Teoria dei Giochi e Stackelberg 1) Si consideri la seguente matrice ...

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1.2) L’Equilibrio di Nash risulta essere (1/3, 2/3) e (4/5, 1/5)1.3) Risolvendo il gioco in forma estesa si ottengono le seguenti funzioni direazione dell’agente 2R (A 1 ) = B 2R (B 1 ) = A 2R (C 1 ) = A 2conoscendo tali funzione di reazione, l’agente uno che muove per primosceglierà di giocare B 1 sapenddo che in tal caso R (B 1 ) = A 2 dandogli un payoffpari a 3Esito perfetto è quindi B 1 e A 22
2) Si consideri la seguente matrice dei payoff per un gioco simultaneo giocatouna sola volta dai giocatori 1 e 2A 2 B 2A 1 2, 2 4, 0B 1 3, −1 0, 12.1) Dopo aver eliminato le strategie pure strettamente dominate dai giocatori,si ricavino e si rappresentino le fuinzioni di risposta ottima. Si determinogli equilibri di Nash del gioco.2.2) Si riconsideri ora la matrice iniziale dei payoff del gioco e si suppongache il gioco sia invece sequenziale con informazione perfetta e che il giocatore 1muova per primo. Si costruisca l’albero del gioco in forma estesa e si determninogli esiti degli equilibri perfetti del gioco.2.3) Si riconsideri ora la matrice iniziale dei payoff del gioco e si suppongache il gioco sia invece sequenziale con informazione perfetta e che il giocatore 2muova per primo. Si costruisca l’albero del gioco in forma estesa e si determninogli esiti degli equilibri perfetti del gioco.BBSOLUZIONE2.1) Non ci sono strategie strettamente dominate.Strategie pure: Non ci sono equilibri in strategie purePer trovare le funzioni di risposta ottima impostiamo le seguenti diseguaglianzeA 1 è preferito a B 1 se2q + 4(1 − q) > 3qdove q è la probabilità che l’agente 2 giochi A e (1-q) la probabilità che giochie p è la probabilità che l’agente 1 giochi A e (1-p) la probabilità che giochirisolvendo ⎧ la diseguaglianza otteniamo la funzione di risposta dell’agente 1⎨ se q < 4/5 allora p = 1se q = 4/5 allora p ∈ [0, 1]⎩se q > 4/5 allora p = 0A 2 è preferito a B 2 se2p − (1 − p) > (1 − p)risolvendo ⎧ la diseguaglianza otteniamo la funzione di risposta dell’agente 2⎨ se p > 1/2 allora q = 1se p = 1/2 allora q ∈ [0, 1]⎩se p < 1/2 allora q = 02.2) L’Equilibrio di Nash risulta essere (1/2, 1/2) e (1/5, 4/5)2.3) Risolvendo il gioco in forma estesa si ottengono le seguenti funzioni direazione dell’agente 2R (A 1 ) = A 2 e R (B 1 ) = B 2conoscendo tali funzione di reazione, l’agente uno che muove per primosceglierà di giocare A 1 sapenddo che in tal caso R (A 1 ) = A 2 dandogli un payoffpari a 2Esito perfetto è quindi A 1 e A 23
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