Calcolo delle ProbabilitÃ : esercitazione 2

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Calcolo delle Probabilità: esercitazione 2 Esercizio 3 Sul banco di un supermercato ci sono 45 confezioni di latte, delle quali 25 scadono oggi e 20 domani. 1. Si calcoli la probabilità che 2 confezioni estratte senza reinserimento abbiano la stessa data di scadenza. 2. Supponendo di aver estratto 2 confezioni con data di scadenza differente e di aver rimesso sul banco la confezione che scade oggi, si calcoli la probabilità che una confezione scelta a caso scada domani. Soluzione Si indichi con O i l’evento “la i-esima confezione estratta scade oggi” e con. D i l’evento “la i- esima confezione estratta scade domani” (i=1,2). (1.1) La probabilità che le due confezioni estratte abbiano la medesima scadenza è data dalla somma P(O 1 ∩O 2 )+P(D 1 ∩D 2 )=49/99, essendo P(O 1 ∩O 2 )=P(O 2 |O 1 )P(O 1 )=(24/44)(25/45)=10/33 e analogamente P(D 1 ∩D 2 )=P(D 2 |D 1 )P(D 1 )=(19/44)(20/45)=19/99. (1.2) Estratta una confezione che scade domani, la probabilità che una seconda confezione scelta a caso scada domani è pari a P(D 2 |D 1 ) = P(D 2 ∩D 1 )/ P(D 1 ) = (19/44)(20/45)(45/20) = 19/44 Essendo P(D 1 ) = 20/45. Si noti che avendo già estratto una scatola che scade domani ne rimangono 44 sul banco di cui 19 ancora con scadenza domani. Il risultato si può quindi ottenere come rapporto fra casi favorevoli e possibili nella nuova situazione che si origina dopo che una scatola con scadenza domani è stata rimossa dal banco 4
Calcolo delle Probabilità: esercitazione 2 Esercizio 4 Si dimostri che, se P(A) >0, allora P(A∪B) > 0 e P(A∩B | A) ≥ P(A∩B | A∪B). Soluzione A ⊆ A∪B quindi P(A∪B) ≥ P(A) > 0 P(A∩B | A) = P(A∩B) | P(A) ≥ P(A∩B) | P(A∪B) = P((A∩B) ∩ (A∪B)) | P(A∪B) = P(A∩B | A∪B) 5
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Calcolo delle ProbabilitÃ : esercitazione 2

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