Computer algebra e calcolo infinitesimale.pdf - Matematica

y = x 2 , x 3 , x 4 , …, x n
nel generico punto di ascissa x. Per esempio:
Si giunge in breve tempo alla generalizzazione:
ƒ(x) = x n → m(x) = n x n–1 .
Da qui alla congettura più generale sulla funzione m(x) (che diventerà poi la funzione
derivata) per un polinomio qualsiasi il passo è breve.
Usiamo ancora il metodo di approssimazione per le funzioni 1/x e x .
Per 1/x la congettura sulla forma generale di m(x) non è difficile:
1
m(x) : x → −
x 2
,
e si può facilmente dimostrare con il teorema di Ruffini.
Insisto nel dire che formulare congetture è per gli allievi un’attività molto stimolante e
didatticamente importante, soprattutto per quelli più deboli, che sentono in qualche modo di
poter padroneggiare la disciplina.
Per x le congetture non sono facili. È forse il momento di accettare il suggerimento di
qualche allievo (il solito "spregiudicato") che propone la generalizzazione
m(x) = n x n–1 .
anche per esponenti n negativi o razionali.
Il fatto importante è che per curve algebriche ogni congettura può essere dimostrata o refutata:
è sufficiente controllare se funzione e retta hanno due soluzioni coincidenti nel punto fissato.
Per consolidare il concetto di pendenza è necessario ricorrere continuamente al grafico, e
verificare i risultati via via ottenuti. Per esempio, se la pendenza di 1/x è –1/x 2 , allora nel
punto di ascissa 2 la pendenza è –1/4, e l'equazione della retta tangente è
1 1 1
y = m (x – x 0 ) + ƒ(x 0 ) = − ( x− 2) + = − x+
1
4 2 4
La pendenza (funzioni trascendenti)
La definizione algebrica di retta tangente è inutilizzabile per le funzioni trascendenti, per le
quali il concetto di molteplicità di uno zero non è recuperabile (se non sviluppando la
funzione in serie di potenze). Diventa necessario quindi ricorrere ad una nuova definizione di
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