Teoria dei Giochi e Stackelberg 1) Si consideri la seguente matrice ...

3) In un modello di duopolio alla Stackelberg con leadership di quantità,l’impresa 1 si comporta da leader. La funzione di costo totale di ogni impresa èT C i = 5q i con i = 1, 2La funzione di domanda inversa di mercato è : p = 100 − 0, 5(q 1 + q 2 )3.1) Si determini la funzione di reazione dell’impresa 23.2) Si determino prezzo, quantità e profitti di equilibrio3.3) Se invece le imprese decidessero di colludere (formando un cartello),si determini se esiste un interesse delle singole imprese a rompere il cartello eperchè.SOLUZIONE3.1) Funzione di reazione dell’impresa 2 (Follower)Ricavi= pqRicavi marginaliRM 2 = p + ∂p∂q 2= 100 − 1 2 (q 1 + q 2 ) − 1 2 q 2 = 100 − 1 2 q 1 − q 2Ricavi marginali = Costi marginali100 − 1 2 q 1 − q 2 = 5R (q 1 ) = 95 − 1 2 q 1 è la funzione dell’agente 23.2) Per il Leader la funzione di reazione del follower è dataRicavi= pqRicavi marginali ( )RM 1 = p+ ∂p∂q 11 + ∂q2∂q 1= 100− 1 2 (q 1 + R (q 1 ))− 1 2Ricavi marginali = Costi marginali52, 5 − 1 2 q 1 = 5q1 ∗ = 95q2 ∗ = 95 23.3) CartelloMassimizzo la somma dei profittiΠ { = [100 − 0, 5(q 1 + q 2 )] (q 1 + q 2 ) − 5(q 1 + q 2 )∂Π∂q 1= 0∂Π∂q 2= 0{ [100 − 0, 5(q1 + q 2 )] − 1 2 (q 1 + q 2 ) = 5[100 − 0, 5(q 1 + q 2 )] − 1 2 (q 1 + q 2 ) = 5{ q∗1 = 95 2q2 ∗ = 95 2Incentivo a rompere il cartello∂Π∂q 1> 0 (dato q T = 95)∂Π∂q 1= p (q T = 95) + ∂p∂q 1q ∗ 1 − 5 > 0∂Π∂q 1= 52, 5 − 1 2 q∗ 1 − 5 > 0possiamo riscrivere q ∗ 1 = q T − q ∗ 2∂Π∂q 1= 52, 5 − 1 2 (q T − q ∗ 2 ) − 5 > 0se 1 2 (q∗ 2) > 0 c’è incentivo a rompere il cartello per l’impresa 1Utilizzando lo stesso metodose 1 2 (q∗ 1) > 0 c’è incentivo a rompere il cartello per l’impresa 2(1 −12)q1 = 52, 5− 1 2 q 14