ESAME di RICERCA OPERATIVA

ESAME di RICERCA OPERATIVA 16 Luglio 2012ESAME di RICERCA OPERATIVACognome : Nome :Esercizio 1. Un’industria manifatturiera ha in un suo magazzino due tipi di prodotti A e B perun totale di 17000 unità di prodotto A e 13000 unità di prodotto B. Poichè il magazzino deveessere svuotato, viene messo all’asta l’intero quantitativo di prodotti. Tale industria riceve treofferte differenti da tre diverse compagnie C 1 , C 2 e C 3 . In ogni offerta viene specificato il prezzounitario che si intende pagare (in euro) e il quantitativo massimo che si è disposti ad acquistareper ciascun prodotto.compagnia C 1 compagnia C 2 compagnia C 3prezzo max prezzo max prezzo maxprodotto A 42 16000 48 10000 49 12000prodotto B 53 12000 50 11000 47 14000L’industria deve vendere l’intero quatitativo di prodotti, ma c’è una restrizione e cioè che ogniprodotto può essere venduto al più a due delle compagnie.Formulare un modello lineare che permetta di pianificare la vendita dei prodotti massimizzandoi profitti.Esercizio 2. Si supponga di essere nella fase I del metodo del simplesso e che il dizionario correntesia il seguente:x 1 = 3 + 2x 2 − 2x 3 − x a 1 + x a 3x a 2 = 3x a 1 + x a 3x 4 = 4 − 2x 2 + x 3 − x a 1 − x a 3x a 4 = −x 3 + x 5 + 3x a 3Individuare una SBA del problema originario (con relativo dizionario di partenza per la fase IIdel metodo del simplesso) o concluderne l’inammissibilità .Esercizio 3. Sia dato il seguente problema di PL in forma standard:min 2x 1 + x 2 + x 52x 1 + x 2 − 2x 4 = 1x 1 + x 3 + x 4 = 33x 1 − x 4 + x 5 = 2x i ≥ 0, i = 1, . . . , 5(1)(i) Trovare tramite la fase II del metodo del simplesso la soluzione ottima del problema, concludendonese possibile l’unicità .(ii) Determinare la soluzione ottima duale.1

(iii) Supponendo di cambiare il termine noto del primo vincolo ponendolo uguale a 1 + δ, direper quale intervallo di δ la base ottima rimane ottima e come si modifica il valore ottimodella funzione obiettivo.(iv) Supponendo di cambiare il termine noto del secondo vincolo ponendolo uguale a 3 + δ,dire come si modifica il valore ottimo della funzione obiettivo.(v) Supponendo di modificare il coefficiente di x 1 in funzione obiettivo ponendolo uguale a2 + δ dire per quali valori di δ la soluzione ottima cambia.Esercizio 4. Si consideri un problema di zaino di capacità massima pari a 6, nel quale i valorie i pesi siano i seguenti: Trovare la soluzione ottima tramite metodo di branch and bound,A B C D E Fc 3 2 1 4 2 2a 2 1 2 2 3 2c/a322122231utilizzando una strategia best bound per la visita dei nodi.Esercizio 5 Dato il gioco rappresentato dalla seguente matrice di payoff per il giocatore colonne⎛3 −2⎞1⎝2 −3 4⎠4 3 1(i) Scrivere (SENZA RISOLVERE) la formulazione del problema che il giocatore colonne deverisolvere.(ii) Scrivere (SENZA RISOLVERE) la formulazione del problema che il giocatore righe deverisolvere.Esercizio 5. Si supponga di essere al nodo zero di un albero di Branch and Bound in cui si vuolerisolvere il seguente problema:max −x 1 + 3x 2−5x 1 + 2x 2 ≤ 5−2x 1 − 2x 2 ≤ 1(2)x 1 + x 2 ≤ 5x 1 , x 2 intereSapendo che il valore della soluzione del rilassamento lineare è 12.14286 (ottenuta nel puntox 1 = 5/7, x 2 = 30/7) e che la soluzione intera (1, 3) è ammissibile, determinare e risolvere idue sottoproblemi generati, scegliendo la variabile x 1 come variabile di branching. Dati i duenodi trarre le conclusioni su come procederebbe l’algoritmo (quali problemi si possono chiudere,quali nuovi problemi verrebbero generati, se viene trovata la soluzione ottima).2