, allora esiste un sottospaziovettoriale W ⊂ R n (il complemento ortogonale di −→ S in R n ) per cui i punti di S sonotutti e soli i punti x di E n tali che x − A è ortogonale a W . Se S è un iperpiano (cioè unsottospazio di dimensione n − 1 in E n ), allora la dimensione di W è 1, per cui i punti di Ssono tutti i punti tali che x − A è ortogonale ad un vettore fissato non nullo a di W (che sipuò chiamare vettore normale a S):S = {x ∈ E n : 〈x − A, a〉 = 0}.(20.9) Nota. Dato che 〈x − A, a〉 = 0 se e solo se 〈x, a〉 = 〈A, a〉, ritorniamo a vedere chel’equazione di un iperpiano èa 1 x 2 + a 2 x 2 + · · · + a n x n = b,dove b = 〈A, a〉. Per sottospazi generici (cioè non solo di dimensione n−1, basta prendere unabase del complemento ortogonale W (e questi saranno vettori ortogonali a S) e, nello stessomodo, scrivere S come luogo delle soluzioni di un sistema di equazioni.14 Di solito si chiama riflessione una trasformazione isometrica di questo tipo solo quando la dimensione diS è uguale a n − 1 – come se S fosse uno specchio. Per esempio, se S è un punto, quello che si trova è unainversione centrale, per cui la scelta del nome non sembrerebbe appropriata. Se S è un punto e n = 2 si ottienela rotazione di 180 ◦ .78 26 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 26 maggio 2005 79Esercizi: foglio 12*(12.1) Dimostrare che se {e 1 , e 2 , . . . , e n } sono un insieme di vettori ortogonali di uno spaziovettoriale euclideo E, allora sono linearmente indipendenti. È vero anche il viceversa (cioè chese si considerano n vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale euclideo E allorasono ortogonali)? (Suggerimento: se sono linearmente dipendenti allora si possono trovare ncoefficienti non tutti nulli λ 1 , λ 2 , . . . , λ n tali che λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + · · · + λ n e n = 0. Ma se λ i ≠ 0e si moltiplicano entrambi i membri per e i – con il prodotto scalare – si ottiene . . . . Per ilviceversa: in A 2 (R) trovare due vettori linearmente indipendenti ma non ortogonali.*(12.2) Dimostrare che le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono, scelti sistemi diriferimenti ortonormali, comex ↦→ Ax + b,dove A è una matrice ortogonale e b un vettore. (Suggerimento: come nella dimostrazione(17.8 ))(12.3) Dimostrare che le traslazioni di uno spazio euclideo sono isometrie.*(12.4) Determinare una formula per la proiezione ortogonale di uno spazio euclideo E n su unsuo sottospazio affine S di dimensione d < n, dato un punto di S e una base ortonormale per−→ S . (Suggerimanto: si veda la dimostrazione di (20.5 ), in cui si proietta su un sottospazio didimensione 1 – una retta. Proiettare sulle rette generate dagli elementi della base e sommare. . . )(12.5) Siano A, B, C ∈ E n tre punti di uno spazio euclideo. Dati altri tre punti A ′ , B ′ , C ′ ∈E n , dimostrare che esiste una isometria f : E n → E n tale che f(A) = A ′ , f(B) = B ′ ef(C) = C ′ se e solo se f conserva le distanze tra i punti, cioè|A ′ − B ′ | = |A − B|, |B ′ − C ′ | = |B − C|, |A ′ − C ′ | = |A − C|.⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 0(12.6) Siano A = ⎣0⎦, B = ⎣1⎦, C = ⎣0⎦ tre punti di E 3 . Esiste una isometria f : E 3 → E 30 0 1tale che f(A) = B, f(B) = C e f(C) = A? Se sì, quale (scriverla in forma matriciale)?(12.7) Siano r 1 e r 2 due rette di E 3 . Sotto quali condizioni esiste una isometria che mandar 1 in r 2 ?⎡ ⎤⎡ ⎤11(12.8) Calcolare la distanza tra il punto ⎣1⎦ di E 3 e il piano passante per ⎣2⎦ ortogonale al⎡ ⎤131vettore ⎣0⎦.0(12.9) Determinare un vettore ortogonale al piano di E 4 di equazionex 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5 = 0.D.L. Ferrario 26 maggio 2005 79

80 26 maggio 2005 Geometria e Topologia I*(12.10) Una similitudine f : E n → E n è una funzione che conserva i rapporti tra le distanze,cioè una funzione per cui esiste una costante k > 0 tale che |f(x) − f(y)| = k|x − y| per ognix, y ∈ E n . Dimostrare che le similitudini conservano gli angoli: se A, B, C ∈ E n sono tre punti,allora l’angolo tra B − A e C − A è uguale (a meno di orientazione) a quello tra f(B) − f(A)e f(C) − f(A).*(12.11) È vero che una similitudine, come definita nell’esercizio precedente (12.10), è sempreuna mappa affine? E una isometria? (Suggerimento: si veda la dimostrazione di (19.10 ))(12.12) Si consideri il piano affine euclideo E 2 . Dimostrare che ogni isometria del piano sipuò scrivere componendo un numero finito di riflessioni lungo rette. (Suggerimento: anche letraslazioni e le rotazioni si possono scrivere come composizione di due riflessioni lungo duerette . . . parallele oppure no . . . )(12.13) Dimostrare che se S ⊂ E n è un sottospazio e p S è la proiezione ortogonale p S : E n →S, allora la funzione f : E n → E n definita daf(x) = p S (x) + (p S (x) − x)è una isometria che fissa tutti e soli i punti di S (cioè tale che f(x) = x se e solo se x ∈ S).[ [ ] [ 0 1 0(12.14) Scrivere una isometria del piano che manda i punti , ad una distanza0]0 1]dall’origine di almeno 4 unità.[ ] [ [x1 0 1(12.15) Sia S la retta di equazione parametrica = +t in Ex 2 1]1]2 . Scrivere le equazionidella riflessione (ortogonale) di E 2 attorno a S.[ ] [ ] [ ]x1 p1 v1*(12.16) Sia S la retta di equazione parametrica = + t in Ex 2 p 2 v 2 . Determinare i2valori dei coefficienti a i,j e b i per cui la trasformazione affine[ ] [ ] [ ] [ ]x1 a1,1 a↦→1,2 x1 b1+x 2 a 2,2 x 2 b 2è la riflessione (ortogonale) attorno a S.a 2,1(12.17) Determinare tutte le isometrie del piano euclideo che fissano almeno un punto.(Suggerimento: usare (19.11 ) e trovare tutte le trasformazioni ortogonali di O(2).)(12.18) Dimostrare che ogni isometria del piano può essere scritta come la composizione dial più tre riflessioni (lungo rette). (Suggerimento: se A, B e C sono tre punti linearmenteindipendenti del piano, cioè non allineati, allora le immagini A ′ , B ′ e C ′ sono anch’esse trepunti non allineati del piano. Con una riflessione (quale?) si può mandare A in A ′ . Poi sipuò mandare B in B ′ riflettendo lungo una retta passante per A = A ′ , e quindi trovarsi conA = A ′ , B = B ′ . . . )80 26 maggio 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 1 giugno 2005 8121 Spazi proiettivi(21.1) Definizione. Sia V uno spazio vettoriale su campo K. Lo spazio proiettivo generatoda V (il proiettivizzato di V , denotato con P(V )), è il quoziente di V {0} con la relazionedi equivalenza v ∼ w ⇐⇒ ∃λ ∈ K ∗ = K {0} : w = λv. La dimensione di P(V ) è uguale adim(V ) − 1.(21.2) Esempio. L’esempio standard si ottiene considerando lo spazio vettoriale K n+1 didimensione n + 1. Il proiettivo associato si indica con P n (K) (dunque P n (R) e P n (C) indicanolo spazio proiettivo reale e complesso di dimensione n). Se K ha una topologia (metrica), cosìcome A n (K) ha la topologia generata da quella di K, anche P n (K) ha una topologia naturale:la topologia quoziente.(21.3) Nota. Osserviamo che la definizione (21.1) può essere data anche in termini di gruppidi trasformazioni: l’insieme degli scalari non nulli K ∗ = K {0} è un gruppo rispetto all’operazionedi moltiplicazione (gruppo moltiplicativo), che agisce su V {0} (moltiplicazione peruno scalare). Allora semplicemente il proiettivizzato P(V ) è uguale allo spazio delle K ∗ -orbiteP(V ) = V {0}/ K ∗.Se V ha dimensione 1, allora V ∼ = K e V {0} ∼ = K {0}; non è difficile vedere che quindiP(V ) è costituito da un elemento solo.(21.4) Nota. Una definizione equivalente di spazio proiettivo è la seguente: P(V ) è l’insiemedi tutti i sottospazi di dimensione 1 di V . Come esercizio, dimostrare che questa definizionecoincide con la definizione (21.1) (cioè che i due insiemi ottenuti sono in corrispondenzabiunivoca).(21.5) Definizione. Consideriamo lo spazio proiettivo P n (K) di dimensione n su campo K.Un punto di x ∈ K n+1 si scrive come (n + 1)-upla con coordinate x i ∈ K(x 0 , x 1 , . . . , x n ).Se x ≠ 0 (cioè non tutte le coordinate x i sono nulle), la classe di equivalenza di x si puòindicare con [x] ∈ P n (K). Le coordinate x i di x si chiamano coordinate omogenee, e si scrive[x] = [x 0 : x 1 : · · · : x n ](21.6) Siano p = [p 0 : p 1 : · · · : p n ] e q = [q 0 : q 1 : · · · : q n ] due punti di P n (K). Allora p = qse e solo se esiste λ ∈ K {0} tale che∀i = 0, . . . n, q i = λp i .Dimostrazione.È una conseguenza immediata della definizione (21.1).q.e.d.(21.7) La funzionej 0 : A n (K) → P n (K),definita da(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ↦→ [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ]D.L. Ferrario 1 giugno 2005 81

82 1 giugno 2005 Geometria e Topologia Iè iniettiva. La sua immagine èj 0 (A n (K)) = {[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ∈ P n (K) : p 0 ≠ 0},e si può definire l’applicazione inversa{[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ∈ P n (K) : p 0 ≠ 0} → A n (K)[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ↦→ ( p 1p 0, p 2p 0, . . . , p np 0).Dimostrazione. È ovvio che j 0 è ben definita. Per mostrare che è iniettiva, basta mostrare chel’applicazione definita sopra è la sua inversa (definita su {p 0 ≠ 0}). Infatti, la composizione(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ↦→ [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ] ↦→ ( x 11 , x 21 , . . . , x n1 )è chiaramente l’identità di A n (K), mentre la composizione[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ↦→ ( p 1p 0, p 2p 0, . . . , p np 0) ↦→ [1 : p 1p 0: p 2p 0: · · · : p np 0]è l’identità dato che esiste λ = p 0 ≠ 0, λ ∈ K {0} tale cheλ(1, p 1p 0, p 2p 0, . . . , p np 0) = (p 0 , p 1 , . . . , p n ).q.e.d.(21.8) Nota. È chiaro che avremmo potuto definire una funzione come la j 0 considerandonon la prima coordinata (p 0 ), ma una qualsiasi delle n + 1 coordinate di K n+1 . In questomodo possiamo “includere” lo spazio affine A n (K) nello spazio proiettivo P n (K) in almenon + 1 modi distinti. Più in generale, cambiando le coordinate in K n+1 e in A n (K) si possonotrovare infiniti modi di definire tale inclusione.(21.9) Definizione. Per ogni i = 0, . . . , n il sottoinsieme di P n (K) definito da{[p 0 : p 1 : · · · : p n ] ∈ P n (K) : p i ≠ 0}si chiama la i-esima carta affine, e si indica con il simbolo A n i (K). È il complementare delsottospazio definito dall’equazione p i = 0, che si dice iperpiano dei punti impropri, o puntiall’infinito. I punti della i-esima carta affine hanno, oltre che le coordinate omogenee, anchecoordinate affini relative a i, mediante l’applicazione inversa j −1[p 0 : p 1 : · · · : p n ] = [ p 0p i: · · · : p i−1p i: 1 : p i+1p ii :: · · · : p np i] ↦→ ( p 0p i, . . . , p i−1p ip i+1p i, . . . p np i)(21.10) Definizione. Sia V ⊂ K n+1 un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale K n+1 .Allora è ben definita l’inclusioneP(V ) ⊂ P n (K).Il sottospazio P(V ) ⊂ P n (K) si dice sottospazio proiettivo (o sottospazio lineare) di P n (K) didimensione dim(P(V )) = dim(V ) − 1.82 1 giugno 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 1 giugno 2005 83(21.11) Nota. I sottospazi di dimensione 0 si dicono punti, quelli di dimensione 1 rette, quellidi dimensione 2 piani, quelli di dimensione n − 1 (codimensione 1) iperpiani.(21.12) Proposizione. Se L è un sottospazio proiettivo di P n (K) di dimensione d, allora perogni carta affine A n i (K) ⊂ P n (K) l’intersezione A n i (K) ∩ L, se non vuota, è un sottospazioaffine di A n i (K) ∼ = A n (K) di dimensione d. Viceversa, per ogni sottospazio affine S ⊂ A n i (K)di dimensione d esiste un sottospazio proiettivo L ⊂ P n (K) di dimensione d tale che S =A n i (K) ∩ L.Dimostrazione. Sia V ⊂ K n il sottospazio vettoriale per cui P(V ) = L. Senza perdere ingeneralità, a meno di cambi di variabili, possiamo supporre che i = 0. Come abbiamo giànotato nella dimostrazione di (17.10), è sempre possibile scrivere V come luogo degli zeri diuna applicazione lineare (suriettiva) K n+1 → K n−d , cioè come sistema di n − d equazioni(omogenee e indipendenti) nelle n + 1 incognite (le coordinate di K n+1 , cioè le coordinateomogenee dello spazio proiettivo associato); quindi esiste una matrice (n − d) × (n + 1) (unafunzione lineare M : K n+1 → K n−d ) di rango n − d tale cheV = {v ∈ K n+1 : M(v) = 0}.L’intersezione A n 0(K) ∩ L è quindi l’insieme di tutti i punti [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ] di A n 0(K) taliche⎡ ⎤1x 1M(⎢x 2⎥⎣. . . ⎦ ) = 0.x nMa M è lineare, per cui si può scrivere (scelte le basi) come moltiplicazione di una matriceper un vettore, e quindi esistono coefficienti b i , a i,j tali che i punti di A n 0(K) ∩ L sono tutti esoli i punti di coordinate (x 1 , x 2 , . . . , x n ) tali che⎡ ⎤⎡⎤ 1 ⎡ ⎤b 1 a 1,1 a 1,2 . . . a 1,nb 2 a 2,1 a 2,2 . . . a 2,nx 10⎢⎣.. . . ..⎥x 2= ⎢ ⎥. ⎦ ⎢ ⎥ ⎣⎣ . ⎦0. ⎦b n−d a n−d,1 a n−d,2 . . . a n−d,n 0x nil che è equivalente a scrivere che⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤b 1 a 1,1 a 1,2 . . . a 1,n x 1 0b 2⎢ ⎥⎣ . ⎦ + a 2,1 a 2,2 . . . a 2,nx 2⎢⎣ . ...⎥ ⎢ ⎥. . ⎦ ⎣ . ⎦ = ⎢ ⎥⎣0. ⎦ .b n−d a n−d,1 a n−d,2 . . . a n−d,n x n 0L’insieme di soluzioni, se non vuoto, è uno spazio affine. Per verificare che si tratta di unospazio affine di dimensione d, basta osservare che il rango della matrice (a i,j ) è proprio n − d.Infatti, il rango della matrice (a i,j ) può essere uguale soltanto a n−d e n−d−1, dal momentoche la matrice (a i,j ) si ottiene cancellando la prima colonna della matrice completa (b i , a i,j )(che ha rango n − d per ipotesi). Ma se il rango è uguale a n − d − 1, allora il vettore (b i )D.L. Ferrario 1 giugno 2005 83

84 1 giugno 2005 Geometria e Topologia Inon è combinazione lineare dei vettori colonna di (a i,j ), e quindi il sistema non ha soluzioni.Quindi deve necessariamente essere uguale a n − d, e l’insieme di soluzioni ha dimensione d.Abbiamo dimostrato la prima parte della proposizione.Ora, supponiamo di avere un sottospazio affine S di dimensione d, e quindi l’insieme disoluzioni di Ax + b = 0. Proseguendo come sopra, ma al contrario, possiamo osservare che lamatrice M = (b i , a i,j ) ha rango n − d e che individua il sottospazio vettoriale V di dimensioned + 1 tale che P(V ) = L cercato.q.e.d.(21.13) Nota. Come segue da (21.12), lo spazio proiettivo P n (K) può essere pensato comel’unione di uno spazio affine A n 0(K) con coordinate [1 : x 1 : x 2 : · · · : x n ] più un iperpiano dipunti all’infinito (i punti impropri) di coordinate [0 : x 1 : x 2 : · · · : x n ]. I sottospazi proiettividi P n (K) sono quindi i sottospazi affini in A n 0(K) cui sono stati aggiunti i loro punti all’infinito.(21.14) Definizione. Se S ⊂ A n (K) è un sottospazio affine e A n (K) ∼ = A n i (K) ⊂ P n (K) èuna carta affine, il sottospazio proiettivo L ⊂ P n (K) tale che A n i (K)∩L = S della proposizioneappena dimostrata si dice il completamento proiettivo (o anche chiusura proiettiva) di L.(21.15) Esempio. Determiniamo la chiusura proiettiva e i punti all’infinito della retta S diA 2 (R) di equazione x 1 +x 2 = 1. Per prima cosa, aggiungendo una coordinata, scriviamo A 2 (R)come carta affine di P 2 (R), con coordinate [1 : x 1 : x 2 ]. Per trovare la chiusura proiettiva diS in P 2 (R) dobbiamo trovare una (sola) equazione lineare omogenea nelle coordinate [z 0 : z 1 :z 2 ], che definisca un sottospazio vettoriale di R 3 di dimensione 2 (che corrisponde alla rettaproiettiva L cercata). Cioèin modo tale cheb 1 z 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2 = 0b 1 · 1 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0sia l’equazione di S nella carta affine. Basta riscrivere l’equazione come−1 + x 1 + x 2 = 0,e quindi definire b 1 = −1, a 1 = 1, a 2 = 1. La retta proiettiva L ha quindi equazione−z 0 + z 1 + z 2 = 0nelle coordinate omogenee [z 0 : z 1 : z 2 ] di P 2 (R). I punti all’infinito sono le intersezioni di Lcon la retta impropria di equazione z 0 = 0, e quindi sono le soluzioni (omogenee) del sistema{−z 0 + z 1 + z 2 = 0z 0 = 0che ha come soluzione tutti l’unico punto di coordinate omogenee [0 : 1 : −1] (che possiamoscrivere come [0 : t : −t] per ogni con t ≠ 0).84 1 giugno 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 6 giugno 2005 8521.1 Isomorfismi proiettivi e proiettività(21.16) Definizione. Siano P(V ) e P(W ) due spazi proiettivi. Una funzione f : P(V ) →P(W ) si dice isomorfismo proiettivo se esiste un isomorfismo di spazi vettoriali F : V → Wtale che per ogni v ∈ V si ha f([v]) = [F (v)].V {0}P(V )F∼=fW {0} P(W )Si dice che F induce l’isomorfismo f e che P(V ) e P(W ) sono isomorfi. Se V = W (e quindiP(V ) = P(W ), allora un isomorfismo proiettivo si dice proiettività.(21.17) Nota. Due spazi vettoriali della stessa dimensione (su campo K) sono isomorfi, percui due spazi proiettivi sullo stesso campo e con la stessa dimensione sono isomorfi. Quindisenza perdere in generalità si può sempre pensare che uno spazio proiettivo su campo Ksia P n (K). Osserviamo anche che se λ ∈ K ∗ , allora gli isomorfismi F : V → W (di spazivettoriali) e λF inducono lo stesso isomorfismo proiettivo f : P(V ) → P(W ) – isomorfismivettoriali diversi possono indurre lo stesso isomorfismo proiettivo. Se indichiamo con GL(V )il gruppo di tutti gli isomorfismi dello spazio vettoriale V in sé e P GL(V ) il gruppo di tutte leproiettività di P(V ) in sé, si ha un omomorfismo (di gruppi) GL(V ) → P GL(V ) suriettivo (perdefinizione) ma non iniettivo. Si può dimostrare che il suo nucleo è proprio dato dall’insiemedi tutti i multipli di 1 V (identità di V ) del tipo λ1 V , con λ ∈ K ∗ .(21.18) Definizione. Si dice che sottoinsiemi S, S ′ ⊂ P n (K) sono proiettivamente equivalentise esiste una proiettività f : P n (K) → P n (K) tale che f(S) = S ′ .21.2 Incidenza e parallelismo(21.19) Definizione. Così come nella definizione (16.5), presi d + 1 punti [p 0 ], [p 1 ], . . . , [p d ]di P n (K) si può definire il sottospazio proiettivo generato dai punti stessi come l’insieme ditutte le combinazioni lineari[λ 0 p 0 + λ 1 p 1 + · · · + λ d p d ]con i coefficienti λ i ∈ K non tutti nulli. I punti [p i ] ∈ P n (K) si dicono linearmente dipendentise i corrispondenti vettori p i ∈ K n+1 sono linearmente dipendenti, e linearmente indipendentise lo sono i vettori.(21.20) Se S, T ⊂ P n (K) sono due sottospazi proiettivi e dim(S) + dim(T ) ≥ n, alloraS ∩ T ≠ ∅, cioè S e T sono incidenti.Dimostrazione. Siano V e W i due sottospazi vettoriali di K n tali che P(V ) = S ⊂ P(K n+1 )e P(W ) = T ⊂ P(K n+1 ). Per definizione si ha dim(S) = dim(V ) − 1, dim(T ) = dim(W ) − 1.Per la formula di Grassmann si ha dim(V + W ) + dim(V ∩ W ) = dim(V ) + dim(W ), e quindidim(V ) + dim(W ) − dim(V ∩ W ) ≤ n + 1 = dim(K n+1 ).D.L. Ferrario 6 giugno 2005 85

86 6 giugno 2005 Geometria e Topologia IDato che dim(S ∩ T ) + 1 = dim(V ∩ W ), i due sottospazi hanno punti in comune se e solo sedim(V ∩ W ) ≥ 1 (per la definizione di spazio proiettivo); inoltre, se dim(S) + dim(T ) ≥ n sihae quindi la tesi.dim(S ∩ T ) = dim(V ∩ W ) − 1≥ (dim V + dim W − n − 1) − 1= (dim S + 1 + dim T + 1 − n − 1) − 1≥ 0,q.e.d.(21.21) Corollario. Due rette distinte nel piano proiettivo P 2 (K) si incontrano sempre inun unico punto. Una retta e un piano che non la contiene, nello spazio proiettivo P 3 (K), siincontrano sempre in un unico punto.Dimostrazione. Per (21.20) in entrambi i caso l’intersezione non è vuota. A questo puntoosserviamo che esiste una unica retta (proiettiva) passante per due punti distinti di uno spazioproiettivo, per cui due rette non possono avere due punti in comune senza essere coincidenti.Per quanto riguarda la retta e il piano, si procede in modo analogo (vedere anche esercizi(13.12) e (13.15)). q.e.d.(21.22) Nello spazio proiettivo P n (K) comunque scelti n iperpiani, essi hanno almeno unpunto in comune.Dimostrazione. Di fatto si tratta di n sottospazi di K n+1 di dimensione n (codimensione 1),cioè di n equazioni (omogenee) nelle n + 1 coordinate di K n+1 . La dimensione dello spazio disoluzioni è sempre almeno 1.q.e.d.(21.23) Se H ⊂ P n (K) è un iperpiano e P un punto non in H, allora ogni retta passante perP incontra H esattamente in un punto.Dimostrazione. Sia H = P(V ) per il sottospazio vettoriale V ⊂ K n+1 . Dire che P = [p] ∈P n (K) non appartiene a H significa dire che il vettore (non nullo) p non appartiene a V . Sial una retta per P , cioè l = P(W ), con W ⊂ K n+1 sottospazio vettoriale di dimensione 2, eP = [p] ∈ l, cioè p ∈ W . Dato che la somma delle dimensioni dim(l) + dim(K) è esattamenten, per (21.20) la retta e l’iperpiano devono avere necessariamente almeno un punto in comune.Se ne avessero due distinti, risulterebbe che la dimensione dell’intersezione V ∩ W sarebbe≥ 2, e quindi W ⊂ V =⇒ l ⊂ H. Ma questo non può essere dato che P ∉ H (vedi ancheesercizio (13.15)).q.e.d.(21.24) Nota. Mediante (21.23) si può dimostrare che è possibile definire la proiezione proiettandonon solo parallelemante (come abbiamo visto fare per spazi affini e euclidei), maanche proiettando da un punto di P n (K). Vediamo come: se Q ∈ P n (K) è un punto fissatoe H e H ′ due iperpiani di P n (K) che non contengono Q, per ogni [x] ∈ H esiste una (unica)retta passante per [x] e per Q; questa retta interseca H ′ in un unico punto, che chiamiamof([x]). Abbiamo definito quindi una funzione f : H → H ′ (chiamata anche proiezione prospettica,o prospettiva, di H su H ′ ). È un isomorfismo proiettivo tra H e H ′ . Per mostrarequesto, osserviamo che H = P(V ) e H ′ = P(V ′ ) con V e V ′ sottospazi di K n+1 di dimensionen. La funzione f è un isomorfismo proiettivo se esiste F : V → V ′ lineare (isomorfismo dispazi vettoriali) che induce f. Ora, sia q ∈ K n+1 un vettore per cui [q] = Q. Dal momentoche q ∉ V ′ , si può scrivere K n+1 come somma (diretta) di sottospazi vettorialiK n+1 = 〈q〉 ⊕ V ′86 6 giugno 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 6 giugno 2005 87e di conseguenza si può definire la proiezione π : K n+1 → V ′ lungo la direzione del vettore q(meglio, del sottospazio vettoriale generato da q, di dimensione 1). La restrizione di π a V èanch’essa un omomorfismo di spazi vettoriali, e quindi lo è la composizione F : V → K n+1 →V ′ , che è un isomorfismo dato che q ∉ V . Non rimane che mostrare che per ogni x ∈ V si ha[F (x)] = f([x]). La retta per [x] e Q è il sottospazio (di dimensione 2) generato da x e da q. Èchiaro che la sua intersezione con V ′ coincide con la sua proiezione mediante π definita sopra(che proietta su V ′ ), dato che la proiezione è parallela a q e [q] = Q è un punto della retta (equindi del piano che stiamo considerando), cioè che l’intersezione è generata da F (x).(21.25) Nota. A patto di aggiungere i punti all’infinito, possiamo definire una proiezioneprospettica anche tra iperpiani affini (e quindi non sarà definita in alcuni punti degli iperpianiaffini).D.L. Ferrario 6 giugno 2005 87

88 6 giugno 2005 Geometria e Topologia IEsercizi: foglio 13(13.1) Dimostrare che la definizione (21.1) di spazio proiettivo come spazio delle orbite mediantel’azione del gruppo moltiplicativo del campo è equivalente (nel senso che gli insiemiottenuti sono in corrispondenza biunivoca) alla definizione della nota (21.4), cioè P(V ) èl’insieme di tutti i sottospazi di dimensione 1 di V .(13.2) Dimostrare che P 1 (R) è omeomorfo alla circonferenza S 1 .*(13.3) Dimostrare che P 1 (C) è omeomorfo alla sfera S 2 .*(13.4) Dimostrare che tutti gli spazi proiettivi P n (R) e P n (C), per n ≥ 1, sono compatti.(Suggerimento: invece che considerare lo spazio proiettivo come quoziente di R n+1 {0} conl’azione del gruppo moltiplicativo R ∗ , si può considerare il quoziente solo della sfera S n ⊂ R n+1di equazione x 2 0+x 2 1+· · ·+x 2 n, che è compatta . . . e quindi l’immagine di un compatto mediantela mappa (continua) quoziente è . . . )(13.5) Dimostrare che A 2 (R) è omeomorfo ad un disco aperto, e che quindi P 2 (R) si puòscrivere come unione disgiunta di un disco aperto (la carta affine) e la retta di punti all’infinito(che, siccome è omeomorfa a P 1 (R), è omeomorfa a una circonferenza S 1 ).(13.6) Dimostrare che ogni sottospazio proiettivo L ⊂ P n (K) di dimensione d è omeomorfoallo spazio proiettivo P d (K).(13.7) Si considerino i punti [1 : 2 : 3], [2 : 3 : 1] e [3 : 1 : 2] di P 2 (R). Dimostrare che nonsono allineati (cioè che non c’è una retta proiettiva che passa per i tre punti). Sono puntiimpropri per la carta affine {[1 : x : y] : x, y ∈ R} ⊂ P 2 (R)?(13.8) Si consideri il piano proiettivo P 2 (R) con carta affine A 2 (R) = {[1 : x : y]} comenell’esercizio precedente. Esiste una retta in A 2 (R) che ha come punti impropri [0 : 1 : 0] e[0 : 0 : 1]?(13.9) Dimostrare che ogni retta del piano affine ha uno e uno solo punto all’infinito, inqualsiasi chiusura proiettiva.(13.10) Dimostrare che due rette distinte del piano proiettivo P 2 (K) hanno sempre uno e unsolo punto in comune (e quindi non ci sono rette parallele).(13.11) Dimostrare che due rette parallele di A 2 (K) hanno lo stesso punto all’infinito inqualsiasi chiusura proiettiva di A 2 (K) (cioè dimostrare che due rette con punti all’infinitodistinti si devono incontrare).(13.12) Dimostrare che per due punti distinti di P n (K) passa e una sola retta (sottospazioproiettivo di dimensione 1).(13.13) Sia S ⊂ P n (K) il sottoinsieme di P n (K) definito come segue: presi in P n (K) d + 1punti [p 0 ], [p 1 ], . . . , [p d ], i punti di S sono quelli che si possono scrivere (in coordinate omogenee)come combinazioni lineari[λ 0 p 0 + λ 1 p 1 + · · · + λ d p d ]per certi coefficienti λ i ∈ K non tutti nulli. Dimostrare che S è un sottospazio proiettivo eche ogni sottospazio proiettivo di P n (K) si può scrivere in questo modo. (Vedi la definizione(21.19 ))88 6 giugno 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 6 giugno 2005 89(13.14) Dimostrare che il sottospazio (proiettivo) di P n (K) generato da d + 1 punti è il piùpiccolo sottospazio proiettivo che contiene tutti i d + 1 punti.(13.15) Dimostrare che esiste uno ed un unico sottospazio proiettivo di dimensione d chepassa per d + 1 punti di P n (K) linearmente indipendenti.(13.16) Dimostrare che una retta proiettiva è generata da due suoi punti distinti.(13.17) Dimostrare che se un sottospazio proiettivo S di P n (K) passa per d + 1 punti, alloraS contiene il sottospazio proiettivo generato dai d + 1 punti (cioè l’unico spazio proiettivo didimensione d dell’esercizio (13.15)).[ 1(13.18) Scrivere la proiezione prospettica con centro nel punto ∈ A1]2 (R), dalla retta diequazione {(x, y) ∈ A 2 (R) : y = 0} alla retta di equazione (x, y) ∈ A 2 (R) : x = 0}.(13.19) Si scriva in coordinate affini (rispetto ad una carta) la proiezione prospettica di P 2 (R)dove Q = [0 : 1 : 1], H = {[x 0 : x 1 : x 2 ] ∈ P 2 (R) : x 1 = 0} e H ′ = {[x 0 : x 1 : x 2 ] ∈ P 2 (R) : x 2 =0}. È una trasformazione affine di H in H′ ?(13.20) Determinare le equazioni omogenee (in P 2 (R)) della retta di A 2 (R) di equazionex + y = y − 1. Qual è il suo punto all’infinito?(13.21) Si considerino le rette di A 2 (R) di equazione y = x + b, con b ∈ R. Calcolare, alvariare di b, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.(13.22) Si considerino le rette di A 2 (R) di equazione y = mx, con m ∈ R, m ≠ 0. Calcolare,al variare di m, le coordinate (omogenee) del punto all’infinito della retta.*(13.23) Determinare le proiettività : P 2 (R) → P 2 (R) che fissano la retta (impropria) {x 0 = 0}(cioè ogni punto della retta impropria viene mandato in sé).(13.24) È possibile scrivere una traslazione di A2 (R) come restrizione ad una carta affine diuna proiettività di P 2 (R)?[ [ [ [ 0 1 0 0(13.25) Esiste una proiettività che manda i punti , , di una carta affine in ,[ [0]0]1]0]1 2e ?0]0]*(13.26) Sia A n (K) ⊂ P n (K) una carta affine e T : A n (K) → A n (K) una affinità. Determinare(in un sistema di riferimento fissato, se si crede) una proiettività P che manda A n (K) in sé(e quindi l’iperpiano dei punti impropri in sé) e che ristretta a A n (K) sia proprio uguale a T .(Suggerimento: Si scriva T come x ↦→ Ax + b per una matrice A e un vettore b. Nel cercare lamatrice F corrispondente della proiettività (che sarà una matrice (n + 1) × (n + 1)), si osservache se l’iperpiano dei punti impropri va in sé, allora la prima riga di F ha un solo termine nonzero . . . e a meno di moltiplicare F per una costante si può supporre questo termine uguale a1 . . . poi si utilizzano b e A per riempire la matrice. Provare cone matrici 3 × 3 all’inizio. )D.L. Ferrario 6 giugno 2005 89

90 8 giugno 2005 Geometria e Topologia I22 Coniche proiettive(22.1) Definizione. Sia K[x 0 , x 1 , . . . , x n ] l’anello dei polinomi nelle indeterminate (variabili)x 0 , x 1 , . . . , x n . Un polinomio di K[x 0 , x 1 , . . . , x n ] si dice omogeneo se tutti i suoi monomihanno lo stesso grado.(22.2) Nota. L’insieme costituito dal polinomio nullo e da tutti i polinomi omogenei di gradod fissato è uno spazio vettoriale rispetto alla somma di polinomi; una base è costituita da tuttii monomi (con coefficienti 1) di grado d. Per esempio, se d = 2 i seguenti monomi costituisconouna base:x 2 0, x 2 1, x 2 2, x 0 x 1 , x 0 x 2 , x 1 x 2 .(22.3) Un polinomio p(x 0 , x 1 , . . . , x n ) non nullo di K[x 0 , x 1 , x n ] è omogeneo di grado d se esolo se per ogni t ∈ K si hap(tx 0 , tx 1 , . . . , tx n ) = t d p(x 0 , x 1 , . . . , x n ).Dimostrazione. Se p è omogeneo, cioè somma di monomi di grado d, allora la proprietà è veradato che lo è per monomi di grado d. Viceversa, raggruppando i monomi dello stesso gradopossiamo scrivere p = f 0 + f 1 + f 2 + · · · + f l , dove ogni f i è omogeneo di grado i. Ma se perogni t ∈ K si ha p(tx) = t d p(x) (qui scriviamo x = (x 0 , x 1 , . . . , x n ) in forma vettoriale perbrevità), alloraf(tx) = f 0 (tx) + f 1 (tx) + f 2 (tx) + · · · + f l (tx) = f 0 (x) + tf 1 (x) + t 2 f 2 (x) + · · · + t l f l (x)t d f(x) = t d f 0 (x) + t d f 1 (x) + t d f 2 (x) + · · · + t d f l (x).Osserviamo che possiamo considerare f(tx) e t d f(x) come polinomi in K[t], considerando xcome coefficiente fissato. Ma i polinomif 0 (x) + tf 1 (x) + t 2 f 2 (x) + · · · + t l f l (x) = t d f 0 (x) + t d f 1 (x) + t d f 2 (x) + · · · + t d f l (x)coincidono se e soltanto se i coefficienti dei monomi (in t) con lo stesso grado coincidono:quindi deve essere che tutti gli f i sono zero tranne f d , cioè p = f d (ovvero, p è omogeneo digrado d).q.e.d.Consideriamo il piano proiettivo P 2 (K) reale (K = R) o complesso (K = C).(22.4) Definizione. Una conica di P 2 (K) è l’insieme delle soluzioni dell’equazione (dettaequazione della conica)f(x 0 , x 1 , x 2 ) = 0,dove f è un polinomio omogeneo a coefficienti in K di grado 2. 15(22.5) Esempio. Le seguenti sono equazioni omogenee (nelle coordinate omogenee [u : x : y])di coniche in P 2 (R):15 In molti testi si definisce l’insieme delle soluzioni come supporto della curva, mentre la curva è la classedi equivalenza del polinomio f costituita da f e da tutti i suoi multipli scalari – come per i punti dello spazioproiettivo. Questa definizione sarebbe più appropriata, perché tiene conto della molteplicità delle soluzioni, incasi degeneri, anche se accade che una conica possa ridursi ad un punto o all’insieme vuoto.90 8 giugno 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 8 giugno 2005 91(i) x 2 + y 2 = u 2 ;(ii) x 2 + y 2 − xu = xy;(iii) x 2 + xy − y 2 = ux;(22.6) Definizione. Due coniche C, C ′ ⊂ P 2 (K) sono proiettivamente equivalenti se esisteuna proiettività T : P 2 (K) → P 2 (K) tale che T (C) = C ′ .(22.7) Sia p(x) = 0 l’equazione di una conica in P 2 (K), con x = [x 0 : x 1 : x 2 ]. Allora esisteuna matrice 3 × 3 con coefficienti in K (unica – a meno di fattore scalare in K ∗ ) A = (a i,j )simmetrica tale che l’equazione della conica si scrive come p(x) = t xAx = 0, cioè⎡⎤ ⎡ ⎤[ ]a 0,0 a 0,1 a 0,2 x 0x0 x 1 x 2⎣a 1,0 a 1,1 a 1,2⎦ ⎣x 1⎦ = 0a 2,0 a 2,1 a 2,2 x 2Dimostrazione. Sia p(x) il polinomio omogeneo di grado 2 con coefficienti a, b, c, d, e, f in K,cioèp(x 0 , x 1 , x 2 ) = ax 2 0 + bx 2 1 + cx 2 2 + dx 0 x 1 + ex 0 x 2 + fx 1 x 2 .D’altro canto si ha⎡⎤t xAx = [ ]a 0,0 x 0 + a 0,1 x 1 + a 0,2 x 2x 0 x 1 x 2⎣a 1,0 x 0 + a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2⎦a 2,0 x 0 + a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2=x 0 (a 0,0 x 0 + a 0,1 x 1 + a 0,2 x 2 ) + x 1 (a 1,0 x 0 + a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 ) + x 2 (a 2,0 x 0 + a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 )=a 0,0 x 2 0 + a 0,1 x 0 x 1 + a 0,2 x 0 x 2 + a 1,0 x 0 x 1 + a 1,1 x 2 1 + a 1,2 x 1 x 2 + a 2,0 x 0 x 2 + a 2,1 x 1 x 2 + a 2,2 x 2 2=a 0,0 x 2 0 + a 1,1 x 2 1 + a 2,2 x 2 2 + (a 0,1 + a 1,0 )x 0 x 1 + (a 0,2 + a 2,0 )x 0 x 2 + (a 1,2 + a 2,1 )x 1 x 2Basta quindi porre a 0,0 = a, a 1,1 = b, a 2,2 = c, a 0,1 = a 1,0 = d/2, a 0,2 = a 2,0 = e/2 ea 1,2 = a 2,1 = f/2.q.e.d.(22.8) Definizione. La matrice simmetrica A della proposizione (22.7) si dice matrice associataalla equazione della conica.(22.9) Sia T : P 2 (K) → P 2 (K) una proiettività (isomorfismo proiettivo). Se p(x) = 0 èl’equazione della conica C, allora p(T −1 x) = 0 è l’equazione della conica T (C). La matriceassociata al polinomio omogeneo di secondo grado p(T −1 x) è uguale a t T −1 AT −1 , dove A è lamatrice associata al polinomio p(x).Dimostrazione. Ricordiamo che la proiettività si scrive come matrice 3 × 3 invertibile a coefficientiin K, per cui possiamo scrivere, semplificando, T (x) = T x e T −1 x = T −1 (x). SiaC ′ = {x = [x 0 : x 1 : x 2 ] ∈ P 2 (K) : p(T −1 x) = 0}. Osserviamo che se x ∈ C (cioè p(x) = 0), siha che p(T −1 T x) = 0, cioè T x è un punto di C ′ . In altre parole, T (C) ⊂ C ′ . AnalogamenteT −1 (C ′ ) ⊂ C, e quindi T (C) = C ′ . Sia A la matrice (simmetrica) associata a p(x), e quindip(x) = t xAx. Allora si hap(T −1 x) = t (T −1 x)AT −1 x= t x t T −1 AT −1 x.q.e.d.D.L. Ferrario 8 giugno 2005 91

92 8 giugno 2005 Geometria e Topologia I(22.10) Nota. Se T è una matrice in GL(3, K), segue dalla dimostrazione della proposizioneprecedente che le coniche di equazionit xAx = 0 t x t T AT x = 0sono proiettivamente equivalenti.Ricordiamo ora alcuni teoremi relativi alle matrici simmetriche con coefficienti in K (formebilineari simmetriche):(22.11) Ogni forma bilineare simmetrica A su K n è diagonalizzabile, cioè se A è una matricen × n simmetrica allora esiste una matrice M ∈ GL(n, K) tale che t MAM è diagonale.(22.12) Se K è algebricamente chiuso (per esempio K = C), per ogni forma bilineare simmetricaA esiste M ∈ GL(n, K) tale che t MAM è diagonale e gli elementi della diagonalesono tutti 1 oppure 0, cioèt MAM =[ ]Ir 00 0dove I r è la matrice identica r × r e il resto della matrice ha coefficienti nulli (r è il rango diA).(22.13) (Sylvester) Se K = R, per ogni forma bilineare simmetrica A esiste M ∈ GL(n, K)tale che t MAM è diagonale e gli elementi della diagonale sono tutti ±1 oppure 0, cioè⎡I p 0⎤0t MAM = ⎣ 0 −I r−p 0⎦0 0 0dove I p è la matrice identica p × p, I r−p analoga e il resto della matrice ha coefficienti nulli.22.1 Classificazione proiettiva delle coniche(22.14) Teorema (Forme canoniche su R). Consideriamo le seguenti equazioni di conichein P 2 (R):(i) x 2 0 + x 2 1 + x 2 2 = 0 (conica senza punti reali: ∅).(ii) x 2 0 + x 2 1 − x 2 2 = 0 (conica non degenere).(iii) x 2 0 + x 2 1 = 0 (conica degenere: un punto [0 : 0 : 1]).(iv) x 2 0 − x 2 1 = 0 (conica degenere: due rette x 0 = x 1 , x 0 = −x 1 ).(v) x 2 0 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti x 0 = 0, x 0 = 0).Ogni conica C ⊂ P 2 (R) è proiettivamente equivalente ad una e una sola delle coniche 1, 2, 3,4. 5.92 8 giugno 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 8 giugno 2005 93Dimostrazione. Abbiamo visto sopra che ogni conica nel piano proiettivo può essere riscritta,mediante una proiettività, come una delle coniche dell’elenco. Dobbiamo mostrare che nonsono proiettivamente equivalenti per stabilire l’unicità della forma canonica. È chiaro che la3 non è equivalente alle altre, dato che è formata da solo un punto mentre le altre hannoinfiniti punti. Dato che una proiettività porta rette in rette, 4 e 5 non sono equivalenti: altrimentila proiettività trasformerebbe una retta nell’unione di due rette distinte, cioè unaretta coinciderebbe con l’unione di due rette distinte. Per concludere la dimostrazione dobbiamodimostrare che la conica generica non è proiettivamente equivalente né ad una rettané all’unione di due rette (cioè che l’insieme delle soluzioni di una equazione con matrice nonsingolare non può essere proiettivamente equivalente all’insieme di soluzioni di una equazionecon matrice singolare). Mostriamo a questo scopo che l’intersezione di una retta con unaconica non degenere ha sempre solo al massimo un numero finito di punti. A meno di uncambio di coordinate x = x 0 + x 1 , y = x 0 − x 1 e z = x 2 possiamo supporre che l’equazionedella conica sia xy − z 2 = 0. L’equazione di una retta generica l in coordinate omogenee èax + by + cz = 0. Consideriamo la carta affine di coordinate [x : y : 1]. Se la retta l coincidecon la retta all’infinito (di equazione z = 0), allora le intersezioni sono i due punti [0 : 1 : 0]e [1 : 0 : 0]. Altrimenti, se assumiamo che l’intersezione tra la conica e la retta è compostada infiniti punti, allora ce ne sono infiniti nella parte affine dell’intersezione, dal momento chel’intersezione della conica con l e con la retta all’infinito è contenuta nell’intersezione di l conla retta all’infinito, che ha un punto solo. Ma nella carta affine le intersezioni sono le soluzionidel sistema di equazioni{xy = 1ax + by + c = 0con a oppure b diversi da zero. Questo può avere infinite soluzioni soltanto per a = b = c = 0,contro l’ipotesi.q.e.d.(22.15) Teorema (Forme canoniche su C). Consideriamo le seguenti equazioni di conichein P 2 (C):(i) x 2 0 + x 2 1 + x 2 2 = 0 (conica generica non degenere).(ii) x 2 0 + x 2 1 = 0 (conica degenere: due rette).(iii) x 2 0 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti x 0 = 0, x 0 = 0).Ogni conica C ⊂ P 2 (C) è proiettivamente equivalente ad una e una sola delle coniche 1, 2, 3.Dimostrazione. Dato che C è algebricamente chiuso, si può usare la classificazione delle formebilineari simmetriche su C di (22.12) per vedere che ogni conica di P 2 (C) è proiettivamenteequivalente ad una delle tre coniche dell’elenco (in funzione del rango della matrice associata).Poi si prosegue come nella dimostrazione della proposizione precedente (vedi anche esercizio(14.9)). q.e.d.D.L. Ferrario 8 giugno 2005 93

94 9 giugno 2005 Geometria e Topologia I23 Coniche affini e coniche euclideeSe C ⊂ P 2 (K) è una conica proiettiva (dove K = R oppure K = C) e A 2 0(K) è una cartaaffine di P 2 (K), allora l’intersezione C ∩ A 2 0(K) si dice conica affine, o anche parte affine (alfinito) della conica C. Se K = R e A 2 0(K) è anche euclideo, allora l’intersezione si dice conicaeuclidea. Il problema della classificazione è analogo a quello della classificazione proiettiva:diciamo che due coniche affini Γ e Γ ′ sono affinemente equivalenti (oppure, equivalenti dalpunto di vista affine) se esiste una affinità T : A 2 0(K) → A 2 0(K) tale che T (Γ) = Γ ′ .(23.1) Se T : A 2 0(K) → A 2 0(K) è una affinità, allora esiste una proiettività f : P 2 (K) → P 2 (K)che manda A 2 0(K) in A 2 0(K) (e la retta all’infinito nella retta all’infinito) tale che per ognix = (x 1 , x 2 ) ∈ A 2 0(K) si ha T (x) = f([1 : x 1 : x 2 ]). Viceversa, ogni proiettività che manda lacarta affine in sé induce (nello stesso modo) una affinità sulla carta affine.Dimostrazione. La trasformazione affine si scrive come[ ] [ ] [ ]x1 a1,1 a↦→1,2 x1+x 2 a 2,2 x 2a 2,1per certi coefficienti a i,j e b i . Ma questo si può scrivere, aggiungendo la terza coordinatax 0 = 1, anche come⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤1 1 0 0 1⎣x 1⎦ ↦→ ⎣b 1 a 1,1 a 1,2⎦ ⎣x 1⎦x 2 b 2 a 2,1 a 2,2 x 2⎡⎤1 0 0Se M è la matrice ⎣b 1 a 1,1 a 1,2⎦, si vede subito che è invertibile se e solo se A è invertibile, perb 2 a 2,1 a 2,2cui la matrice M induce una proiettività M : P 2 (K) → P 2 (K), che manda la retta all’infinito(di equazione x 0 = 0) in se stessa, e il piano A 2 0(K) = {[x 0 : x 1 : x 2 ] : x 0 ≠ 0} in sé. Viceversa,è facile vedere che una proiettività che manda la retta all’infinito in sé, in particolare devemandare i punti [0 : 1 : 0] e [0 : 0 : 1] nella retta all’infinito, per cui la matrice di unaproiettività di questo tipo si scrive come⎡⎤m 1,1 0 0⎣m 2,1 a 2,2 a 2,3⎦m 3,1 a 3,2 a 3,3Ma m 1,1 ≠ 0, altrimenti la matrice è singolare, e dato che la proiettività è definita a menodi una costante, si può supporre (dividendo per m 1,1 tutti i coefficienti m i,j ) senza perdere ingeneralità che m 1,1 = 1.q.e.d.(23.2) Teorema (Forme canoniche su affini reali). Consideriamo le seguenti equazionidi coniche in A 2 (R):(i) x 2 + y 2 − 1 = 0 (ellisse/circonferenza).(ii) x 2 − y 2 = 1 (iperbole).(iii) y − x 2 = 0 (parabola).94 9 giugno 2005 D.L. Ferrario[b1b 2]

Geometria e Topologia I 9 giugno 2005 95(iv) x 2 − y 2 = 0 (iperbole degenere: due rette secanti).(v) x 2 = 1 (parabola degenere: due rette parallele).(vi) x 2 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti).Ogni conica C ⊂ A 2 (R) con più di un punto è affinemente equivalente ad una e una sola delleconiche dell’elenco.Dimostrazione. Scriviamo l’equazione (affine) della conica comet xMx + 2 t bx + c = 0,dove M è una matrice simmetrica 2 × 2, b un vettore 2 × 1 e c uno scalare. Se cambiamovariabile mediante una affinità del tipo x = Ay (dove A è invertibile), allora l’equazione diventat y t AMAy + 2 t bAy + c = 0.Possiamo quindi diagonalizzare [ M mediante ] la matrice A (teorema di Sylvester), e supporrem1,1 0che M è diagonale M =. Tramite una traslazione del tipo y = v + z possiamo0 m 2,2poi trasformare l’equazione in( t v + t z)M(v + z) + 2 t b(v + z) + c = 0.t vMv + 2 t vMz + t zMz2 t bv + 2 t bz + c = 0t zMz2 t vMz + 2 t bz + t vMv + 2 t bv + +c = 0.Se det(M) ≠ 0 (cioè M è invertibile), basta prendere v tale che 2 t vM +2 t b = 0, per trasformarel’equazione int zMz t vMv + 2 t bv + +c = 0,cioè esistono tre costanti a 1 , a 2 e a 3 tali che l’equazione diventaa 1 z 2 1 + a 2 z 2 2 + a 3 = 0.Abbiamo mostrato che se det(M) ≠ 0 si può comunque diagonalizzare la matrice mediantetrasformazioni affini. Se invece det(M) = 0 (se M non è invertibile), potrebbe essere che nonesiste tale v. Dal momento che M è diagonale,t vM + t b = [ ] [ ]mv 1 v 1,1 02 + [ ]b0 0 1 b 2= [ ]m 1,1 v 1 + b 1 b 2quindi almeno è possibile trovare v per cui m 1,1 v 1 + b 1traslazione, si può scrivere come= 0: l’equazione quindi, dopo lam 1,1 x 2 1 + 2b 2 x 2 + c = 0.per una certa costante c. Ulteriori cambi di coordinate (tenendo conto che si possono prendereradici quadrate di numeri positivi) ci portano alla lista dell’enunciato.q.e.d.D.L. Ferrario 9 giugno 2005 95

96 9 giugno 2005 Geometria e Topologia I(23.3) Teorema (Forme canoniche su affini euclidee). Consideriamo le seguenti equazionidi coniche in E 2 , per a, b > 0:(i) x2 + y2a 2 b 2(ii) x2 − y2a 2 b 2= 1 (ellisse/circonferenza).= 1 (iperbole).(iii) y = ax 2 (parabola).Ogni conica C ⊂ A 2 (R) non degenere con più di un punto è isometrica (congruente) ad unae una sola delle coniche dell’elenco.Dimostrazione. Il procedimento è come quello della dimostrazione del teorema precedente,con la limitazione che si deve diagonalizzare M mediante trasformazioni ortogonali e chele similitudini non si possono più usare (si possono usare solo traslazioni e trasformazioniortogonali). I dettagli della dimostrazione si possono facilmente dedurre dal procedimentousato sopra (vedi esercizio (14.12)).q.e.d.(23.4) Nota. Supponiamo che A 2 (R) = A 2 0(R) ⊂ P 2 (R). Sia⎡⎤a 0,0 a 0,1 a 0,2M = ⎣a 1,0 a 1,1 a 1,2⎦a 2,0 a 2,1 a 2,2la matrice [ associata ] all’equazione di una conica affine, C il suo completamento proiettivo, ea1,1 aA =1,2il minore 2x2. Si può vedere che, mediante una trasfomazione affine, A vienea 2,1 a 2,2trasformata in A ′ = t T AT , per cui il segno e la nullità di det(A) vengono conservati. Si puòdimostrare (vedi esercizio (14.10) che se C è una conica non degenere allora⎧⎪⎨ det(A) = 0 se C è una paraboladet(A) < 0 se C è una iperbole⎪⎩det(A) > 0 se C è un’ellisseLo stesso vale per coniche euclidee.96 9 giugno 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 9 giugno 2005 97Esercizi: foglio 14*(14.1) Sia f : R → R una funzione derivabile e con derivata continua (C 1 ) tale che per uncerto k ∈ R ∀λ ∈ R, ∀x ∈ R, f(λx) = λ k f(x) (f è omogenea di grado k). Dimostrare chel’identità di Eulero è soddisfatta:∀x ∈ R, xf ′ (x) = kf(x).Scrivere una identità analoga per le derivate successive, per funzioni di classe C p omogenee digrado k. Dedurre che se f è omogenea di grado k e di classe C k allora f(x) = x k . Mostrareche la condizione di essere di classe C k è necessaria.(14.2) Dimostrare che non esiste una proiettività T : P 2 (K) → P 2 (K) che manda una retta rnell’unione di due rette distinte s, s ′ ⊂ P 2 (K), cioè T (r) = s ∪ s ′ .(14.3) Dimostrare che l’intersezione tra la conica di equazione xy = z 2 in P 2 (R) e la retta(generica) di equazione ax + by + cz = 0 è composta da 0, 1 oppure 2 punti.(14.4) Considerare la conica Γ in A 2 (R) di equazione y = x 2 . Sia C la chiusura proiettiva(aggiungendo una terza variabile z e omogeneizzando l’equazione) di Γ in P 2 (R). Determinarel’intersezione tra C e la retta all’infinito.*(14.5) Dimostrare che se una retta ha un solo punto di intersezione con una conica, allora ètangente. (Suggerimento: la definizione di tangente ad una curva in un punto è . . . )(14.6) Scrivere le equazioni di una proiettività che manda la conica di equazioni x 2 + y 2 = z 2nella conica di equazioni yz = x 2 .(14.7) Determinare se la conica di equazioneè degenere oppure no.x 2 + 5y 2 + 7z 2 + 8xy + 10xz + 11yz = 0*(14.8) Dimostrare che una conica e una retta in P 2 (C) hanno sempre almeno un punto diintersezione e non più di due punti di intersezione.(14.9) Dimostrare che le coniche di P 2 (C) di equazioni x 2 0 + x 2 1 + x 2 2 = 0, x 2 0 + x 2 1 = 0 e x 2 0 = 0non sono proiettivamente equivalenti. (Questo conclude la dimostrazione della classificazionedelle coniche di P 2 (C) (proposizione (22.15 )))*(14.10) Dimostrare che, a seguito della classificazione delle coniche affini reali (23.2), unaconica non degenere è parabola, ellisse o iperbole a seconda che la matrice 2x2 ottenutaconsiderando la parte omogenea di secondo grado dell’equazione ha determinante det(A) = 0,det(A) > 0 oppure det(A) < 0, e che è degenere se e solo se il determinante della matriceassociata è 0.(14.11) Dimostrare che ogni conica affine si può scrivere con l’equazionet xMx + 2 t bx + c = 0,dove M è una matrice simmetrica 2 × 2, b un vettore 2 × 1 e c uno scalare.D.L. Ferrario 9 giugno 2005 97

98 9 giugno 2005 Geometria e Topologia I*(14.12) Completare i dettagli della dimostrazione del teorema (23.3): ogni conica non degenerein E 2 è isometrica ad una conica tra le seguenti:(i) x2 + y2a 2 b 2(ii) x2 − y2a 2 b 2= 1 (ellisse/circonferenza).= 1 (iperbole).(iii) y = ax 2 (parabola).(14.13) Determinare se la conica di equazione20x 2 − 12xy + 5y 2 − 1 = 0è degenere, e se non lo è determinare di quale tipo si tratti (iperbole,ellisse,parabola).(14.14) Scrivere l’equazione della conica seguente in forma canonica:16xy + 8x − 8y 2 = 4y + 1(14.15) Scrivere l’equazione della conica seguente in forma canonica:5y + y − 4x 2 − 4xy − y 2 = 1*(14.16) Siano F 1 e F 2 due punti di E 2 . Determinare il luogo di punti P tali che la sommadelle distanze |P − F 1 | + |P − F 2 | è costante (i due punti si dicono fuochi). (Suggerimento:basta considerare il caso in cui F 1 e F 2 giacciono su uno degli assi, e il loro punto medio èl’origine. Allora le coordinate . . . )*(14.17) Siano F 1 e F 2 due punti di E 2 (detti fuochi). Determinare il luogo di punti P taliche la differenza delle distanze |P − F 1 | − |P − F 2 | è costante.*(14.18) Sia F un punto di E 2 , d una retta (chiamata direttrice) non passante per F e e unacostante positiva. Determinare il luogo di tutti i punti di E 2 tali che il rapporto della distanzatra punto e F con la distanza tra il punto e d è uguale alla costante e (chiamata eccentricità).Studiare, al variare di e, il tipo della curva ottenuta. (Suggerimento: prendendo un opportunosistema di riferimento, si può assumere che la retta d e il punto F abbiano coordinate . . . Poiosservare che se l’eccentricità è 1 per la parabola, < 1 per l’ellisse e > 1 per l’iperbole).(14.19) Calcolare le coordinate dei fuochi e l’eccentricità della conica di equazione x29 + y216 =1.(14.20) Determinare l’intersezione della conica di equazionecon la retta di equazione x + y = −1.x 2 + xy + y 2 + x + y + 1 = 0(14.21) Sia y = x 2 la parabola di A 2 (R). Nella chiusura proiettiva, quante sono le intersezionidella parabola con la retta all’infinito? E per l’iperbole?*(14.22) È possibile distinguere tra una ellisse e una iperbole in A2 (C)? Come si potrebberodefinire?98 9 giugno 2005 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 99Riferimenti bibliograficiTesti consigliati[1] Carlos R. Borges: Elementary Topology and Applications, World Scientific, 2000.[2] V.Checcucci, A.Tognoli, E.Vesentini, Lezioni di topologia generale, Feltrinelli, 1977.[3] H.S.M.Coxeter: Introduction to geometry. John Wiley and Sons, 1961, 1969, 1989.[4] D.Hilbert and S.Cohn-Vossen: Geometry and the Imagination, Chelsea, 1952.[5] M.Nacinovich: Elementi di geometria analitica. Serie di matematica e fisica, 1996.[6] E.Sernesi, Geometria, vol.I-II. Bollati–Boringhieri, 1991,1994,2000.[7] M.I.Stoka, Corso di Geometria. Cedam, 1995.Approfondimenti[8] Bredon, G.E.: Topology and Geometry, Springer, 1993.[9] Conforto, F. and Benedicty, M.: Introduzione alla topologia, Roma (1960), pag. 82.[10] Dieudonné, J: Algebra lineare e geometria elementare. Feltrinelli, 1970.[11] Enriques, F.: Lezioni di geometria proiettiva. Zanichelli, 1996. (Ripr. anast. dell’ed:Zanichelli, 1904).[12] Hilbert, D. e Cohn–Vossen, S.: Geometria intuitiva: complemento: I primi fondamentidella topologia, di Pavel Sergevic Aleksandrov/ Davide Hilbert e Stefan Cohn–Vossen.Bollati Boringhieri, 2001.[13] Janich, K.: Topologia, Zanichelli, 1994.[14] Kosniowski, C.: Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, 1988.[15] Singer, I.M. and Thorpe, J.A.: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry,Springer, 1967. Traduzione in italiano: Lezioni di topologia elementare e di geometria,Boringhieri, 1980.[16] Stoll, Robert R.: Set theory and logic, (1961).D.L. Ferrario 99

Indice analiticoAaccumulazionepunto di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)affinespazio:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 59 (11 maggio 2005)affinità: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 68 (18 maggio 2005)allineatipunti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 65 (12 maggio 2005)angoli: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 83 (26 maggio 2005)apertafunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)apertidi una topologia: . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)disgiunti:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 43 (20 aprile 2005)apertodi uno spazio metrico:. . . . . . . . . .pag. 8 (9 marzo 2005)arco: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 45 (20 aprile 2005)assiomadelle parallele: . . . . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)assiomidel campo dei numeri reali: . . pag. 28 (31 marzo 2005)di gruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)di Kuratowski:. . . . . . . . . . . . . . .pag. 19 (17 marzo 2005)di una topologia: . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)associativaoperazione:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 49 (27 aprile 2005)automorfismoaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 68 (18 maggio 2005)azioneantipodale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 55 (28 aprile 2005)di gruppi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52 (28 aprile 2005)di un gruppo topologico: . . . . . pag. 53 (28 aprile 2005)pag. 59 (11 maggio 2005)fedele:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 52 (28 aprile 2005)transitiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52 (28 aprile 2005)Bbaricentro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 64 (12 maggio 2005)basedi una topologia: . . . . . . . . . . . . pag. 17 (17 marzo 2005)Bolzano-Weierstrass: . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 33 (6 aprile 2005)bottigliadi Klein: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 38 (7 aprile 2005)Ccammino:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 45 (20 aprile 2005)campo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)degli scalari: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)dei coefficienti: . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)ordinato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)Cantor, G.:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 5 (7 marzo 2005)carta affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 89 (1 giugno 2005)Cauchysuccessione di: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)Cauchy-Schwartz: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)Chasles, M.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 60 (11 maggio 2005)chiusafunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)chiusiinsieme dei:. . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 14 (16 marzo 2005)chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)di uno spazio topologico:. . . . .pag. 17 (17 marzo 2005)e limitato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 35 (7 aprile 2005)insieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)chiusura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)pag. 17 (17 marzo 2005)dei razionali in R:. . . . . . . . . . . .pag. 26 (24 marzo 2005)di un sottogruppo: . . . . . . . . . . . pag. 55 (28 aprile 2005)proiettiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 91 (1 giugno 2005)circonferenza:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 102 (9 giugno 2005)pag. 104 (9 giugno 2005)classificazionedelle coniche affini: . . . . . . . . . . pag. 105 (9 giugno 2005)delle coniche affini euclidee: . pag. 104 (9 giugno 2005)delle coniche affini reali: . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)proiettiva delle coniche: . . . . . pag. 100 (8 giugno 2005)clopen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 43 (20 aprile 2005)cofattoridi una matrice:. . . . . . . . . . . . . . .pag. 50 (27 aprile 2005)compattezzadegli intervalli chiusi di R: . . . . . pag. 36 (7 aprile 2005)degli spazi proiettivi: . . . . . . . . . pag. 96 (6 giugno 2005)compattoinsieme di R: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)per successioni:. . . . . . . . . . . . . . . .pag. 33 (6 aprile 2005)spazio topologico:. . . . . . . . . . . .pag. 29 (31 marzo 2005)complementare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)di un aperto: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)di un chiuso:. . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 14 (16 marzo 2005)complemento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)complemento ortogonale: . . . . . . . . . pag. 83 (26 maggio 2005)completezza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 39 (14 aprile 2005)(non) dei numeri razionali: . . . pag. 40 (14 aprile 2005)dei numeri reali:. . . . . . . . . . . . . .pag. 40 (14 aprile 2005)di Dedekind:. . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28 (31 marzo 2005)componenticonnesse:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 45 (20 aprile 2005)pag. 47 (21 aprile 2005)composizionedi funzioni continue: . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)congiunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)conica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 98 (8 giugno 2005)affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)degenere:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 100 (8 giugno 2005)doppiamente degenere: . . . . . . pag. 100 (8 giugno 2005)euclidea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)non degenere: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 100 (8 giugno 2005)senza punti reali: . . . . . . . . . . . . pag. 100 (8 giugno 2005)connessione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 43 (20 aprile 2005)degli intervalli: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 47 (21 aprile 2005)dei numeri razionali: . . . . . . . . . pag. 47 (21 aprile 2005)di R n :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 45 (20 aprile 2005)connessione per archidegli aperti connessi di R n :. . .pag. 46 (20 aprile 2005)di uno spazio connesso:. . . . . . .pag. 46 (20 aprile 2005)connesso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 43 (20 aprile 2005)per archi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 45 (20 aprile 2005)connettivi logici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)continuità: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)di funzioni su spazi metrici: . . . . pag. 9 (9 marzo 2005)di una funzione tra spazi topologici:pag. 22 (23 marzo2005)contrimmaginedi aperti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 9 (9 marzo 2005)controimmagine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)di un chiuso:. . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 15 (16 marzo 2005)di un intorno circolare: . . . . . . . . . pag. 8 (9 marzo 2005)di un sottospazio affine:. . . . .pag. 77 (19 maggio 2005)coordinate omogenee: . . . . . . . . . . . . . . pag. 88 (1 giugno 2005)coppie ordinate: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)DDedekind:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28 (31 marzo 2005)pag. 57 (5 maggio 2005)determinante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 50 (27 aprile 2005)diagonalizzabilitàdi una matrice simmetrica: . . pag. 100 (8 giugno 2005)100

Geometria e Topologia I 101dimensione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 65 (12 maggio 2005)dipendentipunti di uno spazio affine: . . pag. 65 (12 maggio 2005)direttricedi una conica: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 106 (9 giugno 2005)disgiunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)esclusiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)distanza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)di un punto da un sottoinsieme: . . .pag. 83 (26 maggio2005)minima da un piano:. . . . . . . .pag. 84 (26 maggio 2005)disuguaglianzatriangolare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)disuguaglianza triangolare: . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)eccentricitàdi una conica: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 106 (9 giugno 2005)elemento neutro:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 49 (27 aprile 2005)ellisse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)pag. 104 (9 giugno 2005)enunciato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)proprietà di un: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)equazioneomogenea:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 91 (1 giugno 2005)omogenea di una conica:. . . . . .pag. 98 (8 giugno 2005)omogeneizzata: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 91 (1 giugno 2005)equazionicartesiane: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 70 (18 maggio 2005)parametriche: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 70 (18 maggio 2005)equivalentimetriche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 11 (9 marzo 2005)equivalenzaaffine di coniche: . . . . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)proiettiva: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)proiettiva di coniche: . . . . . . . . . pag. 99 (8 giugno 2005)relazione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)Erlangenprogramma di:. . . . . . . . . . . . . .pag. 59 (11 maggio 2005)espressioniequivalenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)logiche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)estremoinferiore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 32 (31 marzo 2005)pag. 43 (20 aprile 2005)inferiore delle distanza: . . . . . pag. 83 (26 maggio 2005)superiore:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 32 (31 marzo 2005)pag. 43 (20 aprile 2005)Euclidequinto postulato: . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)Eulero: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)identità di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 105 (9 giugno 2005)Fforma bilineare: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)forme canonichedi coniche: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 100 (8 giugno 2005)di coniche affini euclidee: . . . . pag. 104 (9 giugno 2005)di coniche affini reali: . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)formuladi Grassmann: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)formula del parallelogramma: . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)funzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)aperta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)caratteristica:. . . . . . . . . . . . . . . .pag. 20 (17 marzo 2005)chiusa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)continua: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)pag. 16 (17 marzo 2005)fuochidi una conica: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 106 (9 giugno 2005)EGgiacituradi un sottospazio affine:. . . . .pag. 63 (12 maggio 2005)Grassmann: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)formula di: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 73 (19 maggio 2005)gruppo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)delle rotazioni del piano: . . . . . pag. 54 (28 aprile 2005)delle rotazioni dello spazio: . . . pag. 54 (28 aprile 2005)delle simmetrie di un quadrato: . . . . . pag. 56 (28 aprile2005)lineare:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 50 (27 aprile 2005)pag. 55 (28 aprile 2005)ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 50 (27 aprile 2005)speciale ortogonale: . . . . . . . . . . pag. 50 (27 aprile 2005)topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)pag. 59 (11 maggio 2005)HHausdorff: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)Heine-Borel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 33 (6 aprile 2005)identificazionedi punti in uno spazio topologico: . . pag. 24 (24 marzo2005)identitàdi Eulero: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 105 (9 giugno 2005)immaginedi un compatto: . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)pag. 30 (31 marzo 2005)di un connesso:. . . . . . . . . . . . . . .pag. 44 (20 aprile 2005)di un intervallo chiuso:. . . . . . .pag. 28 (31 marzo 2005)di una rette con una mappa affine: pag. 71 (18 maggio2005)implicazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)doppia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)incidenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)indipendentipunti di uno spazio affine: . . pag. 65 (12 maggio 2005)insieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)aperto:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 8 (9 marzo 2005)chiuso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)delle parti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)vuoto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)pag. 9 (9 marzo 2005)insiemicomplemento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)disgiunti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)inclusionedi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)intersezione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)prodotto cartesiano:. . . . . . . . . . . .pag. 6 (7 marzo 2005)unione di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)interno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 8 (9 marzo 2005)intersezionedi aperti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 9 (9 marzo 2005)di insiemi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)di intorni:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 8 (9 marzo 2005)di rette proiettive: . . . . . . . . . . . . pag. 94 (6 giugno 2005)finita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 32 (31 marzo 2005)intervalliconnessione degli: . . . . . . . . . . . . pag. 43 (20 aprile 2005)nella retta reale: . . . . . . . . . . . . . pag. 20 (17 marzo 2005)intervallodi razionali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 35 (6 aprile 2005)in un insieme ordinato: . . . . . . . pag. 43 (20 aprile 2005)semiaperto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 47 (21 aprile 2005)intornicircolari, base: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 17 (17 marzo 2005)intorno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 8 (9 marzo 2005)circolare:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 7 (9 marzo 2005)in uno spazio topologico:. . . . .pag. 16 (17 marzo 2005)inversioneID.L. Ferrario 101

102 Geometria e Topologia Iin un gruppo topologico: . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)involuzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 84 (26 maggio 2005)iperbole:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 102 (9 giugno 2005)pag. 104 (9 giugno 2005)iperpiani affini:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 63 (12 maggio 2005)iperpianodei punti impropri: . . . . . . . . . . . pag. 89 (1 giugno 2005)proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 90 (1 giugno 2005)isometria: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 79 (25 maggio 2005)come trasformazione affine: . pag. 80 (25 maggio 2005)isomorfismoaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 68 (18 maggio 2005)proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)KKlein: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)bottiglia di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 38 (7 aprile 2005)Kuratowski:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 19 (17 marzo 2005)lateralidi un sottogruppo: . . . . . . . . . . . pag. 55 (28 aprile 2005)linearefunzione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 68 (18 maggio 2005)linearmente dipendenti: . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)logicabivalente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)dei predicati:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 3 (7 marzo 2005)LMMöbiusnastro di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)pag. 38 (7 aprile 2005)maggiorante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 32 (31 marzo 2005)mappadiagonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 26 (24 marzo 2005)tra spazi topologici:. . . . . . . . . .pag. 22 (23 marzo 2005)massimodi una funzione continua: . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)pag. 37 (7 aprile 2005)matriceassociata ad una conica: . . . . . . pag. 99 (8 giugno 2005)matriciinvertibili:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 50 (27 aprile 2005)metrica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)p-adica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 11 (9 marzo 2005)discreta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 11 (9 marzo 2005)esempi di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 11 (9 marzo 2005)euclidea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 11 (9 marzo 2005)prodotto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 39 (14 aprile 2005)metricheequivalenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 10 (9 marzo 2005)metrizzabile: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)pag. 32 (31 marzo 2005)spazio topologico:. . . . . . . . . . . .pag. 19 (17 marzo 2005)minimodi una funzione continua: . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)pag. 37 (7 aprile 2005)minorante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 32 (31 marzo 2005)Nnastrodi Möbius: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)pag. 38 (7 aprile 2005)negazione:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 2 (7 marzo 2005)norma:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 78 (25 maggio 2005)numeri reali:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 42 (14 aprile 2005)Oomeomorfismo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)operazionebinaria: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)orbita:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 52 (28 aprile 2005)orecchinidelle Hawaii:. . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 27 (24 marzo 2005)ortogonali: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)ortonormale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)Ppalla: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)parabola: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)pag. 104 (9 giugno 2005)parallelisottospazi affini: . . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)parallelogrammaformula del: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)parteaffine di un sottospazio proiettivo: . . pag. 90 (1 giugno2005)affine di una conica: . . . . . . . . . pag. 102 (9 giugno 2005)partiinsieme delle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)pianoaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 63 (12 maggio 2005)proiettivo:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 90 (1 giugno 2005)proiettivo reale: . . . . . . . . . . . . . . pag. 96 (6 giugno 2005)piano proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 25 (24 marzo 2005)pag. 38 (7 aprile 2005)polinomioomogeneo:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 98 (8 giugno 2005)prodottocartesiano di insiemi:. . . . . . . . . . .pag. 6 (7 marzo 2005)di matrici: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 50 (27 aprile 2005)di spazi connessi: . . . . . . . . . . . . . pag. 45 (20 aprile 2005)di spazi metrici: . . . . . . . . . . . . . . pag. 39 (14 aprile 2005)in un gruppo topologico: . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)prodotto scalare: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 78 (25 maggio 2005)proiettività: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 93 (6 giugno 2005)proiettivizzato: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 88 (1 giugno 2005)proiezionedi uno spazio affine su un sottospazio: . . . . pag. 73 (19maggio 2005)ortogonale: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 83 (26 maggio 2005)prospettica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 94 (6 giugno 2005)pag. 97 (6 giugno 2005)stereografica: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 23 (23 marzo 2005)sullo spazio delle orbite: . . . . . . pag. 56 (28 aprile 2005)sullo spazio quoziente: . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)proiezioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 23 (23 marzo 2005)proposizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)puntiall’infinito di uno spazio proiettivo: . pag. 89 (1 giugno2005)di uno spazio affine: . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)di uno spazio proiettivo: . . . . . . pag. 90 (1 giugno 2005)impropri di uno spazio proiettivo:. . .pag. 89 (1 giugno2005)puntodi accumulazione:. . . . . . . . . . . .pag. 14 (16 marzo 2005)pag. 17 (17 marzo 2005)di uno spazio metrico:. . . . . . . . . .pag. 7 (9 marzo 2005)interno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 8 (9 marzo 2005)pag. 16 (17 marzo 2005)limite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 14 (16 marzo 2005)pag. 17 (17 marzo 2005)medio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 76 (19 maggio 2005)Qquantificatoreesistenziale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 4 (7 marzo 2005)univerale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 3 (7 marzo 2005)quantificatori: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 3 (7 marzo 2005)102 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 103quinto postulato di Euclide: . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)Rrelazionedi equivalenza:. . . . . . . . . . . . . . .pag. 24 (24 marzo 2005)pag. 48 (21 aprile 2005)restrizionedi funzioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)reticolodegli interi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 54 (28 aprile 2005)retrazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 27 (24 marzo 2005)rettaaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 61 (11 maggio 2005)tangente ad una conica: . . . . . pag. 105 (9 giugno 2005)retteparallele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 61 (11 maggio 2005)proiettive: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 90 (1 giugno 2005)riferimentoaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 65 (12 maggio 2005)ortonormale:. . . . . . . . . . . . . . . .pag. 86 (26 maggio 2005)riflessione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 84 (26 maggio 2005)parallela ad un sottospazio affine: . pag. 74 (19 maggio2005)riflessionilungo rette: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 55 (28 aprile 2005)rotazionigruppo delle: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 54 (28 aprile 2005)Russell, B.:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 5 (7 marzo 2005)Sscalari:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 59 (11 maggio 2005)segmento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 66 (12 maggio 2005)pag. 76 (19 maggio 2005)sezionidi Dedekind: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 57 (5 maggio 2005)sfera: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 38 (7 aprile 2005)di dimensione 0:. . . . . . . . . . . . . .pag. 43 (20 aprile 2005)sghembi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)simboliprimitivi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)similitudine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 87 (26 maggio 2005)sottogruppodi un gruppo topologico: . . . . . pag. 49 (27 aprile 2005)sottoinsieme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)chiuso di un compatto: . . . . . . pag. 30 (31 marzo 2005)compatto di uno spazio di Hausdorff: . . . . . pag. 30 (31marzo 2005)sottoinsiemidi uno spazio topologico:. . . . .pag. 18 (17 marzo 2005)sottospazieuclidei ortogonali: . . . . . . . . . pag. 83 (26 maggio 2005)incidenti: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 72 (19 maggio 2005)sottospazi affinisghembi:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 72 (19 maggio 2005)sottospazioaffine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 63 (12 maggio 2005)affine generato da punti: . . . . pag. 64 (12 maggio 2005)affine, paralello e passante per un punto: . . pag. 72 (19maggio 2005)proiettivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 90 (1 giugno 2005)proiettivo generato da punti: . pag. 93 (6 giugno 2005)pag. 97 (6 giugno 2005)sottosuccessioneconvergente: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)di una successione convergente: . . . . pag. 29 (31 marzo2005)spaziomeomorfi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 22 (23 marzo 2005)spazioaffine euclideo:. . . . . . . . . . . . . .pag. 78 (25 maggio 2005)delle orbite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52 (28 aprile 2005)di Hausdorff: . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 28 (31 marzo 2005)di identificazione: . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)metrico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 7 (9 marzo 2005)metrizzabile:. . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28 (31 marzo 2005)omogeneo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52 (28 aprile 2005)pag. 56 (28 aprile 2005)proiettivo:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 88 (1 giugno 2005)quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)topologico: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)vettoriale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)vettoriale euclideo:. . . . . . . . . .pag. 78 (25 maggio 2005)spazio affine: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)spazio metricocompleto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 39 (14 aprile 2005)spazio vettorialeeuclideo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 78 (25 maggio 2005)stabilizzatore: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 52 (28 aprile 2005)successione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 6 (7 marzo 2005)convergente: . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 29 (31 marzo 2005)convergente in uno spazio metrico:. .pag. 39 (14 aprile2005)di Cauchy:. . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 28 (31 marzo 2005)pag. 39 (14 aprile 2005)Sylvester:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 100 (8 giugno 2005)tangentead una conica: . . . . . . . . . . . . . . pag. 105 (9 giugno 2005)tautologie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)teoremadel valore intermedio: . . . . . . . . pag. 45 (20 aprile 2005)di Bolzano-Weierstrass:. . . . . . . .pag. 37 (7 aprile 2005)di Heine-Borel: . . . . . . . . . . . . pag. 35, 36 (7 aprile 2005)di Sylvester:. . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 100 (8 giugno 2005)di Thychonoff: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 31 (31 marzo 2005)Thychonoffteorema di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 31 (31 marzo 2005)topologiabanale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)definizione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)dei complementi finiti: . . . . . . . pag. 20 (17 marzo 2005)di uno spazio affine: . . . . . . . . pag. 75 (19 maggio 2005)di uno spazio metrico: . . . . . . . . pag. 10 (9 marzo 2005)discreta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)generata dalla base:. . . . . . . . . .pag. 18 (17 marzo 2005)indotta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 18 (17 marzo 2005)metrica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 16 (17 marzo 2005)prodotto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 23 (23 marzo 2005)quoziente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 24 (24 marzo 2005)toro:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 38 (7 aprile 2005)toro bidimensionale:. . . . . . . . . . . . . . .pag. 24 (24 marzo 2005)pag. 54 (28 aprile 2005)traslazioni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)insieme delle: . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)TUunicitàdel limite: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 29 (31 marzo 2005)della parallela per un punto: pag. 61 (11 maggio 2005)unionedi insiemi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5 (7 marzo 2005)di una famiglia di intorni circolari: . . . pag. 9 (9 marzo2005)Vvalore di verità: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)variabili: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)veritàtabelle di:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag. 2 (7 marzo 2005)valori di: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 2 (7 marzo 2005)vettori affini: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 59 (11 maggio 2005)vettori ortogonaliindipendenza lineare dei:. . . .pag. 86 (26 maggio 2005)D.L. Ferrario 103