versione del 20/03/07 - Matematica e Applicazioni

Alcune note sulle serie di potenze 1ContentsG. Falqui1 Preliminari 12 Serie di potenze 33 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze 73.1 Esempi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Formula di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Derivazione ed integrazione per serie 154.1 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Prodotto di serie 211 PreliminariNel corso di Matematica I (o Istituzioni di Matematica) sono stati illustrati iconcetti di serie numerica ed i criteri per la convergenza di una serie.Ricordiamo brevemente che il concetto di serie numerica formalizza la nozionedi somma infinita, nel seguente modo: sia data una successione di numeri (realio complessi) {a n } ∞ n=1 . Il simbolo∞∑a n (1.1)n=1si dice serie numerica (associata alla – o definita dalla) successione {a n } ∞ n=0 . Apartire dalla (1.1) si considera la successione delle somme parziali, ovvero la1 Queste sono note non formali delle lezioni relative alle serie di potenze tenute duranteil corso di Matematica II e Complementi di Matematica nell’ a/a 2006/2007. Commenti ecorrezioni saranno benvenuti. Per una esposizione più sistematica, si può consultare il librodi J. Stewart, Calcolo, Vol. I, Apogeo Editori, Milano (2002).1

successione {s n } ∞ n=1 definita das n =n∑a k , n = 1, 2, . . ., ∞, (1.2)k=1e.g., s 1 = a 1 , s 2 = a 1 + a 2 e così via.Se vale chelimn→∞ s n = S, con S finito,si dice che la serie ∑ ∞n=1 a n è convergente, e S si chiama somma della serie. Seil limite o non esiste, o, se esiste, è infinito, la serie si dice non convergente.Esempio 1. Riportiamo qui l’esempio della serie geometrica di ragione r,con |r| < 1 anche perchè ci sarà utile in seguito.Consideriamo dunque ∑ ∞n=1 rn−1 . La successione delle somme parziali s n adessa associata è data das 1 = 1, s 2 = 1 + r, s 3 = 1 + r + r 2 , s 4 = 1 + r + r 2 + r 3 , . . .,Fissiamo n e consideriamo:s n = 1 + r + r 2 + · · · + r n−1r s n = r + r 2 + · · · + r n−1 + r n .(1.3)Sottraendo termine a termine,s n − r s n ≡ (1 − r)s n = 1 − r n ⇒ s n = 1 − rn1 − r .Dunque dato che |r| < 1 si ha che la serie geometrica è convergente, e la sua1 − r nsomma è S = limn→∞ 1 − r = 11 − r .Criterio del confronto. Siano ∑ a n e ∑ b n serie a termini non negativi.Allora:1. Se a n ≤ b n ∀n e ∑ b n è convergente, allora ∑ a n è convergente.2. a n ≥ b n ∀n e ∑ b n non è convergente, allora ∑ a n non è convergente.Definizione. Una serie ∑ a n si dice assolutamente convergente se la serie deivalori assoluti (o moduli, nel campo complesso) ∑ |a n | è convergente.Osservazione. Una serie assolutamente convergente è convergente. Non è,in generale, vero il viceversa.2

Criterio del rapporto. Questo criterio permette di stabilire (condizionatamente)la convergenza assoluta di una serie calcolando il limite del rapportotra due termini successivi. In particolare, il criterio si formula cosìSialim |a n+1| = L; Allora:n→∞ a n1. Se L < 1 (strettamente), ∑ a n è assolutamente convergente e dunqueconvergente;2. Se L > 1 (strettamente), ∑ a n non è convergente.3. Se L = 1 il criterio non dice nulla.Ancora, risulta spesso molto utile, per le serie a termini alternati ilCriterio di Leibniz: sia ∑ a n una serie a termini alternati (cioè di segno alternativamentepositivo e negativo, ovvero, in una formula, a n = (−1) n b n , con b n >0). Supponiamo inoltre che la successione dei numeri positivi b n sia decresente,(b n+1 < b n , ∀ n). Allora la serie ∑ (−1) n b n è convergentre, e, inoltre, se S è lasua somma (S = ∑ n (−1)n b n ), e s n denota la sua n-esima somma parziale, siha|S − s n | < b n+1 .A parole: per una serie a termini alternati che soddisfi le ipotesi di cui sopra,la somma parziale n-esima stima il valore della somma della serie con un erroreche in modulo è non superiore a primo termine che si “trascura”.2 Serie di potenzeLe serie di potenze (centrate in x 0 , dove x 0 è un numero reale o complesso) possonoessere pensate come generalizzazioni dei polinomi di Taylor. In generale,esse sono “definite” da espressioni del tipon∑b n (x − x 0 ) n (2.1)n=0dove b n sono numeri reali (o complessi).Esse possono essere viste come serie nelle quali il termine generale a n = b n (x −x 0 ) n dipende dal “parametro” x attraverso il fattore (x − x 0 ) n . È chiaro che,per i valori di x per i quali la serie converge, la serie (o meglio, la somma dellaserie) definirà una funzione di x. Il problema primo che ci si pone, data un serie3

di potenze della forma (2.1), è dunque determinare per quali valori di x essaconverge.Osservazioni preliminari:1) La serie (2.1) converge sempre (cioè, indipendentemente dalla scelta deicoefficienti numerici a n ) almeno per x = x 0 ; infatti, per x = x 0 , la sequenza deitermini generali si banalizza aa 0 = b 0 , 0, 0, 0, 0, · · ·e dunque per x = x 0 non siamo in presenza di una serie, ma di una sommafinita (anzi, di un solo numero non nullo!).2) x = x 0 può essere l’unico punto in cui una serie converge; ad esempio,∑n!(x − x 0 ) nnnon converge per alcun x diverso da x 0 .Se riprendiamo l’esempio della serie geometrica, notiamo che essa è unaserie di potenze; infatti (scrivendo x al posto di r, e rinumerando i termini nellaespressione data più sopra) si ha che la serie geometrica di ragione x si scrivecome∞∑x n ,n=0ovvero è proprio della forma (2.1), con:x 0 = 0, b n = 1 ∀n.Il risultato base della teoria delle serie di potenze si può formulare nelseguente modo:Teorema: Supponiamo che la serie di potenze∞∑a n (x − x 0 ) n (2.2)n=0converga assolutamente per x = x 1 ≠ x 0 ; allora converge assolutamente per−|x 1 − x 0 | < |x − x 0 | < |x 1 − x 0 | (2.3)Osservazione. Il risultato dice che, se x è una variabile reale, se la serie (2.2)converge assolutamente in un punto x 1 diverso da x 0 , allora converge in tutto4

l’intervallo simmetrico di semiapiezza |x 1 − x 0 |; se x è complesso, allora la serieconverge in tutto il cerchio di raggio r = |x 1 − x 0 | centrato in x 0 .Dimostrazione. Poniamo per semplicità x 0 = 0 e x 1 > 0. Dall’ipotesi sappiamoche la serie numerica∞∑a n (x 1 ) n , con x 1 > 0n=0converge assolutamente. Consideriamo la serie (2.2), e riscriviamo il suo terminegenerale comea n x n = a n ( x x 1) n x n 1 ;la serie dei moduli si scriverà, analogamente, come∞∑|a n |(|x|) n =n=0∞∑|a n |( ∣ x ∣ nx n 1x .} {{ 1}=r nn=0La condizione (2.3) si traduce nel caso x 0 = 0 nella condizione |x| < |x 1 |, ovvero0 < r < 1. Quindi abbiamo che il termine generale della serie dei moduli quisopra è maggiorato dal termine generale della serie ∑ |a n |x n 1 , che è convergente.Dunque, il criterio del confronto assicura la convergenza assoluta della serie(2.2) per |x| < |x 1 |.Il caso delle serie di potenze centrate in x 0 ≠ 0 è del tutto analogo.Osserviamo ora che, se riusciamo a stabilire che la serie data ∑ ∞n=0 a n(x −x 0 ) n converge per x = x 2 , con |x 2 − x 0 | > |x 1 − x 0 |, allora possiamo concludereche la serie converge in tutto l’intervallo (o cerchio, se siamo sui complessi)|x − x 0 | < |x 2 − x 0 |; di fatto, data la serie ∑ ∞n=0 a n(x − x 0 ) n , si danno tre casi:1. La serie converge solo in x = x 02. La serie converge per tutti gli x reali (o complessi)3. Esiste un numero positivo R tale che la serie converge in |x − x 0 | < R enon converge per |x − x 0 | > R.Il numero R in questione si chiama raggio di convergenza della serie (2.1). Talvoltasi compendiano i casi 1 e 2 qui sopra dicendo che nel caso 1, il raggio èzero, e nel caso 2, il raggio è infinito.Il problema tipico che ci si pone in questo ambito è il seguente: data unaserie di potenze, si vuole determinare il suo raggio di convergenza; se questo è5

finito (e non nullo, beninteso), ci si può domandare che cosa succede se x assumei valori “estremi”, ovvero se |x − x 0 | = R.Esempio 2. Consideriamo la serie∞∑n=12 nn 3 xn . (2.4)Vogliamo calcolare per quali valori (reali) di x essa converge. Utilizziamo ilcriterio del rapporto. Detto a n il termine generale di (2.4) si ha:e dunque, semplificando,∣ a n+1∣ a n+1a n∣ ∣ =∣ ∣2 n+1(n+1) 3 x n+1∣ ∣,2 nxn n 3∣ (n + 1 = 2 |x|a n n) n} {{ }=(1+ 1 n )3 ).Otteniamolim ∣ a n+1∣ = 2 |x| lim (1 + 1n→∞ a n n→∞ n )3 = 2 |x|.Quindi, per il criterio del rapporto, la serie converge assolutamente per2 |x| < 1, ⇔ |x| < 1 2 ,mentre non converge per |x| > 1 . Dunque la serie (2.4) ha raggio di convergenza2R = 1.2Resta da esaminare il caso x = ± 1 ; sostituendo direttamente nella (2.4)2questi valori di x si ottieneper x = 1 2 si ha ∞∑n=11n 3,∞ per x = −1 2 si ha ∑ (−1) nEntrambe∑queste serie convergono, per cui l’insieme dei valori reali per i quali∞ 2 nn=1x n converge è l’intervallo chiuso [− 1, 1].n 3 2 2Esercizio. Si dimostri che la serie∞∑n=0( −13 )n√ n + 3x n6n=1n 3

converge in (−3, 3] (ovvero per −3 < x ≤ 3).Esercizio Sui calcoli per quali valori di x reali la serieconverge.∞∑(−1)n(x + 2)nn 2 nn=13 Rappresentazione di funzioni mediante seriedi potenzeL’idea della rappresentazione di una funzione come serie di potenze si può intuirericonsiderando la serie geometrica (Esempio 1), con r = x. Quando leggiamoda sinistra a destra la relazione“ Per |x| < 1∞∑n=0x n = 11 − x ,′′ (3.1)vogliamo significare che se |x| < 1 la serie in questione converge; al variare di xnell’intervallo (−1, 1) definisce una funzione f di x a valori reali, e, finalmente,1questa funzione non è nient’altro che il reciproco di (1−x), cioè f(x) =(1 − x) .Consideriamo ora il problem di construire il polinomio k-esimo di Taylorassociato a f(x) = 11 − x centrato in x 0 = 0 2 . Per farlo dobbiamo calcolaref(0) e il valore delle derivate di f(x) in x = 0 fino all’ordine k. Ovviamente,f(0) = 1; poi, per la derivata prima,f ′ (x) =Per la derivata seconda,−1(1 − x) 2(−1) = 1(1 − x) 2 ⇒ f ′ (0) = 1.f ′′ (x) = d 1dx (1 − x) = −22 (1 − x) (−1) = 23 (1 − x) ⇒ f ′′ (0) = 2,3e per la derivata terza,f ′′′ (x) = d 2dx (1 − x) = −3 · 23 (1 − x) (−1) = 3 · 24 (1 − x) ⇒ f ′′′ (0) = 1.42 Serie (o polinomi) di Taylor centrati in x 0 = 0 si dicono solitamente serie (o polinomi) diMc Laurin.7

Non è difficile convincersi (o dimostrare per induzione) che, per la derivataj-esima vale la formulad j 1dx j (1 − x) = j!dj 1(1 − x)j+1,e dunque ∣dx j (1 − x) x=0= j!, ∀ j ∈ N.Quindi, per ogni k finito, il polinomio di Taylor di ordine k centrato in zero1(ovvero il polinomio di Mc Laurin di ordine k) di è dato da31 − x1 + x + x 2 + · · ·x k .Allora posso leggere la relazione (3.1), da destra a sinistra, come la serie geometrica∑ n xn 1rappresenta la funzione nell’intervallo |x| < 1, cioè generalizza1−xla nozione di polinomio di Taylor.In generale, rappresentare una funzione in serie di potenze nell’intorno dix = x 0 significa esprimerla mediante una somma infinita di termini della formaa n (x − x 0 ) n , n = 0, 1, . . ..Talvolta (poche volte) la rappresentazione in serie di potenze di una funzionepuò essere trovata con metodi elementari (cioè, “trucchi”). Un esempio è ilseguente:1Sia f(x) =1 + x 2. Per esprimerla in serie di potenze centrate in x 0 = 0,basta notare chef(x) = 11 + x = 12 1 − (−x 2 ) ,e dunque che, con la sostituzione −x 2 = y, abbiamo (nella nuova variabile y)una funzione della quale conosciamo lo sviluppo in serie di potenze (è la solitaserie geometrica...); quindi lo sviluppo in serie (in y) di f saràf(y) =che è assolutamente convergente per |y| < 1; sostituendo y = −x 2 in questaformula si ha lo sviluppo∞∑n=011 + x = ∑ ∞(−x 2 ) n =2n=0y n∞∑(−1) n x 2n . (3.2)3 Si ricordi che in generale, il polinomio di Taylor di ordine k di una funzione f(x), centratoin x = x 0 è dato dal polinomio in x P k (f)(x) = f(x 0 ) + f ′ (0)(x − x 0 ) + 1 2! f ′′ (x 0 )(x − x 0 ) 2 +13! f ′′′ (x 0 )(x − x 0 ) 3 + · · · + 1 k! f( k)(x 0 )(x − x 0 ) k .8n=0

Esercizio. Calcolare lo sviluppo in serie di potenze nell’intorno di x 0 = 0 dellafunzioneg(x) =4 − x 2Suggerimenti: a) g(x) = x 2 1 ·4 − x 2, e 4 − x2 = 4(1 − ( x 2 )2 ).Un metodo algoritmico (ma non sempre il più efficace) per calcolare losviluppo in serie di una funzione f(x) si basa sulla osservazione (riportata anchepiù sopra) che lo sviluppo in serie di una funzione generalizza la nozione di polinomiodi Taylor. Dunque, se una serie di potenze ∑ ∞n−0 a n(x−x 0 ) n rappresentauna funzione f(x) dovrà valerea 0 = f(x 0 ), a 1 = f ′ (x 0 ), a 2 = f ′′ (x 0 )2(!) , a 3 = f ′′′ (x 0 ), . . .,a k =3!x2d kdx k f(x) ∣ ∣x=x0k!Leggendo queste relazioni da destra a sinistra si ha che i coefficienti a k dellosviluppo in serie di una funzione f(x) nell’intorno di x = x 0 sono dati dai valoriche la derivata k-esima di f assume in x = x 0 , divisi per k!.Osservazioni. 1) La serie geometrica è un esempio lampante del fatto che la1serie di potenze centrata in 0 di rappresenta la funzione solo nell’intervallo1−x|x| < 1, cioè un intervallo più piccolo dell’insieme di definizione della funzionedi partenza. Come vederemo più sotto, lo stesso accade per f(x) = arctan(x).2) Il metodo del calcolo delle derivate è algoritmico, ma può essere pesante, inquanto richiede il calcolo di tutte le derivate della funzione.3.1 Esempi notevoli1. La funzione esponenziale.Cerchiamo lo sviluppo in serie di f(x) = exp x = e x nell’intorno di x 0 = 0.Abbiamof(0) = e 0 = 1, f ′ (x) = e x ⇒ f ′ (0) = 1,e, in generale,d kdx k ex = e x ⇒ dkdx ex∣ ∣ k x=0= 1Dunque la serie di potenze di e x nell’intorno di x = 0 è data da∞∑n=01n! xn (3.3)9.

Proposizione. La serie (3.3) converge per ogni x reale e quindi si può scrivere,senza ulteriori specificazioni,e x =∞∑n=01n! xn .Verifichiamo l’affermazione sulla convergenze della serie in questione. Si haSemplificando,∣ a n+1(n+1)!x nn!a n∣ ∣ =∣ ∣x n+1∣ a n+1∣ |x| =a n n + 1 ⇒ lim∣ a n+1∣ = 0, ∀ x ∈ R,n→∞ a n∣ .e dunque il criterio del rapporto ci dice appunto che questa serie converge pertutti i valori di x reali. Osserviamo inoltre che la serie (3.3) converge anche perx = z complesso. Si può dunque vedere la serie ∑ ∞ z nn=0come una definizionen!dell’esponenziale in campo complesso.2 Le funzioni cos(x) e sin(x).Consideriamo lo sviluppo in serie di cos(x) sempre nell’intorno di x 0 = 0.Notiamo che:ddx cosx = − sin(x); d 2dx cosx( = d2 dx (− sin(x))) = − cos(x);d 3dx cos(x) = sin(x); d 4cos(x) = cos(x).3 dx4 Dunque le derivate hanno un andamento “periodico” in n, di periodo 4; infatti,iterando la formula qui sopra (e chiamando per comodità di notazione d0 f(x) ≡dx 0f(x)), si ha:d ndcos(x) = cos(x), se n = 4k;dxn d ndcos(x) = − cos(x), se n = 4k + 2;dxn ncos(x) = − sin(x), se n = 4k + 1;dxn ncos(x) = sin(x), se n = 4k + 3.dxn (3.4)10

Per calcolare lo sviluppo in serie di Taylor in un intorno di 0 di cos(x) si devonocalcolare il valore delle derivate di cos(x) in x = 0; dalla formula qui sopra si had ndx cos(x)∣ ∣ n x=0= 1, se n = 4k;d ndx cos(x) = ∣ n x=0= −1, se n = 4k + 2;d ndx cos(x)∣ ∣ n x=0= 0, se n = 4k + 1;d ndx cos(x) = 0, se n = 4k + 3. n (3.5)Dunque, lo sviluppo in serie di Taylor centrato in x 0 = 0 di cos(x) è:1 + (−1)2 x2 + 1 4! x4 + · · · =∞∑n=0(−1) n(2n)! x2n . (3.6)Proposizione. Lo sviluppo in serie qui dato di cos(x) converge per ogni xreale.Per verificare questo fatto, è utile fare una premessa di carattere abbastanzagenerale. Vogliamo applicare anche qui il criterio del rapporto. Peraltro, cosìcome l’abbiamo enunciato, sembra che qui non abbia senso, dato che i coefficientia 1 , a 3 , a 5 eccetera (cioè i coefficienti di posto dispari, in una sola frase) sono nulli.Si può però notare che la serie di potenze qui sopra, scritta nella variabile y = x 2è∞∑ (−1) n(2n)! yn ,n=0ovvero, ha tutti i coefficienti a n non nulli. Applichiamo dunque il criterio delrapporto a quest’ultima rappresentazione. AbbiamoSemplificando,∣ a n+1a n∣ ∣ =∣ a n+1a n∣ ∣ = ∣ ∣y n+1(2n+2)!y n(2n)!|y|(2n + 2)(2n + 1) ⇒ limn→∞∣∣.∣ a n+1∣ = 0, ∀ y ∈ R,a nil che verifica l’asserto, dato che, in particolare, vale per y = x 2 . Anche quiosserviamo che questo procedimento può essere visto come la definizione dellafunzione cos(z) per z ∈ C, dato che la convergenza della serie è assoluta.11

Esercizio Verificare che lo sviluppo in serie di Taylor centrato nell’origine disin(x) è∞∑ (−1) nsin(x) =(2n + 1)! x2n+1 . (3.7)n=0e che questo sviluppo converge per ogni x reale, nonché ogni z complesso.Esercizio Calcolare lo sviluppo in serie di Mc Laurin dicosh(x) = ex + e −x, e sinh(x) = ex − e −x,22o notando che la derivata di cosh(x) è sinh(x) e viceversa, oppure utilizzandole proprietà dello sviluppo in serie dell’esponenziale.3.2 Formula di EuleroInterpretando le formule (3.3, 3.6, e 3.7) possiamo dare la dimostrazione dellaformula di Eulero (che verrà usata nella teoria delle equazioni differenziali linearidel secondo ordine),e iθ = cos(θ) + i sin(θ). (3.8)L’osservazione di base è la seguente: dalla definizione di funzione esponenzialecome funzione inversa del logaritmo naturale, e dunque, sostanzialmente, dalfatto cheddx ex = e x , (3.9)abbiamo calcolato lo sviluppo in serie di e x come (3.3). Dal fatto che la serieconverge assolutamente per tutti gli x, possiamo definire l’esponenziale di unnumero complesso z come la somma della serie corrispondente, ovvero, porreper definizione∞∑e z z n= , ∀z ∈ C.n!n=0In particolare, per z = iθ puramente immaginario (e dunque θ reale) abbiamo:e i θ =∞∑ i n θ n.n!n=012

Ora suddividiamo questa serie in due, sommando separatamente i termini diindice pari e indice dispari 4 , ovvero scriviamo∞∑ i n θ nn=0n!= ∑ i n θ nn!n pari+ ∑n disparii n θ n.n!Qui osserviamo che la somma su n pari si scrive come somma per n = 2k, k =0, · · · , ∞, e quella su n dispari come somma per n = 2k + 1, k = 0, · · · , ∞, edunque otteniamoe iθ =∞∑k=0i 2 k θ 2 k(2k)!+∞∑k=0i 2 k+1 θ 2 k+1(2k + 1)!(3.10)A questo punto bisogna ricordare che⎧⎨ 1 con k parii 2k =⇒⎩−1 con k disparii 2k = (−1) ki 2k+1 (= i · (i 2k ) = (−1) k · i.Utilizzando la prima di queste due formule nella prima serie del membro destrodi (3.10) e la seconda nella seconda serie si ha che (3.10) divienee iθ =∞∑ (−1) k θ 2 kk=0(2k)!+ i ·∞∑k=0(−1) k θ 2 k+1.(2k + 1)!Confrontando queste due espressioni rispettivamente con (3.6) ed (3.7) si ottengonoproprio le formule di Eulero.La formula di Newton per (1 + x) α Un’altra funzione della quale è possibilecalcolare semplicemente ed esplicitamente lo sviluppo in serie di McLaurinè la funzionef(x) = (1 + x) αdove α è un numero reale (e.g., un generico numero razionale, α = p q , p e qcoprimi).Basta osservare che la formuladdx (1 + x)α = α(1 + x) α−14 Questa operazione è lecita perché la serie converge assolutamente.13

vale per ogni α. Iterando, si ha che, per k = 1, 2, . . .,d kdx (1 + k x)α = α · (α − 1) · · ·(α − k + 1) (1 + x) α−k} {{ }k fattoriSe definiamo il simbolo combinatorio generalizzato( α=k)k fattori{ }} {α · (α − 1) · · ·(α − k + 1), k ≥ 1k!( α= 1,0)otteniamo che la serie di McLaurin associata a (1 + x) α è data da∞∑( αk)x k , dato che dkdx (1 + x)α∣ ∣ k x=0= α · (α − 1) · · ·(α − k + 1) . (3.11)} {{ }k=0k fattoriCi dobbiamo ora chiedere per quali valori di x questa serie converge (e dunquerappresenta effettivamente la funzione data. Applichiamo il criterio del rapporto,supponendo che α non sia un intero positivo – anche perchè, in questocaso, (1 + x) α è un polinomio.∣ a (k+1∣ ∣ α= a kk+1( αk) (xk+1∣ α)) ∣xk = |x| k+1( αk) ∣ Quidi dobbiamo calcolare il limite per k → ∞ dell’ultimo rapporto. Abbiamok+1 fattori( α)∣ k+1( α) ∣ { }} {∣ ∣∣ α · (α − 1) · · ·(α − k) k!= ·∣(k + 1)! α · (α − 1) · · ·(α − k + 1)k} {{ }k fattorie dunque si halim ∣ a k+1∣ = lim |x| ∣ (α − k)∣ = |x|,k→∞ a k k→∞ k + 1dato chelim ∣ α − k∣k − α = limk→∞ k + 1 k→∞ k + 1 = 1.Dunque il raggio di convergenza della serie binomiale (3.11) è 1 e dunque possiamodire che∞∑( α(1 + x) α = xk)k , per |x| < 1.k=014

Analogamente si ha che(1 − x) α =∞∑( ) α(−1) k x k , per |x| < 1kk=0e, ad esempio,(1 + x 2 ) α =nonchè varianti di queste formule.∞∑k=0( αk)x 2k , per |x| < 1,4 Derivazione ed integrazione per serieLa proprietà di una funzione di potere essere rappresentatata in serie di potenzeimplica notevoli proprietà della stessa, proprietà che hanno, come vedremo,interesse in campo “applicativo” 5 .Teorema: Sia f(x) rappresentabile (o sviluppabile) in serie di potenze in unintorno di x 0 , cioè supponiamo che valgaf(x) =∞∑a n (x − x 0 ) n (4.1)n=0con la serie che ha raggio di convergenza non nullo (eventualmente, infinito).Allora f(x) è derivabile, e, nell’intervallo di convergenza della serie qui sopravale che f ′ (x) è sviluppabile in serie di potenze, e la sua rappresentazione inserie è data da∞∑f ′ (x) = na n (x − x 0 ) n−1 (4.2)n=1Dimostrazione. La dimostrazione di questo fatto è una semplice applicazionedel criterio del rapporto. Infatti, detto b n (x−x 0 ) n il termine generale della serie(4.2), si hab n (x − x 0 ) n = na n+1 (x − x 0 ) n .Dunque∣ b n+1(x − x 0 ) n+1b n (x − x − 0) n ∣ ∣(n + 1)a n+2 (x − x 0 )na n+1∣ ∣ .5 Cioè, proprietà che permettono di “fare dei conti”.15

Ma alloralim ∣ b n+1(x − x 0 ) n+1 ∣ ∣ = lima n+1 (x − x 0 ) n+1 ∣ ,n→∞ b n (x − x − 0) n n→∞ a n (x − x − 0) ne dunque la serie della derivata converge dove converge quella della serie dipartenza.Osservazione. Iterando il ragionamento, si vede che una funzione sviluppabilein serie di Taylor in un intervallo (aperto) I = (x 0 − R, x 0 + R) ammettenello stesso intervallo I derivate di ogni ordine; tali derivate sono a loro voltasviluppabili in serie di potenze, e la loro rappresentazione in serie di potenze siottiene per iterazione della formula con la quale la (4.2) si ottiene dalla (4.1).Ad esempio, lo sviluppo inserie di f ′′ (x) sarà:∞∑f ′′ (x) = (n(n − 1))a n (x − x 0 ) n−2 ,n=2e così via. A questa proprietà notevole si dà il nome di derivazione terminea termine. In altre parole, questa proprietà generalizza al caso delle serie assolutamenteconvergenti la proprietà ben nota del fatto che la derivata di unasomma finita di funzioni è la somma delle derivate dei singoli addendi.Analogamente al teorema di “derivazione termine a termine” vale anche unteorema di integrazione termine a termine. Esso dice che se per f(x) vale losviluppo (4.1), cioè∞∑f(x) = a n (x − x 0 ) n ,n=0allora f(x) è integrabile in ogni compatto contenuto in I, il suo integrale indefinitoè a sua volta sviluppabile in serie di potenze in I, e si ha∫ ∫ ( ∞)∑∞∑f(x) dx ≡ a n (x − x 0 ) n a ndx = C +n + 1 (x − x 0) n+1n=0Nota. Il modo più corretto di scrivere la formula di integrazione termine atermine è, e.g. nel caso x 0 = 0, il seguente:∫ (x ∑ ∞)∞∑a n (t n a n) dt =n + 1 xn+1 .0n=0Esempio. Lo sviluppo in serie di arctan(x). Osserviamo che le primederivate di f(x) = arctan(x) sono:f ′ (x) = 11 + x 2, f ′′ x(x) = −2(1 + x 2 ) 2, f ′′′ (x) = 2 3 x2 − 1(1 + x 2 ) 3, . . .16n=0n=0

e dunque risulta difficile pensare di dare una formula finita per il calcolo delladerivata n-esima, con n generale. Per trovare lo sviluppo in serie di arctan(x)possiamo però procedere in questo modo. Osserviamo che noi conosciamo losviluppo in serie della derivata di arctan(x) in 0; infattiddx arctan(x) = 11 + x = ∑ ∞(−1) n x 2n , per |x| < 12Utilizzando la formula di integrazione termine a termine, e osservato che 6∫ x( ) ddt arctan(t) dt = arctan(x) − arctan(0) = arctan(x)0abbiamo chearctan(x) ==∫ x0n=0∞∑( (−1) n t 2n ) dt =n=0∞∑∫ x((−1) nn=00)t 2n dt =∞∑n=0(−1) nn + 1 x2n+1 .(4.3)Esercizio. Dimostrare che lo sviluppo in serie di potenze log(1 + x) in unintorno di x = 0 è∞∑ (−1) nlog(1 + x) =n + 1 xn+1n=0d1Suggerimento: log(1 + x) =dx 1 + x .Esercizio. Calocolare lo sviluppo inserie di Mc Laurin di f(x) = arcsin(x).4.1 Applicazioni.Esercizio aCalcolare0.cos(x) − 1 + x 2 /2limx→0x 2 sin( x24 )6 Scegliendo la determinazione naturale (cioè più semplice) dell’arco tangente, arctan(0) =17

SoluzioneIl limite proposto è una forma indeterminata del tipo [ 0 0 ].Il denominatore va a zero come x 4 ; infatti, abbiamo che il suo sviluppo inserie èx 2 (sin(x 2 /4)) ≃ x 2 (x 2 /4 − (x/4) 3 /3! + · · ·) ≃ x 4 /4 + · · ·Dobbiamo dunque calcolare lo sviluppo di Mc Laurin del numeratore fino alquarto ordine. Ricordando che cos(x) = 1 − x 2 /2! + x 4 /4! + · · · otteniamo cheDunque abbiamoEsercizio bcos(x) − 1 + x/2 = x 4 /4! + · · ·cos(x) − 1 + x 2 /2 x 4 /4! + · · ·lim= limx→0x 2 sin( x24 ) x→0 x 4 /4 + · · · = 1 6 .Si calcolilimx→0( )(1 − x) 2/3 − 1sin (x) − xx 2.SoluzioneAnche qui si ha una forma indeterminata del tipo[ 00],ovvero che sia il numeratore (N) che il denominatore (D) tendono a zero perx → 0.Dato che N e D sono sviluppabili in serie di Mc Laurin, possiamo calcolareil limite proposto attraverso il loro sviluppo in serie.Gli sviluppi in serie delle funzioni coinvolte sono:∞∑sin(x) = (−1) n x2n+12n + 1! = x − x36 + x5120 + · · · ,n=0∞∑( ) 2/3(1 − x) 2/3 = (1 + (−x)) 2/3 = (−x) n = 1 − 2 n3 x − 1 9 x2 − 4 81 x3 + · · · ,n=018(4.4)

dove con i puntini · · · indichiamo termini di ordine superiore a quelli scritti.Sostituendo (4.4) nel limite proposto otteniamo che il numeratore N diventaed il numeratore diventaQuindi,N = (1 − 2 3 x − 1 9 x2 + · · · − 1)x 2 = − 2 3 x3 + · · · ,D = x − x36 + x5120 + · · · − x = −1 6 x3 + · · · .Nlimx→0 D = lim − 2 3 x3 + · · ·x→0 − 1 6 x3 + · · · = limx→0− 2 3 x3− 1 6x3= 4. (4.5)Per risolvere l’esercizio non è peraltro necessario ricordarsi a memoria gli sviluppi(4.4). Infatti sappiamo che:sin(0) = 0; sin ′ (0) = cos(0) = 1, sin ′′ (0) = − sin(0) = 0, sin ′′′ (0) = − cos(0) = 1.Dalla definizione di sviluppo di Mc Laurin (di una funzione sviluppabile in seriedi Mc Laurin....),∞∑ f (n) (0)f(x) =(4.6)n!n=0abbiamo sin(x) = x − 1 6 x3 + · · ·, e dunque vediamo che il primo termine nonnullo dello sviluppo in serie di Mc Laurin del denominatore D = sin(x) − x è iltermine cubico− 1 6 x3 (4.7)Quindi, per calcolare il limite proposto dobbiamo calcolare lo sviluppo di McLaurin del numeratore fino all’ordine 3. Data la presenza a numeratore delfattore x 2 , dobbiamo in ultima analisi calcolare lo sviluppo al primo ordine di(1 − x) 2/3 − 1. Utilizzando la definizione (4.6) hoDato che, per x > 1,(1 − x) 2/3 = 1 + ddx (1 − x)2/3∣ ∣x=0x + · · ·ddx (1 − x)2/3 = − 2 3 (1 − x)−1/3 (= − 2 313√ 1 − x),19

si ha che ddx (1 − x)2/3∣ ∣x=0= − 2 . Dunque il termine di ordine 3 nello sviluppo3del numeratore è− 2 3 x3 . (4.8)Il limite proposto si può dunque calcolare facendo il limite del rapporto di (4.7)e (4.8). Tale limite dà (come deve....) 4, ovvero il risultato del calcolo svolto in(4.5).Esercizio cCalcolare ∫ 1exp(−x 2 ) dxcon un errore inferiore a 1100 .Soluzione0L’integrando è la serie esponenziale con argomento x 2 . Tale serie convergeassolutamente ed uniformemente per tutti i valori reali dell’argomento, quindipossimo integrare termine a termine.Lo sviluppo in serie di Mc Laurin di exp(−x 2 ) èexp(x 2 ) =∞∑i=0(−1) nx2nn!Integrando termine a termine ottengo:∫ 10= 1 − x 2 + x 4 /2! − x 6 /3! + · · · .exp(−x 2 ) dx = (x − x33 + x510 + · · ·)∣ ∣ 1 = ∑ ∞(−1) n 10(2n + 1)n! , (4.9)dato che il contributo dell’estremo inferiore di integrazione è nullo.La serie così ottenuta è una serie a termini alternati, con il modulo del1termine generale, ovvero decrescente e che tende a zero per n → ∞.(2n + 1)n!Posso quindi utilizzare il teorema di Leibnitz che dice che, se ∑ ∞i=0 (−1)n b n èuna serie che soddisfa le ipotesi di cui sopra, essa converge (diciamo a S) edinoltreN∑|S − (−1) n b n | ≤ b N+1i=120i=0

ovvero, a parole, che la differenza tra la somma della serie e la sua n-sima sommaparziale è limitata dal modulo del primo termine che si trascura.Quindi, riconsiderando la equazione (4.9), per risolvere il problema nellamaniera più “economica”, dovrò trovare il più piccolo valore di n per il qualevalga1(2n + 1)n! ≤ 1100ovvero il minimo valore di n per il quale (2n + 1)n! ≥ 100.Conviene tabulare i primi valori di n e (2n + 1)n! come:[ ]0 1 2 3 4 5 · · ·1 3 10 42 216 · · · · · ·Quindi il valore cercato di n è n = 4 e dunque, a meno di 1/100,∫ 13∑exp(−x 2 ) dx ≃ (−1) n 1(2n + 1)n!0i=0= 1 − 1/3 + 1/10 − 1/42 =5 Prodotto di serie210 − 70 + 21 − 5210= 156210 = 2635 .In questa ultima sezione introduciamo il concetto di prodotto di serie di potenze.Per comodità di notazione, le serie saranno centrate in x 0 = 0.Siano f(x) = ∑ ∞i=0 a nx n e g(x) = ∑ ∞n=0 b nx n due serie di potenze con raggiodi convergenza, rispettivamente r f ed r g . Allora il prodotto h(x) = f(x) · g(x)è rappresentabile in serie di potenze in |x| < min(r f , r g ) come∞∑n∑h(x) = c n x n , dove c n = a j b n−j . (5.1)n=0Questa definizione/risultato di serie di potenze è una diretta generalizzazionedelle note regole di moltiplicazioni di polinomi 7 . Infatti, scrivendo per esteso,si ha:h(x) = f(x) · g(x) =(a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + · · ·)(b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + · · ·)j=0= (a 0 b 0 ) + (a 1 b 0 + a 0 b 1 ) x + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )x 2 +(a 0 b 3 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 0 ) x 3 + · · · ,7 La dimostrazione della convergenza della serie prodotto è troppo lunga e tecnica per esserequi riportata.21

cioè i coefficienti dello sviluppo di h(x) sono proprio dati dalla seconda delleformule (5.1).La formula (5.1) può essere utile per calcolare lo sviluppo in serie di potenze(in particolare, almeno i primi termini) di un prodotto di funzioni – delle quali siconoscano gli sviluppi in serie di Mc Laurin – , senza dover calcolare le derivatedella funzione prodotto.Esercizio. Provare che lo sviluppo al settimo ordine dif(x) = sin(2 x)(1 + x 2 ) 1 2èf(x) = 2 x − 1 3 x3 − 1320 x5 + 10072520 x7 + o ( x 8) .Le formule (5.1) possono essere usate per calcolare il reciproco di una seriedi potenze. Ovvero: supponiamo che f(x) = ∑ ∞n=0sia una serie di potenze(centrata in x 0 = 0) con raggio di convergenza R, e siaf(0) = a 0 ≠ 0. (5.2)Allora esiste un intervallo −R ′ < x < R ′ , con R ′ eventualmente più piccolo diR nel quale la funzione g(x) := 1 è sviluppabile in serie di potenze, cioèf(x)rappresentabile come∞∑g(x) = b n x n , |x| < R ′ . (5.3)n=0I coefficienti b n si possono calcolare ricorsivamente attraverso la seconda formula(5.1), utilizzando la seguenteProposizione (“principio” di identità per le serie di potenze): Due serief 1 (x) = ∑ ∞n=0 a nx n ed f 2 (x) = ∑ ∞n=0 b nx n , assolutamente convergenti in |x| < R(eventualemnte, R = ∞) coincidono se e solo se vale l’ugualglianza di tutti icoefficienti, ovvero se e solo sea n = b n , n = 0, 1, 2, . . . . (5.4)Prima di dimostrare questa proposizione, notiamo che essa rappresenta la naturaleestensione al caso delle serie (convergenti) del principio di identità dipolinomi di grado N finito.La validità della proposizione si può verificare, ad esempio, in questo modo.Se vale (5.4), allora, evidentemente, f 1 (x) coincide con f 2 (x). Il viceversa èlievemente più sottile. Ricordiamo che, per |x| < R le funzioni f 1 (x) ed f 2 (x),22

definite come somma delle serie corrispondenti, sono infinitamente derivabili, evale ched ndx nf(x)∣ ∣x=0= n!a n , n = 0, 1, 2, . . . .Ora, se f 1 (x) = f 2 (x) per |x| < R, allora vale che dndx nf 1(x) = dn fdx n 2 (x), sempreper |x| < R e, a fortiori,il che dimostra l’asserto.d ndx nf 1(x) ∣ ∣x=0} {{ }=n!a n= dndx nf 2(x) ∣ ∣x=0} {{ }=n!b nRitorniamo al problema di determinare lo sviluppo del reciproco di f(x) =∑ ∞n=0 a nx n , a 0 ≠ 0, cioè di calcolare i coefficienti b n che compaiono nella (5.3).Osserviamo che, per definizione di reciproco,f(x)g(x) ≡ 1e possiamo (anche se è un modo un po’ barocco di rappresentarla) pensare allacostante 1 come alla serie di potenze definita da∞∑1 = α n x n , con α 0 = 0, α i = 0 se i ≠ 0. (5.5)n=0Questo di permette di scrivere∞∑∞∑1 = f(x)g(x) come ( a n x n )( b n x n ) =n=0n=0∞∑α n x n ,con gli α n definiti da (5.5). Ricordando la definizione di coefficiente n-esimodel prodotto di serie di potenze e utilizzando il principio di identità delle serie,vediamo che i coefficienti c n della serie prodotto devono verificare le equazioni:c 0 = 1c 1 = 0c 2 = 0c 3 = 0.c n = 0.⇐⇒n=0a 0 b 0 = 1a 0 b 1 + a 1 b 0 = 0a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 = 0a 0 b 3 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 0 = 0.∑ nj=0 a jb n−j = 023.(5.6)

La seconda colonna (di infinite equazioni) di questa formula deve esser pensatacome un sistema lineare nelle incognite {b j } j=0,...,∞ con coefficienti noti dati daicoefficienti a i .Le proprietà di (5.6) che fanno sì che (ricorsivamente) il sistema sia risolubilesono le seguenti:1) a 0 ≠ 02) la n − esima equazione (con n ≥ 1) si può riscrivere comen∑a 0 b n = − a j b n−j = − (a 1 b n−1 + a 2 b n−2 + · · · + a n b 0 )j=1Infatti, tenuto conto della prima proprietà, si ha:b 0 = 1 a 0; b n = − 1 a 0((a 1 b n−1 + a 2 b n−2 + · · · + a n b 0 ) , n ≥ 1,dal che si evince che il sistema è ricorsivamente risolubile perchè, dalla secondadi queste, si vede che, una volta noti i coefficienti {b 1 , b 2 . . .,b n−1 } è possibilecalcolare esplicitamente il coefficiente b n .Esercizio. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin all’ottavo ordine diRisultato:1cos(x) .1cos(x) = 1 + 1 2 x2 + 524 x4 + 61720 x6 + 2778064 x8 + O ( x 10)Esercizio. Utilizzando il risultato precedente, – nonchè le formule per il prodottodelle serie di potenze - calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al settimo ordine dig(x) = tan(x)Risultatotan(x) = x + 1 3 x3 + 215 x5 + 17315 x7 + O ( x 8)Esercizio. Verificare che lo sviluppo di Mc Laurin al settimo ordine diètanh(x) ≡ sinh(x)cosh(x)tanh(x) = x − 1 3 x3 + 2 15 x5 − 17315 x7 + O ( x 8) .24