Le Equazioni di Maxwell

2 2Jb svbc ò B × dl = c 2B( a/ 2)× b = =e0 eG0Si ricava perci˜ un campo magnetico indipendente dalla distanza dalla lamina,vdi modulo B = s e diretto come in figura.2c2 e0svQuindi, mettendo in moto la lamina, B passa da zero al valore finito2c2 e0Se il campo magnetico varia nel tempo, la seconda equazione ci dice che si generanodei campi elettrici. Se vengono generati dei campi elettrici, anche essi partirannoda zero e dipenderanno dal tempo.Ma se c' una E ¹ 0, il modo in cui si determinato B non corretto in quantotbisogna tener conto pure dello t F( E ) attraverso il rettangolo di lati a e b di figura.Come si vede i campi vengono quindi a dipendere l'uno dall'altro e la soluzioneva trovata risolvendo contemporaneamente le quattro equazioni.Quale sarˆ in questo caso la soluzione?A colpo d'occhio difficile dirlo. L'unica cosa che si pu˜ dire che in prossimitˆsvdella lastra il campo magnetico deve essere all'incirca uguale a infatti, essendo2c2 e0"a" molto piccolo, il F s( E ) e quindi t F ( E )Jbsarˆ trascurabile rispetto a .e 0Si pu˜ anche prevedere in prossimitˆ della lastrayun campo elettrico diretto verso il basso (che siopponga alla messa in moto della lastra stessa).B ENon si pu˜ a priori dire molto pi di questo.JTanto per capire come funziona il tutto diamoBvprima il risultato e verifichiamo che esso soddisfaalle equazioni di Maxwell.zE xAd una distanzaB, ER generica dallelastre entrambi i campi B ed E sono dapprimanulli e poi, ad un certo istante, appaiono contemporaneamente.Le loro direzioni sono quelleprima indicate ed il loro modulo risulta, dauutquel momento, stazionario.Se si fa un grafico del valore di B ed E ad unistante fissato in funzione della distanza dalla lastrasi ottiene la figura disegnata. Se si fa un nuovo grafico ad un tempo diverso sivede che il fronte si spostato a distanze maggiori e che questo spostamentoavviene con velocitˆ costante u.Verifichiamo adesso che quanto sopraMaxwell.compatibile con le equazioni diCapitolo 13 5 9/29/94

Prendiamo nel piano ÒxyÓ un rettangoloa cavallo della zona ove giunto il campomagneticoNella figura sono disegnati i fronti d'ondaal tempo t ed al tempo t+dt; avremoòE × dl = - Bt F ( )GEssendo B costante, F( B ) varia perchŽil fronte d'onda si sposta.Se esso si sposta con velocitˆ u avremodF( B ) = - buB ove B il valore costantedtdel campo. Otteniamo quindi:òE × dl = E × b = b × u × B, ( solo il tratto verticalea sinistra da contributo alla circolazionedi E ).Si trova quindi che i moduli dei duecampi sono legati dalla relazione:E = u B .Una analoga relazione potremo purescriverla utilizzando un circuito G posto nel piano ÒxzÓ a cavallo del fronte.2F( J)Avremo: c òB × dl = + F( E)e t2Da cui - c Bb = -bEu0, e quindi : E = c u × B2Si sono trovate due espressioni diverse per il rapporto E/B.Se u = c le due espressioni coincidono ed i campi descritti obbediscono alleequazioni di Maxwell.Si conclude quindi che il moto della lamina produce dei campi E e B che sipropagano con velocitˆ c. Essi sono ortogonali tra loro ed alla direzione dipropagazione ed i cui moduli stanno nel rapporto E/B = c. Il modulo di B vales × v.2c2 e0E, Bcampi dovuti alla primalaminaNotiamo che le prime tre proprietˆsono generali e valgono in ognicaso.c(t-T)ctcampi dovutialla secondaxSupponiamo adesso, ad un istantet=T successivo a quello in cuisi mossa la prima lamina, dimuovere pure la seconda con lastessa velocitˆ v della prima.Avremo quindi due coppie dicampi (E e B) che si propaganonello spazio. Ad ogni istante ilCapitolo 13 6 9/29/94

fronte della prima coppia sarˆ avanti al secondo del tratto cT.Per l'additivitˆ dei campi cosa avremo?Uno straterello di campo di spessoreE,BcT ha abbandonato le lamine e viaggiaper suo conto nello spazio senza oramaicavere pi nulla a che vedere conle lamine che lo hanno generato.Esse potranno pure scaricarsi lÕunasullÕaltra annullandosi a vicenda, ma ic(t-T) ctcampi da esse generati proseguiranno indisturbati nella loro evoluzione.cxTutto ci˜ accade realmente? Solo lÕesperienza pu˜ rispondere convalidandoquindi o meno la modifica fatta allÕequazione per il rotore del campo magnetico.La propagazione della luce sembra accadere rispettando il quadro esposto.Abbiamo quindi la verifica sperimentale della correttezza della modifica fatta.Inoltre siamo di fronte ad un importante mutamento nella nostra percezionedella natura. Infatti non solo dobbiamo riconoscere che i fenomeni luminosi nonsono che un capitolo dellÕelettromagnetismo ma dobbiamo anche ammettere che icampi non sono delle mere appendici degli oggetti materiali. In altri termini essiacquistano una loro piena individualitˆ fisica.Per i suddetti motivi le quattro equazioniprendono in nome di ÒEquazioni di MaxwellÓe si parlerˆ ad esempio dÕora in poidi ÒPrima equazione di MaxwellÓ e non pidi ÒLegge di GaussÓ.ìrÑ× Eï=1ª eq.di Maxwelle0ïïÑ´ E = - B 2ª eq.di Maxwellí tïÑ× B = 0 3ª eq.di MaxwellïïÑ´ B = J 2c+ E 4ª eq.di Maxwellïîe0 tSoluzioni delle equazioni di MaxwellVediamo di scrivere queste stesse equazioni sotto una forma che renda subitoevidente il tipo di soluzioni che dobbiamo aspettarci. Partiamo dall'equazione per ladivergenza di B.Se Ñ× B = 0 allora B = Ñ ´ A ( Con la solita indeterminazione su A : ( A' = A + Ñy ))Andiamo adesso a sostituire questa espressione nella seconda delle equazioni.Si ottiene: Ñ ´ = - = - Ñ ´ = -Ñ ´ æ öæ öE B A ç A÷ ; cio Ñ´ çE + A÷ = 0 ( Caso simile t t è t øè t øa quello elettrostatico in cui Ñ´ E=0 )Dovrˆ quindi valere: E + A = -Ñf; cio E = - A - Ñf t tQueste equazioni una volta noti A e f ci permettono di ricavare E e B.C' inoltre una particolaritˆ da tenere presente; in magnetostatica si poteva sostituireA ® A = A + Ñy senza alterare la fisica.Adesso la cosa un po' pi complessa in quanto una simile sostituzione lascerebbesi inalterato B ma farebbe cambiare E.Capitolo 13 7 9/29/94

Per fare in modo che E e B restino gli stessi , a trasformazionidi A occorre che corrispondano opportune modificazioni di f, ìA ® A'= A + Ñycome a lato riportato.ïí® = -Restano da scrivere le espressioni che ci permettano di ricavareîïf f'f tyA e f utilizzando le altre due equazioni, quelle in cui compaiono r e J, che nonabbiamo ancora sfruttato.Veniamo quindi adesso alla terza equazione. Sulla base di quanto sopra possiamoæ ö rscrivere Ñ× ç- -Ñf÷ =è t A e, invertendo gli operatori e Ñ, otteniamo:ø e0tr-Ñ 2 f - Ñ × = t ( A)e0Se vi ricordate, si era scelta in magnetostatica la condizione su A ( Ñ× A = 0 ). Sefacciamo anche adesso questa posizione, l'equazione scritta si semplifica enormemente(e ritorna uguale a quella che valeva nell'elettrostatica). Si vede tuttavia chein questo modo complicheremo la 4° equazione (quella che ancora non si scritta).Risulta conveniente quindi aspettare un attimo prima di scegliere la condizione perla divergenza di A.Vediamo quindi questa 4 a 2 J equazione c ( Ñ´ B)= + Ee0 tPossiamo scrivere, lasciando il solo J al secondo membro:2 æ ö Jc ( Ñ´ ( Ñ´ A))- ç- A -Ñf÷ = t è tø e0Cosa Ñ´ ( Ñ´ A )? é l'equivalente di ( a ´ ( b ´ c) = ( a × c) b -( a × b) c)per cui Ñ´ ( Ñ´ A) =Ñ( Ñ× A)-Ñ2 A22 2Segue quindic [ Ñ( Ñ × A ) - Ñ A ] + + Ñ =2tA Jf teSe ponessimo Ñ× A = 0, J determinerebbe sia A ed in parte f complicando quindi.la soluzione delle equazioni.Poniamo invece (CALIBRO DI LORENTZ) Ñ× A = -Con questa posizione le nostre due ultime equazionisi possono scrivere come a lato.Cosa possiamo notare in queste equazioni?Non otteniamo equazioni semplici come neicasi statici, tuttavia:1) f dipende solo da r mentre A dipende soloda J.2) le due dipendenze sono identiche.3) vi una particolare simmetria: le 4 coordinate ÒxÓ, ÒyÓ, ÒzÓ ed ÒictÓ, con ÒiÓcoefficiente immaginario, compaiono nello stesso identico modo.Si ottiene quindi che le quattro equazioni di Maxwell si possono scrivere come:12c tf2 -Ñ - æ 1 öf ç -èø÷ =2 f rt c t e022 1 J-Ñ A + A =2 22c t e c00Capitolo 13 8 9/29/94

ìïE = -Ñf- A tïïB= Ñ ´ Aï2í 2 1 Ñ f - = -ï f r2 2c te0ï2ï 2 1 JïÑ A - A = -2 2î c t e0c2Che soluzione ci si pu˜ aspettare nello spazio vuoto per f od AÊ?Soluzioni delle Equazioni di Maxwell tranite onde piane.2Prendiamo ad esempio 2 2 22ff f 1 + + - f = 0 e domandiamoci che soluzionitale equazione ammetta.2 2 2 2 2x y z c tLa f = F0sin( 2p( K × R - nt + j)) = F0sin( 2p( Kxx + Kyy + Kz z - nt+ j))una possibile soluzione.Si ha infatti che 2 2f = - 4p K f2xed analoghe, inoltre x f w 2= - f ove w = 2 pn.2tPer cui, sostituendo, si pu˜ verificare quanto detto, purchŽ valga22 2 2 2( Kx + Ky + Kz) = K = n o, che lo stesso, n = Kc2cSi vede quindi che la generica soluzione un'onda avente identica fase (allostesso istante) in tutti i punti appartenenti ad un medesimo piano normale al vettored'onda K.Nella figura K × R = K × R'.Se prendiamo l'asse x nella direzione di K si pu˜riscrivere la soluzione comef = F 0sin( 2pKx ( - ct ) + j). Ad un istante generico ipunti aventi fase assegnata sono quelli postiRKnei piani definiti da x = costante + ct (il piano, luogodei punti a fase assegnata, si sposta nel tempocon velocitˆ c).R'Per funzioni del tipo di queste trovate uso definirele seguenti grandezze.Lunghezza d'onda l: distanza tra due piani perpi quali (allo stesso istante) la fase differisce di 2p.In formule si ha ( t e j sono gli stessi): Kx ( - x)= .2 11Per cui, dato che ( x2 - x1)= l (lunghezza d'onda), ci ha: l = 1 KPeriodo T: intervallo di tempo (T) occorrente perchŽ la fase in un dato puntodello spazio vari di 2p. Si trova facilmente che KcT = 1 e quindi T = 1 nAmpiezza : il valore di F 0.2Capitolo 13 9 9/29/94

Data la linearitˆ dell'equazione differenziale si conclude quindi: ove le cariche edensitˆ di corrente sono nulle la soluzione generale per f ed A costituitadalla sovrapposizione di onde propagantesi con velocitˆ c. Ciascun termine dellasommatoria sarˆ caratterizzato da propri valori per ampiezza, periodo, vettore K, esfasamento f.Notiamo una particolaritˆ.Se invece di prendere sin( 2pkx( - ct) + f)avessimo considerato funzioni del tipo disin( 2pkx( + ct) + f), avremmo trovato che esse pure sono soluzioni dell'eq. delle ondein quanto, nella equazione differenziale, compare la derivata seconda rispetto altempo.Potremo domandarci quale la forma pi generale che pu˜ assumere la soluzionedell'equazione delle onde: 221 f = f2 2 2x c tLa soluzione generale del tipo f = f ( x - ct) + g( x + ct) ove f e g sono funzioniarbitrarie.Consideriamo infatti la funzione f( x - ct).Avremo f x ct f x ctx ( - ) = '( - ) ove f' = y f( y), per cui: x222f ( x - ct ) = f "( x - ct ).Analogamente : f x ct c f x ctt ( - ) = - '( - ),e quindi 2f ( x - ct) = c f''( x - ct).2 tSi verifica quindi che 221 2 2 2 x f ( x - ct ) = f ''( x - ct ) = f( x - ct)indipendentementec tdalla particolare funzione f.Una cosa analoga vale evidentemente pure per la g(x+ct).Esistono poi dei teoremi (dovuti a Fourier) che assicurano che ogni funzione deltipo indicato pu˜ essere espressa come una sommatoria pesata di funzioni seni ocoseni. Detti teoremi insegnano inoltre a trovare i pesi relativi.Tutto questo per i potenziali f ed A ma cosa accade di E e B?Si pu˜ vedere facilmente che, pure per E e per B, le soluzioni (nello spazio vuoto)sono dello stesso tipo di quelle indicate per i potenziali. Ci˜ evidente pureguardando le equazioni che connettono E e B a f ed A. Infatti le derivate di seni ecoseni sono esse stesse seni e coseni.Vediamo tuttavia la cosa in dettaglio.2 2Consideriamo B = Ñ ´ A e calcoliamo il Laplaciano di ambo i membri Ñ B = Ñ ( Ñ ´ A).Dato che Ñ 2 un operatore scalare, si pu˜ invertire Ñ 2 e Ñ´.Per rendercene conto prendiamo una componente2 2 22æ öÑ ç-èø÷ = æ çè+ + öø÷ æ çè- ö2 2 2÷ x A y A x y z x A y Ay x y x.E' evidente che la precedenteø2 2 22 2 2 éæ ö ù equazione si pu˜ pure scrivere come êç+ + AA2 2 2 ÷ y2 2 2 x x ëè x y z ø ûú - éæ y x + y + ö ùêç÷ úëè z ø û2 2 2Si vede quindi che: Ñ B = Ñ ( Ñ ´ A) = Ñ ´ ( Ñ A).Capitolo 13 10 9/29/94

22 1 Dato che nello spazio vuoto Ñ A = A si ottiene2 2c tÑ = Ñ ´ æ 2222 1 ö 1 2 1 B ç A÷ = ( Ñ ´ A), cio infine Ñ B = B2 2 2 22 2èc t ø c tc tProcedendo in modo analogo partendo dalla: E = -Ñf- A si ha:tÑ Ñ = Ñ Ñ = Ñ æ 222 2è ç 1 ö 1( f) ( f)÷ = Ñ2 2 2 2 f f e Ñæ 22 d öc t ø c tè ø = dÑ 2= 1 æ dA ( A)Aö.2 2dt dt c t èdtø2 1Sommando membro a membro e cambiando di segno si trova infine: Ñ E =2cddt22E.Per la soluzione di queste equazioni valgono ovviamente le stesse considerazioniche si erano viste per il caso di f od A nel vuoto. In particolare la soluzione pu˜essere sempre scomposta in una sommatoria di onde piane.Orientazione spaziale relativa dei tre vettori E, B e K.E' interessante vedere come devono essere orientati i campi B ed E in un'ondapiana descritta dal vettore d'onda K.Riscriviamo per questo le eq. di Maxwell per lo spazio vuoto.1) Ñ× E = 0 2)Ñ´ E = - B t2 E3) Ñ× B = 0 4)c Ñ´ B = tDalla 1 a e dalla 3 a segue immediatamente che E e B sono ortogonali alla direzionedi propagazione K.Sostituendo ad esempio E = E0sin( 2pK × r - wt ) nella 1) si trova cheÑ× E = 2p( E0xk x+ E0yky + E0zkz) × cos ( 2pK × r - wt) = 0, da cui si deduce( E0xk x+ E0yky + E0zkz) = 0. Sostituendo invece B = B0sin( 2pK × r - wt ) nella 3), si verifical'analoga relazione per il Campo Magnetico.In modo simile segue dalla 2 che il campo elettrico e quello magnetico sono tra loroperpendicolari.Sostituendo, si trova ad esempio per la componente z, che x E y E By-x= 0 z. Dacui: KxE0y - KEy 0x = B0z. Procedendo analogamente con le componenti x ed y si vedefacilmente che K ´ E µ B od anche che E ´ B µ K.Per un campo che si propaga in direzione x avremo in generaleEy= f ( x - ct) + g( x + ct) Ez= h( x - ct) + w( x + ct)cBz= f ( x - ct) + g( x + ct) cBx= h( x - ct) + w( x + ct)con f , g, h e w funzioni qualunque.Data l'arbitrarietˆ delle funzioni suddette, non detto che le direzioni di polarizzazionedi E e B siano le stesse in ogni punto o, in un dato punto, restino costanti neltempo. In generale esse ruoteranno nel piano "yz" in modo arbitrario. TuttaviaE e B resteranno sempre perpendicolari tra loro e con E ´ B puntato nella direzionedi propagazione.Capitolo 13 11 9/29/94

La soluzione pi generale al problema dei campi E e B nello spazio libero sarˆuna sommatoria di soluzioni di questo tipo con i vettori K orientati in tutte ledirezioni.Si detto che le direzioni di polarizzazione dei campi non sono, in generale,costanti nŽ nello spazio, ne nel tempo. Vi sono delle situazioni particolarmentesemplici che opportuno ricordare:1) Polarizzazione rettilinea. In questo caso la direzione dei suddetti vettoricostante nel tempo e non varia da punto a punto.es. E = E0sin( 2pK × r - wt ) , B = B0sin( 2pK × r - wt)2) Polarizzazione circolare. In questo caso la direzione dei suddetti vettoriruota nel tempo con velocitˆ angolare costante. Dato che i campi si propagano convelocitˆ finita, detta direzione cambia da punto a punto. Resta invece costantel'ampiezza dei campi. In un disegno, il punto rappresentativo del vettore camposarebbe posto su di una spirale che ruota nel tempo attorno al suo asse.[ ( ) × + ( × - ) × ]es. E = E0sin 2pK × r - wt j cos 2pK r w t k ed analoga per B.3) Polarizzazione ellittica. Simile a quella circolare con la differenza che leampiezze non restano costanti nel tempo. A causa di ci˜ il punto rappresentativopercorre un'ellisse.( ) × + ( × - ) ×es. E = E sin 2pK × r - wt j E cos 2pK r w t k con E ¹ E , ed analoga per B.0 10 1Soluzione tramite onde sferiche.Abbiamo parlato della soluzione delle equazioni di Maxwell tramite onde piane.Spesso detta soluzione non la pi adatta a descrivere i campi. Ci˜ accadequando le superfici di uguale fase sono molto diverse da piani.Per fare un parallelo ricordiamo ci˜ che accade allorchŽ gettiamo un sasso inuno stagno: le superfici di uguale fase sono delle circonferenze. In tre dimensioniavremmo delle sfere.Se vogliamo descrivere ci˜ che accade tutto intorno ad una zona di spazio ovesiano presenti cariche e correnti opportuno cercare delle soluzioni base alle nostreequazioni che possiedano simmetria sferica. In questo modo la soluzione al nostroproblema potrˆ verosimilmente essere espressa con una sommatoria poche soluzionibase.22 1 dL'equazione di partenza Ñ y - y = 0 ove y pu˜ essere sia il potenziale2 2c dtscalare che una qualunque componente del potenziale vettore o dei campi elettricoo magnetico.Vogliamo cercare delle soluzioni per le quali y = y()r con r =2 2 2x + y + z distanzada un punto prefissato.2 2 22 In coordinate cartesiane Ñ = + +2 2 2 x y z; vogliamo scrivere questo operatoresotto una forma pi adatta alla risoluzione del presente problema.Domandiamoci cosa Ñ 2 y se y dipende solo da r.Avremo 22 2 y y ræ r ö r() r = '() r × ; y() r = y"() r ç ÷ + y'()r22x x xè xø xove r x x x 2 y 2 z 2 1/ 2 1x 2 y 2 z 2 -1/2x x= ( + + ) = ( + + ) × 2 =2rCapitolo 13 12 9/29/94

e 22r 1 1 2 1 122 12 x x xr - r - x r - r x x æ x ö= ( ) = + (-) × = - × = ç - ÷ . x r r r r è r ø222x 1 æ x öSi trova quindi y() r = y"() r × + y'()r ×22ç 1 -2 ÷. xr r è r øAnalogamente si perviene a : 222 y y yy 1 æ y ö() r = "() r × + '() r ×22ç 1 -2 ÷ eyr r è r ø222 y y zy 1 æ z ö() r = "() r × + '() r ×22ç 1 -2 ÷, per cui, sommando le tre espressioni si ha:zr r è r ø2 2 22 2 2æöæ+ + ö2 x y z1 x y zÑ = ç + + ÷ + -èøç÷èø= + × 2y() ry"() r y'() r2 2 23 y"() r y'()r2r r rr rr .Dal fatto che d 2d( ry()) r = ( y() r + ry'()) r = y'() r + y'() r + ry"() r = 2y'() r + ry"()r2dr dr21 dpotremo infine scrivere Ñ 2 y( r) = ( ry( r )).2r drTenendo conto di ci˜, la nostra equazione di partenza pu˜ essere allora scrittacome22221 d 1 dd 1 d( ry)- y = 0 od anche ( ry) = ( ry)2 2 22 2 2r dr c dtdr c dtSi trovato quindi che per il prodotto ( ry ) vale la stessa equazione differenzialedel caso unidimensionale. Potremo quindi scrivere ry(,) r t = f( r - ct), odanche y (,) rt = 1( )r f r -ct.Questa l'espressione generale per un'onda sfe-ricale cui superfici a fase assegnata si allontananodall'origine.Ci sono due differenze con la soluzione tramite ondet=tpiane.1La prima cosa da notare il fattore 1 . Ci˜ significat=t 2rche, a differenza che nel caso dell'onda piana in cuil'onda non si attenuava allontanandosi verso l'infinito,adesso c'e' unarattenuazione.Quale pu˜ essere il significato fisico di questo fatto?La densitˆ di energia associata all'onda proporzionale ad E 2 o B 2 . Man manoche l'onda si espande aumenta il volume occupato dai campi (~ÊR 2). Riferendoci1alla figura, perchŽ il prodotto E 2 dV resti costante occorre che E ~ RSe accadesse diversamente saremmo indotti a ritenere non valida la legge diconservazione dell'energia .Come mai, nel caso delle onde piane, la propagazione avveniva senzaattenuazione?Il secondo aspetto da notare che si trascurata la soluzione: y(,) rt = 1( )r gr + ctCapitolo 13 13 9/29/94

anche se questa funzione pure soluzione delle equazioni di Maxwell.Domandiamoci, che situazione fisica descrive.Detta soluzione rappresenta unÕonda che parte dall' infinito, si propaga versol'origine aumentando di ampiezza via via che procede ed arriva sull'origine proprionell'istante in cui noi facciamo muovere le cariche.Questo non succede mai in pratica; l'esperienza mostra che il solo fenomenoche accade che, quando si muovono delle cariche, si generano delle ondeche si espandono ( il contrario non accade mai). La funzione con il segno + siscarta per il semplice motivo che essa descrive dei fenomeni che, anche se teoricamentepossibili( le equazioni di Maxwell sono invarianti rispetto allo scambio di (t) in(- t) ), non si vedono accadere in pratica.f( r -ct)Osserviamo adesso che la soluzione trovata y ( xyzt , , , ) = presenta unardivergenza nell'origine. PerchŽ questo accade?Fisicamente non ci si aspetta un simile comportamento, ed infatti, se risolvessimo22 1 yl'equazione differenziale completa Ñ y - = -S con S = S(x,y,z,t) tale divergenza2 2c tnon comparirebbe.zSi pu˜ vedere cosa accade anche ragionando dal punto divista fisico. Chiaramente le differenze tra l'equazione correttadV pe quella valida nello spazio libero provengono dallazona vicino all'origine, ove sono le cariche.Per seguire meglio il ragionamento che faremo scriviamo laf( t -r/ c)nostra y (,) rt come y (,) rt =ry Supponiamo che il campo y sia dovuto a cariche o correntilocalizzate nella regione punteggiata di figura. Supponiamoxdi voler vedere cosa accade in un punto "p" che sia ancheprossimo od interno alla distribuzione. Per il principio disovrapposizione, il campo y la somma di tutti i dy dovuti a tutti gli elementi divolume dV nei quali possiamo pensare suddivisa la nostra distribuzione. Per1 æ r12, öciascuno di essi avremo: dy ( 2, t)= df çt- ÷, ove con 2 indichiamo la posizioner è12 ,c ødel punto "p" e con 1 quella del dV.Sommando, od integrando, avremo quindi:1 ri, 2y ( 2, t)= df öå çt- ÷i r èi,2c øo1 ri, 2y( 2, t)= df öòçt- ÷r èi,2c ø¥Notiamo che, se il nostro punto molto lontano dalle cariche, allora tutte ledistanze che compaiono nelle espressioni scritte sono praticamente uguali. Ci˜ fasi che le si possano portare fuori dei segni di integrale o di sommatoria, ritrovandof( t -r/ c)quindi una soluzione del tipo y (,) rt = . Nel caso in cui il nostro punto siarinterno alla zona interessata da cariche o correnti dovremo, nella sommatoriaescludere il dV che contiene il punto. Nel caso dell'integrale ci˜ non si renderˆnecessario poichŽ tale dV darˆ contributo nullo in quanto df » dV » l, per cuiCapitolo 13 14 9/29/94

df» l2 .rResta da trovare la relazione intercorrente tra il df e le cariche o correnticontenute nel dV.Per rispondere a ci˜ domandiamoci a che cosa si riduce, in vicinanza dall'origine,la funzione dy scritta sopra.In f( t - r/ c)il termine r/ c rappresenta un termine di ritardo temporale.Per descrivere ci˜ che accade al tempo t, in un punto a distanza r dalle miecariche o correnti devo conoscere la situazione delle sorgenti all' istanteantecedente (t - r/c). E` ovvio che tale precisazione sarˆ importante solo se iltempo r/ c abbastanza lungo da permettere alla situazione fisica della sorgente dimutare in modo apprezzabile.Se mi avvicino sufficientemente alla sorgente, r/ c diverrˆ quindi talmente piccoloda poter essere omesso. Per cui si potrˆ scrivere la funzione limite per r ® 0 comedf () t: dy =rQuesta soluzione limite a che cosa assomiglia?Ricorda il potenziale coulombiano all'esterno di una carica (sferica) dq In quelcaso avevamo infattidqdf= æ è ç ö 1r()r÷ × , che era soluzione della equazione differenziale: Ñ 2 f = -4pe0ø re0Basta osservare le formule scritte per concludere che una funzione tipodf () tdy =rsoluzione di una equazione differenziale tipo Ñ 2 y = -srt(,)Era da aspettarsi questa analogia formale?Che relazione dovrˆ esserci tra df ed srt (,)?Evidentemente la stessa che c'era tra r dVe r ; per cui: df () t = 1 s(,)r t dV4pe0e 04psrt (,) pu˜ essere, a seconda dei casi o r Jioppure2e 0e 0c.oveConcludendo, si trova quindi cheì 1 r( 1,t -r12,c)ïF( 2,t) =dV1ï 4peò0r¥ 12 ,ï1 J( 1,t -r12,c)ïA( 2,t) =dV21í 4pe0còr¥ 12 ,ïïr E = -ÑF- Aï trîïB = Ñ ´ AAndamento dei campi a grande distanza dalle sorgentiCapitolo 13 15 9/29/94

Sappiamo che i campi, come i potenziali, a grande distanza vanno come f ( t - r / c )rCome mai questo accade? (In elettrostatica ed in magnetostatica i campi andavanocome r -2 )I campi dipendono dalle derivate spaziali dei potenziali.Ora che differenza c' , ad esempio, tra il potenziale f dovuto a cariche ferme equello dovuto a cariche variabili nel tempo?La risposta evidentedal disegno ove graficatoil potenziale, ad unAPotenziale dovuto ad una correntestatica di valore +i. Va come 1/ristante assegnato, inPotenziale dovuto ad una corrente di funzione della distanzavalore i¥cos(Wt). Si inviluppa tra le duedallÕorigine per tre casi.curve corrispondenti a correnti Nel primo e nel secondo,per correnti stati-statiche di valore +i e -iche di valore costantenel tempo +i e -i. Nelterzo, per una ipoteticar corrente di valorei¥cos(Wt).Come si vede, in questoultimo caso, le derivatespaziali (nel casodi B sono le unicheche contano) sonoPotenziale dovuto ad una correntemolto pi grosse chestatica di valore -i. Va come 1/rnei casi statici (soloper distanze piccole rispettoalla lunghezzad'onda le derivate sono confrontabili con quelle che si hanno nei casi statici).E' questo il motivo per cui nel caso statico i campi che vanno come 1 mentre2rnel caso dinamico vanno come 1/r. Ci˜ un effetto del potenziale ritardato: [ f(tr/c)]Le variazioni temporali delle caratteristiche delle sorgenti si traducono invariazioni spaziali dei potenziali( per calcolare il potenziale in punti diversi devovalutare la f ad istanti diversi). Questo fa aumentare grandemente il valoredelle derivate a grande distanza.Potremo pure calcolare il valore medio delle derivate. Riferendoci alla figura,passando da un massimo al minimo successivo posti a distanza R dall'originemolto grande rispetto a l, il potenziale cambia approssimativamente diaR +l2a a- æ -öè R ø @ 2Rmentre l'interdistanza tra detto massimo e minimo , in ognicaso, pari a l/2 per cui f 2a2 a= × = æ 4 ö r R l è l ø × 1 . Si vede quindi come le derivateRvadano come 1/r.Per piccole distanze la variazione del potenziale dovuta in primo luogo alladipendenza come r -1 del potenziale piuttosto che al ritardo temporale. In questeCapitolo 13 16 9/29/94

condizioni avremo quindi campi che vanno come r -2 .Come esercizio vediamo di effettuare il calcolo dei campi dovuti ad un dipolooscillante (faremo qui vedere solo come si procede senza portare il calcolo fino infondo).Supponiamo di avere due cariche di cuir una negativa fissa e l'altra, positiva, in(2) 12(1) moto.Se la carica positiva si muove in direzionev +dell'asse z avremo un momento dipolarerdipendente dal tempo dato da:p( t) = q × d( t).-Vicino al dipolo i campi saranno quellisoliti per un campo dipolare, con la soladifferenza che adesso il momento dipolarep funzione del tempo.Per vedere cosa accade molto lontanodobbiamo calcolarci i potenziali f ed A..Calcoliamoci A . L'unica componente nonnulla di A sarˆ A z(la carica si muovelungo l'asse z) per cui:1 Jz( 2, t - r12/ c)Az(,) 1t=dV224pe0còr12La densitˆ di corrente potremo riscriverla come J = r v per cuit r c v t r cA (,) 1 r( 2, -12/ ) ( 2, -12/ )z1t=2dV24pe0còr12Se siamo a grandi distanze possiamo porre r12 » r, considerando con ci˜ uguali ledistanze tra il punto (1) ed i vari punti della carica positiva e trascurando inoltre ladifferenza nel ritardo temporale ( r12 / c)per punti diversi della carica ( in praticasignifica supporre v

oray r -1 yr -= -3 ed inoltrey p˙˙˙ pc r -1= - yper cui si ottieneB = 1 é yypt r cc r- + cr pt -rc ùx˙( / ) ˙˙( / )2 + 3 24pe0ëêûúIn modo analogo si ricavano le altre componenti dei campi.Discutiamo quanto ricavato.Il primo dei due termini descrive un campo che varia come r -2 (Ê il campo magneticoche avremo per una carica in moto).Il secondo un termine nuovo e decresce come r -1 . Inoltre va notato comeesso sia proporzionale all'accelerazione ˙ṗ della carica stessa.Si trovano quindi quei risultati che erano descritti in quelle formule date per buoneall'inizio dell'anno e che ora saremmo pure in grado di ricavare.Pu˜ sembrare a questo punto si siano giˆ dati tutti i concetti fondamentalidell'elettromagnetismo .C' per˜ da affrontare un ultimo aspetto che sotto molti aspetti sorprendente.Per convincerci che manca ancora qualche cosa di molto importante consideriamoil seguente esempio.Supponiamo che in prossimitˆdel bordo di un disco di plasticavincolato a ruotare attorno adun asse verticale siano incastonatedelle sferette metalliche cariche(+q) e che vicino al centrosia posta una piccola bobina collegatacon una batteria in modotale che in essa circoli una correntei. Supponiamo pure chesul disco sia posto un congegnoad orologeria che, ad un determinatoistante, apra un interruttoreinterrompendo cos“ lacorrente. Cosa accadrˆ?Il campo magnetico andrˆ a zero, e si genererˆ quindi un campo elettrico le cuicaratteristiche saranno descritte dalla: ò E × dl = - F( B)GtSe si prende come curva G la circonferenza che passa per le sfere potremocalcolarci il campo elettrico E agente sulle cariche.Ne risulterˆ su ogni sfera una forza F = qE ed avremo quindi un momentoassiale di forza che metterˆ in moto il dischetto. Potremo calcolarci pure la velocitˆangolare che il dischetto assumerˆ. Infatti se indichiamo con N il numero dellesfere, con R la loro distanza dall'asse e con I il momento di inerzia assiale delsistema avremoÊ:M = Iẇ = NREq ove il campo elettrico sarˆ dato dalla: E × 2pR= - tF( B)Capitolo 13 18 9/29/94

Si ricava quindi che Iw˙ = - NRq = 1 F ( B), per cui la velocitˆ angolare W finale2pR tsarˆ data da W = Nq F( B)2pIMa come pu˜ accadere ci˜?In un sistema isolato il momento angolare una costante di moto; se il tuttoera fermo prima che la corrente si interrompesse, dovrˆ restare tutto fermo anchedopo.Questo paradosso ci mostra come ci sia ancora qualche cosa di molto importanteda analizzare.Capitolo 13 19 9/29/94