1 Brevi Appunti sulla Teoria dei Gruppi di Lie 2 ... - Gruppo IV

corrispondente alla separazione del tensore T ab nelle sue parti simmetriche ed antisimmetriche,T ab = S ab + A ab . Questo è tutto (si noti che non si possono prendere traccie per formare scalarisu questi tensori perchè δ ab non è un tensore invariante per SU(N): per rendersene conto bastatrasformare sotto SU(N) il tensore δ ab come dettato dalla struttura dei suoi indici e vedere che nonrimane invariante). Consideriamo oraN ⊗ ¯N = 1 ⊕ (N 2 − 1) (20)che corrisponde alla separazione del tensore T a b nella sua parte di traccia (lo scalare) e nella suaparte senza traccia. Questo è possibile perchè sappiamo che la contrazione di un indice alto con unindice basso produce uno scalare. In formule questa separazione si scriveT a b = 1 N δa bT + ˆT a b (21)dove T ≡ T a a e ˆT a b ≡ T a b − 1 N δa bT. Si noti che il tensore δ a b è un tensore invariante (losi provi usando le trasformazioni di SU(N); si noti che questo tensore corrisponde alla metricadello spazio vettoriale complesso C N ). La rappresentazione N 2 − 1 è la cosidetta rappresentazioneaggiunta. Altri tensori invarianti di SU(N) sono i tensori completamente antisimmetrici con Nindici, ǫ a1 a 2 ...a Ned ǫ a 1a 2 ...a N.Esplicitiamo il caso di SU(3). Abbiamo3 ⊗ ¯3 = 1 ⊕ 8 (22)relazione che trova applicazioni nel modello statico a quark dei mesoni quando si considerano i tretipi quark up, down e strange. Inoltre3 ⊗ 3 = 6 + ¯3 (23)La possibile ambiguità di capire se il tensore A ab , che ha tre componenti, corrisponda alla 3 o alla¯3 è risolto in favore di quest’ultima opzione considerando che A ab ∼ A ab ǫ abc ∼ V c (occorre ricordareche ǫ abc è un tensore invariante per SU(3)). Con un pò più di sforzo si può anche dedurre cheche trova applicazioni nel modello statico a quark dei barioni.Esplicitiamo anche il caso di SU(2). Abbiamo3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10 (24)2 ⊗ 2 = 1 ⊕ 3 , 2 ⊗ ¯2 = 1 ⊕ 3 (25)che sono consistenti col fatto che la 2 è equivalente alla ¯2 (in notazioni 2 ∼ ¯2), evidente dallarelazione v a ∼ v a ǫ ab ∼ v b .2.5 Rappresentazioni di U(1)Consideriamo anche il caso delle rappresentazioni del gruppo U(1), che riveste una notevole importanzain fisica. Tutte le sue rappresentazioni unitarie sono uno-dimensionali (complesse) e sonoidentificate da un numero intero positivo o negativo detto “carica”. La rappresentazione definenterappresenta un elemento del gruppo U(1) con la fase e iα che “ruota” naturalmente un vettorecomplesso unidimensionaleg∈U(1)v −→ v ′ = e iα v (26)5

Quindi lo spazio vettoriale della rappresentazione definente è unidimensionale e complesso, e lematrici della rappresentaziono sono matrici complesse 1 × 1 (cioè numeri complessi).Oggetti che si trasformano come prodotti tensorialicon q numero intero sono le rappresentazioni di carica qv (q) ∼ vv } {{ · · ·v}= v q (27)q voltev (q)g∈U(1)−→ v ′ (q) = eiqα v (q) (28)Evidentemente q può essere anche negativo. Il prodotto tensoriale di una rappresentazione di caricaq 1 con una di carica q 2 genera la rappresentazione di carica q 1 + q 2 . Il gruppo di simmetria U(1)è usato in fisica quando ci sono numeri quantici additivi quantizzati. Siccome tutte le sue rappresentazionisono uno-dimensionali, per distinguere la varie rappresentazioni inequivalenti occorreindicare la carica q della rappresentazione piuttosto che la sua dimensione.3 Trasformazioni infinitesime ed algebra di LieUn gruppo di Lie è per definizione un gruppo di trasformazioni che dipendono in modo continuo daalcuni parametri. Studiando le trasformazioni infinitesime generate dal gruppo, cioè trasformazioniche differiscono di poco dall’identità, si ottiene la cosidetta algebra di Lie del gruppo, un’algebrache riassume le informazioni essenziali del gruppo. In generale un elemento g(α) di un gruppo diLie G (o più propriamente della parte del gruppo connessa all’identità) si può parametrizzare nelseguente modog(α) = e iαaT a ∈ G a = 1, ..,dim G (29)dove i parametri α a sono numeri reali che parametrizzano i vari elementi del gruppo e sono sceltiin modo tale che per α a = 0 si ha l’identità g = 1, mentre gli operatori T a sono i generatori delgruppo. Pensando il gruppo nella rappresentazione definente come gruppo di matrici n ×n, anche igeneratori risultano essere matrici n×n. Essi generano transformazioni infinitesime quando α a ≪ 1(basta sviluppare in serie di Taylor la funzione esponenziale e tenere i termini di ordine più basso)g = 1 + iα a T a + ... (30)Studiando la relazione che cattura le proprietà di composizione del gruppo con trasformazioniinfinitesime (che in generale sono non commutative) si ottiene l’algebra di Lie del gruppo G[T a , T b ] = if ab cT c (31)Le costanti f ab c sono chiamate costanti di struttura del gruppo e caratterizzano quasi completamenteil gruppo (gruppi diversi ma con la stessa algebra di Lie differiscono per la loro diversatopologia, ma localmente sono simili). Per familiarizzare con queste definizioni è utile passare inrassegna i gruppi più semplici e familiari, quali U(1), SO(3) ed SU(2).3.1 Algebra di Lie del gruppo U(1)Consideriamo il gruppo U(1) = {e iα | α ∈ R}, il gruppo delle fasi definito tramite la sua rappresentazionedefinente. Per trasformazioni infinitesimee iα = 1 + iα + ... (32)6

ed il generatore infinitesimo è dato da T = 1 (che possiamo pensare come matrice 1 × 1) il qualeproduce l’algebra di Lie abeliana del gruppo U(1)[T, T] = 0 (33)Nella rappresentazione di carica q, dove l’elemento e iα è rappresentato da e iqα , si vede che ilgeneratore infinitesimo è rappresentato da T = q e soddisfa alla stessa algebra di Lie (33). Possiamoquindi pensare all’algebra di Lie [T, T] = 0 come all’algebra di Lie astratta corrispondente al gruppoU(1), che viene poi rappresentata da matrici diverse nelle diverse rappresentazioni. Siccome lerappresentazioni irriducibili del gruppo U(1) sono tutte uno-dimensionali tutte queste matrici sonomatrici 1 × 1 e quindi dei numeri. Nella rappresentazione di carica q il generatore di U(1) èrappresentato da T = q. Tipicamente si usa anche la notazione Q o anche J al posto di T per ilgeneratore del gruppo U(1).3.2 Algebra di Lie del gruppo SO(3)Consideriamo ora il familiare gruppo delle rotazioni nello spazio tridimensionale, il gruppo SO(3)delle matrici R reali ortogonali 3 × 3 con determinante uguale ad 1. Queste matrici generano letrasformazioni di un vettore tridimensionaleo in notazione tensoriale⃗x −→ ⃗x ′ = R⃗x (34)x i −→ x ′ i = Ri j x j i, j = 1, 2, 3 (35)Questa è la rappresentazione definente (o vettoriale) e gli indici in alto ed in basso sono dellastessa natura (poichè la metrica euclidea è la δ ij ) per cui in questo caso si potrebbero anche porretutti gli indici in alto. Consideriamo ora le rotazioni attorno ai tre assi cartesiani con coordinate(x, y, z) = (x 1 , x 2 , x 3 )R z (θ z ) =⎛⎜⎝⎛R x (θ x ) = ⎜⎝R y (θ y ) =⎛⎜⎝cos(θ z ) sin(θ z ) 0− sin(θ z ) cos(θ z ) 00 0 11 0 00 cos(θ x ) sin(θ x )0 − sin(θ x ) cos(θ x )cos(θ y ) 0 − sin(θ y )0 1 0sin(θ y ) 0 cos(θ y )⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠θz≪1 −→θ x≪1−→θy≪1−→1 + θ z⎛⎜⎝1 + θ x⎛⎜⎝1 + θ y⎛⎜⎝cosicchè i generatori T i delle trasformazioni infinitesime sono dati da⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛0 0 00 0 iT 1 ⎜ ⎟= ⎝ 0 0 −i ⎠ T 2 ⎜ ⎟= ⎝ 0 0 0 ⎠ T 3 ⎜= ⎝0 i 0−i 0 070 1 0−1 0 00 0 0⎞⎟⎠+ · · · (36)} {{ }iT 30 0 00 0 10 −1 0⎞⎟⎠+ · · · (37)} {{ }iT 1 ⎞0 0 −1⎟0 0 0 ⎠1 0 0+ · · · (38)} {{ }iT 20 −i 0i 0 00 0 0⎞⎟⎠ (39)

appresentazione definente (la “quadri-vettoriale”) ed in notazione esplicita sono date da(M αβ ) µ ν = −i(η αµ δ β ν − η βµ δ α ν ) (55)Ad esempio possiamo esplicitarne alcune⎛M 12 = ⎜⎝0 0 0 00 0 −i 00 i 0 00 0 0 0⎞⎛⎟⎠ , M01 = ⎜⎝0 i 0 0i 0 0 00 0 0 00 0 0 0⎞⎟⎠(56)Vediamo che M 12 genera rotazioni infinitesime lungo l’asse z, mentre la M 01 genera un boost lungol’asse x. Sebbene possa sembrare laborioso, è facile calcolare l’ algebra di Lie[M µν , M αβ ] = −iη να M µβ + iη µα M νβ + iη νβ M µα − iη µβ M να (57)Tutto questo è valido anche per il gruppo SO(n, m) se si identifica η µν con la metrica corrispondente:in particolare per SO(3) si ha η µν → δ ij e ridefinendo J i = 1 2 ǫijk M ij si riottiene la (41).Tornando al caso esplicito di SO(3, 1) si può riscrivere l’algebra in una forma molto utile checi permette subito di riconoscere quali siano le sue rappresentazioni finito-dimensionali. Separandogli indici in parte temporale e spaziale µ = (0, i), e definendo la seguente base per i generatori delgruppo di Lorentzsi ha che l’algebra di Lie (57) si riscrive nella formaJ i = 1 2 ǫijk M jk , K i = M i0 (58)[J i , J j ] = iǫ ijk J k [J i , K j ] = iǫ ijk K k [K i , K j ] = −iǫ ijk J k (59)dove i generatori J i generano il sottogruppo delle rotazioni spaziali SO(3). Infine, definendo lecombinazioni lineari complessel’algebra si riscrive comeN i = 1 2 (Ji − iK i ) ¯Ni = 1 2 (Ji + iK i ) (60)[N i , N j ] = iǫ ijk N k [ ¯N i , ¯N j ] = iǫ ijk ¯Kk[N i , ¯N j ] = 0 (61)che mostra come l’algebra di SO(3, 1) si riduca a quella di SU(2) × SU(2), a meno di relazionidi hermiticità diverse (necessarie perchè SO(3, 1) non è compatto, mentre SU(2) lo è). Questarelazione ci dice che SO(3, 1) si riduce essenzialmente a due copie indipendenti di SU(2), per cuiutilizzando le note rappresentazioni finito dimensionali di quest’ultimo gruppo, si riconoscono subitole rappresentazioni finito dimensionali di SO(3, 1): queste sono classificate da due numeri interi oseminteri (j 1 , j 2 ) corrispondenti alla rappresentazioni dei due sottogruppi SU(2) generati da N ied ¯N i . Inoltre, ricordando la (60) si riconosce che il vero spin della rappresentazione è dato daj = j 1 + j 2 . Queste rappresentazioni sono finito-dimensionali, ma non sono unitarie a causa dellanecessità di prendere delle combinazioni complesse dei generatori in (60).In teoria quantistica dei campi, si usano campi con queste rappresentazioni di Lorentz perdescrive particelle con spin fissato, ad esempio(0, 0) −→ scalare φ11