Teoria dei Giochi e Stackelberg 1) Si consideri la seguente matrice ...

Teoria dei Giochi e Stackelberg1) Si consideri la seguente matrice dei payoff per un gioco simultaneo giocatouna sola volta dai giocatori 1 e 2A 2 B 2 C 2A 1 4, −2 0, 0 1, −1B 1 3, 1 4, 0 2, −1C 1 2, 3 −2, 2 0, 01.1) Dopo aver eliminato le strategie pure strettamente dominate dai giocatori,si ricavino e si rappresentino le fuinzioni di risposta ottima.1.2) Si determino gli equilibri di Nash del gioco.1.3) Si riconsideri ora la matrice iniziale dei payoff del gioco e si suppongache il gioco sia invece sequenziale con informazione perfetta e che il giocatore 1muova per primo. Si costruisca l’albero del gioco in forma estesa e si determninogli esiti degli equilibri perfetti del gioco.SOLUZIONE1.1) La strategia C 1 è strettamente dominata da A 1 e da B 1Il gioco diventaA 2 B 2 C 2A 1 4, −2 0, 0 1, −1B 1 3, 1 4, 0 2, −1La strategia C 2 è strettamente dominata da B 2Il gioco diventaA 2 B 2A 1 4, −2 0, 0B 1 3, 1 4, 0BBPer trovare le funzioni di risposta ottima impostiamo le seguenti diseguaglianzeA 1 è preferito a B 1 se4q + 0(1 − q) > 3q + 4(1 − q)dove q è la probabilità che l’agente 2 giochi A e (1-q) la probabilità che giochie p è la probabilità che l’agente 1 giochi A e (1-p) la probabilità che giochirisolvendo ⎧ la diseguaglianza otteniamo la funzione di risposta dell’agente 1⎨ se q > 4/5 allora p = 1se q = 4/5 allora p ∈ [0, 1]⎩se q < 4/5 allora p = 0A 2 è preferito a B 2 se−2p + (1 − p) > 0risolvendo ⎧ la diseguaglianza otteniamo la funzione di risposta dell’agente 2⎨ se p < 1/3 allora q = 1se p = 1/3 allora q ∈ [0, 1]⎩se p > 1/3 allora q = 01

1.2) L’Equilibrio di Nash risulta essere (1/3, 2/3) e (4/5, 1/5)1.3) Risolvendo il gioco in forma estesa si ottengono le seguenti funzioni direazione dell’agente 2R (A 1 ) = B 2R (B 1 ) = A 2R (C 1 ) = A 2conoscendo tali funzione di reazione, l’agente uno che muove per primosceglierà di giocare B 1 sapenddo che in tal caso R (B 1 ) = A 2 dandogli un payoffpari a 3Esito perfetto è quindi B 1 e A 22

2) Si consideri la seguente matrice dei payoff per un gioco simultaneo giocatouna sola volta dai giocatori 1 e 2A 2 B 2A 1 2, 2 4, 0B 1 3, −1 0, 12.1) Dopo aver eliminato le strategie pure strettamente dominate dai giocatori,si ricavino e si rappresentino le fuinzioni di risposta ottima. Si determinogli equilibri di Nash del gioco.2.2) Si riconsideri ora la matrice iniziale dei payoff del gioco e si suppongache il gioco sia invece sequenziale con informazione perfetta e che il giocatore 1muova per primo. Si costruisca l’albero del gioco in forma estesa e si determninogli esiti degli equilibri perfetti del gioco.2.3) Si riconsideri ora la matrice iniziale dei payoff del gioco e si suppongache il gioco sia invece sequenziale con informazione perfetta e che il giocatore 2muova per primo. Si costruisca l’albero del gioco in forma estesa e si determninogli esiti degli equilibri perfetti del gioco.BBSOLUZIONE2.1) Non ci sono strategie strettamente dominate.Strategie pure: Non ci sono equilibri in strategie purePer trovare le funzioni di risposta ottima impostiamo le seguenti diseguaglianzeA 1 è preferito a B 1 se2q + 4(1 − q) > 3qdove q è la probabilità che l’agente 2 giochi A e (1-q) la probabilità che giochie p è la probabilità che l’agente 1 giochi A e (1-p) la probabilità che giochirisolvendo ⎧ la diseguaglianza otteniamo la funzione di risposta dell’agente 1⎨ se q < 4/5 allora p = 1se q = 4/5 allora p ∈ [0, 1]⎩se q > 4/5 allora p = 0A 2 è preferito a B 2 se2p − (1 − p) > (1 − p)risolvendo ⎧ la diseguaglianza otteniamo la funzione di risposta dell’agente 2⎨ se p > 1/2 allora q = 1se p = 1/2 allora q ∈ [0, 1]⎩se p < 1/2 allora q = 02.2) L’Equilibrio di Nash risulta essere (1/2, 1/2) e (1/5, 4/5)2.3) Risolvendo il gioco in forma estesa si ottengono le seguenti funzioni direazione dell’agente 2R (A 1 ) = A 2 e R (B 1 ) = B 2conoscendo tali funzione di reazione, l’agente uno che muove per primosceglierà di giocare A 1 sapenddo che in tal caso R (A 1 ) = A 2 dandogli un payoffpari a 2Esito perfetto è quindi A 1 e A 23

3) In un modello di duopolio alla Stackelberg con leadership di quantità,l’impresa 1 si comporta da leader. La funzione di costo totale di ogni impresa èT C i = 5q i con i = 1, 2La funzione di domanda inversa di mercato è : p = 100 − 0, 5(q 1 + q 2 )3.1) Si determini la funzione di reazione dell’impresa 23.2) Si determino prezzo, quantità e profitti di equilibrio3.3) Se invece le imprese decidessero di colludere (formando un cartello),si determini se esiste un interesse delle singole imprese a rompere il cartello eperchè.SOLUZIONE3.1) Funzione di reazione dell’impresa 2 (Follower)Ricavi= pqRicavi marginaliRM 2 = p + ∂p∂q 2= 100 − 1 2 (q 1 + q 2 ) − 1 2 q 2 = 100 − 1 2 q 1 − q 2Ricavi marginali = Costi marginali100 − 1 2 q 1 − q 2 = 5R (q 1 ) = 95 − 1 2 q 1 è la funzione dell’agente 23.2) Per il Leader la funzione di reazione del follower è dataRicavi= pqRicavi marginali ( )RM 1 = p+ ∂p∂q 11 + ∂q2∂q 1= 100− 1 2 (q 1 + R (q 1 ))− 1 2Ricavi marginali = Costi marginali52, 5 − 1 2 q 1 = 5q1 ∗ = 95q2 ∗ = 95 23.3) CartelloMassimizzo la somma dei profittiΠ { = [100 − 0, 5(q 1 + q 2 )] (q 1 + q 2 ) − 5(q 1 + q 2 )∂Π∂q 1= 0∂Π∂q 2= 0{ [100 − 0, 5(q1 + q 2 )] − 1 2 (q 1 + q 2 ) = 5[100 − 0, 5(q 1 + q 2 )] − 1 2 (q 1 + q 2 ) = 5{ q∗1 = 95 2q2 ∗ = 95 2Incentivo a rompere il cartello∂Π∂q 1> 0 (dato q T = 95)∂Π∂q 1= p (q T = 95) + ∂p∂q 1q ∗ 1 − 5 > 0∂Π∂q 1= 52, 5 − 1 2 q∗ 1 − 5 > 0possiamo riscrivere q ∗ 1 = q T − q ∗ 2∂Π∂q 1= 52, 5 − 1 2 (q T − q ∗ 2 ) − 5 > 0se 1 2 (q∗ 2) > 0 c’è incentivo a rompere il cartello per l’impresa 1Utilizzando lo stesso metodose 1 2 (q∗ 1) > 0 c’è incentivo a rompere il cartello per l’impresa 2(1 −12)q1 = 52, 5− 1 2 q 14

4) In un modello di duopolio alla Stackelberg con leadership di quantità,l’impresa 1 si comporta da leader. La funzione di costo totale di ogni impresa èT C i = 10q i con i = 1, 2La funzione di domanda inversa di mercato è : p = 100 − (q 1 + q 2 )4.1) Si determini la funzione di reazione dell’impresa 24.2) Si determino prezzo, quantità e profitti di equilibrio4.3) Se entrambe le imprese si comportassero da leader, quali sarebberoprezzo e quantità prodotte?.SOLUZIONE4.1) Funzione di reazione dell’impresa 2 (Follower)Ricavi= pqRicavi marginaliRM 2 = p + ∂p∂q 2= 100 − (q 1 + q 2 ) − q 2 = 100 − q 1 − 2q 2Ricavi marginali = Costi marginali100 − q 1 − 2q 2 = 10R (q 1 ) = 45 − 1 2 q 1 è la funzione dell’agente 24.2) Per il Leader la funzione di reazione del follower è dataRicavi= pqRicavi marginali ( )RM 1 = p + ∂p∂q 11 + ∂q2∂q 1= 55 − q 1Ricavi marginali = Costi marginali55 − q 1 = 10q1 ∗ = 45q2 ∗ = 22, 54.3) Entrambe leaderDalla simmetria tra le imprese ottengo che q1 ∗ = q2 ∗ = 45p=100-45-45=0Π = 10(45) − 10(45) = 0Profitto nullo per tutte e due le imprese.5