کتاب ریاضیات و کاربرد آن در ٠دیریت - انتشارات حافظ پژوه

y
٢ ٢ ١
y
٣x
٢ Ln x c
M
N
y
x
٢
٣x
٢
(Ln x c)
راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎77‎
M(x, y)dx
N(x, y) dy ٠
3- معادله ديفرانسيل كامل:‏
هرگاه در معادله ديفرانسيل
را معادله ديفرانسيل كامل گويند.‏
قضيه:‏
رابطه
داراي يك جواب به صورت
برقرار باشد معادله ديفرانسيل
F(x,y)=c است كه در آن
M(x, y)dx
معادله ديفرانسيل كامل N(x, y) dy ٠
و c
يك عدد ثابت است.‏
F
N
N(x, y), M(x, y)
y
x
مراحل حل مسائل يك معادله ديفرانسيل كامل:‏
از تابع M(x,y)
نسبت به x انتگرال مي گيريم بنابراين y عدد ثابت فرض مي شود.‏
F(x,y) M(x,y)dx G(x,y) f (y)
F(x,
y) G(x,
y) F(y)
y
y
(y)
F(y)
G(x,
y)
N(x, y)
y
y
F(y)
dy f (y)
y
N(x,y)
تابعي بر حسب y است.‏
f(x,y)
(1
: F(y)
از تابع
نسبت به y مشتق مي گيريم و برابر
قرار مي دهيم.‏
N(x, y)
f(y)
F(y)
y
(2
‎3‎‏)از تابع
نسبت به y انتگرال مي گيريم تا برابر تابع
بنابراين جواب نهايي به صورت
بدست آيد.‏
مي شود معادله ديفرانسيل
M(x,
y)
e
y
F(x,
y)
N(x, y)
G(x, y) f (y) c
xe
y ٣y
٢
را حل كنيد .
فرض
باشد معادله ديفرانسيل كامل است.‏
ديفرانسيل كامل است
باشد.‏ چون اگر
M(x,
y)
e
y
y
N(x,
y)
e
y
x
F(x, y) M(x,
y)dx e
y
dx xe
y
f (y)
F(x,
y)
N(x, y) xe
y
f (y)
xe
y
٣y
٢
f (y)
٣y
٢
y
F(y) ٣y
٢
dy y
٢
c F(x, y) xe
y
y
٢
c
-4
(xe
y
٣y
٢ )dy e
y
dx ٠
M(x,
y) N(x,
y)
y
x