Esercizi sul calcolo di autovalori ed autovettori per matrici di ordine 3

Esercizio 1Corso di Matematica IIAnno Accademico 2009–2010.Esercizi di Algebra Lineare.Calcolo di autovalori ed autovettoriMay 7, 2010Commenti e correzioni sono benvenuti.Mi scuso se ci fosse qualche errore banale di calcolo,nonché per l’italiano non proprio manzoniano.Nota: ho utilizzato come definizio/notazione di polinomiocaratteristico di una matrice M il polinomioDet(λ − M), piuttosto che detM − λ.Si trovino gli autovalori ed i corrispondenti autovettori della matrice⎡ ⎤2 −3 0A := ⎢⎣ −1 0 0 ⎥⎦ .−1 1 1SoluzioneCerchiamo prima gli autovalori di A. Il polinomio caratteristico di A è⎡⎤λ − 2 3 0Det(λ1 − A) = Det ⎢⎣ 1 λ 0 ⎥⎦ (0.1)1 −1 λ − 1Sviluppando il determinante lungo la terza colonna 1 si ha( [ ]) λ − 2 3Det(λ1 − A) = (λ − 1) Det= (λ − 1)((λ − 2)λ − 3) =1 λ1 C’est plus facile.....(λ − 1)(λ 2 − 2λ − 3) = (λ − 1)(λ + 1)(λ − 3).1

Quindi il polinomio caratteristico ha tre radici distinte, (λ 1 = 1,λ 2 = −1,λ 3 =3), e dunque queste tre radici sono autovalori.Dobbiamo ora determinare gli autovettori pertinenti ai tre autovalori, cioè,per i = 1, 2, 3 fissati dobbiamo trovare i vettori Ψ i che soddisfinoAΨ i = λ i Ψ i , o, in modo equivalente, (λ i 1 − A)Ψ i = 0.1. i = 1,λ 1 = 1. Dobbiamo considerare il nucleo della matrice 1 − A, ovverotrovare i vettori (non nulli) Ψ 1 = (x,y,z) che soddisfino (sostituendo λ = 1nella equazione (0.1)),⎡⎣−1 3 01 1 0−1 1 0⎤⎡⎦⎣xyz⎤⎡⎦ = ⎣000⎤⎦. (0.2)In altre parole, dobbiamo risolvere, nelle tre variabili x,y,z, il sistema⎧⎨ −x + 3y = 0x + y = 0(0.3)⎩−x + y = 0Le soluzioni di questo sistema sono: (x = 0,y = 0,z = qualsiasi), e dunquegli autovettori di A relativi all’autovalore λ = 1 sono:⎡ ⎤0Ψ 1 = ⎣ 0 ⎦, z ≠ 0.zNote:i) Notando che, per esempio, la prima riga della matrice qui sopra è 2 voltela terza più la seconda, ci si può ridurre, in luogo di (0.3), a considerareil sistema di due equazioni{ x + y = 0−x + y = 0(Ovviamente, le soluzioni sono le stesse). In generale, però, è megliotenersi le tre equazioni; infatti, se per caso avessimo sbagliato a calcolareil polinomio caratteristico di A e/o le sue radici, tenendo le tre equazioni ciaccorgeremmo, (o, almeno, dovremmo accorgerci), che il sistema analogoal (0.3) con λ non autovalore, ha solo la soluzione banale x = 0,y = 0,z =0). Peraltro, come si vedrà, in questo esercizio sarà facile vedere qualeriga eliminare.ii) Che (0, 0,z) sia un autovettore di A relativo all’autovalore 1 dovrebbeessere lampante guardando la forma della matrice A.2

2. i = 2,λ 2 = −1. In questo caso dobbiamo cercare il nucleo della matrice⎡ ⎤−3 3 0−1 − A = ⎣ 1 −1 0 ⎦.1 −1 −2In questo caso, la prima riga è −3 volte la seconda, quindi ci si può limitarea risolvere il sistema di due equazioni in tre variabili{ x − y = 0x − y − 2z = 0La soluzione generale di questo sistema è data dalle terne (x,x, 0), edunque la famiglia di autovettori Ψ 2 relativi all’autovalore λ 2 = −1 è⎡ ⎤xΨ 2 = ⎣ x ⎦ x ≠ 0.03. i = 3,λ 3 = 3. In questo caso ho⎡(31 − A) = ⎣1 3 01 3 01 −1 2Il sistema da risolvere è, dunque,{ x + 3y = 0x − y + 2z = 0Sottraendo le due equazioni trovo 4y − 2z = 0 ⇒ z = 2y; sostituendoquesto nella terza equazione hox −y + 4y = 0} {{ }=3 yda cui trovo che la soluzione genrale è data dalle terne (−3y,y, 2y).Dunque, l’autovettore Ψ 3 è⎡ ⎤−3yΨ 3 = ⎣ y2y⎦ y ≠ 0.⎤⎦.3

1 Esercizio 2Si trovino gli autovalori ed i corrispondenti autovettori della matrice⎡ ⎤4 1 1A := ⎢⎣ −3 0 −1 ⎥⎦−1 −1 2SoluzioneSviluppando il determinante di λ−A (per esempio, lungo la prima riga, ma nonci sono differenze significative tra le varie scelte possibili) si ottienedet(λ − A) = λ 3 − 6λ 2 + 11λ − 6 = 0Da qui si osseva che λ 1 = 1 è una radice. Si osserva poi (con Ruffini, ad esempio)chedet(λ − A) = (λ − 1)(λ 2 − 5λ + 6) = (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3).Dunque gli autovalori di A sono 1, 2, 3.Calcoliamo gli autovettori relativi a λ 1 = 1. Dobbiamo risolvere⎡ ⎤4 1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤x x⎢⎣ −3 0 −1 ⎥⎣⎦ y ⎦ = ⎣ y ⎦,−1 −1 2z zovvero il sistema lineare⎧⎨⎩3x + y + z = 0−3x − y − z = 0−x − y + z = 0Osserviamo che le prime due equazioni sono coincidenti, e quindi possiamorisolvere (nelle 3 variabili (x,y,z)) il sistema ridotto formato dalle ultime dueequazioni (che sono, come si vede, indipendenti), i. e.:{ −3x − y − z = 0−x − y + z = 0Dalla seconda abbiamoz = x + y (1.1)4

sostituendo nella primasi trova −3x − y − (x + y) = 0 che dà y = −2x.Risostituendo nella (1.1) si ha infine z = x + (−2x) = −x. Dunque gliautovettori relativi all’autovalore λ 1 = 1 sono dati dalla famigliaψ 1 = x (1, −2, −1), x ≠ 0Con calcoli analoghi si vede che gli autovettori relativi a λ 2 e λ 3 sono, rispettivamente,ψ 2 = x (1, −1, −1), e ψ 3 = x (1, −1, 0)Esercizio 3Si consideri la matriceM =⎡⎢⎣3 2 02 1 20 2 −1⎤⎥⎦ . (1.2)Se ne calcolino gli autovalori, e si determini l’autospazio (cioè la famiglia ad unparamentro di autovettori) relativo all’unico autovalore intero di M.SoluzioneIl determinante di λ − M, cioè il polinomio caratteristico di M è:⎡⎤λ − 3 −2 0Det(λ − M) = Det⎢⎣ −2 λ − 1 −2 ⎥⎦ = λ3 − 3λ 2 − 9λ + 11.0 −2 λ + 1Non è difficile notare che λ 1 = 1 è una radice del polinomio caratteristico (icoefficienti di Det(λ − M) sommano a zero).Utilizzando, ad esempio, la regola di Ruffini, otteniamo la fattorizzazioneDet(λ − M) = (λ − 1) ( λ 2 − 2λ − 11 ) .Il discriminante del fattore di secondo grado di questa espressione è∆ = 4 + 44 = 48 = 2 4 · 3,e le radici corrispondenti non sono numeri interi (λ ± = 1 ± 2 √ 3). Dunque laradice intera cercata è λ = 1.5

Per finire l’esercizio dobbiamo calcolare l’autovettore relativo a λ = 1, ovverotrovare (almeno un) vettore non nullo ψ che soddisfiDettoMψ = ψ.⎛ψ = ⎝dovremo risolvere il sistema lineare⎛ ⎞3 2 0 ⎛⎜⎝ 2 1 2 ⎟ ⎝⎠0 2 −1ovvero⎛⎜⎝2 2 02 0 20 2 −2⎞⎛⎟ ⎝⎠⎞ψ 1ψ 2⎠ ,ψ 3⎞ ⎛ψ 1ψ 2⎠ = ⎝ψ 3⎞ ⎛ψ 1ψ 2⎠ = ⎝ψ 3⎞ψ 1ψ 2⎠ ,ψ 3Prendendo come equazioni indipendenti di quest’ultimo sistema le prime due siha { 2ψ1 + 2ψ 2 = 02ψ 1 = −2ψ 3da cui l’autovettore cercato si può scrivere nella forma parametrica⎛ ⎞1ψ = ψ 3⎝ −1 ⎠ .−1000⎞⎠ .6