აქედან

nana jafariZe
maia wilosani
nani wulaia
maTematika 11
maswavleblis wigni
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 1 02.07.2012 16:47:41

nana jafariZe
maia wilosani
nani wulaia
maTematika 11
maswavleblis wigni
ydis dizaini:
dakabadoneba:
marTa TabukaSvili, naTia kvaracxelia
maia feiqriSvili
© bakur sulakauris gamomcemloba, 2012
pirveli gamocema, 2012
bakur sulakauris gamomcemloba
misamarTi: daviT aRmaSeneblis 150, Tbilisi 0112
tel.: 291 09 54, 291 11 65
elfosta: info@sulakauri.ge
www.sulakauri.ge
ISBN 978-9941-15-638-0
N. Jafaridze
M. Tsilosani
N. Tsulaia
Math 11
Teacher’s Book
© Bakur Sulakauri Publishing, 2012
Tbilisi, Georgia
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 2 02.07.2012 16:47:41

s a r C e v i
Sesavali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
erovnuli saswavlo gegma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორები . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Sinaarsisa da miznebis ruka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
მოსწავლის შეფასების სისტემა. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
gTavazobT ramdenime gakveTilis sanimuSo scenars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I Tavi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1. trigonometriuli funqciebi da maTi Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. damokidebuleba erTi da imave argumentis trigonometriul
funqciebs Soris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. trigonometriul gamosaxulebaTa gamartiveba, igiveobaTa damtkiceba . . . . . . . 24
4. ori argumentis jamisa da sxvaobis trigonometriuli funqciebi . . . . . . . . . . . . . 25
5. ormagi kuTxis trigonometriuli funqciebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. dayvanis formulebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7. amovxsnaT trigonometriuli gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II Tavi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1. wrfeTa paralelurobis niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2. wrfisa da sibrtyis paraleluroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. sibrtyeTa paraleluroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. amocanebi kveTebis agebaze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
III Tavi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1. xarisxi iracionaluri maCvenebliT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2. maCvenebliani funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. logariTmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. logariTmis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5. Seqceuli funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6. logariTmuli funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7. maCvenebliani da logariTmuli gantolebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8. maCvenebliani da logariTmuli utolobebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9. naxevradlogariTmuli bade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
IV Tavi .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1. figuraTa paraleluri dagegmileba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2. kuTxe or wrfes Soris. wrfeTa marTobuloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. wrfisa da sibrtyis marTobuloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4. wrfisa da sibrtyis marTobulobis niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5. paralelur sibrtyeebs Soris manZili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. sami marTobis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7. kuTxe wrfesa da sibrtyes Soris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8. orwaxnaga kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9. marTobuli sibrtyeebi. sibrtyeTa marTobulobis niSani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 3 02.07.2012 16:47:41

V Tavi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1. mimdevroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2. maTematikuri induqciis meTodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3. mimdevrobis zRvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4. zogierTi Teorema zRvarTa Sesaxeb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5. usasrulod klebadi geometriuli progresia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
VI Tavi .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1. veqtoris koordinatebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2. veqtorebis Sekreba-gamokleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3. veqtoris gamravleba ricxvze. kolinearuli veqtorebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4. ori veqtoris skalaruli namravli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5. brunviTi sxeulebi, cilindri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6. konusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7. sfero, birTvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
VII Tavi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1. kombinatoruli amocanebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2. gadanacvleba, wyoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3. jufTeba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4. wyoba ganmeorebiT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5. amovxsnaT amocanebi albaTobaTa Teoriidan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6. geometriuli albaToba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7. dagrovili sixSire. rangi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8. ogiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9. centraluri tendenciis sazomebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 4 02.07.2012 16:47:41

Sesavali
XI klasSi maTematikis sagnis swavlebis ZiriTadi mizania mozardSi kvlevis Cvevis,
agreTve analitikuri, logikuri, sistemuri da simboluri azrovnebis gamomuSaveba.
maTematikis swavlam moswavles unda SesZinos is unar-Cvevebi, romelic mas daexmareba
cxovrebiseuli, praqtikuli problemebis gadaWraSi.
erovnuli saswavlo gegmis daniSnulebaa daexmaros saskolo ganaTlebis procesis
monawileebs am procesis dagegmvasa da warmarTvaSi.
erovnul saswavlo gegmaSi aRwerilia is savaldebulo moTxovnebi, romelsac
unda akmayofilebdes yvela moswavle saswavlo wlis dasrulebis mere. es moTxovnebi
TiToeuli mimarTulebisaTvis Sedegebisa da maTi indikatorebis enazea Camoyalibebuli.
Sedegi aris debuleba imis Sesaxeb, Tu ra unda SesZlos moswavlem swavlis mocemuli
safexuris dasrulebis Semdeg.
indikatori aris debuleba im codnisa da unar-Cvevebis demonstrirebis Sesaxeb,
romelic Camoyalibebulia Sesabamis SedegSi. indikatoris ZiriTadi daniSnulebaa
imis warmoCena, miRweulia Tu ara Sedegi. indikatori orientirebulia unar-Cvevebze
da Camoyalibebulia aqtivobis enaze.
XI klasis warmodgenili saxelmZRvanelos daniSnulebaa xeli Seuwyos erovnuli
saswavlo gegmiT gaTvaliswinebuli unar-Cvevebis gamomuSavebas.
saxelmZRvanelo faravs standartis yvela Sedegs.
masalis miwodebis ZiriTadi meToduri orientiria problemuri Txroba. moswavle
aris gakveTilis axsnis aqtiuri monawile.
gagacnobT wignis struqturas.
TiTqmis yvela paragrafi iwyeba situaciuri amocaniT, maprovocirebeli SekiTxviT
an iseTi amocaniT, romelic moswavlisagan kvlevas moiTxovs da romelic iZleva
varaudis gamoTqmis saSualebas. gakveTilis etapebi gamoyofilia aqtivobebiT, riTac
xdeba axali masalis aTvisebis Semowmeba da gaRrmaveba. varskvlaviT moniSnulia
amocanebi maRali SefasebisaTvis.
maswavleblis sarekomendacio wignSi mocemulia ramodenime gakveTilis scenari,
aqtivobebis mizani, daniSnuleba, savaraudo da swori pasuxebi, sakontrolos nimuSebi.
mocemulia Sefasebis ZiriTadi mdgenelebi, damxmare literatura maswavleblisaTvis.
agreTve gTavazobT savaraudo saaTobriv ganawilebas. sarezervo saaTebi gvaZlevs
saSualebas, rom zogierT gakveTils maswavlebelma meti dro dauTmos, gamoiyenos
Tavis Sexedulebisamebr.
5
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 5 02.07.2012 16:47:41

erovnuli saswavlo gegma
წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები მიმართულებების მიხედვით:
რიცხვები და
მოქმედებები
კანონზომიერებები და
ალგებრა
გეომეტრია და
სივრცის აღქმა
მონაცემთა ანალიზი,
ალბათობა და
სტატისტიკა
XI.1. მოსწავლეს
შეუძლია რიცხვთა
პოზიციური
სისტემების/
ნამდვილ რიცხვთა
სიმრავლეების
ერთმანეთთან
დაკავშირება.
XI.2.მოსწავლეს
შეუძლია ნამდვილ
რიცხვებზე
მოქმედებების
შესრულება
სხვადასხვა ხერხით
და ამ მოქმედებათა
შედეგის შეფასება.
XI.3. მოსწავლეს
შეუძლია მსჯელობა-
დასაბუთების
სხვადასხვა ხერხების
გამოყენება
XI.4. მოსწავლეს
შეუძლია
პრაქტიკული
საქმიანობიდან
მომდინარე
პრობლემების
გადაწყვეტა.
XI.5. მოსწავლეს
შეუძლია
ფუნქციებისა და
მათი თვისებების
გამოყენება რეალური
ვითარების
მოდელირებისას.
XI.6. მოსწავლეს
შეუძლია
გრაფიკული,
ალგებრული
მეთოდებისა და
ტექნოლოგიების
გამოყენება
ფუნქციის/
ფუნქციათა ოჯახის
თვისებების
შესასწავლად.
XI.7. მოსწავლეს
შეუძლია
დისკრეტული
მათემატიკის
ცნებებისა და
აპარატის გამოყენება
მოდელირებისას
და პრობლემების
გადაჭრისას.
XI.8. მოსწავლეს
შეუძლია
ვექტორებზე
ოპერაციების
შესრულება და
მათი გამოყენება
გეომეტრიული და
საბუნებისმეტყველო
პრობლემების
გადაჭრისას.
XI.9. მოსწავლეს
შეუძლია
დედუქციურ/
ინდუქციური
მსჯელობის და
ალგებრული
ტექნიკის გამოყენება
გეომეტრიულ
დებულებათა
დასამტკიცებლად.
XI.10. მოსწავლეს
შეუძლია
გეომეტრიული
გარდაქმნების
დახასიათება და
მათი გამოყენება
გეომეტრიული
პრობლემების
გადაჭრისას.
XI.11. მოსწავლეს
შეუძლია სივრცული
ფიგურის კვეთებისა
და გეგმილების
გამოყენება
სივრცული ფიგურის
შესასწავლად.
XI.12. მოსწავლეს
შეუძლია დასმული
ამოცანის
ამოსახსნელად
საჭირო მონაცემების
მოპოვება.
XI.13. მოსწავლეს
შეუძლია მონაცემთა
წარმოდგენა ამოცანის
ამოსახსნელად
ხელსაყრელი
ფორმით და მათი
ინტერპრეტაცია.
XI.14. მოსწავლეს
შეუძლია
შემთხვევითობის
ალბათური
მოდელების
საშუალებით აღწერა.
XI.15. მოსწავლეს
შეუძლია მონაცემთა
ანალიზი და
დასკვნების
ჩამოყალიბება.
6
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 6 02.07.2012 16:47:41

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორები
მიმართულება: რიცხვები და მოქმედებები
XI.1. მოსწავლეს შეუძლია რიცხვთა პოზიციური სისტემების/ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეების
ერთმანეთთან დაკავშირება.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• მოყავს ინფორმაციის ციფრული კოდირების/ტექნოლოგიების მაგალითები; აკავშირებს
რიცხვის სხვადასხვა პოზიციურ სისტემაში ჩაწერას ერთმანეთთან (მაგალითად, ორობით
პოზიციურ სისტემაში ჩაწერილ რიცხვს წერს ათობით პოზიციურ სისტემაში);
• ახდენს ირაციონალური რიცხვის რაციონალური რიცხვების მიმდევრობით მიახლოების
დემონსტრირებას პრაქტიკულ ამოცანებთან დაკავშირებული გამოთვლების კონტექსტში;
• მსჯელობს რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს შორის განსხვავებაზე მათი პოზიციური
სისტემის გამოყენებით ჩაწერისას.
XI.2. მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა ხერხით
და ამ მოქმედებათა შედეგის შეფასება.
• შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე: ამარტივებს ნამდვილ რიცხვებზე მოქმედებების (მათ
შორის ხარისხისა და ლოგარითმის) შემცველ გამოსახულებას ან პოულობს მის მნიშვნელობას
მოქმედებათა თვისებების, თანმიმდევრობისა და მათ შორის კავშირის გამოყენებით;
• პოულობს არითმეტიკული მოქმედების შედეგს დასახელებული სიზუსტით; მსჯელობს
შედეგის ცვლილებაზე და ცდომილებაზე, რომელიც გამოწვეულია გამოსახულების წევრების
დამრგვალებით;
• იყენებს შეფასების სხვადასხვა ხერხს ნამდვილ რიცხვებზე შესრულებული გამოთვლების
(მათ შორის ფესვი და ლოგარითმი მარტივ შემთხვევებში) შედეგის ადეკვატურობის
შესამოწმებლად;
• ახდენს უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირე სიდიდეების, მათზე მოქმედებებისა და
მოქმედებათა შედეგის ინტერპრეტაციას, მიმდევრობის ან რომელიმე პროცესის ამსახველი
ფუნქციის კონტექსტში.
XI.3. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების სხვადასხვა ხერხების გამოყენება.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• იყენებს საწინააღმდეგოს დაშვების მეთოდს ამოცანების ამოხსნისას ან რიცხვების შესახებ
მარტივი დებულებების დამტკიცებისას (მაგალითად, საწინააღმდეგოს დაშვებით ამტკიცებს
რომელიმე რიცხვის ირაციონალურობას);
• აყალიბებს და გამოსახავს რიცხვების თვისებების ან რიცხვითი კანონზომიერებების შესახებ
გამონათქვამებს შორის კერძო/ზოგადი ტიპის მიმართებებს, იყენებს გამოსახვის ხერხს
გამოთქმული მოსაზრების მართებულობის შემოწმებისას/დასაბუთებისას;
• რაოდენობებთან და სიდიდეებთან დაკავშირებული მსჯელობის ნიმუშზე ახდენს მსჯელობის
ხაზის და დასკვნითი ნაწილის ანალიზს, აღნიშნავს მის სუსტ და ძლიერ მხარეებს.
7
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 7 02.07.2012 16:47:41

XI.4. მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკული საქმიანობიდან მომდინარე პრობლემების გადაწყვეტა.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• იყენებს რიცხვის ხარისხსა და ლოგარითმს, ხარისხისა და ლოგარითმის თვისებებს
პრაქტიკული საქმიანობიდან ან მეცნიერების სხვადასხვა დარგებიდან მომდირე ამოცანების
ამოხსნისას (მაგალითად, ენტროპია ბიოლოგიასა და ფიზიკაში, რადიოაქტიული დაშლა და
დათარიღების მეთოდები);
• განსაზღვრავს და იყენებს შესაფერის ერთეულებს სიდიდის ცვლილების სიჩქარის აღსაწერად;
ადგენს სხვადასხვა ერთეულებს შორის თანაფარდობას.
მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა
XI.5 მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი თვისებების გამოყენება რეალური ვითარების
მოდელირებისას.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• იყენებს (ტრიგონომეტრიულ, უბან-უბან წრფივ, საფეხურებრივ, მაჩვენებლიან,
ლოგარითმულ) ფუნქციებს და მათ თვისებებს რეალური პროცესების მოდელირებისას;
• ახდენს ფუნქციის ნულების, ფუნქციის მაქსიმუმის/მინიმუმის ინტერპრეტირებას იმ
რეალური პროცესის/ვითარების კონტექსტში, რომელიც ამ ფუნქციით აღიწერება;
• იყენებს სიბრტყეზე წრფივი ოპტიმიზაციის მეთოდებს რეალურ ვითარებასთან დაკავშირებულ
ამოცანებში (მაგალითად, შეზღუდული რესურსების ეფექტიანად გამოყენების ამოცანებში)
წრფივის ფუნქციის მაქსიმუმის/მინიმუმის მოძებნისას.
XI.6 მოსწავლეს შეუძლია გრაფიკული, ალგებრული მეთოდებისა და ტექნოლოგიების
გამოყენება ფუნქციის/ფუნქციათა ოჯახის თვისებების შესასწავლად.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• იყენებს ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიულ ნიშნებს (მაგალითად, საკოორდინატო ღერძის
პარალელური წრფის მიმართ სიმეტრიულობა, კოორდინატთა სათავის მიმართ ცენტრულად
სიმეტრიულობა, პარალელური გადატანის მიმართ ინვარიანტულობა) ფუნქციის თვისებების
დასადგენად;
• იყენებს შესაფერის გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს ან ტექნოლოგიებს (ტრიგონომეტრიული,
უბან-უბან წრფივი, საფეხურებრივი, მაჩვენებლიანი, ლოგარითმული) ფუნქციის ისეთი
თვისებების დასადგენად, როგორიცაა: ზრდადობა/კლებადობა, ნიშანმუდმივობა,
პერიოდულობა/პერიოდი, ფესვები, ექსტრემუმები;
• აღწერს თუ რა გავლენას ახდენს ფუნქციის პარამეტრების ცვლილება ფუნქციის გრაფიკზე.
XI.7 მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის ცნებებისა და აპარატის გამოყენება
მოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• ასახელებს ისეთ სტრუქტურებს (მაგალითად, მიმდევრობებს, ასახვებს; მათ შორის რეალურ
ვითარებაში), რომელთა აღწერისას შესაძლებელია რეკურენტული წესის გამოყენება; იყენებს
რეკურენტულ წესს ასეთი სტრუქტურის აღსაწერად;
• დებულებების დამტკიცებისას, შესაბამის შემთხვევებში, იყენებს მათემატიკურ ინდუქციას
(მათ შორის არითმეტიკულ/გეომეტრიულ პროგრესიასთან დაკავშირებული ზოგიერთი
ფორმულის მისაღებად);
• იყენებს ხისებრ დიაგრამებს და გრაფებს ვარიანტების დასათვლელად, გეგმის/განრიგის
შესადგენად, ოპტიმიზაციის დისკრეტული ამოცანების ამოსახსნელად.
8
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 8 02.07.2012 16:47:41

მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმა
XI.8 მოსწავლეს შეუძლია ვექტორებზე ოპერაციების შესრულება და მათი გამოყენება
გეომეტრიული და საბუნებისმეტყველო პრობლემების გადაჭრისას.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• ახდენს ვექტორის სიგრძისა და მიმართულების, ვექტორებზე მოქმედებების (შეკრება,
სკალარზე გამრავლება, სკალარული ნამრავლი) და მათი თვისებების გეომეტრიულ და
ფიზიკურ ინტერპრეტაციას;
• იყენებს ვექტორებს გეომეტრიული დებულებების დასამტკიცებლად და ზომების დასადგენად
სიბრტყეზე;
• იყენებს კოორდინატებს ვექტორებისა და ვექტორებზე ოპერაციების გამოსახვისას.
XI.9 მოსწავლეს შეუძლია დედუქციურ/ინდუქციური მსჯელობის და ალგებრული ტექნიკის
გამოყენება გეომეტრიულ დებულებათა დასამტკიცებლად.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• პოულობს ლოგიკურ კავშირებს (მაგალითად, გამომდინარეობა) მოცემულ გეომეტრიულ
დებულებებს შორის; იყენებს დედუქციურ და ინდუქციურ მსჯელობას;
• განაზოგადებს ცალკეულ გეომეტრიულ დებულებებს; აყალიბებს ჰიპოთეზას და ასაბუთებს/
უარყოფს მას (მათ შორის მათემატიკური ინდუქციის გამოყენებით; მაგალითად, ეილერის
ფორმულა სიბრტყეზე და სივრცეში);
• მსჯელობს ევკლიდური გეომეტრიის აქსიომატიკის არაწინააღმდეგობრიობის შესახებ;
• იყენებს ალგებრულ გარდაქმნებს გეომეტრიულ დებულებათა დასამტკიცებლად.
XI.10 მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების დახასიათება და მათი გამოყენება
გეომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• ასახელებს გეომეტრიული ფიგურის იმ მახასიათებლებს, რომლებიც არ იცვლება მოცემული
გეომეტრიული გარდაქმნისას (გარდაქმნის ინვარიანტებს);
• ფიგურების შესახებ სხვადასხვა მონაცემების (მაგალითად, ფიგურათა ზომები, ფიგურათა
წვეროების კოორდინატები, ფიგურათა ელემენტებს შორის ალგებრული თანაფარდობები)
გამოყენებით ასაბუთებს ან უარყოფს ორი გეომეტრიული ფიგურის ეკვივალენტობას
მოცემული გარდაქმნის ან გარდაქმნის ტიპის მიმართ.
XI.11 მოსწავლეს შეუძლია სივრცული ფიგურის კვეთებისა და გეგმილების გამოყენება
სივრცული ფიგურის შესასწავლად.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• მსჯელობს სივრცული ფიგურის კვეთის შესაძლო ფორმაზე და აგებს სივრცული ფიგურის
მითითებულ კვეთას;
• პოულობს ფიგურის გეგმილს მითითებული პარალელური დაგეგმილებისას;
• მსჯელობს სივრცული ფიგურის შესაძლო ფორმაზე მისი კვეთის/კვეთების მიხედვით;
• მსჯელობს ფიგურის შესაძლო ფორმაზე მისი ანასახის მიხედვით პარალელური
დაგეგმილებისას.
9
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 9 02.07.2012 16:47:41

მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა
XI.12 მოსწავლეს შეუძლია დასმული ამოცანის ამოსახსნელად საჭირო მონაცემების მოპოვება.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• ირჩევს და იყენებს მონაცემთა შეგროვების შესაფერის საშუალებას (დაკვირვება, გაზომვა,
მითითებულ რესპონდენტთა ჯგუფის გამოკითხვა მზა ანკეტით/კითხვარით, მონაცემთა
მოპოვება მონაცემთა სხვადასხვა წყაროებიდან), ასაბუთებს თავის არჩევანს;
• განსაზღვრავს რესპონდენტებს, ირჩევს კითხვების დასმის შესაფერის ფორმას (ღია კითხვები,
დახურული კითხვები, უჯრედის მონიშვნა, შკალაზე მონიშვნა), ქმნის მარტივ კითხვარს და
იყენებს მას მონაცემთა შესაგროვებლად;
• წარმოადგენს საკითხის შესასწავლად შესაფერისი ექსპერიმენტის გეგმას, ატარებს
ექსპერიმენტს და აგროვებს მონაცემებს.
XI.13 მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა წარმოდგენა ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი
ფორმით და მათი ინტერპრეტაცია.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• ირჩევს მონაცემთა წარმოდგენის შესაფერის გრაფიკულ ფორმებს, ასაბუთებს თავის
არჩევანს, აგებს და განმარტავს ცხრილებს/დიაგრამებს (მათ შორის ინტერვალთა კლასებად
დაჯგუფებული მონაცემებისათვის);
• ადგენს სიხშირეთა განაწილებას, წარმოადგენს მას გრაფიკული ფორმით და აღწერს მას
სიმეტრიულობის, მოდების რაოდენობის, გაშლილობის ან სხვა ნიშნების საშუალებით;
• ერთი გრაფიკული ფორმით წარმოდგენილ მონაცემებს წარმოადგენს განსხვავებული
გრაფიკული ფორმით და წარმოაჩენს თითოეული ფორმის ხელსაყრელ და არახელსაყრელ
მხარეებს;
• ამოიცნობს დიაგრამის მცდარ ინტერპრეტაციებს ან არაკორექტულად აგებულ/გაფორმებულ
დიაგრამებს, განმარტავს და ასწორებს ნაკლს.
XI.14 მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითობის ალბათური მოდელების საშუალებით აღწერა.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• აღწერს შემთხვევითი ექსპერიმენტის ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცეს, ითვლის
დამოუკიდებელ ხდომილობათა ალბათობებს (მათ შორის ჯამის ალბათობის ფორმულების
გამოყენებით);
• ითვლის რთულ ხდომილობათა ალბათობებს კომბინატორული ანალიზის გამოყენებით;
• შემთხვევითი ექსპერიმენტის ჩასატარებლად ერთ მოწყობილობას ცვლის მისი
ეკვივალენტური სხვა მოწყობილობით და ასაბუთებს არჩევანს.
XI.15 მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.
შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:
• ითვლის და იყენებს შემაჯამებელ რიცხვით მახასიათებლებს დაუჯგუფებელ მონაცემთა
ერთობლიობების დასახასიათებლად/შესადარებლად და მოსაზრებათა/არგუმენტების
შესაფასებლად;
• განსაზღვრავს მოდალურ კლასს და აფასებს საშუალოს, მედიანას და დიაპაზონს დაჯგუფებულ
მონაცემთა სიმრავლისთვის, ითვალისწინებს მათ რეალურ ვითარებაში გადაწყვეტილების
მიღებისას;
• გამოთქვამს ვარაუდს ხდომილობის მოსალოდნელობის შესახებ მონაცემთა საფუძველზე
(მაგალითად, ფარდობითი სიხშირის მიხედვით) და ასაბუთებს ვარაუდის მართლზომიერებას.
10
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 10 02.07.2012 16:47:41

Sinaarsisa da miznebis ruka
Sinaarsi
Temis kavSiri miznebTan da SedegebTan
savaraudo
xangrZlivoba
1 2 3
I Tavi
trigonometriuli funqciebi
da maTi Tvisebebi.
damokidebuleba erTi da imave
argumentis trigonometriul
funqciebs Soris.
trigonometriul gamosaxulebaTa
gamartiveba da igiveobaTa
damtkiceba.
ori argumentis jamisa da
sxvaobis trigonometriuli
funqciebi.
ormagi kuTxis trigonometriuli
funqciebi.
dayvanis formulebi.
amovxsnaT
gantoleba.
y = a sin(bx+c) funqcia.
trigonometriuli
მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი
თვისებების გამოყენება რეალური ვითარების
მოდელირებისას.
მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილ რიცხვებზე
მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა
ხერხით და ამ მოქმედებათა შედეგის
შეფასება.
მოსწავლეს შეუძლია გრაფიკული,
ალგებრული მეთოდებისა და
ტექნოლოგიების გამოყენება ფუნქციის/
ფუნქციათა ოჯახის თვისებების შესასწავლად.
34 sT
sakontrolo wera №1
II Tavi
wrfeTa paralelurobis QniSani.
wrfisa da sibrtyis paraleluroba.
QsibrtyeTa paraleluroba.
mocanebi kveTebis agebaze.
მოსწავლეს შეუძლია დედუქციურ/
ინდუქციური მსჯელობის და ალგებრული
ტექნიკის გამოყენება გეომეტრიულ
დებულებათა დასამტკიცებლად.
მოსწავლეს შეუძლია სივრცული ფიგურის
კვეთებისა და გეგმილების გამოყენება
სივრცული ფიგურის შესასწავლად.
მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითობის
ალბათური მოდელების საშუალებით აღწერა.
1 sT
16 sT
sakontrolo wera №2
1 sT
11
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 11 02.07.2012 16:47:41

1 2 3
III Tavi
xarisxi iracionaluri maCvenebliT.
maCvenebliani funqcia.
logariTmi.
logariTmis Tvisebebi.
Seqceuli funqcia.
logariTmuli funqcia.6
maCvenebliani da logariTmuli
gantolebebi.
maCvenebliani gantoleba.
logariTmuli gantoleba.
maCvenebliani da logariTmuli
utolobebi.
naxevradlogoriTmuli bade.
მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და
მათი თვისებების გამოყენება რეალური
ვითარების მოდელირებისას.
მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილ რიცხვებზე
მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა
ხერხით და ამ მოქმედებათა შედეგის
შეფასება.
მოსწავლეს შეუძლია რიცხვთა პოზიციური
სისტემების/ნამდვილ რიცხვთა
სიმრავლეების ერთმანეთთან დაკავშირება.
მოსწავლეს შეუძლია გრაფიკული,
ალგებრული მეთოდებისა და
ტექნოლოგიების გამოყენება ფუნქციის/
ფუნქციათა ოჯახის თვისებების
შესასწავლად.
32 sT
sakontrolo wera №3
IV Tavi
figuraTa paraleluri dagegmileba.
kuTxe or wrfes Soris. wrfeTa
marTobuloba.
wrfisa da sibrtyis marTobuloba.
wrfisa da sibrtyis marTobulobis
niSani.
paralelur sibrtyeebs Soris
manZili.
sami marTobis Teorema.
kuTxe wrfesa da sibrtyes Soris.
orwaxnaga kuTxe.
marTobuli sibrtyeebi. sibrtye-
Ta marTobulobis niSani.
მოსწავლეს შეუძლია დედუქციურ/
ინდუქციური მსჯელობის და ალგებრული
ტექნიკის გამოყენება გეომეტრიულ
დებულებათა დასამტკიცებლად.
მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული
გარდაქმნების დახასიათება და მათი
გამოყენება გეომეტრიული პრობლემების
გადაჭრისას.
მოსწავლეს შეუძლია სივრცული ფიგურის
კვეთებისა და გეგმილების გამოყენება
სივრცული ფიგურის შესასწავლად.
1 sT
26 sT
sakontrolo wera №4
1 sT
12
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 12 02.07.2012 16:47:41

1 2 3
V Tavi
mimdevroba.
maTematikuri induqciis
meTodi.
mimdevrobis zRvari.
zogierTi Teorema zRvarTa
Sesaxeb.
usasrulod klebadi geometriuliprogresia.
მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების
სხვადასხვა ხერხების გამოყენება
მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკული
საქმიანობიდან მომდინარე პრობლემების
გადაწყვეტა.
მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილ რიცხვებზე
მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა ხერხით
და ამ მოქმედებათა შედეგის შეფასება.
მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული
მათემატიკის ცნებებისა და აპარატის
გამოყენება მოდელირებისას და პრობლემების
გადაჭრისას.
20 sT
sakontrolo wera №5
VI Tavi
veqtoris koordinatebi.
veqtorebis Sekreba–gamokleba.
veqtoris gamravleba ricxvze,
kolinearuli veqtorebi.
ori veqtoris skalaruli namravli.
brunviTi sxeulebi, cilindri.
konusi.
sfero, birTvi.
მოსწავლეს შეუძლია ვექტორებზე
ოპერაციების შესრულება და მათი გამოყენება
გეომეტრიული და საბუნებისმეტყველო
პრობლემების გადაჭრისას.
მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული
გარდაქმნების დახასიათება და მათი
გამოყენება გეომეტრიული პრობლემების
გადაჭრისას.
მოსწავლეს შეუძლია სივრცული ფიგურის
კვეთებისა და გეგმილების გამოყენება
სივრცული ფიგურის შესასწავლად.
მოსწავლეს შეუძლია გრაფიკული, ალგებრული
მეთოდებისა და ტექნოლოგიების გამოყენება
ფუნქციის/ფუნქციათა ოჯახის თვისებების
შესასწავლად.
1 sT
14 sT
sakontrolo wera №6
1 sT
VII Tavi
kombinatoruli amocanebi.
gadanacvleba, wyoba.
jufTeba.
wyoba ganmeorebiT.
amovxsnaT amocanebi albaTobaTa
Teoriidan.
geometriuli albaToba.
dagrovili sixSire. rangi.
ogiva.
centraluri tendenciis
sazomebi.
sakontrolo wera №7
მოსწავლეს შეუძლია დასმული ამოცანის
ამოსახსნელად საჭირო მონაცემების მოპოვება.
მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა წარმოდგენა
ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი
ფორმით და მათი ინტერპრეტაცია.
მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითობის
ალბათური მოდელების საშუალებით აღწერა.
მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და
დასკვნების ჩამოყალიბება.
მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული
მათემატიკის ცნებებისა და აპარატის
გამოყენება მოდელირებისას და პრობლემების
გადაჭრისას.
21 sT
13
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 13 02.07.2012 16:47:42

მოსწავლის შეფასების სისტემა
მოსწავლის შეფასების მიზანი, პრინციპები და მიდგომები
1. მოსწავლის შეფასების მიზანია სწავლა-სწავლების ხარისხის მართვა, რაც გულისხმობს
სწავლის ხარისხის გაუმჯობესებაზე ზრუნვასა და კონტროლს.
2. მოსწავლის აკადემიური მიღწევის შეფასება უნდა იყოს ხშირი და მრავალმხრივი; მან
ხელი უნდა შეუწყოს: მოსწავლეთა მრავალმხრივ განვითარებას, მათი შესაძლებლობების
გამოვლენას, სხვადასხვა პოტენციალის მქონე მოსწავლეთათვის თანაბარი პირობების შექმნას.
3. მოსწავლე უნდა შეფასდეს სხვადასხვა ფორმებით (ესსე, პროექტის მომზადება, ზეპირი
გამოსვლა, ექსპერიმენტის ჩატარება, ცდის ჩატარება, წარმოდგენა, წერითი, ფერწერული ან
სხვა ტიპის ნამუშევარი, არგუმენტირებული მსჯელობა და სხვ.).
განმსაზღვრელი და განმავითარებელი შეფასება
1. სკოლაში გამოიყენება ორი ტიპის შეფასება: განმსაზღვრელი და განმავითარებელი.
2. განმსაზღვრელი შეფასება აკონტროლებს სწავლის ხარისხს, ადგენს მოსწავლის მიღწევის
დონეს ეროვნული სასწავლო გეგმით განსაზღვრულ მიზნებთან მიმართებაში. განმსაზღვრელ
შეფასებაში იწერება ქულა.
3. განმავითარებელი შეფასება აკონტროლებს თითოეული მოსწავლის განვითარების დინამიკას
და ხელს უწყობს სწავლის ხარისხის გაუმჯობესებას. განმავითარებელი შეფასებისას
გამოიყენება ისეთი საშუალებები, როგორიცაა სიტყვიერი კომენტარი, რჩევა-დარიგება,
დაკვირვების ფურცელი, თვითშეფასებისა და ურთიერთშეფასების სქემა და სხვ.
4. განმავითარებელი და განმსაზღვრელი შეფასებების აღწერილობა
მიზანი
განმავითარებელი
სწავლის ხარისხის გაუმჯობესება;
მოსწავლის განვითარების
ხელშეწყობა
შეფასების საგანი სწავლის პროცესი სწავლის შედეგი
განმსაზღვრელი
სწავლის ხარისხის გაკონტროლება;
მოსწავლის მიღწევის დონის დადგენა
ეროვნული სასწავლო გეგმით
განსაზღვრულ მიზნებთან მიმართებაში;
აკადემიური მოსწრების დონის
განსაზღვრა
შეფასების
შედეგად
მიღებული
გადაწყვეტილება
წარმარტების
კრიტერიუმების
განსაზღვრა
შეფასების
საშუალებები
წინსვლის ხელშესაწყობად
განსხვავებული აქტივობის შერჩევა,
სწავლების სტრატეგიის შეცვლა,
რჩევა-დარიგების მიცემა და სხვ.
კონკრეტული მოსწავლის
წინსვლის საფუძველზე (საკუთარ
მიღწევებთან მიმართებით - რა
დონეს ფლობდა, რა დონეს ფლობს)
თვით/ურთიერთშეფასების
რუბრიკა; კითხვარი;
სიტყვიერი (ზეპირი/წერილობითი)
კომენტარი;
უნარის განვითარების დონის
აღწერა.
მომდევნო ეტაპზე (კლასში/საფეხურზე)
დაშვება/არდაშვება
იმის საფუძველზე, თუ რამდენად
მიაღწია სტანდარტით განსაზღვრულ
შედეგებს (ყველასათვის საერთო,
სტანდარტით დადგენილ ნორმასთან
მიმართებაში)
ქულა
მოსწავლეთა აკადემიური მიღწევები ფასდება ათქულიანი სისტემით
14
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 14 02.07.2012 16:47:42

ქულები
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
შეფასების დონეები
მაღალი
საშუალოზე მაღალი
საშუალო
საშუალოზე დაბალი
დაბალი
საგნის სემესტრული ქულის შემადგენელი კომპონენტები
1. სემესტრის მანძილზე მოსწავლეები ფასდებიან შემდეგი სამი კომპონენტის მიხედვით:
ა) საშინაო დავალება;
ბ) საკლასო დავალება;
გ) შემაჯამებელი დავალება.
2. შეფასების სამივე კომპონენტს ერთნაირი წონა აქვს.
3. საშინაო და საკლასო დავალებათა კომპონენტებში გამოიყენება როგორც განმსაზღვრელი,
ასევე განმავითარებელი შეფასება.
4. შემაჯამებელი დავალების კომპონენტში აუცილებელია განმსაზღვრელი შეფასების
გამოყენება.
5. ეროვნული სასწავლო გეგმა თითოეული საგნისათვის განსაზღვრავს სემესტრის განმავლობაში
ჩასატარებელი შემაჯამებელი დავალებების სავალდებულო მინიმალურ რაოდენობას. ამ
კომპონენტით შეფასებისას:
ა) სტანდარტის მოთხოვნათა დასაკმაყოფილებლად, აუცილებელია შემაჯამებელი დავალების
მრავალგვარი ფორმის გამოყენება (თხზულება, მოხსენება, რეფერატი, პროექტი, საველე-
გასვლითი სამუშაო, ლაბორატორიული კვლევა, სახვითი და გამოყენებითი ხელოვნების
ნიმუში და სხვ.);
ბ) მოსწავლე ვალდებულია შეასრულოს კლასში ჩატარებული ყველა შემაჯამებელი დავალება
(ეროვნული სასწავლო გეგმით დადგენილი სავალდებულო მინიმუმი და სკოლის მიერ
დამატებით დადგენილი, ამ უკანასკნელის არსებობის შემთხვევაში);
გ) თუ მოსწავლე არ შეასრულებს რომელიმე შემაჯამებელ სამუშაოს გაცდენის გამო, სკოლა
ვალდებულია, მისცეს მას გაცდენილი შემაჯამებელი დავალებების აღდგენის საშუალება.
შემაჯამებელი აღდგენითი სამუშაოს ვადები და მისი ჩატარების ფორმა განისაზღვრება
სასკოლო სასწავლო გეგმით.
განმსაზღვრელი შეფასების ქულათა სახეობები
ზოგადსაგანმანათლებლო სისტემაში გამოიყენება განმსაზღვრელი შეფასების შემდეგი
სახეობები:
ა) საგნის მიმდინარე და შემაჯამებელი ქულები – საშინაო, საკლასო და შემაჯამებელი
კომპონენტის ქულები, რომლებსაც მოსწავლე იღებს სემესტრის განმავლობაში;
ბ) საგნის სემესტრული ქულა – საგანში მიღებული შეფასება თითოეულ სემესტრში (სემესტრული
გამოცდის ჩაბარების შემთხვევაში, გამოითვლება მისი გათვალისწინებით);
15
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 15 02.07.2012 16:47:42

გ) საგნის წლიური ქულა – სემესტრული ქულებიდან გამომდინარე შეფასება საგანში. წლიურ
ქულაში შეიძლება წლიური გამოცდის ქულაც აისახოს, თუ ასეთი გამოცდა გათვალისწინებულია
სასკოლო სასწავლო გეგმით და სკოლის მიერ განსაზღვრულია, რომ მას გავლენა ექნება საგნის
წლიურ ქულაზე;
დ) საერთო წლიური ქულა – საგნების წლიური ქულებიდან გამომდინარე შეფასება;
ე) საფეხურის საერთო ქულა – ზოგადი განათლების რომელიმე საფეხურის (დაწყებითი, საბაზო,
საშუალო) საერთო შეფასება.
ქულების გამოანგარიშების წესი
1. საგნის სემესტრული ქულის გამოანგარიშების წესი:
ა) მოსწავლის მიერ სემესტრის განმავლობაში სამივე კომპონენტში (საშინაო, საკლასო და
შემაჯამებელი) მიღებული ქულების ჯამი უნდა გაიყოს მიღებული ქულების რაოდენობაზე;
ბ) მიღებული ქულა უნდა დამრგვალდეს მთელის სიზუსტით (მაგ., 6.15 მრგვალდება 6-მდე,
7.49 მრგვალდება 7-მდე, 8.5 მრგვალდება 9-მდე);
გ) იმ შემთხვევაში, თუ მოსწავლეს არა აქვს შესრულებული ყველა შემაჯამებელი დავალება,
მისი სემესტრული ქულის გამოსაანგარიშებლად სამივე კომპონენტში მიღებული ქულების
ჯამი უნდა გაიყოს მიღებული ქულებისა და შეუსრულებელი შემაჯამებელი დავალებების
რაოდენობის ჯამზე.
2. საგნის წლიური ქულის გამოანგარიშების წესი:
ა) საგნის წლიური ქულის გამოსაანგარიშებლად საგნის სემესტრული ქულების ჯამი უნდა
გაიყოს ორზე;
ბ) საგნის წლიური ქულა მრგვალდება მთელის სიზუსტით (მაგ., 7.25 მრგვალდება 7-მდე, 4.49
მრგვალდება 4-მდე, 9.5 მრგვალდება 10-მდე);
გ) თუ სასკოლო სასწავლო გეგმა ითვალისწინებს წლიური გამოცდის ჩატარებას და
განსაზღვრულია, რომ ამ გამოცდის ქულაც აისახება წლიურ ქულაზე, მაშინ საგნის წლიური
ქულა სამი (ორი - საგნის სემესტრული და ერთი - გამოცდის) ქულის საშუალო არითმეტიკულია
(დამრგვალებული მთელის სიზუსტით).
3. საერთო წლიური ქულის გამოანგარიშების წესი:
ა) საერთო წლიური ქულის გამოსაანგარიშებლად უნდა შეიკრიბოს ეროვნული სასწავლო
გეგმით კონკრეტული კლასისთვის გათვალისწინებული ყველა სავალდებულო საგნის წლიური
ქულა (საშუალო საფეხურზე, აგრეთვე, სასკოლო სასწავლო გეგმით განსაზღვრული არჩევითი
საგნების ქულები სავალდებულო საგნების წლიურ ქულებთან ერთად) და ჯამი გაიყოს ქულების
რაოდენობაზე;
ბ) საერთო წლიური ქულა მრგვალდება მეათედის სიზუსტით (მაგ., 7.14 მრგვალდება 7.1-მდე,
8.15 მრგვალდება 8.2-მდე).
4. საფეხურის საერთო ქულის გამოანგარიშების წესი:
ა) საფეხურის საერთო ქულა გამოითვლება იმავე პრინციპით, რომლითაც ითვლება საერთო
წლიური ქულა: ჯამდება საფეხურის მანძილზე ნასწავლი ყველა საგნის წლიური ქულა (მაგ.
მათემატიკა მე-10 კლასი, მათემატიკა მე-11 კლასი, მათემატიკა მე-12 კლასი, ქართული მე-10
კლასი, ქართული მე-11 კლასი, ქართული მე-12 კლასი და ა.შ.) და ჯამი იყოფა ქულების საერთო
რაოდენობაზე;
ბ) საფეხურის საერთო ქულა მრგვალდება მეათედის სიზუსტით (მაგ., 6.43 მრგვალდება 6.4-
მდე, 7.58 მრგვალდება 7.6-მდე).
16
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 16 02.07.2012 16:47:42

gTavazobT ramdenime gakveTilis
sanimuSo scenars
I Tavi.
6. dayvanis formulebi
reziume: moswavleebi ecnobian dayvanis formulebs.
aqtivobis mizani:
moswavleebi ecnobian dayvanis formulebs sxvadasxva trigononetriuli funqciebisaTvis,
umuSavdebaT am formulebis gamoyenebis unar-Cvevebi.
moswavleebi SeZleben trigonometriuli wrewiris daxmarebiT Tavad gamoiyvanon es
formulebi.
Seswavlili masalis safuZvelze SeZleben mocemuli trigonometriuli formulebi
daiyvanon 0°-dan 90°-mde kuTxis trigonometriul funqciebamde da rig SemTxvevaSi
gamoiTvalon maTi mniSvnelobebi.
savaraudo xangrZlivoba - 1 sT.
aqtivobis aRwera:
1) gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT, ris Semdegac iwyeben fiqrs paragrafis
dasawyisSi, wyvilebisaTvis gankuTvnil davalebaze (10 wT).
2) Semdeg wyvilebis mier xdeba maTi naazrevis prezentacia. moswavleebisTvis TvalsaCinoa
erTeulovan wrewirze miRebuli samkuTxedebis toloba, ris Sedegadac advilad
dainaxaven, rom sin 240°=–sin60° (5 wT).
3) maswavlebeli ganmartavs, Tu ras ewodeba dayvanis formulebi da kiTxva-pasuxis re-
JimSi, wignSi mocemuli TvalsaCinoebis gamoyenebiT, moswavleebTan erTad amtkicebs
sin` r
- aj = cos a, cos` r
+ aj = cos a da cos` r
+ aj = cos a formulebs (10 wT).
2
2
2
4) mecadineoba grZeldeba wyvilebis, an mcirericxovani jgufebis muSaobiT, moswavleebs
gamoyavT sinus da kosinus funqciebisTvis dayvanis formulebi, 5) aqtovobis
gafarToeba-gaRrmavebis mizniT vixilavT paragrafSi garCeul magaliTebs (5 wT);
5) maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas (5 wT).
II Tavi.
3. sibrtyeTa marTobuloba
reziume: moswavleebi ecnobian sibrtyeTa paralelobas, sibrtyeTa paralelobis
niSans, paraleluri sibrtyeebis mesame sibrtyiT kveTisas miRebuli wrfeebisa da
monakveTebis Tvisebebs.
aqtivobis mizani:
moswavleebi ecnobian paraleluri sibrtyeebis Tvisebebs da niSnebs, iZenen miRebuli
codnis gamoyenebis unar-Cvevebs.
moswavleebi SeZleben, amocanis konteqstis gaTvaliswinebiT, amoicnon paraleluri
sibrtyeebi, amoarCion am sibrtyeebis mesame sibrtyiT kveTisas miRebuli paraleluri
wrfeebi da toli monakveTebi;
17
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 17 02.07.2012 16:47:42

savaraudo xangrZlivoba -1 gakveTili.
aqtivobis aRwera:
1) gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT, ris Semdegac maswavlebeli ganmartavs
paralelur sibrtyeebs, da Txovs moswavleebs daasaxelon paralelur sibrtyeTa
wyvilebi: saklaso oTaxis magaliTze, maT garSemo mde bare sagnebis magaliTze (5 wT)
2) Semdeg maswavlebelikiTxva-pasuxis reJimSi axsenebs moswavleebs ras warmoadgens
raime faqtis niSani, sawinaaRmdegos daSvebis meTodi da amtkicebs sibrtyeTa paralelobis
niSans (10 wT);
3) Semdeg wyvilebi muSaoben paragrafSi maTTvis gankuTvnil davalebaze da axdenen
namuSevris prezentacias (5 wT);
4) maswavlebeli ayalibebs paraleluri sibrtyeebis mesame sibrtyiT kveTisas miRebuli
wrfeebis da monakveTebis Tvisebebs da amtkicebs maT moswavleebTan aqtiuri
TanamSromlobis reJimSi (10 wT).
5) gakveTili grZeldeba wyvilebSi an mcirericxovan jguFebSi muSaobiT. moswavleebi
asruleben wignSi wyvilebisTvis gankuTvnil meore davalebas da axdenen namuSevris
prezentacias (10wT).
6) aqtivobis gafarToeba- gaRrmavebis mizniT vixilavT paragrafSi garCeul amocanas,
maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas (5 wT).
III Tavi.
6. logariTmuli funqcia
reziume: moswavleebi ecnobian logariTmul funqcias, mis grafiks, funqciis Tvisebebs.
aqtivobis mizani:
moswavleebi ecnobian logariTmul funqcias, funqciis Tvisebebs, daeuflebian am
Tvisebebis gamoyenebis unar-Cvevebs problemis gadasaQWrelad.
moswavleebi SeZleben amocanis konteqstis gaTvaliswinebiT gamoiyenon logariTmuli
funqciis esa Tu is Tviseba.
Seswavlili masalis safuZvelze SeZleben daadginon log a
b–1 -is niSani, Seadaron erTmaneTs
tolfuZiani logariTmebi.
savaraudo xangrZlivoba - 1sT;
aqtovobis aRwera:
1) gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT,ris Semdegac maswavlebeli axsenebs,
rom y=a x , a>0 da a≠1 funqciis Seqceuli funqciaa y=log a
x (10wT).
2) Semdeg xazaven y=a x funqciis grafikebs (a>1 da a∈(0;1) SemTxvevebisTvis) da y=x wrfis
mimarT simetriiT TiToeuli SemTxvevisTvis ageben y=log a
x funqciis grafikebs (10 wT);
3) Semdeg kiTxva-pasuxis reJimSi ayalibeben logariTmuli funqciis Tvisebebs (10 wT).
4) aqtovobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT maswavlebeli avalebs moswavleebs ifiQron
wignSi mocemul, wyvilebisTvis gankuTvnil davalebebze, ris Semdeg xdeba am
namuSevrebis prezentacia (10 wT);
5) maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas (5 wT).
18
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 18 02.07.2012 16:47:42

IV Tavi.
2. kuTxe or wrfes Soris. wrfeTa marTobuloba
reziume: moswavleebi ecnobian sivrceSi mdebare wrfeebs (mkveTi, paraleluri, mkveTi)
Soris kuTxis cnebas, marTobuli wrfeebis ganmartebas.
aqtivobis mizani:
moswavleebi ecnobian or wrfes Soris kuTxis cnebas, am kuTxis gamoTvlis wesis
dauflebas, gamoimuSaveben kuTxis povnis wesis gamoyenebis unar-Cvevas.
moswavleebi SeZleben, amocanis konteqstis gaTvaliswinebiT,SearCion Sesabamisi gza
da Seasrulon Sesabamisi naxazi or wrfes Soris kuTxis gamosaTvlelad.
Seswavlili masalis safuZvelze, SeZleben toli kuTxeebis amorCevas da maT Soris
met-naklebobis dadgenas.
savaraudo xangrZlivoba -1 gakveTili.
aqtivobis aRwera:
1) gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT, ris Semdegac vTxovT daasaxelon
paraleluri, TanamkveTi da acdenili wrfeebi (saklaso oTaxis magaliTze) (5 wT).
2) Semdeg ganvmartavT kuTxes acdenil wrfeebs Soris da vayalibebT am kuTxis povnis
wess, ris Semdegac ukve SesaZlebelia ganimartos nebismier or wrfes Soris kuTxe da
wrfeTa marTobuloba sivrceSi (10 wT).
3) maswavlebeli avalebs moswavleebs wyvilebSi Seasrulon wignSi mocemuli, wyvilebisaTvis
gankuTvnili amocana, ris Semdegac romelime wyvili axdens namuSevris prezentacias
(10 wT).
4) maswavlebelikiTxva-pasuxis reJimSi ixilavs paragrafSi garCeul or amocanas (10 wT).
5) aqtivobis gafarToveba-gaRrmavebis mizniT, SesaZloa diskusiis formac,ixilaven
paragrafSi mocemul individialur SekiTxvebs (5 wT).
6) maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas (5 wT).
V Tavi.
3. mimdevrobis zRvari
reziume: moswavleebi ecnobian mimdevrobis zRvris ganmartebas, mimdevrobis zRvris
geometriul interpretacias.
aqtivobis mizani:
moswavleebi ecnobian mimdevrobis zRvris ganmartebas, zRvris ganmartebis gamoyenebis
unar-Cvevas.
moswavleebi SeZleben aCvenon, rom mocemuli mimdevrobis zRvari mocemuli ricxvia,
an rig SemTxvevebSi Tavad ipovon mimdevrobis zRvari.
savaraudo xangrZlivoba -1 gakveTili.
aqtivobis aRwera:
1) gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT, ris Semdegac ixileba paragrafis
dasawyisSi mocemuli individualuri davalebebi, daadgenen mocemul mimdevrobebs
19
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 19 02.07.2012 16:47:42

Soris romelia monotonuri, amoarCeven maT Soris iseT mimdevrobebs, romelTa arcerTi
wevri ar aRemateba winaswar mocemul ricxvs. (10 wT).
2) gakveTili grZeldeba wignSi mocemuli, individualuri davalebiT, ris Sedegadac
naswavlebels ukve aqvs SesaZlebloba, ganmartos mocemuli ricxvis ε midamo (5 wT).
3) kiTxva-pasuxis reJimSi ixilaven paragrafSi mocemul davalebas, ris Semdegac maswavlebeli
ganmartavs mimdevrobis zRvars (10 wT).
4) ganmartebis ukeT gasaazreblad maswavlebeli axdens mimdevrobis zRvris geometriul
interpretaciis prezentacias (5 wT).
5) aqtivobis gafarToveba-gaRrmavebis mizniT, ixilaven paragrafSi garCeul magaliTebs
(10 wT).
6) maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas (5 wT).
VI Tavi.
4. ori veqtoris skalaruli namravli
reziume: moswavleebi ecnobian veqtorebis skalaruli namravlis ganmartebas da gamoTvlis
wess.
aqtivobis mizani:
moswavleebi ecnobian veqtorebis skalarul namravlis ganmartebas da euflebian am
namravlis gamoTvlis wess. SeimuSaveben am wesis gamoyenebis unar-Cvevebs.
moswavleebi SeZleben amocanis konteqstis gaTvaliswinebiT gamoiyenon veqtorebis
skalaruli namravli ama Tu im problemis gadasawyvetad.
Seswavlili masalis saFuZvelze SeZleben veqtoris sigrZis gamoTvlas, mveqtorebs
Soris kuTxis sididis povnas.
savaraudo xangrZlivoba - 1sT.
aqtivobis aRwera:
1) gakveTili iwyeba sSinao davalebis analiziT,ris Semdegac maswavlebeli aZlevs ori
veqtoris skalaruli namravlis ganmartebas (5 wT).
Semdeg kiTxva-pasuxis reJimSimaswavlebeli amtkicebs, romveqtoris skalaruli kvadrati
am veqtoris sigrZis kvadratis tolia da avalebs moswavleebs, ifiqron paragrafSi
mocemul wyvilebisTvis gankuTvnil amocanaze (10 wT).
2) wyvilebi axdenen TavianTi namuSevris prezentacias (5 wT).
3) amis Semdeg maswavlebeli amtkicebs, rom a $ b = a $ b $ cos a, sadac α a da b veqtorebs
Soris kuTxea (10 wT).
4) aqtivobis gafarToveba-gaRrmavebis mizniT, gairCeva wignSi amoxsnili sami amocana
(10 wT).
5) maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas (5 wT).
20
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 20 02.07.2012 16:47:42

VII Tavi.
3. jufTeba
reziume: moswavleebi ecnobian n elementidan m elementiani jufTebis gamosaTvlel
formulas, niutonis binoms.
aqtivobis mizani:
moswavleebi ecnobian jufTebis gamosaTvlel formulas, euflebian misi gamoTvlis
wess da SeimuSaveben am wesis gamoyenebis unar-Cvevebs.
SearCion amocanis amoxsnis gza da SearCion Sesabamisi formula (wyoba, gadanacvleba,
jufTeba).
Seswavlili masalis safuZvelze SeZleben gaamartivon jufTebis, wyobis, gadanacvlebis
Semcveli gamosaxulebebi, daTvalon ama Tu im xdomilobis albaToba, ipovon
binomis daSlis ama Tu im wevris koeficienti.
savaraudo xangrZlivoba -1 gakveTili.
aqtivobis aRwera:
1) gakveTili iwyeba saSinao davalebis analiziT, ris Semdegac maswavlebeli moswavleebTan
aqtiuri TanamSromlobiT ixilavs paragrafis dasawyisSi mocemul amocanas,
ris Semdegac ganmartavs n elementidan m elementian jufTebas (10 wT).
m n!
2) Semdeg kiTxva-pasuxis reJimSi amtkiceben formulas Cn
= (5 wT);
( n - m)! m!
3) Semdeg moswavleebi, maswavleblis daxmarebiT, ixilaven maTTvis gankuTvnil individialur
davalebas, ris Semdegac ukve xsnian paragrafis dasawyisSi mocemul amocanas
(10 wT);
4) Semdeg maswavlebeli amtkicebs C m
n C
n m
= - 0 1
n da Cn Cn .... C n n
+ + + n = 2 formulebs da paskalis
samkuTxedis ganxilvis Semdeg wers niutonis binoms (10 wT);
5) aqtivobis gafarToveba-gaRrmavebis mizniT vixilavT paragrafSi garCeul amocanebs
(5 wT);
6) maswavlebeli ajamebs gakveTils da aZlevs saSinao davalebas (5 wT).
21
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 21 02.07.2012 16:47:43

eziume:
I Tavi
1. trigonometriuli funqciebi da maTi Tvisebebi
trigonometriul funqciebsa da Tvisebebs moswavleebi X klasSi gaecnen. maT ician
trigonometriuli wrewiri, masze nebismieri wertilis Sesabamisi kuTxis gradusuli
da radianuli zomis gansazRvra wertilis koordinatebis mixedviT da piriqiT koordinatebiT
kuTxis povna, ician zogierTi kuTxis trigonometriul funqciaTa mniSvnelobebi.
SevecadoT kiTxvebiTa da garkveuli miTiTebebiT gavixsenoT trigonometriul
funqciaTa Tvisebebi, grafikebi.
amoxsnebi, miTiTebebi:
7. wrfeze erTi mimarTulebiT moZraobis dros maT Soris manZili ifareba siCqareebis
sxvaobiT. Tu gaviTvaliswinebT, rom A da B wertilebs Soris manZili 90°-ia, es manZili
90
unda daifaros siCqariT (60–42)°/wT-Si siCqariT, e.i. pirveli Sexvedra moxdeba =5 18
360 + 90
360( k - 1)
+ 90
wT-Si, meore Sexvedra =25wT-Si. k-uri Sexvedra =2k–15 wT-Si.
18
18
8. wreze sawinaaRmdego moZraobis dros maT Soris manZili ifareba siCqareebis jamiT,
90
e.i. a) pirveli Sexvedra moxdeba 20 + =2 wT-Si, b) meore Sexvedra 450 =10wT-Si.
25
45
360( k - 1)
+ 90
g) k-uri Sexvedra
=(8k–6) wT-Si.
45
9. vaCvenoT samkuTxedis utolobiT (trigonometriul wrewirze).
10. x 2 +y 2 –2x–2y+1=0
(x–1) 2 +(y–1) 2 =1
2
2
( x - 1)
= 0 ( x - 1)
= 1
) 2 an )
2
( y - 1)
= 1 ( y - 1)
= 0
(1;2) (1;0) (2;1) (0;1)
11. f(x)=0 ⇒ x= = 6 .
-1
( ) 6
f(g(x))=0 ⇒ = g x =
g( x) =- 1
o ⇒ x2 =6 ⇒ x=± 6 .
13. pirveli gantolebidan [x]=2 {y}=0,3. meoredan [y]=1; {x}=0,2, Tu gaviTvaliswinebT, rom
[x]+{x}=x. miviRebT: x=2,2; y=1,3.
14. a) luwia, Tu mudmivia, e.i. a–2=0; a=2.
b) kentia, Tu 3a–4=0; a= 4 3 .
22
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 22 02.07.2012 16:47:43

2. damokidebuleba erTi da imave argumentis trigonometriul
funqciebs Soris
reziume:
formulaTa cxrilSi mocemuli pirveli me-6 da me-7 igiveobebi moswavleTaTvis cnobilia
X klasis kursidan. danarCenebis gamoyvana isev maT davavaloT. yuradReba gavamaxviloT
± niSanze. wrewirzec davanaxoT, Tu rogor Seesabameba sinusis da kosinusis
TiToeul mniSvnelobas, kofunqciis ori mniSvneloba. Camoayalibon, Tu rogor unda
SeirCes Sesabamisi niSani.
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. a) sinα= 5
3
α∈ `0; r j I meoTxedi, e.i. cosα= 1
2
sin a
tgα= =
3 1 4
. ctg= cos a 4 tg a = 3
.
v) tgα= -
1
α∈ `
r
; rj
II meoTxedi. ctgα= 3 2
tg
1a = –3.
-
9
=
4
.
25 5
2
1 +
1
tg a = 2 , saidanac cosα= -
3
1
. sinα=tgα·cosα= .
cos a
10
10
2 sin x - 5 cos x
4. a)
= gavyoT cosx-ze. an asec: tgx=3, sinx=3cosx, CavsvaT mocemul
4 cos x + 3 sin x
gamosaxulebaSi
2tgx
- 5 =
1 .
4 + 3tgx
13
b)
2
2 2
( sin x - cos x)
sin x - 2 sin x cos x + cos x
2
=
2
sin x + 2 sin x cos x sin x + 2 sin x cos x
2
tg x - 2tgx
+ 1
=
4
2 = .
tg x + 2tgx
15
g)
2 3
7 cos x + 3 sin x cos x + 3 cos x
4 sin x + 3 cos x
=
7 cos x + 3 cos x
4 sin x + 3 cos x
=
10 10
4tgx
+ 3
= 11
.
5. 6tg 2 α–11tgα+3=0. tgα=y
6y 2 –11y+3=0
3 1
y= , y= , magram α∈(225°; 270°). tg225°=1. tangensi zrdadia mocemul SualedSi, e.i.
2 3
3 2
tgα>tg225°. miviReT tgα= ⇒ ctgα= . sinα= -
1
=-
3
2 3
2
.
1 + ctg a 13
7. tgα dadebiTia da I meoTxedSi ar aris, e.i. III meoTxedSia.
1
ctgα= . cosa= -
1
sinα= -
3
.
3 10 10
sin a
8. a) 3 3 =
sin a + cos a
sin a
3
cos a
3
sin a
3 + 1
cos a
1
tga
$ 2
=
cos a
3
tg a + 1
2
tga( tg a + 1)
=
10
3 = .
tg a + 1 9
b) sin 3 α+cos 3 α=(sinα+cosα)((sinα+cosa) 2 –3sinαcosα). gaviTvaliswinoT, rom
(sinα+cosα) 2 =1+2sinαcosα= 4
1 , e.i. sinαcosα= 8
3
- .
pasuxi:
-
11
.
16
23
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 23 02.07.2012 16:47:45

g) b)-s gaTvaliswinebiT sinα·cosα= -
3
23
. sin 8 4 α+cos 4 α=(sin 2 α+cos 2 α) 2 –2sin 2 αcos 2 α= . 32
9. a) sin 2 α+2cos 2 α=sin 2 α+2–2sin 2 α=2–sin 2 α
–1≤–sin 2 α≤0 1≤2–sin 2 α≤2
12. SevadginoT d-s mimarT kvadratuli gamosaxuleba. 2d 2 +5d+2. romelic umcires mniSvnelobas
miiRebs, roca d= 4
5
- .
reziume:
3. trigonometriul gamosaxulebaTa gamartiveba,
igiveobaTa damtkiceba
moswavles unda SeeZlos trigonometriul funqciaTa Soris damokidebulebebis gamoyeneba.
trigonometriul gamosaxulebaTa gamartivebis da igiveobis damtkicebis dros.
amoxsnebi, miTiTebebi:
3. a) sinα–cosα=0,5
1–2sinαcosα= 4
1
24
sinαcosα= 8
3
2
2
1 + tg + tg a 1 + tga
+ tg a
2
5. g)
2 =
= tg a.
1 + ctga
+ ctg a 1 1
1 + + 2
tga
tg a
2 sin a - 5 cos a 2 - 5ctga
10
6. a) 2 =
=- .
( sin a + cos a ) $ cos a
1 3
( 1 + ctga)
2
tg a + 1
7. sinα+cosα=m
1+2sinαcosα=m 2 2sinαcosα=m 2 –1
2 2
|sinα–cosα|= ( sin a - cos a) = 1 - 2 sin a cos a = 2 - m .
2 2
sin a + cos a 1
g) tgα+ctgα= =
2
sin cos
2 a a m - . 1
8. a) sin 2 α
1
1
2 2
1 `1
+ + ctg1
1
aj`1
- + ctg
2 j = sin
1 ctg
2
sin a
sin a
c^2
`1
+ + + 1
ctgaj`1
- + ctgaj = sin a 1 ctg ah - m =
2
sin a
sin a
c^
+ ah - m =
sin a sin a
2 2
=
1
2
sin
c1 2ctg
2
= a + ctg 1 a - 2
sin ac1 + 2ctga + ctg a - 2 m = 2 sin a cos a
2 m =
sin sin sina
a cos a
a
2
n - x = 100
10. ) 2
m - x = 168
m 2 –n 2 =68
(m–n)(m+n)=68, magram x=n 2 –100 da x=m 2 –168, e.i. m>12 da n>10, e.i. m+n>22.
m + n = 34
miviReT: ) , sadac m=18 da x=156.
m - n = 2
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 24 02.07.2012 16:47:46

eziume:
4. ori argumentis jamisa da sxvaobis trigonometriuli
funqciebi
cos(α–β)-s formula maswavlebelma Tavad unda daamtkicos. aq moswavleebs damoukideblad
muSaoba aSkarad gauWirdebaT, magram danarCeni formulebis damtkiceba cos(α+β),
sin(α±β) da tg(α±β) ukve SesaZlebelia mivandoT maT.
amoxsnebi, miTiTebebi:
6 + 2
2. a) cos15°=cos(45°–30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°= .
4
r
tg +
r
7r r r
tg
v) tg tg
3 4 3 + 1
= ` + j =
= =- 2 - 3
12 3 4 r r
1 - tg tg 1 - 3
3 4
1
4. a) sin a =
r 2
0180). e.i. α=30°. Tu β=45°, maSin mesame kuTxe 105°-ia.
e.i. udidesi SeiZleba iyos 135°.
reziume:
5. ormagi kuTxis trigonometriuli funqciebi
jamis formulebis gamoyenebiT davamtkicebinoT moswavleebs ormagi kuTxis trigonometriuli
funqciebi. vaCvenoT maT naxevari kuTxis formulebi da naxevari kuTxis
tangensiT funqciaTa Secvlis formulebi.
amoxsnebi, miTiTebebi:
7. a)
f
2
2
1 + tg `
3r
j 2
8 1
2
2 3r
p = =
3r
1 -
e o
tg ` j cos
8
4
25
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 25 02.07.2012 16:47:47

5r
8. a) 2r
< a <
2
a 5r
r < <
2 4
I meoTxedi
III meoTxedi
cosα=0,8
a 1 - cos
sin =-
a
=- 0,
1
2 2
a
cos =-
a 1
0, 9 tg =
2
2 3
2
10. a) 2 cos `
r
-
a
j = 1 +
r
cos`
- aj
= 1 + sin a
4 2 2
2
1
1 tg a
e) ctga - tga - 2tg2a - 4tg4a
= - tga - 2tg2a - 4tg4a
= - - 2tg2a
- 4tg4a
=
tga
tga
= 2ctg2a - 2tg2a - 4tg4a = 4tg4a - 4tg4a = 8ctg8a
2 2
cos 2a
cos a - sin a cos a - sin
12. a)
2 =
=
a
= ctga
- 1
sin a cos a + sin a sin a( cos a + sin a)
sin a
2 3
1 + cos a + cos 2a + cos 3a
2 cos a + cos a + 4 cos a -
=
3 cos a
2 =
g)
sin 2a + 2 sin a cos 2a
2 sin a cos a + 2 sin a( 2 cos a - 1)
2
cos a cos a + 2 cos a -
= -
1
2 = ctga
sin a cos a + 2 cos a - 1
2
2tga
-
13. sin 2
7 7
a = 2 = =- .
1 + tg a 1 25
D
1 +
49
C
14. davweroT sinusebis Teorema AOD samkuTxedSi, miviRebT
AO=6.
O
A
45°
60°
B
BK
15. ∆ABC-Si AC=5, e.i. BM=AM=2,5. KM
=
AB
, saidanac BK
AM
=
15
.
11
6. dayvanis formulebi
reziume:
dayvanis formulebis nawils `
r
- aj ; ^r - a)
moswavleebi icnoben samkuTxedebis kuTxeebisTvis.
gavacnoT maT danarCeni da davamtkicebinoT paragrafSi ganxiluli nimuSebis
2
r
mixedviT. aRvniSnoT, rom - a es aris kuTxe, romelic niSnis Seucvlelad cvlis oTxive
funqcias kofunqciiT. aRvniSnoT, rom zogierTi formula SeiZleba periodulobisa
2
da luw-kentobis gaTvaliswinebiTac miviRoT. mag. tg(180°–α)=tg(–α)=–tgα. xazi gavusvaT,
rom saWiroa ara formulebis dazepireba, aramed kuTxis dayvanis wesis damaxsovreba.
amoxsnebi, miTiTebebi:
3. a) sin`a
+
r
j = cos`
r
- `
r r
a + jj = cos`
- aj
4 2 4 4
7. d) sin`5x -
3r
j $ cos(2x + 4 r) - sin(5 x + r) sin 2x
= 0
2
26
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 26 02.07.2012 16:47:49

8. a) cos( a + b - c) = cos(180c
- 2 c) =- cos 2c
11. a) tgα=k 1
; tgβ=k 2
.
k2 - k1
naxazis mixedviT β=α+γ, e.i. tgc = tg( b - a)
= , radgan or wrfes Soris kuTxe ar
1 + K1K2
k2 - k1
aRemateba 90°-s. tgc = .
1 + k1k2
1
b) marTobuli wrfeebisTvis γ=90°, e.i. tgγ ar aris gansazRvruli anu k 1
k 2
+1=0, e.i. k1
=- .
k2
reziume:
7. amovxsnaT trigonometriuli gantoleba
umartivesi trigonometriuli gantolebebi Tavisi formulebiT ganxiluli iyo X
klasSi. axla ukve gavecnoT SedarebiT rTuli tipis gantolebebs da maT amoxsnebs.
moswavles unda SeeZlos miRebuli codnis gamoyenebiT gantolebis umartives saxemde
(sinx=a; cosx=a; tgx=a) miyvana.
amoxsnebi, miTiTebebi:
2
5. v) cos x + ( 3 - 3)
cos x - 3 3 = 0
2
y - ( 3 - 3)
y - 3 3 = 0
2
(3 3) ! ( 3 3)
12 3 3
y = - - + = =
2
-
3
∅
2
6. e) cos 2x + sin x +
1
sin x =
4
2 2
1 - 2 sin x +
1
sin x + sin x =
4
2
sin x -
3
sin x - = 0
4
saidanac sin x =-
1
2
7. v) 1+cosx+cos2x=0
2cos 2 x+cosx=0
cosx(2cosx+1)
cos x = 0
> 1
cos x =-
2
4 x
4 x
8. g) sin 2x
= cos - sin
2 2
2 x 2 x 2 x 2 x
2 sin x cos x = `cos - sin j`cos + sin j
2 2 2 2
2sinxcosx–cosx=0
1
cosx=0 sinx= 2
27
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 27 02.07.2012 16:47:50

9. g) 8sin2x–3cos 2 x=4
16sinxcosx–3cos 2 x=4; 16sinxcosx–3cos 2 x=4(sin 2 x+cos 2 x);
4tg 2 x–16tgx+7=0
tgx= 2
1 an tgx= 2
7
4sin 2 x+7cos 2 x–16; xcosx=0
10. b) 3tg 2 x+4tgx+4ctgx+3ctg 2 x+2=0
3(tg 2 x+ctg 2 x)+4(tgx+ctgx)+2=0
tgx+ctgx≡y
3(y 2 –2)+4y+2=0
3y 2 +4y–4=0
tgx+ctgx=–2
tgx+ctgx= 3
2
g) sin 4 x+cos 4 x=sin2x–0,5
1– 2
1 sin2 2x=sin2x–0,5
sin 2 2x+2sin2x–3=0
r
x= + rk
4
16
11. g) 11ctgx–5tgx= sin x
sinxcosx≠0, sin2x≠0
r
x≠ k. 2
11cos 2 x–5sin 2 x=16cosx
1
cosx= 4
x = ±arccos`-
1
1
j+2πk; x = ±(π–arccos )++2πk
4
4
1
umciresi dadebiTi — (π–arccos ) 4
udidesi uaryofiTi — (–π+arccos 4
1 )
d) 2sin2x+cos 2 x+2+cos2x=0 :cos 2 x
4sinxcosx+cos 2 x+2+cos 2 x–sin 2 x=0
miviRebT: (tgx+2) 2 =0 tgx=–2.
x=arctg)–2)+πk
umciresi dadebiTi — (π+arctg(–2)) = π – arctg2.
udidesi uaryofiTi — arctg(–2) = –arctg2.
12. b) 4(1+cosx)=9+sin 4 x–cos 4 x (–π;π)
4+4cosx=9+sin 2 x–cos 2 x
cosx=y
y 2 +2y–3=0
y=–3 y=1
cosx=1 x=2πn
pasuxi: 0.
g) sin 2 x– 3 sin2x–cos 2 x=–2 cos 2 x
3tg 2 x–2 3 tgx+1=0
28
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 28 02.07.2012 16:47:50

3 tgx–1=0
1
tgx= 3
r
x= +πk. 6
r 7r (0;4) SualedSi moxvdeba ; .
6 6
13. mocemuli gantoleba tolfasia sistemis
sin 2x
= 1
a) ) , romelsac amonaxsni ar aqvs.
cos x = 1
2
b) x -
3
x + gamosaxulebis umciresi mniSvneloba metia 1-ze.
2
14. a) 3 sin x + cos x = 2 gavyoT 2-ze.
3 1 2
sin x + cos x =
2 2 2
r
2
sin x cos +
r
sin cos x =
6 6 2
2
sin`x
+
r
j =
6 2
k
x +
r
= (- r
1) + rk
k∈Z
6 4
d) sinx+cosx= 4
5 aviyvanoT kvadratSi
25
1+sin2x= 16
9
sin2x= 16
k
( 1) x = - 9 arcsin +
r k k∈Z
2 16 2
I Tavis damatebiTi savarjiSoebi
2 x
2
4. y = cos + - sin 2x
gamosaxulebas azri rom hqondes, –sin
2
2 2x≥0 e.i. sin2x=0, 2x=πk, k∈Z.
k
x =
r
k∈Z.
2
2 x
vipovoT y = cos , roca x =
rk
. SesaZlebelia ori SemTxveva k=2n, n∈Z da k=2n+1, n∈Z.
2
2
2 2n
2 n
1. y = cos ` rj
=
r
cos ` j gamosaxuleba tolia 0-is an 1-is.
4
2
2 2n
+ 1
2 n
2. y = cos `
1
rj =
r r
cos ` + j = e.i. gamosaxulebis mniSvnelobaTa simravlea
4
2 4 2
$
1
0; ; 1..
2
7. tgα–ctgα=b
a) tg 2 α+ctg 2 α=(tgα–ctgα) 2 +2tgα·ctgα=b 2 +2.
b) tg 3 α–ctg 3 α=(tgα–ctgα)((tgα–ctgα) 2 +3tgα·ctgα)=b(b 2 +3).
9. a) x d 8-
r ;
2 0
sin x ∈[ −1; 0]
B aviRoT (x 2
>x 1
) ⇒ { sin x2 > sin x
, radgan IV meoTxedSi sinx da cosx funqciebi
1
zrdadia, e.i. (x 2
>x 1
) ⇒ cos(sinx 2
)>cos(sinx 1
), e.i. funqcia zrdadia.
29
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 29 02.07.2012 16:47:52

2 r 2 11
2 2 11
2 2
12. a) sin +
r
sin =
r
sin + cos `
r
-
r
j =
r
sin +
r
cos = 1
13 26 13 2 26 13 13
2 sin 20c cos 20c $ cos 40c cos 80c g) sin10°·sin30°sin50°sin70°=cos80°·cos60°·cos40°cos20°=
=
4 sin 20c
sin 40c cos 40c cos 80c
=
4 sin 20c
=
sin 80c
cos 80c
=
sin 160c
=
1
.
8 sin 20c
16 sin 20c
16
14. b) cos`
r
+ xj
1
cos`
r
+ xj
=
4 4 2
cos `x
+ j =
1
4 2
2
cos`x
+
r
j = !
4 2
2
cos`x
+
r
j = !
4 2
π π
x + = ± + π k
4 4
x +
r
=
r
+
r r
k x= k
4 4 2 2
2 r
2
2
3
4 p p
4
5
4 p
p
4
2
2
1
17. a) cosα–sinα= 2
1
1–sin2α= 4
3
sin2α= 4
cos4α=1–2sin 2 2α=1- 9
=-
1
. 8 8
25. b =
r
- a
4
r
1 - tga
^1 + tgah`1
+ tg`
- ajj = ^1
+ tgahc1
+ m = 2
4
1 + tga
3 + 1 3
26. 1–sin 2 x+ sin x - - 1 = 0
2
4
2 3 + 1 3
sin x - sin x + = 0
2
4
sin x
=
1
sin x
2
=
3
2
r 5r r 2r
oTxi amonaxsni: ; ; ;
6 6 3 3
30
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 30 02.07.2012 16:47:54

eziume:
II Tavi
1. wrfeTa paralelurobis niSani
moswavles unda SeeZlos paralelur wrfeTa ganmarteba, sivrceSi, mravalwaxnagebze
imis dadgena, Tu romeli erfeebia paraleluri da am faqtis dasaxeleba.
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. AD da DC wrfeebi kveTs α sibrtyes lemis Tanaxmad.
2. trapeciis Suaxazi fuZeebis paraleluria, amitom Tu α sibrtyes kveTs trapeciis
fuZeebis Semcveli wrfeebi, maSin Suaxazis Semcveli wrfec unda kveTdes mas, magram amocanis
pirobiT Suaxazi mdebareobs α sibrtyeSi. e.i. mocemuli trapecia an mdebareobs
α sibrtyeSi, an misi fuZeebis Semcveli wrfeebi α sibrtyes ar kveTs.
3. DC wrfis paraleluri wrfe samkuTxedebs sibrtyeebs kveTs lemis Tanaxmad.
4. a da b wrfeebis paraleluri wrfe rom arsebobdes, maSin a da b wrfeebi paraleluri
iqneba da maTze gaivleba sibrtye.
5. orive wrfe paraleluria AC wrfis.
C
6. MN – ∆ ABC-s Suaxazia,
N P PQ – ∆ ACD-s Suaxazi.
AC ⎞
MN || AC MN = ⎟
B
D
2 ⎟ ⇒ MN || PQ
AC
M Q
PQ|| AC PQ = ⎟
2 ⎠
A
e.i. MNPQ – paralelogramia.
da
MN = PQ,
14. fuZis diagonali 25x, e.i. 25xh=50, xh=2. S gv
=62xh=124.
2. wrfisa da sibrtyis paraleluroba
amoxsnebi, miTiTebebi:
3
1. MN monakveTi ABC samkuTxedis Suaxazia. e.i. MN||AB da amitom MN||α, MN = sm .
2
2. CD||AB, e.i. CD||(ABM).
3 3
3 3
4. NC = BC = ⋅ 20 = 12; AM = AB = ⋅15
= 9 .
5 5
5 5
2 2
MN = AC = ⋅30
= 12 .
a
5 5
5. vTqvaT a da b acdenili wrfeebia. b wrfis nebismier wertilze
gavataroT a wrfis paraleluri c wrfe (b;c) sibrtye
paraleluria a wrfis.
b
c
31
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 31 02.07.2012 16:47:54

6. C1D1
|| AB; C1D1
= AB⎞
C1D1
|| DC; C1D1
= DC .
CD || AB; CD AB
⎟
=
⇒
⎠
e.i. C 1
CDD 1
– paralelogramia. P=2(7,2+5,8)=26.
9. amovxazoT fuZe BK=4, AD=2, AB=5. miviReT DK=1. vipovoT BD
diagonali BD= 17 .
AC 2 +17=2(25+4); AC 2 =41. diagonali 17 + 8 = 25 = 5.
B
C
B 1
C 1
11. BD= 1 + 4 -
1
2 $ 1 $ 2 $ = 2
3
A
D
K
A 1
D 1
AC= 7
B
C
B 1
D=2 3 ; AC 1
=4.
A
60°
D
B 1
C 1
12. saZiebeli manZili aris B 1
C 1
D marTkuTxa samkuTxedis
5 $ 5 2
simaRle da tolia =
2
5 .
A 1
5 3 3
D 1
B
C
A
D
reziume:
3. sibrtyeTa paraleluroba
paralelur sibrtyeTa ganmartebis safuZvelze moswavleebs unda SeeZloT konkretul
magaliTebze paralelur sibrtyeTa wyvilebis dasaxeleba da a.S. faqtis dasabuTeba.
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. DABC=D A 1
B 1
C 1
. e.i. A 1
B 1
=AB=10.
3. DACB ~ DA 1
C 1
B 1
msgavsebis koeficientiT
9
4 .
1
5. MNP da ACD samkuTxedebi msgavsia. msgavsebis koeficienti -ia. 2
1 1
e.i. SMNP = SACD
= ⋅92
= 23 .
4 4
6. miTiTeba: DA 1
AB 1
~ DA 2
AB 2
.
12. fuZis diagonalia 205:5=41, e.i.
2 2
a + b = 1681
)
ab = 360
a = 40
b = 9
13. gverdiTi wibo — 5 sm; fuZis gverdi — 6 2 . S sr
=2·72+120 2 .
32
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 32 02.07.2012 16:47:55

4. amocanebi kveTebis agebaze
amoxsnebi, miTiTebebi:
a
3. kveTis sibrtye gadis PN wrfeze, romelic ABD sibrtyis paraleluria.
e.i. wrfe kveTs sibrtyis ABD sibrtyesTan kveTis wrfe
PN wrfis, amave dros DB wrfis paraleluria. MK||DB.
BD
AC
MK = PN = = 18 ; MN = KP = = 15.
2
2
gavamaxviloT yuradReba imaze, rom KMNP oTxkuTxedi paralelogramia.
D
P
K
C
D
N
M
B
4. O wertilze gavavloT MN||BC. NK||AC; (MNK)||(ABC). DOEN ~ DBEC.
ON OE 1
= = ;
1
ON = BC ;
2
MN = BC .
BC BE 3 3
3
S
S
2
MNK
=
ABC
⎛ 2 ⎞ 4
= ⎜ ⎟ .
⎝ 3 ⎠ 9
5. DOEF ~ DALK.
S
1
2
= SALK
6 sm .
4
OEF =
6. g) gavavloT M wertilze BB 1
-is paraleluri EF monakveTi.
F wertilze FL||BD. E wertilze EP||B 1
D 1
.
EPLF saZiebeli kveTaa.
a 1
E
M
F
B 1
B
B
F
M
O
K
a
P
D 1
E
N
C
C 1
C
a
L
D
II Tavis damatebiTi savarjiSoebi
1. davuSvaT sawinaaRmdego: AC da BD wrfeebi ar arian acdenili, e.i. maTze gaivleba
sibrtye, romelSic, cxadia, moxvdeba AB da CD wrfeebi, rac pirobas ewinaaRmdegeba.
2. Tu arsebobs wrfe, romelic a da b wrfeebis paraleluria, maSin da wrfeebic paraleluria
da maTze gaivleba sibrtye.
D
3. MPNK paralelogramia, amitom MN da PK diagonalebis
gadakveTis wertili maTi Suawertilia.
analogiurad, MENF oTxkuTxedic paralelogramia, romlis
diagonalebia MN da EFEF-ia.
a
M
P
B
E
F
K
C
4. ( || BC) AD || (BMC)
AD ⇒ .
33
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 33 02.07.2012 16:47:56

5. DACD ~ DABE.
C
a
D
B
M
E
⎛ AB 4 ⎞ AC 1
⎜ = ⎟ ⇒ = .
⎝ BC 3 ⎠ AB 4
CD
BE
=
AC
AB
BE = 48 sm.
7. ( || AD) BC || (ADK)
BC ⇒ , e.i. ( ADK) (AMC) = KE
amasTan, KE||BC; BK=KM, amitom ME=EC,
BC
e.i. KE = = 9 sm.
2
8. ( AB||
) ⇒ ABCD
AB-s paraleluria, amave dros is C wertilze gadis, e.i. ( ABCD ) α = (DC)
α trapeciis sibrtyis da a sibrtyis TanakveTa iqneba wrfe, romelic
.
9. α b ≡ a;
α γ ≡ c; b γ ≡ b . ganvixiloT SemTxveva, roca: a) a||c; b) a c = {A}
.
a) a
Tu davuSvebT, rom a da b wrfeebi ikveTeba raime A wertilSi, maSin
A∈a da A∈g, e.i. A wertili c wrfeze mdebareobs,
a
rac daSvebas ewinaaRmdegeba.
c
B
K
a
b
D
E
C
b) msjeloba analogiuria.
c
a
b
10. vTqvaT a wrfe kveTs a sibrtyes A wertilSi b||a. aviRoT b sibrtyeze nebismieri B
wertili da gavavloT sibrtye a wrfesa da B wertilze.
11. am ori wrfidan erTi mainc acdenilia a wrfesTan. SeiZleba iyos: erTi paraleluri,
erTi acdenili, an orive acdenili a wrfesTan.
b 1
16. a sibrtyeSi aviRoT a da b mkveTi wrfeebi. A wertilze a 1
||a; b 1
||b.
a 1
(a 1
b 1
)||a; erTaderToba sawinaaRmdegos daSvebiT davamtkicoT.
b
a
a
17. davuSvaT sawinaaRmdego: a da b sibrtyeebs aqvT saerTo wertili, romelzec gavlebulia
ori (a da b) sibrtye, romlebic paraleluria g sibrtyis, rac SeuZlebelia.
18. DAX 1
X 2
~ DAY 1
Y 2
.
X 1
a
Y 1
X 2
Y 2
34
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 34 02.07.2012 16:47:56

eziume:
III Tavi
1. xarisxi iracionaluri maCvenebliT
moswavlem unda SeZlos iracionalurmaCveneblian xarisxebze moqmedebebis Sesruleba;
Tvisebebis gamoyenebiT gamosaxulebebis gamartiveba.
amoxsnebi, miTiTebebi:
3. davalagoT zrdis mixedviT ricxvebi (xarisxis maCveneblebi).
3; 2 2 ; 2 3 ; 2,5.
1
2
1
2 3
5 3 3
5 3
2
6. d) c ` 5 - j - ` - 5 j m - 2 sin 45c
= ` - 5 - + 5 j - 1=1–1=0.
2 2
2 2
3 2 6
2 6 2 2 2 2
a + 1 - a $ 1 - 2a 1 - a ^a + 2a 1 - a + 1 - a h^1 - 2a 1 - a h
7. d)
=
3
2
3
2
=
1 - 2a
1 - 2a
6
2 2
6
2 4
1 - 4a
( 1 - a ) 1 - 4a
+ 4a
=
=
=
2
1
3
3
2
.
1 - 2a
1 - 2a
1 1
3
8. x / m y
3 / n,
maSin a = m + m n + n + m n
2
3
6 4 2 6 2 4
6 4 2 6 2 4 6 6 8 4 4 8
a = 3 m + m n + n + m n + 2 2n n + m n + m n = 3 m 6 + m 4 n 2 + n 6 + m 2 n 4 + 2( m 4 n 2 + n 2 m
4
) =
3
2 2 3 2 2
= ( m + n ) = m + n
12. (x+2) 2 +y 2 =100 da x=y an x=–y.
(–8;–8) (6;6)
(–8;8) (6;–6)
13. (x;0) (9;12)
(x–9) 2 +12 2 =x 2 x=12,5.
reziume:
2. maCvenebliani funqcia
moswavlem unda icodes maCvenebliani funqciis gansazRvra. unda icodes misi Tvisebebi
da SeeZlos grafikis ageba. grafikulad unda SeeZlos imis dadgena, ramdeni amonaxsni
aqvs a x =kx+b saxis gantolebas parametrebis sxvadasxva mniSvnelobebisaTvis.
amoxsnebi, miTiTebebi:
y
19. a) 2 amonaxsni
1
0
x
35
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 35 02.07.2012 16:47:57

y
b) g)
y
2
1
0
x
0
x
-1
1 amonaxsni arc erTi amonaxsni
1
x
20. g) y = -x-2
= 2 = 8 $ 2
2
+ 2 x-1
.
-1
24 =
5
b $ a
2
23. a) ) 1,
5o
gavyoT a =
1 a =
1
; b=6
0,
75 = b $ a
32 4
24. a) vTqvaT, Tavdapirveli masa iyo A, da yovewliurad x%-iT iklebda.
1 wlis Semdeg masa iqneboda A – A x
100 =A(1– x
100 )
2 wlis Semdeg masa iqneboda A(1– x
100 )2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33 wlis Semdeg — A(1– x
100 )33
(1– x 1
100
100 )33 = x=100 –
2 33
2
3. logariTmi
amoxsnebi, miTiTebebi:
11. 2 2+4+...+2k =2 56 .
2 + 2k $ k = 56
2
k 2 +k–56=0 k=7
13. a) D=a 2 –100=0
a=±10.
14. a) x 2 –x < y–xy
x(x–1) – y(x–1) < 0
(x–1)(x–y) 1
)
S y > x
S
x < 1
S)
y < x
T
36
1
y=x
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 36 02.07.2012 16:47:58

) (x+2)(y–3)>0
R
S x > - 2
)
S y > 3
S
x < - 2
S)
y < 3
T
-2
3
y
15. b)
-2 0
2
3
x
reziume:
4. logariTmis Tvisebebi
moswavlem unda icodes logariTmis Tvisebebi, maTi gamoyeneba magaliTebis amoxsnis
dros.
amoxsnebi, miTiTebebi:
3 1
6. b) log log ( cos 30 ) log ( sin 30 ) log log log log 1 ` c - c j = c - m = log 1
3 3
3 2
3 2
1 3 3 = 1
2
2
7. a) log 14 = b log 7 = b–1
2
2
log 32
2
log 32 = =
5
=
5
49 log 49 2 log 7 2( b - 1)
2
b) log 9 = a log 5 = b
7
2
7
log 49
7
log 49 = =
2
=
2
=
4
15 log 15 log 3 + log 5 a
b
a 2b
7
7 7 + +
2
g) log 16 =
4
a & =
a
a, saidanac log 3 =
4 - 2
12 2 + log 3
2 a
d) log 25 = a log 10 = b
3
2
3
2
log 27
3
log 27
= =
3
=
3
=
6
50 log 50 log 5 + log 10 a
b
a 2b
3
3 3 + +
2
lg 3 lg 4 lg 5 lg 15 lg 16 lg 16
8. log 3 $ log 4 $ log 5..... log 15 $ log 16 = $ $ .... $ = = lg 16=4.
2 3 4 14 15 lg 2 lg 3 lg 4 lg 14 lg 15 lg 2 2
11. x 1
; x 2
.....x n
... geometriuli progresiaa. ganvixiloT lgx 1
; lgx 2
....... lgx n
...... mimdevroba da
lgx n–1
+lgx n+1
=lg(x n–1·x n+1
)=lgx n2
=2lgx n
. r.d.g.
xn
d=lgx n
–lgx n–1
=lg =lga x
n-1
2
37
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 37 02.07.2012 16:47:59

12. a) log 8 < log 10 < log 16 e.i. mTeli nawili 3.
2 2 2
m
m
n m
n
14. vTqvaT racionaluria, e.i. log 3 = + 3 = 2 + 3 = 2 , rac SeuZlebelia.
2 n
15. y=2ax+1 y=(a–6)x 2 –2
2ax+1=(a–6)x 2 –2
(a–6)x 2 –2ax–3=0
Tu a=6 gveqneba: y=12+1 da y=–2. maT saerTo wertili aqvT. e.i. a≠6.
Tu a≠6,
D
4 =a2 +3a–18

eziume:
5. Seqceuli funqcia
gavaxsenoT moswavleebs Seqceuli funqciis cneba, davawerinoT ramodenime funqcia da
misi Seqceuli funqcia; gaixsenon faqti, romel funqciebs aqvT Seqceuli funqciebi
da romels ara.
amoxsnebi, miTiTebebi:
6. x 2 –xy–6y 2 =11
(x–3y)(x+2y)=11
R
S x - 3y
= 1
)
S x + 2y
= 11
S
x - 2y
= 11
S)
x + 2y
= 1
T
(7;2)
7. x 2 –4x–a 2 +2a+3=0 x 1
;x 2
∈(–2;3)
–2 3
x 0
=2
amocanis pirobis Sesasruleblad SevadginoT sistema:
Z
2
f( x0)
< 0 ] 4 - 8 - a + 2a
+ 3 < 0
2
* f( - 2) > 0 [ 4 + 8 - a + 2a
+ 3 > 0 a∈(0;2)
2
f( 3)
> 0
]
9 - 12 - a + 2a
+ 3 > 0
\
9. a) amovxsnaT gantoleba:
x + 2 = 2x
- 11
x+2=4x 2 –44x+121
x
=
17
ar akmayofilebs x=7; y=3.
4
12. ax + 8 +b umcires mniSvnelobas iRebs, roca
ax + 8 = 0 , e.i. b=1 zrdadobis Sualedia [–4;∞), e.i.
- 4a
+ 8 +1=1, saidanac a=2.
–4
39
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 39 02.07.2012 16:48:02

6. logariTmuli funqcia
amoxsnebi, miTiTebebi:
2. 1

9. a) 3 x+5 –20·3 x+2 =63
3 x+2 (27–20)=63
3 x+2 =9 x=0.
v) 7 3–x –7 2–x =2 5–x –2 3–x
7 2–x (7–1)=2 2–x (8–2)
2-x
7
` j =1 x=2.
2
11. gantolebas eqneba 1 amonaxseni x-is mimarT, Tu pt 2 –5t+1=0 gantolebas aqvs erTi
dadebiTi amonaxsni (D=0) an ori sxvadasxvaniSniani amonaxsni, anu roca p=0, p= 4
25 an p≤0.
12. x(x+1)+(x+1)(x+2)+...+(x+9)(x+10)=1·2+2·3+....+9·10
x 2 +x+x 2 +3x+1·2+x 2 +5x+2·3+...+x 2 +19x+9·10=1·2+2·3+...+9·10
10x 2 +x+3x+...+19x=0
10x 2 + x + 19 x ·10=0
2
10x 2 +100x=0
x=0 x=–10.
13. (k–1)x 2 +(k+4)x+(k+7)=0
D=0 k= -
22
; 2; 1.
3
14.
3-ze
gayofis
naSTi
k k 3 5k k 3 +5k
0 0 0 0
1 1 2 0
2 2 1 0
15. bolo cifri SeiZleba iyos mxolod 5, an 0. e.i. 0; 3; 4; 6; 9 cifrebi unda ganTavsdes
pirvel or cifrad ise, rom maTi jami 9-ze gayofisas naSTSi iZleodes 4-s 405; 495; 945; 450.
16. x 2 +(k–10)x+9=0
ori gansxvavebuli dadebiTi amonaxsni, e.i.
⎧⎪
D > 0 2
D > 0
⎨ x x > 0
( k - 10) - 36 > 0
1 2
)
)
o & k < 4
⎩⎪ x1 + x2
> 0
k - 10 < 0 k < 10
x 12
+x 22
=(x 1
+x 2
) 2 –2x 1
x 2
=(k–10) 2 –18=k 2 –20k+82
y=k 2 –20k+82
k 0
=10, e.i. k

2. logariTmuli gantoleba
reziume:
xazi gavusvaT im faqts, rom logariTmul gantolebas, iseve, rogorc iracionalurs,
aucileblad sWirdeba Semowmeba.
amoxsnebi, miTiTebebi:
3. b) lgx=2lgx+lg(x+1). x>0
lgx+lg(x+1)=0
x(x+1)=1
x 2 +x–1=0
1 5
x = - + .
2
e) lglgx=lglg64–lglg2
lg 64
lglgx=lg lg 2
lgx=log 2
64
lgx=6 x=10 6 .
1
v) log 4
(17–2 x )= (4–x) 2
17–2 x =4 2– x
2
16
17–2 x = x
2
2 x =1 2 x =16
x=0 x=4
T) lg 81 3 x 2
3 -8
`
x j = 0
lg 81 3 x 2 2-
3 -8
`
x
8x
x
3 j= 30
-
3 4
2
x - 8x
3
=- 4 x=2; 6.
5. a) lg(x 3 +8)–0,5lg(x+2) 2 =lg7
x 2 –2x+4=7 x>–2
x=3; x=–1.
1
e) lg 2 (100x)+lg 2 (10x)=14+lg x
(2+lgx) 2 +(1+lgx) 2 =14–lgx
lg x = 1
9
lg x =-
2
>
x
=
x
=
=
10
-
10 9
6. y = 2 x2
(1) z=2 y2 (2)
x 2 ≥0 ⇒ y≥1 ⇒ y 2 ≥1 ⇒ 2 y2 z≥2 (1)-dan x 2 =log 2
y (2)-dan y 2 =log 2
z
42
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 42 02.07.2012 16:48:04

x = ! log y radgan log 2
z≥2, e.i. y= log z
2
miviReT x = ! log y = ! 0,5 log log z
2 2 2
2
8. g)
*
y
2 log x - 3 = 15
2
y
y
3 log x - 2 log x = 3
+
2 2
log 2
x=a 3 y ≡b R
S a = 9
)
2a
- b = 15
S b = 3
) , saidanac S
ab - 2a = 3b
S
5
a =
* 2
S
b =- 10
T
10. a) y=log 2
(2 x +3) da y=x+2
log 2
(2 x +3)=x+2
2 x +3=2 x+2 x=0
1
(2 9 ;1)
11. 4
a) y=log 2
(x 2 –8x+16)
Oy: x=0 y=log 2
16=4 (0;4)
Ox y=0 log 2
(x 2 –8x+16)=0
3 5
x 2 –8x+16=1 (3;0); (5;0)
S= 2
1 ·2·4=4.
12. (p–3)x 2 –2px+5p=0
0
2 2p 5p
x - x + = 0
p - 3 p - 3
D $ 0
* f( 0)
> 0 p∈ `
15
3;
j. 4
x0
> 0
reziume:
8. maCvenebliani da logariTmuli utolobebi
moswavlem unda SeZlos maCvenebliani an logariTmuli gamosaxulebebisTvis Sesabamisi
aRniSvnis SemoReba; mocemuli utolobis amoxsna da fuZis gaTvaliswinebiT swori
pasuxis dawera.
amoxsnebi, miTiTebebi:
I maCvenebliani utoloba
5. b) 4 x –2·5 2x –10 x >0 gavyoT 5 2x >0
43
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 43 02.07.2012 16:48:05

2x
x
`
2 j - `
2 j - 2 > 0
5 5
R
x
S 2
∅
` j < - 1
S 5
x
`
2
S j > 2 x < log 2
2
5
5
T
6. a 2 –2·4 x+1 –a·2 x+1 >0
8·4 x +2a·2 x –a 2 0 da Tu a≠0 samwevris fesvebi sxvadasxvaniSniania, rac imas niSnavs, rom
utolobas amonaxsni eqneba.
2 2
x -(5a- 6) x+
4a
1
7. ` j # 1
2
e.i. ∀x∈R: x 2 –(5a–6)x+4a 2 ≥0
(5a–6) 2 –16a 2 ≤0
a∈ 8
2
; 6B.
3
8.2 logariTmuli utoloba
2. z) log 5
(x 2 +x–1)>1
2
x + x - 1 > 0 2
) 2
o & x + x - 6 > 0
x + x - 1 > 5
x2
T) lg(x 2 –6x+18) 0
) 2
x∈(2;4)
x - 6x
+ 18 < 10
2
l) log log ( x - 4x
+ 3) # 0
9
3
Z
16
2
] log ( x - 4x
+ 3)
> 0
9
16
[
2
] log ( x - 4x
+ 3)
# 1
9
16
\
x
*
x
2
- 4x
+ 3 < 1
-
9
4x
+ 3 $
16
`2 -
3 13
2; B 8 ;2 + 2 j
4 4
2 j
3. e) log 3 $ lg( 2x
- 1)
> 0 log 3 < 0
0,
7
lg(2x–1)0 lg(x 2 +1)>0, radgan x 2 +1>1.
e.i. x+5>0 x>–5.
0,
7
44
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 44 02.07.2012 16:48:06

5. log a
(x 2 –x–2)>log a
(–x 2 +2x+3). CavsvaT x= 4
9 ,
13 3
miviReT log > log , e.i. a>1
a 16 a 16
2 2
x - x - 2 > - x + 2x
+ 3
)
5
2 x d ` ; 3 j
- x + 2x
+ 3 > 0 2
6. b) log a
(x 2 +2x+2)1, ) 2
, x∈∅. 2) a∈(0;1), x
x + 2x +
2 +2x+2>1.
2 > 0
pasuxi: 0

)
x=lgx y=2x+0,5
1 y=2lg1+0,5=0,5
2 y=2lg2+0,5
3 y=2lg3+0,5
- -
- -
- -
10 y=2·1+0,5=2,5
3
2
1
0,5
y = 2lg2+0,5
2 4 5 8 10
y = lgx
testi
1. a; 2. b; 3. b; 4. d; 5. g; 6. g; 7. g; 8. e; 9. b; 10. b.
III Tavis damatebiTi savarjiSoebi
11. x 2 –2x–log 2
|1–x|=3
log 2
|1–x|=x 2 –2x–3
y
avagoT y=log 2
|1–x|=lg|x–1| da y=x 2 –2x–3
oTxi kveTis wertili
log x
12. y= ^
,
3,
6 h
Oy x=0 y=25.
46
+ + = 1
+
3 lg 1 x 2
1
1 ( 10 ) log ( 5 x)
3 6 6
1
2
x 3 1 x 1 x 2
14. e) 3·2 x +2·3 x =2 x+3 –2·3 x–2
3 x–2 (18+2)=2 x–2 (32–12)
`
3
j x-2
=1 x=2
2
T) 9 x–1 +3 x =2·3 1,5x gavyoT 3 x ≠0
1 ·3x +1=2·3
9
0,5x 3 0,5x ≡y
y 2 –18y+9=0
y=3 x=2
15. b) lg - + lg + = lg - + g.a. x∈(–1;1)
lg
1
x
-1 0 2 3 x
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 46 02.07.2012 16:48:07

2 lg 1 + x = 2, 1 + x = 10, x=99
ar akmayofilebs, e.i. x∈∅.
16. a) 10x lgx +10x –lgx =101
10x lgx + x
10
lgx =101
10y 2 –101y+10=0
y 1
=10 y 2
= 10
1
x lgx ≡y
1) x lgx =10 gavalogariTmoT 10-is fuZiT.
lgx lgx =1;
lg 2 x=1
lgx=±1
x= 10
1 ;10
2) x lgx = 10
1
lg 2 x=–1
∅
2
log b
log log x
5 5
c
g) 3·x + 2 = 64 Tviseba: a = b
log x
5
4. 2 = 64
log x
5
= 4
x=5 4 .
log
c
a
2
x - 2x
- 2 > 0
26. a) ) 2
x∈6 -1;1 - 3 h j^1 + 3;
3@
x - 2x
- 3 # 0
1
x+
v) 8 3
x x
- 9 $ 4 + 4 $ 2 $ 0
gavyoT 2 x -ze.
2·4 x –9·2 x +4≥0
x 1
2 <
> 2
x
2 > 4
x > 2
=
x < - 1
47
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 47 02.07.2012 16:48:09

amoxsnebi, miTiTebebi:
IV Tavi
1. figuraTa paraleluri dagegmileba
1. erTi — Tu samive wertili mdebareobs iseT wrfeze, romelic dasagegmilebeli l
wrfis paraleluria, ori — Tu wertili mdebareobs l wrfis paralelur wrfeze, sami
— Tu arc erTi wyvili am wertilebisa ar mdebareobs l wrfis paralelur wrfeze.
2. a) sibrtye, wrfe; b) naxevarsibrtye, wrfe; g) kuTxe, sxivi.
3. paraleluria.
A
4. MB≡x; AA 1
||B 1
B ⇒ ∆AA 1
M ~ ∆BB 1
M ⇒
⇒ A1M
AM AM a AM +
=
MB a b m a b mb
& = & = + & = + & MB = ;
B 1 M BM MB b MB b MB b
a + b
am
AM= a + . b
B
B 1
M A 1
B
6. a) amoxsna: cxadia, AK=KC,
e.i. gamosaxulebaSi A 1
K 1
=K 1
C 1
.
A
K
C
B 1
b) es marTobi AC gverds yofs SefardebiT 3:1. ageba: gamosaxulebaze.
viRebT iseT K wertils, rom A 1
K 1
:K 1
C 1
=3:1.
A C
3x K x 1
B
B 1
7. ageba: ABC samkuTxedis gamosaxulebaze
2x
3x A 1
C 1
gverdze vagebT iseT wertils, rom
3x
A 1
K 1
:K 1
C 1
=2:3.
2x
A
2y K 3y
C
A 1
2m 3m
C 1
8. radgan Caxazuli wrewiris centric biseqtrisebis kveTis
A
wertilia, amitom biseqtrisis Tvisebis Tanaxmad,
4x
AK:KB=4:3 da CP:PB=4:5.
ageba: vagebT K 1
da P 1
wertilebs ise, rom
3x
O
A 1
K 1
:K 1
P 1
=4:3 da C 1
P 1
:P 1
B 1
=4:5. A 1
P 1
da C 1
K 1
wrfeebis
kveTis wertili iqneba O wertilis saxe (O 1
C
4y K 5y B
wertili).
2x
K 1
B 1
4m
K 1
O 1
A 1
4n 5n
C 1
K 1
3m
A
B
9. a) gamosaxulebas SevavsebT paralelogramamde (kaTetebis gamosaxulebis
paraleluri wrfeebiT).
C
48
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 48 02.07.2012 16:48:09

ageba: gamosaxulebaSi B 1
C 1
sxivze gadavdebT C 1
M=C 1
B 1
, xolo A 1
C 1
sxivze
ki C 1
N=A 1
C 1
monakveTebs. A 1
B 1
NM iqneba kvadratis gamosaxuleba.
A 1
B 1
10. amovxazoT fuZe.
B C
21 - 11
AK= = 5 ⇒ KD=16.
2
D 1
∆BKD ⇒ BD=20.
A 1
A
B 1
11
C 1
D
S kv
=180 ⇒ DD 1·BD=180 ⇒ 20·DD 1
=180 ⇒ DD 1
=9.
A
M
5
B
11
C 1
16
C
13 13
12
N
D
A
B 1
5 P
11
16
C 1
9
D
amovxazoT AB 1
C 1
D trapecia. AB 1
= 81 + 169 = 5 10 . B 1
P=15.
S=16·15=400.
11. amoxsna: ABCD paralelogramia, e.i. d 2 2
1 + d2=2(a 2 +b 2 ) ⇒ d=39.
vipovoT fuZis farTobi S = 2 35 $ 10 $ 7 $ 18 = 420.
A
B
d 1
O
d 2
D
C
64H
420
=
16
, H=7. S
15
1
=d 1
H=39·7=273sm 2 . S 2
=d 2
H=25·7=175sm 2 .
B 1 C 1
17
25
12. SO iyos piramidis simaRle. SC ki piramidis gverdiTi wiboa.
amovxazoT SOC samkuTxedi.
2
2 2 a 3 a 3
2
a) samkuTxa piramidisTvis OC aris h = $ = . SO= b -
a
.
3 3 2 3
3
b) oTxkuTxa piramidisTvis OC aris diagonalis naxevari, e.i. OC= a 2 ; SO = a 2 .
2
2 2
2 a
SO= b - .
2
2 2
g) eqvskuTxa piramidisTvis OC aris fuZis gverdis toli OC=a, e.i. SO= b - a .
A 1
28
D 1
9 2 2
13. ixileT amocana 12-is naxazi. SO=7. OC= . SC= 7 +
81
= 89 , 5 .
2
2
2. kuTxe or wrfes Soris. wrfeTa marTobuloba
amoxsnebi, miTiTebebi:
∧
∧
∧
1. a) ( OA;CD) = 50°
; b) ( OA;CD) = 20°
; g) ( OA;CD) = 90°
.
3. a) Tu davuSvebT, rom a||AC, da gaviTvaliswinebT, rom pirobis Tanaxmad a||BD, miviRebT,
rom AC||BD, rac SeuZlebelia. kuTxe a wrfesa da AC wrfes Soris tolia kuTxis BD da
AC wrfeebs Soris. e.i. 90°-is.
b) a da AD wrfeebis acdeniloba a) SemTxvevis analogiuria, kuTxe a da AD wrfeebs Soris
tolia AD da BD-s Soris kuTxis, e.i. ∠ ABC
= 57°
30'
.
2
4. BN=NC; AM=MD.
N wertilze ABC sibrtyeSi gavataroT NK||AB ∠MNK tolia MN da AB wrfeebs Soris
kuTxisa. radgan BN=NC da NK||AB. e.i. AK=KC da NK ABC samkuTxedis Suaxazia. gavavloT
49
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 49 02.07.2012 16:48:10

ADC sibrtyeSi M wertilze DC-s paraleluri wrfe. radgan
AM=MD, es wrfe AC-s Suawertilze, e.i. K wertilze gaivlis.
DC AB
MK ADC samkuTxedis Suaxazia. MK = ; KN = , magram
2 2
AB=DC e.i. MKN samkuTxedi tolferdaa da ∠MNK=∠NMK,
r.d.g.
5. a) mocemulobis Tanaxmad ABCD marTkuTxedia, e.i. DC ⊥ BC
, amave dros BC||B 1
C 1
, e.i. DC ⊥ B 1 C 1 . analogiurad, AB ⊥ A 1 D1
.
A
M
D
B
K
N
C
6. toli wiboebia AS=SC da SB=SD. ABCD paralelogramidan ⇒ d 2 2
1 + d2
=2(7 2 +3 2 ) ⇒
BD 2 +36=2(49+9) ⇒ BD 2 =80.
∆SOC ⇒ SC 2 =SO 2 +OC 2 ⇒ SC 2 =16+9 ⇒ SC=5.
∆SOD ⇒ SD 2 =16+( ^2 5 h 2
⇒ 16+20 ⇒ SD=6.
SO — piramidis simaRlea, SK — apoTema. maSin
2
1 1 a 3
2 a
a) samkuTxa piramidisTvis OK= h = & SK = h - ;
3 3 2
6
2
1
2 a
b) oTxkuTxa piramidisTvis OK= a & SK = h - ;
2
4
g) eqvskuTxa piramidisTvis OK aris a gverdis mqone eqvskuTxedSi Caxazuli wrewiris
radiusi, e.i. OK= a 2
3 2 3a
, SK= h - .
2
4
8. amovxazoT diagonaluri kveTa. BD fuZis diagonali,
e.i. BD=14 2 . BS=SD=10. SK= 100 - 98 = 2 .
1
S= 2 $ 14 2 = 14.
2
S
B
K
D
9. S kv
:Q=1:4 ⇒ S kv
= Q 4 . 3. wrfisa da sibrtyis marTobuloba
amoxsnebi, miTiTebebi:
2. a) OB AD monakveTis SuamarTobia;
b) DAOB=DAOC (AO AsaerToa; OB=OC; ∠AOB=∠AOC=90°).
⎛ a ⎞ 2 a 2
3. cxadia, DAOK=DBOK=DCOK=DDOK, e.i. KA = KB = KC = KD = ⎜ ⎟ + b = + b .
⎝ 2 ⎠ 2
AB
4. ( AC = 6; BC = 8) ⇒ AB = 10 . AM=MB. e.i CM = = 5 .
2
DCKM-Si∠C marTia CK=12 CM=5 piTagoris TeoremiT KM=13.
K
2
2
50
C
a
M
B
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 50 02.07.2012 16:48:12

5. ABC samkuTxedis tolgverdobis gamo DA=DB da KA=KB.
ganv. DDAC ∠DCA=90°; DC=16; AC = 16 3 , e.i. AD = 16 + (16 3) = 32 .
DAOK-Si ∠AOK=90° (DC||OK).
2
2
D
K
AC 3 16 3 ⋅ 3
2 2
AO = = = 16; OK = 12. e.i. AK = 16 + 12 = 20.
3 3
C
O
B
N
6. DMNK-Si ∠K=90°;
M
K
MN=30
NK=NN 1
–MM 1
=24.
2 2
e.i. M1N1
= MK = MN − NK =
2
= 30 − 24 = 18 .
2
a
M 1 N 1
amoxsnebi, miTiTebebi:
4. wrfisa da sibrtyis marTobulobis niSani
2. M
AC=BC=10; AB=12; AD=DB=6.
DACD-dan
CD =
2 2
AC − AD = 8 . (MC ⊥ AC; MC ⊥ CB) ⇒ MC ⊥ (ABC)
⇒
⇒ MC ⊥ CD .
e.i. DMCD-Si MD =
2 2
MC + CD = 225 + 64 = 17.
3 . DABC-Si ∠A +∠B=90°. e.i. ∠C=90°.
DB ⊥ (ABC) .
e.i. DB marTobia ABC sibrtyis nebismieri wrfis. miviReT,
rom
AC ⊥ DB⎞
AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ DC
AC BC
⎟
⊥
⇒
. r.d.g.
⎠
4.
a
C
a
B
D
M
O
B
D
C
DΑΜC
- Si
analogiurad
⇒ MO ⊥ (ABCD) .
a
C
AM = MC⎞
⎞
⎟ ⇒ MO ⊥ AC⎟
AO = OC ⎠
⎟ ⇒
⎟
DΜBD
- Si MO ⊥ BD ⎠
D
B
51
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 51 02.07.2012 16:48:12

5. ( ∠ MAB = ∠MAD
= 90°
) ⇒ MA⊥(ABCD)
M
2 2
a) DMAD-dan MD = MA + AD = 25 + 72 = 97 .
AC=AD 2 =12. ∆MAC-dan MC = AM + AC = 25 + 144 = 13.
2
2
b) ∆AMO-dan MO =
2 2
MA + AO = 25+
36 = 61 .
a
B
a
O
D
C
a b
6.
c
a||b; a^a. u.d. a^b. ( a ⊥ α)
⇒ a ⊥ b; a ⊥ c .
gavavloT a da b-s gadakveTis B wertilze b 1
||b da c 1
||c.
B
b 1
c 1
cxadia, a^b 1
da a^c 1
. e.i. a^b.
a
7. A wertilze da a wrfeze gavavloT sibrtye. am sibrtyeSi davuSvaT
AK^a. K wertilze gavavloT a wrfis perpendikularuli
nebismieri wrfe, romelic (a;A) sibrtyeSi ar mdebareobs KB^a.
sibrtye, romelic gadis AK da KB wrfeebze a wrfis marTobelia.
erTaderToba davamtkicoT winaaRmdegobis daSvebiT.
a
K
B
B
C
8. 3
fuZis gverdebia a=3 da b=4. gverdiTi wibo aRvniSnoT
60°
h-iT, e.i. h 2 =ab ⇒ h=2 3 . paralelepipedis diagonalebi
aRvniSnoT d 1
da
A 4 D
1
d 2
-iT. amovxazoT fuZe BD 2 =9+16–2·3·4· =13. 2
d 1
2=h 2 +BD 2 =12+13=25 ⇒ d 1
=5
d 1
2=h 2 +AC 2 =12+37 ⇒ d 2
=7
B
C
9. ABCD paralelogrami paralelepipedis fuZea AC:BD=3:2
⇒ AC=3x da BD=2x. (3x) 2 +(2x) 2 =2(23 2 +11 2 ) ⇒ 13x 2 =1300 ⇒ x=10.
S 1
=AC·h=30·1=30; S 2
=BD·h=20.
11
A
23
D
B
C
2
2
10. A 1
C=8 da BD 1 =5, h=2. BD 1 =h 2 2
+B 1
D 1 ⇒ B 1
D 1
2=21.
A
D A 1
C 2 =h 2 2
+A 1
C 1
⇒ 64= A 1
C 12
+4 ⇒ A 1
C 12
=60.
∆C 1
OD 1
⇒ a 2 = A C 2
B D 2
1 1
1 1
` j + ` j =
81 9
& a = .
2 2 4 2
O a
B 1 C 1
A 1
D 1
A 1
11. a) 4; b) 18.
D 1
B 1
C 1
52
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 52 02.07.2012 16:48:13

amoxsnebi, miTiTebebi:
5. paralelur sibrtyeebs Soris manZili
S
2. ∆BKC ⇒ BC 2 =9 2 +3 2 ⇒ 90 = 3 10 . SB=SC=SA ⇒ O wertili
3 10 $ 3 10 $ 6
Semoxazuli wrewiris centria R=
=5.
4 $ 9 $ 3
∆SOB ⇒ SO= 169 - 25 = 12.
3. fuZis diagonalia 10 sm. h 2 =13 2 –5 2 ⇒ h=12.
5. I. vipovoT AB 1
da CD 1
wrfeebs Soris manZili. gavavloT DC 1
||AB 1
.
A
D manZili am wrfeebs Soris aris AB 1
wrfidan D 1
DCC 1
sibtryemde
manZili. AD⊥D 1
DCC 1
sibrtyis AD=2 m. analogiurad danarCen
paralelur sibrtyeTa wyvilebs Soris manZili iqneba 1 m da 3 m.
B 1
B
C
C 1
B
O
A
K
C
A 1
D 1
S
7. piramidis simaRle gayofilia 4 tol nawilad.
TiToeuli es nawili aRvniSnoT h-iT, maSin
2
S1
( h)
= 2 & S1
=
S2
25;
=
1
& S2
= 100;
400 ( 4h)
400 4
2
S3
( 3h)
= 2 & S3
= 225.
400 ( 4h)
B
a
a
a
S 1
S 2
S 3
A
400
C
8. S kv
+200=S 9
S
S
kv
f
2
( 3h)
= 2 =
( 7h)
9 Sf
- 200
&
49 Sf
=
9
& 49Sf
- 9800 = 9Sf.
49
40S f
=9800 ⇒ S f
=245.
9. vTqvaT es kveTa aris fuZidan x manZilze, maSin
S
S
kv
f
=
( 16 - x)
2
( 16)
2
⇒ x=6.
10. piramidis simaRle aRvniSnoT h-iT.
S
S
kv
f
2
2 2
( h 14) 54 ( h 14) ( h 14)
= - 9 h 14 3
2 & = - 2 & c - m = = - = ⇒ 5h–70=3h ⇒ 2h=70; h=35.
h 150 h
h 25 h 5
6. sami marTobis Teorema
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. or SemTxvevas gansazRvravs EF wrfis M sibrtyeze gegmilis mdebareoba.
53
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 53 02.07.2012 16:48:14

54
3.
8
d
a
MO
2
2
d
2
AD
OK
d
AC
a;
MK
2
2 −
=
=
=
=
=
4.
3.
3
48
25
OC
MC
MO
48.
a
,
6
3
a
13
3
3
a
25
CO
MC
MO
KO
MK
MO
a
BC
AC
AB
13
MK
5
MC
MB
MA
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
=
−
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎩
⎨
⎧
−
=
−
=
≡
=
=
=
=
=
=
saidanac
6.
2.
2
OD
PD
OP
2.
8
10
AO
AS
SO
2.
2
AF
2.
8
10
AK
ASK
.
AOF
OP.
8
SK
10
SF
SA
2
2
=
=
=
=
−
=
−
=
=
=
−
=
−
D
=
=
=
dan
samkuTxedia
tolgverda
u.v.
2.
2
2
OP
SO
SP
SOP
2
2
=
+
=
+
=
−
D
Si
7.
.
4
a
4
AB
NB
NB.
KN
OD
OB
AB;
ON
AB
DK
ABD
.
60
BAD
2a
MN
65
a
AD
CD
BC
AB
=
=
=
=
⊥
⊥
°
=
∠
=
=
=
=
=
=
miviReT
e.i.
tolgverdaa
samkuTxedi
e.i.
.
4
65
4
65
a
16
a
4a
NB
MN
MB
MNB
2
2
2
2
=
=
+
=
+
=
−
D
Si
8. vTqvaT unda gavavloT wverodan x manZilze
a) h x
x
h
3
1
3
2
2
&
= = ; b) h x
x
h
5
1
5
2
2
&
= = .
a
O
B
C
M
D
a
O
B
C
M
K
a
O
B
C
S
D
E
F
K
a
K N
O
B
C
M
D
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 54 02.07.2012 16:48:15

9. a) a 2
3
+
3
ah; b) a
4 2
2 +2ah; g)
3 3 a
2
2
+ 3ah.
amoxsnebi, miTiTebebi:
7. kuTxe wrfesa da sibrtyes Soris
2.
M
AB = BC = AC = 7 6
∠MAO
= ∠MBO
= ∠MCO
= 45°
.
u.v. MA.
a
C
O
B
MO = AO = R
ABC
AM = AO 2 = 14.
AB
=
3
3
= 7
2.
4. naxazi wina amocana 2-is.
AB = c = 29
AC = b = 5
BC = a = 30
∠MAO
= ∠MBO
= ∠MCO
= α;
abc
OA = OB = OC = R ABC = =
4S 4
R 29⋅
25⋅
48
MB = = = 25.
cosα
48⋅
29
29
cosα = ;
48
29⋅30⋅5
32⋅
2 ⋅3⋅
27
29⋅
25
=
48
AN
5. AN⊥BC. gavataroT DK||AN; AD=DC. DK⊥BC, e.i. DK =
M
2
vipovoT ABC samkuTxedis AN simaRle. AN=12; DK=6.
DMDK
− Si ∠D
= 90°
DK = 6. e.i. MK=12.
MDK e.i. MK samkuTxedze = 12. Semoxazuli wrewiris radiusi
a
B
D
N
60°
K
C
tolia
MK = 6. S = pR
2 = 36p
2
R .
6.
a
davuSvaT A wertilidan (BCD) sibrtyeSi marTobi AK.
u.d. rom BK CBD kuTxis biseqtrisaa.
C
KM ⊥ BC; KN ⊥ BD sami marTobis TeoremiT, AM⊥BC
da AN⊥BD.
M
DABM = DABN
( ∠ABM
= ∠ABN;
AB saerToa).
e.i. BM = BN.
B
K
N
D
ganv. DMBK da DNBK. es samkuTxedebi tolia (BK saer-
Toa). e.i. ∠MBK=∠NBK, r.d.g.
55
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 55 02.07.2012 16:48:15

8. ∆B 1
C 1
D ⇒ B 1
C 1
=3x da d=4x ⇒ x= d 4 .
h 3
3 d
∆B 1
BD ⇒ =
3d
& h = 3 d = ; a = .
4x
4
4 4
∆B 1
BD ⇒ BD 2 =d 2 –h 2 =13x 2 .
∆ABD ⇒ a 2 +b 2 =13x 2 ⇒ b 2 =4x 2 ⇒ b=2x= d 2 .
A 1
A
B
B 1
a
d
D 1
D
C 1
h
C
b
1 N
9. ctga
=
2 O
3
O&
AA1
= 2 x,
AD = x da DC = 3x
ctgb
= O
2 P
ABCD marTkuTxedia, e.i. BD=2x.
∆B 1
BD marTkuTxaa, kaTetebi BB 1
=BD=2x, e.i. saZiebeli kuTxea 45°.
A 1
A
2x
B
B 1
x
D 1
D
x
C 1
C
3
B 1
10. ∆ABD-Si AB=3; BD=4 da AD=5 ⇒ ∠ABD=90°.
D 1 h
∆B 1
BD ⇒ BB 1
≡h=4 3 .
ABCD paralelepipedidan (AC) 2 +4 2 =2(3 2 +5 2 ) ⇒ AC 2 =52.
B
∆ACC 1
⇒ AC 12
=h 2 +AC 2 =52+48=100 ⇒ AC 1
=10.
A 1
A
4
5
60°
D
3
C 1
C
B 1
C 1
C
11. amovxazoT fuZe (rombi)
cos=
a = 1
1
& BO = 12 $ =4 ⇒ BD=8.
2 3
3
BD
∆B 1
BD ⇒ =8 ⇒ BB BB 1
1
=1.
S gv
=4ah=4·2=48.
A 1
A
B
4
a=12
D 1
D
A
B
2
O
12
D
C
B 1
12. prizmis fuZea kvadrati. gverdi aRvniSnoT a-Ti.
a
∆B 1
C 1
D ⇒ = sin a & a = 3
d
2
3 $ = 2 3
3 .
xolo C 1
D 2 =d 2 –a 2 =9·3–4·3=15.
∆C 1
CD ⇒ C 1
C 2 =C 1
D 2 –a 2 =15–12=3. a= 3 .
B
d
D 1
C 1
a
C
A 1
A
D
S
13. BD diagonalze SA wibos paralelurad unda gavavloT β sibrtye.
gvainteresebs es sibrtye sad gadakveTs SC wibos. O∈β. B
gavavloT OK||AS. cxadia, OK∈β, OK aris ∆ACS-is Suaxazi.
O
ABCD kvadratia ⇒ BD⊥AC o & BD = ( SOC) sibrtyis
A
SO piramidis simaRlea ⇒ BD⊥SO
BD = OK
(ori urTierTgadamkveTi wrfis marTobulia). e.i. o
1
& S BD OK
ganv.
3BKD
= $ .
3 BKD
2
K
D
C
56
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 56 02.07.2012 16:48:17

OK =
1
AC =
OD 6
3,
5. ∆SOD ⇒ =cosα ⇒ OD=7· =6 ⇒ BD=12.
2
SD
7
S ∆BKD
= 2
1 ·12·3,5=21.
S
1
14. apoTema aRvniSnoT H. S gv
=4· a·H=2aH. 2
2 2 2
h 4
2 a 4h - a
∆SOK ⇒ H= h - =
P . a=
4 2 4h 2 - a
. 2
O
a
2
K
S
2 3 $ 3
15. ∆ABC ⇒ AK=
2
=3. AO= 3
2 AK=2.
30°
∆AOS ⇒ AS=4.
A
2
3
O
K
C
16. apoTema iqneba SK (ix. amocana 15-is naxazi). fuZis gverdi iyos a.
1
S gv
=3· a·SK=12a.
2
2 2
a 3
∆SOK ⇒ OK= 8 - 4 = 4 3 & AK = 12 3 = ⇒ a=24.
2
S gv
=12·24=288.
B
amoxsnebi, miTiTebebi:
8. orwaxnaga kuTxe
B
b 6
1. moc.: AB=BC. ∠B = b;
cos =
2 3
%
3
(( ABC); p)
sin α = .
2
O
u.v. ∠BAO. BM⊥AC, e.i. AM=MC da ∠BMO=α.
p
b a 6
AB ≡ a. DABM
− Si BM = ABcos = .
a
C
M
2 3
a 2
DBOM − Si BO = BM sin α = , e.i.
2
a 2
DABO − Si AB = a BO = . miviReT: ∠BAO = 45°
.
2
B
C
2. moc.: ABCD kvadrati.
a
B 1
C 1
D
p
%
(( ABC); p)
=α; sin α = .
%
52
u.v. sinBDB .
57
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 57 02.07.2012 16:48:18

a 2
α = ∠BAB 1 e.i. Tu AB≡a, maSin BB 1 = a sin α = .
5
a 2
a 2
DBB1 D − Si BB1
= BD = a 2 e.i. sin BDB1
= = 0,2 .
5
5a 2
6.
%
2
moc.: ^a; b h = 60c sin α = .
5
B
MC ⊥ α;
MB ⊥ b;
MC = MB = 13.
a
M
C
u.v. MA.
DMCA
= DMBA
(BM = CM;
AM saerToa).
e.i. ∠BAM=∠MAC=∠BAC:2=30°. AM=2MC=26.
C
%
7. a) ^a; b h = 120c. AC=AB=a. gavavloT AK||BD; AK=BD.
K
a
D
B
∠CAK=120°. ∆CAK-Si CK = a 3 .
DCKD
− Si
CD =
CK
2
+ KD
2
= 2a.
b) AB=3; AC=2; BD=1. analogiurad ∆CAK-Si kosinusebis
TeoremiT vipovoT CK 2 =7.
2 2
∆CKD-Si CD= CK + KD = 7 + 9 = 4.
A 1
B 1
3
N
8. cos a = & BP = 3 x da KP = 4xO
4
O 3 3
&
3 3 2
3ABC
& BP =
O
2
P
1 1 3 3 9 3
S ∆AKC
= AC $ KP = $ 3 $ =
2 2 8 16
= 4x
& x =
3 3
8
A
P
C 1
4x
x
3
3
K
B
C
9. S gv
=P ABC·B 1
B (ixileT me-8 amocanis naxazi).
3 3
KB 3 3 9
BP= . tg60c = & KB = $ 3 = .
2
BP 2 2
BK=KB 1
⇒ BB 1
=9. S gv
=9·9=81.
2 a
10. cosα= ⇒ OK=2x da SK=3x. OK= =3, e.i. x=1,5.
3 2
S
SK=4,5.
B
C
S ∆SOC
= 2
1 SK·DC=4,5·6=27.
O
K
A
D
58
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 58 02.07.2012 16:48:20

a a 1
11. ∠DSC=α ⇒ ∠DSK= (ixileT wina me-10 amocanis naxazi). tg = ⇒ DK=x da SK=3x,
2 2 3
a 21 3 21
magram DK= = =x, e.i. SK= .
2 2 2
S=S f
+S gv
=a 2 +2a·SK=21+2 21
3 21
$ =21+63=84.
2
S
1 OK
12. ∠SKO=α. cosα= = ⇒ OK=x da SK=3x.
3 SK
∆SOK ⇒ 9x 2 =x 2 +( 3)
2 ⇒ 8x 2 =3 ⇒ x=2
⇒ SK=3x=6
3
2
= 3 6 .
3 ⇒
2
A
K
O
C
OB 3 OB 3 $ 11
13. ganv.: ∆SOB. SB=11 da ∠SBO=30° ⇒ cos30°= & = & OB = .
SB 2 11 2
a 3 2
3 $ 11
∆ABC ⇒ SK= , magram SK = OB =
2 a 3 3 $ 11
. miviReT: =
33
& a =
2 3
2
3 2 2 2
(ixileT wina me-12 amocanis naxazi).
B
14. radgan gverdiTi waxnagebi fuZisadmi toli kuTxeebiTaa daxrili, e.i. O wertili
fuZeSi Caxazuli wrewiris centria (ixileT me-12 amocanis naxazi) (1). ∆ABC wesieria,
e.i. (1)-is gaTvaliswinebiT piramida wesieria, r.d.g.
15. S=S f
+S gv
⇒ 16=a 2 +2a·SK (ixileT me-10 amocanis naxazi). SK≡x. ∆SKD ⇒ 25=x 2 + a .
4
2 2
2 2
4x
+ a = 100 $ 4 16x
+ 4a
= 400
miviReT sistema: ) 2
o & ) 2
o.
a + 2ax
= 16 $ 25 25a
+ 50ax
= 400
x
16x 2 +4a 2 =25a 2 +50ax erTgvarovani gantolebidan miviRebT, rom =
7
, saidanac sistemis
a 2
erT-erT gantolebaSi Casmis Sedegad miviRebT, rom a = 2 .
1
16. fuZis didi diagonalia 2a. diagonaluri kveTis farTobi iqneba S kv
= ·2a·h=ah. apoTema
2
1
aRvniSnoT H-iT. maSin gverdiTi waxnagis farTobi iqneba: S1 = a $ H. pirobis Tanaxmad:
1 2
S kv
=S 1
⇒ ah= a·H ⇒ H=2h.
2
S
2
h
H
OK aris tolgverda (a gverdiT) samkuTxedis simaRle. OK= a 3
2
(ganixileT fuZis eqvskuTxedi).
H 2 =h 2 +OK 2 ⇒ 4h 2 =h 2 + a
2
3
& 3h
4
2
2
=
a 3 9
& h = .
4 2
O
K
1
S gv
=6· ·a·H=3a2 . 2
59
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 59 02.07.2012 16:48:22

9. marTobuli sibrtyeebi. sibrtyeTa marTobulobis niSani
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. manZili A wertilidan b wrfemde tolia AB-s. CB⊥c.
a
c
AB = 0,25 + 1,44 = 1,3 .
b
C
B
4.
a
e) AC=1; BD=b; CD=c.
u.v. AB.
D B
DACD
: AD =
C
2 2
a + c
DADB
: AB =
2 2
a + b + c
2
v) AD=m; BC=n; CD=p.
u.v. AB.
2 2 2
DACD
: AC = m − p
DACB
: AB =
m
C
2
+ n
2
− p
2
5. aC=CB; ∠ACB=90°.
aD=DB; ∠ADB=90°; AB=5 2 .
%
M
^( ACB)( ADB) h = 90c. u.v. CD.
a
B
davuSvaT CM⊥AB, e.i. ∠CMD=90°.
D
marTkuTxa tolferda ACB da ADB samkuTxedebSi
CM= AB 5 2
= =DM, e.i. CDM samkuTxedSi CD=CM 2 =5.
2 2
6. (ixileT wina me-5 amocanis naxazi). AC=AD=3; BC=BD=4, u.v. CD.
2 2 2 2
AB= AC + CB = AD + DB =
3 $ 4
5. CM=DM= =
12
, e.i. CD=CM 2
5 5
12 2
= .
5
8. aCveneT marTkuTxa samkuTxedebis toloba. erTi kaTetia piramidis simaRle, meore
— a) apoTema — hipotenuza; b) da g) maxvili kuTxeebi toli aqvT). samive SemTxvevaSi
es samkuTxedebi tolia sxvadasxva niSniT.
10. radgan simaRle gadis diagonalebis kveTis wertilze, anu Caxazuli wrewiris centrSi,
es niSnavs, rom gverdiTi waxnagebis (piramidis wverodan gavlebuli) simaRleebi
tolia, anu gverdiTi waxnagebi toldidia. fuZis gverdi aRvniSnoT a-Ti. a 2 =9+16 ⇒a=5.
apoTema aRvniSnoT H-iT. maSin
60
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 60 02.07.2012 16:48:23

N
H 2 =h 2 +ok 2 O
12
⇒ H 2 2
O
25 + 144 169
=1+ ` j = =
13
; H= .
1 12
5 25 25 5
S rombis
= ·6·8=5·2OK ⇒ OK=
O
2 5 O
P
13
S gv
=2a·H=2·5· =26. 5
11. ixileT amocana 10.
IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi
1. ar SeiZleba. winaaRmdeg SemTxvevaSi mocemuli ori wrfe iqneba paraleluri.
2. MBD samkuTxedi marTkuTxaa, imitom, rom (MB⊥AB; MB⊥BC) ⇒ MB⊥(ABC).
AC = AB
3.
⎞
AM ⊥ CB
CM MB
⎟
=
⇒
⎠
M
CD = DB ⎞
DM ⊥ CB
CM MB
⎟
=
⇒
⎠
CB ⊥ AM⎞
CB ⊥ (ADM)
CB DM
⎟
⊥
⇒
⎠
7.
a
B
D
C
BA ⊥ AD ⎞
MA ⊥ AD
MB (ABCD)
⎟
⊥
⇒
⎠
e.i. ∆AMD marTkuTxaa.
analogiurad, ∆MBC-c marTkuTxaa.
D
8. AB=AC=10; BC=12; AD=24.
a
C
A wertilidan manZili BC wrfemde AM monakveTis tolia.
M AM⊥BC, xolo D wertilidan – DM monakveTis.
B
2 2
AM = AB − BM = 8
a
DADM
− Si
DM =
10. ∠ACB
= ∠ADB
= 30°
AB ⊥ α AB = a
B
CB = BD = a 3
C
D DCBD : CD = 3a
24
2
+ 8
2
= 8
10 .
61
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 61 02.07.2012 16:48:24

a
11.
B
O
C
AB = AC = 7
∠BAC
= 60°
∠BOC
= 90°
2 ⎞
⎟
⇒ BC = 7 2
⎠
BC
BO = OC = = 7.
2
( DABO
AO ⊥ BO
a
B
AB = 7
2
BO = 7) ⇒ AO = 7.
4
13. 6 a 1 B 1
u.v. ∠BDB 1
1
sin α =
D
3
C
AA = ACsin α = 2
1
BB = AA = 2.
1
1
DBB1 D BD = 4; BB1
= 2 e.i. ∠BDB1
= 30°
.
a B
14.
AA = ACsin 60°
=
1
6 ⋅
3
2
3 2
2
6
A1C
= .
2
AA 1
C samkuTxedSi Caxazuli wris farTobi:
S = pr
2
2 6) −
(3
= p
BDB 1
samkuTxedze Semoxazuli wris farTobia:
S
9
4
S
S
2
1
1 = pR
= p =
2 .
15.
56
C
a
a 1
6
60°
a 1
3
D
6
( 3 −1)
B
K
100
B 1
B 1
B
2 −
16
AK || A B
1
BK = 100−
56 = 44
1
DABK : AK =
=
= 9 ⋅13
= 117 = A B .
2
3( 3 1)
=
8
1
1
2
2
125 − 44 =
81⋅169
=
16.
62
a 1 O
B 1
a
M
AA = 6
A B = 12
1
1
1
gavavloT
BB = 10
AM = A B = 12
BM = BB + A A = 16
DABM : AB =
1
1
AM || A B
1
1
1
1
12
2
1
2
+ 16
= 20.
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 62 02.07.2012 16:48:24

19.
C
a 1
a
AB = 16
AC = 8;
DBB D :
B D =
1
1
DAA C :
1
1
(4
e.i. A C =
BD = 4
u.v.
BB = BDsin b =
1
6)
AA
( B BD) ⊥ AB (AA C) ⊥ AB) (AA C) || (BB D), B D || A C.
( 1 1 ⇒ 1
1 1 1
CD.
1
2
6
−15
= 9.
=
15
64 −15
= 7.
sin b =
15
AC = 8.
B 1
D-s gagrZelebaze gadavdoT DK=A 1
C. miviReT: A 1
KDC paralelogrami.
2 2
CD = A K = A B + B K 16 2 .
B
B 1
1 1 1 1 =
D
K
2,5
4
S
21.
a
O
C
K
B
SA = SB = SC.
AC = AB
AK ⊥ BC AK = 4;
SO ⊥ (ABC) SO = 6.
u.v. SA.
OA=OB=OC=R ABC
=2,5
2 2
SB = SO + OB = 6,5 .
CB = 4.
M
22.
AD = DC.
a D C MD ⊥ (ACB) DM = 4.
15
u.v. manZili M wertilidan BC gverdamde.
N
13
davuSvaT DN⊥BC, sami marTobis Teoremis Tanaxmad MN⊥BC.
K
e.i. unda vipovoT MN.
B
AK
davuSvaT AK⊥BC, cxadia DN||AK, DN = . vipovoT AK.
2
2S
AK = ABC = 12, e.i. DN=6. D MND : MN = 2 3 .
BC
14
23. AD wrfis gegmili BAC kuTxis biseqtrisaa, amitom is BC gverds AB da AC gverdebis
proporciul nawilebad yofs.
M
24.
B
MO ⊥ (ABC)
MB = MC = b
u.v. MO.
MA = a
a
O
DABO :
BO = AB =
a
2
− b
2
.
C
DMBO :
MO =
2b
2
− a
2
.
63
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 63 02.07.2012 16:48:24

25.
a
K
C
O
B
DABC : ∠C
= 90°
.
CB = 7
( α;(ABC)
)
u.v. CO.
AC = 24.
= 30°
.
CO ⊥ α.
CK ⊥ AB.
CK AC⋅
BC 7 ⋅ 24
e.i. ∠CKO
= 30° ⇒ CO = CK = = . CO = 3,36.
2
AB 25
26. vipovoT ABC samkuTxedis A wverodan daSvebuli simaRle.
a
27.
AB =
BK
2
+ AK
2
=
B 1
a 1
=
c
2
+ a
2
+ b
2
− 2abcosα
B
K
28.
D
AB = 16 AC = 17;
u.v. DC.
S
ADB
= 160
∠DKC
= 60°
.
C
a
K
B
DACK : CK = 15
16⋅
DK
= 160 DK = 20
2
DDCK : DC = 400+
225−
2 ⋅ 20⋅15⋅
cos60°
= 325 = 5
13.
A 1
30. ∆KPC ⇒ KP= 2 KC=CC 1
.
B 1
C 1
x
K
∆ABC ⇒ PC= 2
3 =x ⇒ CC1 = 3 .
x
S gv
=3·aCC 1
=3 3 .
2
x
A
P
45°
x
B
C
31. S=2S f
+S gv
=2 p( p - a)( p - b)( p - c)
+(a+b+c)·h=480+4500=4980.
pasuxi: 4980sm 2 .
32. ixileT amocana 30-is naxazi.
BC:AB=5:6 ⇒ AP=PB=3x da BC=5x. ∆BPC ⇒ PC=4x.
1 24
S ABC
=3x·4x= ·5x·h ⇒ h= x (h prizmis simaRlea)
2 5
24
S=24x 2 +16x· x=2520 ⇒ x=5. AB=30m; BC=25m da CC1 =24m.
5
64
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 64 02.07.2012 16:48:25

A 1 A 2
6 5 A
K 3
O
A 5
S
∆OKS ⇒ SK=
A 4
h
2
33. amovxazoT is nawili, romelic gvWirdeba. A 1
A aris eqvskuTxedis
didi diagonali, e.i. diagonaluri kveTaa ∆A 5
SA 2
.
1
S3A5SA2 = h·2a=ah. A
2
2
A 4
aris marTi diagonali. OA 2
A 3
A 4
rombia,
maSasadame OA 3
⊥A 2
A 4
, saidanac sami marTobis Teoremis Tanaxmad
SK⊥A 2
A 4
.
1
e.i. S3A4SA2 = A
2 2
A 4
SK.
O
amovxazoT OA 2
A 3
A 4
rombi. ∠A 4
=60° ⇒ OA 3
=a.
2
+
a
. A
4 2
A 4
=a 3 ⇒ S
a 12h + 3a
2
2 2
3 A4SA2 =
.
A 4
A 3
A 3
pasuxi: S 1
=ah 1
; S 2
= a h 2
12 3 a
2
+
.
2
S
2 2
34. ∆AOS ⇒ h= b - AO ; ∆ABC ⇒ AK= a 3 a 3
& AO = ,
2
3
2 2 2
2 3a 9b - 3a
e.i. h= b - =
.
9 3
2 2 2 2
1 1 a 3 9b - 3a a 3b - a
S ∆ASK
= AK·h= =
.
2 2 2 3
4
A
O
K
C
B
A
N
D
a
L
S
O
M
B
K
a
C
36. vTqvaT es kveTa SD wibos kveTis L wertilSi, xolo AS da
CS wiboebs Sesabamisad N da K wertilebSi. pirobis Tanaxmad,
SD wibo marTobulia kveTis sibrtyis, anu (BNLK) sibrtyis,
maSasadame, SD marTobulia am sibrtyis nebismieri wrfis,
e.i. SD⊥BL, SD⊥BL da SD⊥LK. ∆DBS tolgverdaa (∠DSB=60°),
e.i. BL aris medianac, anu DL=LS da BL= 3 .
amovxazoT DSC samkuTxedi. advilad darwmundebiT,
SK 2
rom =
NK SK 2
2 2
, xolo ∆ASC ⇒ = = , saidanac NK = .
SC 7
AC SC 7
7
amovxazoT kveTa. cxadia, NC=LK da NB=BN, e.i. NK⊥LB.
L
1 1 2 2 6
S NLKB
= BL·NK= $ 3 = .
2 2 7 7
N
K
pasuxi: S kv
= 7
6 .
D
L
1
2
2
1
S
2
2
2
K
C
B
65
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 65 02.07.2012 16:48:27

38. fuZis diagonali iqneba a 2 , diagonaluri kveTa ki
1
S kv
= a 2 $ h, pirobis Tanaxmad es kveTa fuZis toldidia, e.i.
2
2
2 2
H= h
ah = a , saidanac h=a 2 . S gv
=2a·H, saidanac HM apoTema
2
2
2
a
2
+ =
a 3a
2a
+ = . S
4
4 2
kv
=3a 2 .
h
H
a
2
S
39. amovxazoT piramidis is nawili, romelic gvWirdeba.
h
360c
∠AOB= =36° ⇒ ∠AOK=18°.
10
pirobis Tanaxmad,
h=R+ a . ∆OAK ⇒ OK=Rcos18°. AK=Rsin18° ⇒ a=2Rsin18°.
2
O
R
A
a
2
K
a
2
B
2 2 2 2 2
∆SOK ⇒ SK= h + R cos 18c = ( R + R sin 18c)
+ R cos 18c = R 2 + 2 sin 18c
2
S gv
=5a·SK=5·2Rsin18°·R 2 + 2 sin 18c = 10R
sin 18c 2( 1 + sin 18c)
.
testi:
1. a; 2. g; 3. b; 4. g; 5. g; 6. d; 7. g; 8. a; 9. d.
66
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 66 02.07.2012 16:48:28

eziume:
V Tavi
1. mimdevroba
gavaxsenoT moswavleebs mimdevrobis ganmarteba. gavaxsenoT, Tu rogor unda
SevecadoT davinaxoT kanonzomiereba, romliTac Sedgenilia mocemuli mimdevroba.
SevaxsenoT mimdevrobis zog. wevris formula; rekurentuli formula, ariTmetikuli
da geometriuli progresiebi. vTxovoT maT daasaxelon paragrafis dasawyisSi dasmul
amocanaSi wevrTa gagrZeleba.
a) samkuTxa, oTxkuTxa, xuTkuTxa... piramida;
b) x n
=2n 2 –1.
amoxsnebi, miTiTebebi:
1 2 3
1. z) ; ; ...; T) 1; 0; –1; ....
2 4 8
6. b) a 1
=3; a n
=a n–1
+2 n ; g) a 1
=1; a n+1
=a n2
+1; d) a 1
=26; a n+1
=a n
– 24
2 n ;
e) a 1
=1; a 2
=1; a n
= a n–2
+; a n–1
; v) a 1
=4; a 2
=10; a n
=2a n–2
+a n–1
.
4
2
12. ^ 10n + 4h
= n - 4 $ n + 2
n 2 –13n–14=0, saidanac n=14.
reziume:
2. maTematikuri induqciis meTodi
moswavles unda SeeZlos induqciuri da deduqciuri msjelobebis erTmaneTisgan
garCeva. unda SeeZlos daskvnebis gakeTeba, rogorc erT, ise meore SemTxvevaSi da imis
danaxva, Tu rodis aris msjelobidan gakeTebuli daskvna WeSmariti. moswavlem unda
icodes maTematikuri induqciis principi. unda SeeZlos am principebiT Sesabamisi
magaliTYebis gakeTeba (utolobebis damtkiceba, jamebis daTvla, gayofadobebis damtkiceba...).
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. a) S n
=1+3+5+...+(2n–1).
S 1
=1; S 2
=4; S 3
=9... S n
=n 2 ;
S 1
— W;
davuSvaT S k
=k 2 ;
S k+1
=k 2 +a k+1
=k 2 +(2(k+1)–1)=(k+1) 2 ;
b) S n
=–1+3–5+7–...+(–1) n (2n–1)
S 1
=–1; S 2
=2; S 3
=–3... S n
=(–1) n n;
S 1
— W;
S k+1
=(–1) k·k+(–1) k+1 (2k+2–1)=(–1) k (k–2k–1)=(–1) k+1 (k+1);
1
g) +
1
+ ... +
1
1 $ 3 3 $ 5 ( 2n
- 1)( 2n
+ 1)
67
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 67 02.07.2012 16:48:29

1 2 3 n
S 1
= ; S2 = ; S3 = ... Sn = 3 5 7 2 n + 1
.
S 1
— W.
S
k+
1
k
1
( 2k
1)( k 1)
=
2k
+ 1 + ( 2k + 1)( 2k + 3) = + +
( 2k + 1)( 2k
+ 3)
1
d) +
1
+ ... +
1
1 $ 4 4 $ 7 ( 3n
- 2)( 3n
+ 1)
1
S 1
= 3 $ 1 + ; S = 2
1
2
3 $ 2 + 1
....S = n
n
3n
+ 1
;
k +
=
1
;
2k
+ 3
S 1
— W.
S
k+
1
=
k
1
k 1
3k
+ 1 + ( 3k + 1)( 3k + 4)
= +
.
3k
+ 4
2. n=19-sTvis gamosaxuleba ar aris martivi.
3. a) `1
-
1
j` 1 -
1
j` 1 1 - j
1 1
... c1
- m =
2 3 4 n + 1 n + 1
A 1
=1– 2
1 = 2
1
1
A k
= k + 1
W.
1 1 1
Ak+ 1 = $ c1
- m = , r.d.g.
k + 1 k + 2 k + 2
v) 1 2 +3 2 +...(2n–1) 2 = n( 2 n - 1 )( 2 n + 1 )
3
S 1
=1 W.
k
S k+1
= ( 2k - 1 )( 2k
+ 1 ) 2 ( k + 1)( 2k + 1)( 2k
+ 3)
+ ( 2k
+ 1)
= .
3
3
4. a) (6 2n –1) 35
A 1
: (6 2 –1)=35 W.
A k
: (6 2k –1) 35
A k+1
: 6 2k+2 –1 = 36·6 2k –1 = (35·6 2k +6 2k –1) 35
b) (4 n +15n–1) 9 W.
A 1
: (4+15–1) 9 vTqvaT A k
: (4 k +15k–1) 9
A k+1
: 4 k+1 +15k+14=4·4 k +15k+14= 4·4 k +4·15k–4–3·15k+18=4(4 k +15k–1)–45k+18 9
g) (7 n+2 +8 2n+1 ) 57
A 1
— W.
A k
: (7 k+2 +8 2k+1 )57
A k+1
: 7 k+3 +8 2k+3 =7·7 k+2 +64·8 2k+1 =7(7 k+2 +8 2k+1 )+57·8 2k+1 .
d) (n 3 +3n 2 +5n+3) 3
A 1
— W.
68
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 68 02.07.2012 16:48:30

A k+1
: (k+1) 3 +3(k+1) 2 +5(k+1)+3=k 3 +6k 2 +14k+12=k 3 +3k 2 +5k+3+3k 2 +9k+9.
e) (6 2n-1 +1) 7
A 1
— W.
A k+1
: 6 2k+1 +1=36·6 2k–1 +36–35=36(6 2k–1 +1)–35
v) (6 2n +3 n+2 +3 n ) 11
A 1
— W.
A k+1
: 6 2k+2 +3 k+3 +3 k+1 =36·6 2k +3·3 k+2 +3·3 k =33·6 2k +3·(6 2k +3 k+2 +3 k+1 ).
5. a) 2 n >2n+1 n≥3
n=3 8>7 W.
A k
: 2 k > 2k+1
A k+1
: 2 k+1 > 2(k+1)+1
A k
-s utoloba SevkriboT
2 k >2 (k≥3) WeSmariti utolobaa
miviRebT: 2 k +2 k >2k+1+2.
2·2 k >2k+3.
1 1 1 13
b) ... >
n + 1
+ n + 2
+ + 2n
24
, n>1
7 14
S2 = = W.
12 24
13 13
vTqvaT S k
> , u.d. Sk+1 > 24
24
1 1 1
S k
= ...
k + 1
+ k + 2
+ + 2k
1 1 1 1 1
S k+1
= ...
k + 2
+ k + 3
+ + 2k + 2k + 1
+ 2k
+ 2
1 1 1
1
S k+1
–S k
=
2k + 1
+ 2k + 2
- k + 1
= 2( k + 1)( 2k
+ 1)
> 0
13
e.i. S k+1
>S k
> . 24
1
g) +
1 + ... +
1 > n , n>1
1 2 n
1
n=2 1+ > 2 2
1
A k
: +
1 + ... +
1 > k
1 2 k
1
A k+1
: +
1
+ ... +
1
> k + 1
1 2 k + 1
ganvixiloT WeSmariti utoloba
1 1 1 1
1
1 1
+ + + +
1 2
+ 1
> + + 1
= k( k + ) +
... k
>
k k
k k + 1
k + 1
=
k + = k
1
+ 1 . r.d.g.
2
k + 1 =
k
69
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 69 02.07.2012 16:48:31

6. Tu n=4, W. SevaerToT A 1
K. vTqvaT A 1
...A k
. K-kuTxedis diagonalebis ricxvia
k( k - 3)
2
(k+1)-kuTxedSi daemateba A k+1
-dan gavlebuli yvela diagonali (k–2 cali) da A 1
A k
diagonali,
e.i. +k–2+1= = . r.d.g.
k( k - 3)
k( k - 3) + 2k - 2 ( k - 2)( k + 1)
2
2
2
7. a) a k
=a 1
+d(k–1)
a k+1
=a k
+d=a 1
+dk
8. 1) Tu n=1, W.
a 1
a k+1
2) vTqvaT, A wertilze gamavali a 1
....a k
wrfe sibrtyes yofs
2k nawilad. gavavloT a k+1
wrfe, romelic or mezobel
A
wrfes Soris kuTxes gayofs or nawilad, e.i. dayofas
daemateba kidev 2 nawili 2k+2=2(k+1).
a k
A K D
9. 2 + 22 + 222 + ..... 22.... 2 =
2
( 9 + 99 + 999 + ... + 99 .... 9 ) =
S 9 S
n
n
2 n
2 10( 10 1)
( 10 1 100 1 1000 1 ... 10 n
- 1 )
n
2 ( 10 n+
1
= - + - + - + + - =
- = - 9 n - 10 )
9
9 c
m
9
81
+ + + .... +
4 8 512 2 4 8 512
10. a $ a $ a .... a = a = a
1
1
11. rkina (%) nikeli (%)
I 10 90 x kg
II 80 20 3–x kg
1
1
511
512
10x
+ 80( 3 - x)
= 60 , saidanac x =
6
kg
3
7
B
C
12. amocanis pirobis Tanaxmad, AB=CD=60°, e.i. ∠ADB=30°, maSin
Suaxazi=KD=h 3 , e.i. S=h 2 3 .
60°
O
3. mimdevrobis zRvari
amoxsnebi, miTiTebebi:
4n
- 2
1. a) lim = 2.
n $ 3 2n
4n
- 2 - 1
2 < f & < f n > 1 .
2n
n
f
70
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 70 02.07.2012 16:48:32

4. a) lim` 1
2 + j = 2; b) lim`3
+
1
j = 3.
n $ 3 n
n $ 3 n
5. a) a
n =
2n
+ 1 =
1
1 + ;
n n
n=1 a n
=2
n=2
1
a n
=1 , 2 e.i. b=2; 1
a 2 - 3 a # log ( 2 - 3)
- 1
S2
#
2
2
T
4x-1
log
3 3x+
2
4x
- 1
8. 0,
11 > 1 log < 0
3 3x
+ 2
Z
4x
- 1
] < 1
3x
+
[
2
4x
-
x∈ `
1
; 3j
1
] > 0
4
3x
+ 2
\
A
9. AM=x MK=20–x
BM= x( 20 - x)
2
S ABK
=10 20x - x
-20
udidesi iqneba x0 = - 2
= 10.
B M C
K
amoxsnebi, miTiTebebi:
3. e) x
lim x 6
n $ 3
v) lim
n $ 3
( n + 1) - ( n - 1)
=
n + 1
n 2
n =
n( n + 1)
2
2 =
3 n + 4
4. zogierTi Teorema zRvarTa Sesaxeb
3 3
1
6
2
6n
+
=
2
2
n + 2
5
2
2n
+ 5n
2 +
6. a) lim = lim
n = 2
n $ 3 n + 1
n $ 3 1
1 +
n
2
g) 2n
2
2
2 2
-
-
lim( n + n + 3 - n - n + 5) = lim = lim
n
=
2 2
1
n $ 3 n $ 3 n $ 3
n + n + 3 + n - n + 5
1 3 1 5
1 + + 2 + 1 - + 2
n n n n
71
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 71 02.07.2012 16:48:34

1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
7. a) xn
= + + ... +
...
$
2 $ 4 4 $ 6 2n( 2n + 2)
= c
2 2
- 4
+ 4
- 6
+ + 2n - m =
.
2n + 2 2 2n
+ 2
lim x
=
n 1
lim
n 4n
+ 4 = 4
n
n $ 3 $ 3
b)
1 1 1
1
xn = c + + ... +
m =
n 1 + 3 3 + 5 2n - 1 + 2n
+ 1
1
2n
+ 1 - 1
= ^ 3 - 1 + 5 - 3 + ... + 2n
+ 1 - 2n
- 1h
=
2 n
2 n
2n
+ 1 - 1
lim
=
1
n $ 3 2 n 2
1
8. a) SeiZleba iyos krebadi. mag. an = ; b
n n
=(–1) n .
n 1
b) SeiZleba iyos ganSladi, mag. an = + . b
n n
=(–1) n .
9. yovelTvis ara, magaliTad, Tu a n
=(–1) n ; b n
=(–1) n+1 , maSin lim( an
+ bn) = 0,
xolo lim( an
$ bn)
= 1
A
12. S ACK
=384
S CKB
=216
n $ 3
n $ 3
a
C
13. DF||AM ⇒ BK
KD
aseve DF||AM ⇒ AD
DC
b
K
B
MB
= = 1 MF 2
S
S
ACK
CKB
2
=
AK
=
a 16
2 =
a
e, e.i.
KB b 9 b
saidanac a=40; b=30, e.i. AB=50.
=
4
da ab=1200.
3
(Talesis gafarToebuli Teoremis Tanaxmad)
MF
= = 1 MB
. e.i.
FC 1 MC = 1 4 .
B
x
a M
K 2x
F
2a 2x
A
D
C
5. usasrulod klebadi geometriuli progresia
amoxsnebi, miTiTebebi:
a 2 a
1. a; ;
2 2 ;.... b =a q= 2
1 .
2
farTobis mimdevroba iqneba: a 2 ; a ; a ; ...
2 4
1
S: S 1
=a 2 q= 2
S= a = 2a
1
1 -
2
72
2
2
2
2
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 72 02.07.2012 16:48:36

3. S 3
=10,5
S=12
Z 3
b1( q - 1)
21
] =
[
q - 1 5
b1
]
24
q - 1 =-
\
5
Z
3 1
] q =
[
8
]
12
b1
=
\
5
Z
1
] q =
[
2
]
12
b1
=
\
5
1
4. +
x
=
7
x 1 - x 2
x= 3
1 ; x= 3
2 .
4b
5. b n
=4(b n+1
+b n+2
+...) b 1
q n–1 =
n + 1
1 - q
b 1
q n–1 (1–q)=4b 1
q n
1
q n–1 =5q n q= 5
Z
Z 2
b1
16
1 - q
=
b1
]
]
2 = 256
( 1 - q)
1 + q
6. [ 2
[
b1
768
] 2
1 - q
=
2
=
3 1 3 q= ; b1 = .
b1
768
2
5 ]
\
1 - q
=
1 - q 5 4 16
5
\
2 2
10x + y = x + xy + y
12. ) 2 2 2x+y=5.
10( x + 5) + y = ( x + 5) + ( x + 5)
y + y
13 da 63.
13. AK=AM; KB=BN
P ACB
=CM+CN=2R
M
A
K
O
r = S P ⇒ S ACB = r · R .
C
B
N
1
+
n
1
+
n
1 +
3
+ ... +
2 2
$ n
15. d) lim
2 2 2
lim
2
2 = 2
n $ 3 0,
25n
+ n + 3
n $ 3 0,
25n
+ n + 3
n
n
1 3 4
n-1 n 2n
5 + 3 -
+ ` j - ` j
2
z) lim lim
5 5 5 1
n n n+
3 =
n
n
=
n $ 3
5 + 2 + 3
n $ 3 2 3 5
1 + ` j + 27`
j
5 5
4 4
4 1 + n
16. `1
- j` 1 - j
2
... 1
1 9
c -
2 m =
( 2n
- 1)
1 - 2n
= 1
n+1-Tvis winadadeba WeSmaritia. davuSvaT WeSmaritia k-Tvis. u.d. rom (k+1) Tanamamravlis
namravli tolia -
2k
+ 3 -is.
2k
+ 1
1 + 2k
4 2k
+ 3
$ 1
2
1 -
c - m =- .
2k
( 2k
+ 1)
2k
+ 1
73
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 73 02.07.2012 16:48:38

Seamowme Seni codna
1. g; 2. d; 3. b; 4. b; 5. b; 6. d; 7. g; 8. d; 9. b; 10. g.
damatebiTi savarjiSoebi
1
7. d) +
1
+ ... +
1
n
1 $ 5 5 $ 9 ( 4n - 3)( 4n + 1)
= 4n
+ 1
A 1
— W.
k
A k
: S k
=
4 k + 1
2
1
k
1
4k
5k
1 k 1
Ak 1:
Sk 1 = Sk
+
( 4k + 1)( 4k + 5) = 4k
+ 1 + ( 4k + 1)( 4k + 5) = + + +
+ + = , r.d.g
( 4k + 1)( 4k
+ 5)
4k
+ 5
8. a) k 3 – k 3
(k+1) 3 –(k+1)=k 3 +3k 2 +2k=k 3 –k+3k 2 +3k;
b) (n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 )9
A k+1
: (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 ==k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 +9k 2 +27k+27;
g) (9 n+1 –8n–9)16
A k+1
: 9 k+2 –8(k+1)–9=9·9 k+2 –8k–17=9·9 k+1 –9·8k+8·8k–84+64=9(9 k+1 –8k–9)+64k+64;
d) (10 m +18m–28) 27
A k+1
: 10 k+1 +18(k+1)–28=10(10 k +18k–28)–180k+280+18k–10=10·27n–162k+270=
=10·10 k +10·18k–9·18k10·28+9·28+18=10(10 k +18k–28)+270=10·27n–27(6k–10). r.d.g.
2 2
2
n + 1 - n
14. a) lim( n + 1 - n)
= lim
=
2
0
n $ 3 n $ 3
n + 1 + n
2 2
b) lim( n + n - n - n)
=
2n
2
lim
2 2
lim
1
n n n
n + n + n - n
= =
$ 3 $ 3 $ 3 1 1
1 + + 1 -
n n
17. a) lim ! ( )!
2
n + n + 2 n!( 1+ ( n + 1)( n + 2))
n + 3n
+ 3
= lim = lim = 1.
x→∞
( n + 1)! 0,
5n
x→∞
2
n!( n + 1) ⋅0,
5n
x→∞
n + 0,
5n
18. burTis mier gavlili manZilia 10+2S, sadac S geometriuli progresiis jamia b 1
=6
3 6
da q= ,e.i. 10+2· = 40m.
5 2
5
74
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 74 02.07.2012 16:48:39

eziume:
VI Tavi
1. veqtoris koordinatebi
moswavles unda SeeZlos: veqtoris sawyisi da bolo wertilebis koordinatebiT veqtoris
koordinatebis dawera; koordinatebis mixedviT toli veqtorebis amorCeva;
toli veqtorebis sawyisi da bolo wertilebis samis, mocemulobis mixedviT, meoTxes
koordinatebis dadgena.
amoxsnebi, miTiTebebi:
7. NM = PQ , e.i. –1–3=x–1 da 2–3=y–0, saidanac Q(–3;–1).
9. a = 4 + 9 + 12 = 5; b = 1 + 16 + 8 = 5.
reziume:
2. veqtorebis Sekreba-gamokleba
moswavles unda SeeZlos veqtorebis Sekreba-gamokleba, rogorc geometriulad, aseve
koordinatebSi. unda SeeZlos veqtorebis mocemuli koordinatebiT moqmedebis Sedegad
miRebuli veqtorebis koordinatebis dawera.
amoxsnebi, miTiTebebi:
4. A(0;0;1); B(3;2;1); C(4;6;5); D(1;6;3).
a = AB + CD = ( 3; 2; 0) + (- 3; 0; - 2) = ( 0; 2; - 2)
2 2
2 a = 2 0 + 2 + (- 2)
= 4
xA
xB
9. M(x;y) AB monakveTis Suawertilia x = + yA
yB
= 3,
5; y = + =- 3.
2
2
10. y=x 2 parabolis wvero (0;0) mocemuli paraleluri gadataniT gadava (2;–1) wertilSi,
e.i. y=(x–2) 2 –1.
reziume:
3. veqtoris gamravleba ricxvze. kolinearuli veqtorebi
moswavles unda SeeZlos mocemuli veqtoris mocemul ricxvze gamravlebiT miRebuli
veqtoris koordinatebis dawera; mocemul veqtorebs Soris kolinearuli veqtorebis
amorCeva da unda icodes veqtorebis kolinearulobis piroba.
amoxsnebi, miTiTebebi:
4. a; b;
d da
m veqtorebi kolinearulia.
75
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 75 02.07.2012 16:48:40

5. AC da AB veqtorebi kolinearulebia.
7. a) x - 2 = 2
= x=4 an 7.
x - 2 = 5
reziume:
4. ori veqtoris skalaruli namravli
moswavles unda SeeZlos: ori veqtoris skalaruli namravlis povna koordinatebiTac
da maTi sigrZeebiTa da maT Soris mdebare kuTxiTac; mocemuli koordinatebiT veqtorebs
Soris kuTxis moZebna. unda icodes, risi tolia skalaruli kvadrati da ori
marTobuli veqtoris skalaruli namravli.
amoxsnebi, miTiTebebi:
4. Tu a + b da a - b marTobulia, maSin ( a + b)( a - b)
= 0, e.i. a h b = 1.
2 2 2 2 2 2
5. a + b $ a - b = ( a + b) $ ( a - b)
= a + b $ a + b = 29.
6. b) a = 2 b = 1 ( a; b) = 60c
2
a( a + b)
= a +
1
a $ b = 4 + 1 $ 2 $ = 5 2
a + b = ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
= 4 + 2 + 1 = 7
a( a + b) = a a + b cos a
5 =
5
2 7 cos a cos a = .
2 7
7. AB (–3;0;–4); AC (4;0;–3)
AB $ AC =–12+12=0, e.i. ∠A=90°.
8. - 1 2 3
1 +
2 +
3 +
4 +
5 +
5. brunviTi sxeulebi, cilindri
amoxsnebi, miTiTebebi:
4. AC:CB=3:1
3
AC= R CB= R 2 2 ; CK= R 3
A
B
.
2
C
K
S=R 3 ·h h= R
S3 .
76
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 76 02.07.2012 16:48:42

8.
H
O
2
rR
=
r
2RH
4
R
=
1 2R
, anu = 1, e.i. RerZuli kveTa kvadratia, anu kuTxe
H 2 H
diagonalebs Soris 90°-ia.
6. konusi
amoxsnebi, miTiTebebi:
S
SO
9. cosα= SB
A
O
B
=
1
3
SO≡x SB=3x; 2x
25
S f
=π·OB 2 =π·8x 2 =8π· 4 r =50.
=
5
x
r
= 5
2 r
OB2 =8x2
10.
1
2
rR
2
H $ 2R
= r, saidanac R=H, e.i. fuZesTan mdebare kuTxea 45°.
7. sfero, birTvi
amoxsnebi, miTiTebebi:
3. AB=10; AC=8; BC=6.
aB 2 =AC 2 +BC 2 , e.i. ∠C=90°.
O
2
OO 1
= OA - AO 2
1 = 12.
A
C
O 1
B
A
O
O 1
4. R=10
πr 2 =9π r=3
OO 1
= 100 - 9 = 91 .
7. b) y=x 2 –2x+3
xl
= x + 2
)
yl
= y - 3
wvero A(1;2) → A 1
(3;–1)
y=(x–3) 2 –1
Seamowme Seni codna
1. g; 2. d; 3. b; 4. g; 5. g; 6. d; 7. g; 8. b; 9. b; 10. a; 11. b; 12. g; 13. a; 14. a; 15. a.
77
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 77 02.07.2012 16:48:42

damatebiTi savarjiSoebi
4. a (2;–3;6) b =1 a ↑↑b
b (2x;–3x;+6x)
4x 2 +9x 2 +36x 2 =1
1
x 2 = , radgan a da b TanamimarTulia x =
1
.
49
7
5. c = (- 3; 7) d = ( 2; 5)
c = 58 d = 29 c ·d =29
29
cosα= =
1
α=45°.
58 $ 29 2
16. mopirdapre kuTxeebi marTia, e.i. wrewiri Semoixazeba.
28.
2
rR
=
r
2RH
4
R
H
=
1
, e.i. 45°.
2
29. kvadratis gverdia a, misi gegmilia b.
a + b = 4R
) 2 2 2
a - b = h
2 2 2
a
)
a
+ b = 4 $ 49
- b = 4
2 2
2 2
a
2a 2 =4·50
a=10
b
a
32. 2πRH= 2πR 2
H=R
S
39. H=SO=20; R=ON=25
OM⊥SK OM=12.
∆SOK. SM=16; MK=9, e.i. SK=25.
OK=15. ∆KON. KN=20. S ASN
=500.
A
K
M
N
O
B
78
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 78 02.07.2012 16:48:44

VII Tavi
1. kombinatoruli amocanebi
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. warmovidginoT, rom gvaqvs eqvsi adgili. pirveli gakveTilis SerCevis 10 variantia,
radgan gakveTilebis gameoreba ar SeiZleba. meore gakveTilis SerCevis 9 variantia da
a.S. e.i. cxrils eqneba Semdegi saxe:
gakveTili I II III IV V VI
varianti 10 9 8 7 6 5
sul iqneba 10·9·8·7·6·5=151200 varianti.
2. 10 9 8 variantebis raodenoba
Tavmjd. I moadg. II moadg. 10·9·8=720
3. wina amocanidan ukve viciT, Tu ramdeni dalagebuli sameuli SeiZleba Sedges 10 adamianisgan.
es aris 720. radgan a,b,c sameulisagan SeiZleba miviRoT dalagebuli 6 sameuli,
esenia: {a;b;c}; {a;c;b}; {c;a;b}; {c;b;a}; {b;a;c}; {b;c;a}, e.i. sameulebis raodenoba 720:6=120.
4. a) nomeri 000-c SeiZleba, amitom SesaZlo nomrebis raodenobaa 1000;
b) SesaZlo seriebi: HHA; HAH; AHH.
5. a) 1·2·3...13·14=14!
b) radgan 2 erTmaneTis gverdiT unda moxvdes, Cven SegviZlia is ori warmovidginoT
erT wignad, anu unda ganvixiloT 13 wignis dalagebis SesaZlebloba da miRebuli pasuxi
gavamravloT 2-ze, radgan im ori urTierTmdebareobis ori SemTxveva arsebobs (a;b) da
(b;a). pasuxi: 2·13!.
6. a) cifrebis raodenobaa 10, magram pirvel adgilze 0 ver iqneba. pirvel adgilze
gvaqvs 9 SesaZlo varianti. meore adgilze virCevT darCenili 9-dan. mesameze — dar-
Cenili 8-dan da a.S.
pasuxi: 9·9·8·7·6=27216.
b) 9·10·10·10·10=9·10 4 .
7. pirvel adgilze weria 2, e.i. Cven gvainteresebs darCenil 6 adgilze miRebuli variantebi;
sul tolia: 10·10·10·10·10·10=10 6 (igulisxmeba, rom meore cifric SeiZleba iyos 0).
8. a) kenti cifrebis raodenobaa 5, e.i. aseTi ricxvebis raodenoba iqneba 5 6 . b) luwi
cifrebis raodenobaa 5. magram pirvel adgilze 0 ver iqneba. e.i. aseTi ricxvebis raodenobaa
4·5·5·5·5·5=4·5 5 .
9. erTYiani aucileblad gvxvdeba mxolod erTxel. is SeiZleba idges pirvel, meore,
mesame an meoTxe adgilze, e.i. Cven unda davTvaloT ramdeni samniSna ricxvi Sedgeba
danarCeni 7 cifrisgan da miRebuli pasuxi gavamravloT 4-ze. e.i. 4·7·7·7=4·7 3 .
79
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 79 02.07.2012 16:48:44

10. aseTi sityvebis raodenobaa 6·5·4·3-360.
11. pirvel adgilas gvaqvs SesaZlo 15 varianti, meoresTvis — 14 da mesamesTvis — 13.
pasuxia: 15·14·13.
12. es aris
5 $ 4 $ 3
6
= 10 (ixileT me-3 amocana).
13. gvaqvs oTxi adgili. pirvel adgilze aris rva varianti. radgan cifrebis gameoreba
SeiZleba, yvela danarCen adgilzec iqneba rva varianti, e.i. 8 4 .
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. A
11
20
2. a) A
3. A
4. A
5
25
4
15
=
20!
( 20 - 11)!
6
33
=
33!
( 33 - 6)!
=
25!
( 25 - 5)!
=
15!
.
11!
5. P 5
=5!=120.
=
20!
.
9!
=
33!
.
27!
=
25!
.
20!
2. gadanacvleba, wyoba
6. a) 4·5 4 , radgan ricxvi 0-iT ar iwyeba; b) 5 5 .
7. a) gogonebis skamebze ganlagebis raodenobaa P 5
=5!, biWebis — P 5
=5! radgan pirvel
adgilze SeiZleba aRmoCndes rogorc gogona, iseve biWic, yvela SesaZlo varianti
daiTvleba 2·5!·5!
b) am SemTxvevaSi pirveli adgili ar konkretdeba (wreze sxedan), amitom pasuxia: P 5· P 5
=5!·5!
8. cifrebis raodenobaa 6, e.i. SesaZlo SemTxvevaTa raodenobaa A
4
6
=
6!
=3·4·5·6=360.
2!
9. davTvaloT 14 mgzavris ganTavsebis variantebis raodenoba da miRebuli pasuxi gavamravloT
2-ze (mZRolebis ganawilebis raodenobaa 2). pasuxi: 2·P 14
=2·14!
10. unda davTvaloT vaJebis wyvilTa raodenoba (pirveli da bolo adgilis dasakaveblad).
es ricxvia: A7
= = 42. darCenili 5 biWi da 5 gogo sulerTia rogori Tanmim-
2 7!
5!
devrobiT gamovlen, e.i. unda vnaxoT 10 bavSvis gamosvlis Tanmimdevroba. es aris P 10
=10!
saboloo pasuxi: 42·10!
11. biWebis merxebze ganawilebis raodenobaa P 10
=10! gogoebis — P 10
=10!
pasuxi: P 10 · P 10
=10!· 10! =(10!) 2 .
12. jer davTvaloT is SemTxveva, roca mwkrivis Tavsa da boloSi ori gogonaa.
80
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 80 02.07.2012 16:48:44

2 10!
A10
= =8·9=72 SemTxveva. darCenili 16 bavSvis gadanacvlebaTa raodenobaa P
8!
16
=16! e.i.
miviReT: 72·16! axla davTvaloT ramdeni ramdeni dalagebuli wyvili miiReba 8 biWisgan.
es iqneba: A8
= =7·8=56. darCenili 16 bavSvis gadanacvlebis raodenobaa: P
2 8!
6!
16
=16!
miviReT: 56·16!.
13. Tavsa da boloSi samkuTxedebia — A 2
5 $ P12
;
Tavsa da boloSi wrea — A
2
4
$ P12
;
2
Tavsa da boloSi oTxkuTxedia — A5
$ P12
.
! !
sul A 2
P A P A P P 2 A 2
A 2 5 4
5 $ 12 + 2
4 $ 12 + 2
5 $ 12 = 12^
5 + 4h = 12!
`2 $ + j = 52 $ 12!
.
3 ! 2!
amoxsnebi, miTiTebebi:
3. jufTeba
100!
97
C P
4!
100 $
$
4
2. a)
3! 97!
98 99 100 4
2 = =
$ $ $
= 25; b) C 4
C 3 4
7 + 7 - C8
= 0;
66 $ A 50!
66 $ 49 $ 48
50
66 $ 48 !
6
C16
g) 5 6 5 = 1.
C 14 + C 14 + C 15
3 2 2 x!
x!
2 x( x - 1)( x - 2) x( x - 1)
3. a) Cx
+ Cx
= 15( x - 1)
& +
= 15( x - 1)
&
+ =
3!( x - 3)!
2!( x - 2)!
6
2
2 x( x - 2)
+ 3x
2
= 15 ( x - 1) & ( x - 1)
$
= 15( x - 1)( x + 1) & x - 2x + 3x = 90( x + 1)
&
6
2
& x - 89x
- 90 = 0
b) C
x $ 3
* x = 90 p ⇒ x=90
x =- 1
+
x!
x!
Ax
= 256 & + =256 ⇒ x+(x–1)x=256 ⇒ x
( x - 1)!
( x - 2)!
2 =256 ⇒ x=16;
1 2
x
4
Ax+
2 ( x + 2)! ( x + 2)!
x!
g) 2 = 42 & : = 42 & =42 ⇒ x(x–1)=42 ⇒ x
A ( x - 2)!
x!
x+
2
( x - 2)!
2 –x–42=0 ⇒ x=7;
3 ( 2x)!
5( 2x
1)!
d) 3C
x -1
x $
-
2x
= 5C2x- 1 & =
& 6x = 5x + 5 & x = 5.
( x - 1)!( x + 1)!
x!( x - 1)!
4. (x+x 2 ) 7 =x 7 (x+1) 7 . e.i. gvinda (x+1) 7 — es gaSlaSi x 3 -is koeficienti es aris:
4 7!
5 $ 6 $ 7
C7
= = = 35.
4! 3!
2 $ 3
5. T) x 3 2 3 2 3
-s Seicavs mesame wevri, e.i. C5(2 x) (- 3) = 720x
. maSasadame, koeficientia 720.
6. x 2 2 4 2 6!
4 2 2 4 2 2
-s Seicavs mesame wevri. es aris C6
$ 2 ( ax)
= $ 2 a x = 15 $ 2 a x , e.i. 15·16a
2! 4!
2 =60 ⇒
1 1
a 2 = & a = ! .
4 2
7. radgan qveda kabasa da Sarvals erTdroulad ver Caicmevs, amitom gveqneba 8 bluza
da 15 qvedakaba an 8 bluza da 8 Sarvali. TiTo bluzasTan aris 15.
e.i. sul 8·7+8·8=120 varianti.
81
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 81 02.07.2012 16:48:46

8. radgan SeiZleba, rom orive erTi da igive saxis saTamaSo iyos, magaliTad, orive
2 35!
34 35
iyos manqana. asarCevia 20+5+10=35 saTamaSodan 2 es aris C35
= =
$
=17·35=595.
33! 2!
2
2 50!
9. SesaZlo xdomilobaTa raodenobaa C50
= =49·25=1225. xelSemwyob xdomilobaTa
48! 2!
2 3!
ricxvia C3
= =
3
3. albaToba imisa, rom orive wiTelia, iqneba: .
2! 1!
1225
10
10. SesaZlo xdomilobaTa ricxvia C 24 . xelSemwyob xdomilobaTa raodenoba iqneba
C
5
14
5
$ C10. albaToba iqneba
5
C14
$ C
10
C24
5
10
.
11. ori kamaTlis gagorebisas SesaZloa movides
36 gansxvavebuli wyvili. amis sailustraciod
SegviZlia gamoviyenoT sakoordinato sibrtye.
a) erTnairi ricxvebis mosvlis 6 SesaZlo SemTxvevaa,
amitom albaToba iqneba =
6 1
; 36 6
b) gansxvavebuli cifrebis mosvlis albaTobaa
1 -
1
=
5
;
6 6
g) cxrili mogvexmareba aseTi wyvilebis daTvlaSi.
(1;2); (1;5); (2;1); (2;4)...(6;3); (6;6). sul 12. 1
12
albaToba iqneba =
1
. 36 3
1 2 3 4 5 6
d) davTvaloT iseTi wyvilebis raodenoba,
romelTa cifrebis jami naklebia an toli 4-is. es raodenobaa 6, e.i. oTxze mets gvaZlevs
30 5
jamSi 36–6=30 wyvili. albaTobaa = . 36 6
12. es ricxvia C
=
10!
=
9 10
= 45.
2! 8!
2
2 $
10
13. yoveli sami wertili gvaZlevs erT wrewirs, e.i. wrewirebis raodenobaa
3 10!
8 9 10
C10
= =
$ $
=4·3·10=120.
3! 7!
6
14. vTqvaT iyo x monawile. maSin gaTamaSebuli partiebis raodenobaa
2
x!
Cx
= 210 &
= 210 ⇒ x
2!( x - 2)!
2 –x–420=0. x=21.
15. es igivea, rom 15 moswavlidan ramdeni xerxiT airCeva 4 moswavle, e.i. pasuxia:
4 15!
12 13 14 15
C15
= =
$ $ $
=7·13·15=1365.
4! 11!
2 $ 3 $ 4
6
5
4
3
2
4. wyoba ganmeorebiT
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. kenti adgilia 3, maTgan TiToeulisaTvis 5-5 variantia. luwi adgilia 2. maTTvisac
5-5 variantia, e.i. pasuxia: 5 5 .
82
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 82 02.07.2012 16:48:47

2. baraTebis raodenobaa 8. cifri 2 meordeba orjer. 5 — samjer. SesaZlo ricxvebis
8!
2 $ 3 $ 4 $ 5 $ 6 $ 7 $ 8
raodenobaa = = 3360.
2! 3!
2 $ 6
3. burTulebis raodenobaa 12. gameorebebis ricxvia 5, 3 da 4, e.i. SesaZlo variantebis
4
12!
6 $ 7 $ 8 $ 9 $ 10 $ 11 $ 12
raodenobaa = = 27720.
5! 3! 4!
2 $ 3 $ 2 $ 3 $ 4
6!
4. asoebis raodenobaa 6. gameorebebis ki 4 da 2. variantebis raodenobaa =
5 $ 6
= 15
2! 4!
2
5. asoebis raodenobaa 8. „a“ meordeba 3-jer, „b“ ki orjer.
!
6. 9 mgzavri 2, 3 da 4 kacisgan Semdgar jgufebad SegviZlia davawyoT C 2
C 3 4 9
9 $ 7 $ C4
=
2! 3! 4!
xerxiT. TiToeul jgufs SeuZlia gadmovides 10 sarTulidan nebismierze. vTqvaT erTerTi
jgufi gadmovida 10 sarTulidan nebismierze. amis Semdeg II-s darCa 9 SesaZlebloba,
mesames ki 8. miviReT: ·10·9·8= .
9!
10 !
2! 3! 4!
4
!
7. variantebis raodenobaa C 2
C 3 4 9
9 $ 7 $ C4
=1260.
2! 3! 4!
8.
16!
.
5! 7! 4!
amoxsnebi, miTiTebebi:
5. amovxsnaT amocanebi albaTobaTa Teoriidan
1. yvela SesaZlo oTxniSna ricxvTa raodenobaa 9000. xelSemwyob xdomilobaTa raodenobaa
(anu kenti cifrebiT Sedgenil oTxniSna ricxvTa raodenobaa) 5 4 . albaToba iqneba
4
5
=
5
.
9000 72
2. a) 12-niSna ricxvebis raodenobaa 9·10 11 , xelSemwyob xdomilobaTa raodenoba ki 5 12 .
12
12
5 5 5
albaToba
11 = 11 11 = 11 .
9 $ 10 9 $ 5 $ 2 9 $ 2
18
18
5 5 5
b) 17 = 17 17 = 17 .
9 $ 10 9 $ 5 $ 2 9 $ 2
3. orniSna ricxvebis raodenobaa 90. axla davTvaloT orniSna ricxvebis raodenoba,
romlis CanawerSic ar Sedis 2-iani. gvaqvs ori adgili. pirvel adgilas ver iqneba 0 da
2, e.i. gvaqvs rva varianti. meore adgilas ver iqneba 2-iani. e.i. gvaqvs 9 varianti. e.i.
8 $ 9
8·9=72 ricxvis CanawerSi ar gvxvdeba 2-iani. albaToba iqneba =
4
.
90 5
4. yvela SesaZlo xdomilobaTa ricxvia 9 2 =81. iseTi wyvilebis raodenoba, romelTa jami
41
luwia, iqneba kenti da kenti — 5 2 =25, an luwi da luwi — 4 2 =16, sul 41. albaToba iqneba . 81
5. 10 asodan (asoebi ar meordeba) 5-asoiani sityvis Sedgenis variantebia (SesaZlo xdomilobaTa
ricxvi) A10
= . am sityvebidan gvWirdeba erTi, e.i. xelSemwyob xdomilobaTa
5 10!
5!
5 !
ricxvia 1. albaToba .
10!
83
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 83 02.07.2012 16:48:49

6. SesaZlo xdomilobaTa ricxvia A 8
4. xelSemwyob xdomilobaTa ricxvi ki 1. albaToba
1 4!
iqneba: 4 = .
A 8!
8
1
7. gvaqvs 5 adgili. pirvel adgilze aso „v“-s mosvlis albaTobaa . darCa 6 aso. II adgilze
gvinda „a“. misi mosvlis albaTobaa . III adgilze „S“-s mosvlis albaTobaa . IV-
6 5
7
3 1
1 1
ze „l“-s mosvlis albaTobaa , xolo V-ze „i“-s mosvlis albaTobaa . sityva „vaSlis“
4 3
1 3 1 1 1 1 1
mosvlis albaToba iqneba am albaTobaTa namravli $ $ $ $ = = .
7 6 5 4 3 4 $ 5 $ 6 $ 7 840
8. albaToba iqneba albaTobaTa namravli (ix. amocana 7). e.i. 9
1
4 2 1 1
$ $ $ $
8 7 6 5
=
1
=
5 $ 6 $ 7 $ 9
1
1890
2
9. monakveTebis raodenoba 5+4+3+2+1=15=C 6
.
A
B
amasTan iseTi monakveTebi, romlis bolo wertilia
A iqneba 5, e.i. SesaZlo xdomilobaTa raodenobaa 15. xelSemwyob xdomilobaTa
5 1
raodenoba iqneba 5. albaToba iqneba = . 15 3
C 1
C 2
C 3
C 4
+q
10. radgan erT wyvils aucileblad aiRebs. unda amoiRos darCenili 27 qvidan 6. es aris
6
C 27 (SesaZlo xdomilobaTa sivrce). xelSemwyob SemTxvevaTa ricxvia 1 (eqvsive wyvilia).
1 1! 26!
1
albaToba iqneba 6 = = .
C 27!
27
27
11. P (arcerTi guli) = `
39
j 3
. P (erTi mainc guli) = 1 – `
39
j 3
.
52
52
12. am ricxvebis gadanacvlebaTa ricxvia P 6
=6! amaTgan geometriuli progresiaa ori
2
(1; 3; 9; 27; 81; 243 da 243; 81; 27; 9; 3; 1), albaTobaa .
6!
8
13. 20-is 80%-ia 16, e.i. 16 wiTeli da 4 lurji. SesaZlo xdomilobaTa ricxvia C 20 . xelSemwyob
xdomilobaTa ricxvi C16
$ C4. albaTobaa 8 =
5 3
5 3
C16
$ C4
16! 4! 8! 12!
C 5! 11! 3! 1! 20!
20
14. giorgi ver miiRebs 10-ians — albaTobaa 1–p. daTo
ver miiRebs 10-ians — albaTobaa 1–q. giorgi ver miiRebs
da daTo miiRebs, albaTobaa q(1–p). daTo ver
miiRebs da giorgi miiRebs, albaTobaa p(1–q). mxolod
erTi miiRebs, albaToba iqneba q(1–p)+p(1–q)=q–pq+p–
qp=p+q–2pq.
am amocanis sailustraciod gamogvadgeba mocemuli
sqema:
giorgi
+p
1–p
+
–
daTo
1–q
+q
–
1–q
–
–
+
5
15. SesaZlo xdomilobaTa ricxvi C 15 . xelSemwyob xdomilobaTa ricxvi ki C 3 2
6 $ C9. alba-
3 2
C6
$ C9
Tobaa 5 . 0,
24.
C15
84
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 84 02.07.2012 16:48:51

16. mesame da meoTxe tomi CavTvaloT erT wignad. am SemTxvevaSi xelSemwyob xdomilobaTa
ricxvia 2·P 14
14!
$ 2
=14!·2. SesaZlo xdomilobaTa ricxvia P 15
=15! albaTobaa =
2
.
15!
15
6. geometriuli albaToba
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. albaToba imisa, 1 2 3 44 44
rom S sigrZis monakveTze SemTxveviT
l
arCeuli wertili , sigrZis monakveTze aRmoCndeba, aris 14444444 24444444
3
, . Cvens SemTxvevaSi S=500m. ,=200m–120m=80m. albaToba
S
S
80 4
iqneba = . 500 25
2. amocanis amosaxsnelad davadginoT im monakveTis sigrZe, romelic amocanis pirobebs
4 1
akmayofilebs, aseTia: AK=4. albaTobaa = . 20 5
6
K
A 8 sm P 2 O 6 B
B
C
3. AC-ze gadavzomoT AK=AB=a monakveTi. winadadeba,
wrewiris gadakveTs AB da AD gverdebs, tolfasia winadadebis
wrewiri gadakveTs AK monakveTs. albaToba
K
imisa, rom wrewirma gadakveTos AK monakveTi, tolia
AK
=
a
=
1
.
AC a 2 2
A
D
4. wesier eqvskuTxedSi a=R wris farTobia S wr
= a 2
2
r 3
a 3
, eqvskuTxedis ki 6 $ ,
4
4
2
Swr
ra
3 $ 4 r
albaToba iqneba = =
2
.
Seqvs
4 $ 6 3 a 2 3
2
$
B
C
5
5. (1) sistemis Sesabamisi wertilebia ABCD marTkuTxedi
4
gverdebiT 3 da 4 S ABCD
=12.
3
(2) sistemis Sesabamisi wertilebia. naxatze gamuqebuli
2
1 A
D
kvadrati, farTobiT 1. albaToba iqneba . 12 1
-1 0
B
1 2 3 4
6. ganv. ∆AOC N
R R OC=R
O
30°
O
30°
A
O
AO=2R O ⇒ ∠OAC=30° ⇒ ∠BAC=60°.
R
∠C=90° O
P
C
A wertilze SemTxveviT gavlebulma wrfem rom gadakveTos wrewiri, igi unda gadiodes
60c 1
∠BAC-is gverdebs Soris, e.i. albaTobaa = . 360 c 6
85
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 85 02.07.2012 16:48:52

7. S f
=25π. S gv
=100π.
2Sf
a) 2S f + S
gv
=
50
r
=
1r
100r
; b) 50 r
+
100
r r3
+ 2 50 r + 100 r
=
2 25r
; g)
3 50 r + 100 r
=
1
.
6
8. MBCN; PMNK da APKD trapeciebs toli simaRleebi aqvT. amas-
2a
+ b
Tan advilad davrwmundebiT, rom MN = .
3
2b
+ a
PK =
MN + PK 3a 3b a b . S PMNK = $ h = + $ h = + h .
3
2 6 2
a b
SABCD = + $ 3h.
2
SPMNK
albaToba iqneba: =
a + b a b 1
$ h :
- $ 3h
= .
SABCD
2 2 3
9. miTiTeba: ganixileT msgavsi samkuTxedebi.
SMNPK =
3
3
, e.i. albaTobaa .
SABCD
5
5
d
P= S 1
d2
⋅
MNKP
MN ⋅ NPsin
α
=
= 2 2 1
=
S d d d d
ABCD 1 2
1 2
sin α
2 .
2
2
1
10. S ∆
= .4·3=6 r =
a + b - c
= 1 P= S S ∆
−
2 2
S
∆
= − π .
6
wr
6
M
A
B
N
K
C
P
D
amoxsnebi, miTiTebebi:
7. dagrovili sixSire. rangi
1. varianti 1 3 7 12 18
sixSire 5 2 2 3 4
fardobiTi sixSire
5
16
dagrovili sixSire 5 7 9 12 16
dagrovili fardobiTi
5
sixSire
16
2
16
7
16
2
16
9
16
3
16
12
16
4
16
1
1 + 2 + 3
2. a) 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 4; 7; 8; 9; 9 — variaciuli mwkrivi. 0-is rangia = 2 ; 1-is rangia
3
4 + 5 + 6 + 7 = 5,
5 ; 4-is rangia — 8; 7-is rangia — 9; 8-is rangia —10; 9-is rangia
4
11 + 12
= 11,
5 . moswavleebs daavaleT, rom cxrilis saboloo varianti Sekvecili
2
wiladebis saxiT warmoadginon.
86
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 86 02.07.2012 16:48:55

varianti 0 1 4 7 8 9
sixSire 3 4 1 1 1 2
fardobiTi sixSire
3
12
4
12
dagrovili sixSire 3 7 8 9 10 12
dagrovili fardobiTi
3
sixSire
12
7
12
1
12
8
12
1
12
9
12
1
12
10
12
2
12
12
12
3. niSani 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sixSire 0 0 0 0 3 7 4 3 6 5
dagrovili
sixSire
fardobiTi
sixSire
fardobiTi
sixSire
0 0 0 0 3 10 14 17 23 28
0 0 0 0
0 0 0 0
3
28
3
28
7
28
10
28
4
28
14
28
3
28
17
28
6
28
23
28
rangi - - - - 2 7 12,5 3 20,5 26
5
28
28
28
4. qorwinebaSi myofi (A) — 35 adamiani
axaldaqorwinebuli (B) — 40 adamiani
ganqorwinebuli (C) — 15 adamiani
qvrivi (D) — 10 adamiani.
A 35
35
100
35
40
35
B 40
40
100
75
30
25
C 15
15
100
90
20
15
D 10
10
100
100
10
5
A B C D
5. b) 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4
1 + 2
0-is rangia =
7 + 8 + 9 + 10 + 11
1,
5 ; 2-is rangia
2
5
3 + 4 + 5 + 6
1-is rangia =
12 + 13 + 14
4,
5 ; 3-is rangia
4
3
= 13;
= 9;
4 $ 1 + 5 $ 2 + 3 $ 3 + 4 27
4-is rangia 15. moda aris 2. saSualo= = = 1,
8 .
15
15
87
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 87 02.07.2012 16:48:58

7. varianti 3 5 7 15 21
sixSire 3 1 8 1 5
fardobiTi sixSire
3
18
dagrovili sixSire 3 4 12 13 18
dagrovili fardobiTi
3
sixSire
18
1
18
4
18
5
18
12
18
1
18
13
18
5
18
18
18
amoxsnebi, miTiTebebi:
8. ogiva
2. intervali sixSire
fardobiTi
sixSire
dagrovili
sixSire
dagrovili
fardobiTi
sixSire
[1–3) 2
2
20
2
2
2
[3–5) 7
7
20
9
9
20
[5–7) 5
5
20
14
14
20
[7–9] 6
6
20
20
20
20
= 1
20
ogivas asagebad viRebT wertilebs (intervalis zeda
sazRvari; Sesabamisi dagrovili sixSire). aseTi wertilebia:
(3;3); (5;9); (7;14); (9;20).
18
16
14
amocanebi 3, 4, 5 (ixileT amocana 2).
12
10
8
6
4
2
3 5 7 9
88
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 88 04.07.2012 17:43:00

amoxsnebi, miTiTebebi:
9. centraluri tendenciis sazomebi
1. c=d=11; d–a;8 ⇒ a=3; a+b+c+d=32 ⇒ b=7.
2. b=11
pasuxi: a=3.
) c - a = 10
a + c + 11 = 27
o ⇒ ) c - a = 10
c + a = 16
o ⇒ c = 13
)
a = 3
intervali
Suawertili
(x i
)
sixSire n i
n i
x i
2
n i
x i
[2;5) 3,5 8 28 98
[5;8) 6,5 6 39 253,5
[8;11) 9,5 4 38 361
[11;14] 12,5 2 25 312,5
jami 20 130 102,5
4. x =
130
= 6,
5.
20
5. S
2
=
1
(1025–20·6,5
19
2 )≈9,474.
2
6. standartuli gadaxraa S = 9,
474 ≈3.
VII Tavis damatebiTi savarjiSoebi
2. a)
! !
!
!
A C
x
2
2 -2
x x
x
x
x $ x = 72 & $
= 72 & c m = 144 & = 12 & x( x - 1) - 12 = 0.
( x - 2)!
2!( x - 2)!
( x - 2)!
( x - 2)!
x=4.
( x 1)!
( x 1)!
b) x≥4; C x - 2
3
+
-
x+
1 + 2 $ Cx- 1 = 7( x - 1)
& + 2 = 7( x - 1)
⇒ x(x+1)+2(x–3)(x–2)=42
3!( x - 2)!
( x - 4)! 3!
⇒ x 2 –3x–10=0 ⇒ x=5.
3 ! !
g) A C x -2
x x
x + x = 14x
& +
( x - 3)!
2!( x - 2)!
x=5.
=
x 1
14x & ( x - 2)( x - 1)
+ - = 14 ⇒ 2x
2
2 –5x–15=0 ⇒
5
Ax
x!
( x - 2)!
d) x- 5 = 336 & = 336 $
⇒ (x–2)!(x–1)!·x=56·(x–2)! ⇒ x 2 –x–56=0 ⇒ x=3.
Cx-2
( x - 5)! 3!( x - 5)!
2
2 ( n + k)!
( n + k + 1)! ( n k)!
1 n k 1
v) Cn k + Cn k 1 = + = + + +
+ + + $ c + m =
( n + k - 2)! 2!
( n + k - 1)! 2!
2 ( n + k - 2)! ( n + k - 1)!
= ( n + k )! n + k- 1 + n + k + 1 ( n + k)!
2 ( n + k) $ ( n + k)
( n + k)!( n + k)
$ = $
=
2 ( n + k - 1)!
2 ( n + k - 1)! $ ( n + k)
( n + k)!
Z
16!
16!
N Z
30
3 13 3 4 12 4
C 5 ( 2x) < C 5 ( 2x)
5 > 2x
x <
16
16 $
] $
4.
3! 13!
12 ! 4 !
O ]
)
C 5 ( 2x) C 5 ( 2x)
16!
!
2x
16 13
3 13 3 2 14 2 o & [
O & [
<
45
x∈ `
15 30
; j
16
16 $
] $ > 15 O ] x >
28 13
\
3! 13!
14! 2!
P \
28
2
=(n+k) 2 .
89
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 89 04.07.2012 17:43:01

4 n-
1
5. mexuTe wevria Cn( 3
4
4
1 n-4
n- -
4
4
4
3
3
x ) $ ` j , e.i. ^x h -
$ x = x = x
x
0 .
n - 4 - 12
=
!
0, n =
16
16.
A
2
16 = =15·16=230.
3
14!
!
6. C 3
C 4
.... C 10
C 0
C 1
C 2
... C 10
C 0
C 1 2 10 10
10 10
10 + 10 + 10 = 10 + 10 + 10 + + 10 - 10 - 10 - C10
= 2 - 1 - 10 - = 2 - 1 - 10 - 45 = 2 - 56.
8! 2!
8. qulaTa jams — 18 gvaZlevs wyvili 9+9=18. e.i. gvaqvs 0-dan 9-mde ricxvebisaTvis CaTvliT
orelementiani qvesimravleebis raodenoba C9
= =36.
2 9!
2! 7!
9. oTxniSna ricxvis bolo cifri unda iyos 5 an 0. unda ganvixiloT cal-calke a) boloSi
0-ia; b) boloSi 5-ia. Tu boloSi aris 0, maSin pirvel adgilze gvaqvs 5 varianti;
meoreze — 4; mesameze — 3, e.i. aseTi ricxvebs raodenobaa 5·4·3=60. Tu boloSi aris 5,
maSin pirvel adgilze 0-ic ver iqneba da miviRebT: 4·4·3=48. sul 108.
pasuxi: 108.
10. yvela SDesaZlo ganlagebaTa ricxvia p 30
=30!. axla vnaxoT, ramdeni ganlagebaa, roca
pirveli da meore tomi erTadaa. warmovidginoT pirveli da meore tomi erT wignad.
miviRebT: 2·p 29
(orze mravldeba imitom, rom sxvadasxva SeerTebaa I, II da II, I) saboloo
pasuxia: p 30
–2p 29
=30!–2·29!=29!·28.
11. 2·p 9
=2·9! (ixileT amocana 10).
3
12. ori fiqsirebuli avtori wers 3-3 Tavs. aq aris variantebis raodenoba A 10 , dar-
2
Ca 10 Tavi. 4 fiqsirebuli avtori wers 2-2 Tavs. Tavebis dajgufebis variantebia A 10
magram es raodenoba unda ganawildes 4 avtorze. aq gadanacvlebaTa raodenobaa
2 10!
A10
= = 90, darCa 2 Tavi. 2 kacze aq 2 variantia.
8!
sul A 3
16 + 90( 89 + 88 + 87)
+
16
2. =14·15(6+90·3·88+2).
13
13. erTsimboloTi Sedgenili aso iqneba 2. ori simboloTi Sedgenili iqneba 2 2 , sami
simboloTi — 2 3 . sul 14.
14.
18!
.
3! 5! 10!
2
15. yvela SesaZlo wyvilTa raodenobaa C 10 , 1-dan 10-mde aris 5 luwi da 5 kenti ricxvi.
2
orive luwia C5
gvinda orive luwi. 2o ⇒ jami luwia 2·C 5
2.
orive kentia C5
2
2 $ C5
2 $ 5! 8!2!
2 $ 3! $ 4 $ 5 $ 8! 4
albaToba iqneba 2 = = = .
C 3!2! 10!
3! 8!
9 10 9
10
$ $
10 !
6 !
16. SesaZlo gadanacvlebaTa ricxvia . xelSemwyob SemTxvevaTa ricxvia . alba-
2! 3!
10!
6!
2! 3!
72
Toba iqneba $ = 2 .
10!
10!
( 10!)
51 51
17. arc erTi ar aris „gulis qali“. albaToba iqneba $ . albaToba imisa, rom erTi
2
52 52
51
mainc aris „gulis qali“, iqneba 1 -
103
2 = 2 .
52 52
25 16
18. a) ; b) ; g) 1 - `
25
+
16
j =
40
.
81 81
81 81 81 50
19. 50-elementian qvesimravleTa ricxvia C 200 . maT Soris iseTi, romelSic arc erTi
90
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 90 02.07.2012 16:49:03

50
ar aris momgebiani iqneba C 180 . albaToba imisa, rom arc erTi ar aris momgebiani, iqneba
50
50
C180
C180
50 . erTi mainc momgebiania, albaToba 1 - 50 .
C200
C200
n-1 20-( n-1)
4
n-1
20. vTqvaT am wevris nomeria n. maSin es wevri ianeba C20
^ x h ^ x h , saidanac mivi-
21-n n-1
2 4
RebT, rom x $ x = x
7
⇒ 41–n=28 ⇒ n=13.
21. C 19 4
19
44 x C 20 4
20
$ = 44 $ x .
44!
19! 25!
4
44!
4 1 1 4 4
=
4 4
x & = x & x = & ` j .
20! 24!
25 20
5 5
0
22. pirobis Tanaxmad, C C .... C n
3n + 1
3n + + 3 3n
= 64 = 2 4
& n = 5, e.i.
k-1
16-k
1
16-k- k+ 1 16-k -2 k-1
^10
- xh $ c 2 m = 10 $ x ^x
h =10 17–2k·x16–k–2x+2 , saidanac miviRebT 18–3k=0 (x-is
10x
koeficienti unda iyos 0). k=6.
23. a) bolo cifris amorCevis 2 variantia. e.i. pirvelisTvis darCa 4 da a.S. pasuxia; 48.
b) pasuxia: 2·5 3 .
24. vTqvaT bolo cifria 0, maSin (ricxvi rom iyofodes 4-ze, bolo cifriT Sedgenili
ricxvi unda iyofodes 4-ze) bolo or adgilze SeiZleba iyos 2 an 4. sul 2 varianti.
radgan bolo cifri fiqsirebulia, darCenili sami adgilisTvis gveqneba:
a)
4·3 ·2·0 =24
. . . .
b)
5· 6· 2· 0 =60
. . . .
.
a) radgan cifrebi ar SeiZleba ganmeordes da mocemuli 6 cifridan (2 ukve CavwereT),
darCa 4, anu pirvel adgilze gvaqvs 4, meoreze 3. variantebis raodenobaa 24. b) pirvel
adgilze ver iqneba 0. e.i. iq gvaqvs 5 varianti, meoreze 6. sul 60 varianti.
vTqvaT boloSi 2-ia, maSin wina cifri kentia, e.i. gvaqvs 3 SemTxveva. analogiuri msjelobiT
miviRebT:
a) 3 3 3 2
. . . .
b) 5 6 3 2
. . . .
.
a) 3·3·3=27; b) 5·6·3=90.
Tu boloSDi 4-ia, bolos wina cifrisTvis gvaqvs ori SemTxveva. . . 0 4 an . . 2 4 .
I. a) 4 3 0 4
. . . .
b) 6 . 6 . 2 . 4
.
II. a) 3 . 3 . 2 . 4
.
SemTxvevebis raodenobaa 12.
36 SemTxveva.
9 SemTxveva. b) 5 6 2 4
. . . .
a) 24+27+12+9=72; b) 60+90+66+30=244.
30 SemTxveva.
Seamowme Seni codna
1. a; 2. b; 3. b; 4. a; 5. d; 6. g; 7. g; 8. b; 9. a.
91
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 91 02.07.2012 16:49:04

damxmare literatura:
92
mascavleblis cigni_XI_kl_cor.indd 92 02.07.2012 16:49:04