Configurazioni geometriche sulla quadrica di Klein e relativi piani di ...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI
Dottorato di Ricerca in Matematica
XXIV Ciclo – A.A. 2010/2011
Settore Scientifico-Disciplinare:
MAT/03 – Geometria
Tesi di Dottorato
Configurazioni geometriche
sulla quadrica di Klein
e relativi piani di traslazione
Candidato:
Daniela EMMA
Supervisori della tesi:
Proff. V. ABATANGELO, B. LARATO
Coordinatore del Dottorato di Ricerca:
Prof. L. LOPEZ

iii
Dedicato ai miei Professori
V.Abatangelo e B.Larato...
...per tutto quello che mi hanno insegnato....

Indice
1 Preliminari 1
1.1 Generalità sui campi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Automorfismi di un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Equazioni di secondo grado sui campi finiti . . . . . . . . . . . 11
1.4 Generalità sugli spazi proiettivi su campi finiti . . . . . . . . . . 15
1.5 Quadriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Collineazioni e Correlazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Rappresentazione delle rette di PG(3,q) sulla quadrica di Klein 31
2.1 La quadrica di Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Coppie di rette complanari o sghembe di PG(3,q) sulla quadrica
di Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Complessi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Fibrazioni in rette di P G(3, q) ed ovoidi sulla quadrica di Klein 43
2.5 Rappresentazione del gruppo alterno A 6 come gruppo lineare
che conserva la quadrica di Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Piani di traslazione di ordine q 2 e quadrica di Klein 47
3.1 Generalità sui piani di traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Rappresentazione dei piani di traslazione
di ordine q 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Piani di traslazione di ordine q 2 associati a catene di cerchi 53
4.1 Generalità sulle catene di cerchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Esempi noti di catene di cerchi e di piani di traslazione associati 55
4.3 Caso q = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Caso q = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5 Caso q = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

vi
Indice
4.6 Caso q = 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.7 Caso q = 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.8 Caso q = 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.9 Caso q = 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.10 Caso q = 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.11 Caso q = 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.12 Caso q = 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Piani di traslazione di ordine q 2 associati ad ovoidi A 6 -invarianti 61
5.1 Classificazione di Ostrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 I piani di Mason e di Nakagawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 I piani di Biliotti-Korchmáros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Classificazione completa dei piani di traslazione di ordine 23 2 il
cui complemento di traslazione contiene un sottogruppo G tale
che G/Z(G) ∼ = A 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A 81

Introduzione
La presente tesi si colloca nella teoria dei piani di traslazione, tematica centrale
e ampiamente studiata nelle geometrie combinatorie, come testimoniato
tra l’altro dai due volumi di M. Biliotti, V. Jha e N.L. Johnson ”Foundations
of Translation Planes”, Marcel Dekker Inc. (2002), pp. 542, e ”Handbook of
Finite Translation Planes”, Chapman and Hall/CRC (2007), pp. 880.
Una informazione fondamentale per un piano affine o proiettivo è la conoscenza
del suo gruppo di collineazioni. L’esistenza di collineazioni centrali equivale
alla validità di determinate istanze del teorema di Desargues. Questa osservazione
di R. Baer diede inizio ad uno studio dei piani proiettivi basato sulla
nozione di (C,l)-transitività, essendo C un punto e l una retta, come evidenziato
nell’introduzione alla monografia di P.Dembowski [20]. Un piano risulta
essere di traslazione se esiste una retta l per la quale il piano è (C,l)-transitivo
per ogni punto C su l. Pertanto un tale piano risulta ricco di collineazioni e
quindi somigliante ad un piano desarguesiano. In altre parole, nella cosidetta
classificazione di Lenz-Barlotti ([20], 3.1.20) i piani di traslazione occupano un
posto molto alto nella gerarchia, trovandosi appena al di sotto della classe dei
piani di Moufang, la quale addirittura coincide con la classe dei piani desarguesiani
nel caso finito.
Ciò si riflette anche nelle coordinate, che per un piano di traslazione formano
un quasicorpo ([20], 3.1.22(c)), una struttura algebrica alla quale manca qualcosa
per essere un corpo (una proprietà distributiva e/o la proprietà associatva
della moltiplicazione).
Un piano di traslazione π, di ordine q 2 sopra un campo di Galois GF (q) con
q potenza di un numero primo p, è la struttura di incidenza che si ottiene
da una fibrazione dello spazio vettoriale V (4, q) di dimensione 4 sopra GF (q).
Qui una fibrazione di V (4, q) è una partizione dell’insieme dei vettori non nulli
di V (4, q) in q 2 + 1 sottospazi vettoriali di dimensione 2, detti componenti.
I punti di π sono i vettori di V (4, q) e le rette di π sono i componenti e i
loro traslati. Gli automorfismi lineari (detti anche collineazioni lineari) di π

viii
Introduzione
sono quelle affinità dello spazio affine associato a V (4, q) che mandano componenti
in componenti. Quelle che fissano il vettore nullo permutano fra loro i
componenti e costituiscono un gruppo di applicazioni lineari di V (4, q), detto
complemento di traslazione di π.
Un modo efficace di costruire piani di traslazione dotati di un dato complemento
di traslazione G si articola attraverso la soluzione dei seguenti problemi:
(i) Costruire tutte le orbite nella rappresentazione di G come gruppo di
permutazione sull’insieme di tutti i sottospazi bidimensionali di V (4, q).
(ii) Determinare quelle orbite che sono composte da sottospazi che a due a
due si intersecano soltanto nel vettore nullo; queste orbite si chiamano
fibrazioni parziali G-invarianti.
(iii) Determinare le coppie di fibrazioni parziali G-invarianti compatibili, ovvero
le coppie di fibrazioni parziali G-invarianti la cui unione è ancora
una fibrazione parziale.
(iv) Costruire il grafo Γ i cui vertici sono le fibrazioni parziali G-invarianti;
due vertici sono adiacenti se le rispettive fibrazioni sono compatibili. Il
peso di un vertice di Γ è dato dal numero dei sottospazi che compongono
la fibrazione parziale rappresentata dal vertice.
(v) Determinare i sottografi completi di Γ; un tale sottografo completo determina
una fibrazione se e solo se la somma dei pesi dei suoi vertici è
uguale a q 2 + 1.
Lo studio dei problemi (i) e (ii) si avvale del supporto della teoria delle
rappresentazioni lineari dei gruppi. A questo riguardo, T.G. Ostrom [44] ha
dato una classificazione completa dei gruppi lineari irriducibili G di V (4, q)
con p ∤ |G| che sono suscettibili di essere un sottogruppo nel complemento di
traslazione di un piano di traslazione π. Sia Ḡ il gruppo quoziente di G rispetto
al sottogruppo delle applicazioni lineari rappresentate dalle matrici scalari,
ossia quelle del tipo λI essendo I la matrice identica di ordine 4. Ostrom
ha dimostrato che se Ḡ è perfetto, ovvero coincide con il suo sottogruppo dei
commutatori, i casi in cui Ḡ risulta ”ampio” sono soltanto due, ossia Ḡ ∼ = A 6
oppure Ḡ contiene un sottogruppo abeliano elementare Ē di ordine 16 in modo
che il gruppo quoziente Ḡ/Ē ∼ = A 5 . Quest’ultimo caso è stato studiato da
Ostrom e Mason [41] che hanno costruito numerosi esempi.

Introduzione
ix
Nell’ordine di idee di Ostrom, il risultato principale della presente tesi è la
classificazione completa dei piani di traslazione di ordine 23 2 tali che Ḡ contiene
un sottogruppo isomorfo al gruppo alterno A 6 . A meno di isomorfismi, esistono
esattamente 23 piani siffatti. Per 6 di essi, Ḡ è isomorfo al gruppo simmetrico
S 6 .
Nessuno dei 23 piani ottenuti era già stato costruito in precedenza con altri
metodi.
Ringraziamenti
Desidero innanzitutto ringraziare il Prof. Abatangelo e la Prof.ssa Larato per i
preziosi insegnamenti, la totale disponibilità e l’affetto durante questi tre anni
di dottorato, ed in particolare per le numerose volte che mi hanno incoraggiata
ed accompagnata durante tutte le prove di questo percorso.
Ringrazio anche il Prof. Korchmáros per avermi dato utili suggerimenti durante
il lavoro di ricerca contenuto in questa tesi.
Intendo, poi, ringraziare tutti i miei colleghi che mi hanno fornito i supporti
tecnici per la stesura della stessa, in particolare Angelo, Letizia e Luca.
Infine desidero ringraziare con immenso amore tutta la mia famiglia ed in
particolare vorrei dire a mio marito Luca ed al mio bellissimo figlio Giuseppe:
GRAZIE PER LA PAZIENZA.

Capitolo 1
Preliminari
1.1 Generalità sui campi finiti
Le definizioni delle strutture algebriche fondamentali sono considerate note;
tuttavia sarà opportuno richiamarne alcune per evidenziare certi aspetti di
queste nozioni che saranno utilizzati nel seguito. Come riferimento generale,
ed in particolare per le dimostrazioni omesse, si rinvia ai classici volumi di
J.W.P. Hirschfeld, [26] e [27], di D.R.Hughes e F.C. Piper, [28].
Definizione 1.1.1. Si chiama campo un insieme K non vuoto dotato di due
operazioni interne +, · che verificano le seguenti proprietà:
a. (K,+) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0;
b. (K 0 ,·) è un gruppo abeliano con elemento neutro 1, dove
K 0 =K - {0};
c. per ogni x,y,z in K: x · (y+z) = xy + xz.
Un campo K con un numero finito di elementi si dice finito e la cardinalità di
K si chiama ordine del campo.
Definizione 1.1.2. Si chiama sottocampo di un campo (K, + , ·) un qualsiasi
sottoinsieme K’ di K che sia a sua volta un campo rispetto alle ridotte delle
restrizioni su K’ delle operazioni + e ·.
L’intersezione di una qualsiasi famiglia (finita o non finita) di sottocampi
è ancora un campo; pertanto è un campo anche l’intersezione della famiglia di
tutti i sottocampi di un campo assegnato (finito oppure non finito); il campo

2 Capitolo 1. Preliminari
intersezione di tutti i sottocampi di un campo K è ovviamente il campo più
piccolo (rispetto all’inclusione) contenuto in K e viene detto il campo primo
di K .
Questa proprietà può essere formulata anche in modo più generale:
Definizione 1.1.3. Si chiama campo primo di un corpo l’intersezione di tutti
i sottocorpi di un corpo.
Tra i sottocorpi di un corpo c’è anche il centro del corpo che è un campo;
questo comporta che l’intersezione di tutti i sottocorpi sia un campo.
D’ora in poi sarà utilizzata sempre la struttura di campo e non strutture più
generali (corpo, quasi-field, prequasi-field, semi-field, near-field, anello ternario).
Queste strutture verificano assiomi più deboli di quelli della struttura di
campo e, per questa ragione, sono anche più generali. E’ opportuno ricordare
il seguente:
Teorema 1.1.4. (Teorema di Wedderburn, 1905) - Ogni corpo finito è un
campo.
Tornando alla nozione di campo primo, si può enunciare la seguente
Proposizione 1.1.5. Gli unici campi primi sono il campo Q dei numeri
razionali e i campi Z p delle classi dei resti , con p numero primo.
Da questo risultato scaturisce la fondamentale nozione di caratteristica di un
campo (anche di un corpo).
Definizione 1.1.6. - Si dice che un campo K ha caratteristica p se il suo
sottocampo primo è Z p ; si dice, invece, che un campo K ha caratteristica
zero se il suo sottocampo primo è Q .
Ora conviene vedere più da vicino il significato della caratteristica di un
campo. È ovvio che nel campo Q dei numeri razionali non è possibile ottenere
0 (l’elemento neutro dell’addizione) sommando un certo numero di volte 1
con se stesso ( 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione). Questo si verifica,
invece, nel campo Z p ; infatti in un tale campo sommando p volte 1 si ottiene
sempre 0 (basta applicare la definizione di Z p ) . Anzi questa proprietà vale
per qualsiasi elemento del campo Z p , cioè
∀ a ∈ Z p : a
}
+ a +
{{
· · · + a
}
= 1a+1a+· · ·+1a = (1+1+· · ·+1)a = p·a = 0·a = 0 .
p−volte

1.1. Generalità sui campi finiti 3
Inoltre, se a è un qualsiasi elemento non nullo di Z p
intero relativo non nullo, si ha che
ed m è un qualsiasi
m · a = 0 ⇔ ∃ h ∈ Z t.c. m = h · p .
I polinomi in una variabile oppure in più variabili a coefficienti in un campo
K sono definiti nel modo usuale; in particolare i polinomi in una sola variabile
a coefficienti nel campo K sono espressioni del tipo
f(x) = a 0 + a 1 x + . . . + a n−1 x n−1 + a n x n
dove gli a i (i = 0, 1, · · · , n) sono elementi del campo K e si chiamano
coefficienti del polinomio f(x) , mentre x è una indeterminata. Ovviamente
accade spesso che un polinomio sia identificato con la funzione polinomiale che
esso determina; in realtà si dovrebbe identificare il polinomio esclusivamente
con la successione (definitivamente nulla) dei suoi coefficienti.
Le operazioni con i polinomi sono quelle ben note. Conviene ricordare che
un polinomio f(x) si dice riducibile se lo si può esprimere come prodotto di
due polinomi di grado strettamente minore di quello di f(x) e che si chiama
campo di spezzamento di f(x) sopra il campo K un campo F che abbia
K come sottocampo e che verifichi le due proprietà seguenti:
1. f(x) si esprime come prodotto di polinomi di primo grado a coefficienti
in F ;
2. nessun sottocampo di F verifica la proprietà precedente.
A questo proposito sussiste la seguente
Proposizione 1.1.7. Dati un campo K e un polinomio f(x) irriducibile
sopra K, esiste sempre un campo di spezzamento F di f(x) sopra il campo
K e tale F è unico a meno di isomorfismi.
La classificazione di tutti i campi finiti e la determinazione della loro struttura
è resa possibile dalle idee di Evariste Galois (1811-1832), il cui nome compare
addirittura nella terminologia oggi più frequentemente utilizzata per indicare
un campo finito.

4 Capitolo 1. Preliminari
Proposizione 1.1.8. Sia p un numero primo e sia q = p n ; a meno di
isomorfismi, esiste un unico campo costituito da q elementi, detto il campo
di Galois di ordine q e denotato con GF (q) ; ogni campo finito è isomorfo
ad un campo GF (q) . Inoltre
1. GF (q) ha caratteristica p ;
2. il gruppo moltiplicativo di GF (q) è ciclico (di ordine q − 1) ;
3. se p = 2 ogni elemento di GF (q) è un quadrato, mentre se p > 2
esattamente la metà degli elementi non nulli di GF (q) sono quadrati;
4. ogni elemento di GF (q) si può esprimere come somma di al più due
quadrati di GF (q) .
Dimostrazione. Si dimostra solo l’ultima di queste proprietà. L’asserto è verificato
in modo ovvio nel caso della caratteristica pari perché l’applicazione
x −→ x 2 è un automorfismo del campo. Nel caso della caratteristica dispari
è noto che metà degli elementi non nulli sono quadrati, quindi bisogna dimostrare
l’asserto solo per la metà degli elementi non nulli che non sono quadrati.
Sia q = p n , p dispari e sia z ∈ GF (q) che non sia un quadrato e neppure
somma di due quadrati: si perviene ad un assurdo. Si osserva subito che il
prodotto di due quadrati risulta essere ancora un quadrato, come pure l’inverso
di un quadrato; pertanto i quadrati di GF (q) formano un sottogruppo di
indice due del gruppo moltiplicativo del campo. Di conseguenza il prodotto
di un quadrato e di un non quadrato è un non quadrato e il prodotto di due
non quadrati è un quadrato; anzi si ha che moltiplicando un non quadrato
prefissato per ciascun quadrato si descrive l’intero insieme dei non quadrati.
Ora si può verificare che non solo l’elemento z di GF (q) ma anche tutti gli
altri non quadrati non possono essere scritti come somma di due quadrati in
GF (q) . Infatti se y ∈ GF (q) è un non quadrato, da una parte si potrebbe
dire che certamente esiste un quadrato x 2 ∈ GF (q) tale che sia y = z · x 2 ;
d’altra parte, se lo stesso y si potesse scrivere come y = a 2 + b 2 , si avrebbe
che z · x 2 = y = a 2 + b 2 e, quindi, che z = (a/x) 2 + (b/x) 2 che contraddice
quanto ipotizzato a proposito dello stesso z . Dunque se esiste un elemento
z ∈ GF (q) , non quadrato, che non sia somma di due quadrati, allora nessun
non quadrato può essere, a sua volta, somma di due quadrati. Ma da questo
segue immediatamente che la somma di due qualsiasi quadrati di GF (q) deve
essere necessariamente ancora un quadrato di GF (q) e, quindi, i quadrati di
GF (q) costituiscono un sottocampo di GF (q). Poichè il numero dei quadrati

1.1. Generalità sui campi finiti 5
di GF (q) è esattamente 1 + (q − 1)/2 = (q + 1)/2 = (p n + 1)/2, che non è
mai potenza di p, abbiamo una contraddizione .
Da questi risultati si deduce che non esistono campi aventi per ordine un
numero che non sia primo oppure potenza di un numero primo.
Osservazione 1.1.9. Tutti i numeri dispari q > 2 si suddividono in due
grandi classi a seconda che sia q ≡ 1 (mod 4) oppure q ≡ 3 (mod 4). Nelle
due situazioni si ha che l’elemento −1 del campo GF (q) è un quadrato oppure
no. Precisamente −1 è un quadrato in GF (q) se q ≡ 1 (mod 4), mentre
non lo è se q ≡ 3 (mod 4). Infatti, ricordando che il gruppo moltiplicativo di
GF (q) è ciclico di ordine q − 1, se g è un suo generatore, si ha che
Ma ora si osserva che
(−1) 2 = 1 = g q−1 ⇔ −1 = g (q−1)/2 .
q ≡ 1 (mod 4) ⇔ ∃ h ∈ Z t.c. q = 4h + 1 ⇔ ∃ h ∈ Z t.c. (q − 1)/2 = 2h ;
mentre
q ≡ 3 (mod 4) ⇔ ∃ h ∈ Z t.c. q = 4h+3 ⇔ ∃ h ∈ Z t.c. (q −1)/2 = 2h+1 ;
da ciò si deduce che −1 = g 2h nel primo caso e, perció, è un quadrato, mentre
non lo è nel secondo. Conviene osservare esplicitamente che questa situazione
non dipende dal particolare generatore che viene utilizzato per rappresentare
il gruppo ciclico GF (q) ∗ .
L’ampliamento algebrico semplice di un campo si ottiene come segue.
Sia K un campo (non importa che sia finito) e sia p(x) un polinomio
irriducibile di grado h ≥ 2 sul campo K . Si considera l’ideale principale
(bilatero) (p(x)) . Dal momento che il polinomio non è riducibile sul campo
K, si ha che questo ideale risulta massimale; ne consegue che l’anello quoziente
F = K/(p(x)) è un campo a sua volta. Il campo F contiene propriamente
il campo K perché i suoi elementi possono essere rappresentati da tutti i
polinomi di grado strettamente minore del grado h di p(x) . Tutto questo
giustifica alcuni dei risultati enunciati qui di seguito.
Definizione 1.1.10. Si dice che un campo F è una estensione algebrica semplice
di grado n del campo K se F = K/(p(x)) essendo p(x) un polinomio a
coefficienti in K che sia irriducibile sullo stesso campo K.

6 Capitolo 1. Preliminari
Per i campi di Galois, sussiste anche la seguente
Proposizione 1.1.11. Se p è un numero primo, allora il campo GF (p n )
ha un sottocampo isomorfo a GF (p m ) se e solo se m divide n; in tal caso
il sottocampo è unico.
Esempio 1.1.12. Per ampliare il campo GF (2) = Z 2 si utilizza un polinomio
p(x) irriducibile su GF (2) . Se questo polinomio ha grado 2 si ottiene il
campo GF (4) , se il polinomio ha grado 3 si ottiene il campo GF (8) , se il
polinomio ha grado 4 si ottiene il campo GF (16) e così via. Ovviamente
GF (16) potrebbe essere ottenuto anche in altro modo: ampliando GF (4)
mediante un polinomio di grado 2 a coefficienti in GF (4) e irriducibile
sullo stesso GF (4) . La proposizione 1.1.8 dice che i due campi così ottenuti,
sebbene diversi da un punto di vista puramente insiemistico, sono tuttavia
isomorfi, cioè sono strutturalmente uguali; anzi, forse si potrebbero trovare
anche altri metodi per ottenere un campo con 16 elementi, ma qualunque
costruzione porterebbe comunque ad un campo isomorfo al campo GF (16)
ottenuto mediante un polinomio irriducibile di quarto grado a coefficienti in
GF (2) .
Da quanto precede si deduce che per utilizzare GF (16) o qualsiasi altro
campo di Galois è sempre necessario dichiarare esplicitamente in quale modo il
campo sia stato ottenuto, allo scopo di sapere come sono definite le operazioni
di campo in quel particolare ambito. A proposito della proposizione 1.1.11, si
osserva che per ampliare GF (4) è necessario utilizzare almeno una equazione
di secondo grado (una equazione di primo grado ammette sempre soluzione
nello stesso campo dei coefficienti). Pertanto si otterrà un campo con almeno
16 elementi, questo dimostra che GF (4) non può essere sottocampo di
GF (8), infatti 4 = 2 2 , 8 = 2 3 e l’esponente 2 non divide l’esponente 3 .
Osservazione 1.1.13. L’ampliamento, per esempio, di GF (2) per ottenere
GF (4) richiede l’utilizzo di un polinomio di secondo grado a coefficienti in
GF (2) ma che sia irriducibile sullo stesso GF (2) . Il procedimento logico è
perfettamente analogo a quello che si utilizza per ampliare il campo R dei
numeri reali per ottenere il campo C dei numeri complessi. Questo procedimento
non può essere iterato per ampliare ulteriormente il campo C perché è
noto che il campo C è algebricamente chiuso (Teorema Fondamentale dell’Algebra),
cioè ogni polinomio in una indeterminata a coefficienti in C si può

1.1. Generalità sui campi finiti 7
scomporre in fattori di primo grado. Un campo algebricamente chiuso non
può essere costituito da un numero finito di elementi, pertanto un campo di
Galois non è mai algebricamente chiuso. In effetti, in qualsiasi campo di Galois
GF (q) si può considerare un polinomio di grado almeno 2 , a coefficienti
in GF (q) e irriducibile su GF (q): un tale polinomio consente di ampliare
GF (q) .
Da ciò segue che la chiusura algebrica di un qualsiasi campo di Galois deve
essere necessariamente un campo non finito.
Tutto questo ha conseguenze sulla nozione di caratteristica di un campo.
Infatti, mentre è ovvio che un campo finito debba avere necessariamente caratteristica
positiva (dal momento che non può contenere un campo isomorfo
al campo razionale Q che non è finito), un campo non finito può avere come
campo primo tanto Q (in tal caso la sua caratteristica è 0), quanto un campo
Z p (in tal caso ha caratteristica positiva p ).

1.2. Automorfismi di un campo 9
1.2 Automorfismi di un campo
Un altro aspetto importante della teoria dei campi è quello relativo ai suoi
automorfismi. Un automorfismo di un campo K (finito oppure non finito) è
un isomorfismo del campo K in se stesso. L’insieme degli automorfismi di
un campo K si denota con Aut(K) e risulta essere un gruppo rispetto alla
composizione delle applicazioni.
Se α ∈ Aut(K), utilizzeremo la notazione esponenziale per indicare l’azione di
α sugli elementi di K, in altre parole se x ∈ K allora x α indica l’immagine
dell’elemento x mediante α.
Le principali proprietà di Aut(K) sono elencate nella seguente
Proposizione 1.2.1. Siano p un numero primo, q = p n
di Galois, allora:
e GF (q) campo
1. Aut(GF (q)) è un gruppo ciclico; tale gruppo è generato dall’automorfismo
α : x → x p ;
2. se K è il campo dei numeri razionali oppure il campo dei numeri reali,
allora Aut(K) = 1 ;
3. se K è il campo dei numeri complessi, allora Aut(K) contiene
c : x + iy → x − iy ;
4. se K è un campo e Λ è un suo gruppo di automorfismi di ordine n ,
allora l’insieme F formato da tutti gli elementi lasciati fissi da Λ è
un sottocampo di K e lo stesso K è spazio vettoriale di dimensione
n sopra F ;
5. se l’elemento d non è un quadrato nel campo F e K = F( √ d) è il
campo formato da tutti gli elementi del tipo x + y √ d , con x, y ∈ F,
allora l’applicazione c : x + y √ d → x − y √ d è un automorfismo di K
i cui elementi lasciati fissi sono esattamente gli elementi di F .
Per analogia con il caso del campo complesso spesso l’automorfismo
c : x + y √ d → x − y √ d
si chiama coniugio e gli elementi lasciati fissi da tale automorfismo si chiamano
elementi reali del campo K = F( √ d) .

10 Capitolo 1. Preliminari
Se α è un automorfismo del campo K, sarà utilizzata la notazione esponenziale
per indicare l’azione di α sugli elementi di K; in altre parole, se x ∈ K,
allora x α indica l’immagine dell’elemento x mediante α.
Se β , γ sono automorfismi del campo K , si pone x β+γ = x β · x γ , con
x ∈ K. Se α è un automorfismo del campo K di ordine n, gli elementi
del tipo x 1+α+α2 +...+α (n−1)
sono chiamati norme di α in K; ł’insieme delle
norme si ottiene facendo variare x in tutto K. Le norme di α sono lasciate
fisse dallo stesso α.
Per fare un esempio si consideri il campo C dei numeri complessi; se z = x+iy
è un elemento di C e se si considera come automorfismo il coniugio c (che
ha ordine 2) , allora la norma di un numero complesso z = x + iy è
z 1+c = z · z c = (x + iy) · (x − iy) = x 2 + y 2 ∈ R .
Particolare interesse riveste il seguente risultato, sebbene si tratti di un
caso particolare.
Proposizione 1.2.2. Sia K = GF (q 2 ) = F( √ d) con F = GF (q) sottocampo
di K (come in precedenza, l’elemento d è un elemento non quadrato nel
campo F ), allora il coniugio c : x → x c = x q è un automorfismo di ordine
2 e le norme rispetto al coniugio sono esattamente gli elementi del sottocampo
F .
Dimostrazione. Per dimostrare questo risultato si osserva che le norme di α
sono esattamente le potenze (q + 1)-esime degli elementi non nulli di K con
l’aggiunta dello 0 . Ricordando che K ∗ è un gruppo ciclico di ordine q − 1,
si ha che l’insieme delle norme è sottogruppo di ordine q − 1 di K ∗ , ma F ∗
è l’unico sottogruppo di K ∗ di ordine q − 1 .

1.3. Equazioni di secondo grado sui campi finiti 11
1.3 Equazioni di secondo grado sui campi finiti
In questo paragrafo si studiano le equazioni di secondo grado in un campo
finito GF (q), q = p h , p primo e h ≥ 1, distinguendo due casi, a seconda che
la caratteristica del campo sia dispari oppure pari.
Si consideri il polinomio quadratico
f(x) = ax 2 + bx + c
a coefficienti in un campo K di caratteristica diversa da 2. Indicando con
d = b 2 − 4ac il discriminante del trinomio, si ha che, se d è un quadrato in K,
le soluzioni dell’equazione ax 2 + bx + c = 0 appartengono allo stesso campo K;
mentre, se d non è un quadrato in K, il campo di spezzamento F di f(x)
sopra K è costituito da tutti e soli gli elementi del tipo r + s √ d con r, s
elementi di K.
In F le operazioni sono definite nel modo seguente:
e
(r 1 + s 1
√
d) + (r2 + s 2
√
d) = (r1 + r 2 ) + (s 1 + s 2 ) √ d ;
(r 1 + s 1
√
d) · (r2 + s 2
√
d) = (r1 r 2 + s 1 s 2 d) + (r 1 s 2 + s 1 r 2 ) √ d .
Si consideri il campo di Galois GF (q) ed una sua estensione di grado n
GF (q n ).
Definizione 1.3.1. Si definisce traccia la funzione T r : GF (q n ) −→ GF (q)
così definita:
∀ a ∈ GF (q n ) : T r(a) = a + a q + a q2 + .... + a qn−1 .
La funzione traccia verifica le seguenti proprietà, tutte di facile dimostrazione:
1. T r(a) ∈ GF (q);
2. T r(a + b) = T r(a) + T r(b);
3. T r(α · a) = α · T r(a);
4. T r(a q ) = [T r(a)] q = T r(a);
5. l’applicazione traccia è surgettiva.

12 Capitolo 1. Preliminari
Si supponga di avere la seguente equazione in GF (q) con a, b, c ∈ GF (q), a ≠ 0:
ax 2 + bx + c = 0. (1.3.1)
Caso q dispari. Se la caratteristica è dispari la formula risolutiva per
determinare le soluzioni è la classica:
Nel campo GF (q) questa equazione
x = −b ± √ b 2 − 4ac
.
2a
1. ammette 2 soluzioni se b 2 − 4ac è un quadrato non nullo in GF (q);
2. ammette 1 sola soluzione se b 2 − 4ac = 0;
3. non ammette alcuna soluzione se b 2 − 4ac non è un quadrato in GF (q).
Caso q pari. La formula risolutiva precedente non può essere utilizzata se
p = 2 in quanto il denominatore si annulla.
A partire dalla 1.3.1 conviene analizzare le due seguenti situazioni:
Se b = 0 allora la 1.3.1 diventa ax 2 + c = 0 che ammette un’unica soluzione,
infatti si ha x 2 = c √ c
e da questa x = ( in caratteristica 2 tutti gli
a
a
elementi del campo sono quadrati).
Se b ≠ 0 allora nella 1.3.1 si moltiplica per a e si divide per b 2 ottenendo prima
a 2 x 2 a 2
+ abx + ac = 0 e poi
b 2 x2 + a b x + ac
ac
= 0; ora si pone δ =
b2 b 2 e
a
b x = y e si ottiene: y 2 + y + δ = 0. (1.3.2)
A questo punto cercare le soluzioni della 1.3.1 equivale a cercare le soluzioni
della 1.3.2 .
Se la 1.3.2 ammette soluzioni in GF (q), considerando l’applicazione traccia
T r : GF (q) → GF (2), si ottiene che T r(δ) = 0;
Infatti:
y 1 2 + y 1 + δ = 0 =⇒ T r(y 1 2 + y 1 + δ) = T r(0) = 0 =⇒

1.3. Equazioni di secondo grado sui campi finiti 13
T r(y 1 2 ) + T r(y 1 ) + T r(δ) = 0 =⇒ [T r(y 1 )] 2 + T r(y 1 ) + T r(δ) = 0 =⇒
T r(y 1 ) + T r(y 1 ) + T r(δ) = 0 =⇒ 2T r(y 1 ) + T r(δ) = 0 =⇒
T r(δ) = 0
Inoltre, se y 1 è soluzione di 1.3.2, allora lo è anche y 2 = y 1 + 1 . Infatti:
y 2 2 +y 2 +δ = (y 1 + 1) 2 +(y 1 +1)+δ = y 1 2 +1+y 1 +1+δ = y 1 2 +y 1 +δ = 0.
In conclusione, se T r(δ) = 0, le soluzioni di 1.3.2 sono 2 , altrimenti la 1.3.2
non ha soluzioni in GF (q).
Ora è opportuno indicare con Λ 0 = {δ ∈ GF (q) | T r(δ) = 0};
si vede facilmente che (Λ 0 , +) è un sottogruppo di (GF (q), +).
Infatti se δ 1 ∈ Λ 0 e δ 2 ∈ Λ 0 , allora:
T r(δ 1 + δ 2 ) = T r(δ 1 ) + T r(δ 2 ) = 0 + 0 = 0 =⇒ (δ 1 + δ 2 ) ∈ Λ 0 .
Inoltre se α ∈ GF (q) e δ ∈ Λ 0 , allora:
T r(α · δ) = α · T r(δ) = α · 0 = 0 =⇒ α · δ ∈ Λ 0 .
Osservazione 1.3.2.
1. se T r(δ 1 ) = 0 e T r(δ 2 ) = 1 =⇒ T r(δ 1 + δ 2 ) = 1;
2. se T r(δ 1 ) = 1 e T r(δ 2 ) = 1 =⇒ T r(δ 1 + δ 2 ) = 0.
Osservazione 1.3.3.
Da quanto precede si ha che l’applicazione T r : GF (q) → GF (2) è un omomorfismo.
Il suo nucleo Ker(T r) = {δ ∈ GF (q) | T r(δ) = 0} = Λ 0 , pertanto per il I
teorema di isomorfismo si ha che :
|Ker(T r)| = |Λ 0 | =
|GF (q)|
|GF (2)| = q 2 .

14 Capitolo 1. Preliminari
Ne consegue che metà degli elementi di GF (q) sono elementi di Λ 0 , mentre
l’altra metà sono gli elementi dell’unica classe laterale indicata con
Λ 1 = {δ ∈ GF (q) | T r(δ) = 1}.
In conclusione si ha che GF (q) = Λ 0
⋃
Λ1 e Λ 0
⋂
Λ1 = ⊘.
Ritornando all’equazione 1.3.2, si ha che il numero delle soluzioni è 2 oppure
0 a seconda del fatto che δ appartenga rispettivamente a Λ 0 oppure a Λ 1 .
Resta da stabilire come si determinano le soluzioni di 1.3.2 quando esistono.
Si consideri un elemento ϑ ∈ Λ 1 , cioè T r(ϑ) = 1 e si ponga:
y = ϑδ 2 + (ϑ + ϑ 2 )δ 4 + ... + (ϑ + ϑ 2 + ... + ϑ 2h−2 )δ 2h−1 .
Sostituendo nella 1.3.2 si può facilmente vedere che y soddisfa l’equazione
e quindi ne è soluzione.
Ovviamente l’elemento neutro 0 è sempre un elemento di Λ 0 ; mentre per
l’elemento neutro 1 si ha il seguente risultato (di verifica immediata):
Proposizione 1.3.4. L’unità del campo GF (q) appartiene a Λ 0 se e solo se
q = 2 h con h pari.

1.4. Generalità sugli spazi proiettivi su campi finiti 15
1.4 Generalità sugli spazi proiettivi su campi finiti
Si considera uno spazio vettoriale V (n+1, K) di dimensione finita su un campo
K e si costruisce uno spazio proiettivo, indicato con P G(n, K), nel seguente
modo:
1. si chiama punto di P G(n, K) un sottospazio vettoriale di dimensione 1
(o spazio geometrico di dimensione 0);
2. si chiama retta di P G(n, K) un sottospazio vettoriale di dimensione 2 (o
spazio geometrico di dimensione 1);
3. più in generale, si chiama sottospazio proiettivo di P G(n, K) di dimensione
m un sottospazio vettoriale di dimensione m + 1.
Sussistono le seguenti definizioni e proprietà:
1. L’intersezione di sottospazi proiettivi di P G(n, K) è ancora un sottospazio
proiettivo di P G(n, K).
2. Per ogni sottoinsieme X di P G(n, K) si chiama sottospazio generato da
X, e si indica con < X >, l’intersezione di tutti i sottospazi proiettivi
che lo contengono.
3. Il sottospazio proiettivo di P G(n, K) generato dall’unione di due sottospazi
proiettivi H e T di P G(n, K) si chiama sottospazio somma di
P G(n, K) e si denota con H + T .
4. Se H e T sono due sottospazi proiettivi di P G(n, K), essi si dicono sghembi
se H ⋂ T = ⊘; in tal caso la somma di tali sottospazi si dice diretta e
la si denota con H ⊕ T .
5. Se H ⊕ T = P G(n, K), allora H e T si dicono sottospazi proiettivi
supplementari.
Osservazione 1.4.1. La dimensione proiettiva di uno spazio geometrico S
sarà indicata con Dim S, mentre con dim S sarà indicata la sua dimensione
vettoriale.

16 Capitolo 1. Preliminari
Teorema 1.4.2. (Formula di Grassman). Siano H e T due sottospazi proiettivi
di P G(n, K); allora:
Dim H + Dim T = Dim (H ⋂ T ) + Dim (H + T ).
La dimostrazione si ottiene come conseguenza della relazione di Grassmann
per spazi vettoriali.
Qui di seguito si elencano alcune proprietà che si verificano per i sottospazi
proiettivi di P G(n, K):
Proposizione 1.4.3. Due punti distinti di P G(n, K) appartengono ad una e
una sola retta.
Proposizione 1.4.4. Sia H un sottospazio proiettivo di P G(n, K) e P un
punto di P G(n, K) che non appartiene ad H; allora si ha che:
Dim (H + P ) = Dim H + 1.
Definizione 1.4.5. Un sottospazio proiettivo di P G(n, K) si chiama iperpiano
se la sua dimensione proiettiva è uguale a n − 1.
Proposizione 1.4.6. Un iperpiano ed un sottospazio di P G(n, K), di dimensione
proiettiva h + 1 non contenuto nell’iperpiano, si intersecano in un
sottospazio di dimensione h.
Proposizione 1.4.7. Se H e T sono sttospazi proiettivi supplementari di
P G(n, K), allora si ha che :
Dim H + Dim T = n − 1.
Proposizione 1.4.8. Siano H un sottospazio proiettivo di P G(n, K) e P , Q
due punti di H; allora la retta r passante per i punti P e Q è tutta contenuta
nel sottospazio H.
Definizione 1.4.9. Siano X un insieme non vuoto di punti di P G(n, K) e
P un punto non appartenente ad X. L’unione delle rette passanti per P e
incidenti X si chiama cono di vertice P e base X.
Proposizione 1.4.10. Siano X un sottospazio proiettivo di P G(n, K) di dimensione
h e P un punto non appartenente ad X; il cono di base X e vertice
P è un sottospazio proiettivo di P G(n, K) di dimensione h + 1.

1.4. Generalità sugli spazi proiettivi su campi finiti 17
Proposizione 1.4.11. Un insieme X non vuoto di punti di P G(n, K) è un
sottospazio proiettivo di P G(n, K) se e soltanto se per ogni coppia di punti
distinti di X la retta che li congiunge è tutta contenuta in X stesso.
Proposizione 1.4.12. Due rette distinte di un piano di P G(n, K) si intersecano
in un punto.
Se v è un vettore non nullo dello spazio vettoriale V (n + 1, q), si denota con
< v > il sottospazio vettoriale generato da v e con [v] il punto corrispondente
a < v > in P G(n, K).
Definizione 1.4.13. Si dice che m punti P 1 = [v 1 ], P 2 = [v 2 ],. . ., P m = [v m ]
di P G(n, K) sono linearmente indipendenti (rispettivamente dipendenti) se tali
risultano i vettori v 1 , v 2 ,. . ., v m .
Definizione 1.4.14. Si dice, inoltre, che un punto P = [v] dipende linearmente
dai punti P 1 , P 2 , . . . , P m se il vettore v dipende linearmente da v 1 ,
v 2 ,. . ., v m .
Osservazione 1.4.15. Tali definizioni sono ben poste in quanto la dipendenza
o indipendenza lineare di P 1 , P 2 , . . . , P m non dipende dalla scelta del vettore
v i nel sottospazio < v i >.
Definizione 1.4.16. Sia {P 0 , P 1 , . . . , P n , P } una (n + 2)-upla di punti di
P G(n, K) a (n + 1) a (n + 1) indipendenti; essa prende il nome di riferimento
proiettivo di P G(n, K). I punti P 0 , P 1 , . . . , P n si chiamano punti fondamentali
mentre il punto P si chiama punto unità del riferimento.
Definizione 1.4.17. Se B = {e 0 , e 1 , . . . , e n } è una base ordinata dello spazio
vettoriale V (n + 1, q), si ha che
{E 0 = [e 0 ], E 1 = [e 1 ], . . . , E n = [e n ], E n+1 = [ ∑ 0≤j≤n e j]}
è un riferimento proiettivo di P G(n, q) detto associato alla base B.
Fissato dunque il riferimento proiettivo di P G(n, q), ad ogni punto
resta associata la (n + 1)-upla
P = [v = ∑ 0≤j≤n x je j ]
(x 0 , x 1 , . . . , x n ) ∈ K n+1 − {0}

18 Capitolo 1. Preliminari
delle componenti di v nella base B. Gli elementi di tale (n + 1)-upla si chiamano
coordinate proiettive omogenee del punto P .
Si può dimostrare che
Proposizione 1.4.18. Un sottospazio proiettivo di dimensione n − r di
P G(n, K) è l’insieme dei punti che con le loro coordinate omogenee soddisfano
un sistema: ⎧
⎨ a 10 x 0 + a 11 x 1 + . . . + a 1n x n = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⎩
a r0 x 0 + a r1 x 1 + . . . + a rn x n = 0
le cui equazioni siano indipendenti (cioè la matrice dei coefficienti ha rango r).
Pertanto gli iperpiani di P G(n, K) si rappresentano con una singola equazione
lineare omogenea, i piani con n − 2 equazioni e le rette con n − 1 equazioni.
Osservazione 1.4.19. Gli spazi proiettivi su un campo finito GF (p), con p
primo, furono introdotti nel 1892 da Gino Fano [21]; successivamente, nel 1906,
O. Veblen e W.H. Bussey in [49] estesero la costruzione di Fano al caso q = p h
introducendo la notazione P G(n, q).
Nel caso finito è possibile determinare il numero dei sottospazi di dimensione
h di P G(n, q); precisamente si dimostra:
Proposizione 1.4.20. Sia h un intero tale che 0 ≤ h ≤ n. Il numero dei
sottospazi proiettivi h-dimensionali di P G(n, q) è uguale a :
[ n + 1
h + 1
]
q
= (qn+1 − 1)(q n − 1) . . . (q n+1−h − 1)
(q h+1 − 1)(q h .
− 1) . . . (q − 1)
Come casi particolari, dalla precedente proposizione, in P G(n, q) si ha che:

1.4. Generalità sugli spazi proiettivi su campi finiti 19
1. il numero dei punti (sottospazi di dimensione proiettiva 0) è
[ n + 1
1
]
q
= (qn+1 − 1)
(q − 1)
= q n + q n−1 + . . . + q + 1.
2. il numero delle rette (sottospazi di dimensione proiettiva 1) è
[ n + 1
2
]
q
= (qn+1 − 1)(q n − 1)
(q 2 .
− 1)(q − 1)
3. il numero dei piani (sottospazi di dimensione proiettiva 2) è
[ n + 1
3
]
q
= (qn+1 − 1)(q n − 1)(q n−1 − 1)
(q 3 − 1)(q 2 .
− 1)(q − 1)
4. Il numero degli iperpiani (sottospazi di dimensione proiettiva n − 1) è
[ n + 1
n
]
q
= q n + q n−1 + . . . + q + 1.

1.5. Quadriche 21
1.5 Quadriche
Definizione 1.5.1. Si dice quadrica di uno spazio proiettivo P G(r, q), e si
indica con Q, un’ipersuperficie di P G(r, q) d’ordine 2.
Una quadrica di un piano si chiama conica.
Al fine di determinare il numero dei punti delle quadriche di uno spazio proiettivo
P G(r, q) con r = 1, 2, 3, vengono qui esaminate alcune proprietà di
carattere combinatorio relativamente ai casi r = 1, r = 2, r = 3.
Una quadrica di P G(1, q) si rappresenta mediante una equazione del tipo
ax 2 0 + bx 0x 1 + cx 2 1 = 0
con a, b, c elementi non tutti nulli di GF (q);
essa consiste evidentemente in una coppia di punti (distinti o coincidenti) in
GF (q) o in una opportuna estensione quadratica di GF (q).
Al variare della terna non nulla (a, b, c), le quadriche di P G(1, q) costituiscono
un piano proiettivo su GF (q), perciò sono in numero di 1 + q + q 2 . Si ha
precisamente che ( ) q + 1
2
quadriche sono formate da una coppia di punti distinti con coordinate in GF (q),
mentre q + 1 quadriche consistono in un solo punto da contarsi due volte e,
infine,
(1 + q + q 2 ) − (q + 1) − q(q + 1)/2 = q(q − 1)/2
quadriche sono formate da due punti complessi e coniugati (distinti) in una
opportuna estensione quadratica di GF (q).
Definizione 1.5.2. Una conica C di un piano si dice degenere (non degenere)
se la forma quadratica che la rappresenta è fattorizzabile (non è fattorizzabile)
in GF (q).
Naturalmente, se una forma quadratica non è fattorizzabile in GF (q), può accadere
che lo sia in una sua opportuna estensione.
Si determina ora il numero dei punti di una conica C, con coordinate in GF (q)
cominciando dal caso in cui C è degenere. In questa situazione la forma quadratica
che rappresenta C si può esprimere come prodotto di due forme lineari
α e β. Si distinguono tre casi:

22 Capitolo 1. Preliminari
1. La fattorizzazione di C è costituita da due polinomi coincidenti in GF (q),
cioè α = β; in tal caso C si dice doppiamente degenere ed è formata da
una retta a coefficienti nel campo GF (q) da contarsi due volte; perciò C
consta di esattamente q + 1 punti (tanti quanti sono quelli di una retta
di P G(2, q)).
2. La fattorizzazione di C è costituita da due polinomi distinti a coefficienti
in GF (q), cioè α ≠ β; in tal caso C si dice semplicemente degenere e si
spezza in due rette distinte a coefficienti in GF (q); il numero dei punti
di C è (q + 1) + (q + 1) − 1 = 2q + 1.
3. La fattorizzazione di C è costituita da due polinomi distinti a coefficienti
in una estensione quadratica di GF (q), cioè α ≠ β e i loro coefficienti
non appartengono a GF (q); in tal caso C si dice semplicemente degenere
e si spezza in due rette distinte a coefficienti in una estensione quadratica
di GF (q); C consta di un solo punto a coordinate in GF (q) dato
dall’intersezione di quelle rette.
Definizione 1.5.3. In un piano proiettivo si chiama k-arco un insieme di k
punti a 3 a 3 non allineati.
Se la conica C è non degenere vale la seguente
Proposizione 1.5.4. Se la conica è non degenere ed ha almeno un punto O
in GF (q), allora i suoi punti in P G(2, q) sono in numero di q + 1, a tre a tre
non allineati. C è pertanto un (q + 1)-arco.
Dimostrazione. Ciascuna delle rette per O non tangenti alla conica incontra
ulteriormente la conica in un punto P ≠ O a coordinate in GF (q). Viceversa,
ognuno di questi punti P determina una retta OP . Questo vuol dire che q
rette del fascio di centro O sono secanti rispetto alla conica. Le rette del fascio
sono q + 1; la retta restante è la tangente in O a C (non può essere secante e
neppure esterna). La corrispondenza tra le q + 1 rette del fascio di centro O
e i punti della conica, ottenuta associando alla retta tangente in O lo stesso
punto O e ad ogni altra retta per O il suddetto punto P , è biunivoca.
Contrariamente a quanto accade nel piano proiettivo reale, si ha il risultato
seguente:
Teorema 1.5.5. In un piano di Galois P G(2, q) ogni conica ha almeno un
punto a coordinate nel campo GF (q).

1.5. Quadriche 23
Proposizione 1.5.6. Se la caratteristica di GF (q) è dispari, per ciascun
punto di P G(2, q) che non appartenga ad una conica irriducibile C passano
esattamente zero o due rette tangenti a C.
Dimostrazione. Se la caratteristica del campo GF (q) è dispari, il numero dei
punti di una conica irriducibile è q+1 (che è pari).
Pertanto, se P ∈ P G(2, q) − C e se una retta r per P interseca C in un solo
punto (cioè è unisecante o tangente), si ha che ci deve essere necessariamente
almeno un’altra tangente per P a C; dunque le tangenti per un punto P di
P G(2, q) che non appartenga alla conica irriducibile C sono in numero pari.
Si dimostra ora che, se t è la retta tangente alla conica in un punto T di C, da
ciascun punto di t passano esattamente due (e non più di due) tangenti a C.
Infatti sia C una conica di P G(2, q) e T un suo punto.
Detta t la tangente in T a C, si può definire la funzione
σ : C −→ t t.c. A ∈ C −→ t ⋂ t A ∈ t.
Questa funzione è chiaramente surgettiva perché ciascun punto B ∈ t, avendo
già una tangente (la retta t), deve averne almeno un’altra. Essendo C e t
insiemi finiti entrambi di cardinalità q + 1, si ha che σ è bigettiva.
Ora si può dire che ogni punto P di P G(2, q) che non appartiene a C o si
trova su una tangente a C (e quindi le tangenti per P a C sono due) oppure
non si trova su alcuna tangente a C.
In conclusione, se la caratteristica del campo GF (q) è diversa da due, i punti
di P G(2, q) non situati sulla conica C si distinguono in due classi di punti:
Definizione 1.5.7. Un punto di P G(2, q) dicesi esterno o interno a C a seconda
che per esso passino due o nessuna tangente a C in GF (q).
Il numero dei punti esterni a C è
( q + 1
2
)
,
mentre il numero dei punti interni a C è
(
(q 2 q + 1
+ q + 1) − (q + 1) −
2
) ( q
=
2
)
.

24 Capitolo 1. Preliminari
Se q è pari (che equivale a dire che la caratteristica del campo GF (q) è 2), la
situazione è completamente diversa. Anche in questo caso per ogni punto di C
esiste una sola tangente (l’argomentazione precedente sussiste ancora). Questa
volta, però, il numero delle tangenti a C per un punto P di P G(2, q) che non
appartenga a C è chiaramente dispari (perché q + 1 è dispari).
Proposizione 1.5.8. Sia P G(2, q), q pari, il piano proiettivo e sia C una sua
conica irriducibile. Allora tutte le rette tangenti a C passano per uno stesso
punto, detto nucleo di C.
Dimostrazione. Sia l una retta che interseca in due punti distinti A e B
una conica irriducibile C di P G(2, q), q pari. Per ciascun punto T di C passa
una sola tangente t a C; tale retta t interseca l in un punto P diverso da A
e B. Se per P passassero altre tangenti a C (almeno altre due), dovrebbero
necessariamente esistere punti di l per i quali non passa alcuna tangente a C:
questo non può accadere perché da ciascun punto di P G(2, q) − C passa
sempre almeno una tangente a C.
Ne consegue che per ciascun punto di l passa una ed una sola retta tangente
a C. Ma se ora consideriamo il punto N intersezione delle tangenti in A e B a
C, si ha che per il punto N passano almeno due tangenti; questo esclude che
N possa trovarsi su alcuna retta secante C. Pertanto si ha che le q + 1 rette
passanti per N devono necessariamente essere tangenti a C.
Ora si ha che le tangenti sono tutte e sole le q + 1 rette per il nucleo di C, indicato
con N. Per ogni punto di P G(2, q) distinto dal nucleo e non appartenente
alla conica passa una ed una sola tangente a C ed è la retta che congiunge il
punto con il nucleo. Pertanto, aggregando a C il suo nucleo N, si ottiene un
insieme di q + 2 punti a tre a tre non allineati, ossia, un (q + 2)-arco del piano
P G(2, q).
Il caso r = 3 si può esaminare in modo analogo al precedente. Infatti si ha
che:
1. La fattorizzazione di Q è costituita da due polinomi coincidenti in GF (q);
in tal caso la quadrica Q si dice doppiamente riducibile ed è formata da
un piano con equazione a coefficienti nel campo GF (q) da contarsi due
volte e, quindi, il numero dei punti di Q è q 2 + q + 1.
2. La fattorizzazione di Q è costituita da due polinomi distinti a coefficienti
in GF (q); in tal caso la quadrica Q si dice semplicemente riducibile e

1.5. Quadriche 25
si spezza in due piani distinti con equazioni a coefficienti in GF (q) e,
quindi, il numero dei punti di Q è 2q 2 + q + 1.
3. La fattorizzazione di Q è costituita da due polinomi distinti a coefficienti
in una estensione quadratica di GF (q); in tal caso la quadrica Q si spezza
in due piani distinti, complessi e coniugati, con equazioni a coefficienti
in una estensione quadratica di GF (q); quindi, i punti sono q + 1 (cioè
quelli della retta intersezione dei due piani).
Le quadriche non spezzate in piani proiettivi di uno spazio P G(3, q) si
possono classificare in quadriche a punti parabolici, quadriche a punti iperbolici
e quadriche a punti ellittici.
Definizione 1.5.9. Un punto non singolare T di una quadrica Q si dice parabolico,
iperbolico o ellittico a seconda che il piano tangente in T a Q incontri la
quadrica in una coppia di rette coincidenti in GF (q), in una coppia di rette distinte
in GF (q) o in una coppia di rette coniugate in una estensione quadratica
di GF (q).
Proposizione 1.5.10. Se una quadrica Q di P G(3, q) ha un punto (non singolare)
parabolico, iperbolico oppure ellittico, allora tutti i punti non singolari
di Q sono, rispettivamente, parabolici, iperbolici oppure ellittici.
Proposizione 1.5.11. Il numero dei punti a coordinate in GF (q) di una quadrica
irriducibile Q di P G(3, q) è q 2 + q + 1, (q + 1) 2 , q 2 + 1 a seconda che Q
sia a punti parabolici, iperbolici o ellittici.
Definizione 1.5.12. In uno spazio proiettivo P G(n, q), con n ≥ 3, si chiama
k-calotta un insieme di k punti a 3 a 3 non allineati.
Teorema 1.5.13. Una quadrica a punti ellittici di P G(3, q) è un insieme di
q 2 + 1 punti a tre a tre non allineati e costituisce, quindi, una (q 2 + 1)-calotta.
Infine si esamina il caso generale r = n. Una quadrica in P G(n, q) su
un campo finito GF (q) è un’ipersuperficie di P G(n, q) d’ordine 2. Essa è
rappresentata da una forma quadratica del tipo:
Q :
∑
0≤i,j≤n
a ij x j x h = a 00 x 2 0 + a 01 x 0 x 1 + ..... (1.5.1)

26 Capitolo 1. Preliminari
Tale quadrica Q è degenere se e soltanto se è singolare; se q è dispari, una
quadrica è singolare se e soltanto se la sua matrice associata è singolare. Il
seguente risultato fornisce la classificazione proiettiva delle quadriche non singolari
di P G(n, q) a seconda che la caratteristica del campo sia pari o dispari,
al variare della dimensione n dello spazio proiettivo.
Teorema 1.5.14. Le quadriche non singolari di P G(n, q) si suddividono in
due classi di quadriche proiettivamente equivalenti se n è dispari, mentre sono
tutte proiettivamente equivalenti se n è pari. Ne consegue che si hanno le
seguenti forme canoniche:
1. Se n = 2s, s ≥ 0 : P 2s = x 2 0 + x 1x 2 + x 3 x 4 + ... + x 2s−1 x 2s
2. Se n = 2s − 1, s ≥ 1:
a. H 2s−1 = x 0 x 1 + x 2 x 3 + ... + x 2s−2 x 2s−1
b. E 2s−1 = f(x 0 , x 1 ) + x 2 x 3 + x 4 x 5 + ... + x 2s−2 x 2s−1 dove f è una
forma quadratica binaria irriducibile.
Le quadriche del tipo P 2s , H 2s−1 , E 2s−1 sono rispettivamente chiamate
paraboliche, iperboliche, ellittiche dal momento che i loro punti non singolari
sono parabolici, iperbolici, ellittici, rispettivamente.
La forma f può essere scelta come f(x 0 , x 1 ) = dx 2 0 + x 0x 1 + x 2 1 , dove
d ∈ GF (q) è tale che T r(d) = 1 se q è pari, oppure ∆ = 1 − 4d è un non
quadrato se q è dispari.
Un parametro significativo nello studio delle quadriche è la massima dimensione
dei sottospazi che giacciono su una quadrica Q non riducibile; questo valore è
chiamato indice proiettivo di Q e a questo proposito sussiste il seguente
Teorema 1.5.15. L’indice proiettivo g delle quadriche di P G(n, q) assume i
seguenti valori:
Q P 2s H 2s−1 E 2s−1
g s − 1 s − 1 s − 2

1.6. Collineazioni e correlazioni 27
1.6 Collineazioni e Correlazioni
Definizione 1.6.1. Si definisce collineazione oppure automorfismo di uno
spazio proiettivo P G(n, q) di dimensione n sul campo GF (q) ogni bigezione
Φ : P G(n, q) → P G(n, q) che, insieme alla sua inversa, trasforma rette in
rette, cioè manda terne di punti allineati in terne di punti allineati.
Proposizione 1.6.2. L’insieme delle collineazioni è un gruppo (non abeliano)
rispetto alla composizione delle funzioni che si denota con Aut(P G(n, q)).
Definizione 1.6.3. Si definisce omografia una collineazione di P G(n, q) che
trasforma un punto P (x i ) in un punto P ′ (x ′ i ) con
ρx ′ i = ∑ 0≤j≤n a ijx j per i = 0, 1, ...n
dove ρ ∈ K è un fattore di proporzionalità non nullo e la matrice A = (a ij ) ha
det(A) ≠ 0.
Proposizione 1.6.4. Rispetto alla composizione le omografie costituiscono un
sottogruppo di Aut(P G(n, q)).
Proposizione 1.6.5. Un’omografia di P G(n, q) trasforma sottospazi proiettivi
in sottospazi proiettivi conservandone la dimensione.
Si può dimostrare, [28] , pag. 30, il seguente risultato, noto come Teorema
Fondamentale della Geometria Proiettiva:
Teorema 1.6.6. Ogni collineazione di uno spazio proiettivo P G(n, q) si ottiene
componendo una omografia con un automorfismo del campo K:
ρx ′ i = ∑ 0≤j≤n a ijθ(x j ) per i = 0, 1, ...n
dove A = (a ij ) è una matrice tale che det(A) ≠ 0, ρ ∈ K* e θ ∈ Aut(K).
In forma più concisa, una generica collineazione può essere rappresentata
con una equazione del tipo:
ρx ′ = A θ(x).
Se K non ammette automorfismi diversi dall’identità (K = R, K = Q,
K = Z p con p primo), allora ogni collineazione è una omografia.
Se K è finito di ordine q = p h , le collineazioni di P G(n, q) hanno la forma

28 Capitolo 1. Preliminari
ρx ′ = a i0 x ph
0 + ... + a inx ph
n con i = 0, 1, ...n
dove A = (a ij ), con det(A) ≠ 0, ρ ∈ K* e
θ h : x ∈ GF (q) −→ x ph ∈ GF (q)
è l’h-esimo automorfismo di Frobenius.
Definizione 1.6.7. Un punto P ∈ P G(n, q) si dice unito o fisso rispetto ad
una collineazione ω se ω(P ) = P .
La ricerca dei punti uniti è equivalente a quella degli autovalori di A, infatti se
ρx ′ = Ax, per i punti uniti risulta ρx = Ax, cioè (A − ρI)x = 0; per avere
soluzioni non nulle deve essere
det(A − ρI) = 0
che è l’equazione caratteristica di A ed ha grado n + 1.
Proposizione 1.6.8. Sia ω l’ omografia di P G(2, q) di equazioni
⎧
⎨ ρx ′ 0 = a 11x 0 + a 12 x 1 + a 13 x 2
ω : ρx ′ 1
⎩
= a 21x 0 + a 22 x 1 + a 23 x 2
ρx ′ 2 = a 31x 0 + a 32 x 1 + a 33 x 2
con det(A) ≠ 0, ρ ∈ K*; se ω ha quattro punti uniti a tre a tre non allineati,
allora ω è l’identità su P G(2, q).
Dimostrazione. Scegliendo i quattro punti a tre a te non allineati come punti di
un riferimento proiettivo di P G(2, q), si ha che è possibile supporre che ω fissi
i tre punti fondamentali (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) ed il punto unità (1, 1, 1).
Allora la matrice associata A = (a ij ), oltre ad essere diagonale, deve avere gli
elementi della diagonale principale tutti uguali, quindi la tesi.
Definizione 1.6.9. Si definisce correlazione una collineazione tra lo spazio
proiettivo P G(n, q) ed il suo spazio duale (P G(n, q)) ∗ .
Definizione 1.6.10. Si definisce reciprocità una omografia tra lo spazio proiettivo
P G(n, q) ed il suo spazio duale (P G(n, q)) ∗ .
Una reciprocità è una applicazione del tipo:

1.6. Collineazioni e correlazioni 29
X ∈ P G(n, q) −→ U ∈ (P G(n, q)) ∗
dove X = (x) è un punto di P G(n, q), U = (u) è un iperpiano di P G(n, q) ed
ha equazione:
ρu = Ax, det(A) ≠ 0, ρ ∈ GF (q) ∗ .
Una reciprocità trasforma punti allineati in iperpiani appartenenti allo stesso
fascio.
Definizione 1.6.11. Sia α una reciprocità; allora due punti X, Y ∈ P G(n, q)
si dicono coniugati o reciproci rispetto ad α se il punto Y appartiene all’iperpiano
α(X) e il punto X appartiene all’iperpiano α(Y ), ovvero se Y t AX = 0
e X t AY = 0.
Essendo la reciprocità definita dalla matrice A una applicazione bigettiva, la
sua inversa è ancora una reciprocità definita dalla matrice inversa A −1 .
Proposizione 1.6.12. Mediante la composizione delle funzioni, le omografie
e le reciprocità costituiscono un gruppo, detto gruppo proiettivo; tale gruppo
ammette come sottogruppo di indice 2 il gruppo delle omografie.
Proposizione 1.6.13. Una reciprocità trasforma spazi subordinati S k di
P G(n, q) in stelle di iperpiani Σ k di dimensione k di (P G(n, q)) ∗ con asse
S n−k−1 ; in particolare una reciprocità trasforma rette in fasci di iperpiani per
un sottospazio proiettivo S n−2 .
Definizione 1.6.14. Una reciprocità α di P G(n, q) si definisce involutoria se
per essa è soddisfatto il seguente principio di reciprocità:
∀X, Y ∈ S r
X ∈ α(Y ) ⇐⇒ Y ∈ α(X).
Definizione 1.6.15. Siano char(K) ≠ 2 e α una reciprocità involutoria di
P G(n, q) con matrice associata A. Si possono presentare le eventualità seguenti:
A = A t , la matrice associata è simmetrica, in tal caso α si definisce polarità
ordinaria (o semplicemente polarità);
A = −A t , la matrice associata è antisimmetrica, in tal caso α si definisce
polarità nulla.

30 Capitolo 1. Preliminari
Se char(K) = 2, le definizioni di polarità e polarità nulla coicidono.
Inoltre, se A = −A t , risulta det(A) = (−1) n+1 · det(A), da cui:
se n è pari, necessariamente det(A) = 0 ed α si dice singolare, per cui negli
spazi proiettivi di dimensione pari vi sono soltanto polarità nulle singolari.
Dalla definizione di punti coniugati e di reciprocità involutoria segue che la
relazione di coniugio tra punti rispetto ad una reciprocità involutoria è simmetrica.
In particolare, se α è una reciprocità involutoria la cui matrice associata è A,
i punti X, Y sono coniugati se e solo se:
(AX) t Y = 0 ⇐⇒ X t A t Y = 0 ⇐⇒ Y t AX = 0
Osservazione 1.6.16. Sia α una polarità di P G(n, q) di matrice A = A t . Se
char(K) ≠ 2, il luogo dei punti X ∈ P G(n, q) autoconiugati rispetto ad α,
cioè appartenenti al proprio iperpiano polare, è la quadrica di equazione:
X t AX = ∑ 0≤j≤n a ijx i x j = 0.
Se det(A) ≠ 0 l’iperpiano polare di X, cioè α(X), è sempre definito.
Se det(A) = 0 il sistema lineare omogeneo AX = 0 ammette anche soluzioni
non banali. Tali soluzioni non banali rappresentano punti di un sottospazio
proiettivo S n−ρ di P G(n, q), essendo ρ il rango di A. Inoltre S n−ρ è costituito
da punti che sono coniugati a tutti i punti di P G(n, q).
Proposizione 1.6.17. Sia α la polarità definita dalla matrice A con detA ≠ 0;
se X appartiene alla quadrica Q, allora α(X) è l’iperpiano tangente a Q in X
ed è l’unione di tutte le rette per X appartenenti a Q o tangenti a Q in X.
Proposizione 1.6.18. Sia α la polarità definita dalla matrice A con detA ≠ 0;
se X non appartiene alla quadrica Q, allora α(X) è un iperpiano non tangente
a Q; in tal caso la retta che congiunge X con qualsiasi punto P di Q ⋂ α(X)
risulta essere tangente a Q nel punto P .

Capitolo 2
Rappresentazione delle rette di
PG(3,q) sulla quadrica di Klein
In questo capitolo viene descritta la rappresentazione delle rette di P G(3, q)
come punti della quadrica di Klein in P G(5, q).
2.1 La quadrica di Klein
In P G(3, q) si considerino X = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) e Y = (y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ) due punti
distinti su una retta l; si pone
l ij =
∣ x ∣
i x j ∣∣∣
= x
y i y i y j − x j y i ;
j
ovviamente risulta che l ii = 0, l ij = −l ji .
Definizione 2.1.1. Si definiscono coordinate plückeriane della retta l di P G(3, q):
L = (l 01 , l 02 , l 03 , l 12 , l 31 , l 23 ).
Le coordinate plückeriane sono determinate univocamente dalla retta di
P G(3, q) a meno di un fattore di proporzionalità non nullo.
Infatti se X ′ , Y ′ sono altri due punti distinti di l, si ha che X ′ = aX + bY e
Y ′ = cX + dY ; posto
D =
∣ a b
c d ∣ = ad − bc ≠ 0,

32 Capitolo 2. Rappresentazione delle rette di PG(3,q) sulla quadrica di Klein
si ha:
l ′ ij = x′ i y′ j − x′ j y′ i = (ax i + by i )(cx j + dy j ) − (ax j + by j )(cx i + dy i ) =
= (ad − bc)(x i y j − x j y i ) = D · l ij .
Ne consegue che ogni retta l di P G(3, q) determina un punto di P G(5, q), le
cui coordinate sono le coordinate plückeriane della retta l.
Con calcoli diretti si verifica che tra le coordinate plückeriane di una retta
sussiste la relazione:
l 01 l 23 + l 02 l 31 + l 03 l 12 = 0;
pertanto ogni retta l di P G(3, q) individua un punto sulla quadrica di P G(5, q)
di equazione:
detta quadrica di Klein e denotata con H 5 .
X 0 X 5 + X 1 X 4 + X 2 X 3 = 0, (2.1.1)
Osservazione 2.1.2. Si noti che la 2.1.1 è l’equazione canonica di una quadrica
iperbolica, [27].
Viceversa, si consideri un punto di P G(5, q) soddisfacente la (2.1.1), cioè un
punto di H 5 di coordinate L = (l 01 , l 02 , l 03 , l 12 , l 31 , l 23 ). Esse non sono tutte
nulle, allora si può supporre l 01 ≠ 0. Si considerino i punti di P G(3, q) di
coordinate (l 00 , l 01 , l 02 , l 03 ) = (0, l 01 , l 02 , l 03 ), (l 10 , l 11 , l 12 , l 13 ) = (l 10 , 0, l 12 , l 13 ),
essi sono distinti (perché l 01 ≠ 0) e se l è la retta che li congiunge, le coordinate
plückeriane ¯l ij di l sono:
¯lij = l 01 l ij .
Resta così dimostrato il risultato seguente:
Teorema 2.1.3. Sia L l’insieme delle rette di P G(3, q).
Allora l’applicazione
Φ : l ∈ L −→ L = (l 01 , l 02 , l 03 , l 12 , l 31 , l 23 ) ∈ H 5 (2.1.2)
che ad ogni retta l di P G(3, q) fa corrispondere il punto L, le cui coordinate
sono le coordinate plückeriane di l, è una bigezione.
Si dimostra inoltre il seguente

2.1. La quadica di Klein 33
Teorema 2.1.4. Il gruppo delle omografie di P G(3, q) si trasforma, mediante
Φ in un gruppo di omografie di P G(5, q) che lascia invariata H 5 .
Dimostrazione. Una omografia τ di P G(3, q) è una bigezione che trasforma
rette in rette. Pertanto una omografia τ di P G(3, q) determina una permutazione
τ’ dei punti della quadrica di Klein H 5 . Poiché l’omografia τ di P G(3, q)
trasforma anche fasci di rette in fasci di rette, si ha che la permutazione τ’ trasforma
rette di H 5 in rette di H 5 . Inoltre τ’ si può estendere in modo unico ad
una omografia di P G(5, q), perché l’azione di una omografia di P G(5, q) sulla
quadrica di Klein è fedele, visto che essa contiene certamente sette punti in
posizione generale.

2.2. Coppie di rette complanari o sghembe di PG(3,q) sulla quadrica di Klein 35
2.2 Coppie di rette complanari o sghembe di PG(3,q)
sulla quadrica di Klein
Siano l ed l’ rette di P G(3, q), X e Y punti distinti di l, Z e T punti distinti
di l’. Si ha:
∣ x 0 x 1 x 2 x 3 ∣∣∣∣∣∣∣
l, l ′ sono incidenti ⇐⇒
y 0 y 1 y 2 y 3
= 0.
z 0 z 1 z 2 z 3
∣ t 0 t 1 t 2 t 3
Sviluppando il determinante rispetto alle prime due righe:
l, l ′ sono incidenti ⇐⇒ l 01 l ′ 23 + l 02l ′ 31 + l 03l ′ 12 + l 23l ′ 01 + l 31l ′ 02 + l 12l ′ 03 = 0.
Tenendo conto che la relazione a secondo membro dice che il punto Φ(l)
appartiene all’iperpiano tangente ad H 5 nel punto Φ(l ′ ), si può affermare che:
Teorema 2.2.1. Condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette l,l ′ di
P G(3, q) siano incidenti è che i punti Φ(l), Φ(l ′ ) siano coniugati rispetto ad
H 5 , cioè che uno appartenga all’iperpiano polare dell’altro.
Siano l, l’ due rette di P G(3, q) incidenti in un punto X; se Y ∈ l − {X}
e Z ∈ l ′ − {X}, il fascio determinato da tali rette è costituito dalle rette di
coordinate plückeriane:
∣ r ij =
x i x j ∣∣∣
∣
= λl
λy i + µz i λy j + µz ij + µl ij.
′
j
Ne consegue che le rette di tale fascio si rappresentano mediante Φ come punti
di una retta contenuta in H 5 .
Viceversa, se s è una retta contenuta in H 5 e P , Q sono due suoi punti, questi
risultano coniugati rispetto ad H 5 e, quindi, le rette l = Φ −1 (P ), l’ = Φ −1 (Q)
di P G(3, q) sono incidenti.
Il fascio detrminato da l, l’ si trasforma tramite Φ in una retta di H 5 , che deve
passare per P e Q, allora è la retta s. Ogni retta di H 5 proviene da un fascio
di rette di P G(3, q). Si conclude:
Teorema 2.2.2. La bigezione Φ trasforma fasci di rette di P G(3, q) in rette
di H 5 e viceversa.

36 Capitolo 2. Rappresentazione delle rette di PG(3,q) sulla quadrica di Klein
Teorema 2.2.3. Una stella Σ di rette di P G(3, q) viene trasformata da Φ in
un piano contenuto nella quadrica H 5 .
Dimostrazione. Si consideri una stella Σ di rette di P G(3, q) di centro il punto
X. Se due rette appartengono a Σ, tutto il fascio da esse determinato
appartiene a Σ; pertanto, se due punti appartengono a Φ(Σ), tutta la retta
congiungente tali punti appartiene a Φ(Σ), segue che Φ(Σ) è uno spazio subordinato
contenuto in H 5 ed è formato da q 2 + q + 1 punti, quindi è un piano.
Questo tipo di piano viene detto piano latino.
Si noti che , analogamente, anche l’insieme delle rette di un piano di P G(3, q)
(detto piano rigato) si trasforma in un piano di H 5 e questo viene detto piano
greco.
Un sottospazio S di P G(5, q) contenuto in H 5 può avere dimensione 1 (cioè è
una retta) oppure dimensione 2 (cioè è un piano).
Se il sottospazio S è una retta contenuta in H 5 , si è già visto prima che corrisponde
ad un fascio di rette di P G(3, q).
Se il sottospazio S è un piano contenuto in H 5 , si considerino due rette distinte
di S; a queste due rette corrispondono due fasci distinti di rette di P G(3, q). Se
i centri dei due fasci coincidono, allora Φ −1 (S) è una stella di rette di P G(3, q).
Se i centri dei due fasci sono distinti, allora Φ −1 (S) è costituito dalle rette di
un piano di P G(3, q).
Ne consegue che:
Teorema 2.2.4. Gli unici sottospazi di P G(5, q) contenuti in H 5 sono i piani
greci, i piani latini e le rette. Inoltre, poiché due stelle di rette distinte e due
piani rigati distinti hanno solo una retta in comune, si ha che l’intersezione
di due piani greci o di due piani latini consiste di un unico punto, mentre
l’intersezione di un piano greco con uno latino è vuota se il centro della stella
è esterno al piano rigato, mentre è una retta se il centro della stella appartiene
al piano rigato.
Siano U = [u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ] e V = [v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ] due piani di P G(3, q) che si
intersecano in una retta l, sia inoltre
ˆlij =
∣ u ∣
i u j ∣∣∣
= u
v i v i v j − u j v i ,
j
ovviamente risulta che ˆl ii = 0, ˆl ij = −ˆl ji .

2.2. Coppie di rette complanari o sghembe di PG(3,q) sulla quadrica di Klein 37
Definizione 2.2.5. Si definiscono coordinate plückeriane duali di l:
ˆL = (ˆl 01 , ˆl 02 , ˆl 03 , ˆl 12 , ˆl 31 , ˆl 23 ).
Le coordinate plückeriane e le loro duali, di una stessa retta l, sono collegate
dalla seguente relazione:
ρ(l 01 , l 02 , l 03 , l 12 , l 31 , l 23 ) =(ˆl 23 , ˆl 31 , ˆl 12 , ˆl 03 , ˆl 02 , ˆl 01 ).
Definizione 2.2.6. Siano L ed L ′ le coordinate plückeriane di due rette l ed
l’; si definisce invariante reciproco:
¯ω(l, l ′ ) = ˆLL ′ t = L ˆL ′t = l 01 l ′ 23 + l 02l ′ 31 + l 03l ′ 12 + l 12l ′ 03 + l 31l ′ 02 + l 23l ′ 01 .
Se l=l’ risulta ¯ω(l, l) = 2l 01 l 23 + 2l 02 l 31 + 2l 03 l 12 ; in tal caso l’invariante
reciproco diventa:
¯ω(l) = 1 2 ¯ω(l, l) = l 01l 23 + l 02 l 31 + l 03 l 12 .
Se con ˆl si indica la retta avente come coordinate plückeriane le coordinate
plückeriane duali della retta l, allora sussistono le seguenti proprietà:
¯ω(l) = 0;
¯ω(l, l ′ ) = 0 ⇐⇒ l, l ′ sono incidenti;
¯ω(ˆl, ˆl ′ ) = ˆLˆL′ t = L ˆL ′t = ¯ω(l, l ′ );
¯ω(ˆl) = 1 2 ¯ω(ˆl, ˆl) = 1 ˆLˆL t = 1 2 2 LˆL t = 1 ¯ω(l, l) = ¯ω(l).
2

2.3. Complessi lineari 39
2.3 Complessi lineari
Definizione 2.3.1. Sia A = (a 01 , a 02 , a 03 , a 12 , a 31 , a 23 ) una 6-upla non nulla di
elementi di GF (q); si definisce complesso lineare generato da A e si denota con
A l’insieme delle rette l di P G(3, q), per cui, se L sono coordinate plückeriane
di l si ha:
A(l) : AL t = a 01 l 01 + a 02 l 02 + a 03 l 03 + a 12 l 12 + a 31 l 31 + a 23 l 23 = 0.
Posto ¯ω(A) = a 01 a 23 + a 02 a 31 + a 03 a 12
si ha:
se ¯ω(A) = 0 il complesso lineare si definisce speciale,
se ¯ω(A) ≠ 0 il complesso lineare si definisce generale.
In alternativa è possibile interpretare A = [a ij ] come le coordinate di un
iperpiano di P G(5, q); in tal caso le rette di un complesso lineare di P G(3, q)
corrispondono ai punti di un iperpiano di P G(5, q), e viceversa.
Proposizione 2.3.2. Il numero di rette di un complesso lineare speciale è:
q 3 + 2q 2 + q + 1.
Dimostrazione. Se il complesso lineare è speciale, si può interpretare il vettore
A come le coordinate duali di una retta r di P G(3, q): pertanto le coordinate
plückeriane di r sono (a 23 , a 31 , a 12 , a 03 , a 02 , a 01 ). Questa retta r sarà detta asse
del complesso lineare e apparterrà ad A poiché ¯ω(A) = 0. Le restanti rette che
formano il complesso lineare sono le rette di P G(3, q) incidenti l’asse. Poiché
oltre all’asse per ogni punto di Φ −1 (A) passano q 2 + q rette, il numero di rette
che costituiscono A è:
(q + 1)(q 2 + q) + 1 = q(q + 1) 2 + 1 = q 3 + 2q 2 + q + 1.
Proposizione 2.3.3. Il numero di rette di un complesso lineare generale è:
Dimostrazione. Si osserva che:
cioè:
q 3 + q 2 + q + 1.
A(l) : AL t = 0,

40 Capitolo 2. Rappresentazione delle rette di PG(3,q) sulla quadrica di Klein
A(l) : ∑ ′′ a ij l ij = ∑ ′′ a ij (x i y j − x j y i ) = (y 0 , y 1 , y 2 , y 3 )T (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) t = 0,
dove ∑ ′′ indica che la sommatoria è estesa agli indici {01,02,03,12,31,23} e
T =
⎛
⎜
⎝
0 −a 01 −a 02 −a 03
a 01 0 −a 12 a 31
a 02 a 12 0 −a 23
a 03 −a 31 a 23 0
è una matrice antisimmetrica.
Pertanto si ottiene una forma bilineare antisimmetrica, che è degenere se e
soltanto se A è speciale. Se il complesso lineare è generale, viene definita una
polarità nulla α di matrice T , essendo det(T ) = ω(A) 2 ≠ 0.
Sia ora X un punto qualsiasi di P G(3, q); il suo piano polare α(X) contiene X
stesso. Pertanto tutti i punti Y di α(X), Y ≠X, sono coniugati di X rispetto
ad α; ne consegue che tutte le rette di α(X) passanti per X appartengono al
complesso lineare generale A.
D’altra parte ogni piano π contiene il suo polo e, quindi, su ogni piano c’è
un fascio di rette (quello di centro α(π)) appartenenti al complesso lineare
generale A.
Pertanto, si presenta la situazione seguente: siano X un punto di P G(3, q)
e α(X) il suo piano polare, X ∈ α(X). Tutte le rette del fascio di centro
X, giacenti su α(X), appartengono al complesso lineare generale A. Se Y ∈
α(X), Y ≠ X, si ha che X e Y sono coniugati rispetto ad α; la retta XY
appartiene tanto ad α(X), quanto ad α(Y ).
Ne consegue che la retta XY appartiene al fascio di rette di centro X su α(X) e,
contemporaneamente, al fascio di rette di centro Y su α(Y ). Questa situazione
si presenta anche per ogni altro punto della retta XY e, quindi, la retta XY
viene contata q + 1 volte tra le rette di A.
In conclusione si ha che il numero dei fasci di rette coincide con il numero dei
punti di P G(3, q); ciascun fascio contiene q + 1 rette, ma ciascuna retta viene
contata q+1 volte come retta di A; dunque, le rette di A sono:
⎞
⎟
⎠
(q 3 + q 2 + q + 1)(q + 1)
q + 1
= q 3 + q 2 + q + 1 = (q 2 + 1)(q + 1).
Scegliendo opportunamente il riferimento di P G(5, q) si ha:
Proposizione 2.3.4. Un complesso lineare generale A ha la forma canonica
A = (1, 0, 0, 0, 0, 1); un complesso lineare speciale A ha la forma canonica
A = (1, 0, 0, 0, 0, 0).

2.3. Complessi lineari 41
Si dimostra inoltre che:
Proposizione 2.3.5. Il numero dei complessi lineari speciali è pari al numero
di rette in P G(3, q) (che ne costituiscono i possibili assi):
(q 2 + 1)(q 2 + q + 1).
Dimostrazione. Un complesso lineare è definito da una 6-upla non nulla
A = (a 01 , a 02 , a 03 , a 12 , a 31 , a 23 ) di elementi di GF (q). Inoltre il complesso lineare
è speciale se ¯ω(A) = 0. In tal caso, interpretando il complesso lineare
A come un punto di P G(5, q), si ha che tale punto appartiene alla quadrica
di Klein e, pertanto, rappresenta una retta di P G(3, q); tale retta è l’asse del
complesso lineare speciale.
Dalla proposizione precedente consegue anche che:
Proposizione 2.3.6. Il numero dei complessi lineari generali è pari al numero
dei punti in P G(5, q) meno il numero delle rette in P G(3, q):
(q 5 + q 4 + q 3 + q 2 + q + 1) − (q 2 + 1)(q 2 + q + 1) = q 2 (q 3 − 1).
Corollario 2.3.7. Un complesso lineare generale A determina una polarità
nulla e viceversa.
Ogni punto X di P G(3, q) è autoconiugato rispetto ad α e l’iperpiano polare
di α(X) è il piano contenente il fascio di rette di A per X. Viceversa, il polo
α −1 (X) di un piano π è il centro del fascio di A in π.

42 Capitolo 2. Rappresentazione delle rette di PG(3,q) sulla quadrica di Klein
Definizione 2.3.8. Si definisce congruenza lineare l’insieme delle rette comuni
a due complessi lineari.
Definizione 2.3.9. Due complessi lineari A, B, rispettivamente generati da
A, B, si definiscono apolari se ω(A, B) = AB t = 0.
Definizione 2.3.10. Una fibrazione F in r-spazi di P G(n, q) è un insieme di
r-spazi che costituiscono una partizione di P G(n, q).
Osservazione 2.3.11. Dalla definizione 2.3.10 si ha che ogni punto di P G(n, q)
appartiene ad uno ed uno solo degli r-spazi di F.
Tutte le congruenze lineari si possono classificare secondo la Tav. 15.1 di [27].
In particolare, una congruenza lineare ellittica si determina nel modo seguente:
si considerano due rette r ed ¯r di P G(3, q 2 ) che siano complesse coniugate
rispetto a GF (q) e che siano sghembe tra loro.
Su ciascuna delle due rette non ci può essere alcun punto reale (cioè a coordinate
in GF (q)) e , anzi, a ciascun punto P di r corrisponde il punto ¯P complesso
e coniugato di P in ¯r. Ovviamente la retta P ¯P è una retta reale, e il numero
di tali rette reali è q 2 + 1. Queste q 2 + 1 rette di P G(3, q) costituiscono una
fibrazione di P G(3, q). Infatti risultano a due a due sghembe: siano P e Q due
punti distinti di r e siano ¯P e ¯Q i rispettivi punti complessi coniugati sulla retta
¯r. Se le rette P ¯P e Q ¯Q fossero incidenti, il piano che le contiene conterrebbe
anche le rette r = P Q ed ¯r = ¯P ¯Q, questo contraddice l’ipotesi che r ed ¯r siano
sghembe.

Capitolo 2. Fibrazioni in rette di P G(3, q) ed ovoidi sulla quadrica di Klein 43
2.4 Fibrazioni in rette di P G(3, q) ed ovoidi sulla quadrica
di Klein
Applicando la definizione 2.3.10 a P G(3, q) si ha:
Definizione 2.4.1. Si chiama fibrazione totale (o semplicemente fibrazione)
in rette dello spazio P G(3, q) una famiglia F di rette a due a due sghembe che
costituiscano una partizione dell’intero spazio P G(3, q).
Definizione 2.4.2. Si chiama fibrazione parziale di P G(3, q) una famiglia F
di rette a due a due sghembe che non costituiscano una partizione dell’intero
spazio P G(3, q).
Si osserva che una fibrazione totale consta esattamente di q 2 + 1 rette poiché
il numero dei punti di P G(3, q) è
1 + q + q 2 + q 3 = (1 + q)(1 + q 2 )
e ciascuna retta contiene q + 1 punti.
Può accadere che q + 1 delle rette di F appartengano ad una stessa quadrica
iperbolica H 3 di P G(3, q): in tal caso esse costituiscono un regolo R o schiera
di rette di H 3 .
Definizione 2.4.3. Si dice che una fibrazione F è regolare se, comunque si
considerino tre sue rette l 1 , l 2 , l 3 , accade che ogni retta del regolo determinato
dalle tre rette appartiene ancora a F .
A questo proposito conviene segnalare esplicitamente che per dire che F
sia regolare non basta che contenga regoli.
Sulla quadrica iperbolica determinata da un regolo R esiste anche un altro regolo
R ′ , detto regolo opposto di R ; il regolo R ed il regolo opposto R ′ vanno a
fibrare una stessa porzione dello spazio P G(3, q); pertanto si ottiene una nuova
fibrazione (totale o parziale) sostituendo le rette di R con quelle del suo regolo
opposto R ′ , cioè si ha una nuova fibrazione (F −R)∪R ′ . Per descrivere questa
operazione si dice che si rovescia il regolo R ; questo procedimento viene detto
δ-derivazione (in tal modo si ottengono i piani di Hall, [30] e [31]).
Talvolta la derivazione sui regoli descritta sopra si può effettuare anche rivoltando
due o più regoli disgiunti di F. Denotati con R 1 ,R 2 ,....,R k i k regoli
a due a due disgiunti, si ottiene quindi una nuova fibrazione
F ′ = (F − ⋃ k
i=1 R i) ∪ ⋃ k
i=1 R′ i .

44 Capitolo 2. Rappresentazione delle rette di PG(3,q) sulla quadrica di Klein
Le fibrazioni ottenute come F ′ sono dette subregolari e , di solito, non sono
regolari (in tal modo si ottengono i piani di Andrè, [7], [30] e [31]).
Definizione 2.4.4. Si chiama ovoide della quadrica di Klein H 5 un insieme
di q 2 + 1 punti a due a due non coniugati rispetto ad H 5 .
Le rette di una fibrazione in P G(3, q) corrispondono in P G(5, q) ad una ovoide
che si trova sulla quadrica di Klein H 5 (vedi paragrafo 2.2); infatti:
1. a due rette sghembe in P G(3, q) corrispondono sulla quadrica di Klein
in P G(5, q) due punti non coniugati rispetto a H 5 ;
2. una retta per due punti non coniugati è una retta bisecante H 5 ;
3. le q 2 + 1 rette di una fibrazione totale di P G(3, q) corrispondono ad
una ovoide sulla quadrica di Klein.

2.5. Rappresentazione del gruppo alterno A 6 45
2.5 Rappresentazione del gruppo alterno A 6 come
gruppo lineare che conserva la quadrica di Klein
La quadrica di Klein H 5 è una quadrica iperbolica di P G(5, q). Poiché tutte
le quadriche iperboliche di P G(5, q) sono proiettivamente equivalenti, conviene
scegliere il riferimento di P G(5, q) in modo che la quadrica di Klein sia
rappresentata mediante la seguente equazione:
H 5 :
6∑
i=1
x i 2 −
∑
1≤j , generato dalle collineazioni associate a g 1 e g 2 .
Le collineazioni associate a g 1 e g 2 hanno ordine 5 e 3, rispettivamente, e
agiscono sui punti E i del riferimento di P G(5, q) nel modo seguente:
g 1 : (E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 )(E 6 )(E 7 )
g 2 : (E 1 )(E 2 )(E 3 )(E 4 E 5 E 6 )(E 7 )
Il gruppo G =< g 1 , g 2 > agisce sui punti del riferimento di P G(5, q) come il
gruppo alterno A 6 sui sei oggetti E i , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
L’intero gruppo simmetrico S 6 è generato da g 1 , g 2 , g 3 , essendo
⎡
g 3 =
⎢
⎣
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
La permutazione associata a g 3 è l’involuzione che scambia E 5 con E 6 .
⎤
.
⎥
⎦
⎤
.
⎥
⎦

46 Capitolo 2. Rappresentazione delle rette di PG(3,q) sulla quadrica di Klein

Capitolo 3
Piani di traslazione di ordine q 2
e quadrica di Klein
Un problema centrale in Geometria Combinatoria è quello di determinare piani
non desarguesiani (cioè non costruiti su un corpo) e, in particolare, piani di
traslazione.
È noto che la costruzione di piani di traslazione è collegata a quella di fibrazioni
di P G(3, q) e, come si vedrà nel successivo Capitolo 4, una tecnica per
costruire fibrazioni si basa sul concetto di catene di cerchi.
3.1 Generalità sui piani di traslazione
Definizione 3.1.1. Si considera un piano proiettivo π; si chiama retta di traslazione
di π una sua retta r tale che π sia (P, r)-transitivo per ogni punto P
di r.
Assumendo una tale retta come retta impropria e considerando π −r si ottiene
nel modo abituale un piano affine, detto piano di traslazione.
Conviene ricordare che un piano proiettivo π si dice (P, r)-transitivo se, comunque
si considerino due punti distinti X e Y di π − r allineati con P e
distinti da esso, si ha che esiste esattamente una collineazione γ di centro P e
asse r tale che X γ = Y (vedi [20], pag.122, 15; [28], 99).
Ovviamente non tutti i piani proiettivi sono dotati di una retta di traslazione
e, in caso affermativo, può accadere che una tale retta sia unica.

48 Capitolo 3. Piani di traslazione di ordine q 2 e quadrica di Klein
Si chiamano piani di Moufang i piani proiettivi in cui ogni retta è retta di
traslazione. Questo si verifica nei piani desarguesiani.
Osservazione 3.1.2. Conviene evidenziare il fatto che un piano di traslazione
π − r è sempre transitivo; infatti comunque si considerino due punti affini A e
B esiste sempre una traslazione che porta A in B: si tratta della collineazione
centrale di π che ha la retta r come asse e come centro il punto di intersezione
di r con la retta congiungente i punti A e B.
Questa proprietà comporta, ad esempio, che ogni retta di un piano di traslazione
si può pensare come traslata di una retta che passa per l’origine. Ne
consegue che, per conoscere tutte le rette di un piano di traslazione, è sufficiente
conoscere le rette passanti per un punto prefissato, che si potrà assumere
come origine di un riferimento affine.
Definizione 3.1.3. Le rette di un piano di traslazione passanti per l’origine
si chiamano componenti del piano di traslazione.
Come accade per tutti i piani affini o proiettivi, una informazione fondamentale
sul piano stesso è data dalla conoscenza del suo gruppo di collineazioni
e la “ricchezza” o meno di questo gruppo lo rende più o meno “somigliante” ad
un piano desarguesiano che è quello con gruppo di collineazioni più ampio.
Nel caso dei piani di traslazione, come già detto, esistono tutte le traslazioni,
anzi il gruppo delle traslazioni costituisce un sottogruppo normale dell’intero
gruppo di collineazioni del piano. Questo significa che per poter conoscere l’intero
gruppo di collineazioni di un piano di traslazione è sufficiente conoscere il
gruppo quoziente dell’intero gruppo delle collineazioni rispetto al sottogruppo
delle traslazioni.
Questo gruppo quoziente si chiama complemento di traslazione ed è isomorfo
allo stabilizzatore di un punto qualsiasi del piano stesso nell’intero gruppo delle
collineazioni del piano.
Tanto più grande è il complemento di traslazione, tanto più il piano si avvicina
a quello desarguesiano.
Gli approcci alla costruzione di piani di traslazione ed i punti di vista dai quali
tale studio è stato affrontato sono veramente tanti per cui la letteratura in
materia è particolarmente vasta. Un esempio significativo è dovuto ad André,
che negli anni ’50 ha ottenuto piani di traslazione per via algebrica, costruendo
quasicorpi, cioè strutture algebriche atte a coordinatizzare piani di traslazione
([7], [30] e [31]).

3.1. Generalità sui piani di traslazione 49
In questa tesi viene esposto un particolare modo di ottenere piani di traslazione
di ordine q 2 , con q dispari e di dimensione 2 sul proprio nucleo. Questo
vuol dire che il sottopiano desarguesiano più ampio contenuto nel piano di traslazione
ha ordine q.
Un metodo molto usato per costruire piani di traslazione è quello noto con
il nome di “derivazione”, che consiste nel costruire un piano nuovo, a partire
da un piano noto, sostituendo un certo insieme di rette con altrettanti sottoinsiemi
in modo che sussistano ancora gli assiomi necessari. Esplicitamente,
si considera un piano proiettivo π di ordine q 2 ed una sua retta r da
considerare come retta impropria del piano affine π − r. Si osserva anzitutto
che un sottopiano affine di Baer di π − r ha esattamente q 2 punti, che è
anche il numero di punti di una retta affine di π − r. Quindi da un punto di
vista aritmetico è possibile sostituire una retta di π − r con un sottopiano
affine di Baer. Anzi è possibile sostituire più rette di π − r con altrettanti
sottopiani affini di Baer. Le cose non vanno sempre bene da un punto di
vista geometrico perché, almeno in generale, dopo una tale sostituzione non
si verificano gli assiomi di incidenza. Talvolta, operando in modo opportuno,
le cose vanno bene anche da un punto di vista geometrico. A questo scopo si
considera una sottoretta di Baer D costituita da q + 1 punti impropri; le rette
di π − r che intersecano r in uno dei punti di D sono in numero di q 2 · (q + 1)
che è anche il numero dei sottopiani di Baer determinati dalla sottoretta D e
da due qualsiasi punti A e B (distinti) di π − r tali che il punto improprio
della retta AB appartenga alla sottoretta D.
Ora si considera il piano proiettivo π = P G(2, q 2 ); lasciando invariati i punti
di π − r e sostituendo tutte le q 2 · (q + 1) rette di cui sopra con gli altrettanti
sottopiani descritti, si ha che π − r è ancora un piano affine, anzi un piano di
traslazione; quest’ultimo, in generale, (per q > 4, sempre) non è isomorfo al
piano iniziale π.
Il piano π − r così ottenuto si dice δ-derivato da P G(2, q 2 ).
In particolari situazioni questa costruzione si può applicare anche a partire da
un piano che non sia desarguesiano. Naturalmente disponendo di due o più
sottorette di Baer di r, che siano a due a due disgiunte tra loro, il procedimento
descritto sopra può essere applicato anche a ciascuna delle sottorette
separatamente: si ottiene, in tal modo, una costruzione detta δ-derivazione
multipla.

3.2. Rappresentazione dei piani di traslazione di ordine q 2 51
3.2 Rappresentazione dei piani di traslazione
di ordine q 2
Si considera uno spazio vettoriale V su GF (q) di dimensione 4; la quaterna
di componenti di un vettore qualsiasi di V può essere interpretata come coppia
di coordinate in un piano affine π. In particolare al vettore nullo 0 V di
V corrisponde l’origine di π. Le componenti, cioè le rette per l’origine di π,
corrispondono a q 2 + 1 sottospazi di V di dimensione 2 che costituiscono una
partizione di V − {0 V }. Le altre rette di π si ottengono traslando le componenti.
D’altra parte, assumendo V come spazio vettoriale su cui si costruisce P G(3, q)
nel modo classico, si ha che le componenti corrispondono a q 2 + 1 rette che
formano una fibrazione, cioè ad una partizione in rette dei punti di P G(3, q).
Pertanto, ad un qualunque piano di traslazione di dimensione due sul suo nucleo
GF (q) corrisponde una fibrazione di P G(3, q), e viceversa.
Il complemento di traslazione coincide con il gruppo di tutte le collineazioni
lineari di P G(3, q) che conserva la fibrazione corrispondente.
La struttura di incidenza π risulta essere un piano di traslazione comunque si
scelga la fibrazione F; si dimostra, in particolare, che:
Teorema 3.2.1. Le fibrazioni regolari (def. 2.4.3) sono tutte e sole quelle che
corrispondono ai piani desarguesiani.
Quindi un modo per ottenere piani di traslazione non desarguesiani consiste
nel costruire fibrazioni non regolari di P G(3, q). Rivoltando un solo regolo
di P G(3, q), si ottiene una fibrazione non regolare che determina un piano di
Hall, mentre rivoltando più regoli si ottiene una fibrazione non regolare che
determina un piano di André.
Il metodo per costruire un piano di traslazione a partire da una fibrazione di
P G(3, q) è ben noto ([43], [38]).
Si considera uno spazio proiettivo S = P G(4, q) e un suo iperpiano Σ ∼ =
P G(3, q) munito di una fibrazione in rette F; l’iperpiano Σ sarà considerato
come iperpiano all’infinito di S. Allora i punti affini di S si possono considerare
come punti di un piano affine π. Le componenti di questo piano affine π
sono i piani di S determinati dall’origine di S e da una retta della fibrazione
F. Tutte le altre rette di π si ottengono traslando le componenti. Con questa
costruzione π diviene un piano di traslazione.
Il gruppo delle collineazioni del piano di traslazione π si ritrova nel modello

52 Capitolo 3. Piani di traslazione di ordine q 2 e quadrica di Klein
(S, Σ, F) come il gruppo G delle collineazioni di S che lasciano fisso l’iperpiano
Σ permutando tra loro le rette della fibrazione F; le traslazioni di π corrispondono
alle collineazioni di S che fissano F retta per retta; il complemento di
traslazione di π corrisponde al gruppo delle collineazioni di S che conserva F
globalmente, ma non retta per retta; infine le omotetie di centro O ∈ S − Σ
(cioè le collineazioni di S che fissano Σ retta per retta e fissano anche un punto
O di S − Σ) corrispondono all’identità di π.
Dalla relazione descritta tra rette di una fibrazione di P G(3, q) e ovoidi sulla
quadrica di Klein in P G(5, q) nel paragrafo 2.4 segue che ad un piano di
traslazione corrisponde una fibrazione in rette di P G(3, q) che, a sua volta,
corrisponde in P G(5, q) a una ovoide sulla quadrica di Klein H 5 .

Capitolo 4
Piani di traslazione di ordine q 2
associati a catene di cerchi
4.1 Generalità sulle catene di cerchi
Una fibrazione dello spazio proiettivo Σ = P G(3, q) è una famiglia di q 2 + 1
rette a due a due disgiunte di Σ; tali rette costituiscono una partizione in rette
di tutti i punti dello spazio proiettivo. Utilizzando la corrispondenza di André
[7] o di Bruck e Bose [16], una fibrazione determina un piano di traslazione di
dimensione 2; anzi, ogni piano di traslazione di dimensione 2 si può ottenere
in questo modo. Due tali piani sono isomorfi se e solo se le corrispondenti
fibrazioni sono proiettivamente equivalenti, [7].
Conviene ricordare che si chiama regolo (o anche schiera di rette) di Σ un
insieme R di q+1 rette a due a due sghembe che verificano la proprietà seguente:
se una retta r di Σ interseca tre rette di R, allora r interseca anche tutte le
altre rette di R. L’insieme dei (q + 1) 2 punti coperti da un regolo costituisce
una quadrica iperbolica di Σ ed è noto che su quella stessa quadrica si trova
anche un secondo regolo, detto regolo opposto del regolo R.
Come è noto, tre rette disgiunte qualsiasi di Σ sono contenute in una
unica quadrica iperbolica, quindi determinano in modo unico un regolo di appartenenza
(e, contemporaneamente, il suo regolo opposto).
Conviene ricordare che una fibrazione si dice regolare se comunque si considerino
tre sue rette, tutte le rette del regolo da esse determinato appartengono
ancora alla fibrazione.

54 Capitolo 4. Piani di traslazione di ordine q 2 derivanti da catene di cerchi
Il piano di traslazione associato ad una fibrazione regolare è desarguesiano
(o classico).
Il metodo maggiormente usato per costruire fibrazioni non regolari consiste
nel sostituire opportune famiglie di rette di una fibrazione regolare con una
nuova fibrazione parziale che copra lo stesso insieme di punti di P G(3, q).
In questa direzione un’idea valida consiste nel sostituire le rette di un regolo
con le rette del regolo opposto. Questo metodo viene detto δ-derivazione o
”replacement”. Lo stesso procedimento può essere esteso a più regoli a due a
due disgiunti. Una fibrazione ottenuta in questo modo viene detta subregolare
e il metodo viene detto δ-derivazione multipla.
Altre generalizzazioni sono dovute a Bruen [13] mediante le catene di regoli
e a Baker ed Ebert [9] mediante i nests, di cui si introducono le definizioni.
Definizione 4.1.1. Una catena di regoli è un insieme di (q + 3)/2 regoli di
P G(3, q) che verifichino le seguenti proprietà
1. due regoli qualsiasi hanno in comune due rette;
2. tre regoli qualsiasi non hanno alcuna retta in comune.
Tenendo conto della rappresentazione di Bruck, vedi [15], che trasforma
rette e regoli di P G(3, q) in punti e cerchi di una quadrica ellittica, si pone la
seguente
Definizione 4.1.2. Una catena di cerchi è un insieme di (q + 3)/2 cerchi di
una quadrica ellittica di P G(3, q) che verifichino le seguenti proprietà
1. due cerchi qualsiasi hanno in comune due punti;
2. tre cerchi qualsiasi non hanno alcun punto in comune.
La stessa definizione si può anche interpretare in un piano inversivo Miqueliano
M(q); tale piano si ottiene proiettando su un piano affine una quadrica ellittica
da un suo punto.
Definizione 4.1.3. Nello spazio proiettivo P G(3, q) si chiama t-nest una famiglia
di t regoli di una fibrazione regolare F tali che ogni retta di F appartenga
esattamente a zero oppure a due regoli.
Una catena di regoli di Bruen risulta ora essere un t-nest per il quale sia
t = (q + 3)/2.

4.3. Esempi noti di catene di cerchi e di piani di traslazione associati 55
4.2 Esempi noti di catene di cerchi e di piani di
traslazione associati
In [13] l’autore determina una catena di cerchi per q = 5 ed una per q = 7,
dimostrando che in entrambi i casi le due catene di regoli corrispondenti sono
”rimpiazzabili”. Questo vuol dire che l’insieme dei punti dello spazio proiettivo
P G(3, q) coperti dalle rette di questi regoli può essere coperto scegliendo in
modo opportuno alcune rette appartenenti ai regoli opposti a quelli della catena.
Questo procedimento viene detto β-derivazione. Insieme ad altri risultati
di carattere generale, Bruen dimostra che questa scelta deve necessariamente
essere fatta prendendo da ciascun regolo opposto esattamente la metà delle
q + 1 rette che lo compongono.
Successivamente sono state costruite catene di regoli anche per q = 9, 11,
13, 17, 19 (vedi [4, 32, 17, 36, 8, 9]) e sono stati studiati i corrispondenti piani
di traslazione ottenuti mediante β-derivazione.
A tutt’oggi non si conoscono costruzioni di catene di cerchi per infiniti valori
di q, anzi quest’ultimo rappresenta un problema aperto famoso in Geometria
Combinatoria e giustifica le ricerche al calcolatore, esaustive e non.
L’uso sistematico del computer per la ricerca di catene di cerchi di Bruen
ha avuto inizio intorno al 1995 ad opera di O. Heden ( vedi [23] , [24]). A
tale proposito Heden dapprima determina opportune condizioni algebriche in
termini di equazioni in GF (q) che caratterizzano le catene di Bruen; quindi,
utilizzando questa caratterizzazione, Heden mette a punto un algoritmo per
una ricerca esaustiva per i primi valori di q e, comunque, utilizzabile per valori
di q ≤ 61. L’idea di Heden si può riassumere come segue. Si considera arbitrariamente
un cerchio C 1 del piano M(q) e si determinano tutti i possibili cerchi
di M(q) che intersechino C 1 esattamente in due punti; per ciascun cerchio C 2
tra quelli ottenuti, si determinano tutti gli ulteriori cerchi C 3 che intersecano
tanto C 1 , quanto C 2 in due punti, ma in modo che i tre cerchi non abbiano
alcun punto in comune.
Questa indagine viene ripetuta sistematicamente sino ad ottenere la catena
richiesta. Ovviamente si tratta di una indagine molto onerosa in termini computazionali
(per q = 37 una SPARCstation 5 ha impiegato una settimana per
far girare un programma scritto in linguaggio C + ). Per questa ragione l’indagine
di Heden è esaustiva solo per i primi valori di q, q ≤ 27. Gli articoli
di Heden, oltre a confermare i risultati già noti, hanno fornito nuove catene
per certi valori di q e risultati di non esistenza per altri valori di q. A loro
volta questi risultati sono stati ulteriormente confermati e completati in [18]

56 Capitolo 4. Piani di traslazione di ordine q 2 derivanti da catene di cerchi
per q ≤ 49.
Teorema 4.2.1. A meno di equivalenza proiettiva, esiste una sola catena di
Bruen in una fibrazione regolare di P G(3, 5) ed esistono esattamente due catene
di Bruen in una fibrazione regolare di P G(3, q) per i seguenti valori di q =
7, 11, 13, 17, 19, 23.
Non è noto se esistano catene di cerchi per q = 29, 41, 43, 47, 53, 59, 61.
Teorema 4.2.2. Ogni catena di Bruen è ”rimpiazzabile” (cioè una catena di
regoli risulta essere sempre β-derivabile).
Negli articoli [23, 24] Heden studia solo i casi in cui q sia un numero primo;
con Saggese in un articolo successivo, [25], si occupa dei valori di q che non
sono primi, limitandosi a descrivere le catene di cerchi ottenute:
Teorema 4.2.3. A meno di equivalenza proiettiva, esistono due catene di
Bruen in una fibrazione regolare di P G(3, q) per q = 9, 25 ed una sola per
q = 27; non è noto se esistano catene di cerchi per q = 49.
Qui di seguito vengono riportati brevemente i risultati noti al variare di q; sarà
denotato con G 1 il gruppo delle collineazioni lineari che lasciano invariata la
catena di cerchi sulla quadrica ellittica, con G 2 il gruppo delle collineazioni
lineari che lasciano invariata la catena di regoli, con G 3 il complemento di
traslazione del piano di traslazione. È noto che le collineazioni del gruppo
G 1 danno luogo ad altrettante collineazioni di G 2 ; ma in G 2 ci sono ancora
le collineazioni che fissano globalmente ma non puntualmente ciascuna retta
della fibrazione; queste ultime formano un gruppo ciclico di ordine q + 1 di cui
però, solo la metà conservano la fibrazione β-derivata.
In [1] si classificano i gruppi che possono conservare queste fibrazioni.
4.3 Caso q = 5
Dalla classificazione di Heden [23] esiste soltanto una catena di cerchi ed è
quella ottenuta da Bruen in [13]. I gruppi G 1 , G 2 e G 3 sono stati studiati in
[2]. Il gruppo G 1 ha ordine 48 e si ottiene come prodotto semidiretto di un
gruppo isomorfo a S 4 e di una involuzione. Il complemento di traslazione G 3 del
corrispondente piano di traslazione ha ordine 144 ed è il prodotto di un gruppo
isomorfo a S 4 e di un gruppo ciclico di ordine 6. Le orbite del gruppo G 3 sulla
retta all’infinito hanno lunghezza 12, 8, 6. Una quadrica ellittica Q di P G(3, 5)
è formata da 26 punti; 12 di essi formano i 4 cerchi della catena di Bruen. In

4.3. Esempi noti di catene di cerchi e di piani di traslazione associati 57
[3] si dimostra che è possibile costruire un’altra catena di cerchi sulla stessa
quadrica ellittica Q utilizzando altri 12 punti (ne restano inutilizzati solo 2).
Questo dimostra che il procedimento di β-derivazione si può applicare anche a
piani non desarguesiani, cioè anche a fibrazioni che non siano regolari.
Il gruppo di automorfismi del piano di traslazione ottenuto con la doppia β-
derivazione ha ordine 48 ed è il prodotto di un gruppo isomorfo a S 3 e di un
gruppo ciclico di ordine 8; le sue orbite sulla retta all’infinito hanno lunghezza
12, 12, 2.
4.4 Caso q = 7
Dalla classificazione di Heden [23] vi sono esattamente due catene di cerchi
non isomorfe. In [13] A.A. Bruen ha determinato una prima catena di cerchi
e, successivamente, G. Korchmáros in [33] ha determinato l’altra. La catena
di Bruen viene lasciata fissa da un gruppo di collineazioni G 1 di P G(3, 7) di
ordine 48, con orbite sui 5 cerchi: (1,2,3,4)(5). Quella di Korchmáros viene
lasciata fissa da un gruppo che agisce in modo transitivo sui 5 cerchi; questo
gruppo ha ordine 120 e ha la notevole proprietà di non essere risolubile, [34].
A partire dal piano β-derivato di Bruen, in [11] si costruiscono due nuovi
piani di traslazione di ordine 49 mediante una δ-derivazione ed una doppia
δ-derivazione, rispettivamente. In modo analogo in [37] si ottiene un nuovo
piano di traslazione mediante una δ-derivazione del piano di Korchmáros.
In [6] si dimostra che nel caso della catena di cerchi ottenuta da Korchmáros
è possibile costruire una seconda catena di cerchi sulla quadrica ellittica e, di
conseguenza, effettuare una doppia β-derivazione. Questo non accade nel caso
della catena di cerchi ottenuta da Bruen. Ancora in [6] utilizzando anche un
personal computer, gli autori forniscono una classificazione completa dei piani
di traslazione di ordine 49 che si ottengono mediante δ-derivazione a partire
dal piano di Bruen e da quello di Korchmáros. Esistono cinque classi di isomorfismo
di tali piani; precisamente, oltre ai tre piani citati precedentemente,
ci sono due nuovi piani ottenuti dal piano di Bruen con δ-derivazione semplice
oppure doppia. Conviene osservare esplicitamente che in [39] e [19] gli autori,
indipendentemente, hanno effettuato una ricerca esaustiva dei piani di traslazione
di ordine 49 e dei loro gruppi di collineazioni. Tuttavia i loro risultati
non sono sufficienti per ottenere teoremi di classificazione su tipi particolari di
piani di traslazione come sono i piani β-derivati.

58 Capitolo 4. Piani di traslazione di ordine q 2 derivanti da catene di cerchi
4.5 Caso q = 9
Dalla classificazione di Heden e Saggese [25] vi sono esattamente due catene
di cerchi non isomorfe, [4, 25]. In [4] viene determinato il gruppo G 1 ; questo
gruppo ha ordine 48 e agisce in modo transitivo sui 6 cerchi della catena. Il
complemento di traslazione G 3 è un gruppo risolubile di ordine 1920 e determina
sulla retta all’infinito del piano di traslazione 6 orbite di lunghezze
24, 24, 12, 12, 6, 4.
4.6 Caso q = 11
Dalla classificazione di Heden [23] vi sono esattamente due catene di cerchi non
isomorfe; la prima era stata ottenuta precedentemente da Korchmáros, [32], e
dà luogo ad un piano di traslazione costruito in [46] il cui complemento di
traslazione ha la notevole proprietà di essere un gruppo non risolubile. Infatti
Abatangelo e Larato, [5], hanno dimostrato che il relativo complemento di
traslazione risulta essere isomorfo a SL(2, 5).
L’altra catena ottenuta da Capursi, [17], dà luogo ad un piano di traslazione
il cui complemento di traslazione è un gruppo risolubile, prodotto semidiretto
di un gruppo diedrale di ordine 10 e di una involuzione.
4.7 Caso q = 13
Dalla classificazione di Heden [23] vi sono esattamente due catene di cerchi
non isomorfe. In [47, 48, 35, 36] le autrici costruiscono il piano di traslazione
associato ad una delle due catene. Il gruppo G 1 ha ordine 24 (è prodotto
diretto di un gruppo diedrale di ordine 12 e di un gruppo di ordine 2) con
orbite sugli 8 cerchi: (1,2,3,4,5,6)(7,8). Il gruppo G 2 ha ordine 336. Il gruppo
G 3 ha ordine 168 e sulla retta all’infinito determina due orbite di lunghezza 24,
otto di lunghezza 12, due di lunghezza 6, tre di lunghezza 4 e una di lunghezza
2.
Dal piano di traslazione ottenuto sono stati costruiti due nuovi piani di traslazione
mediante δ-derivazione multipla, [36]; si osserva che questa ricerca non
appare essere esaustiva. L’altra catena di cerchi viene determinata in [23]; il
suo gruppo è isomorfo a S 4 , con orbite sugli 8 cerchi: (1,2,5,7) (3,4,6,8).

4.3. Esempi noti di catene di cerchi e di piani di traslazione associati 59
4.8 Caso q = 17
Dalla classificazione di Heden [23] vi sono esattamente due catene di cerchi non
isomorfe. Una catena era già stata ottenuta in [8]; questa viene fissata da un
gruppo diedrale di ordine 16 ed ha orbite sui 10 cerchi: (1,6) (2,3,4,5,7,8,9,10).
L’altra viene fissata da un gruppo diedrale di ordine 12 ed ha orbite sui 10
cerchi: (1) (2,3,4) (5,6,7,8,9,10).
4.9 Caso q = 19
Dalla classificazione di Heden [23] vi sono esattamente due catene non isomorfe.
Baker e Ebert in [9] hanno determinato una delle due; il gruppo G 1 che conserva
la catena dei cerchi è isomorfo al gruppo simmetrico S 4 e agisce sugli 11 cerchi
nel modo seguente: (1,2,11) (3,4,8,9) (5,6,7,10). Il complemento di traslazione
G 3 del piano di traslazione corrispondente è un gruppo risolubile di ordine 2160
dotato di un sottogruppo normale, ciclico, di ordine 180; il gruppo quoziente
è isomorfo ad A 4 . Heden ha determinato anche l’altra catena di cerchi; questa
catena viene fissata da un gruppo diedrale di ordine 12 e sugli 11 cerchi ha
orbite: (1,2,3,4,6,7) (5,10,11) (8,9).
4.10 Caso q = 23
Dalla classificazione di Heden [23] esiste una sola catena di cerchi; questa catena
viene fissata da un gruppo diedrale di ordine 8 e sui 13 cerchi ha orbite: (1,6,8,9)
(2,3,7,11) (4,5,10,12) (13).
4.11 Caso q = 31
In questo caso la classificazione di Heden non è completa, tuttavia determina
una catena di cerchi. Questa catena viene fissata da un gruppo isomorfo a S 4
e sui 17 cerchi ha orbite: (1,3,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17) (2,4,9,12) (5).
4.12 Caso q = 37
In [24] Heden ha determinato una catena di cerchi, il cui gruppo G 1 agisce in
modo transitivo sui 20 cerchi della catena.

Capitolo 5
Piani di traslazione di ordine q 2
associati ad ovoidi A 6 -invarianti
5.1 Classificazione di Ostrom
Il gruppo totale G delle collineazioni del piano di traslazione è il prodotto semidiretto
G = T ⋊ H, dove T è il gruppo delle traslazioni e H è lo stabilizzatore
di un punto del piano di traslazione, detto complemento di traslazione.
Nel 1977 Ostrom ha proposto il problema di determinare piani di traslazione
di ordine q 2 e di dimensione due sul proprio nucleo, il cui complemento di
traslazione abbia un sottogruppo di ordine coprimo rispetto a q. Una parziale
risposta al quesito, è stata data dallo stesso Ostrom in [44] e in [45]; egli ha
considerato i sottogruppi irriducibili G di GL(4, q) che si possono presentare
nel complemento di traslazione di un piano di traslazione di dimensione due
sul suo nucleo GF (q). Ostrom ha fornito un elenco completo per G (o per il
gruppo quoziente G di G rispetto al sottogruppo delle dilatazioni). Si possono
presentare le seguenti eventualità:
a. G è ciclico;
b. G ha un sottogruppo normale di indice 1 o 2 che può essere ciclico, oppure
diedrale, oppure isomorfo a P SL(2, 3), P GL(2, 3), P SL(2, 5);
c. G ha un sottogruppo normale ciclico H tale che G/H è isomorfo ad un
sottogruppo di S 4 ;

62 Capitolo 5. Piani di traslazione di ordine q 2 associati ad ovoidi A 6 -invarianti
d. G ha un sottogruppo normale di indice 1 o 2 che è isomorfo ad un sottogruppo
di GL(2, q h ), per un opportuno valore di h; la corrispondente
immagine è contenuta in P SL(2, q h ) ed è uno dei gruppi elencati in b.;
e. G ha un sottogruppo E normale, abeliano elementare di ordine 16 tale
che G/E ∼ = A 5 ;
f. G ha un sottogruppo isomorfo a P SL(2, 9);
g. G ha un sottogruppo normale riducibile H che agisce in modo non fedele
sui suoi sottospazi minimali: questi possono avere dimensione 2, nel qual
caso H ha indice 2 in G, oppure hanno dimensione 1. Se H 0 è il sottogruppo
che fissa uno di essi, allora H/H 0 è ciclico e G/H è isomorfo ad
un sottogruppo di S 4 .

5.2. I piani di Mason e di Nakagawa 63
5.2 I piani di Mason e di Nakagawa
Dalla classificazione precedente si deduce che le due possibilità di avere un
gruppo semplice che si possono presentare sono quelle di un gruppo isomorfo
al gruppo alterno A 5 oppure al gruppo alterno A 6 .
In particolare il caso di A 5 è stato affrontato da Mason e da Ostrom, i quali
hanno costruito sia famiglie infinite di tali piani, sia esempi sporadici ([40],
[41]).
A tutt’oggi non sono note famiglie infinite di piani di traslazione di caratteristica
p > 3 aventi nel loro complemento di traslazione sottoguppi isomorfi al
gruppo alterno A 6 .
In [40] Mason prova il seguente
Teorema 5.2.1. Esistono esattamente due classi di isomorfismo di piani di
traslazione π di dimensione 2 sul suo nucleo GF (7); in una classe il complemento
lineare di traslazione ha un sottogruppo normale G tale che G/Z(G) ∼ =
A 6 ; nell’altra classe il complemento lineare di traslazione ha un sottogruppo
normale G tale che G/Z(G) ∼ = S 6 .
In [42] Nakagawa prova il seguente
Teorema 5.2.2. Sia π un piano di traslazione di dimensione 2 sul suo nucleo
GF (11); allora il suo complemento lineare di traslazione ha un sottogruppo normale
G tale che G/Z(G) ∼ = S 6 . A meno di isomorfismi, esistono esattamente
tre tali piani di traslazione sul nucleo GF (11).
Successivamente Biliotti e Korchmáros in [10] hanno costruito diversi piani
di traslazione di ordine q 2 con q = 5, 7, 11, 13, 17, 19 il cui complemento di
traslazione contiene un sottogruppo G tale che G/Z(G) ∼ = A 6 . Questi piani
e il metodo usato sono descritti nel paragrafo successivo. Qui ci limitamo
ad osservare che gli autori ritrovano i piani di Mason per q = 7 e quello di
Nagakawa per q = 11.

5.3. I piani di Biliotti-Korchmáros 65
5.3 I piani di Biliotti-Korchmáros
Nel paragrafo 5.1 è stato riportato il teorema di Ostrom che classifica tutti i
complementi di traslazione irriducibili riguardati come gruppi di affinità. Nel
medesimo lavoro [44], Ostrom ha proposto di determinare ulteriori piani di
traslazione associati a fibrazioni A 6 -invarianti di P G(3, q).
Nel 1990 Biliotti e Korchmáros in [10] hanno affrontato questo problema mediante
un approccio diverso da quelli precedenti. Per costruire una fibrazione
in rette di P G(3, q), q = p 2 , 5 ≤ p ≤ 19, questi autori hanno usato la rappresentazione
di tali rette sulla quadrica di Klein. In questo ambito hanno
ottenuto parecchi esempi di piani di traslazione con la proprietà richiesta ed
hanno ritrovato gli esempi noti di Hering per q = 5 , di Mason per q = 7 e di
Nakagawa q = 11.
I risultati di Biliotti e Korchmáros sono riportati nella seguente tabella:
p 5 7 11 13 17 19
N 1 2 8 3 4 14
dove N indica il numero corrispondente di piani proiettivamente non-equivalenti.
Come si è visto nei paragrafi precedenti, esiste una corrispondenza biunivoca
tra le fibrazioni in rette di P G(3, q) e le ovoidi della quadrica di Klein
H 5 di P G(5, q). Inoltre ogni collineazione lineare che conserva una fibrazione
F di P G(3, q) determina una collineazione lineare di P SO + (6, q) che conserva
l’ovoide che corrisponde alla fibrazione F (oltre che la quadrica H 5 ).
Il contrario è anche vero, pertanto il gruppo K di tutte le collineazioni lineari
di P G(3, q) che conservano una fibrazione F è isomorfo al sottogruppo K
di P SO + (6, q) che conserva l’ovoide corrispondente. Inoltre, K agisce sulla
fibrazione nello stesso modo in cui K agisce sulla ovoide corrispondente nel
senso che, se una collineazione lineare di P G(3, q) trasforma una retta r in una
retta s della fibrazione F, allora la corrispondente trasformazione lineare di
P SO + (6, q) trasforma il punto che rappresenta r nel punto che rappresenta s.
Ne consegue che due ovoidi O 1 e O 2 di Q definiscono due fibrazioni isomorfe
(e, quindi, due piani di traslazione isomorfi) se e solo se c’ è un elemento
g ∈ P SO + (6, q) che porta O 1 in O 2 . Se O 1 e O 2 sono entrambe ovoidi K-
invarianti ed il loro stabilizzatore in P SO + (6, q) è K, allora da g(O 1 ) = O 2
consegue che g ∈ N − K, dove N è il normalizzatore di K in P SO + (6, q).

66 Capitolo 5. Piani di traslazione di ordine q 2 associati ad ovoidi A 6 -invarianti
Da ora in poi si assume che sia p ≥ 5. Essendo tutte le quadriche iperboliche
di P G(5, q) proiettivamente equivalenti, conviene fissare il riferimento in modo
che H 5 abbia equazione:
H 5 :
6∑
x i 2 −
∑
x j x h = 0, (5.3.1)
i=1
1≤j

5.3. I piani di Biliotti-Korchmáros 67
Passo 3. Si trovano tutti gli insiemi massimali di queste calotte del tipo
{〈P 〉 |P ∈ C} che siano a due a due consistenti, tali cioè che l’unione di due
di esse sia ancora una calotta, e che verifichino la proprietà (ii). Queste sono
tutte ovoidi G-invarianti di Q a due a due distinte.
Passo 4. Si determina lo stabilizzatore di ciascuna ovoide G-invariante di
Q nel sottogruppo di indice due di P GO + (6, q) che lascia invarianti entrambe
le famiglie massimali di piani singolari. Due ovoidi G-invarianti su Q appartengono
alla stessa classe di isomorfismo se hanno lo stesso stabilizzatore e se
esiste un elemento nel normalizzatore del loro comune stabilizzatore che porti
una ovoide nell’altra.

5.4. La completa classificazione per 23 2 69
5.4 Classificazione completa dei piani di traslazione
di ordine 23 2 il cui complemento di traslazione
contiene un sottogruppo G tale che G/Z(G) ∼ = A 6
Nel caso q = 23 il numero delle rette di una fibrazione totale di P G(3, 23) è
q 2 + 1 = 530; lo stesso numero di punti forma l’ovoide corrispondente su Q.
Passo 1. Si scrive la tabella delle classi di coniugio dei sottogruppi di A 6 ,
nel caso q = 23 . Le coordinate dei punti fissati dai rappresentanti delle 22
classi di coniugio sono soggette a particolari condizioni. Nella tabella seguente
sono riportati i punti lasciati fissi da ciascun sottogruppo.
num ord tipo generatori punti fissi
22 360 A 6 (12345),(16)(23) nessun punto fisso
21 60 A 5 (12346),(14)(56) nessun punto fisso
20 60 A 5 (12345),(123),(12)(34) nessun punto fisso
19 36 (C 3 ×C 3 )×C 4 (456),(123),(23)(56),(14)(2536) nessun punto fisso
18 24 S 4 (135)(246),(12)(56),(34)(56),(35)(46) nessun punto fisso
17 24 S 4 (123),(1324)(56) P 3 (1, 1, 1, 1, 12, 12)
P 4 (1, 1, 1, 1, 19, 19)
16 18 (C 3 ×C 3 )×C 2 (123),(456),(12)(56) P 1 (1, 1, 1, 0, 0, 0)
P 2 (0, 0, 0, 1, 1, 1)
15 12 A 4 (135)(246),(12)(34),(34)(56) nessun punto fisso
14 12 A 4 (123),(12)(34),(14)(23) 24 punti
13 10 D 5 (23456),(36)(45) nessun punto fisso
12 9 C 3 × C 3 (123),(456) P 1 , P 2
11 8 D 4 (12)(56),(35)(46),(34)(56) P 7 (1, 1, 2, 2, 2, 2)
P 8 (1, 1, 17, 17, 17, 17)
10 6 S 3 (123)(456),(12)(45) P 1 , P 2
9 6 S 3 (123),(12)(45) 23 punti
8 5 C 5 (12345) nessun punto fisso
7 4 C 4 (1234)(56) P 3 , P 4
6 4 C 2 × C 2 (12)(34),(12)(56) 22 punti
P 5 (0, 0, 1, 1, 9, 9)
P 6 (0, 0, 1, 1, 18, 18)
5 4 C 2 × C 2 (12)(34),(13)(24) 24 punti
4 3 C 3 (123)(456) P 1 , P 2
3 3 C 3 (123) 529 punti
P 2 (0, 0, 0, 1, 1, 1)
2 2 C 2 (12)(34) 506 punti
24 pti (2.3)
1 1 () tutti
Tavola I

70 Capitolo 5. Piani di traslazione di ordine q 2 associati ad ovoidi A 6 -invarianti
Alcune osservazioni relative alle 22 classi di coniugio.
Le classi di coniugio indicate con i n. 22, 21, 20, 19, 18, 15, 13, 8 non hanno
alcun punto fisso.
La classe n. 17 corrisponde al gruppo simmetrico S 4 e presenta due soli punti
fissi P 3 e P 4 ; i due punti hanno due orbite diverse rispetto all’intero gruppo
A 6 ; entrambe hanno lunghezza 15.
La classe n. 16 corrisponde al gruppo (C 3 × C 3 ) ⋊ C 2 e presenta due soli
punti fissi P 1 e P 2 ; questi due punti sono i punti di Ostrom, hanno la stessa
A 6 -orbita che è quella obbligata di lunghezza 20.
La classe n. 14 corrisponde al gruppo alterno A 4 e presenta 24 punti fissi le
cui coordinate sono del tipo (1, 1, 1, 1, a, b) con a e b elementi di GF (23) che
soddisfano l’equazione a 2 + b 2 − ab − 4a − 4b − 2 = 0. Tra questi 24 punti ce
ne sono due che hanno A 6 -orbite distinte di lunghezza 15; pertanto A 4 fissa
ciascuno dei due punti, ma non è il loro intero stabilizzatore che ha, invece,
ordine 24. I rimanenti 22 punti hanno A 6 -orbite a due a due coincidenti, di
lunghezza 30; A 4 è l’intero stabilizzatore.
La classe n. 12 corrisponde ad un gruppo abeliano elementare C 3 × C 3
solo due punti fissi che sono i punti di Ostrom.
e ha
La classe n. 11 corrisponde ad un gruppo diedrale D 4 e ha solo due punti
fissi P 7 e P 8 . Anche in questo caso non si tratta dell’intero stabilizzatore.
Le orbite di questi due punti coincidono con quelle dei punti P 3 e P 4 della
classe n. 17.
La classe n. 10 corrisponde ad un gruppo simmetrico S 3
P 1 e P 2 che sono i punti di Ostrom.
e ha come punti fissi
Anche la classe n. 9 corrisponde ad un gruppo simmetrico S 3 ; in questo caso
i punti fissi sono 23 e le loro coordinate sono del tipo (1, 1, 1, a, a, b) con a e b
elementi di GF (23) che soddisfano l’equazione a 2 + b 2 − 2ab − 6a − 3b = 0.
La classe n. 7 corrisponde ad un gruppo ciclico C 4 e ha come punti fissi P 3
e P 4 già considerati nella classe 17.
La classe n. 6 corrisponde ad un gruppo di Klein. In essa ci sono 22 punti
fissi di coordinate (1, 1, a, a, b, b) con a e b elementi di GF (23) che soddisfano
la condizione a 2 + b 2 − 4ab − 4a − 4b + 1 = 0, e due punti sporadici P 5 e P 6 .

5.4. La completa classificazione per 23 2 71
Questi ultimi due punti hanno due orbite distinte, ciascuna di lunghezza 90;
il gruppo della classe n. 6 costituisce l’intero stabilizzatore. Inoltre gli altri 22
punti determinano 6 orbite di lunghezza 15 e 16 orbite di lunghezza 90. Delle
6 orbite di di lunghezza 15 solo 4 sono distinte, di quelle di lunghezza 90 sono
distinte solo 8. In tutto abbiamo 10 orbite di lunghezza 90 e 4 di lunghezza
15.
Anche la classe n. 5 corrisponde ad un gruppo di Klein; i punti fissi sono gli
stessi della classe n. 14.
La classe n. 4 corrisponde ad un gruppo ciclico C 3 e ha come punti fissi P 1
e P 2 .
La classe n. 3 corrisponde ad un gruppo ciclico C 3 ; questa volta i punti
fissi sono 530 , di cui uno è il punto P 2 di Ostrom e gli altri 529 sono del
tipo (1, 1, 1, a, b, c) con a, b, c elementi di GF (23) che soddisfano la condizione
a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc − 3a − 3b − 3c = 0 .
La classe n. 2 corrisponde ad un gruppo ciclico C 2 ; i punti fissi sono 530 di cui
506 hanno coordinate del tipo (1, 1, a, a, b, c), con a, b e c elementi di GF (23)
che soddisfano la condizione a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac − bc − 4a − 2b − 2c + 1 = 0,
i rimanenti 24 hanno coordinate del tipo (0, 0, 1, 1, a, b), con a, b elementi di
GF (23) che soddisfano la condizione a 2 + b 2 − ab − 2a − 2b + 1 = 0.
La classe n. 1 corrisponde al gruppo banale e, ovviamente, tutti i 293.090 punti
della quadrica Q sono fissati. Facendo agire A 6 su tali punti si ottengono le
seguenti orbite: 4 di lunghezza 15, 1 di lunghezza 20 (quella di Ostrom), 31 di
lunghezza 30, 58 di lunghezza 60, 8 di lunghezza 90, 256 di lunghezza 120, 383
di lunghezza 180, 3902 di lunghezza 360. In realtà le orbite determinano una
partizione della quadrica di Klein; resta da vedere quali tra queste orbite sono
anche calotte.
Riassumendo i risultati, si ha che le 22 classi di coniugio fissano 8 punti sporadici,
4 insiemi di punti le cui coordinate sono legate da una condizione di
secondo grado in due variabili (si possono interpretare tali insiemi come coniche
affini)e 2 insiemi di punti le cui coordinate sono legate da una condizione
di secondo grado in tre variabili (si possono interpretare tali insiemi come quadriche
affini); complessivamente, escludendo la classe 1, sono stati determinati
1136 punti fissi. Per ciascuno di tali punti sono state determinate le A 6 -orbite
che sono 320.

72 Capitolo 5. Piani di traslazione di ordine q 2 associati ad ovoidi A 6 -invarianti
Passo 2. Delle 320 orbite ottenute solo 83 sono calotte. La classe 1 fornisce
una sola ulteriore calotta che ha lunghezza 360; complessivamente le calotte di
Q che siano anche A 6 -orbite sono 84:
• 2 calotte di lunghezza 15;
• 1 sola calotta di lunghezza 20 (calotta obbligata di Ostrom);
• 11 calotte di lunghezza 30;
• 16 calotte di lunghezza 60;
• 3 calotte di lunghezza 90;
• 37 calotte di lunghezza 120;
• 13 calotte di lunghezza 180;
• 1 calotta di lunghezza 360.

5.4. La completa classificazione per 23 2 73
Nella seguente tabella sono enumerate le 84 calotte, specificandone la lunghezza
ed un punto che genera l’orbita:
nome lunghezza punto nome lunghezza punto
K 1 20 (0,0,0,1,1,1) K 43 120 (1,1,1,10,11,14)
K 2 60 (0,0,1,1,1,3) K 44 120 (1,1,1,10,3,7)
K 3 180 (0,0,1,1,20,17) K 45 120 (1,1,1,4,20,6)
K 4 90 (0,0,1,1,9,9) K 46 120 (1,1,1,4,8,17)
K 5 30 (0,1,1,1,1,13) K 47 120 (1,1,1,4,17,6)
K 6 30 (0,1,1,1,1,14) K 48 60 (1,1,1,20,20,8)
K 7 120 (0,1,1,1,5,16) K 49 60 (1,1,1,20,20,12)
K 8 120 (0,1,1,1,10,17) K 50 120 (1,1,1,20,18,11)
K 9 120 (0,1,1,1,16,14) K 51 120 (1,1,1,20,17,19)
K 10 120 (0,1,1,1,13,15) K 52 120 (1,1,1,20,11,3)
K 11 120 (0,1,1,1,19,12) K 53 120 (1,1,1,20,3,15)
K 12 120 (0,1,1,1,3,6) K 54 120 (1,1,1,20,15,12)
K 13 60 (0,1,1,1,6,6) K 55 120 (1,1,1,8,9,7)
K 14 30 (1,1,1,1,5,16) K 56 60 (1,1,1,17,17,7)
K 15 30 (1,1,1,1,4,19) K 57 120 (1,1,1,17,16,9)
K 16 30 (1,1,1,1,4,12) K 58 60 (1,1,1,17,19,19)
K 17 30 (1,1,1,1,8,17) K 59 120 (1,1,1,16,11,9)
K 18 30 (1,1,1,1,8,18) K 60 60 (1,1,1,11,18,18)
K 19 30 (1,1,1,1,17,13) K 61 120 (1,1,1,1119,12)
K 20 30 (1,1,1,1,16,15) K 62 120 (1,1,1,11,7,12)
K 21 30 (1,1,1,1,18,14) K 63 120 (1,1,1,18,13,7)
K 22 15 (1,1,1,1,19,19) K 64 120 (1,1,1,18,15,6)
K 23 30 (1,1,1,1,3,15) K 65 120 (1,1,1,18,6,12)
K 24 15 (1,1,1,1,12,12) K 66 60 (1,1,1,3,3,7)
K 25 120 (1,1,1,5,2,3) K 67 120 (1,1,1,3,6,12)
K 26 120 (1,1,1,5,9,3) K 68 60 (1,1,1,3,12,12)
K 27 120 (1,1,1,5,9,14) K 69 60 (1,1,1,15,6,6)
K 28 60 (1,1,1,5,18,18) K 70 90 (1,1,5,5,12,12)
K 29 120 (1,1,1,5,13,7) K 71 180 (1,1,5,20,20,22)
K 30 120 (1,1,1,5,13,14) K 72 180 (1,1,5,8,8,3)
K 31 60 (1,1,1,2,2,8) K 73 180 (1,1,5,22,15,15)
K 32 60 (1,1,1,2,2,22) K 74 180 (1,1,5,3,12,12)
K 33 120 (1,1,1,2,4,19) K 75 180 (1,1,2,17,7,7)
K 34 120 (1,1,1,2,8,11) K 76 360 ((1,1,2,22,19,19)
K 35 120 (1,1,1,2,13,14) K 77 180 (1,1,10,10,19,19)
K 36 60 (1,1,1,2,3,3) K 78 90 (1,1,10,10,15,6)
K 37 120 (1,1,1,2,6,14) K 79 180 (1,1,10,20,20,13)
K 38 60 (1,1,1,2,7,7) K 80 180 (1,1,4,4,11,13)
K 39 60 (1,1,1,10,10,11) K 81 180 (1,1,8,17,17,15)
K 40 120 (1,1,1,10,17,7) K 82 180 (1,1,17,17,19,7)
K 41 120 (1,1,1,10,16,15) K 83 180 (1,1,16,11,22,22)
K 42 120 (1,1,1,10,16,14) K 84 180 (1,1,2,9,19,14)
Tavola II

74 Capitolo 5. Piani di traslazione di ordine q 2 associati ad ovoidi A 6 -invarianti
Passo 3. Seguendo lo schema descritto nell’Introduzione, si costruisce il
grafo Γ i cui vertici sono le 84 calotte e due vertici sono adiacenti se rappresentano
calotte consistenti, cioè calotte la cui unione sia ancora una calotta.
Inoltre, ad ogni vertice di Γ si assegna, quale peso, la cardinalità della calotta
rappresentata. Successivamente, si determinano i sottografi completi di Γ in
cui la somma dei pesi dei vertici è uguale a 530. Tali sottografi determinano
tutte e sole le fibrazioni A 6 -invarianti di P G(3, 23). Per la costruzione del grafo
Γ si sfrutta la proprietà secondo la quale se A, B, C sono calotte a due a
due consistenti, allora A ∪ B ∪ C è ancora una calotta. Nel caso attuale tutte
le calotte disponibili sono consistenti con quella di Ostrom. Per una evidente
ragione di tipo numerico una ovoide non può contenere una sola calotta di
lunghezza 15.
Nella tabella seguente per ciascuna calotta K i , 2 ≤ i ≤ 84, si elencano gli
indici delle calotte con essa consistenti:

5.4. La completa classificazione per 23 2 75
K 2 4,5,6,10,11,12,13,14,15,17,18,20,21,22,23,24,25,26,28,30,32,34,36,42,43,48,
49,50,52,53,56,60,62,66,67,68,69,70,73,79,82
K 3 5,6,7,13,14,15,18,21,22,39,46,68,69
K 4 5,6,7,10,13,16,17,18,19,22,23,24,27,31,32,34,36,39,41,45,48,53,55,57,58,60,
68,70,71,78,84
K 5 6,7,9,11,12,13,14,16,17,18,19,20,21,22,23,24,27,28,29,30,31,32,34,35,36,37,
38,39,41,42,44,45,48,49,50,51,52,56,58,59,61,63,64,65,66,67,68,71,72,80,82
K 6 7,9,10,11,12,13,14,15,16,17,19,20,21,22,23,24,25,27,28,29,30,31,32,36,37,38,
39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,52,54,55,57,58,59,60,61,65,66,67,70,71,
74,75,78,83
K 7 15,16,17,18,19,20,21,24,31,32,47,49,56,60,69,74
K 8 12,13,14,16,20,22,23,24,25,28,30,32,36,37,41,42,58,59,60,66,78
K 9 10,14,15,18,19,20,22,28,32,36,38,41,47,66,68,69,70
K 10 14,18,19,20,21,23,24,32,35,45,50,58,63,68
K 11 15,21,22,24,26,31,43,46,47,49,51,54,55,56,58,60,69,78
K 12 16,18,19,23,33,40,48,49,54,66,68,69,70
K 13 14,15,16,17,18,19,20,21,24,32,33,35,36,38,40,43,45,48,50,51,53,54,56,57,59
60,62,64,66,77,78,84
K 14 15,16,17,18,19,21,22,23,24,28,29,31,32,33,34,35,38,39,40,42,43,44,45,46,47,
48,49,51,53,54,55,56,57,60,62,64,65,66,67,68,69,70,71,72,79,83
K 15 16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,39,40,41,44,45,
46,48,49,50,51,52,53,56,58,59,60,61,62,63,64,66,68,69,71,73,74,75,78,80,83
K 16 17,18,19,20,21,22,23,24,26,28,29,30,31,32,33,35,36,38,39,41,42,43,44,45,46,
47,48,49,50,51,52,54,56,57,60,61,62,63,64,67,68,69,72,73,75,76,82
K 17 18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,30,31,32,33,35,36,37,39,40,41,42,43,45,46,
47,49,50,51,54,56,57,59,62,63,65,66,67,68,69,70,73,74,77,78,79,80,81,82,83
K 18 19,20,21,22,23,24,25,26,27,29,31,34,35,36,38,39,41,42,43,44,45,46,47,48,49,
52,54,55,56,58,59,60,61,62,64,65,66,68,70,73,74,78,79,80,83
K 19 20,21,22,24,25,26,28,29,30,32,34,3537,38,39,40,41,43,44,46,48,49,51,52,53,
55,56,58,59,60,62,64,65,66,67,68,69,70,72,77,78,80,81,82,83
K 20 21,22,23,24,26,27,28,29,31,32,33,34,36,38,39,40,42,43,44,46,49,50,53,54,56,
57,58,59,60,61,62,64,65,66,67,68,69,71,72,77,78,80,81,83,84
K 21 22,23,24,25,28,29,30,31,33,36,37,38,39,41,42,43,44,45,48,50,51,53,54,55,56,
57,58,59,62,63,64,65,66,67,68,69,70,76,79,81,84
K 22 23,24,26,27,29,30,31,32,33,35,36,37,38,39,40,41,43,44,45,47,48,49,50,51,52,53,
54,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,68,69,70,73,74,77,78,79,80,81,82,83,84
K 23 24,26,27,28,30,31,32,33,34,35,37,38,40,41,43,44,45,46,47,48,49,51,52,53,54,55,
56,58,59,60,62,63,64,66,67,68,69,70,71,72,77,78,80,84
K 24 25,27,28,29,30,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,46,47,48,49,5053,54,57,58,60,61,63,
64,65,66,67,68,69,70,72,73,74,75,77,78,79,80,81,82,83
K 25 26,31,32,36,44,48,5051,57,58,64,77
K 26 28,29,32,33,38,42,44,60,63,69,74
K 27 28,29,38,40,44,55,56,68,69
K 28 29,31,33,38,41,45,48,49,51,58,61,62,65,68,69,70,74,78
K 29 37,46,48,56,66,78
K 30 35,38,39,45,54,55,56,60,66,69,79

76 Capitolo 5. Piani di traslazione di ordine q 2 associati ad ovoidi A 6 -invarianti
K 31 32,34,35,36,38,39,40,42,43,48,50,53,60,64,66,67,77,78,79
K 32 33,36,38,39,41,45,49,51,52,54,55,56,58,61,66,69,70,79,81,82
K 33 48,50,52,56,58,66
K 34 36,37,39,43,48,49,52,69
K 35 36,39,42,44,57,58,63,65,69
K 36 38,40,45,46,47,48,54,55,62,63,65,66,67,68,69,71,72,82
K 37 61,62,66,68,69
K 38 39,49,50,55,56,57,58,59,60,63,64,66,69,70,73,74,81,83,84
K 39 40,41,42,46,47,49,52,55,58,59,66,68,69,70,72,74,75,78
K 40 44,48,64,70
K 41 43,56,60
K 42 45,53,56,58,60,84
K 43 58,68,70
K 44 65,78
K 45 49,58,60,69,73
K 46 48,56,57,58,59,68,81
K 47 49,53,64
K 48 49,54,56,57,58,60,63,66,68,69,73,75,77,80
K 49 50,53,54,55,56,58,60,63,64,66,68,69,71,74,78,79,83,84
K 50 55,56,60
K 51 58
K 52 57,60,65,67,70
K 53 58
K 54 58,65,67,68,82
K 55 66
K 56 58,61,63,65,67,69,70,72,74,75,78
K 57 58,65,66,69,78,82
K 58 62,66,67,70,79
K 59 60,63,64,68,69,72,73
K 60 61,63,65,66,67,68,70,82
K 61 66,70
K 62 66,70,72,77
K 63 65,70,78,79
K 64 78
K 65 68,69
K 66 67,68,71,75,77,78,80,82
K 67 69,70,81
K 68 70,72,77,78,84
K 69 70, 71,79
K 70 71,75,78
K 71 79,82
K 73 84
K 75 81
K 77 79,82
Tavola III - (calotte consistenti)

5.4. La completa classificazione per 23 2 77
La tabella successiva riporta le 40 ovoidi O j ottenute come unione di calotte:
O 1 K 1 K 5 K 36 K 66 K 71 K 81
O 2 K 1 K 14 K 49 K 69 K 71 K 78
O 3 K 1 K 2 K 6 K 23 K 52 K 60 K 67 K 70
O 4 K 1 K 3 K 14 K 15 K 18 K 39 K 46 K 68
O 5 K 1 K 4 K 6 K 10 K 23 K 32 K 45 K 58
O 6 K 1 K 5 K 19 K 20 K 39 K 59 K 68 K 72
O 7 K 1 K 7 K 15 K 17 K 18 K 49 K 56 K 74
O 8 K 1 K 13 K 17 K 19 K 20 K 62 K 66 K 76
O 9 K 1 K 17 K 22 K 24 K 49 K 63 K 77 K 78
O 10 K 1 K 17 K 22 K 24 K 57 K 66 K 77 K 81
O 11 K 1 K 2 K 17 K 21 K 22 K 24 K 30 K 69 K 78
O 12 K 1 K 5 K 17 K 22 K 24 K 35 K 36 K 63 K 65
O 13 K 1 K 6 K 19 K 21 K 30 K 38 K 39 K 55 K 66
O 14 K 1 K 12 K 16 K 18 K 23 K 48 K 49 K 54 K 68
O 15 K 1 K 14 K 17 K 22 K 24 K 35 K 57 K 65 K 69
O 16 K 1 K 16 K 17 K 22 K 24 K 32 K 36 K 54 K 81
O 17 K 1 K 2 K 5 K 12 K 18 K 23 K 48 K 49 K 66 K 68
O 18 K 1 K 2 K 5 K 17 K 22 K 24 K 32 K 36 K 66 K 81
O 19 K 1 K 2 K 14 K 17 K 21 K 23 K 56 K 67 K 69 K 70
O 20 K 1 K 2 K 14 K 17 K 22 K 24 K 32 K 49 K 69 K 78
O 21 K 1 K 4 K 5 K 6 K 13 K 16 K 17 K 32 K 36 K 45
O 22 K 1 K 5 K 13 K 18 K 19 K 20 K 21 K 38 K 59 K 64
O 23 K 1 K 5 K 14 K 16 K 17 K 18 K 31 K 35 K 39 K 42
O 24 K 1 K 5 K 14 K 17 K 19 K 21 K 28 K 51 K 65 K 68
O 25 K 1 K 5 K 14 K 18 K 19 K 22 K 24 K 35 K 44 K 65
O 26 K 1 K 6 K 14 K 19 K 32 K 38 K 39 K 49 K 55 K 66
O 27 K 1 K 6 K 15 K 20 K 22 K 23 K 24 K 27 K 40 K 44
O 28 K 1 K 13 K 15 K 16 K 17 K 20 K 21 K 33 K 50 K 56
O 29 K 1 K 14 K 15 K 16 K 18 K 19 K 29 K 46 K 48 K 56
O 30 K 1 K 15 K 17 K 18 K 19 K 20 K 39 K 46 K 59 K 68
O 31 K 1 K 2 K 13 K 15 K 17 K 18 K 20 K 21 K 36 K 62 K 66
O 32 K 1 K 4 K 17 K 18 K 19 K 22 K 24 K 39 K 68 K 70 K 77
O 33 K 1 K 7 K 15 K 16 K 17 K 19 K 20 K 32 K 49 K 56 K 69
O 34 K 1 K 15 K 16 K 17 K 19 K 22 K 24 K 30 K 35 K 39 K 69
O 35 K 1 K 17 K 18 K 20 K 21 K 22 K 24 K 36 K 54 K 65 K 68
O 36 K 1 K 2 K 14 K 17 K 18 K 21 K 22 K 23 K 24 K 43 K 68 K 70
O 37 K 1 K 4 K 5 K 6 K 16 K 17 K 19 K 22 K 24 K 32 K 39 K 41
O 38 K 1 K 2 K 14 K 15 K 18 K 22 K 23 K 24 K 48 K 49 K 60 K 66 K 68
O 39 K 1 K 5 K 6 K 19 K 20 K 22 K 24 K 32 K 38 K 39 K 49 K 58 K 66
O 40 K 1 K 15 K 17 K 18 K 19 K 20 K 22 K 24 K 39 K 49 K 66 K 68 K 77
Tavola IV

78 Capitolo 5. Piani di traslazione di ordine q 2 associati ad ovoidi A 6 -invarianti
Passo 4. Nel caso q = 23 le ovoidi sono esattamente 40; tuttavia si
deve anche tener conto del fatto che calotte isomorfe danno luogo a fibrazioni
isomorfe e, quindi, a piani di traslazione isomorfi. Per questa ragione è necessario
stabilire quante delle ovoidi ottenute sono non isomorfe tra loro. A tale
scopo si deve stabilire se esiste una collineazione che trasformi una ovoide in
un’altra. Questa ricerca sarebbe troppo onerosa se non fosse noto che una tale
collineazione deve trovarsi nel normalizzatore di A 6 che è S 6 (l’ordine del
gruppo P SO + (6, 23) è circa 27 · 10 19 ) .
Lo studio di questo problema ha portato alla conclusione che solo 23 delle
40 ovoidi sono non isomorfe tra loro.
Lo studio delle calotte isomorfe è propedeutico a quello delle ovoidi isomorfe
ed ha fornito i seguenti risultati:
• le due calotte di lunghezza 15 sono tra loro isomorfe;
• 10 delle 11 calotte di lunghezza 30 sono isomorfe a due a due;
• le 16 calotte di lunghezza 60 sono isomorfe a due a due;
• 2 delle 3 calotte di lunghezza 90 sono isomorfe tra loro;
• 36 delle 37 calotte di lunghezza 120 sono isomorfe a due a due;
• 12 delle 13 calotte di lunghezza 180 sono isomorfe a due a due.
Qui di seguito sono elencati gli indici delle calotte isomorfe:
(2, 32)(3, 72)(4, 70)(5, 14)(6, 23)(7, 62)(8, 11)(9, 34)(10, 52)
(12, 55)(13, 56)(15, 20)(16, 21)(18, 19)(22, 24)(25, 26)(27, 40)(28, 31)
(29, 64)(30, 54)(33, 50)(35, 65)(36, 69)(37, 47)(38, 48)(39, 68)(41, 43)
(42, 51)(45, 67)(46, 59)(49, 66)(53, 61)(57, 63)(58, 60)(73, 81)(74, 77)
(75, 84)(79, 82)(80, 83)
Da questi risultati si deducono le 23 ovoidi non isomorfe tra loro; la tabella
seguente le elenca e specifica le calotte che le costituiscono:

5.4. La completa classificazione per 23 2 79
O 1 K 1 K 5 K 36 K 66 K 71 K 81
O 3 K 1 K 2 K 6 K 23 K 52 K 60 K 67 K 70
O 4 K 1 K 3 K 14 K 15 K 18 K 39 K 46 K 68
O 7 K 1 K 7 K 15 K 17 K 18 K 49 K 56 K 74
O 9 K 1 K 17 K 22 K 24 K 49 K 63 K 77 K 78
O 11 K 1 K 2 K 17 K 21 K 22 K 24 K 30 K 69 K 78
O 12 K 1 K 5 K 17 K 22 K 24 K 35 K 36 K 63 K 65
O 13 K 1 K 6 K 19 K 21 K 30 K 38 K 39 K 55 K 66
O 17 K 1 K 2 K 5 K 12 K 18 K 23 K 48 K 49 K 66 K 68
O 18 K 1 K 2 K 5 K 17 K 22 K 24 K 32 K 36 K 66 K 81
O 19 K 1 K 2 K 14 K 17 K 21 K 23 K 56 K 67 K 69 K 70
O 22 K 1 K 5 K 13 K 18 K 19 K 20 K 21 K 38 K 59 K 64
O 23 K 1 K 5 K 14 K 16 K 17 K 18 K 31 K 35 K 39 K 42
O 25 K 1 K 5 K 14 K 18 K 19 K 22 K 24 K 35 K 44 K 65
O 27 K 1 K 6 K 15 K 20 K 22 K 23 K 24 K 27 K 40 K 44
O 28 K 1 K 13 K 15 K 16 K 17 K 20 K 21 K 33 K 50 K 56
O 30 K 1 K 15 K 17 K 18 K 19 K 20 K 39 K 46 K 59 K 68
O 31 K 1 K 2 K 13 K 15 K 17 K 18 K 20 K 21 K 36 K 62 K 66
O 32 K 1 K 4 K 17 K 18 K 19 K 22 K 24 K 39 K 68 K 70 K 77
O 34 K 1 K 15 K 16 K 17 K 19 K 22 K 24 K 30 K 35 K 39 K 69
O 36 K 1 K 2 K 14 K 17 K 18 K 21 K 22 K 23 K 24 K 43 K 68 K 70
O 38 K 1 K 2 K 14 K 15 K 18 K 22 K 23 K 24 K 48 K 49 K 60 K 66 K 68
O 40 K 1 K 15 K 17 K 18 K 19 K 20 K 22 K 24 K 39 K 49 K 66 K 68 K 77
Tavola V
Per concludere conviene osservare che alcune di queste ovoidi sono invarianti
solo rispetto al gruppo G =< g 1 , g 2 > ∼ = A 6 , mentre ce ne sono 6 che
sono invarianti rispetto al gruppo delle collineazioni < g 1 , g 2 , g 3 > ∼ = S 6 ; queste
calotte sono:
O 25 , O 27 , O 28 , O 30 , O 32 , O 40 .
Da quanto fin qui esposto si deduce il seguente risultato:
Teorema 5.4.1. Sia π un piano di traslazione di ordine 23 2 il cui complemento
di traslazione contiene un sottogruppo G isomorfo ad A 6 a meno del gruppo
degli scalari.
Tali piani sono esattamente 23 a meno di isomorfismo.
Inoltre 6 di tali piani hanno un complemento di traslazione più ampio che è
isomorfo ad S 6 , a meno del gruppo degli scalari.

80 Capitolo 5. Piani di traslazione di ordine q 2 associati ad ovoidi A 6 -invarianti
È naturale chiedersi ora se qualcuno tra i 23 piani di traslazione, di cui al
teorema 5.4.1, possa essere ottenuto con i metodi già noti. Tuttavia, per effettuare
questa verifica, si dovrebbero conoscere i gruppi di automorfismi di tutti
i piani di traslazione di ordine 23 2 precedentemente costruiti. Certamente si
può affermare che nessuno dei piani ottenuti in 5.4.1 può coincidere con quello
associato alla catena di cerchi di Bruen, [23], o a quelli costruiti su near-fields
da N.L. Johnson, [29].
Nel primo caso è stato dimostrato da Bruen, [13], che il gruppo degli automorfismi
del piano di traslazione deve fissare l’insieme dei 156 punti all’infinito
corrispondenti alle rette della fibrazione: le orbite di A 6 hanno lunghezze non
compatibili con questa proprietà.
La seconda eventualità può essere esclusa tenendo conto del fatto che A 6 non
contiene sottogruppi di ordine 11 come sarebbe, invece, richiesto dal teorema
1.4 di [29].
Queste argomentazioni forniscono criteri di confronto anche con altri piani di
traslazione di ordine 23 2 di cui fosse noto il gruppo di automorfismi.

Appendice A
Qui di seguito si riportano tre programmi GAP che sono stati utilizzati per
determinare le ovoidi sulla quadrica di Klein. Molti programmi simili sono
stati utilizzati nelle varie fasi del lavoro.
In una prima fase sono stati elencati i punti della quadrica di Klein; sono
anche state determinate le loro 4963 orbite rispetto ad un gruppo di omografie
di P G(5, 23) che è isomorfo ad A 6 e che conserva la quadrica stessa. Tutte
queste orbite sono state elencate in un listato denominato LO . Il seguente File 1
permette di stabilire quali tra queste orbite siano ”calotte”, cioè siano costituite
esclusivamente da punti a due a due non coniugati rispetto alla quadrica di
Klein; proprio per questa ragione queste orbite sono utilizzabili per costruire
le ovoidi sulla quadrica di Klein.
File 1
ra:=[ 1..4963 ]; aa:=[ ];
for i in ra do
xy:=[ ];
for p1 in LO[i] do
for p2 in LO[i] do
if p2 > p1 then
lp1:=Sum( p1 ); lp2:=Sum( p2 );
z:=3*p1*p2- lp1*lp2;
if z = 0 ∗ Z(23) then Add( xy,[p1,p2] ); break; fi;
fi;
od;
od;
if Length(xy) > 0 then Add( aa,i ); fi;
od;

82 Appendice
Dal File 1 sono state ottenute 84 calotte che sono state elencate nel listato
BU; le loro lunghezze sono state riportate nel capitolo 5 della tesi (Tavola 2 del
paragrafo 5.4, pag 73). Una volta ottenute queste calotte bisogna stabilire se
l’unione di due o più calotte costituisce ancora una calotta, cioè se due o più
calotte sono ”consistenti”. Per fare questo è stato utilizzato il seguente File 2 .
Per q = 23 la calotta obbligata di lunghezza 20 risulta consistente con tutte
le altre 83 calotte: per questa ragione è stata esclusa dalle verifiche dei File 2
e 3.
File 2
ra:=[ 2..84 ] ; CO:=Combinations( ra,2 ); ab:=[ ];
for c in CO do
for p in BU[c[1]] do
for r in BU[c[2]] do
lp:=Sum(p); lr:=Sum(r);
z:=3*p*r-lp*lr;
if z = 0 ∗ Z(23) then Add( ab,c ); break; fi;
od;
od;
od;
Disponendo ora dell’elenco delle coppie di indici cui corrispondono calotte
consistenti, si può procedere operando solo su questi indici; l’elenco di queste
coppie (non ordinate) di indici costituisce il listato CC. Pertanto si è proceduto,
sino ad esaurimento, a determinare prima le terne di indici corrispondenti a
terne di calotte consistenti, poi le quaterne e così via. L’ultimo caso è quello
delle 13-uple di indici e di calotte, descritto nel seguente File 3; nel listato
L12 sono elencate tutte le 12-uple degli indici relativi ad altrettante calotte
consistenti

83
File 3
ra:= [2..84]; bb:=[ ];
for c in L12 do
for i in ra do
if [i,c[1]] in CC then
if [i,c[2]] in CC then
if [i,c[3]] in CC then
if [i,c[4]] in CC then
if [i,c[5]] in CC then
if [i,c[6]] in CC then
if [i,c[7]] in CC then
if [i,c[8]] in CC then
if [i,c[9]] in CC then
if [i,c[10]] in CC then
if [i,c[11]] in CC then
if [i,c[12]] in CC then
y:=Set( [i,c[1],c[2],c[3],c[4],c[5],c[6],c[7],c[8],c[9],c[10],c[11],c[12] ] );
Add(bb,y );
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
od;
od;
Ciascun programma GAP utilizzato in questa tesi, non ostante la notevole
mole di dati da elaborare e da memorizzare, ha fornito i risultati richiesti in
tempi non superiori alle tre ore.

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