Il problema del commesso viaggiatore - Politecnico di Torino

Algoritmi e Programmazione Avanzata 

APA - TSP 

Il problema del 

commesso viaggiatore 

Fulvio CORNO - Matteo SONZA REORDA 

Dip. Automatica e Informatica 

Politecnico di Torino 

Sommario 

• Definizione del problema 

• Algoritmo base 

• Algoritmo Branch and Bound 

• Algoritmo greedy. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 2 

1


APA - TSP 

Sommario 





A.A. 2004/2005 APA - TSP 3 

Cammino hamiltoniano 

Dato un grafo G=(V,E), si definisce 

hamiltoniano un cammino p= 

tale per cui 

• k è pari a |V| 

• v i ≠ v j ∀ i,j. 

In altre parole, un cammino hamiltoniano 

tocca tutti i vertici del grafo una ed una sola 

volta. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 4 

2


APA - TSP 

Ciclo hamiltoniano 

Un ciclo hamiltoniano è un cammino di 

lunghezza |V+1| così composto: 

• i primi |V| vertici compongono un cammino 

hamiltoniano 

• il vertice di arrivo (v k+1 ) coincide con quello 

di partenza (v 1 ). 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 5 

Esempio 

1 2 3 

4 5 6 

7 8 9 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 6 

3


APA - TSP 

Esempio 

Cammino 

hamiltoniano: 

1-2-9-3-5-4-7-8-6 

1 2 3 

4 5 6 

7 8 9 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 7 

Esempio 

Ciclo hamiltoniano: 

1-2-9-3-5-4-7-8-6-1 

1 2 3 

4 5 6 

7 8 9 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 8 

4


APA - TSP 

TSP 

Il Problema del Commesso Viaggiatore 

(Traveling Salesman Problem, o TSP) è 

definito come segue. 

Dato un grafo pesato G=(V,E), trovare un 

ciclo hamiltoniano tale per cui il peso del 

cammino (ossia la somma dei pesi degli archi 

che lo compongono) è minima. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 9 

Esempio 

2 

Ciclo hamiltoniano 

di lunghezza 

minima (23) 

2 

1 2 3 

1 

5 

6 

7 

3 

4 5 6 

2 

4 

2 

5 

2 

8 

7 8 9 

5 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 10 

5


APA - TSP 

Complessità 

Il TSP è un problema che non ammette 

soluzioni di complessità polinomiale. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 11 

Esempio di applicazione 

Nel ciclo di produzione delle schede elettroniche 

monostrato esiste una fase in cui devono essere 

eseguiti i fori in cui saranno poi alloggiati (e saldati) i 

pin dei componenti. 

L'operazione di foratura ha un tempo proporzionale alla 

lunghezza del percorso eseguito dalla punta. 

Minimizzare il percorso della punta (riportandola al 

termine nella posizione iniziale di riposo) corrisponde a 

risolvere il TSP sul grafo che rappresenta l'insieme dei 

fori, pesato con le distanze geometriche che li 

separano. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 12 

6


APA - TSP 

Sommario 





A.A. 2004/2005 APA - TSP 13 

Algoritmo base 

Si basa su una ricerca esaustiva nello spazio 

dei possibili cicli hamiltoniani, al termine della 

quale si identifica quello con lunghezza 

minima. 

Tale ricerca può essere eseguita attraverso 

una procedura recursiva. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 14 

7


APA - TSP 

Codice C – variabili globali 

VERTEXP graph; 

int nvertex; 

char*visited; 

int *journey; 

int *best; 

chartrovato=0; 

int min=MAXINT; 

int cost=0; 

int source; 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 15 

Codice C – programma 

principale (1) 

… 

int i; 

int start; 

char fname[MAXNAME]; 

… 

if( (visited=(char *)malloc( nvertex * sizeof( char)))==NULL) 

{ printf("Errore in allocazione vettore visited \n"); 

return; } 

for(i=0; i


APA - TSP 

Codice C – programma 

principale (2) 

… 

visited[start] = 1; 

source=start; 

tsp( start, 0); 

if( trovato) 

{ printf( "Soluzione: \n"); 

for( i=0; iweight; 

if( cost < min) 

{ min = cost; 

for( i=0; i


APA - TSP 

Codice C – tsp (2) 

} 

for( i=0, p=graph[start].adjlist; 

ivertex]==0) 

{ cost+=p->weight; 

journey[step] = p->vertex; 

visited[p->vertex] = 1; 

tsp( p->vertex, step+1); 

cost-=p->weight; 


} 

} 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 19 


} 


ivertex]==0) 







} 

} 

La parte in blu corrisponde 

ad una visita in profondit à. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 20 

10


APA - TSP 


} 


ivertex]==0) 







} 

} 

Con queste due istruzioni si 

esplorano TUTTI i possibili 

cammini composti da |V| 

vertici. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 21 

Complessità 

Nel caso peggiore il grafo è completo. In tal 

caso il numero di possibili scelte è n-1 al 

primo passo, n-2 al secondo, n-k al k-esimo. 

Il numero di chiamate recursive è quindi 

O(n!). 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 22 

11


APA - TSP 

Esempio 

A 

4 

1 

B 

3 2 

1 

D 

7 

C 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 23 

Esempio 

Ciclo hamiltoniano di 

lunghezza minima, 

pari a 7 

A 

4 

1 

B 

3 2 

1 

D 

7 

C 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 24 

12


APA - TSP 

Albero di ricerca 

A 

4 

B 

1 C 

3 D 

6 

C 

5 

D 

3 

B 

8 

D 

4 

B 

10 

C 

13 

D 

12 

C 

4 

D 

9 

B 

6 

C 

12 

B 

16 13 7 13 7 16 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 25 

Backtracking 

È la tecnica consistente nell'esplorare 

esaustivamente un certo spazio di ricerca 

eseguendo ad ogni passo tutte le possibili 

scelte. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 26 

13


APA - TSP 

Backtracking (II) 

Si basa su 

1.ad ogni passo si prende una delle possibili 

decisioni, e si esplora poi recursivamente 

tutto il sottoalbero che ne deriva 

2.si ritorna poi sulla decisione presa 

(backtracking), e se ne fa una alternativa, 

visitando tutto il risultante sottoalbero 

3.si ripete da 1 sino a che vi sono decisioni 

possibili non esplorate. 

Il metodo viene seguito recursivamente a tutti 

i livelli. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 27 

Sommario 





A.A. 2004/2005 APA - TSP 28 

14


APA - TSP 

Branch & Bound 

La soluzione precedente esegue una visita 

esaustiva di tutte le possibili soluzioni (cioè di 

tutti i possibili cicli hamiltoniani) e sceglie 

quella ottima. 

In realtà si può evitare di esplorare alcune 

soluzioni, poiché è noto a priori che esse non 

possono essere soluzioni ottime. 

Non appena si capisce che una soluzione non 

può portare ad una soluzione ottima, ne si 

abbandona l'esplorazione (bound). 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 29 

TSP con B&B 

Una condizione di bound molto semplice che 

si può applicare al TSP è la seguente: 

• Se una soluzione parziale ha un costo 

superiore a quello della soluzione migliore 

trovata sino a quel punto, non potrà 

sicuramente essere una soluzione ottima. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 30 

15


APA - TSP 


void tsp( int start, int step) 

{ int i; ADJLSTEL *p; 

if( step == nvertex-1) 

{ for( i=0, p=graph[start].adjlist;ivertex==source) 

{ trovato = 1; 

cost+=p->weight; 

if( cost < min) 

{ min = cost; 

for( i=0; iweight; 

} 

} 

} 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 31 


for( i=0, p=graph[start].adjlist;ivertex]==0) 

{ if( cost+p->weightweight; 






} 

} 

} 

} 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 32 

16


APA - TSP 


Senza bound 

A 

4 

B 

1 C 

3 D 

6 

C 

5 

D 

3 

B 

8 

D 

4 

B 

10 

C 

13 

D 

12 

C 

4 

D 

9 

B 

6 

C 

12 

B 

16 13 7 13 7 16 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 33 


Con bound 

A 

4 

B 

1 C 

3 D 

6 

C 

5 

D 

3 

B 

8 

D 

4 

B 

10 

C 

13 

D 

12 

C 

4 

D 

9 

B 

6 

C 

12 

B 

16 13 7 13 7 16 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 34 

17


APA - TSP 

Ordine di esplorazione 

Nel caso di algoritmi branch & bound è 

importante l'ordine con cui si esplorano le 

soluzioni: prima si trova una soluzione buona, 

più sono efficaci nel seguito le condizioni di 

bound, riducendo così il costo 

dell'esplorazione. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 35 

Sommario 





A.A. 2004/2005 APA - TSP 36 

18


APA - TSP 

Algoritmi greedy 

Per quanto si possa investire nella ricerca di 

algoritmi esatti in grado di risolvere il TSP, gli 

stessi avranno sempre una complessità che 

cresce esponenzialmente con la dimensione 

del grafo. 

Qualora si desideri una soluzione 

approssimata, ma ottenibile con una 

complessità computazionale ridotta, si 

possono utilizzare gli algoritmi greedy. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 37 

Algoritmo greedy per TSP 

Un possibile algoritmo greedy per il TSP nel 

caso di grafi completi prevede che ad ogni 

passo si scelga il vertice con distanza minore, 

tra quelli non ancora visitati, dal vertice 

corrente. 

In tal modo si ottiene: 

• un algoritmo con complessità lineare nel 

numero dei vertici (non vi è backtrack) 

• una soluzione ottimale, che in generale 

non sarà lontana da quella ottima. 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 38 

19


APA - TSP 

Codice C (1) 

void tsp_greedy(int source) 

{ int start; int i, k; int best, best_vertex; ADJLSTEL *p; 

start=source; 

for(k=0;kweightweight; 

best_vertex=p->vertex; 

} 

} 

} 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 39 

Codice C (2) 

} 

} 

} 

cost+=best_vertex->weight; 

journey[k] = best_vertex->vertex; 

visited[best_vertex] = 1; 

start = best_vertex; 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 40 

20


APA - TSP 

Esempio 1 

A 

4 

1 

B 

3 2 

1 

D 

7 

C 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 41 

Esempio 1 

In questo caso l'algoritmo 

greedy produce la 

soluzione ottima 

A 

4 

1 

B 

3 2 

1 

D 

7 

C 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 42 

21


APA - TSP 

Esempio 2 

6 

A 

3 

1 

B 

3 

2 2 

1 

3 

D 

C 

3 

E 

6 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 43 

Esempio 2 

Soluzione ottima 

(costo 10) 

6 

A 

3 

1 

B 

3 

2 2 

1 

3 

D 

C 

3 

E 

6 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 44 

22


APA - TSP 

Esempio 2 

In questo caso l'algoritmo 

greedy NON produce la 

soluzione ottima 

(costo 16) 

6 

A 

3 

1 

B 

3 

2 2 

1 

3 

D 

C 

3 

E 

6 

A.A. 2004/2005 APA - TSP 45 

23

Il problema del commesso viaggiatore - Politecnico di Torino

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