Calcolo delle Probabilità : esercitazione 2
Calcolo delle Probabilità : esercitazione 2
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<strong>Calcolo</strong> <strong>delle</strong> Probabilità: <strong>esercitazione</strong> 2<br />
Argomento: eventi indipendenti ed incompatibili, probabilità dell’evento unione e<br />
complementare, probabilità condizionata, principio della probabilità composta. Paragrafi<br />
3.2, 3.3, 3.4 e 3.5 libro di testo.<br />
NB: assicurarsi di conoscere le definizioni, le proprietà richiamate e le relative dimostrazioni<br />
quando necessario<br />
Esercizio 1<br />
Sapendo che A, B e C sono tre eventi tali che P(A) = 0.6, P(B) = 0.65, P(C) = 0.5,<br />
P(A∩B) = 0.55, P(A∩C) = 0.4, P(B|C) = 0.9 e P(B|A∩C) = 0.875,<br />
1. si calcolino P(A|B) e P(B|A);<br />
2. si stabilisca se A e B sono incompatibili, motivando la risposta; si ripeta l’esercizio per gli<br />
eventi A e C<br />
3. si stabilisca se A e B sono indipendenti, motivando la risposta; si ripeta l’esercizio per gli<br />
eventi A e C<br />
4. si calcoli P(C|B);<br />
5. si calcoli P(A∩B∩C).<br />
Soluzione<br />
1. Si ricordi che P(A|B) = P(A∩B) / P(B)<br />
per definizione di probabilità condizionata dell’evento A all’evento B.<br />
Si ottiene quindi P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.55/0.65 = 0.846.<br />
Analogamente per P(B|A) si ha: P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = 0.55/0.6 = 0.917;<br />
2. A e B non sono incompatibili.<br />
Infatti se A e B fossero incompatibili allora A∩B=∅ per definizione di eventi<br />
incompatibili. Si avrebbe dunque che P(A∩B) = P(∅) = 0 ma P(A∩B) = 0.55 e quindi<br />
A∩B≠∅<br />
Il lettore si accerti di saper verificare che P(∅) = 0 (si veda libro di testo pag. 85)<br />
3. A e B non sono indipendenti.<br />
Infatti se A e B fossero stocasticamente indipendenti allora P(A∩B)=P(A)P(B) per<br />
definizione di indipendenza stocastica (paragrafo 3.5 libro di testo).<br />
Ma dai dati dell’esercizio si ottiene P(A)P(B)=0.6×0.65=0.39 ≠ 0.55= P(A∩B).<br />
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<strong>Calcolo</strong> <strong>delle</strong> Probabilità: <strong>esercitazione</strong> 2<br />
4. Per determinare la probabilità ricercata si consideri che<br />
P(C ∩ B) P(C) 0.5<br />
P (C | B) = = P(B | C) = 0.9 = 0.692.<br />
P(B)<br />
P(B) 0.65<br />
Nella prima uguaglianza è stata applicata la definizione di probabilità condizionata, mentre<br />
nella seconda il principio della probabilità composta (pag. 97-98 del libro di testo).<br />
La prima uguaglianza potrebbe essere rimossa applicando il teorema di Bayes (pag. 99-100<br />
del libro di testo) al caso particolare di un’unica causa C ottenendo direttamente<br />
P(C) 0.5<br />
P (C | B) = P(B | C) = 0.9 = 0.692 .<br />
P(B) 0.65<br />
5. Per determinare P(A∩B∩C) si ponga per comodità A∩C = E e quindi B∩E = A∩B∩C<br />
per la commutatività e l’associatività dell’intersezione fra insiemi (si veda libro di testo<br />
paragrafo 2.2).<br />
Si ottiene dunque:<br />
P(A∩B∩C) = P(B∩E) = P(B|E) P(E) = P(B|A∩C) P(A∩C) = 0.4 × 0.875=0.35.<br />
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<strong>Calcolo</strong> <strong>delle</strong> Probabilità: <strong>esercitazione</strong> 2<br />
Esercizio 2<br />
Siano A e B due eventi con probabilità pari rispettivamente a 1/2 e 1/3. Si calcoli la<br />
probabilità dell’unione dei due eventi in ciascuno dei seguenti casi:<br />
1. A e B sono incompatibili;<br />
2. A e B sono indipendenti;<br />
3. P(A | B) = 1/4.<br />
Soluzione<br />
Posto P(A) = ½ e P(B) = 1/3, si ha:<br />
1. due eventi sono incompatibili se A∩B = ∅ ovvero i due eventi non possono verificarsi<br />
contemporaneamente.<br />
Se A e B sono incompatibili allora P(A∩B)=P(∅)=0.<br />
L’ultima uguaglianza discende direttamente dalla definizione di probabilità (si veda libro<br />
di testo pag. 85)<br />
Essendo P(A∪B) = P(A)+P(B) – P(A∩B) (si veda libro di testo pagina 87)<br />
Ne discende P(A∪B)= P(A) + P(B) = 5/6;<br />
Alla stessa conclusione si giunge direttamente invocando l’assioma <strong>delle</strong> probabilità totali<br />
(pag 85 libro di testo) nel caso di due eventi<br />
2. Se A e B sono indipendenti allora P(A∩B)=P(A)P(B) (si veda pag 105 libro di testo).<br />
Si ottiene dunque: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(A) P(B) = 2/3;<br />
3. P(A | B) = ¼ occorre determinare P(A∪B).<br />
Per definizione di probabilità condizionata si ha:<br />
P(A | B)=P(A∩B)/P(B) (pag. 94 del libro di testo)<br />
da cui<br />
P(A∩B) = P(B)P(A | B).<br />
Si ottiene quindi<br />
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(B)P(A | B) =<br />
1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 1 3 2 + 1 3<br />
= P(A) + P(B) (1– P(A | B)) = + ⎜1<br />
− ⎟ = + = = .<br />
2 3 ⎝ 4 ⎠ 2 3 4 4 4<br />
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<strong>Calcolo</strong> <strong>delle</strong> Probabilità: <strong>esercitazione</strong> 2<br />
Esercizio 3<br />
Sul banco di un supermercato ci sono 45 confezioni di latte, <strong>delle</strong> quali 25 scadono oggi e 20<br />
domani.<br />
1. Si calcoli la probabilità che 2 confezioni estratte senza reinserimento abbiano la stessa data<br />
di scadenza.<br />
2. Supponendo di aver estratto 2 confezioni con data di scadenza differente e di aver rimesso<br />
sul banco la confezione che scade oggi, si calcoli la probabilità che una confezione scelta a<br />
caso scada domani.<br />
Soluzione<br />
Si indichi con O i l’evento “la i-esima confezione estratta scade oggi” e con. D i l’evento “la i-<br />
esima confezione estratta scade domani” (i=1,2).<br />
(1.1) La probabilità che le due confezioni estratte abbiano la medesima scadenza è data<br />
dalla somma P(O 1 ∩O 2 )+P(D 1 ∩D 2 )=49/99,<br />
essendo P(O 1 ∩O 2 )=P(O 2 |O 1 )P(O 1 )=(24/44)(25/45)=10/33<br />
e analogamente P(D 1 ∩D 2 )=P(D 2 |D 1 )P(D 1 )=(19/44)(20/45)=19/99.<br />
(1.2) Estratta una confezione che scade domani, la probabilità che una seconda confezione<br />
scelta a caso scada domani è pari a<br />
P(D 2 |D 1 ) = P(D 2 ∩D 1 )/ P(D 1 ) = (19/44)(20/45)(45/20) = 19/44<br />
Essendo P(D 1 ) = 20/45.<br />
Si noti che avendo già estratto una scatola che scade domani ne rimangono 44 sul<br />
banco di cui 19 ancora con scadenza domani. Il risultato si può quindi ottenere come<br />
rapporto fra casi favorevoli e possibili nella nuova situazione che si origina dopo che<br />
una scatola con scadenza domani è stata rimossa dal banco<br />
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<strong>Calcolo</strong> <strong>delle</strong> Probabilità: <strong>esercitazione</strong> 2<br />
Esercizio 4<br />
Si dimostri che, se P(A) >0, allora P(A∪B) > 0 e P(A∩B | A) ≥ P(A∩B | A∪B).<br />
Soluzione<br />
A ⊆ A∪B quindi P(A∪B) ≥ P(A) > 0<br />
P(A∩B | A) = P(A∩B) | P(A) ≥ P(A∩B) | P(A∪B) = P((A∩B) ∩ (A∪B)) | P(A∪B)<br />
= P(A∩B | A∪B)<br />
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<strong>Calcolo</strong> <strong>delle</strong> Probabilità: <strong>esercitazione</strong> 2<br />
Esercizio 5<br />
Gli studenti presenti in aula nell’<strong>esercitazione</strong> odierna sono 22. Assumendo che non esistano<br />
anni bisestili, calcolare la probabilità che 2 di essi compiano gli anni nello stesso giorno.<br />
Gli studenti presenti in classe nella lezione di <strong>Calcolo</strong> <strong>delle</strong> probabilità dello scorso martedì<br />
erano 28. Si calcoli la probabilità che almeno due di compiano gli anni nella stesa data.<br />
(il problema presentato in questo esercizio è noto in letteratura come il problema dei<br />
compleanni)<br />
Soluzione<br />
Sia E l'evento: "almeno due studenti compiono gli anni nello stesso giorno".<br />
Si consideri l'evento complementare E : "tutti gli studenti compiono gli anni in giorni<br />
diversi".<br />
P( E ) si ottiene dalla definizione classica di probabilità come ( E)<br />
#casi favorevoli<br />
P =<br />
#casi possibili<br />
Eventi favorevoli sono pari a D 365,22 , numero <strong>delle</strong> disposizioni semplici dei 365 giorni<br />
dell'anno presi a gruppi di 22,<br />
Eventi possibili sono pari a D (r) 365,22, numero <strong>delle</strong> disposizioni con ripetizione dei 365 giorni<br />
dell'anno presi a gruppi di 22.<br />
Quindi P( E)<br />
da cui P( E) = 1−<br />
P( E)<br />
365×<br />
364 × 363×<br />
L<br />
=<br />
22<br />
365<br />
( 365 − 22 + 1)<br />
365×<br />
364 × 363×<br />
L<br />
= 1−<br />
22<br />
365<br />
( 365 − 22 + 1)<br />
=0.476<br />
Nel caso di 28 studenti si ha P(E)≈ 65.4%.<br />
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<strong>Calcolo</strong> <strong>delle</strong> Probabilità: <strong>esercitazione</strong> 2<br />
Esercizio 6<br />
Si consideri un gioco che consiste nel lanciare ripetutamente per due volte un dado regolare le cui<br />
facce sono contrassegnate con i numeri da 1 a 6. Si consideri la somma dei punteggi ottenute nelle due<br />
prove.<br />
1. Qual è il valore della somma dei punteggi che ha probabilità più elevata?<br />
2. Se vi fosse richiesto di scommettere su quale valore della somma risulterà dal giocare una volta a<br />
questo gioco, qual è il punteggio sul quale non scommettereste e perché?<br />
3. Scommettereste sull’uscita del valore 1 come esito del gioco? Perché?<br />
Soluzione<br />
1) somma=7 (6 casi favorevoli su 36 possibili)<br />
2) 2, 12<br />
3) ☺ …ma dai!!!<br />
Esercizio 7<br />
Se decideste di giocare 5 numeri al Lotto, qual è la probabilità che avete di fare cinquina?<br />
Soluzione<br />
⎛90 ⎞<br />
1/ ⎜ ⎟ =1/ 43.949.268=0,0000000227 (☹ …meglio studiare e laurearsi in statistica!!!)<br />
⎝ 5 ⎠<br />
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