کتاب ریاضیات و کاربرد آن در مدیریت - انتشارات حافظ پژوه
12.04.2015 • Views
Share Embed Flag

کتاب ریاضیات و کاربرد آن در مدیریت - انتشارات حافظ پژوه

کتاب ریاضیات و کاربرد آن در مدیریت - انتشارات حافظ پژوه

کتاب ریاضیات و کاربرد آن در مدیریت - انتشارات حافظ پژوه

SHOW MORE
SHOW LESS
ePAPER READ
DOWNLOAD ePAPER
hafezpazhoh.com

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

START NOW

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت 1<br />

راهنما و سؤالات امتحاني<br />

رياضيات و كاربرد<br />

آن در مديريت<br />

ويژه دانشجويان حسابداري و مديريت<br />

انتشارات حافظ پژوه<br />

گردآورنده:‏ علي زارعي

ر‎2‎<br />

٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

:<br />

سرشناسه<br />

عنوان و نام پديد آور<br />

مشخصات نشر<br />

مشخصات ظاهري<br />

شابك<br />

وضعيت فهرست نويسي<br />

موضوع<br />

موضوع<br />

رده بندي كنگره<br />

رده بندي ديويي<br />

شماره كتابشناسي ملي<br />

‏:زارعي،‏ علي،‏‎1346‎‏-‏<br />

راهنما وسؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت ويژه دانشجويان حسابداري و<br />

مديريت/گردآورنده علي زارعي.‏<br />

:<br />

:<br />

تهران:‏ حافظ پژوه،‏<br />

‎130‎ص.‏<br />

.1388<br />

٩٧٨-٩۶۴-٢۶۶۶-٠٢-٧:<br />

‏:فيپا<br />

: رياضيات –<br />

: رياضيات –<br />

1388 :<br />

راهنماي آموزشي ‏(عالي)‏<br />

آزمونها و تمرين ها ‏(عالي)‏<br />

‎2‎ز/‏‎37/2‎ QA<br />

57/106 :<br />

1685338 :<br />

نام كتاب:‏ راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت<br />

گرد آورنده:‏ علي زارعي<br />

ناشر:‏ انتشارات حافظ پژوه<br />

سال چاپ:‏ 1388<br />

تيراژ:‏‎1000‎<br />

قيمت:‏‎2500‎ تومان<br />

چاپ:‏ بهاره<br />

شابك:‏‎978-964-2666-02-7‎<br />

آدرس:‏ فلكه دوم صادقيه-‏ تقاطع سازمان آب و اشرفي اصفهاني<br />

انتشارات حافظ پژوه 09123211078-<br />

ISBN:٩٧٨-٩۶۴-٢۶۶۶-٠٢-٧<br />

44241750

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت 3<br />

فهرست مطالب<br />

مقدمه<br />

فصل اول تابع اوليه<br />

انتگرال نامعين<br />

فرمولهاي اساسي انتگرال.............................................................................................................................................‏‎7‎<br />

ديفرانسيل تابع<br />

روش هاي انتگرال گيري<br />

روش تغيير متغير يا جانشيني<br />

روش جزءبه جزء<br />

انتگرال گيري از توابع كسري<br />

انتگرال معين<br />

خواص انتگرال معين<br />

مساحت ناحيه بين دو منحني....................................................................................................................................‏‎23‎<br />

كاربردهاي انتگرال معين در اقتصاد<br />

مازاد مصرف كننده<br />

مازاد توليد كننده..........................................................................................................................................................‏‎25‎<br />

محاسبه تقريبي انتگرالهاي معين<br />

قاعده سيمپسون............................................................................................................................................................‏‎26‎<br />

قاعده ذوزنقه اي<br />

دستور منشور<br />

فصل دوم بردار...............................................................................................................................................................‏‎28‎<br />

اندازه يك بردار<br />

تساوي دو بردار..............................................................................................................................................................‏‎28‎<br />

تعريف بردار<br />

جمع دو بردار<br />

بردار صفر........................................................................................................................................................................‏‎29‎<br />

ضرب عدد در يك بردار<br />

تفاضل دو بردار<br />

تفاضل دو بردار به روش متوازي الاضلاع<br />

تعريف فضاي برداري حقيقي<br />

موازي بودن بردارها<br />

زواياي هادي...................................................................................................................................................................‏‎32‎<br />

نمايش بردارها در فضاي سه بعدي<br />

محاسبه بردار يكه هم جهت V<br />

ضرب برداري دو بردار<br />

تايي مرتب<br />

بردارها در فضاي n بعدي............................................................................................................................................‏‎34‎<br />

فصل سوم ماتريس و دترمينان...................................................................................................................................‏‎36‎<br />

7.......................................................................................................................................................<br />

7...............................................................................................................................................................<br />

10..............................................................................................................................................................<br />

10.............................................................................................................................................<br />

11..................................................................................................................................<br />

15...........................................................................................................................................................<br />

17.....................................................................................................................................<br />

21.................................................................................................................................................................<br />

22....................................................................................................................................................<br />

23..........................................................................................................................<br />

25.......................................................................................................................................................<br />

26..............................................................................................................................<br />

26............................................................................................................................................................<br />

27.................................................................................................................................................................<br />

28..............................................................................................................................................................<br />

28....................................................................................................................................................................<br />

28.................................................................................................................................................................<br />

29...............................................................................................................................................<br />

29..............................................................................................................................................................<br />

29.................................................................................................................<br />

30......................................................................................................................................<br />

30......................................................................................................................................................<br />

32...........................................................................................................................<br />

33.................................................................................................................................<br />

33..................................................................................................................................................<br />

34................................................................................................................................................................<br />

N

٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

انواع ماتريسها.................................................................................................................................................................‏‎36‎<br />

ماتريس سطري<br />

ماتريس صفر<br />

ماتريس ستوني<br />

ماتريس مربع..................................................................................................................................................................‏‎37‎<br />

ماتريس واحد ‏(هماني)‏<br />

ماتريس قطري<br />

ماتريس اسكالر...............................................................................................................................................................‏‎37‎<br />

ماتريس بالا مثلثي<br />

ماتريس پائين مثلثاتي..................................................................................................................................................‏‎38‎<br />

ماتريس متقارن<br />

ماتريس شبه متقارن ‏(پادمتقارن)‏<br />

ضرب يك عدد در ماتريس..........................................................................................................................................‏‎38‎<br />

تساوي دو ماتريس<br />

جمع دو ماتريس<br />

قرينه ماتريس<br />

ضرب دو ماتريس<br />

ترانهاده ماتريس.............................................................................................................................................................‏‎40‎<br />

اثر ماتريس:(‏trac‏)‏<br />

خواص اثر ماتريس<br />

تعريف دترمينان<br />

مينور يا كهاد<br />

محاسبه دترمينان به روش بسط سطر ام<br />

همسازه يا كوفاكتور<br />

دستور ساروس براي محاسبه دترمينان ماتريس هاي<br />

وارون ماتريس<br />

تعريف ماتريس الحاقي<br />

محاسبه وارون ماتريس<br />

محاسبه وارون ماتريس با استفاده از اعمال سطري مقدماتي<br />

فصل چهارم دستگاه معادلات خطي و توابع خطي<br />

دستگاه معادلات خطي<br />

روشهاي حل يك دستگاه معادلات خطي<br />

روش حذف گاوس<br />

مجهول آزاد<br />

روش وارون ماتريس....................................................................................................................................................‏‎50‎<br />

دستور كرامر...................................................................................................................................................................‏‎51‎<br />

دستگاه همگن<br />

استقلال و وابستگي خطي...........................................................................................................................................‏‎52‎<br />

36.............................................................................................................................................................<br />

36..................................................................................................................................................................<br />

36..............................................................................................................................................................<br />

37.................................................................................................................................................<br />

37...............................................................................................................................................................<br />

37........................................................................................................................................................<br />

38.............................................................................................................................................................<br />

38..............................................................................................................................<br />

38........................................................................................................................................................<br />

38...........................................................................................................................................................<br />

39................................................................................................................................................................<br />

39..........................................................................................................................................................<br />

41.......................................................................................................................................................<br />

41........................................................................................................................................................<br />

41............................................................................................................................................................<br />

41.................................................................................................................................................................<br />

42............................................................................................................ i<br />

42......................................................................................................................................................<br />

43..................................................................................3×3<br />

44................................................................................................................................................................<br />

45.................................................................................................................................................<br />

45................................................................................................................................................<br />

46.............................................................................<br />

48................................................................................................<br />

48................................................................................................................................................<br />

48................................................................................................................<br />

48........................................................................................................................................................<br />

49....................................................................................................................................................................<br />

51...............................................................................................................................................................

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت 5<br />

54.....................................................................................................................................................<br />

56.......................................................................................................................................................................<br />

58.........................................................................................................................................................................<br />

خواص رتبه ماتريس<br />

تابع خطي<br />

تابع صفر<br />

تابع هماني......................................................................................................................................................................‏‎58‎<br />

مقادير ويژه و بردارهاي ويژه<br />

طريقه بدست آوردن بردار ويژه<br />

فصل پنجم تابع چند متغيره<br />

دامنه تعريف ‏(قلمرو)...................................................................................................................................................‏‎62‎<br />

حد توابع چند متغيره...................................................................................................................................................‏‎63‎<br />

قضيه هاي حد توابع چند متغيره<br />

مشتقهاي جزئي.............................................................................................................................................................‏‎66‎<br />

مشتقهاي جزئي مرتبه بالاتر<br />

ديفرانسيل كل تابع.......................................................................................................................................................‏‎67‎<br />

مشتق كل تابع نسبت به<br />

قاعده زنجيره اي براي توابع چند متغيره<br />

مشتق گيري ضمني<br />

ماكسيمم و مينيمم توابع در متغيره<br />

ماكسيمم و مينيمم توابع چند متغيره با محدوديت..............................................................................................‏‎71‎<br />

روش جايگزيني<br />

روش لاگرانژه<br />

فصل ششم معادلات ديفرانسيل<br />

معادله ديفرانسيل مربع n<br />

جواب عمومي معادله ديفرانسيل................................................................................................................................‏‎74‎<br />

حل معادله ديفرانسيل..................................................................................................................................................‏‎75‎<br />

معادله ديفرانسيل جدايي پذير<br />

معادله همگن<br />

معادله ديفرانسيل همگن.............................................................................................................................................‏‎76‎<br />

معادله ديفرانسيل كامل<br />

مراحل حل مسائل يك معادله ديفرانسيل كامل.....................................................................................................‏‎77‎<br />

معادلات خطي مرتبه اول<br />

معادله ديفرانسيل خطي مرتبه اول..........................................................................................................................‏‎78‎<br />

معادله برنولي<br />

سؤالات نيمسال اول<br />

سؤالات نيمسال دوم<br />

سؤالات نيمسال اول<br />

59.......................................................................................................................................<br />

60..................................................................................................................................<br />

62......................................................................................................................................<br />

65..............................................................................................................................<br />

66.......................................................................................................................................<br />

68.......................................................................................................................................t<br />

69.................................................................................................................<br />

69.....................................................................................................................................................<br />

69.........................................................................................................................<br />

71.............................................................................................................................................................<br />

71.................................................................................................................................................................<br />

74...............................................................................................................................<br />

74...........................................................................................................................................<br />

75...................................................................................................................................<br />

76.................................................................................................................................................................<br />

77...............................................................................................................................................<br />

78............................................................................................................................................<br />

78.................................................................................................................................................................<br />

80...................................................................................................................................... 84-85<br />

88......................................................................................................................................84-85<br />

96...................................................................................................................................... 85-86<br />

f<br />

سؤالات نيمسال دوم<br />

سؤالات نيمسال اول<br />

سؤالات نيمسال دوم<br />

105......................................................................................................................................85-86<br />

114...................................................................................................................................... 86-87<br />

121......................................................................................................................................86-87

٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

مقدمه<br />

كتاب حاضر ويژه دانشجويان رشته هاي حسابداري و مديريت دانشگاه پيام نور مي باشد كه ابتدا تدريس كامل<br />

كتاب انجام شده و سؤالات امتحاني فوق بر اساس طرح تجميع و سالهاي قبل آن مي باشد كه اميد است اين<br />

كتاب بتواند براي بهتر يادگيري دانشجويان و موفقيت آنها را در آزمون ياري كند و در پايان از همكاران گرامي<br />

آقايان نادر نيك منش و همايون عزتي تشكر مي كنم كه اينجانب را ياري نمودند.‏<br />

در ضمن خواهشمند است رهنمودهاي خود را براي كيفيت بهتر به اينجانب اطلاع دهيد.‏<br />

همراه:‏<br />

09123211078<br />

پست الكترونيكي:‏ Hafez pazhohenoor@yahoo.com<br />

و من االله توفيق

ج(‏<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت 7<br />

فصل اول<br />

تابع اوليه<br />

قبلاً‏ ديده ايم كه اگر تابعي در دست باشد چگونه مي توان مشتق را بدست آورد.‏ اكنون مي خواهيم بدانيم چگونه<br />

مي توان تابعي كه مشتق آن معلوم است را بدست آورد.‏ به عمل تعيين تابع اوليه،‏ انتگرال گيري يا ضد مشتق<br />

F(x)<br />

F(x)=f(x)<br />

F(x)<br />

(a,b)<br />

گيري گويند.‏<br />

تعريف تابع اوليه:‏<br />

هرگاه تابع f(x)<br />

تابع پيوسته اي بر بازه<br />

يك تابع اوليه(‏f(x مي نامند.‏ به عنوان مثال<br />

باشد اگر تابع<br />

در رابطه<br />

2<br />

2<br />

3<br />

x يك تابع اوليه براي 3x است زيرا<br />

صدق كند،‏<br />

را<br />

و همانگونه كه<br />

x<br />

٣<br />

3<br />

.(x )=3x<br />

2<br />

ميدانيم مشتق عدد ثابت صفر است بنابراين هر يك از توابع زير نيز يك تابع اوليه براي f(x)=3x مي باشد<br />

١,<br />

x٣<br />

sin ٣٠ , x٣<br />

٣<br />

,x ٢,......<br />

٢<br />

بنابراين F(x)+C كه C هر عدد ثابت دلخواه مي تواند باشد.‏ يك تابع اوليه براي تابع(‏f(x ميباشد.‏<br />

انتگرال نامعين:‏<br />

باشد.‏ آنگاه هر تابع اوليه ديگر(‏F(x به صورتF(x)+C خواهد بود كه در آن C<br />

يك تابع اوليه اگر بكار برده مي شود.‏<br />

‏)(انتگرال(‏f(x‏)‏ را براي نمايش كليه توابع اوليه(‏f(x مقدار ثابتي است از اين رو نماد يعنيF(x)+C<br />

١) adx ax c<br />

f(x)<br />

f(x))<br />

I<br />

f(x)<br />

f(x)dx=<br />

F(x)<br />

قضيه:‏ اگر تابع(‏f(x در فاصله<br />

فرمولهاي اساسي انتگرال:‏<br />

مثال:انتگرال ‏(تابع اوليه)‏<br />

پيوسته باشد.‏ آنگاه تابع<br />

را براي<br />

را بدست آوريد.‏<br />

داراي انتگرال نامعين است.‏<br />

F(x) f (x)dx ۶dx<br />

۶x<br />

c<br />

n ١ n١<br />

n ١<br />

٢)<br />

x dx x c<br />

n ١<br />

f(x)=6<br />

F(x)<br />

مثال:انتگرالهاي زير را محاسبه كنيد<br />

) x<br />

۵ ١<br />

dx x<br />

۵١<br />

١<br />

c x<br />

۶<br />

<br />

c<br />

۵ ١ ۶<br />

١<br />

dx x<br />

۴<br />

١<br />

dx x<br />

۴١<br />

١<br />

c x<br />

٣<br />

١<br />

<br />

c c<br />

x<br />

۴<br />

۴ ١<br />

٣<br />

٣x<br />

٣<br />

۴<br />

۴<br />

١١<br />

۴<br />

٧<br />

١<br />

٧<br />

x<br />

۴<br />

dx x ٧ ١<br />

dx x ٧ ٧<br />

c x ٧ ٧<br />

c x x ٧ ٧<br />

c x x<br />

۴<br />

c<br />

۴<br />

١١ ١١<br />

١١<br />

١<br />

٧<br />

٣)<br />

f (x) g(x) dx<br />

f (x)dx g(x)dx<br />

ب(‏<br />

الف

مثال:‏ انتگرال زير را محاسبه كنيد.‏<br />

٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

۴)<br />

<br />

x<br />

٣ ١ ۵ <br />

x<br />

٢<br />

dx x<br />

٣ ١ ۵<br />

dx dx x<br />

٢<br />

<br />

dx <br />

x<br />

۴<br />

<br />

x<br />

۴<br />

<br />

٢<br />

١<br />

١<br />

x<br />

٣١<br />

١<br />

x<br />

۴١<br />

١<br />

x ۵ ١<br />

c x<br />

۴ ١<br />

<br />

٣ ١ ۴ ١ ٢<br />

۴<br />

<br />

٣x<br />

٣<br />

١<br />

۵<br />

<br />

dx<br />

x<br />

Ln(x) c<br />

٧<br />

dx ?<br />

x<br />

٧ dx<br />

dx ٧<br />

٧Ln(x)<br />

c<br />

x x<br />

x x<br />

۵)<br />

e dx e c<br />

۶)<br />

<br />

x<br />

e 1 x 1 x<br />

dx e<br />

dx e c<br />

8 8 8<br />

sin xdx cos x c<br />

۵sin dx ۵sin xdx ۵cos x c<br />

٧)<br />

cos xdx sin x c<br />

<br />

<br />

cos x ١<br />

dx <br />

٧ ٧<br />

٨)<br />

( ١<br />

tg<br />

<br />

٩ <br />

٢<br />

<br />

x)dx <br />

١<br />

cos xdx sin x c<br />

٧<br />

<br />

sec<br />

٢<br />

xdx tan x c<br />

8<br />

۵<br />

٧<br />

۵<br />

x x<br />

٢<br />

c<br />

مثال:‏ انتگرال زير را محاسبه كنيد.‏<br />

نكته:‏ عدد ثابت از داخل انتگرال بيرون مي آيد<br />

f (x)<br />

x<br />

e<br />

<br />

٨<br />

مثال:تابع اوليه<br />

مثال:‏ انتگرال زير را محاسبه كنيد<br />

مثال:‏ تابع اوليه<br />

را بدست آوريد.‏<br />

را بدست آوريد.‏<br />

cos x<br />

F(x),<br />

٧<br />

مثال:‏ تابع اوليه(‏F(x را براي f(x)=tg ٢ x<br />

ابتدا<br />

را بدست آوريد.‏<br />

را به تابع اضافه مي كنيم تا بتوانيم با استفاده از رابطه<br />

تابع اوليه را محاسبه كنيم<br />

٢<br />

٢<br />

٢<br />

tan<br />

xdx (tan<br />

x ١<br />

١)dx<br />

(tan<br />

x ١)dx<br />

<br />

٢<br />

) ( ١<br />

cot<br />

x)dx <br />

<br />

csc<br />

٢<br />

xdx cot<br />

x c<br />

dx tan x x c<br />

(±1)

۵csc<br />

٢<br />

xdx ۵ csc<br />

٢<br />

xdx ۵cot<br />

x c<br />

١٠)<br />

tan xdx Ln cos x<br />

F(x)<br />

<br />

۶tan xdx ۶Ln sec x c<br />

١١)<br />

cot xdx Ln sinx c<br />

<br />

8 cot xdx 8Ln sinx c<br />

12)<br />

sec x.tan xdx sec x c<br />

<br />

13)<br />

csc x.cot xdx csc x c<br />

14)<br />

<br />

<br />

a<br />

2<br />

1<br />

x<br />

2<br />

dx sin<br />

c Ln secx c<br />

1<br />

x<br />

a<br />

c<br />

dx dx<br />

F(x) <br />

٢۵ x<br />

٢<br />

۵<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

dx ١<br />

١۵ <br />

١<br />

x<br />

) <br />

tan c<br />

a<br />

٢<br />

x<br />

٢ a a<br />

dx dx<br />

F(x) <br />

٢<br />

<br />

٢<br />

٩ x ٣ x<br />

x ١ x<br />

١۶)<br />

a dx a c<br />

Lna<br />

x ١<br />

F(x) ۶<br />

dx ۶<br />

Ln۶<br />

F(0)<br />

F(x) <br />

كه‎4‎ =<br />

۶sin x ٢e<br />

x<br />

٢<br />

c<br />

<br />

١<br />

x<br />

sin ( ) c<br />

۵<br />

a٠<br />

١<br />

tan<br />

٣<br />

١<br />

a ١<br />

x<br />

c<br />

٣<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت 9<br />

f (x) ۵csc<br />

٢<br />

مثال:‏ تابع اوليه x<br />

تمرين:‏ تابع اوليه<br />

را بيابيد.‏<br />

f (x) ۶tan x را بدست آوريد.‏<br />

f (x) ٨cot<br />

مثال:‏ انتگرال x<br />

مثال:‏ تابع اوليه<br />

را بدست آوريد.‏<br />

را بدست آوريد.‏<br />

,a٠<br />

F(x) ۶ cos x ٢ e<br />

f (x) <br />

١<br />

٢۵ x<br />

١<br />

f (x) <br />

٩ x<br />

٢<br />

٢<br />

مثال:‏ تابع اوليه<br />

مثال:‏ انتگرال<br />

را بدست آوريد.‏<br />

x <br />

را بدست آوريد.‏<br />

sin x<br />

F(x)<br />

f (x) ۶<br />

x<br />

مثال:‏ تابع اوليهاي مانند<br />

براي<br />

به قسمي تعيين كنيد<br />

x<br />

x<br />

f (x)dx (<br />

۶cos x ٢e<br />

sin x)dx ۶cos xdx ٢e<br />

dx <br />

x<br />

cos x c<br />

sin xdx<br />

باشد .<br />

عدد c<br />

را بايد طوري تعيين كنيم كه شرط تابع برقرار باشد.‏<br />

F(x) ۴ ۶sin٠<br />

٢e cos c ۴ ٠<br />

٢ ١<br />

c ۴ c ٣

١٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

F(x) ۶sin x ٢e بنابر اين<br />

cos x ٣<br />

x<br />

x<br />

١ x ٢ ۵x<br />

١٠٠<br />

<br />

60000<br />

مثال:‏ فرض كنيد تابع هزينه نهايي كارخانه اي به صورت ۶٠<br />

روزانه كارخانه مي باشد.‏ اگر هزينه ثابت روزانه كارخانه<br />

محاسبه كنيد.‏<br />

هزينه كل توليد x واحد در روز<br />

است كه در آن<br />

تعداد توليد<br />

تومان باشد هزينه كل توليد x واحد در روز را<br />

TC(x)<br />

TC(x)dx<br />

TC(x)<br />

MC(x)dx (<br />

١ x<br />

٢<br />

١ ۵<br />

۵x<br />

۶٠)dx<br />

x<br />

٣<br />

x<br />

٢ ۶٠x<br />

c<br />

١٠٠<br />

٣ ٢<br />

١ ۵<br />

Tc( ٠)<br />

( ٠)<br />

٣<br />

( ٠)<br />

٢<br />

۶٠<br />

٠<br />

C ۶٠٠٠٠<br />

C ۶٠٠٠ .<br />

٣٠٠ ٢<br />

١ ٣ ۵<br />

TC(x) x x<br />

٢<br />

۶٠x<br />

۶٠٠٠٠<br />

٣٠٠ ٢<br />

f(x)<br />

تابع هزينه نهايي<br />

F(x)<br />

:TC(x)<br />

MC(x):TC(x)<br />

تابع اوليه اي مانند<br />

كند.‏<br />

براي تابع هاي داده شده<br />

به قسمي تعيين كنيد كه در شرط داده شده صدق<br />

F(x) (cos x sin x)dx<br />

<br />

F( ) sin cos c <br />

<br />

١ )F( ) ٢<br />

٢<br />

sin x cos x<br />

c<br />

٢ ١<br />

٠<br />

c ٢ c ١<br />

٢ ٢ ٢<br />

F(x) sin x cos x ١<br />

F(x)= cosx - sinx<br />

نكته:‏ در توابع كسري كه توان صورت بزرگتر يا مساوي توان مخرج باشد.‏ با استفاده از تجزيه يا تقسيم به صورت<br />

توابع جبري كه روابط آن شناخته شده است تبديل مي كنيم<br />

٢<br />

x ۴ ۴<br />

۴<br />

٢dx<br />

٢)F(x)<br />

١ f (x) dx ١<br />

۴<br />

٢<br />

(<br />

)dx <br />

٢<br />

dx<br />

dx <br />

٢<br />

dx<br />

x<br />

x<br />

x<br />

x<br />

۴<br />

۴<br />

x c F( ۴)<br />

۴ c ١<br />

c ۴<br />

x<br />

۴<br />

۴<br />

F(x) x ۴<br />

x<br />

٣<br />

x ١<br />

٣)F(<br />

٠)<br />

٣ f (x) <br />

x ١<br />

x<br />

٣<br />

١ (x ١)(x<br />

٢<br />

x ١)<br />

F(x) <br />

٢<br />

dx dx (x<br />

x ١)dx<br />

x ١<br />

x ١<br />

١ ٣ ١ ٢<br />

١ ١<br />

F(x) x x x c F( ٠)<br />

( ٠)<br />

٣<br />

( ٠)<br />

٢<br />

٠<br />

c ٣<br />

٣ ٢<br />

٣ ٢<br />

c ٣<br />

١ ٣ ١<br />

F(x) x x<br />

٢ x ٣<br />

٣ ٢

dx=Udx<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎11‎<br />

ديفرانسيل تابع:‏ عبارت است از مشتق تابع ضربدرdx به عبارتي<br />

است.‏<br />

مثال:‏<br />

2<br />

ديفرانسيل y=x را بدست آوريد.‏<br />

كه در آن U تابعي بر حسبx<br />

dy ydx<br />

dy ٢xdx<br />

روش هاي انتگرال گيري:‏ معمولاً‏ از اين روشها در مواقعي استفاده مي شود كه تابع مورد انتگرال گيري با<br />

x<br />

روابط ذكر شده منطبق نباشد.‏<br />

الف)‏ روش تغيير متغير يا جانشيني<br />

از اين روش در مواردي استفاده مي شود كه به جاي<br />

مورد استفاده قرار گرفته باشدكه آن را U فرض مي كنيم مانند:‏<br />

يك عبارت جبري به توان رسيده باشد مانند:‏<br />

در روابط ذكر شده قبلي يك چند جمله اي يا يك تابع<br />

F(x)<br />

f (x)<br />

(x<br />

٢<br />

٣ x)<br />

٢<br />

١٠<br />

f (x) sin(x ۴x),<br />

f (x) cos( ۶x<br />

٢)<br />

٢<br />

f (x) e<br />

x ۴<br />

f (x) Ln(x ۶x)<br />

,<br />

٢ <br />

٣ ۴x<br />

٢<br />

f (x) ۶<br />

x<br />

<br />

<br />

(1<br />

‎2‎‏)زاويه كليه توابع مثلثاتي مانند<br />

‎3‎‏)توان يك عبارت نمايي<br />

توابع لگاريتمي<br />

كه محاسبه انتگرال آنها با استفاده از قاعده زنجيره اي براي انتگرال گيري انجام مي گيرد.‏<br />

I<br />

f(x)<br />

g(x)€I<br />

x<br />

g(x)<br />

(4<br />

قضيه:‏ فرض كنيد<br />

يك تابع اوليه<br />

بر<br />

تابعي مشتق پذير از<br />

و<br />

باشد.‏ در اين صورت قرار دهيد<br />

باشد بطور كلي<br />

آنگاه:‏<br />

روي<br />

تعريف شده و<br />

U=g(x)<br />

f (g(x)g (x)dx<br />

f (U)dx f (U)Udx<br />

F(U) c F(g(u) c<br />

١) dU U c<br />

)<br />

<br />

U<br />

n<br />

dU UU<br />

n ١<br />

٢<br />

dx U<br />

n ١ c<br />

n ١<br />

( ٢x)dx ) (x ) الف<br />

?<br />

<br />

٢<br />

١ ١٠<br />

I<br />

f(x)<br />

بنابراين مي توان روابط قبلي را بصورت زير درآورد.‏<br />

مثال:‏ انتگرالهاي زير را محاسبه كنيد.‏<br />

٢<br />

ابتدا عبارت زير توان را فرض مي كنيم.‏ يعني:‏<br />

U x ١<br />

dU ٢xdx<br />

<br />

<br />

F(x)<br />

(x<br />

٢<br />

١)<br />

١<br />

(x<br />

١١<br />

١٠<br />

٢<br />

( ٢x)dx<br />

<br />

١)<br />

١١<br />

c<br />

<br />

U<br />

(x<br />

٣<br />

۵)<br />

٢٠<br />

x<br />

٢<br />

dx ?<br />

U x<br />

٣<br />

۵ dU ٣x<br />

٢<br />

dx<br />

١<br />

dU U<br />

١٠<br />

١<br />

١٠<br />

١٠<br />

١<br />

١<br />

c U<br />

١١<br />

١١<br />

c<br />

U<br />

اكنون به جاي U مقدارش را قرار مي دهيم<br />

مشاهده مي شود عدد‎3‎<br />

كم است<br />

ب(‏<br />

براي dU

بنابراين داخل انتگرال را در عدد 3 ضرب مي كنيم تا dU حاصل شود و در<br />

نكند يعني:‏<br />

١٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

١<br />

ضرب مي كنيم تا حاصل تغيير<br />

٣<br />

١<br />

F(x) <br />

<br />

(x<br />

٣<br />

)<br />

٢٠<br />

( x<br />

٢ ١<br />

dx) U<br />

٢٠ ١ ١<br />

۵ ٣<br />

dU U<br />

٢٠ ١ c<br />

٣<br />

٣ ٣ ٢٠<br />

١<br />

١<br />

U<br />

٢١<br />

١<br />

c F(x) (x<br />

٢<br />

۵)<br />

٣١<br />

c<br />

۶٣<br />

۶٣<br />

sin<br />

٣<br />

x cos xdx ?<br />

ب(‏<br />

U sin x<br />

dU cos xdx<br />

F(x) <br />

<br />

sin<br />

٣<br />

x cos xdx U<br />

٣ ١<br />

dU U<br />

٣ ١ ١<br />

c U<br />

۴ ١<br />

c sin<br />

۴<br />

x c<br />

٣ ١ ۴ ۴<br />

x(x ١)<br />

١٠<br />

dx ?<br />

ت(‏<br />

U x ١<br />

dU dx<br />

U x ١<br />

x U ١<br />

(x) x(x )<br />

١٠<br />

dx (U<br />

)(U)<br />

١٠<br />

dU (U<br />

١١<br />

U<br />

١٠ ١<br />

)dU U<br />

١٢ ١<br />

١<br />

١<br />

U<br />

١١<br />

c<br />

١٢ ١١<br />

١<br />

( x )<br />

١٢ ١<br />

١ (x ١)<br />

١١<br />

c<br />

١٢ ١١<br />

٣<br />

x x ث(‏<br />

٢<br />

۶dx<br />

?<br />

U x<br />

٢<br />

۶<br />

dU ٢xdx<br />

در توابع راديكالي عبارت زير راديكال را U<br />

در عدد‎2‎ و<br />

فرض مي كنيم<br />

١<br />

عبارت را ضرب مي كنيم تا dU حاصل شود.‏<br />

٢<br />

١<br />

١<br />

٣<br />

١<br />

F(x)<br />

x x<br />

٢ ١<br />

dx <br />

٣ ١<br />

<br />

UdU U٣<br />

١ ١<br />

۶<br />

dU U٣<br />

c<br />

٢ ٢ ٢ ١<br />

١<br />

٣<br />

۴<br />

١ ٣<br />

U٣<br />

٣<br />

c U<br />

٣ ٣ ٣<br />

U c (x<br />

٢<br />

۶)<br />

(x<br />

٢<br />

۶)<br />

c<br />

٢ ۴ ٨ ٨<br />

dU<br />

۴) Ln U c<br />

U<br />

xdx<br />

?<br />

x<br />

٢<br />

۴<br />

U x<br />

٢<br />

۴ dU ٢xdx<br />

x<br />

x<br />

٢ ۴<br />

مثال:‏ تابع اوليه<br />

تابع داخل انتگرال را در<br />

را تعيين كنيد.‏<br />

2 ضرب مي كنيم تا dU حاصل شود<br />

و در<br />

١<br />

ضرب مي كنيم حاصل تغيير نكند.‏<br />

٢

و)‏<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎13‎<br />

١ ٢xdx<br />

١ dU ١ ١<br />

F(x)<br />

Ln U c Ln(x<br />

٢<br />

۴)<br />

c Ln x<br />

٢<br />

۴ c<br />

٢ x<br />

٢<br />

۴ ٢ U ٢ ٢<br />

sin x<br />

tan xdx dx ?<br />

cos x<br />

U=cosx dU=-sinxdx<br />

sin dx dU<br />

tan xdx ( ١)<br />

Ln U c Ln cos x c<br />

cos x U<br />

Ln cos x<br />

١<br />

c Ln sec x c Ln sec x c<br />

۵)<br />

e<br />

U<br />

dU e<br />

U<br />

Udx<br />

e<br />

U<br />

c<br />

U x<br />

٣<br />

۴ dU ٣x<br />

٢<br />

مثال:‏ تابع اوليه tanx را بدست آوريد.‏<br />

در (1-<br />

(1-) ضرب مي كنيم تا dU حاصل شود<br />

x<br />

٢<br />

e<br />

x<br />

٣<br />

۴<br />

dx<br />

و حاصل تغيير نكند.‏<br />

مثال:انتگرال نامعين<br />

و در عدد<br />

١<br />

ضرب مي كنيم.‏<br />

٣<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

F(x) x<br />

٢<br />

e<br />

x<br />

٣<br />

۴<br />

dx e<br />

x <br />

( x dx) e<br />

U<br />

dU e<br />

U<br />

<br />

١ ٣<br />

۴ ١ ١<br />

٣<br />

٢ <br />

c<br />

٣<br />

٣ ٣<br />

١ x<br />

٣<br />

F(x) e<br />

۴<br />

c<br />

٣<br />

e<br />

sin x<br />

cos xdx<br />

3<br />

مثال:‏ انتگرال نامعين<br />

را بدست آوريد.‏<br />

U sin x dU cos xdx<br />

e<br />

sin x<br />

cos xdx e<br />

U<br />

dU e<br />

U<br />

c F(x) e<br />

sin x<br />

<br />

c<br />

۶) sin UdU sin U(Udx)<br />

cos U c<br />

F(x)<br />

f (x)dx x<br />

٢<br />

sin(x<br />

٣<br />

٨)dx<br />

?<br />

U x<br />

٣<br />

٨ dU ٣x<br />

٢<br />

dx<br />

f (x) x<br />

٢<br />

sin(x<br />

٣<br />

تابع اوليه (٨ <br />

و در عدد<br />

١<br />

ضرب مي كنيم<br />

٣<br />

را بدست آوريد.‏<br />

x<br />

٢<br />

sin(x<br />

٣ ١<br />

١<br />

١<br />

٨)dx<br />

sin(x<br />

٣<br />

٨)(<br />

٣x<br />

٢<br />

dx) sin UdU cos U c<br />

٣<br />

٣<br />

٣<br />

١<br />

F(x)<br />

cos(x<br />

٣<br />

٨)<br />

c<br />

٣<br />

sin(Lnx)<br />

dx ?<br />

x<br />

توجه:‏ كمان توابع مثلثاتي و توان تابع نمايي تغيير نمي كند<br />

sin(Lnx)<br />

dx<br />

x<br />

3<br />

مثال:‏ انتگرال نامعين<br />

را محاسبه كنيد.‏

١٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

U Lnx dU <br />

dx<br />

x<br />

sin(Lnx)<br />

dx sin UdU cos U c cos(Lnx)<br />

c<br />

x<br />

٧) cos UdU cos U(Udx)<br />

sin U c<br />

F(x)<br />

(x ٢)cos(x<br />

٢<br />

۴x)dx<br />

?<br />

f (x) (x ٢)cos(x<br />

٢ ۴<br />

مثال:‏ تابع اوليه (x<br />

و در<br />

١<br />

ضرب مي كنيم<br />

٢<br />

را بدست آوريد.‏<br />

U x<br />

٢<br />

۴x<br />

dU ( ٢x<br />

۴)dx<br />

٢(x<br />

٢)dx<br />

١<br />

١<br />

(x<br />

٢)cos(x<br />

٢<br />

۴x)dx<br />

cos(x<br />

٢<br />

۴x)(<br />

٢(x<br />

٢)dx)<br />

cos<br />

UdU<br />

٢<br />

٢<br />

١<br />

sin U c F(x) sin(x<br />

٢<br />

۴x)<br />

c<br />

٢<br />

cos x<br />

F(x)<br />

dx ?<br />

x<br />

١<br />

U x dU dx<br />

٢ x<br />

cos x<br />

١<br />

dx ٢cos<br />

x ( dx) ٢<br />

cos UdU ٢sin U c<br />

x<br />

٢ x<br />

F(x)<br />

٢sin<br />

x c<br />

٨)<br />

(<br />

١<br />

tan<br />

٢<br />

U)dU sec<br />

٢<br />

UdU sec<br />

٢<br />

U(UdU)<br />

tan U c<br />

U ٣x<br />

۵ dU ٣dx<br />

cos<br />

x<br />

x<br />

2<br />

مثال:‏ تابع اوليه<br />

و در<br />

١<br />

ضرب مي كنيم<br />

٢<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

sec<br />

٢<br />

( ٣x<br />

۵)<br />

dx<br />

2<br />

مثال:‏ انتگرال نامعين<br />

در عدد‎3‎ و<br />

ضرب مي كنيم<br />

را محاسبه كنيد<br />

sec<br />

٢<br />

١<br />

( x )dx sec<br />

٢<br />

١<br />

٣ ۵<br />

( ٣x<br />

۵)(<br />

٣dx)<br />

sec<br />

٢<br />

UdU<br />

٣<br />

٣<br />

١<br />

١<br />

tan U c F(x) tan( ٣x<br />

۵)<br />

c<br />

٣<br />

٣<br />

۴)<br />

(<br />

١<br />

cot<br />

٢<br />

UdU)dU csc<br />

٢<br />

Udu csc<br />

٢<br />

U(Udx)<br />

cot<br />

U c<br />

F(x)<br />

x csc<br />

٢<br />

(x<br />

٢<br />

٨)dx<br />

?<br />

F(x)<br />

x csc<br />

٢<br />

(x<br />

٢<br />

٨)<br />

١<br />

٣<br />

مثال:‏ تابع اوليه<br />

را محاسبه كنيد.‏

U x<br />

٢<br />

٨<br />

dU ٢xdx<br />

x csc<br />

٢<br />

(x<br />

٢ ١<br />

)dx csc<br />

٢<br />

(x<br />

٢<br />

١<br />

٨<br />

٨)(<br />

٢xdx)<br />

csc<br />

٢<br />

Udu<br />

٢<br />

٢<br />

١ ١<br />

cot U c F(x) cot(x<br />

٢<br />

٨)<br />

c<br />

٢<br />

٢<br />

و در<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎15‎<br />

١<br />

ضرب مي كنيم تا dU حاصل شود.‏<br />

٢<br />

توابع sinx<br />

2<br />

انتگرال<br />

در اين صورت تغيير متغير<br />

و cosxبا توان زوج:‏<br />

را انجام داده سپس انتگرال را محاسبه<br />

٢ ١<br />

cos٢x<br />

٢ ١<br />

cos٢x<br />

cos x ,sin x <br />

٢<br />

٢<br />

2<br />

تابع اوليهx sin<br />

مي كنيم.‏<br />

مثال:‏<br />

را بدست آوريد.‏<br />

cos x<br />

<br />

sin<br />

٢ ١ ٢ ١<br />

١<br />

<br />

<br />

<br />

١<br />

xdx<br />

dx ( ١ cos٢x)dx<br />

x c<br />

٢ ٢<br />

٢ ٢sin<br />

٢x<br />

<br />

١ ١<br />

F(x)<br />

x sin ٢x<br />

c<br />

٢ ۴<br />

y u.v y<br />

UV<br />

VU<br />

d(UV)<br />

VdU VdV<br />

UdV d(UV)VdU<br />

UdV<br />

d(UV)<br />

VdU<br />

UdV<br />

UV VdU<br />

ب)روش جزءبه جزء:‏<br />

همانگونه كه ميدانيم اگر<br />

از طرفين انتگرال مي گيريم<br />

كه رابطه دستور انتگرال جزءبه جزء است از اين دستور براي انتگرال گيري توابعي كه به صورت ضرب دو تابع<br />

غير همجنس مانند:‏ جبري،مثلثاتي،مثلثاتي و نمائي،لگاريتمي،‏ مثلثاتي و جبري ،<br />

شود.‏ در اين روش سعي مي شود توابعي مانند LnU و<br />

لگاريتمي و غيره استفاده مي<br />

cot را به و ....<br />

١ U,cos<br />

١<br />

U, tan<br />

١<br />

U,sin<br />

١<br />

U<br />

عنوان تابع U فرض مي كنيم تا با مشتق گرفتن به توابع جبري تبديل شود و در صورتي كه اين توابع در مسئله<br />

نباشد تابعي كه با مشتق گرفتن توانش كم مي شود را U فرض مي كنيم و باقيمانده را dV در نظر مي گيريم.‏<br />

مثال:‏ با استفاده از روش جزء به جزء انتگرالهاي زير را محاسبه كنيد.‏<br />

مشتق<br />

U x dU dx<br />

١) x cos٢xdx<br />

1<br />

dV cos2xdx<br />

V sin2x<br />

2<br />

UdV<br />

UV VdU<br />

1 1 1 1<br />

x cos2xdx<br />

xsin2x<br />

sin2xdx<br />

xsin2x<br />

cos2x<br />

c<br />

2 2 2 4<br />

انتگرال

١٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

١ ١<br />

x cos٢xdx<br />

x sin ٢x<br />

cos٢x<br />

c<br />

٢ ۴<br />

U<br />

x<br />

١<br />

٠<br />

(dV)<br />

+ cos٢x<br />

١<br />

sin ٢x<br />

- ٢<br />

١<br />

cos٢x<br />

۴<br />

٢)<br />

xe<br />

٣x<br />

dx ?<br />

UdV<br />

UV VdU<br />

xe<br />

٣x<br />

١<br />

dx xe<br />

٣x<br />

١<br />

e<br />

٣x<br />

١<br />

dx xe<br />

٣x<br />

١<br />

e<br />

٣x<br />

<br />

<br />

c<br />

٣ ٣ ٣ ٩<br />

xe<br />

٣x<br />

١<br />

dx xe<br />

٣x<br />

١<br />

e<br />

٣x<br />

<br />

c<br />

٣ ٩<br />

<br />

U x <br />

dU dx<br />

<br />

<br />

dV<br />

e<br />

٣x<br />

١<br />

dx <br />

V e<br />

٣x<br />

<br />

٣<br />

U<br />

x<br />

١<br />

٠<br />

+<br />

dV<br />

e<br />

٣x<br />

١<br />

e<br />

٣x<br />

٣<br />

١<br />

e<br />

٣x<br />

٩<br />

٣) Lnxdx ?<br />

Udx<br />

UV VdU<br />

dx<br />

Lnxdx<br />

xLnx x<br />

xLnx x c<br />

x<br />

۴)<br />

x<br />

٢<br />

cos xdx ?<br />

UdV<br />

UV VdU<br />

x<br />

٢<br />

cos xdx x<br />

٢<br />

sin x ٢<br />

x sin xdx<br />

x sin xdx ?<br />

فرض مي كنيم تا با مشتق گرفتن به تابع جبري تبديل شود<br />

مشتق<br />

<br />

U<br />

Lnx <br />

dU <br />

<br />

<br />

dV<br />

dx <br />

V x<br />

dx<br />

x<br />

U را Lnx<br />

<br />

x ٢<br />

U <br />

dU ٢xdx<br />

<br />

cos xsx dV <br />

V sin x<br />

I<br />

كه در اينجا xsin xdx<br />

نيز از طريق روش جزء به جزء قابل محاسبه است.‏<br />

x sin xdx x cos x <br />

cos xdx x cos x sin x c<br />

<br />

x<br />

U <br />

dU dx<br />

<br />

sin xdx dV <br />

V cos x<br />

II<br />

بنابراين بر اساس II I<br />

و<br />

انتگرال

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎17‎<br />

x<br />

٢<br />

cos xdx x<br />

٢<br />

sin x ٢ x cos x sin x c x<br />

٢<br />

sin x ٢x cos x ٢sin x c<br />

U dV<br />

x<br />

٢<br />

cos x<br />

x<br />

٢<br />

cos xdx x<br />

٢<br />

+<br />

sin x ٢x cos x ٢sin x c<br />

٢x<br />

sin x<br />

٢ -<br />

cos x<br />

+<br />

٠ sin x<br />

۵) xLnxdx ?<br />

<br />

dx<br />

U<br />

Lnx <br />

dU <br />

x<br />

UdV<br />

UV Vdu<br />

<br />

<br />

١ dV xdx <br />

V x<br />

٢<br />

<br />

٢<br />

١<br />

dx<br />

xLnx<br />

x<br />

٢ ١<br />

Lnx x<br />

٢ ١<br />

x<br />

٢ ١ ١<br />

Lnx xdx<br />

x<br />

٢ ١<br />

Lnx x<br />

٢<br />

c<br />

٢ ٢ x ٢ ٢ ٢ ۴<br />

۶) tan<br />

١<br />

xdx<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

dx<br />

U tan<br />

١<br />

x <br />

dU <br />

<br />

x<br />

٢<br />

UdV<br />

UV VdU<br />

١<br />

<br />

dV<br />

dx <br />

V x<br />

xdx<br />

tan<br />

١<br />

xdx x tan<br />

١<br />

x<br />

t ١ x<br />

٢<br />

<br />

<br />

<br />

dt ٢xdx<br />

١<br />

x<br />

٢<br />

<br />

xdx <br />

tan<br />

١<br />

xdx x tan<br />

١ ١ ٢<br />

x x tan<br />

١ ١<br />

x Ln( ١<br />

x<br />

٢<br />

) c<br />

٢ ١<br />

x<br />

٢<br />

٢<br />

٧)<br />

e<br />

x<br />

cos xdx ?<br />

و در 2<br />

در اين تابع<br />

١<br />

ضرب مي كنيم تا dt حاصل شود.‏<br />

٢<br />

پس از مشتق گرفتن يا انتگرال گرفتن مكرر به e x و cosxتبديل مي شود در اين گونه<br />

UdV<br />

UV VdU<br />

sin xe<br />

x<br />

dx ?<br />

e<br />

x<br />

cos xdx e<br />

x<br />

sin x sin xe<br />

x<br />

dx<br />

UdV<br />

UV VdU<br />

cosx و e x<br />

مسائل به صورت زير عمل مي كنيم.‏<br />

<br />

U<br />

e<br />

x<br />

<br />

dU<br />

<br />

e<br />

x<br />

dx<br />

I <br />

<br />

dV<br />

cos xdx <br />

V sin x<br />

sin xe<br />

x<br />

انتگرال dx<br />

از طريق روش جزء به جزء محاسبه مي شود.‏<br />

<br />

U<br />

e<br />

x<br />

<br />

dU e<br />

x<br />

dx<br />

<br />

dV sin xdx <br />

V cos xdx<br />

sin xe<br />

x<br />

dx e<br />

x<br />

cos x cos xe<br />

x<br />

x<br />

dx e<br />

cos x e<br />

x<br />

cos xdx<br />

II

مشاهده مي شود<br />

١٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

II<br />

نياز به محاسبه است كه تكرار صورت مسئله است بنابراين طبق I<br />

و<br />

<br />

<br />

e x cos xdx<br />

e<br />

x<br />

cos xdx e<br />

x<br />

sin x e<br />

x<br />

cos x e<br />

x<br />

cos xdx<br />

e<br />

x<br />

cos xdx e<br />

x<br />

sin x e<br />

x<br />

cos x e<br />

x<br />

cos xdx<br />

e<br />

x<br />

sin x e<br />

x<br />

cos x<br />

٢ e<br />

x<br />

cos xdx e<br />

x<br />

sin x e<br />

x<br />

cos x e<br />

x<br />

<br />

cos xdx <br />

٢<br />

e<br />

x ١<br />

cos xdx e<br />

xsin x cos x<br />

٢<br />

f (x) <br />

p(x)<br />

q(x)<br />

ج)‏ انتگرال گيري از توابع كسري:‏<br />

فرض كنيد p(x) q(x) ,<br />

دارد رخ دهد.‏<br />

‎1‎‏)درجه<br />

دو جمله اي باشند و تابع گوياي<br />

بزرگتر يا مساوي<br />

تعريف شده باشد حالتهاي زير امكان<br />

q(x) باشد.‏ در اين صورت همانگونه كه قبلاً‏ اشاره شد به روش تقسيم يا<br />

p(x)<br />

تجزيه انتگرال را محاسبه مي كنيم.‏<br />

x<br />

٣ ۵x<br />

٢ ۴x<br />

١<br />

<br />

dx ?<br />

x ١<br />

٣<br />

١<br />

۵<br />

٢ x <br />

x x ۴x<br />

١<br />

x<br />

٢<br />

۴x<br />

x<br />

٣<br />

x<br />

٢<br />

۴x<br />

٢<br />

۴x<br />

١<br />

۴x<br />

٢<br />

۴x<br />

١<br />

مثال:‏ انتگرال نامعين مقابل را محاسبه كنيد.‏<br />

x<br />

٣<br />

۵x<br />

x ١<br />

dx (x<br />

٢<br />

١<br />

۴x)dx<br />

dx<br />

x ١<br />

x ١<br />

١ x<br />

٣<br />

٢x<br />

٢ Ln x ١<br />

c<br />

٣<br />

q(x)<br />

درجه p(x)<br />

كمتر از<br />

حالت اول:‏ اگر q(x) چند جمله اي داراي عامل خطي<br />

جزئي تبديل مي كنيم.‏<br />

باشد در اين صورت حالتهاي زير را بررسي مي كنيم<br />

ax+b باشد.‏ در اين صورت كسر حقيقي را به كسرهاي<br />

dx<br />

?<br />

x<br />

٢<br />

٩<br />

١ A B A(x ٣)<br />

B(x ٣)<br />

x(A B) ٣A<br />

٣B<br />

<br />

<br />

x<br />

٢<br />

٩ x ٣ x ٣ x<br />

٢<br />

٩<br />

x<br />

٢<br />

٩<br />

(2<br />

مثال:‏ انتگرال نامعين مقابل را محاسبه كنيد.‏<br />

چون مخرج ها برابر هستند بنابراين بايد صورتها نيز برابر باشند و چون در كسر حقيقي x وجود ندارد بنابراين<br />

ضريب آن صفر است

A<br />

B ٠ ٣A<br />

٣B<br />

٠<br />

١ ١<br />

۶A<br />

١<br />

A ,B <br />

٣A<br />

٣B<br />

١ ٣A<br />

٣B<br />

١<br />

۶ ۶<br />

dx ١ ١ ١ ١ ١ ١<br />

dx dx Ln x ٣ Ln(x ٣)<br />

c<br />

x<br />

٢<br />

٩ ۶ x ٣ ۶ x ٣ ۶ ۶<br />

١ x ٣<br />

Ln c<br />

۶ x ٣<br />

dx<br />

<br />

a<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

١ a x<br />

Ln<br />

٢a<br />

a x<br />

c<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎19‎<br />

نكته:‏ اين گونه مسائل را مي توان با استفاده از رابطه زير حل نمود.‏<br />

dx<br />

<br />

x<br />

٢<br />

a<br />

٢<br />

١ x a<br />

Ln<br />

٢a<br />

x a<br />

dx dx ١ x ٣ ١ x ٣<br />

Ln c Ln c<br />

x<br />

٢<br />

٩ x<br />

٢<br />

٣<br />

٢ ٢<br />

٣ x ٣ ۶ x ٣<br />

du du ١ ۵ x ١ ۵ x<br />

Ln c Ln c<br />

٢۵ x<br />

٢<br />

۵<br />

٢<br />

x<br />

٢ ٢۵<br />

۵ x ١٠ ۵ x<br />

c<br />

q(x)<br />

به عنوان مثال:‏<br />

حالت دوم:‏ اگر<br />

مي نويسيم كه توان آنها از<br />

داراي عامل خنثي (ax+b) n باشد در اين صورت كسر مورد نظر را به صورت عامل هايي<br />

١ A A<br />

A<br />

٢ ....... n<br />

( ax b)<br />

n (ax b) (ax b)<br />

٢<br />

(ax b)<br />

n<br />

x<br />

2<br />

5<br />

x(x 1)<br />

2<br />

x<br />

٢<br />

۵<br />

du ?<br />

x(x ١)<br />

٢<br />

A B c<br />

<br />

x (x 1)<br />

2<br />

(x 1)<br />

x<br />

٢<br />

(A B) ( ٢A<br />

B C)x A<br />

<br />

x(x ١)<br />

٢<br />

A<br />

B ١<br />

<br />

<br />

٢A<br />

B C ٠<br />

<br />

A<br />

۵<br />

Ax<br />

<br />

x<br />

٢<br />

۵ ۵dx<br />

۶dx<br />

۴dx<br />

dx <br />

x(x ١)<br />

٢ x x ١ (x ١)<br />

٢<br />

۴<br />

۵Ln<br />

x ۶Ln x ١<br />

c<br />

x ١<br />

U x ١<br />

dU du<br />

2<br />

2Ax<br />

A Bx<br />

1 تاn ادامه يابد.‏<br />

مثال:‏ انتگرال نامعين مقابل را محاسبه كنيد.‏<br />

x(x 1)<br />

2<br />

2<br />

Bx Cx<br />

2<br />

چون ضريب x برابر يك است<br />

چون ضريب x برابر صفر است<br />

چون عدد ثابت برابر 5-<br />

است

٢٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

۴ du du ۴<br />

du ۴<br />

۴ ۴U<br />

٢<br />

du ۴U<br />

١<br />

c c<br />

( x ١)<br />

٢<br />

(x ١)<br />

٢<br />

U<br />

٢<br />

x ١<br />

x<br />

٢<br />

ax <br />

حالت سوم:‏ اگر q(x)<br />

با عامل كسري<br />

داراي عامل درجه دوم متمايز b<br />

مثال:‏ انتگرال نامعين مقابل را محاسبه كنيد<br />

در تجزيه تابع گويا وجود دارد كه مقادير A<br />

باشد كه ريشه حقيقي ندارد،‏ آنگاه متناظر<br />

Ax B<br />

و B<br />

x<br />

٢<br />

ax b<br />

x<br />

٢<br />

١<br />

<br />

du<br />

x<br />

٣<br />

x<br />

٢<br />

x ١<br />

x<br />

٢<br />

١ A Bx c A(x<br />

٢<br />

١)<br />

(Bx C)(x ١)<br />

x<br />

٢<br />

(A B) x(C B) A C<br />

<br />

<br />

(x ١)(x<br />

٢<br />

١)<br />

x ١ x<br />

٢<br />

١ (x ١)(x<br />

٢<br />

١)<br />

(x ١)(x<br />

٢<br />

١)<br />

بايستي محاسبه شود.‏<br />

<br />

A<br />

B ١<br />

<br />

C<br />

B ١ B ٠,A<br />

١<br />

<br />

A<br />

C ٠<br />

A C<br />

x<br />

٢<br />

١ du du<br />

du <br />

<br />

Ln x ١<br />

tan<br />

١<br />

x c<br />

x<br />

٣<br />

x<br />

٢<br />

x ١ x ١ x<br />

٢<br />

١<br />

( x<br />

٢<br />

ax b)<br />

m<br />

ضرايب را متحد قرار مي دهيم.‏<br />

حالت چهارم:‏ اگر q(x)<br />

داراي عامل درجه دوم تكراري<br />

متناظر با اين عامل مجموع كسرهاي جزيي زير را مي نويسيم.‏<br />

باشد كه ريشه حقيقي ندارد آنگاه<br />

A١x<br />

B١<br />

A x B<br />

Amx<br />

B<br />

٢ ٢ .......... <br />

m<br />

x<br />

٢<br />

ax b (x<br />

٢<br />

ax b)<br />

٢<br />

(x<br />

٢<br />

ax b)<br />

m<br />

x<br />

٢<br />

x ۶<br />

du ?<br />

(x<br />

٢<br />

۶)<br />

٢<br />

Ax<br />

٣<br />

۶Ax<br />

Bx<br />

٢<br />

۶B<br />

Cx D Ax<br />

٣<br />

Bx<br />

٢<br />

x( ۴A<br />

C) D ۶B<br />

<br />

<br />

(x<br />

٢<br />

۶)<br />

٢<br />

(x<br />

٢<br />

۶)<br />

٢<br />

A<br />

٠<br />

<br />

B ١<br />

<br />

۴A<br />

C ١<br />

C ١<br />

<br />

۶B<br />

D ۶<br />

D ٠<br />

x<br />

٢<br />

x ۶ ١ x<br />

<br />

(x<br />

٢<br />

۶)<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

۶ (x<br />

٢<br />

۶)<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

x ۶ du xdu <br />

du tan<br />

١<br />

(x<br />

٢<br />

۶)<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

۶ (x<br />

٢<br />

۶)<br />

٢<br />

مثال:‏ انتگرال نامعين مقابل را محاسبه كنيد.‏<br />

x ١<br />

C<br />

x ٢(x<br />

٢<br />

۶)<br />

U x<br />

٢<br />

۶ dU ٢xdu<br />

xdu ١ ٢xdu<br />

١ dU ١ <br />

<br />

U<br />

٢ ١<br />

dU U<br />

١<br />

C<br />

(x<br />

٢ ۶)<br />

٢ ٢ (x<br />

٢<br />

۶)<br />

٢ ٢ U<br />

٢ ٢<br />

٢

١ ١<br />

C C<br />

٢U<br />

٢(x<br />

٢<br />

۶)<br />

z n<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎21‎<br />

د)توابعي كه توان كسري دارند.‏<br />

در صورتي كه عبارت ax+b داراي توان كسري باشد در اين صورت ax+b را<br />

مضرب مشترك مخرج توانها مي باشد.‏<br />

مي گيريم كه n كوچكترين<br />

٨x<br />

٢<br />

du<br />

<br />

۵<br />

( ۴x<br />

١)<br />

٢<br />

?<br />

٢<br />

<br />

<br />

٢ z ١<br />

۴x<br />

١ Z x <br />

۴x<br />

١<br />

Z<br />

٢<br />

<br />

۴<br />

۴ ١<br />

٢ ZdZ<br />

x Z ۴dx<br />

٢ZdZ<br />

dx <br />

٢<br />

z<br />

٢<br />

١ zdz<br />

( )( )<br />

x<br />

٢ ٨<br />

٨ du<br />

z<br />

۴<br />

z<br />

٢<br />

<br />

<br />

۴ ٢ ١ ٢ ١<br />

<br />

<br />

dz<br />

۵<br />

Z<br />

۵ ۴ Z<br />

۴<br />

( ۴x<br />

١)<br />

٢<br />

( ax+b)=Z n ٨x<br />

٢<br />

du<br />

مثال :<br />

<br />

۵<br />

( ۴x<br />

١)<br />

٢<br />

انتگرال نامعين<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

فرض<br />

١ ٢ ١ ١<br />

١ ١ <br />

١<br />

)dz dz<br />

٢ dz dz<br />

۴<br />

<br />

Z<br />

٢<br />

z<br />

۴ ۴ Z<br />

۴<br />

Z<br />

۴ <br />

١<br />

٢ ١ ١٣z<br />

۴<br />

۶z<br />

٢<br />

١<br />

z<br />

C <br />

C<br />

۴ z ٣z<br />

٣<br />

۴ <br />

٣z<br />

٣<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

( x ) ( x )<br />

<br />

( x x ) x<br />

<br />

<br />

<br />

٢<br />

<br />

٢<br />

١ ٣ ۴ ١ ۶ ۴ ١ ١<br />

<br />

١<br />

C <br />

٣ ١۶ ٨ ١ ٢۴ ۶ ١<br />

<br />

<br />

C<br />

۴ <br />

٣ ۴ <br />

٣ <br />

<br />

( x )<br />

<br />

( x )<br />

<br />

٣ ۴ ١ ٢<br />

٣ ۴ ١ ٢<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

x x 2<br />

1 48 48 8 12x<br />

12x<br />

2<br />

<br />

C <br />

C<br />

4<br />

3<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

3(<br />

4x<br />

1)<br />

2 <br />

3(<br />

4x<br />

1)<br />

2<br />

b<br />

a<br />

f (x)dx <br />

F(x)<br />

<br />

b<br />

F(b) F(a)<br />

a<br />

y=f(x)<br />

انتگرال معين:‏<br />

هرگاه تابع نامنحني و پيوسته<br />

را انتگرال معين(‏F(x از<br />

در بازه[‏a,b‏]‏ باشد.‏ آنگاه<br />

a تاb ناميده مي شود كه براي تعيين سطح زير منحني و محورxها بكار مي رود.‏

و‎4‎<br />

ب(‏<br />

ب(‏<br />

پ(‏<br />

ت(‏<br />

ث(‏<br />

مثال:‏ انتگرال هاي معين زير را بدست آوريد.‏<br />

٢٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

فلا(‏<br />

٣<br />

x<br />

٣<br />

٣<br />

٣<br />

( ١<br />

٣<br />

٢٨<br />

٣<br />

٢<br />

٣ ١ x du ١<br />

) <br />

<br />

<br />

٢ <br />

sin xdx <br />

cos x٠٢<br />

cos<br />

( cos٠<br />

١<br />

٢<br />

)<br />

b<br />

kf (x)dx k<br />

b<br />

a<br />

a f (x) dx<br />

b<br />

f (x) g(x) du<br />

<br />

b<br />

f (x)dx <br />

b<br />

a<br />

a a g(x) du<br />

b<br />

f (x)dx <br />

a<br />

a b<br />

k(x) dx<br />

a f (x)du ٠<br />

b<br />

f (x)dx<br />

c<br />

f (x)dx<br />

b<br />

a a c f (x)dx a,b<br />

<br />

3x<br />

2 2 0<br />

x1<br />

f (x) را دربازه ] [0<br />

2x<br />

1<br />

x4<br />

1 2<br />

4 3 1 2 4<br />

0(<br />

3x<br />

2)dx<br />

1<br />

2xdx<br />

x 2x0<br />

x 1<br />

3 15<br />

18<br />

4<br />

3 x 2dx<br />

٢<br />

۴<br />

۴ ٢<br />

۴ ١ ٢<br />

١ ٢<br />

٣ ٢<br />

<br />

x du ٣<br />

(x<br />

٢)du<br />

٢ (x ٢)du<br />

<br />

x ٢x<br />

٢<br />

٢ x x<br />

٣<br />

٢ <br />

٢<br />

٩ <br />

١<br />

( ٢ ۴)<br />

( ۶)<br />

(<br />

٨ ٨)<br />

( ٢ ۴)<br />

<br />

١٨<br />

١٨/<br />

۵<br />

٢ <br />

<br />

<br />

٢<br />

. x ٢ تا ٣ x ١ f (x) x ۴<br />

٣<br />

x<br />

١ ٩ ١<br />

S <br />

٢ f (x)dx <br />

٣<br />

۴ <br />

٢<br />

١ (x )du x ۴x<br />

( ١٢)<br />

( ۴)<br />

واح ١٢<br />

x١<br />

٢<br />

١<br />

٢ ٢<br />

و‎2‎ =x<br />

x<br />

٢<br />

۴x<br />

٣<br />

خواص انتگرال معين:‏<br />

مثال:‏ انتگرال معين<br />

مثال:‏ حاصل انتگرال<br />

مثال:‏ سطح زير منحني<br />

را بدست آوريد.‏<br />

را از‎١‎ <br />

محاسبه كنيد.‏<br />

فلا(‏<br />

دمربع<br />

مثال:‏ مساحت سطح محصور بين<br />

واحد سطح<br />

را بدست آوريد<br />

=x و دو خط‎1‎ و محور xها f (x)<br />

رابدست آوريد.‏<br />

x<br />

S <br />

٢ f (x)du <br />

٢<br />

(x<br />

٢<br />

۴x<br />

٣)<br />

du<br />

x<br />

١<br />

١<br />

٨ ١ ۴<br />

١ x<br />

٣<br />

٢x<br />

٢<br />

٣x<br />

<br />

٢ ٨ ۶ ٢ ٣<br />

٣<br />

١ ( ) ( ) <br />

٣ ٣ ٣<br />

نكته:‏ هرگاه منحني پيوسته اي مانند f(x)<br />

زير محور xها است كه در اين حالت مقدار انتگرال<br />

در فاصله[‏a,b‏]‏ زير محورxها واقع شده باشد.‏ سطح محصور آن نيز<br />

تاb عددي منفي مي شود كه مساحت منفي نمي تواند<br />

و محور xها از x ١ ١ تا x ٢ ٢<br />

a<br />

f (x) x<br />

٢ ٩<br />

باشد.‏ بنابراين قدر مطلق آن را در نظر مي گيريم.‏<br />

مثال:‏ مطلوب است مساحت سطح محصور بين

و<br />

٢<br />

x<br />

<br />

٢<br />

<br />

٢ ٢ ١<br />

S f (x)dx <br />

٣<br />

١ (x ٩)du<br />

x ٩x<br />

x١<br />

<br />

٣<br />

١<br />

١٨ ١ ٢٠ ٢٠<br />

( ١٨)<br />

( ٩)<br />

S <br />

٣ ٣ ٣ ٣<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎23‎<br />

واحد سطح<br />

نكته:‏ هرگاه منحني پيوسته ‏(‏f(xدر فاصله[‏a,b‏]‏ داراي ريشه C باشد قسمتي از منحني بالاي محور xها و<br />

قسمت زير محور xها واقع مي شود كه مساحت آن منحني منفي مي شود.‏<br />

بنابراين در اين مواقع مساحت تك،تك ناحيه ها را بدست آورده و با هم جمع مي كنيم.‏<br />

f (x) x<br />

٣ ٣x<br />

٢ ١,<br />

x ١ ١<br />

F(x) ٠<br />

x<br />

٣<br />

٣x<br />

٠<br />

x(x<br />

٢<br />

٣)<br />

٠<br />

x ٠,<br />

x ٣<br />

S s s <br />

٠<br />

f (x)du <br />

١<br />

١ ٢ ١ ٠f (x) du<br />

٠<br />

١<br />

<br />

۴ ٢ <br />

۴ ٢ <br />

<br />

٠<br />

<br />

٣<br />

<br />

١<br />

<br />

٣<br />

x ٣x<br />

x ٣x<br />

١ ( x ٣x)du<br />

٠(<br />

x ٣x)du<br />

<br />

۴ ٢<br />

<br />

۴ ٢ <br />

١<br />

٠<br />

۵ ۵ ۵<br />

٢/<br />

۵<br />

۴ ۴ ٢<br />

مثال:‏ مطلوب است مساحت سطح محصور بين منحني<br />

. x ابتدا براي يافتن ريشه معادله f(x) رابرابر صفر قرار مي دهيم.‏<br />

فرض كنيد معادلات پارامتري منحني به صورت<br />

واحد سطح<br />

و محورxها و دو خط<br />

باشد.‏ مساحت ناحيه محدود به منحني بالا و محور<br />

x<br />

sin t<br />

<br />

y<br />

cos t<br />

x sin t dx cos tdt<br />

<br />

cos t<br />

S <br />

b<br />

ydu (cos t)cos tdt cos<br />

٢ ١ ٢<br />

a ٠<br />

٠ tdt ٠ dt<br />

٢<br />

١<br />

١ ١ <br />

١ ٢<br />

٢<br />

٢<br />

٠<br />

<br />

٢ <br />

<br />

( cos t)dt t sin t<br />

٢<br />

<br />

<br />

٠<br />

٢<br />

xها در بازه[‏ 0]<br />

را بدست آوريد.‏<br />

مساحت ناحيه بين دو منحني:‏<br />

واحد سطح<br />

براي محاسبه مساحت ناحيه بين دو منحني(‏f(x g(u), كافي است محل تلاقي دو منحني را بدست آوريم<br />

<br />

S <br />

b<br />

a f (x),g(x) du<br />

2<br />

x<br />

سپس با استفاده از رابطه<br />

مثال:‏ مساحت ناحيه محدود بين نمودارهاي<br />

ابتدا محل تلاقي در منحني راتعيين مي كنيم<br />

مساحت را تعيين كنيم.‏<br />

وg(x)=x را تعيين كنيد.‏<br />

f (x) g(x)<br />

x x<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

x ٠<br />

x(x ١)<br />

٠<br />

x١<br />

٠,<br />

x٢<br />

١<br />

S <br />

b<br />

(f (x) g(x)du <br />

٢<br />

(x x<br />

٢<br />

a<br />

٠ ) du<br />

١<br />

١ ٢ ١ ٣ ١ ١ ١<br />

x x <br />

٢ ٣ <br />

٠<br />

واحد سطح ٢ ٣ ۶

مثال:‏ مساحت بين منحنيهاي<br />

٢٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

١, ٢y ٢ x, y x را بدست آوريد.‏<br />

y ٧ ٢x<br />

٢ x<br />

٢y<br />

٢<br />

x y <br />

٢<br />

y<br />

٧ ٢x<br />

٧ ٢x<br />

x ١<br />

٣x<br />

۶<br />

x ٢<br />

y<br />

x ١<br />

y<br />

٧ ٢x<br />

١۴<br />

۴x<br />

٢<br />

x ٣x<br />

١٢<br />

x ۴<br />

٢y<br />

٢<br />

x<br />

٢y<br />

٢<br />

x<br />

٢ x ٢x<br />

٢ ٣x<br />

٠<br />

x ٠<br />

y<br />

x ١<br />

x <br />

x <br />

S <br />

٢ ٢<br />

٢<br />

٣<br />

(x<br />

١)<br />

( ) du<br />

<br />

۴<br />

(<br />

٧ ٢x)<br />

( ) du<br />

<br />

٢<br />

xdx <br />

۴<br />

٠<br />

٢<br />

٠ ٠(<br />

۶<br />

٢ <br />

٢ ٢<br />

٢<br />

۴<br />

٣<br />

٢<br />

٣<br />

۶<br />

٢<br />

x<br />

٣ ٠ ٢۴<br />

١٢ ١٢<br />

٣ <br />

۶<br />

۴ x x<br />

٠ ۴ ( ) ( ) ( )<br />

٢<br />

ابتدا محل تلاقي 3<br />

منحني را بدست مي آوريم.‏<br />

٣<br />

٢<br />

x) du<br />

كاربردهاي انتگرال معين در اقتصاد:‏<br />

مي دانيم كه يك تابع نهايي اقتصادي برابر مشتق تابع كل اقتصادي است بنابراين اگر(‏MR(x تابع درآمد نهايي<br />

يك موسسه باشد به ازاي x واحد توليد آنگاه تابع درآمد كل((‏TR(x‏)‏ اين موسسه برابر است.‏<br />

TR(x) MR(x)du.MR(x) TR(x)<br />

و هزينه نهايي توليد كننده اي MC(x)<br />

است با:‏<br />

باشد به ازاي x واحد توليد آنگاه تابع هزينه كل اين توليد كننده برابر<br />

40<br />

MC(x) باشد.‏<br />

TC(x) MC(x)dx,MC(x) TC (x)<br />

۶x<br />

٢ ۴x<br />

مثال:‏ فرض كنيد هزينه نهايي موسسه اي به صورت ٢<br />

الف)‏ تابع هزينه كل در اين موسسه را در حالتي تعيين كنيد كه هزينه توليد اولين واحد كالا برابر<br />

باشد.‏<br />

ب)‏ هزينه كل توليد را به ازاي<br />

واحد كالا را بدست آوريد.‏<br />

واحد پول<br />

TC(x)<br />

MC(x)du<br />

(<br />

۶x<br />

٢<br />

۴x<br />

٢)du<br />

٢x<br />

٣<br />

٢x<br />

٢<br />

٢x<br />

c<br />

٢(<br />

١)<br />

٣<br />

٢(<br />

١)<br />

٢<br />

٢(<br />

١)<br />

c ۴٠<br />

c ٣٨<br />

TC(x) ٢x<br />

٣<br />

٢x<br />

٢<br />

٢x<br />

٣٨<br />

TC(x) ٢(<br />

۵)<br />

٢<br />

٢(<br />

۵)<br />

٢<br />

٢(<br />

۵)<br />

٣٨ ٢۴٨<br />

MR(Q)<br />

به جاي‎1‎ =x قرار مي دهيم چون هزينه اولين توليد كالا داده شده است.‏<br />

٢٠<br />

٢٠Q<br />

٣Q<br />

٢<br />

5<br />

ب)‏ به جاي<br />

بنابراين<br />

قرار مي دهيم<br />

واحد پول<br />

x=5<br />

مثال:‏ فرض كنيد تابع درآمد نهايي موسسه اي به صورت<br />

تابع تقاضا را به<br />

است تابع درآمد كل و<br />

TR(Q) MR(Q)dQ<br />

(<br />

٢٠<br />

٢Q<br />

٣Q<br />

٢<br />

)dQ ٢٠Q<br />

Q<br />

٢<br />

Q<br />

٣<br />

c<br />

F(Q) P را تعيين كنيد.‏<br />

به ازاي‎0‎ =Q داريم TR(.)=0 ، بنابراين 0=C<br />

مي شود در نتيجه:‏

TR(Q)<br />

TR(Q)<br />

٢٠Q<br />

Q<br />

٢<br />

Q<br />

٣<br />

<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎25‎<br />

همانگونه كه مي دانيم درآمد متوسط و تابع تقاضا هر دو داراي مفهوم يكساني هستند بنابراين<br />

TR(Q)<br />

PQ P ٢٠<br />

Q Q<br />

٢<br />

Q<br />

۴٠<br />

۶x<br />

x<br />

٢<br />

,MR(x) ۴٠<br />

x<br />

MC(x)<br />

<br />

مثال:‏ توابع درآمد نهايي و هزينه نهايي موسسه اي عبارتند از:‏ ٢<br />

مقدار توليد را به گونه تعيين كنيد كه سود حداكثر شود و حداكثر سود را محاسبه كنيد.‏<br />

( x) TR(x) TC(x)<br />

يا min<br />

جواب:‏ مي دانيم تابع سود كل موسسه برابر است با<br />

بنابراين مشتق گرفته و برابر صفر قرار مي دهيم تا نقاط Max<br />

تعيين شود.‏<br />

( u) MR(x) MX(x) ٠<br />

MR(x) MC(x)<br />

۴٠<br />

٢x<br />

۴٠<br />

۶x<br />

x<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

۴x<br />

٠<br />

x ٠,<br />

x ۴<br />

( x) x<br />

٢ ۴x<br />

(x) ٢x<br />

۴ (<br />

٠)<br />

۴,<br />

(<br />

۴)<br />

٢۴<br />

۴ ۴٠<br />

در نتيجه حداكثر سود موسسه به ازاي توليد 4=x<br />

بدست مي آيد.‏<br />

<br />

۴<br />

( MR(x) MC(x)du <br />

۴<br />

( x<br />

٢<br />

٠<br />

٠ ۴x)<br />

du<br />

۴<br />

١ ٣<br />

۶۴ ٣٢<br />

٢<br />

٢<br />

<br />

<br />

x x ٣٢ <br />

٣ <br />

<br />

٠<br />

٣ ٣<br />

مازاد مصرف كننده:‏<br />

اگر تابع تقاضا به صورت<br />

حداكثر سود موسسه<br />

y=f(x) نشان دهنده قيمتهاي مختلفي باشد كه مصرف كننده مايل به پرداخت آن<br />

براي يك كالا مي باشد.‏ در صورتي كه تعادل بازار در نقطه ايجاد شود.‏ مصرف كنندگاني كه مايل به<br />

پرداخت قيمتي بيشتر از نقطه تعادل بازار باشد سود مي برند كه اين سود مازاد مصرف كننده نام دارد و با<br />

x<br />

C.S ٠<br />

٠ F(x)dx x٠y٠<br />

x ٠ =2<br />

( x٠,<br />

y٠)<br />

( y ٠ )<br />

نشان مي دهند و مي توان با استفاده از مفهوم سطح محصور آن را محاسبه كرد.‏<br />

y ٢۵ ٣x<br />

٣x<br />

٢<br />

C.S<br />

مثال:‏ تابع تقاضا به صورت<br />

كنيد.‏<br />

مي باشد مازاد مصرف كننده اي به ازاي<br />

اگر<br />

را محاسبه<br />

x ٢ ٢۵ ٣ ٢ ٣ ٢<br />

٢<br />

٠ y٠<br />

( ) ٧<br />

x<br />

C.S ٠<br />

٠ F(x)dx x٠y٠<br />

٣<br />

C.S <br />

٢<br />

٢۵ ٣ ٣<br />

٢<br />

٢ ٧ ٢۵<br />

٢ ٣<br />

٢<br />

٠(<br />

x x )dx x x x ١۴<br />

٢<br />

٠ <br />

( ۵٠<br />

١٢<br />

٨)<br />

١۴<br />

١۶<br />

y ۴٨ ٢x<br />

٣x<br />

٢<br />

مثال:‏ فرض كنيد تابع تقاضاي كالايي به صورت<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

است.‏ مازاد مصرف كننده را به ازاي<br />

y ٣٢ ٣٢ ۴٨ ٢ ٣<br />

٢<br />

٣<br />

٢<br />

٠ x x x ٢x<br />

١۶<br />

٠<br />

b<br />

٢<br />

۴ac<br />

٢<br />

٢<br />

۴٣<br />

( ١۶)<br />

١٩۶<br />

y ٠ ٣٢

٢٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

b <br />

x <br />

٢a<br />

٢ ١٩۶<br />

٨<br />

x١<br />

٢,<br />

x٢<br />

<br />

٢٣<br />

٣<br />

x<br />

C.S ٠<br />

٠ f (x)dx x٠y٠<br />

٢<br />

۴٨x<br />

x<br />

٢<br />

x<br />

٣<br />

۶۴<br />

C.S<br />

<br />

٢<br />

۴٨ ٢ ٣<br />

٢<br />

٠(<br />

x x )dx ٢٣٢<br />

<br />

٠ <br />

۴٨ ٢ ٢<br />

٢<br />

٢<br />

٣ ۶۴ ٢٠<br />

اعداد منفي براي x قابل قبول نمي باشد.‏<br />

y=F(x)<br />

مازاد توليد كننده:‏<br />

اگر تابع عرضه به صورت<br />

در صورتي كه تعادل بازار در نقطه<br />

نشانگر قيمتهايي باشد كه درآن مقادير مختلفي از يك كالا عرضه مي شود.‏<br />

,x٠ ( ايجاد شود.‏ توليد كنندگاني كه مايل به عرضه كالا در قيمتي كمتر<br />

y٠)<br />

از y ٠ باشند<br />

كل منافع ايجاد شده براي توليد كننده را مازاد توليد كننده نامند و با P.S نشان مي دهند كه از<br />

P.S x y <br />

x ٠<br />

٠ ٠ ٠ F(x) du<br />

y ٠ ٧<br />

y ۴ x مي باشد<br />

رابطه زير محاسبه مي شود.‏<br />

مثال:‏ مازاد توليد كننده اي كه تابع عرضه كالاي آن به صورت<br />

محاسبه كنيد.‏<br />

را به ازاي قيمت<br />

y٠ ٧ ٧ ۴<br />

x x ٣<br />

٣<br />

x<br />

<br />

٠ <br />

٣<br />

١<br />

P.S x<br />

<br />

٢<br />

٠y٠<br />

٠ F(x)du ٣ ٧ ٠ ( ۴ x)du ٢١ ۴x<br />

x <br />

٢ ٠<br />

١<br />

٢١ ۴ ٣ ٣<br />

٢<br />

۴/<br />

۵<br />

٢ <br />

<br />

<br />

<br />

a,b<br />

<br />

f<br />

محاسبه تقريبي انتگرالهاي معين:‏<br />

‎1‎‏-قاعده ذوزنقه اي:‏ فرض كنيد تابع<br />

يك به طول<br />

با نقاط انتهايي<br />

بر بازه بسته<br />

پيوسته باشد.‏ اگر اين بازه را به n زير بازه كه هر<br />

,x٠ a تقسيم كنيم آنگاه<br />

x١,<br />

x٢,.....,<br />

xn١,<br />

xn<br />

b<br />

b b a<br />

a F(x)du<br />

(y٠ ٢y١<br />

٢y٢<br />

.... ٢yn١<br />

yn<br />

)<br />

٢n<br />

. n=4<br />

b ۶ a ٢ n ۴<br />

٠ i n<br />

۶ ٢ ١ x ٢ du<br />

b a<br />

x<br />

<br />

n<br />

F(xi) y i به ازاي هر<br />

داريم.‏<br />

كه در آن<br />

مثال:‏ مقدار تقريبي انتگرال<br />

را با استفاده از قائده ذوزنقه اي به ازاي<br />

محاسبه كنيد<br />

b a ۶<br />

٢<br />

x<br />

١<br />

n ۴<br />

i<br />

٠<br />

١<br />

٢<br />

٣<br />

۴<br />

xi<br />

٢<br />

٣<br />

۴<br />

۵<br />

۶<br />

fi<br />

۵<br />

١٠<br />

١٧<br />

٢۶<br />

٣٧

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎27‎<br />

<br />

۶<br />

۶<br />

٢<br />

١ ٢<br />

٢ x du ۵ ٢ ١٠<br />

٢ ١٧<br />

٢ ٢۶ ٢٧ ١۶/<br />

١<br />

٢۴<br />

2n<br />

<br />

a,b<br />

<br />

<br />

2- قاعده سيمپسون:‏<br />

فرض كنيد تابع F<br />

هاي برابر<br />

بر بازه بستهa,bپيوسته باشد و بازه<br />

تقسيم كنيم.‏<br />

را به<br />

زير بازه كه طول هر يك از زير بازه<br />

b a<br />

x<br />

<br />

٢n<br />

b x<br />

a F(x)du<br />

(y٠<br />

۴y١<br />

٢y٢<br />

۴y٣<br />

٢y۴<br />

... ٢y٢n٢<br />

۴y٢n١<br />

y٢n<br />

<br />

٣<br />

F(x) ٠<br />

٢n بدست آوريد.‏<br />

۴<br />

<br />

١ ٠ x٢ du<br />

به ازاي هر<br />

مثال:‏ مقدار تقريبي انتگرال معين<br />

را با استفاده از قاعده سيمپسون به ازاي<br />

f (x) x<br />

٢<br />

١ ٢ ١ ١ ١ ٩ <br />

٠x<br />

dx ٠<br />

۴<br />

٢<br />

۴<br />

١<br />

<br />

١٢<br />

١۶ ۴ ١۶ <br />

١<br />

٣<br />

b a ١<br />

٠ ١<br />

x<br />

<br />

٢n<br />

۴ ۴<br />

i xi f (xi)<br />

٠<br />

١<br />

٢<br />

٣<br />

۴<br />

٠<br />

١<br />

۴<br />

٢<br />

۴<br />

٣<br />

۴<br />

١<br />

٠<br />

١<br />

١۶<br />

١<br />

۴<br />

٩<br />

١۶<br />

١<br />

دستور منشور:‏<br />

هرگاه قاعده سيمپسون براي يك چند جمله اي از درجه سوم يا كمتر بكار ببريم مقدار دقيق انتگرال را تعيين<br />

b b a a b <br />

aF(x)dx<br />

f (a) ۴f ( f (b)<br />

۶<br />

<br />

٢ <br />

٢n<br />

مي كند در اين حالت با اختيار ٢<br />

كه به دستور منشور موسوم است.‏<br />

مثال:‏ با استفاده از دستور منشور<br />

داريم.‏<br />

٣ ١ x٣ du را محاسبه كنيد و نتيجه را با نتيجه قضيه اساسي حساب<br />

٣ ٣ ٣ ( ١)<br />

٣ ١ ۴<br />

١<br />

٣ ( )<br />

۴<br />

٣<br />

٣<br />

٣ <br />

١ x du <br />

<br />

۶ (<br />

) ( ) <br />

٢ <br />

<br />

۶<br />

<br />

٣<br />

۴<br />

( ١<br />

٢٠<br />

٣ ٣<br />

٣ ١ ۴<br />

١ ۴<br />

١ x dx x <br />

۴ <br />

)<br />

١ ۴<br />

<br />

<br />

<br />

١<br />

۴<br />

٢٧ ٢٠<br />

ديفرانسيل انتگرال مقايسه كنيد.‏<br />

با استفاده از قضيه اساسي حساب ديفرانسيل انتگرال

٢٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

AB<br />

فصل دوم<br />

بردار<br />

‏(مطالعه آزاد)‏<br />

تعريف بردار:‏ پاره خطي كه داراي مقدار و جهت باشد را بردار گويند و طول بردار AB را با قدر مطلق<br />

نشان مي دهند.‏<br />

تساوي دو بردار:‏ دو بردار ‏(همسنگ)‏ گويند.هرگاه اندازه و جهت آنها يكي باشد.‏ به عنوان مثال AB و<br />

CD همسنگ هستند.‏<br />

اندازه يك بردار:‏<br />

اندازه بردار<br />

جمع دو بردار:‏<br />

V (a١,a<br />

٢)<br />

با استفاده از رابطه زير بدست مي آيد.‏<br />

V <br />

a<br />

٢<br />

١ a٢<br />

الف)‏ روش مثلثاتي(سر به ته):‏ در اين روش ابتداي بردار اول را به عنوان مبداء در نظر مي گيريم و همسنگ<br />

آن بردار ها را رسم مي كنيم.به عنوان مثال AB را رسم مي كنيم سپس از انتهاي بردار اول همسنگ بردار دوم<br />

( CD )<br />

را رسم مي كنيم ابتداي بردار اول را به انتهاي بردار دوم وصل مي كنيم كه جمع دو بردار است.‏ براي<br />

برآيند بيش از دو بردار به روش ترسيمي مي توان از اين روش استفاده نمود.‏<br />

ب)‏ روش متوازي الاضلاع:‏<br />

V AE AB BE AB CD<br />

ابتدا نقطه اي را به عنوان مبداء در نظر مي گيريم سپس همسنگ هر يك از بردارها را رسم مي كنيم و با آنها<br />

تشكيل يك متوازي الاضلاع مي دهيم كه قطر متوازي الاضلاع جمع دو بردار است.‏ از اين روش براي جمع دو<br />

بردار استفاده مي شود.‏<br />

مثال:‏ برآيند دو بردار<br />

اگر<br />

AB<br />

CD<br />

a<br />

٢<br />

b<br />

٢<br />

abcos<br />

R <br />

٢<br />

AB a, CD b<br />

و<br />

. F٢ ٢٠N F١<br />

١٠N<br />

F F F<br />

٢<br />

F<br />

٢<br />

١<br />

٢F F COS ١٠<br />

٢<br />

١<br />

٢ ١ ٢ ١ ١ ٢٠<br />

٢١٠<br />

٢٠<br />

٧٠٠<br />

٣۶/<br />

۴۵N<br />

٢<br />

V٢ (b١,b<br />

٢),V١<br />

(a١,a<br />

٢)<br />

كه با يكديگر زاويهº<br />

دو بردار باشند آنگاه مجموع<br />

60 ساخته اند را بدست آوريد<br />

V ١ V ٢<br />

برابر است<br />

قضيه:‏<br />

:<br />

V V٢ (a١<br />

b٢,a٢<br />

b٢)

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎29‎<br />

V<br />

٢<br />

٢<br />

١ V٢<br />

(a١<br />

b١)<br />

(a٢<br />

b٢)<br />

B ( ٣,<br />

٢)<br />

,A ( ٣,<br />

مثال:‏ برآيند دو بردار به مختصات (۶<br />

را بدست آوريد.‏<br />

A B (a<br />

٢<br />

٢<br />

٣ ٣<br />

٢<br />

۶ ٢<br />

٢<br />

١<br />

b١)<br />

(a٢<br />

b٢)<br />

( ) ( ) ١٠<br />

بردار صفر:‏ اگر طول يك بردار برابر صفر باشد يعني V ٠<br />

O نشان مي دهيم.‏<br />

ضرب عدد در يك بردار:‏<br />

فرض كنيد<br />

در اين صورت بردار V را بردار صفر گويند و با<br />

V يك بردار دلخواه كه در عددk ضرب شود در اين صورت مقدار بردار ،k V برابر مي شود.‏ و اگر<br />

باشد جهت بردار تغيير نمي كند و در صورتي كه k 0<br />

باشد جهت بردار V<br />

برعكس مي شود.‏<br />

V<br />

( a١,<br />

a٢)<br />

k٠<br />

قرينه يك بردار:‏<br />

V (a١,a<br />

اگر (٢<br />

تفاضل دو بردار:‏<br />

يك بردار باشد آنگاه بردار<br />

در صورتي كه مختصات بردارهاي<br />

را قرينه بردار<br />

V مشخص شده باشد.‏ يعني<br />

گويند و با<br />

و<br />

V ‏-نشان مي دهيم.‏<br />

باشد در<br />

صورت<br />

V ٢ (b ١ ,b ٢ )<br />

V ١ (a ١ ,a ٢ )<br />

V٢ V١<br />

(b٢<br />

a٢,b١<br />

a١)<br />

٢ , V ١<br />

اين صورت مختصات تفاضل دو بردار به<br />

تفاضل دو بردار را نيز مي توان به صورت زير بدست آورد.‏<br />

محاسبه مي شود كه طول<br />

V<br />

٢ ٢<br />

٢ V١<br />

(b٢<br />

a٢)<br />

(b١<br />

a١)<br />

V٢ ( ٣,<br />

١),V١<br />

( ۶,<br />

مثال:‏ تفاضل دو بردار (۵<br />

را به دست آوريد.‏<br />

V<br />

٢ ٢<br />

٣ ۶<br />

٢<br />

١ ۵<br />

٢<br />

٢ V١<br />

(b٢<br />

a٢)<br />

(b١<br />

a١)<br />

( ) ( ) ۵<br />

تفاضل دو بردار به روش متوازي الاضلاع:‏<br />

مانند جمع دو بردار عمل مي كنيم با اين تفاوت كه بردار با علامت منفي قرينه اش را رسم مي كنيم.‏<br />

CD AB a<br />

٢<br />

b<br />

٢<br />

٢abcos<br />

F٢ ١٠N,F<br />

١<br />

٢٠<br />

AB a, CD b<br />

مثال:‏ تفاضل دو بردار N<br />

كه با يكديگر زاويه‎60º ساخته اند را بدست آوريد<br />

F F F<br />

٢<br />

F<br />

٢<br />

١<br />

٢F F COS ١٠<br />

٢<br />

٢٠<br />

٢<br />

١<br />

٢ ١ ٢ ١ ١ ٢١٠<br />

٢٠<br />

٣٠٠<br />

١٧/<br />

٣N<br />

٢<br />

W,V, U بردارهايي در<br />

قضيه:‏<br />

اگر<br />

خواص زيراند.‏<br />

قانون جابجايي جمع<br />

V ٢ بوده و d,c اعداد حقيقي باشند آنگاه جمع برداري و ضرب اسكالربردارها داراي<br />

U V V U<br />

U (V W) (U V) W<br />

Q V V O V<br />

قانون شركت پذيري<br />

قانون بردار هماني نسبت به عمل جمع<br />

(1<br />

(2<br />

(3

وجود بردار قرينه نسبت به عمل جمع<br />

٣٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

V ( V)<br />

O<br />

( CD)V C(dV)<br />

( C d)U CU dU<br />

C(U<br />

V) CU CV<br />

١U U<br />

قانون شركت پذيري نسبت اسكالر<br />

(4<br />

(5<br />

‎6‎‏)قانون پخش پذيري ضرب اسكالر<br />

قانون پخش پذيري اسكالر<br />

وجود هماني نسبت به ضرب اسكالر<br />

(7<br />

(8<br />

تعريف فضاي برداري حقيقي:‏<br />

معناي برداري حقيقي V مجموعه اي است از بردارها همراه با مجموعه اعداد حقيقي با دو عمل جمع برداري و<br />

U V<br />

ضرب اسكالر،‏ به گونه اي كه هر جفت بردار<br />

شده باشند كه در خواص تا<br />

بردار يكه و پايه فضاي برداري:‏<br />

بالا صدق كنند.‏<br />

,V U درV و هر اسكالر C بردارهاي<br />

و<br />

CU طوري تعريف<br />

j ( ٠,<br />

١)<br />

(4)<br />

(1)<br />

i (<br />

١,<br />

بردار يكه در محور Xها (٠<br />

و در محور yها<br />

بنابراين مي توان بردار V را به صورت زير نمايش داد.‏<br />

مي باشد كه نمايش برداري آن به صورت زير است.‏<br />

V (a١,a<br />

٢)<br />

a١(<br />

١,<br />

٠)<br />

a٢(<br />

٠,<br />

١)<br />

a١i<br />

a٢<br />

j<br />

بنابراين يك پايه براي فضاي برداري V ٢ را تشكيل مي دهند تعداد عناصر پايه در يك فضاي برداري را بعد<br />

فضاي برداري گويند.‏ بنابراين V ٢ يك فضاي دو بعدي است.‏<br />

مثال:‏ بردار را به صورت تركيب خطي از بردارهاي يك بنويسيد.‏<br />

jوi<br />

V ( ۶,<br />

٢)<br />

۶(<br />

١٠ , ) ٢(<br />

٠١ , ) ۶i<br />

٢j<br />

U V (a١i<br />

a٢j)<br />

(b١i<br />

b٢j)<br />

(a١<br />

b١)i<br />

(a٢<br />

b٢)j<br />

U V (a١i<br />

a٢j)<br />

(b١i<br />

b٢j)<br />

(a١<br />

a٢)i<br />

(b١<br />

b٢) j<br />

CU<br />

C(a١i<br />

a٢j)<br />

(<br />

CV و U V, U V , U V<br />

v ( ۶,<br />

٢)<br />

نكته:‏ جمع و تفريق و ضرب اسكالر به صورت زير انجام مي شود.‏<br />

C ٣ V i ٣<br />

j , U ۵i<br />

۶j<br />

j,i<br />

فرض كنيد<br />

بدست آوريد.‏<br />

باشد بردارهاي<br />

را<br />

U V ( ۵ ( ١))i<br />

(<br />

۶ ( ٣)j<br />

۴i<br />

٣<br />

j<br />

U V <br />

۴<br />

٢<br />

٣<br />

٢<br />

۵<br />

U V ( ۵ ( ١))i<br />

(<br />

۶ ( ٣))j<br />

۶i<br />

٩j<br />

٣V ٣(<br />

i<br />

٣<br />

j) ٣i<br />

٩j<br />

V CU<br />

c<br />

موازي بودن بردارها:‏<br />

دو بردار ناصفر V,U<br />

مثال:‏ آيا دو بردار<br />

و<br />

را موازي نامند در صورتي كه اسكالر<br />

موازي يكديگرند.‏<br />

وجود داشته باشد<br />

باشد<br />

V CU V ( ١٠i<br />

۴j)<br />

٢(<br />

۵i<br />

٢j)<br />

V ٢U<br />

V ١٠i<br />

۴j<br />

U ۵i<br />

٢j

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎31‎<br />

بنابر اين موازي هستند.‏<br />

v ( ۶)<br />

٢<br />

٨<br />

٢<br />

U <br />

U.V<br />

١٠<br />

V<br />

U <br />

١ V<br />

V<br />

قضيه:‏<br />

اگر V<br />

بردار ناصفري باشند.‏ آنگاه<br />

مثال:‏ بردار يكه هم جهت با بردار<br />

برداريكه ‏(واحد هم جهت)‏ با<br />

را تعيين كنيد.‏<br />

است.‏<br />

V ۶i<br />

٨ j ۶ ٨<br />

i j<br />

V ١٠ ١٠ ١٠<br />

U V cos<br />

V ۶i<br />

٨ j<br />

ضرب عددي ‏(اسكالر)‏ دو بردار:‏ به صورت زير تعريف مي شود.‏<br />

i.i i i cos0<br />

1111<br />

i.j i<br />

j cos<br />

90<br />

110<br />

0<br />

j.j 1<br />

j.i 0<br />

بنابراين<br />

U.V<br />

(a<br />

U.V<br />

1i<br />

a2<br />

j).(b1i<br />

b2<br />

j) a1b1<br />

a2b2<br />

V.U .<br />

U.V ( ٢ ۴)<br />

( ۶<br />

٣)<br />

۴<br />

U.V<br />

U V cos cos<br />

<br />

بنابراين ضرب دو بردار U.V<br />

را مي توان به صورت زير محاسبه كرد.‏<br />

به اين ضرب،‏ ضرب داخلي يا ضرب نقطه اي نيز گويند.‏ اين ضرب خاصيت جابجايي دارد<br />

U.V<br />

U V<br />

V ( ۴,<br />

٣),U<br />

( ٢,<br />

مثال:‏ ضرب نقطه اي در بردار (۶<br />

تعيين زاويه بين دو بردار:‏ طبق تعريف ضرب داخلي دو بردار<br />

را بدست آوريد.‏<br />

U<br />

V ۴i<br />

٣ j,U ٣i<br />

مثال:‏ زاويه بين دو بردار ۴j<br />

را تعيين كنيد.‏<br />

٣<br />

٢<br />

۴<br />

٢<br />

۵,<br />

V ۴<br />

٢<br />

( ٣)<br />

٢<br />

۵<br />

U.V ۴<br />

٣ ( ٣)(<br />

۴)<br />

٠<br />

U.V ٠<br />

cos ٠ ٩٠<br />

V V ۵ ۵<br />

بنابراين مي توان گفت اگر ضرب داخلي دو بردار برابر صفر باشد دو بردار بر هم عمودند.‏<br />

: U<br />

تصويربرداري V<br />

روي بردار

٣٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

بردار ناصفر باشد.‏ تصوير برداري V روي U<br />

را با نماد<br />

proj نشان مي دهيم و از رابطه زير بدست مي<br />

V<br />

U<br />

اگر U<br />

آيد.‏<br />

U.V<br />

proj V U<br />

U ٢<br />

U<br />

V cos<br />

و تصوير اسكالر بردار V رو بردار U<br />

مثال:‏ فرض كنيد<br />

از رابطه<br />

باشد.‏<br />

بدست مي آيد.‏<br />

V ٢i<br />

۵j,U<br />

٣i<br />

۴j<br />

الف)‏ تصوير برداري V رو بردار U<br />

ب)‏ تصوير اسكالر<br />

ب)‏<br />

را بدست آوريد.‏<br />

را بدست آوريد.‏<br />

فلا(‏<br />

U.V ( ) ( )<br />

proj V ٣ ٢ ۴ ۵<br />

١۴<br />

U <br />

( ٣i<br />

۴j)<br />

(( ٣i<br />

۴j)<br />

U ٢<br />

٢۵<br />

U ٣<br />

٢<br />

۴<br />

٢<br />

۴٢ ۶۴<br />

i j<br />

٢۵ ٢۵<br />

تصوير اسكالر U<br />

V رو بردار<br />

V a١i<br />

a٢<br />

j a٣<br />

k<br />

U روي V<br />

U.V ٣ ٢ ( ۴)(<br />

۵)<br />

١۴<br />

= V cos <br />

٢/<br />

٨<br />

U ٣<br />

٢<br />

۴<br />

٢ ۵<br />

نمايش بردارها در فضاي سه بعدي:‏<br />

بردار V<br />

را در فضاي سه بعدي به صورت<br />

بردارهاي يكه مي باشند و طول بردار<br />

نمايش مي دهيم كه<br />

به صورت زير محاسبه مي شود.‏<br />

V a<br />

٢<br />

٢<br />

١ a٢<br />

a٣<br />

با <br />

U<br />

k ( ٠,<br />

٠١ , ), j ( ٠١٠ , , ).i ( ١٠ , , ٠)<br />

V<br />

زواياي هادي:‏<br />

زوايايي كه بردار ناصفر<br />

به ترتيب با جهت مثبت محورهاي z,y,x<br />

را كسينوسهاي هادي بردار<br />

مي ناميم و به صورت زير محاسبه مي شود<br />

وو نمايش مي دهيم<br />

a a a<br />

cos <br />

١<br />

,cos <br />

٢<br />

,cos<br />

<br />

٣<br />

V V V<br />

V<br />

cos<br />

٢<br />

cos<br />

٢<br />

cos<br />

٢<br />

<br />

cos,cos,<br />

cos<br />

نكته:‏ رابطه بين كسينوسهاي هادي به صورت ١<br />

مثال:‏ اندازه و كسينوسهاي هادي بردار<br />

را بدست آوريد.‏<br />

مي باشد.‏<br />

٢<br />

V ( ٢ ٣ ٢<br />

٢<br />

( ٣)<br />

٢<br />

۵<br />

V ٢ ٣i<br />

٢j<br />

٣k<br />

cos<br />

<br />

a١ ٢ ٣<br />

a٢<br />

٢<br />

a٣<br />

٣<br />

<br />

cos cos <br />

V ۵<br />

V ۵<br />

V ۵

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎33‎<br />

a٣ ٣<br />

cos<br />

<br />

V ۵<br />

a<br />

cos <br />

٢ <br />

V<br />

٢<br />

۵<br />

محاسبه بردار يكه هم جهت : V<br />

U <br />

V<br />

V<br />

<br />

U<br />

اگر بردار يكه هم جهت با V<br />

با حرف<br />

نشان دهيم<br />

1 <br />

(a1i<br />

a2<br />

j a3k)<br />

U cosαi cosβ j<br />

cos γk<br />

V<br />

AB<br />

B ( ٢,<br />

٣,<br />

۴),A<br />

( ٣,<br />

٢,<br />

مثال:‏ نقاط (١<br />

را در نظر بگيريد بردار يكه هم جهت با بردار<br />

را به دست آوريد.‏<br />

AB ( ٢,<br />

٣,<br />

۴)<br />

( ٣,<br />

٢,<br />

١)<br />

i<br />

j ٣k<br />

AB ( ١)<br />

٢<br />

١<br />

٢<br />

٣<br />

٢<br />

<br />

U <br />

١<br />

Ab<br />

AB <br />

١<br />

i <br />

١١<br />

١١<br />

١<br />

j <br />

١١<br />

٣<br />

k<br />

١١<br />

V a١i<br />

a٢<br />

j a٣<br />

تعريف زير فضا:‏ هرگاه يكي از ضرائب بردار k<br />

شود زير فضاي سه بعدي است به عنوان مثال اگر a ٢ ٠<br />

باشد آنگاه<br />

برابر شود يك فضاي دو بعدي حاصل مي<br />

يك زير فضاي سه<br />

و V<br />

V a١i<br />

٠j<br />

a٣<br />

k<br />

U<br />

U V U V sin <br />

بعدي است.‏<br />

ضرب برداري دو بردار:‏<br />

ضرب برداري(خارجي)‏ دو بردار به صورت<br />

يكاي واحد نمايش داده شوند يعني<br />

و<br />

تعريف مي شود اگر بردار<br />

به صورت<br />

V b١i در اين صورت ضرب<br />

b٢<br />

j b٣<br />

k<br />

U a١i<br />

a٢<br />

j a٣<br />

k<br />

U V (a٢b٢<br />

a٣b٢)i<br />

(a٣b١<br />

a١b<br />

٣ )j (a١b<br />

٢ a٢b١)<br />

خارجي دو بردار را مي توان به صورت زير محاسبه كرد.‏<br />

براي سهولت در يادگيري مي توان از طريق محاسبه در ترمينال زير ضرب خارجي ‏(برداري)‏ محاسبه كرد.‏<br />

i<br />

j<br />

k<br />

U V a١ a٢<br />

a٣<br />

i(a٢b٣<br />

a٣b٢)<br />

j(a١b<br />

٣ a٣b١)<br />

k(a١b<br />

٢ a٢b١)<br />

b١<br />

b٢<br />

b٣<br />

U V را محاسبه<br />

V ( ٢,<br />

٣,<br />

١),U<br />

( ٢,<br />

١,<br />

٣)<br />

U V <br />

i<br />

٢<br />

٣<br />

مثال:‏ فرض كنيد<br />

كنيد.‏<br />

باشد در اين صورت حاصل ضرب برداري<br />

j<br />

١<br />

٢<br />

U V ۵i<br />

٧ j ١k<br />

k<br />

١<br />

٣ i<br />

٢<br />

١<br />

٣ ٢<br />

j<br />

١ ٣<br />

٣ ٢<br />

k<br />

١ ٣<br />

١<br />

٢

٣٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

i i j<br />

j k k ٠<br />

i j k,<br />

j<br />

i k<br />

j<br />

k i<br />

k j i<br />

k i j<br />

i k <br />

j<br />

k<br />

j<br />

i<br />

V ٣<br />

قضيه:‏ اگر ,k j,i<br />

الف)‏<br />

ب)‏<br />

ج)‏<br />

بردارهاي يكه<br />

باشند آنگاه<br />

براي سهولت در به خاطر سپردن قضيه بالا ترتيب را به خاطر مي سپاريم اگر ضرب دو بردار يكه<br />

متوالي در جهت فلش نباشد جواب بردار سوم با علامت است و اگر در خلاف جهت باشد بردار<br />

U V V<br />

U<br />

+<br />

i j k<br />

سوم با علامت منفي است به عنوان مثال k j i<br />

نكته‎1‎‏:‏ ضرب برداري دو بردار داراي خاصيت جابجايي نمي باشد.‏ يعني<br />

C ( ١,<br />

٢,<br />

۴),B<br />

( ٣,<br />

٠۴ , ),A ( ٢,<br />

١,<br />

نكته‎2‎‏:‏ مساحت مثلث ABC به راسهاي (٣<br />

را بدست آوريد.‏<br />

AB ( ٣,<br />

٠۴ , ) ( ٢,<br />

١٣<br />

, ) ( ١,<br />

١,<br />

١)<br />

AC ( ١,<br />

٢,<br />

۴)<br />

( ٢,<br />

١٣<br />

, ) ( ٣,<br />

٣,<br />

١)<br />

i j k<br />

AB<br />

AC ١ ١ ١ i( ١<br />

٣)<br />

j( ١<br />

( ٣))<br />

k( ٣ ( ٣))<br />

٢i<br />

۴j<br />

۶k<br />

٣ ٣ ١<br />

AB<br />

AC <br />

V AB.(AC<br />

AD)<br />

( ٢)<br />

٢<br />

( ۴)<br />

٢<br />

۶<br />

٢<br />

<br />

AB<br />

AC<br />

۵۶ S <br />

٢<br />

<br />

AB,AC,AD<br />

۵۶<br />

٢<br />

نكته‎3‎‏:‏ حجم<br />

متوازي السطوح به اضلاع<br />

را مي توان از رابطه زير بدست آورد<br />

مثال:‏ حجم متوازي السطوح به ABCDA را كه مختصات رئوس آن<br />

AB ( ١,<br />

٣,<br />

٢)<br />

( ٢,<br />

۵,<br />

٣)<br />

( ١,<br />

٢,<br />

١)<br />

AC ( ۴,<br />

١,<br />

١)<br />

( ٢,<br />

۵,<br />

٣)<br />

( ٢,<br />

۴,<br />

۴)<br />

AD ( ٣,<br />

١٢<br />

, ) ( ٢,<br />

۵,<br />

٣)<br />

( ١,<br />

۶,<br />

١)<br />

١<br />

٢<br />

مي باشد را بدست آوريد.‏<br />

١<br />

D(<br />

٣,<br />

١٢<br />

, ),C( ۴,<br />

١,<br />

١),B(<br />

١٣ , , ٢),A(<br />

٢,<br />

۵,<br />

٣)<br />

توجه:‏ محاسبه ترمينال زير در بخش بعدي توضيح داده مي شود.‏<br />

V AB.(AC<br />

AD) ٢ ۴ ۴ ( ۴<br />

٨<br />

١٢)<br />

( ۴<br />

٢۴<br />

۴)<br />

٢۴<br />

١ ۶ ١<br />

واحد حجم<br />

بردارها در فضاي n بعدي:‏<br />

در صورتي كه بيش از 3<br />

تايي مرتب:‏<br />

متغير در مسئله وجود داشته باشد از بردارهايي با بعد بيشتر استفاده مي شود.‏<br />

( X١,X<br />

٢,......Xn<br />

فرض كنيد n عدد صحيح مثبتي باشد.‏nتايي مرتب )<br />

مجموعه اي از n عدد است كه به<br />

X n ........,X٢,<br />

X ١<br />

N<br />

ترتيب نوشته شده اند و اعداد حقيقي<br />

را به ترتيب مولفه هاي اول تا n ام اين nتايي مرتب

1<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎35‎<br />

مي خوانيم مجموعه nتايي هايي مرتب را با R n<br />

نظير آنها با هم برابر باشد با هم برابر هستند.‏<br />

تعريف:‏ مجموعه تمام بردارهايي كه به صورت<br />

نشان مي دهيم.‏ دو nتايي مرتب در صورتي كه<br />

مي باشند را<br />

نشان مي دهيم.‏<br />

عدد نظير به<br />

V n<br />

( X١,X<br />

٢,......Xn<br />

)<br />

3<br />

جمع و ضرب اسكالر بردارها:‏<br />

براي جمع و تفريق مانند بردارهاي<br />

اسكالر بردار،‏ اسكالر را در تك،‏ تك اعداد ضرب مي كنيم.‏<br />

اگر<br />

و<br />

بعدي اعداد نظير به نظير را با هم جمع يا تفريق مي كنيم و براي ضرب<br />

عدد حقيقي ‏(اسكالر)‏ باشد.‏<br />

U V (a١<br />

b١,a<br />

٢ b٢,.......,an bn<br />

)<br />

CU<br />

(Ca١,Ca٢,.......,Cnan<br />

)<br />

C و V (b١,b<br />

٢,......bn<br />

)<br />

U (a١,a<br />

٢,......a<br />

n )<br />

CU و U+V باشد C ( ٢),V<br />

( ١٢ , , ۴,<br />

٣),U<br />

( ٢,<br />

٣,<br />

۵,<br />

مثال:‏ اگر (٧<br />

را بدست آوريد.‏<br />

U V ( ٢,<br />

٣,<br />

۵,<br />

٧)<br />

( ١٢ , , ۴,<br />

٣)<br />

( ١۵ , , ٩,<br />

١٠)<br />

CU ( ٢)(<br />

٢,<br />

٣,<br />

۵,<br />

٧)<br />

( ۴,<br />

۶,<br />

١٠,<br />

١۴)<br />

قضيه:‏<br />

U V V U<br />

k,C,V n دو اسكالر (<br />

فرض كنيد<br />

W,V,U سه بردار در<br />

الف)‏ جمع بردارها خاصيت جابجايي دارد.‏<br />

ب)‏ جمع بردارها خاصيت شركت پذيري دارد<br />

‏(عدد حقيقي<br />

باشند.‏ در اين صورت<br />

( U V) W U (V W)<br />

U ٠ U<br />

U ( U)<br />

٠<br />

C(U<br />

V) CU CV<br />

( CK)U C(KU)<br />

( C K)U CU KU<br />

U U<br />

پ)‏ عمل جمع داراي عضو خنثي يعني بردار صفر است<br />

- U<br />

ت)‏<br />

ث)‏<br />

ج)‏<br />

چ)‏<br />

براي هر بردار U بردار قرينه<br />

ح)وجود هماني نسبت به ضرب اسكالر<br />

وجود دارد<br />

U V <br />

U<br />

<br />

V<br />

نكته:‏ براي هر دو بردار<br />

U و V رابطه زير برقرار است.‏

٣٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

m×n<br />

فصل سوم<br />

ماتريس و دترمينان<br />

تعريف:‏ هر آرايه اي از اعداد كه داراي m سطر و n ستون باشد يك ماتريس<br />

چنين ماتريسي به صورت زير است.‏<br />

يا<br />

گويند.‏ كه نمايش عمومي<br />

a١١<br />

<br />

a٢١<br />

A <br />

<br />

<br />

a<br />

<br />

.a<br />

m١<br />

a١٢........a١n<br />

<br />

<br />

a٢٢........a<br />

٢n<br />

<br />

<br />

<br />

am٢......a<br />

mn <br />

<br />

j<br />

I<br />

A (aij) m n<br />

هر يك از اعداد aij<br />

مثال<br />

را يك عنصر يا درآيه ماتريس مي ناميم.‏ كه<br />

انديس سطر و<br />

يعني سطر دوم ستون سوم)‏ كه در اين صورت ماتريس A را به اختصار با نماد<br />

انديس ستون است ‏(به عنوان<br />

A <br />

aijm<br />

n<br />

٣ ٢ ۴<br />

A <br />

<br />

۵ ٢ ٠<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

B <br />

<br />

۶ ١ ۴<br />

٣٣<br />

<br />

١ ٠ ٢ ٣١<br />

۴<br />

a ٢٣<br />

نشان مي دهيم.‏<br />

براي مثال:‏<br />

ماتريسA داراي 3 سطر و ستون است و ماتريس B داراي يك سطر و چهار ستون است.‏<br />

انواع ماتريسها:‏<br />

الف)‏ ماتريس سطري:‏ ماتريسي كه فقط يك سطر داشته باشد را ماتريس سطري ‏(بردار سطري)‏ مي ناميم<br />

١ ٠ ٢ ٣ ١ ۴<br />

a a ........a n (aij)<br />

n<br />

B <br />

١١<br />

١٢<br />

١<br />

١ n ١<br />

m=1<br />

A (aij) m n<br />

مانند ماتريس B<br />

كه فرم كلي آنها به صورت<br />

مي باشد به عبارتي در<br />

فرم<br />

به جاي<br />

قرار مي دهيم<br />

ب)‏ ماتريس ستوني:‏ ماتريسي كه فقط داراي يك ستون باشد ماتريس ستوني ‏(بردار ستوني)‏ مي ناميم كه در<br />

٣<br />

C <br />

<br />

٢<br />

<br />

<br />

,<br />

<br />

۵<br />

a١١<br />

<br />

<br />

<br />

a٢١<br />

<br />

(aij) m١<br />

<br />

am١<br />

<br />

m١<br />

به جاي 1=n<br />

قرار مي دهيم.‏<br />

A (aij) m n<br />

پ)ماتريس صفر:‏ ماتريسي كه تمام عناصر آن صفر باشد را ماتريس صفر مي ناميم و به صورت<br />

٠<br />

٠ ٠<br />

٠<br />

B <br />

<br />

٠ ٠ ٠<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

<br />

D <br />

<br />

<br />

٠ ٠ ٠<br />

<br />

٠<br />

٣٣<br />

٣١<br />

A ٠m يا A ٠ صفر نمايش مي دهيم.‏<br />

n

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎37‎<br />

ماتريس مربع:‏ ماتريسي كه درآن تعداد سطرها و ستونهاي آن با هم برابر باشد يك ماتريس مي ناميم به<br />

a١١<br />

<br />

a٢١<br />

A <br />

<br />

<br />

<br />

.a<br />

n١<br />

A <br />

aijm<br />

عبارتي در فرم n<br />

يك ماتريس مربع است اگر و فقط اگر m=n باشد<br />

a١٢........a١n<br />

<br />

<br />

a٢٢........a<br />

٢n<br />

<br />

<br />

<br />

an٢......a<br />

nn <br />

nn<br />

۴<br />

F <br />

<br />

<br />

١<br />

<br />

۶<br />

۵<br />

٢<br />

٣<br />

٠ <br />

٣<br />

<br />

<br />

۴<br />

٣٣<br />

نكته:‏ ماتريس مربع n×n<br />

در ماتريس مربع<br />

را ماتريس مربع مرتبهn گويند.‏ به عنوان مثال ماتريس F ماتريس مربع مرتبه‎3‎ است<br />

قطري كه انديس سطر و ستون آن برابر باشد را قطر اصلي گويند مانند درايه<br />

A <br />

aijm<br />

n<br />

A <br />

aijm<br />

n<br />

a nn ......,a٣٣ ,a٢٢,<br />

هاي‎١١‎ a<br />

ماتريس واحد ‏(هماني):‏ ماتريس مربع<br />

با يك و ساير عناصر صفر باشد را هماني يا واحد گويند كه با<br />

است.‏<br />

را در صورتي كه هر يك از عناصر روي قطر اصلي برابر<br />

I n نمايش مي دهيم كه n مرتبه ماتريس مربع<br />

١<br />

aij <br />

٠<br />

١<br />

I ٢ <br />

٠<br />

٣<br />

<br />

٠<br />

٠ <br />

١<br />

<br />

<br />

٠<br />

١<br />

<br />

<br />

i j,i j<br />

١<br />

I<br />

<br />

٣ <br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

٠<br />

١<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

<br />

<br />

١<br />

<br />

١<br />

<br />

<br />

٠<br />

In<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

ماتريس قطري:‏ ماتريسي كه تمام عناصر خارج قطر اصلي آن صفر باشد را ماتريس قطري گويند.‏<br />

,<br />

٢<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

٠<br />

٣<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

۵<br />

<br />

<br />

٠<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

ماتريس اسكالر:‏ ماتريس قطري كه تمام عناصر روي قطر اصلي آن برابر باشد را ماتريس اسكالر گويند.‏ و<br />

۵<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

٠<br />

۵<br />

٠<br />

KI n<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

٠<br />

١<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

....<br />

.....<br />

.....<br />

.....<br />

.....<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

<br />

١<br />

<br />

مضربي از ماتريس واحد است يعني هر ماتريس به صورت<br />

باشد ماتريس اسكالر است.‏<br />

٠<br />

٢ ٠<br />

٠<br />

<br />

<br />

۵I٣ ٢I٢<br />

٠ ٢<br />

<br />

۵<br />

<br />

<br />

ماتريس بالا مثلثي:‏ ماتريس مربعي كه تمام عناصر زير قطر آن صفر باشد ماتريس بالامثلثي گويند.‏ يعني اگر<br />

٣<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

۴<br />

١<br />

٠<br />

٢<br />

٢<br />

<br />

<br />

٧<br />

۴<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

٠<br />

٢<br />

٠<br />

١<br />

٠<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

باشدaij=0‎<br />

است و ساير عناصر مي تواند عدد يا صفر باشد.‏ مانند<br />

١<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

۴<br />

٠<br />

<br />

<br />

٠<br />

i j

٣٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

ماتريس پائين مثلثي:‏ ماتريس مربعي كه تمام عناصر بالا قطر اصلي آن صفر باشد ماتريس پائين مثلثي گويند.‏<br />

aij=0 باشد.‏ i j يعني اگر<br />

است و ساير عناصر مي تواند عدد يا صفر باشد مانند<br />

٣<br />

٠ ٠<br />

٢ ٠ ٠<br />

٣<br />

٠<br />

<br />

<br />

٠ ۴ ٠<br />

<br />

١ ٣ ٠<br />

<br />

١<br />

٠<br />

<br />

۵ ٢ ٧<br />

<br />

٠ ۴ ٠<br />

<br />

نكته:‏ ماتريس هاي واحد،‏ قطري،‏ اسكالر،‏ صفر هم ماتريس بالا مثلثي و هم ماتريس پائين مثلثي هستند.‏<br />

ماتريس متقارن:‏ فرض كنيد A يك ماتريس مربع از مرتبه n باشد در صورتيكه درايه هاي نسبت به قطر اصلي<br />

برابر باشد ماتريس را متقارن گويند به عبارتي اگر<br />

aij=aji<br />

باشد ماتريس A را متقارن گويند.‏<br />

ماتريس شبه متقارن ‏(پادمتقارن):‏ فرض كنيد A يك ماتريس مربع مرتبه<br />

قطر اصلي صفر باشد.‏ و ساير عناصر نسبت به قطر قرينه باشد يعني اگر<br />

۴<br />

٣ ۵<br />

<br />

<br />

٣ ١ ۶<br />

<br />

<br />

۵ ۶ ٧<br />

n<br />

i=j<br />

باشد.‏ در صورتيكه كليه عناصر<br />

باشدaij=0‎ و اگر<br />

i j<br />

aij=-aji<br />

در اين صورت ماتريس A شبه متقارن است.‏<br />

ضرب يك عدد در ماتريس:‏ فرض كنيد<br />

باشد<br />

٠<br />

<br />

<br />

٢<br />

<br />

١<br />

٢ ١<br />

٠ ۴<br />

<br />

<br />

۴ ٠<br />

k<br />

يك عدد اسكالر<br />

A (aij) m n<br />

kA (kaij) m n<br />

A ٣ , ١۴<br />

مثال:‏ اگر ,<br />

<br />

<br />

يعني كليه اعداد ماتريس در اسكالر ضرب مي شود.‏<br />

باشد حاصل 3A را بدست آوريد.‏<br />

يك ماتريس باشد دراين صورت<br />

, ١۴<br />

, <br />

٩,<br />

٣ ١٢<br />

٣ A ٣ ٣<br />

,<br />

تساوي دو ماتريس:‏ دو ماتريس BوA را مساوي گويند اگر و فقط اگر دو ماتريس هم مرتبه باشند و درايه هاي<br />

نظير به نظير آنها با هم برابر باشد ‏(يعني<br />

مثال:‏<br />

( aij=bij<br />

مقدار yوx<br />

را طوري تعيين كنيد كه دو ماتريس BوA با هم برابر باشند.‏<br />

٣x<br />

۴<br />

۶ ۴<br />

A B <br />

<br />

٨ ۵<br />

٢y<br />

۵<br />

٢x<br />

۶<br />

x ٢,<br />

٢y<br />

٨<br />

y ۴<br />

جمع دو ماتريس:‏<br />

جمع دو ماتريس وقتي قابل تعريف است كه دو ماتريس هم مرتبه باشند كه در اين صورت درايه هاي نظير به<br />

نظير با هم جمع مي شوند و متبه ماتريس تغيير نمي كند به عنوان مثال اگر<br />

Bm<br />

n و Am<br />

n<br />

Cij<br />

٣<br />

٢<br />

,<br />

<br />

aij<br />

اگر C=A+B باشد bij<br />

٣ ٢ ۵<br />

A <br />

<br />

١ ٠ ۶<br />

مثال:‏ اگر<br />

۴<br />

B <br />

۵<br />

٢<br />

۶<br />

در اين صورت<br />

باشد حاصل جمع دو ماتريس را بدست آوريد.‏

ت(‏<br />

ب(‏<br />

پ(‏<br />

ب(‏<br />

۴ ٢<br />

C a b C <br />

<br />

١ ٠<br />

A ( aij) m n<br />

A B A ( B)<br />

٣<br />

٢A<br />

٣B<br />

٢<br />

<br />

<br />

٢<br />

<br />

٠<br />

A+B=B+A<br />

۵<br />

۴<br />

<br />

۶<br />

<br />

۵<br />

٢<br />

۶<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎39‎<br />

٣<br />

٨<br />

٠ ٨<br />

<br />

٢<br />

<br />

۴<br />

۶ ٨<br />

قرينه ماتريس:‏ اگر ، A (aij) m n ماتريسA‏-‏<br />

نشان مي دهيم بنابراين<br />

مثال:‏<br />

فرض كنيد<br />

را قرينه ماتريس A مي ناميم و با<br />

٢A ٣B را بدست آوريد.‏<br />

۴ ١<br />

١<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٣<br />

<br />

٣<br />

٢ <br />

<br />

١<br />

٢<br />

۶<br />

۴<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

۴<br />

۵<br />

<br />

٠<br />

١ ٢<br />

B <br />

<br />

<br />

٣ ۴<br />

<br />

,<br />

<br />

١ ۵<br />

٨ <br />

٣ ۶ ٣<br />

٢<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٩ ١٢<br />

<br />

۵<br />

۴ <br />

<br />

٣ ١۵<br />

<br />

٣<br />

باشد حاصل<br />

و h,k<br />

٣<br />

A <br />

<br />

<br />

٢<br />

<br />

٠<br />

٢ <br />

١۴<br />

<br />

<br />

١١<br />

<br />

۴ <br />

١<br />

<br />

<br />

٢ <br />

قضيه:‏<br />

اگر C,B,A سه ماتريس m×n<br />

جمع دو ماتريس خاصيت جابجايي دارد<br />

خاصيت پخشي دارد.‏<br />

دو عدد حقيقي باشند آنگاه:‏<br />

فلا(‏<br />

A+(B+C)=(A+B)+C<br />

k+(A+B)= kA+kB پ(‏<br />

(k+h)A= kA+hA<br />

B (bij) p n<br />

A (aij) m p<br />

ضرب دو ماتريس:‏<br />

دو ماتريس<br />

است<br />

كه با<br />

و<br />

را در نظر مي گيريم حاصل ضرب دو ماتريس B,A ماتريسي<br />

C A نشان مي دهيم كه داراي m سطر و n ستون است بنابر اين<br />

m n m pB<br />

<br />

pn<br />

مانند C<br />

براي ضرب دو ماتريس بايد تعداد ستون ماتريس اول برابر تعداد سطر ماتريس دوم باشد.‏ براي بدست آوردن<br />

c<br />

j<br />

i<br />

درايه<br />

با هم جمع كنيم<br />

كافي است سطر<br />

ام ماتريس A را در ستون<br />

ام<br />

ماتريس B ضرب كنيم و نظير به نظير<br />

Cij<br />

aikbkj<br />

a١٢<br />

<br />

C AB ai١<br />

<br />

<br />

a m١<br />

a١٢<br />

ai٢<br />

a m٢<br />

AIn<br />

A InA<br />

A(BC)<br />

(AB)C<br />

, k= 1<br />

....<br />

....<br />

....<br />

b١١<br />

a١p<br />

<br />

<br />

b٢١<br />

aip<br />

<br />

a <br />

mp <br />

<br />

<br />

bp١<br />

b١٢<br />

b٢٢<br />

bp٢<br />

AB BA<br />

b١j<br />

b٢j<br />

......<br />

b١n<br />

<br />

C<br />

b<br />

١١<br />

٢n<br />

<br />

<br />

<br />

Ci١<br />

<br />

C<br />

b<br />

m١<br />

pn <br />

C١٢<br />

Ci٢<br />

Cm٢<br />

ماتريس C<br />

.....<br />

Cij<br />

.....<br />

C ij<br />

C١n<br />

<br />

<br />

Cin<br />

<br />

Cmn<br />

<br />

نكته:‏ ضرب دو ماتريس در حالت كلي خاصيت جابجايي ندارد<br />

قضيه:‏<br />

فلا(‏<br />

C(A<br />

B) CA CB<br />

نكته:‏ در حالت كلي در صورتي كه AB=AC باشد نمي توان نتيجه گرفت B=C است.‏

مثال:‏ حاصل ضرب ماتريس<br />

٤٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

٣ ۴<br />

١<br />

C AB <br />

<br />

١ ٢<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٢<br />

٢ ٠<br />

<br />

٣٢<br />

١١<br />

٣<br />

C <br />

<br />

٣ ١<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٢ ٢<br />

٣٢<br />

را بدست آوريد.‏<br />

١<br />

B <br />

٢<br />

١<br />

٠<br />

,<br />

<br />

٣ ١<br />

۴٢<br />

١<br />

<br />

١ ١ ٢ ٢<br />

٠<br />

<br />

<br />

<br />

٢٢<br />

<br />

٢١<br />

٠<br />

٢<br />

٣ ۴<br />

A <br />

<br />

<br />

١ ٢<br />

<br />

<br />

٢ ٠<br />

٣ ١<br />

۴٠<br />

١<br />

١<br />

٢٠<br />

<br />

<br />

٢ ١<br />

٠<br />

٠<br />

٣٣<br />

نكته:‏ در اين مثال BA تعريف نشده اند چون تعداد ستون ماتريس اول برابر تعداد سطر ماتريس دوم نيست.‏<br />

A (aij) m n<br />

ترانهاده ماتريس:‏<br />

اگر در ماتريس<br />

ماتريس مي ناميم و با<br />

يا<br />

جاي سطرها و ستونها را با هم عوض كنيم ماتريس حاصل را ترانهاده ي<br />

bij a ji<br />

A<br />

T<br />

نشان مي دهيم به بيان ديگر (bij) nm<br />

كه در آن<br />

مي<br />

T<br />

A<br />

٣<br />

<br />

<br />

<br />

۴<br />

<br />

۵<br />

٢ <br />

١<br />

<br />

<br />

۶ <br />

٣<br />

A <br />

٢<br />

A<br />

۴<br />

١<br />

A T<br />

۵<br />

۶<br />

<br />

<br />

باشد.‏<br />

مثال:‏ ترانهاده ماتريس<br />

قضيه:‏<br />

دو ماتريس m×n وk عدد حقيقي باشد.‏<br />

را بدست آوريد.‏<br />

A) يعني ترانهاده ترانهاده ماتريس A با ماتريسA برابر است<br />

T<br />

)<br />

T<br />

اگر BوA<br />

الف)‏ A<br />

( KA<br />

T<br />

)<br />

T<br />

K(A)<br />

T<br />

ب)‏<br />

پ)‏<br />

يعني ترانهاده مضربي از يك ماتريس با همان مضرب ترانهاده ماتريس برابر است<br />

(B ( A يعني ترانهاده مجموع دو ماتريس برابر مجموع ترانهاده هاي دو ماتريس است<br />

T<br />

A<br />

T<br />

B<br />

T<br />

( AB)<br />

T<br />

B<br />

T<br />

A<br />

T<br />

ت)‏<br />

يعني ترانهاده ضرب دو ماتريس برابر حاصلضرب ترانهاده ماتريس دومي در ترانهاده<br />

A T A<br />

ماتريس اولي و براي آنكه قابل تعريف باشد بايد دو ماتريس مربع باشد.‏<br />

نكته‎1‎‏:‏ در صورتي كه ماتريس A متقارن باشد در اين صورت A T A<br />

نكته‎2‎‏:‏ در صورتي كه ماتريس A شبه متقارن باشد در اين صورت<br />

ماتريس متعامد:‏ در صورتي كه حاصل ضرب ترانهاده يك ماتريس در خود ماتريس برابر ماتريس واحد شود<br />

cos<br />

= <br />

<br />

sin <br />

sin <br />

cos<br />

<br />

<br />

A<br />

T<br />

A AA<br />

T<br />

ماتريس را متعامد گويند.‏ يعني In<br />

و در صورتي امكان پذير است كه ماتريس A مربع باشد مانند ماتريس دوران<br />

ماتريس دوران

A <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

tr(A)<br />

٢<br />

٢<br />

٢<br />

٢<br />

٢ <br />

<br />

٢ ,<br />

٢ <br />

٢ <br />

<br />

<br />

B <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

١<br />

٢<br />

٣<br />

٢<br />

tr(A)<br />

٣ <br />

<br />

٢ <br />

١ <br />

٢ <br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎41‎<br />

به عنوان مثال ماتريس هاي زير متعامد هستند<br />

اثر ماتريس:(‏trac‏):‏<br />

مجموع عناصر روي قطر اصلي را اثر ماتريس گويند و اثر ماتريس A را با<br />

نشان مي دهيم<br />

n<br />

aii<br />

a١١<br />

a٢٢<br />

a٣٣<br />

....a nn<br />

i١<br />

۶<br />

٧ ٢<br />

A <br />

<br />

۴ ١ ٣<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

tr(A) ۶ ( ١)<br />

۵ ١٠<br />

<br />

٣ ١ ۵<br />

deta<br />

ماتريس A<br />

مثال:‏ اثر ماتريس A را بدست آوريد.‏<br />

tr(A<br />

خواص اثر ماتريس:‏<br />

tr(kA)<br />

الف)‏ ktr(A) <br />

ب)‏ tr(B) B) tr(A) <br />

تعريف دترمينان:‏<br />

تابعي است كه هر ماتريس مربع را به يك عدد حقيقي نسبت مي دهد و دترمينان<br />

نشان مي دهيم.‏<br />

دترمينان ماتريس<br />

ماتريس<br />

يا را با<br />

تنها داراي يك عدد است و دترمينان اين نوع ماتريس همان<br />

A ٧<br />

<br />

1×1<br />

1×1<br />

عدد ماتريس است به عنوان مثال اگر<br />

دترمينان ماتريس<br />

باشد در اين صورت‎7‎ detaA=<br />

است.‏<br />

حاصل ضرب عناصر قطر اصلي منهاي حاصل ضرب عناصر قطر فرعي يعني<br />

detaA<br />

دترمينان A<br />

12×2<br />

a١١<br />

A <br />

a٢١<br />

a١٢<br />

a<br />

<br />

٢٢<br />

اگر<br />

باشد در اين صورت<br />

به صورت زير محاسبه مي شود.‏<br />

a١١<br />

A <br />

a٢١<br />

a١٢<br />

a١١a<br />

١٢<br />

a١٢a<br />

٢١<br />

a٢٢<br />

٣ ۴<br />

det aA ( ٣ ( ١))<br />

( ۵ ۴)<br />

٢٣<br />

۵ ١<br />

٣<br />

A <br />

۵<br />

۴ <br />

١<br />

<br />

<br />

(1<br />

(2<br />

مثال:‏ دترمينان ماتريس<br />

مينور يا كهاد:‏<br />

ماتريسي كه از حذف سطر<br />

ام و ستون<br />

را بدست آوريد.‏<br />

ام ماتريس n بدست مي آيد و با نشان مي دهيم<br />

است و دترمينان ماتريس را مينور يا كهاد عنصر در<br />

a ij<br />

M ij<br />

M ij<br />

An<br />

<br />

j<br />

( n ١)<br />

(n ١)<br />

i<br />

ماتريس M ij<br />

ماتريسي<br />

ماتريس A مي ناميم.‏<br />

A

مثال:‏ مينور<br />

را در ماتريس<br />

٤٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

A را بدست آوريد.‏<br />

.<br />

١<br />

<br />

<br />

<br />

١<br />

<br />

٠<br />

٢<br />

٣<br />

٢<br />

۴<br />

۵<br />

<br />

<br />

۴<br />

a ٢٣<br />

براي محاسبه M ٢٣<br />

سطر دوم و ستون سوم را حذف مي كنيم<br />

يعني<br />

١ ٢<br />

a٢٣ M٢٣<br />

( ١<br />

٢)<br />

( ٢<br />

٠)<br />

٢<br />

٠ ٠<br />

A ij<br />

A <br />

aij mn<br />

همسازه يا كوفاكتور:‏<br />

همسازه عنصر a ij<br />

زير تعريف مي كنيم<br />

در ماتريس<br />

را كه عددي حقيقي است با<br />

نشان داده و به صورت<br />

A<br />

i j<br />

ij ( ١)<br />

<br />

Mij<br />

A ١<br />

٢ ٣<br />

٢٣ ( )<br />

M ٢٣ ١<br />

٢ ٢<br />

2×2<br />

مثال:‏ كوفاكتور عنصر a ٢٣<br />

محاسبه دترمينان به روش بسط سطر<br />

را در مثال قبل بدست آوريد.‏<br />

i ام<br />

از اين روش براي محاسبه دترمينان ماتريسهاي با مرتبه بالاتر از<br />

مي شود.‏<br />

استفاده مي شود به صورت زير تعريف<br />

det A<br />

n<br />

aiiAij<br />

ai١A<br />

i١<br />

ai٢Ai٢<br />

.... ainAin<br />

j١<br />

لازم به توضيح است كه اين اعمال نسبت به j<br />

ام نيز مي توان انجام داد كه در اين صورت<br />

بنابراين براي كمتر شدن محاسبات بهتر است سطر يا ستوني انتخاب شود كه تعداد<br />

٣<br />

A <br />

<br />

<br />

١<br />

<br />

۴<br />

٢<br />

٠<br />

٣<br />

۴<br />

٢<br />

<br />

<br />

١<br />

det A<br />

n<br />

aiiAij<br />

i١<br />

صفر بيشتري باشد.‏<br />

مثال:‏ دترمينان ماتريس<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

توجه:‏ چون در سطر دوم صفر وجود دارد نسبت به سطر دوم بسط مي دهيم<br />

٣<br />

٢ ۴<br />

٢ ۴<br />

٣<br />

A <br />

<br />

١ ٠ ٢<br />

<br />

١<br />

٢ ١<br />

١ ١<br />

٢ ٢<br />

<br />

( )<br />

<br />

( )<br />

<br />

٠<br />

٣ ١<br />

۴<br />

<br />

۴ ٣ ١<br />

١<br />

( ٢ ١٢)<br />

٠<br />

( ٢)<br />

( ٩ ٨)<br />

١٠<br />

( ٢)<br />

٨<br />

۴<br />

A <br />

<br />

<br />

٣<br />

<br />

۶<br />

٣<br />

٠<br />

٠<br />

٢<br />

۵<br />

<br />

<br />

١<br />

۴<br />

٣<br />

( ١)<br />

٢٣<br />

٢<br />

١<br />

۴<br />

ماتريس A<br />

٢<br />

٣<br />

مثال:‏ دترمينان<br />

توجه:‏ چون ستون دوم داراي<br />

را محاسبه كنيد<br />

2 عدد صفر مي باشد نسبت به ستون دوم بسط مي دهيم

٣<br />

A ( ١)<br />

١ ٢<br />

٣<br />

۶<br />

٣ ( ٣ ٣٠)<br />

٠<br />

٨١<br />

A ١<br />

۵<br />

<br />

۴<br />

( ١)<br />

٢ ٢<br />

٠<br />

١<br />

۶<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎43‎<br />

٢<br />

<br />

۴<br />

( ١)<br />

٣ ٢<br />

٠<br />

١<br />

٣<br />

٢<br />

<br />

۵<br />

٣ ٢ ١<br />

A <br />

<br />

<br />

١ ۵ ۶<br />

<br />

<br />

۴ ١ ٢<br />

١<br />

۵ ۶<br />

١ ۶<br />

١<br />

۶ ١<br />

١ ١<br />

٣ ١<br />

١ ٢ <br />

٢<br />

١<br />

١ ٣ <br />

( )<br />

<br />

( )<br />

<br />

( )<br />

<br />

١<br />

١ ٢<br />

۴ ٢<br />

۴<br />

٢<br />

مثال:‏ دترمينان ماتريس<br />

را محاسبه كنيد.‏ نسبت به سطر اول بسط مي دهيم<br />

٣<br />

۴<br />

٢<br />

۵<br />

١<br />

٣ ( ١٠<br />

۶)<br />

( ٢)(<br />

٢<br />

٢٠)<br />

١<br />

( ١<br />

٢٠)<br />

١٢<br />

۴۴ ٢١<br />

٣۵<br />

دستور ساروس براي محاسبه دترمينان ماتريس هاي 3×3:<br />

از اين دستور فقط براي محاسبه دترمينان ماتريس ها 3×3<br />

استفاده مي شود.‏ در اين روش دو ستون اول را<br />

كنار ماتريس نوشته سپس مجموع حاصل ضرب عناصر قطر اصلي را منهاي مجموع حاصل ضرب عناصر<br />

٣<br />

A <br />

<br />

<br />

٢<br />

<br />

١<br />

٣ ۴ ٢<br />

۴ ٢<br />

۵ ١<br />

<br />

<br />

٢ ۶<br />

٣ ۴<br />

ماتريس A<br />

۵<br />

١<br />

قطر فرعي مي كنيم.‏<br />

مثال:‏ دترمينان<br />

را محاسبه كنيد<br />

A ٢ ۵ ١ ٢ ۵ ( ٣ ۵ ۶ ۴<br />

١<br />

( ١)<br />

٢<br />

٢<br />

٢)<br />

( ۴<br />

٢<br />

۶ ٣ ١<br />

٢ ٢<br />

۵ ( ١)<br />

١ ٢ ۶ ١ ٢<br />

( ٩٠<br />

۴ ٨)<br />

( ۴٨ ۶ ١٠)<br />

٩۴<br />

۵۴ ۴٠<br />

نكته‎1‎‏)‏ اگر در يك ماتريس يك سطر يا يك ستون مضرب يك سطر يا يك ستون ديگر باشد دترمينان<br />

ماتريس صفر است.‏<br />

نكته‎2‎‏)‏ در صورتي در يك ماتريس يك سطر يا يك ستون برابر يك سطر يا يك ستون ديگر باشد دترمينان<br />

۴<br />

<br />

<br />

۴<br />

A <br />

٧<br />

<br />

۶<br />

A ٠<br />

٣<br />

٣<br />

٨<br />

۴<br />

۵<br />

۵<br />

٢<br />

٣<br />

٢ <br />

٢<br />

<br />

<br />

٩ <br />

<br />

١٠<br />

(-1)<br />

صفر است.‏<br />

مثال:‏ دترمينان ماتريس<br />

جواب:‏ چون سطر دوم<br />

برابر سطر اول است بنابراين<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

است<br />

نكته‎3‎‏)‏ اگر يك سطر يا يك ستون ماتريس صفر باشد دترمينان ماتريس صفر مي شود.‏<br />

٣<br />

A <br />

<br />

<br />

٢<br />

<br />

۶<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٧<br />

١٠<br />

<br />

<br />

٩<br />

مثال:‏ دترمينان ماتريس<br />

را محاسبه كنيد.‏

جواب:‏ چون ستون دوم صفر است بنابراين‎٠‎ <br />

A<br />

‎4‎‏)اگر ماتريس A در عدد K ضرب شود دترمينان<br />

مثال:‏ اگر ماتريس A مرتبه<br />

٤٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

است.‏<br />

K n<br />

برابر مي شود<br />

kA k<br />

n<br />

A<br />

باشد A ٨ و 4<br />

دترمينان 3A<br />

را بدست آوريد.‏<br />

‎5‎‏)اگر يك سطر يا ستون ماتريس A را عدد K ضرب كنيم دترمينان ماتريس<br />

مثال:‏ اگر ماتريس A مرتبه‎5‎<br />

kA k<br />

n<br />

A ٣ ۴ ٨<br />

۶۴٨<br />

K<br />

و‎١٢‎ A <br />

ماتريس جديد را محاسبه كنيد.‏ جواب:‏<br />

برابر مي شود<br />

باشد در صورتيكه سطر سوم را در عدد 5 ضرب كنيم دترمينان<br />

k A ۵ ١٢<br />

۶٠<br />

(6<br />

(7<br />

(8<br />

اگر در يك ماتريس جاي دو سطريا جاي دو ستون عوض شود علامت دترمينان عوض مي شود.‏<br />

اگر مضربي از يك سطر يا يك ستون را به سطر يا ستون ديگر اضافه كنيم تاثيري در مقدار دترمينان ندارد.‏ از<br />

خاصيت براي آن استفاده مي شود در سطر يا ستون صفر بدست آوريم تا محاسبه دترمينان ساده تر شود.‏<br />

دترمينان ماتريس هاي مثلثي و قطري برابر حاصل ضرب عناصر روي قطر اصلي مي باشد.‏<br />

مثال:‏ دترمينان ماتريس<br />

٢<br />

A <br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

٧<br />

۵<br />

٠<br />

٩<br />

۶<br />

<br />

<br />

٨<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

جواب:‏ چون ماتريس مثلثي است دترمينان برابر حاصل ضرب عناصر روي قطر اصلي است.‏<br />

A ٢<br />

۵ ٨ ٨٠<br />

(9 اگر BوA<br />

دو ماتريس مربع هم مرتبه باشند.‏<br />

AB A B<br />

(10<br />

دترمينان ماتريس واحد برابر يك است<br />

I ١<br />

دترمينان 11)<br />

ماتريس A<br />

و ترانهاده ماتريس A با هم برابر است<br />

A T A<br />

(12<br />

دترمينان ماتريس هاي متعامد برابر ١ است<br />

مثال:‏ دترمينان ماتريس هاي زير را بدست آوريد چون هر دو ماتريس متعامد هستند بنابراين<br />

وارون ماتريس:‏<br />

ماتريس مربع<br />

طوري كه<br />

١ ١<br />

١ ٣ <br />

<br />

٣ ۶<br />

<br />

<br />

٢ ٢<br />

١ ٢<br />

١<br />

<br />

A , B <br />

٣ ١ <br />

<br />

٣ ۶<br />

<br />

<br />

<br />

٢ ٢ <br />

<br />

١ ١<br />

<br />

٣ ۶<br />

١<br />

٢<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

<br />

١<br />

١<br />

<br />

<br />

٢ <br />

A (a ij ) nn<br />

را وارون پذير مي ناميم اگر ماتريسي مانند<br />

B (b ij ) nn<br />

A<br />

١<br />

AB BA I n<br />

وارون ماتريس در صورت وجود منحصر به فرد است.‏<br />

نكته:‏ در صورتي كه<br />

A ٠<br />

در اين صورت ماتريس B وارون ماتريس A است كه با<br />

باشد ماتريس وارون پذير نيست.‏<br />

وجود داشته باشد به<br />

نمايش مي دهيم.‏

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎45‎<br />

تعريف ماتريس الحاقي:‏<br />

ترانهاده ماتريس همسازه هاي ماتريس مربع A را ماتريس الحاقي A ناميده و با adjA نشان مي دهيم.‏ يعني<br />

T<br />

adjA (A ij )<br />

محاسبه وارون ماتريس:‏<br />

وارون ماتريس را به دو روش به دست مي آوريم<br />

الف)‏ با استفاده از ماتريس الحاقي اگر ٠<br />

مي آيد<br />

مثال:‏ وارون ماتريس<br />

A باشد در اين صورت وارون ماتريس با استفاده از رابطه زير بدست<br />

A<br />

١ ١ adjA<br />

A<br />

.<br />

٣<br />

١ ٣<br />

<br />

<br />

<br />

٣ ٣ ١<br />

<br />

<br />

٢ ٠ ٣<br />

٣ ١ ٣ ٣ ١<br />

A ٣ ٣ ١ ٣ ٣ ( ٣٣<br />

٣<br />

١<br />

١<br />

٢ ٣٣٠)<br />

( ١<br />

٣٣<br />

٣١<br />

٠<br />

٣ ٣<br />

٢)<br />

٢<br />

٢ ٠ ٣ ٢ ٠<br />

٣ ١<br />

٣ ١<br />

٣ ٣<br />

a ١<br />

١ ١<br />

٩ ١<br />

١ ٢<br />

٧ ١<br />

١ ٣<br />

١١<br />

( )<br />

<br />

a١٢<br />

( )<br />

<br />

a١٣<br />

( )<br />

<br />

۶<br />

٠ ٣<br />

٢ ٣<br />

٢ ٠<br />

١ ٣<br />

٣ ٣<br />

٣ ١<br />

a ١<br />

٢ ١<br />

٣ ١<br />

٢ ٢<br />

٣ ١<br />

٢ ٣<br />

٢١<br />

( )<br />

<br />

a٢٢<br />

( )<br />

<br />

a٢٣<br />

( )<br />

<br />

٢<br />

٠ ٣<br />

٢ ٣<br />

٢ ٠<br />

١ ٣<br />

٣ ٣<br />

٣ ١<br />

a ١<br />

٣ ١<br />

٨ ١<br />

٣ ٢<br />

۶ ١<br />

٣ ٣<br />

٣١ ( )<br />

<br />

a٣٢<br />

( )<br />

<br />

a٣٣<br />

( )<br />

<br />

۶<br />

٣ ١<br />

٣ ١<br />

٣ ٣<br />

٩ ٧ ۶<br />

٩ ٣ ٨<br />

A <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٣ ٣ ٢<br />

T<br />

ij <br />

adjA (Aij)<br />

<br />

٧ ٣ ۶<br />

<br />

<br />

٨ ۶ ۶ <br />

<br />

۶ ٢ ۶ <br />

٩ ٣ <br />

۴<br />

٩ ٣ ٨<br />

٢ ٢<br />

<br />

<br />

١ ١<br />

٧ ٣<br />

A<br />

١<br />

adjA <br />

<br />

<br />

<br />

٧ ٣ ۶<br />

<br />

٣<br />

A ٢<br />

٢ ٢ <br />

<br />

۶ ٢ ۶ <br />

<br />

٣ ١ ٣ <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

نكته:‏ براي محاسبه وارون ماتريس هاي 2×2<br />

A را با استفاده ماتريس الحاقي بدست آوريد.‏<br />

كافي است جاي عناصر قطر اصلي را عوض كنيم و قطر فرعي<br />

را در (1-) ضرب كنيم تا ماتريس الحاقي بدست آيد سپس تقسيم بر دترمينان ماتريس مي كنيم به عبارتي<br />

d<br />

A<br />

١ ١<br />

<br />

A<br />

<br />

<br />

c<br />

d<br />

a<br />

<br />

<br />

d<br />

,adjA <br />

<br />

c<br />

d<br />

.<br />

a <br />

A باشد<br />

a<br />

<br />

c<br />

b<br />

d<br />

<br />

<br />

۴<br />

<br />

٢<br />

اگر ماتريس A به صورت<br />

٣<br />

۶<br />

<br />

<br />

ميباشد.‏<br />

مثال:‏ وارون ماتريس<br />

A را محاسبه كنيد

٤٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

A ( ۶<br />

۴)<br />

( ٣ ٢)<br />

١٨<br />

١<br />

١ d<br />

A <br />

A<br />

<br />

<br />

c<br />

b<br />

<br />

a <br />

١<br />

١٨<br />

۶<br />

<br />

<br />

٢<br />

١<br />

٣<br />

<br />

٣<br />

<br />

۴ <br />

١<br />

<br />

٩<br />

١<br />

<br />

۶<br />

٢ <br />

<br />

٩ <br />

ب)‏ محاسبه وارون ماتريس با استفاده از اعمال سطري مقدماتي<br />

در صورتي كه ماتريس A وارون پذير باشد (٠ ( A <br />

به وسيله يك سري اعمال سطري مقدماتي تبديل به<br />

ماتريس واحد مي شود آنگاه با انجام همين اعمال سطري مقدماتي بر روي ماتريس واحد وارون ماتريسA<br />

<br />

A<br />

بدست مي آيد.‏ جهت بدست آوردن وارون ماتريس A ابتدا ماتريس A را به صورت I<br />

يعني ماتريس واحد را كنار ماتريس مي نويسيم سپس a ١١<br />

سطري عناصر ستون اول را به صفر تبديل مي كنيم سپس a ٢٢<br />

كنيم سپس اعداد ستون دوم زير<br />

مي نويسيم<br />

را به يك تبديل مي كنيم سپس با اعمال<br />

را به صفر تبديل مي كنيم الي آخر سپس<br />

را در ماتريس جديد به يك تبديل مي<br />

a nn را به يك تبديل<br />

a nn<br />

a ٢٢<br />

مي كنيم و توسط آن با اعمال سطري مقدماتي اعداد بالا<br />

را به صفر تبديل مي كنيم و توسط<br />

اعداد بالاي آن را به صفر تبديل مي كنيم و الي آخر كه در اين صورت ماتريس A به<br />

<br />

I<br />

B<br />

a(n١)(n١)<br />

ماتريس واحد تبديل مي شود و فرم كلي<br />

اعمال سطري مقدماتي به صورت زير است.‏<br />

تعويض جاي دو سطر<br />

تبديل مي شود كه B وارون ماتريس A است نمايش<br />

kRi<br />

R j Rj<br />

Ri R j<br />

ضرب يك سطر در عدد غير صفر<br />

kRi R i<br />

( 3<br />

اضافه كردن مضربي از يك سطر به سطر ديگر<br />

مثال:‏ وارون ماتريس زير را به روش اعمال سطري مقدماتي بدست آوريد.‏<br />

٠<br />

٢ ٣<br />

A <br />

<br />

<br />

٢ ۵ ۴<br />

<br />

<br />

١ ٢ ٢<br />

٠<br />

٢ ٣ ١ ٠ ٠<br />

١<br />

٢ ٢ ٠ ٠ ١<br />

<br />

<br />

R١<br />

<br />

<br />

R٣<br />

A I<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٢ ۵ ۴ ٠ ١ ٠<br />

<br />

<br />

٢ ۵ ۴ ٠ ١ ٠<br />

<br />

<br />

١ ٢ ٢ ٠ ٠ ١<br />

<br />

<br />

٠ ٢ ٣ ١ ٠ ٠<br />

<br />

١<br />

٢ ٢ ٠ ٠ ١ <br />

١<br />

٢ ٢ ٠<br />

R<br />

٢ ٢R<br />

١<br />

<br />

<br />

R <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٠ ١ ٠ ٠ ١ ٢ ٣ ٢R٢<br />

<br />

<br />

٠ ١ ٠ ٠<br />

<br />

٠ ٢ ٣ ١ ٠ ٠ <br />

<br />

٠ ٠ ٣ ١<br />

<br />

<br />

٢<br />

R٣<br />

<br />

١<br />

٢ ٢ ٠ ٠ ١<br />

١ ٢ ٠<br />

<br />

<br />

٣<br />

٣<br />

R<br />

٠<br />

١ ٠ ٠ ١ ٢<br />

١<br />

٢R<br />

٣ ٠<br />

١ ٠ ٠<br />

١ ٢ ۴ <br />

١<br />

٠<br />

٠ ١<br />

<br />

٠<br />

٠ ١<br />

٣ ٣ ٣ <br />

<br />

٣<br />

٠<br />

١<br />

٢<br />

۴<br />

٣<br />

١<br />

٢<br />

٣<br />

١ <br />

٢<br />

<br />

<br />

۴<br />

۵ <br />

<br />

٣ <br />

٢<br />

۴<br />

<br />

٣ <br />

(1<br />

(2

٢ ٢ ٧ <br />

١<br />

٠ ٠ <br />

<br />

R ٣ ٣ ٣<br />

١ ٢R<br />

٢٠<br />

١ ٠ ٠ ١ ٢<br />

١ ٢ ۴ <br />

٠<br />

٠ ١<br />

<br />

<br />

٣ ٣ ٣ <br />

٢ ٢ ٧ <br />

<br />

<br />

٣ ٣ ٣ <br />

A<br />

١<br />

٠ ١ ٢<br />

١ ٢ ۴ <br />

<br />

<br />

٣ ٣ ٣ <br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎47‎<br />

بنابراين<br />

قضيه:‏<br />

اگر A,B دو ماتريس n×n و وارون پذير باشند،‏ آنگاه:‏<br />

( AB)<br />

١ B<br />

١<br />

A<br />

١<br />

(1<br />

(A<br />

T<br />

)<br />

١<br />

(A<br />

١<br />

)<br />

T<br />

( 2 ترانهاي A<br />

ماتريس حاصل ضرب AB وارون پذير است.‏<br />

.<br />

( A<br />

١<br />

)<br />

١<br />

A<br />

( 3<br />

A<br />

١ <br />

١<br />

A<br />

A<br />

١<br />

A<br />

T<br />

ماتريس A<br />

ماتريس<br />

وارون پذير است<br />

وارون،‏ وارون ماتريس A برابر ماتريس A است<br />

دترمينان وارون ماتريسA برابر معكوس دترمينان<br />

نكته:‏ در ماتريس متعامد A وارون ماتريس و ترانهاده با هم برابرند<br />

است<br />

(4

٤٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

n<br />

دستگاه معادلات خطي:‏<br />

يك معادله به صورت<br />

فصل چهارم<br />

دستگاه معادلات خطي و توابع خطي<br />

a١x را معادله خطيn مجهولي گويند.‏ كه هر<br />

١ a٢x٢<br />

........ a n xn<br />

٠<br />

( x١,x<br />

٢,........,x n )<br />

معادله n<br />

تايي مرتب<br />

معادله خطي n مجهولي را دستگاه m<br />

از اعداد حقيقي را كه در اين معادله صدق كند يك جواب آن مي ناميم و<br />

مجهولي گويند.‏ و به صورت زير<br />

دستگاه mمعادله خطي n مجهولي<br />

a١١x<br />

١ a١٢x<br />

٢ ........ a١n<br />

xn<br />

b١<br />

<br />

a٢١x<br />

١ a٢٢x٢<br />

........ a٢n<br />

xn<br />

b٢<br />

<br />

<br />

<br />

a<br />

m١x<br />

١ am٢x٢<br />

........ amnxn<br />

bm<br />

( a١,a<br />

٢,........,a n )<br />

m<br />

در اين دستگاه n تايي<br />

از اعداد حقيقي را كه در تمام معادله هاي دستگاه صدق كند.‏<br />

a١١<br />

<br />

<br />

a٢١<br />

<br />

<br />

<br />

am١<br />

يك جواب دستگاه مي ناميم.‏ اين دستگاه را مي توانيم به صورت معادله ماتريسي زير بنويسيم.‏<br />

a١٢.........<br />

a١n<br />

<br />

<br />

a٢٢.........<br />

a٢n<br />

<br />

<br />

<br />

am٢.........<br />

amn<br />

<br />

A (a ij ) mn<br />

x١<br />

b١<br />

<br />

<br />

<br />

x٢<br />

<br />

b٢<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

xn<br />

<br />

<br />

bn<br />

<br />

معادله ماتريسي را به صورت خلاصه AX=B نمايش مي دهيم.‏ كه در آن<br />

ضرايب و<br />

ماتريس مجهولات و<br />

ماتريس اعداد ثابت است<br />

ماتريس<br />

٣<br />

<br />

٢<br />

A<br />

٢ x<br />

۵<br />

<br />

<br />

١<br />

<br />

<br />

y<br />

<br />

١<br />

X B<br />

b١<br />

<br />

<br />

<br />

b٢<br />

B <br />

<br />

<br />

<br />

b n <br />

X١<br />

<br />

<br />

<br />

X٢<br />

X <br />

<br />

<br />

<br />

X n <br />

٣x<br />

٢y<br />

۵<br />

<br />

x<br />

٢y<br />

١<br />

مثال:‏ دستگاه<br />

را به فرم ماتريسي نمايش دهيد.‏<br />

نكته:‏ يك دستگاه معادلات خطي ممكن است داراي يك جواب منحصربه فرد يا بينهايت جواب باشد و يا<br />

AX=B دستگاه <br />

A<br />

B<br />

اصلا جوابي نداشته باشد.‏<br />

روشهاي حل يك دستگاه معادلات خطي<br />

روش حذف گاوس:‏<br />

در اين روش با بكارگيري اعمال سطري مقدماتي روي سطرهاي ماتريس مركب<br />

-1<br />

را حل مي كنيم.‏<br />

مثال:‏ دستگاه سه معادله سه مجهولي زير را به روش حذفي گاوس حل كنيد.‏

x<br />

y z ١<br />

<br />

٢x<br />

y z ۵<br />

<br />

x<br />

y z ١<br />

١<br />

١ ١ ١ <br />

١<br />

<br />

<br />

R <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٢ ١ ١ ۵ ٢ ٢R١<br />

R<br />

A B<br />

٢<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

١ ١ ١ ١<br />

<br />

<br />

١<br />

١<br />

R<br />

٣<br />

R١R<br />

٣<br />

<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

١ ١<br />

٣ ١<br />

٢ ٢<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎49‎<br />

١ ١<br />

٣ ١<br />

١ ١<br />

١ <br />

٣<br />

<br />

<br />

١<br />

<br />

١ R٢<br />

١<br />

١ ١ ١ <br />

R<br />

<br />

٢ ١ <br />

٣<br />

<br />

٣<br />

٠<br />

١ ١<br />

<br />

<br />

٣<br />

٢<br />

<br />

<br />

٠<br />

٢ ٢ ٢<br />

<br />

<br />

١<br />

١ ١ ١ ۴ ١<br />

١<br />

R <br />

<br />

١<br />

٣ <br />

٣<br />

٢R٢<br />

R<br />

R R<br />

٣<br />

٠<br />

١ ١<br />

٣<br />

٣<br />

٠<br />

١<br />

٣ <br />

<br />

۴<br />

<br />

<br />

٠<br />

٠<br />

٠ ٠ ۴<br />

<br />

٣ <br />

<br />

<br />

<br />

٢ R<br />

R <br />

٣ ١ ١ ١ ١<br />

١ ١ ٠ ٢<br />

٣<br />

<br />

R <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٠ ١ ٠ ٢ ١ R٣<br />

R ١<br />

<br />

<br />

٠ ١ ٠ ٢<br />

<br />

<br />

٠ ٠ ١ ٣<br />

<br />

٠ ٠ ١ ٣<br />

١<br />

٠ ٠ ٠ x<br />

٠<br />

R<br />

<br />

١<br />

<br />

R٢<br />

<br />

<br />

<br />

٠ ١ ٠ ٢<br />

<br />

y<br />

٢<br />

<br />

<br />

٠<br />

٠ ١ ٣<br />

Z<br />

٣<br />

١ ١ <br />

١ <br />

١<br />

٣<br />

<br />

١ ٣<br />

مجهول آزاد:‏ در صورتي كه با حل دستگاه جواب به گونه اي بدست آيد كه بتوان مجهولات را بر حسب<br />

يكي از مجهولات نوشت آن مجهول را مجهول آزاد گويند.‏<br />

مثال:‏ دستگاه معادلات زير را حل كنيد.‏<br />

X<br />

١ ٢X٢<br />

٣X٣<br />

٢<br />

X١<br />

۴X٢<br />

١٣X<br />

٣ ١۴<br />

<br />

٣X<br />

۵ ۴ ٠<br />

١ X٢<br />

X٣<br />

<br />

١ ٢ ٣ ٢ ١<br />

٢ ٣ ٢ <br />

A<br />

B<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

١ ۴ ١٣ ١۴<br />

<br />

٠ ٢ ١٠ ١٢<br />

<br />

<br />

٣ ۵ ۴ ٠<br />

<br />

٠ ١ ۵ ۶ <br />

<br />

<br />

٢ ١ ١ ٣ ٢ ١<br />

<br />

١ ٢ ٣ ١<br />

R <br />

٢ ٢<br />

<br />

٣<br />

R٢<br />

R<br />

R<br />

٣<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٠ ٢ ١٠ ١٢ ٣<br />

R<br />

<br />

<br />

٠ ١ ۵ ۶<br />

<br />

<br />

٠ ٠ ٠ ٠<br />

<br />

٠ ٠ ٠ ٠

٥٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

<br />

<br />

١<br />

٢R<br />

٣<br />

R٢<br />

R١<br />

<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

٠<br />

٠<br />

١<br />

٠<br />

٧<br />

۵<br />

٠<br />

١٠<br />

x١<br />

٧x٣<br />

١٠<br />

x١<br />

١٠<br />

٧x٣<br />

۶<br />

<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

٢ ۵x٣<br />

۶ x٢<br />

۶ ۵x٣<br />

٠ <br />

اگر X a ٣<br />

را به عنوان مجهول آزاد در نظر بگيريم جوابهاي معادله به صورت زير است به عبارتي جواب<br />

x١<br />

١٠<br />

٧a<br />

<br />

x٢<br />

۶<br />

۵a<br />

<br />

x٣<br />

a<br />

مجهولات وابسته به يكديگر هستند.‏<br />

چون a<br />

هر عدد دلخواهي مي تواند باشد بنابراين دستگاه بينهايت جواب دارد.‏<br />

X<br />

١ X٢<br />

٢X٣<br />

۵<br />

٢X١<br />

٣X٢<br />

X٣<br />

٢<br />

<br />

٣X<br />

۵ ٣ ٧<br />

١ X٢<br />

X٣<br />

<br />

١<br />

١ ٢ ۵<br />

R ١<br />

١ ٢ ۵<br />

٢ ٢R١<br />

R٢<br />

<br />

A<br />

B<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٢ ٣ ١ ٢<br />

<br />

<br />

٠ ١ ۵ ٨<br />

<br />

<br />

۴ ۵ ٣ ٧<br />

R ۴<br />

<br />

٠ ١ ۵ ٣<br />

٣ R<br />

١<br />

R٣<br />

<br />

R١R٢<br />

R١<br />

١<br />

٠ ٧ ١٣<br />

x١<br />

٧x٣<br />

١١٣<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٠ ١٠ ۵ ٨<br />

<br />

x٢<br />

۵x٣<br />

٨<br />

R٣<br />

R٢R٣<br />

<br />

<br />

٠<br />

٠ ٠ ٠ ٠ ۵<br />

٠<br />

۵<br />

مثال:‏ دستگاه معادلات زير را حل كنيد<br />

معادله سوم اين دستگاه غير ممكن است زيرا<br />

جوابهاي يك دستگاه 3 حالت مختلف امكان دارد رخ دهد.‏<br />

سپس دستگاه داده شده جوابي ندارد بنابراين براي<br />

الف)‏ جواب منحصر به فرد بدست آيد كه اين وضعيت در حالتي است كه دترمينان ماتريس ضرائب مخالف<br />

n<br />

n<br />

صفر باشد.‏<br />

ب)‏ بيشمار جواب داشته باشد در صورتي است كه مجهولات به يكديگر وابسته باشند<br />

پ)‏ دستگاه جوابي نداشته باشد.‏<br />

روش وارون ماتريس:‏<br />

در صورتي كه تعداد مجهولات با تعداد معادلات يك دستگاه معادلات خطي برابر باشد ‏(دستگاه<br />

معادله<br />

مجهولي)‏ و ماتريس ضرائب دستگاه وارون پذير باشد ‏(دترمينان ماتريس ضرائب مخالف صفر باشد)‏ آنگاه<br />

دستگاه همواره داراي يك جواب منحصر به فرد است بنابراين براي بدست آوردن مجهولات كافي است از<br />

سمت چپ فرم ماتريسي دستگاه را در وارون ماتريس ضرب كنيم تا مجهولات بدست آيد.‏<br />

AX B A<br />

١ AX A<br />

١<br />

B X A<br />

١<br />

B<br />

-2<br />

مثال:‏ دستگاه زير را به روش وارون ماتريس حل كنيد.‏<br />

x y <br />

A ( ٣ ٢)<br />

( ١<br />

۵)<br />

١۴<br />

٣ x ١y<br />

١ ٣<br />

١<br />

<br />

١ ۵ ٢ ٩<br />

<br />

۵ ٢<br />

٩ <br />

x y

١ ١ ٢ ١<br />

A<br />

١<br />

adjA <br />

A ١۴<br />

<br />

<br />

۵ ٣ <br />

<br />

١<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

١ ٢ ١ ١<br />

<br />

<br />

١ x ١<br />

X A B<br />

X<br />

`<br />

x<br />

Y<br />

y <br />

١۴<br />

۵ ٣ ٩<br />

٢ <br />

y<br />

٢<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎51‎<br />

( A ٠)<br />

‎3‎‏-دستور كرامر:‏<br />

اگر ماتريس ضرايب يك دستگاه وارون پذير باشد<br />

آنگاه تنها جواب دستگاه برابر است با:‏<br />

det A<br />

X i i ١,<br />

٢,...n<br />

det A<br />

b١<br />

<br />

<br />

<br />

b٢<br />

i<br />

<br />

.<br />

<br />

<br />

<br />

b n <br />

كه در آن A ماتريس ضرايب مجهولات و A i<br />

ماتريسي است كه از جايگزين كردن ماتريس<br />

به دست مي آيد به عبارتي پاسخها را در ستون مجهول مورد نظر قرار مي دهيم.‏<br />

ام در ستون<br />

٣x<br />

٢y<br />

١<br />

<br />

x<br />

y ٢<br />

٣ ٢<br />

det A ۵<br />

١ ١<br />

det A x<br />

det A y<br />

X <br />

١<br />

<br />

٢<br />

٣<br />

<br />

١<br />

det AX<br />

det A<br />

٢<br />

۵<br />

١<br />

١<br />

۵<br />

٢<br />

۵<br />

١<br />

۵<br />

٣x<br />

۶y<br />

٠<br />

<br />

٢x<br />

۵y<br />

٠<br />

y <br />

det A<br />

det A<br />

y<br />

<br />

۵<br />

۵<br />

١<br />

ماتريس A<br />

مثال:‏ دستگاه زير ار به روش كرامر حل كنيد<br />

A: x جوابها را در ستون xها قرار مي دهيم<br />

: جوابها را در ستون yها قرار مي دهيم<br />

A y<br />

دستگاه همگن:‏<br />

دستگاهي كه ماتريس اعداد ثابت آن همگي صفر باشد همگن گويند به عنوان مثال<br />

همگن است و<br />

يك دستگاه<br />

۶x<br />

٢y<br />

٠<br />

<br />

۵x<br />

۴y<br />

١<br />

x١ x٢<br />

....... xn<br />

نكته:‏ همواره ٠<br />

بديهي است.‏<br />

دستگاه غير ممكن است.‏<br />

يك جواب دستگاه همگن است.‏ كه جواب صفر موسوم به جواب

قضيه:‏<br />

يك دستگاه<br />

معادله<br />

٥٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

مجهولي همگن داراي يك جواب غير بديهي ‏(غيرصفر)‏ است اگر و فقط اگر دترمينان<br />

x١<br />

٢x٢<br />

x٣<br />

٠<br />

<br />

٢x١<br />

x٢<br />

x٣<br />

٠<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

x٣<br />

٠<br />

١<br />

٢<br />

١<br />

٢<br />

١<br />

١<br />

١<br />

١<br />

١<br />

١<br />

٢<br />

١<br />

٢<br />

١ ( ١<br />

( ٢)<br />

٢)<br />

( ۴<br />

١<br />

١)<br />

٣<br />

٠<br />

١<br />

x١ x٢<br />

x٣<br />

<br />

n<br />

ماتريس ضرائب دستگاه برابر صفر باشد.‏<br />

مثال:‏ دستگاه معادلات همگن زير را حل كنيد<br />

با استفاده از دستور ساروس دترمينان را محاسبه مي كنيم<br />

چون دترمينان ضرائب مخالف صفر است بنابراين داراي جواب بديهي ٠<br />

نكته:‏ در صورتي كه دستگاه همگن داراي m معادله و<br />

است<br />

n مجهول باشد همواره داراي يك جواب غير بديهي ‏(غير<br />

( nm)<br />

n<br />

صفر)‏ است اگر<br />

مثال:‏ دستگاه همگن زير را حل كنيد.‏<br />

باشد و قطعاً‏ تعداد n-m عدد مجهول آزاد وجود دارد<br />

x١<br />

٢x٢<br />

٣x٣<br />

۴x۴<br />

٠<br />

<br />

٢x١<br />

x٢<br />

x٣<br />

٢x۴<br />

٠<br />

١ ٢ ٣ ۴ ٠<br />

R <br />

<br />

٢ ٢R<br />

١ ٢ ٣ ۴ ٠<br />

A B<br />

١<br />

<br />

٢<br />

١ ١ ٢ ٠<br />

٠<br />

۵ ٧ ١٠ ٠<br />

١<br />

١ <br />

R٢<br />

١<br />

٢ ٣ ۴ ٠<br />

١<br />

٠ ٠ ٠<br />

۵<br />

R <br />

<br />

٧ ١<br />

٢R<br />

٢<br />

۵<br />

<br />

<br />

٢<br />

١ ٢ ٠<br />

<br />

<br />

٧<br />

۵ <br />

٠<br />

١ ٢ ٠<br />

۵ <br />

١<br />

١<br />

x١<br />

x٣<br />

٠ x<br />

a<br />

۵<br />

x٣<br />

a ١<br />

۵<br />

<br />

<br />

٧<br />

x x x b<br />

x<br />

a b<br />

<br />

x ٧<br />

٢ ٣ ٢ ۴ ٠ ۴<br />

۵<br />

٢<br />

۵<br />

٢<br />

n m ۴ ٢ ٢<br />

<br />

<br />

x٢ x ١<br />

n=4<br />

چون 2=m<br />

قضيه‎1‎‏:‏ اگر<br />

و<br />

است بنابراين قطعاً‏<br />

مجهول آزاد وجود دارد.‏<br />

دو جواب دستگاه غير همگن AX=B باشند آنگاه x ١ x ٢ و<br />

خواهند بود.‏ بنابراين دستگاه غير همگن AX=B<br />

جوابهايي براي<br />

x ٢ , x ١<br />

دستگاه همگن‎0‎ AX=<br />

اگر و فقط اگر دستگاه همگن AX= 0 جواب منحصر به فرد داشته باشد.‏<br />

نكته:‏ هر عنصر<br />

را يك بردار يك نقطه مي ناميم<br />

داراي يك جواب منحصر به فرد است<br />

<br />

V ١ ,V ٢ ,.....V n<br />

R n<br />

استقلال و وابستگي خطي<br />

بردار <br />

از عناصر فضاي برداري<br />

R n را مستقل خطي گويند.‏<br />

مجموعه m

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎53‎<br />

اگر هيچ مجموعه اي از اعداد حقيقي<br />

طوري كه<br />

C١,C<br />

٢,.....C m<br />

بجز<br />

C١ C٢<br />

.....Cm<br />

٠<br />

C ١ V ١ C ٢ V ٢ ......... C m V m ٠<br />

خطي است،‏ اگر و فقط اگر جواب معادله<br />

غير اين صورت اين مجموعه را وابسته خطي مي ناميم.‏<br />

نكته:‏ مجموعه بردارهاي<br />

به عبارتي مجموعه m بردار<br />

وجود نداشته باشد به<br />

<br />

V ١ ,V ٢ ,.....V m<br />

<br />

C ١ V ١ C ٢ V ٢ ......... C m V m ٠<br />

براي هر<br />

Ci=0<br />

، i<br />

<br />

V ١ ,V ٢ ,.....V x<br />

<br />

مستقل<br />

باشد در<br />

مستقل خطي است اگر و فقط اگر دترمينان ماتريس تشكيل شده<br />

از مجموعه بردارها مخالف صفر باشد.‏ البته در صورتي كه ماتريس مربع حاصل شود و دترمينان قابل محاسبه<br />

باشد بنابراين اگر ماتريس تشكيل شده از مجموعه بردارها A<br />

بناميم اگر A ٠<br />

A ٠<br />

باشد مجموعه بردارها وابسته خطي مي باشد.‏<br />

مثال:‏ آيا مجموعه بردارهاي<br />

<br />

( ١٠١ , , ),( ٢,<br />

٠٠ , ),( ٠٠ , , ٣)<br />

<br />

مستقل خطي است<br />

چون ستون دوم برابر صفر است بنابراين دترمينان برابر صفر است و بردارها وابسته خطي هستند.‏<br />

مثال:‏ آيا مجموعه بردارها<br />

با استفاده از دستور ساروس<br />

باشد مستقل خطي و اگر<br />

det A <br />

١<br />

٢<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

١<br />

٠ ٠<br />

٣<br />

<br />

( ١٢ , , ١),(<br />

٣,<br />

٠١ , ),( ١٠ , , ٢)<br />

<br />

چون دترمينان مخالف صفر است مستقل خطي هستند<br />

رتبه ماتريس:‏<br />

فرض كنيد A يك ماتريس<br />

ناميده و با<br />

مجموعه<br />

مستقل خطي است<br />

det A<br />

١<br />

٢<br />

١<br />

١<br />

٢<br />

٣ ٠ ١ ٣ ٠ ( ٠<br />

٢<br />

٠)<br />

( ١٢<br />

٠<br />

٠)<br />

١٠<br />

٠<br />

١ ٠ ٢ ١ ٠<br />

m×n<br />

<br />

r(A)<br />

<br />

باشد.‏ حداكثر تعداد سطرهاي مستقل خطي ماتريس A را رتبه ماتريس A<br />

نشان مي دهيم و به عبارتي رتبه ماتريس A برابر با حداكثر تعداد بردارهاي مستقل خطي در<br />

R١,R<br />

٢,....,R m<br />

است.‏<br />

نكته‎1‎‏)‏ رتبه ماتريسA برابر با تعداد سطرهاي بزرگترين زير ماتريس مربع A است كه دترمينان آن ناصفر مي<br />

باشد بنابراين در صورتي كه دترمينان ماتريسA مخالف صفر باشد رتبه ماتريس برابر رتبه ماتريس است.‏<br />

نكته‎2‎‏)‏ با توجه به تعريف رتبه ماتريس يك روش براي تعيين رتبه ماتريس در صورتي كه<br />

دترمينان A<br />

برابر<br />

صفر شود اين است كه ماتريسA را به ماتريس بالا مثلثي تبديل كنيم در اين صورت تعداد عناصر مخالف صفر<br />

روي قطر اصلي رتبه ماتريس است.‏<br />

مثال:‏ رتبه ماتريس زير را تعيين كنيد.‏<br />

١<br />

٢ ۴ ١ ٢ ۴ ١ ٢<br />

A <br />

<br />

٣ ٠ ١<br />

<br />

<br />

det A ٣ ٠ ١ ٣ ٠ ( ٠<br />

٨ ۶٠)<br />

( ۶<br />

۵ ٠)<br />

۶٩<br />

٠<br />

<br />

۴ ۵ ١<br />

۴ ۵ ١ ۴ ۵<br />

بنابراين رتبه ماتريس برابر 3<br />

است

مثال:‏ رتبه ماتريس را تعيين كنيد<br />

٥٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

١<br />

٣ ١<br />

١ ٣ ١ ١ ٣<br />

A <br />

<br />

٢ ۶ ٢<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

det A ٢ ۶ ٢ ٢ ۶ ( ۶ ۶ ٠)<br />

( ۶ ٠<br />

۶)<br />

٠<br />

<br />

١ ٠ ١ <br />

١ ٠ ١ ١ ٠<br />

بنابراين رتبه ماتريس كمتر از 3<br />

است و تبديل به ماتريس بالا مثلثي ميكنيم.‏<br />

١ ٣ ١<br />

١<br />

٣ ١<br />

R٣<br />

R٢<br />

١<br />

٣ ١<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٢ ۶ ٢ R <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

R<br />

٠ ٠ ٠ ٣ R<br />

٢ ٢R<br />

٢<br />

١ R٢<br />

٠ ٣ ٢<br />

<br />

<br />

<br />

١ ٠ ١ <br />

R٣<br />

R١R<br />

٣ <br />

٠ ٣ ٢ <br />

<br />

٠ ٠ ٠ <br />

١<br />

A <br />

<br />

<br />

٣<br />

<br />

٢<br />

r(In ) n<br />

r(A) r(A<br />

T<br />

)<br />

٢ <br />

١<br />

٢<br />

۶<br />

R٢٣R<br />

<br />

<br />

١ R٢<br />

<br />

٠ ٠<br />

<br />

۴ <br />

R٣<br />

٢R١<br />

R٣<br />

<br />

٠ ٠<br />

r(A)<br />

n<br />

چون ماتريس برابر يك است جون تعداد عناصر روي قطر اصلي يكي است<br />

A ٠<br />

r(A)<br />

خواص رتبه ماتريس<br />

الف)‏ رتبه ماتريس واحد برابر مرتبه ماتريس واحد است<br />

ب)‏ رتبه ماتريس A با رتبه ترانهاده A برابر است يعني<br />

n<br />

پ)‏ اگر A ماتريس n×n باشد اگر A ٠<br />

است.‏<br />

باشد<br />

و اگر<br />

باشد<br />

است.‏<br />

ت)‏ رتبه حاصل ضرب دو ماتريس همواره نابيشتر از كوچكترين رتبه دو ماتريس است يعني<br />

r(AB)<br />

<br />

min r(A),r(B)<br />

بررسي تعداد جوابهاي دستگاه معادلات خطي AX=B با توجه به مفهوم رتبه ماتريس اگرA<br />

معادله خطي<br />

مجهولي باشد و<br />

ماتريس مركب BوA باشد رتبه ماتريس مركب<br />

ماتريس ضرايب<br />

را<br />

A<br />

B<br />

<br />

A<br />

B<br />

n<br />

<br />

دستگاه m<br />

با ( A B) r<br />

الف)‏ اگر<br />

نشان مي دهيم،‏ داريم.‏<br />

باشد آنگاه دستگاه داراي حداقل يك جواب است.‏<br />

r(A<br />

r(A<br />

B) r(A)<br />

ب)‏ اگر B) r(A) n<br />

پ)‏ اگر<br />

باشد انگاه دستگاه داراي يك جواب منحصر به فرد است.‏<br />

آنگاه دستگاه داراي بينهايت جواب و مجموعه سطرهاي ماتريس A وابسته خطي<br />

٣x<br />

٢y<br />

z ١<br />

<br />

x<br />

y z ٠<br />

<br />

x<br />

y ٢z<br />

٢<br />

٣<br />

٢<br />

١<br />

٣<br />

٢<br />

r(A<br />

r(A<br />

B) r(A) n<br />

است(‏‎٠‎ ( A <br />

ت)‏ اگر r(A) B) <br />

آنگاه دستگاه جواب ندارد.‏<br />

مثال:‏ در مورد حل پذيري دستگاه معادلات خطي زير تحقيق كنيد.‏<br />

ابتدا با استفاده از دستور ساروس دترمينان ماتريس ضرائب را بدست مي آوريم<br />

A ١ ١ ١ ١ ١ ( ۶ ٢ ( ١)<br />

( ۴ ( ٣)<br />

١)<br />

۵ ٠<br />

١ ١ ٢ ١ ١

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎55‎<br />

بنابراين r(A)=3<br />

را عوض مي كنيم.‏<br />

است يا به صورت زير(‏r(A تعيين مي كنيم براي سهولت در محاسبات جاي سطر دوم و اول<br />

١<br />

A <br />

<br />

<br />

٣<br />

<br />

١<br />

١<br />

٢<br />

١<br />

١<br />

١<br />

۵<br />

R٢<br />

٣R<br />

<br />

١ ٢ ٠<br />

<br />

R<br />

<br />

٢<br />

R<br />

٣ R١R<br />

٣ <br />

٠<br />

١<br />

١<br />

٢<br />

١ <br />

١<br />

٣ ٢<br />

٢ ٣<br />

٢<br />

R R R<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٠<br />

١ <br />

<br />

٠<br />

١<br />

١<br />

٠<br />

١ <br />

٢<br />

<br />

<br />

r(A) ٣<br />

۵ <br />

١<br />

١ ١ ٠<br />

١ ١ ٠<br />

١<br />

١ ٠<br />

A<br />

B<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٣ ٢ ١ ١<br />

<br />

٢ ١ ١ R<br />

<br />

٢ ٢R<br />

<br />

١ R<br />

<br />

٢<br />

<br />

٠ ١ ١<br />

<br />

<br />

١ ١ ٢ ٢<br />

<br />

١ ٢ ٢<br />

R <br />

٣ R١<br />

R٣<br />

<br />

٠ ٢ ٢<br />

١<br />

١ ٠<br />

<br />

R٣ ٣R٢<br />

R٣<br />

<br />

٠ ١<br />

١<br />

<br />

r(A B)<br />

٣<br />

<br />

٠ ٠ ۵<br />

بنابراين r(A B) r(A) n ٣<br />

در مورد حل پذيري دستگاه زير تحقيق كنيد.‏<br />

طبق قسمت ‏(ب)‏ دستگاه يك جواب منحصر به فرد دارد.‏<br />

x١<br />

٣x٢<br />

x٣<br />

۴<br />

<br />

٢x١<br />

۶x٢<br />

٢x٣<br />

٣<br />

<br />

<br />

٢x١<br />

۴x٢<br />

۶x٣<br />

۴<br />

١ ٣ ١<br />

١<br />

٣<br />

١<br />

٢ ٢ <br />

١ ٢ ٠ ٠ ٠<br />

<br />

A <br />

<br />

٢ ۶ ٢<br />

<br />

<br />

٢<br />

<br />

R R<br />

<br />

R<br />

<br />

r(A)<br />

<br />

٢ ۴ ۶<br />

٣ ٢<br />

١<br />

٣ <br />

٠ ٢<br />

٨<br />

<br />

R R R<br />

<br />

<br />

١<br />

A B<br />

<br />

٢<br />

<br />

٢<br />

<br />

٣<br />

۶<br />

۴<br />

١<br />

٢<br />

۶<br />

۴<br />

١<br />

٣<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٢<br />

۴ <br />

<br />

٢<br />

١<br />

٢<br />

۶<br />

۴<br />

١<br />

١ ۴<br />

٣<br />

R<br />

<br />

<br />

٣ ٢R<br />

<br />

١ R٢<br />

<br />

٠ ٠ ١١<br />

<br />

۴ R <br />

٣ ٢R١<br />

R٣<br />

<br />

٠ ٨ ۴<br />

R٣R٢<br />

١<br />

١ ۴<br />

R٣<br />

<br />

R٢<br />

<br />

<br />

٠ ٨ ۴<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

r(A B) ٣<br />

<br />

٠ ٠ ١١<br />

x١<br />

x٢<br />

x٣<br />

٣<br />

<br />

<br />

٢x١<br />

٢x٢<br />

٢x٣<br />

۶<br />

<br />

x١<br />

٢x٢<br />

٢x٣<br />

۵<br />

r(A<br />

بنابراين r(A) B) <br />

است و دستگاه جواب ندارد.‏<br />

در مورد حل پذيري دستگاه معادلات خطي زير تحقيق كنيد.‏

٥٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

١ ١ ١<br />

١<br />

١ ١<br />

٢ ٢ <br />

٢ ٢ ٢ ١ ٢ ٠ ٠ ٠<br />

<br />

A <br />

<br />

<br />

<br />

٢<br />

<br />

R R<br />

<br />

R<br />

<br />

r(A)<br />

<br />

١ ٢ ٢<br />

٣ ١<br />

٣ <br />

٠ ١ ١<br />

R R R<br />

<br />

<br />

١ ١<br />

A B<br />

<br />

٢ ٢<br />

<br />

١ ٢<br />

r(A B) ٢<br />

<br />

١<br />

٢<br />

٢<br />

r<br />

٣ ١<br />

۶<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٢<br />

۵ <br />

<br />

١<br />

١<br />

٢<br />

٢<br />

و دستگاه داراي بينهايت جواب است.‏<br />

٣ <br />

١<br />

١ ٣<br />

۶<br />

R<br />

<br />

<br />

٢ ٢R<br />

<br />

١ R٢<br />

<br />

٠ ٠ ٠<br />

<br />

۵ R <br />

٣ R١<br />

R٣<br />

<br />

٠ ١ ٢<br />

r(A) r(A B) ٢n<br />

بنابراين ٣<br />

R n<br />

f<br />

تابع خطي:‏<br />

تابعn متغير<br />

از فضاي برداري<br />

به فضاي برداري R m را كه به ازاي هر عدد حقيقي<br />

و هر دو تايي<br />

x١<br />

y١<br />

<br />

<br />

<br />

x٢<br />

<br />

y٢<br />

X , y <br />

.<br />

.<br />

<br />

<br />

<br />

xn <br />

<br />

y n <br />

از R n<br />

در دو شرط زير صدق كند را يك تابع خطي مي ناميم.‏<br />

f (x<br />

y) f (x) f (y)<br />

f (rx)<br />

rf (x)<br />

٣x٢<br />

<br />

x١<br />

<br />

f ( )<br />

<br />

<br />

۴x١<br />

<br />

x٢<br />

<br />

٢x١<br />

۵x٢<br />

<br />

<br />

2<br />

y١<br />

x١<br />

R باشند.‏<br />

y ,x<br />

<br />

y٢<br />

x٢<br />

٣(x٢<br />

y٢)<br />

<br />

x١<br />

y١<br />

x١<br />

y١<br />

<br />

<br />

1) f (x y) f ( )<br />

f ( )<br />

<br />

<br />

۴(x١<br />

y١)<br />

<br />

x٢<br />

y٢<br />

x٢<br />

y٢<br />

<br />

٢(x١<br />

y١)<br />

۵(x١<br />

y١)<br />

<br />

<br />

٣x٢<br />

٣y٢<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

۴x١<br />

<br />

<br />

<br />

۴y١<br />

<br />

f (x y) f (x) f (y)<br />

<br />

٢x١<br />

۵x٢<br />

<br />

<br />

<br />

٢y١<br />

۵y٢<br />

<br />

<br />

٣rx٢<br />

٣x٢<br />

<br />

x١<br />

rx١<br />

<br />

<br />

2) f (rx) f (r<br />

)<br />

f ( )<br />

f<br />

<br />

۴rx١<br />

<br />

r<br />

<br />

۴x١<br />

<br />

x٢<br />

rx٢<br />

<br />

٢rx١<br />

۵rx٢<br />

<br />

<br />

<br />

٢x١<br />

۵x٢<br />

<br />

<br />

rf (x)<br />

f (rx) rf (x)<br />

-1<br />

-2<br />

مثال:‏ نشان دهيد<br />

فرض<br />

در نتيجه شرط<br />

و 2 صادق است و<br />

دو تايي دلخواه در فضاي<br />

يك تابع خطي است<br />

يك تابع خطي است<br />

f<br />

1

x١<br />

<br />

<br />

<br />

x٢<br />

X <br />

.<br />

<br />

<br />

<br />

x n <br />

f<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎57‎<br />

n<br />

قضيه:‏<br />

m<br />

تابع<br />

از اعداد<br />

R R خطي است اگر و فقط اگر هر مولفه مقدار تابع<br />

باشد.‏<br />

در<br />

به صورت يك تركيب خطي<br />

f : R<br />

n<br />

R<br />

m<br />

X n ,.....,X٢,<br />

X ١<br />

از اين قضيه نتيجه مي شود كه اگر<br />

طوري كه f(x)=Ax كه ماتريس A يك ماتريس نمايشگر تابع خطي<br />

يك تابع خطي باشد آنگاه اعداد حقيقي وجود دارند به<br />

f است.‏<br />

f : R<br />

n<br />

R<br />

m<br />

نكته:‏ در صورتي كه<br />

باشد نمي تواند نشانگر يك تابع خطي باشد.‏ مانند<br />

داراي توان غير يك يا عدد ثابت يا توابع لگاريتمي توابع مثلثاتي و غيره<br />

x<br />

٢<br />

١ <br />

١)<br />

x٢<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

٣ <br />

٣<br />

x R<br />

x<br />

<br />

١ ١<br />

<br />

, ٣)<br />

x٢<br />

<br />

<br />

٢<br />

<br />

x٣<br />

<br />

sin x١<br />

<br />

<br />

٣)<br />

<br />

cosx٢<br />

,<br />

<br />

x٣<br />

<br />

<br />

x١x<br />

٢ <br />

<br />

۴)<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

<br />

<br />

تابع شماره يك چون x ١ داراي توان 2<br />

است<br />

تابع شماره دو چون داراي عدد ثابت است x ١ ١<br />

تابع شماره سه چون داراي نسبتهاي مثلثاتي است<br />

تابع شماره چهار چون ضرب x ١ x ٢<br />

مثال:‏ آيا تابع<br />

دارد<br />

يك تابع خطي است.‏ در اين صورت ماتريس نمايشگر آن را براي هر<br />

<br />

<br />

x١<br />

<br />

<br />

٢x<br />

x٣<br />

<br />

<br />

<br />

f ( x٢<br />

)<br />

<br />

<br />

x١<br />

۵x٢<br />

<br />

<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

x٣<br />

<br />

<br />

x٣<br />

<br />

<br />

٢<br />

A <br />

<br />

<br />

١<br />

<br />

١<br />

٠<br />

۵<br />

١<br />

١<br />

٠<br />

<br />

<br />

١<br />

<br />

f<br />

f : R<br />

٣<br />

R<br />

٣<br />

بنويسيد.‏<br />

تابع خطي است چون فقط جمع و تفريق بين x ها وجود دارد<br />

f : R<br />

٢<br />

R<br />

٣<br />

بنابراين ماتريس آن به صورت زير است.‏<br />

A نمايشگر<br />

١<br />

<br />

<br />

<br />

٢<br />

<br />

۵<br />

١<br />

۴<br />

<br />

<br />

٠<br />

فرض كنيد<br />

باشد ضابطه تعريف تابع خطي<br />

را تعيين كنيد.‏<br />

١<br />

x١<br />

f (x) f ( <br />

<br />

)<br />

<br />

٢<br />

x٢<br />

<br />

۵<br />

١<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

<br />

<br />

x <br />

۴ ١ <br />

<br />

<br />

<br />

٢x١<br />

۴x٢<br />

x٢<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

<br />

۵x١

تابع صفر:‏<br />

تابع<br />

را كه براي هر<br />

٥٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

x١<br />

٠<br />

<br />

<br />

x٢<br />

<br />

<br />

٠<br />

f ( <br />

<br />

)<br />

. ٠<br />

<br />

<br />

x<br />

<br />

٠<br />

n <br />

n<br />

x R<br />

x R به صورت زير تعريف مي شود را تابع صفر گويند.‏<br />

n<br />

I : R<br />

n<br />

R<br />

m<br />

f : R<br />

n<br />

R<br />

m<br />

تابع هماني:‏<br />

تابعي كه هيچ تغييري ايجاد نكند را تابع هماني گويند به عبارتي تابع<br />

به صورت زير مي باشد و ماتريس نمايشگر آن ماتريس واحد مرتبه n است.‏<br />

را كه براي هر<br />

x١<br />

x١<br />

<br />

<br />

<br />

x٢<br />

<br />

x٢<br />

<br />

I(<br />

<br />

) <br />

. .<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

n x n <br />

نكته:‏ جهت انجام اعمال جمع دو تايي و ضرب اسكالر يك تابع خطي كافيست آن اعمال را روي ماتريس<br />

(f g)x f (x) g(x)<br />

(kf )(x) kf (x)<br />

3y<br />

f+g<br />

g : R<br />

٢<br />

R<br />

٣<br />

f : R و<br />

٢<br />

R<br />

٣<br />

نمايشگر آنها انجام دهيم.‏<br />

مثال:‏ توابع خطي<br />

كنيد.‏<br />

را به صورت در نظر گرفته ايم توابع<br />

را تعيين و<br />

x١<br />

x٢<br />

٢x١<br />

x٢<br />

x١<br />

x١<br />

<br />

f ( )<br />

<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

<br />

g( )<br />

<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

<br />

x٢<br />

x٢<br />

۴x٢<br />

<br />

<br />

٣x١<br />

<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

٢x١<br />

x٢<br />

٣x١<br />

<br />

x١<br />

x١<br />

x١<br />

<br />

(f g)( )<br />

f ( )<br />

g( )<br />

<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

<br />

<br />

<br />

٢x١<br />

<br />

x٢<br />

x٢<br />

x٢<br />

<br />

۴x٢<br />

<br />

<br />

<br />

٣x١<br />

<br />

<br />

<br />

٣x١<br />

۴x٢<br />

<br />

<br />

٢x١<br />

x٢<br />

۶x١<br />

٣x٢<br />

<br />

x١<br />

<br />

( ٣g)<br />

٣<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

<br />

<br />

<br />

٣x١<br />

٣x٢<br />

x٢<br />

<br />

٣x١<br />

<br />

<br />

<br />

٩x١<br />

<br />

<br />

g : R<br />

n<br />

R<br />

m<br />

f : R<br />

n<br />

R<br />

m<br />

نكته:‏ براي بدست آوردن تركيب توابع خطي<br />

نمايشگر خطي آنها را بدست آوريم.‏<br />

مثال:‏ دو تابع خطي<br />

و<br />

كافي است ضرب ماتريسهاي<br />

g را با ضابطه هاي تعريف شده زير در نظر بگيريد.‏<br />

٣x١<br />

<br />

x١<br />

<br />

f ( )<br />

<br />

<br />

x١<br />

٢x٢<br />

x٢<br />

<br />

x٢<br />

<br />

<br />

: R<br />

x١<br />

x١<br />

x٢<br />

<br />

<br />

g(<br />

<br />

x٢<br />

<br />

) <br />

<br />

x٢<br />

x٣<br />

<br />

<br />

x٣<br />

<br />

<br />

<br />

x١<br />

٣x٢<br />

<br />

<br />

٢<br />

R<br />

٣<br />

f : R و<br />

٢<br />

R<br />

٣

١<br />

١ ٠<br />

٣<br />

٠ x١<br />

<br />

x١<br />

<br />

<br />

<br />

gof<br />

<br />

<br />

<br />

٠ ١ ١<br />

<br />

١ ٢<br />

<br />

x٢<br />

<br />

x٢<br />

<br />

١ ٣ ٠<br />

<br />

٠ ١ <br />

<br />

.<br />

<br />

<br />

٢<br />

٢ ٢x١<br />

٢x٢<br />

x١<br />

<br />

<br />

١ ١<br />

<br />

<br />

<br />

x١<br />

x٢<br />

<br />

x٢<br />

۶<br />

۶<br />

<br />

۶x١<br />

۶x٢<br />

<br />

<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎59‎<br />

I(x)<br />

تابع مركب gof<br />

نكته:‏ در صورتي<br />

را بدست آوريد.‏<br />

باشد تابع يك به يك است و وارون پذير است.‏<br />

x١<br />

x١<br />

٢x٢<br />

x١<br />

٧x١<br />

٢x٢<br />

<br />

f ( )<br />

, g( )<br />

<br />

x٢<br />

٣x١<br />

٧x٢<br />

x٠<br />

<br />

٣x١<br />

x٢<br />

١<br />

٢<br />

٧ ٢<br />

١<br />

٠<br />

fog(x) <br />

<br />

٣<br />

٧<br />

٣ ١ ٠<br />

١<br />

٧ ٢<br />

١ ٢<br />

١<br />

٠<br />

gof (x) <br />

<br />

<br />

٣ ١ ٣<br />

٧<br />

٠<br />

١<br />

gof fog(x)<br />

مثال:‏ آيا دو تابع خطي زير وارون يكديگرند.‏<br />

بنابراين تابع fوg وارون يكديگرند.‏<br />

مقادير ويژه و بردارهاي ويژه<br />

فرض كنيد x وy دو ماتريس ستوني ‏(بردار)‏ غير صفر و عدد حقيقي غيرصفر باشد.‏ اگر در رابطه Ax=y و<br />

را يك مقدار ويژه و x را بردار ويژه ماتريس A گويند.‏<br />

Ax<br />

y<br />

Ax x<br />

Ax Inx<br />

٠<br />

(A In<br />

)x ٠<br />

y<br />

x<br />

A I<br />

مقدار ويژه و X بردار ويژه مي باشد در معادله ) x ٠<br />

( n صدق مي كند شرط وجود جواب<br />

باشد<br />

باشد.‏ y=x<br />

بنابراين <br />

غيربديهي براي دستگاه معادلات فوق آن است كه<br />

. A I n ٠<br />

٢<br />

٣<br />

<br />

مثال :<br />

۴<br />

٣<br />

٢<br />

٣<br />

١<br />

٠<br />

٢<br />

٣ <br />

A I n <br />

<br />

<br />

۴<br />

٣<br />

٠<br />

١<br />

۴ ٣ <br />

٢<br />

٣ <br />

A In<br />

<br />

٠<br />

٢ ٣ ۴<br />

٣ ٠<br />

۴ ٣<br />

( )( ) ( )<br />

<br />

<br />

٢<br />

۵ ۶ ١٢<br />

٠ <br />

٢<br />

۵ ۶ ٠<br />

( ١)(<br />

۶)<br />

٠<br />

١ , ۶<br />

مقادير ويژه ماتريس<br />

A را بدست آوريد.‏

نكته:‏<br />

٦٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

را معادله مشخصه مقادير ويژه گويند و مي توان نتيجه گرفت مجموع مقادير ويژه برابر<br />

ماتريس<br />

A<br />

n<br />

i<br />

i١<br />

دترمينان A<br />

tr(A)<br />

A I n<br />

n<br />

i<br />

A<br />

i١<br />

٠<br />

اثر<br />

است<br />

بنابراين مي توان گفت معادله مشخصه ماتريس<br />

و حاصل ضرب مقادير ويژه برابر<br />

به صورت زير است.‏<br />

است<br />

<br />

٢<br />

tr(A) A ٠<br />

ويژه A<br />

2×2<br />

طريقه بدست آوردن بردار ويژه:‏<br />

براي هر <br />

مي توان يك بردار ويژه بدست آورد اين بردارها را بردارهاي<br />

بردارهاي ويژه كافيست مقادير<br />

را در رابطه معادله مشخصه ماتريس A يعني<br />

گويند براي بدست آوردن<br />

( A In قرار دهيم و<br />

) x ٠<br />

۴<br />

٣<br />

A <br />

١<br />

٢<br />

۴ ٣<br />

A I<br />

٠ ٠<br />

٢<br />

n <br />

۶ ۵ ٠ ١<br />

١,<br />

٢<br />

۵<br />

١ ٢ <br />

دستگاه بدست آمده را حل كنيم.‏<br />

مثال:‏ مقادير ويژه و بردار ويژه ماتريس<br />

هر بردار به صورت<br />

هر بردار به صورت<br />

بردار ويژه نظير‎1‎‏=‏ است مثلاً‏<br />

بردار ويژه نظير=5‎ است مثلاً‏<br />

نكته:‏ همانگونه مشاهده مي شود براي هر مقدار <br />

مثال:‏ مقدارهاي ويژه و بردارهاي ويژه ماتريس<br />

را بدست آوريد<br />

۴ ١ ٣ x<br />

٠<br />

٣x<br />

٣y<br />

٠<br />

١<br />

١<br />

<br />

x y<br />

١ ٢ ١ y<br />

<br />

٠<br />

x<br />

y ٠<br />

١<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

١<br />

x<br />

۴<br />

١ ٣ x<br />

<br />

x ٣y<br />

٠<br />

٢ ١<br />

<br />

٠<br />

x ٣y<br />

١ ٢ ١<br />

<br />

y<br />

<br />

<br />

١x<br />

٣y<br />

٠<br />

x<br />

<br />

۶<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

٢<br />

<br />

<br />

٣ <br />

بردارهاي ٠<br />

٢<br />

١ ١<br />

A <br />

<br />

<br />

٢ ٣ ٢<br />

<br />

<br />

٣ ٣ ۴<br />

٢ ١ ١<br />

A In<br />

٠<br />

٢ ٣ ٢ ٠ ٩<br />

٢<br />

١۵ ٧ ٠ ١<br />

١,<br />

٢<br />

۵<br />

٣ ٣ ۴ <br />

x بدست آورد كه همگي با هم موازيند<br />

را بدست آوريد.‏<br />

١<br />

١<br />

<br />

( ٧)(<br />

<br />

٢<br />

٢ ۴)<br />

٠<br />

( ٧)(<br />

١)<br />

٢<br />

٠<br />

٢<br />

١<br />

<br />

٣<br />

٧<br />

(<br />

٢ i<br />

)x١<br />

x٢<br />

x٣<br />

٠<br />

<br />

A In<br />

٠<br />

٢x١<br />

( ٣ i<br />

)x٢<br />

٢x٣<br />

٠<br />

<br />

٣x١<br />

٣x٢<br />

( ۴ i<br />

)x٣<br />

٠

و‎3‎<br />

و-‏<br />

1) و-‏ و‎0‎<br />

1<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎61‎<br />

١ x٢<br />

x٣<br />

٠<br />

=1 2 مي توان 1)<br />

براي =1 1 <br />

يك بردار ويژه براي<br />

معادله اول به صورت<br />

است و همچنين براي<br />

x مي شود بنابراين )<br />

در معادله صدق مي كند و<br />

‎0‎و‎1‎‏)‏ را به عنوان يك بردار ويژه در نظر<br />

<br />

۵x١<br />

x٢<br />

x٣<br />

٠<br />

<br />

٢x١<br />

۴x٢<br />

٢x٣<br />

٠<br />

<br />

٣x١<br />

٣x٢<br />

٣x٣<br />

٠<br />

1 =1<br />

3 =7<br />

گرفت.‏<br />

و به ازاي<br />

دستگاه را به يك روش دلخواه حل كنيم<br />

<br />

۵ ١ ١ x١<br />

٠<br />

<br />

A <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٢ ۴ ٢<br />

<br />

x٢<br />

<br />

٠<br />

<br />

<br />

٣ ٣ ٣<br />

<br />

x٣<br />

<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

<br />

۵ ١ ١ <br />

<br />

۵ ١ ١<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٢ ۴ ٢ ۵R<br />

<br />

٢ ٢R١<br />

R٢<br />

<br />

٠ ١٨ ١٢<br />

<br />

<br />

٣ ٣ ٣<br />

۵R<br />

<br />

٣ ٣R٢<br />

R٣<br />

<br />

٠ ١٨ ١٢<br />

<br />

<br />

۵ ١ ١ x١<br />

٠<br />

R<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

٣<br />

R<br />

٢ R٣<br />

<br />

٠ ١٨ ١٢<br />

<br />

x٢<br />

<br />

٠<br />

<br />

<br />

٠ ٠ ٢۴<br />

<br />

x٣<br />

<br />

<br />

<br />

٠<br />

<br />

<br />

٢<br />

۵ ١<br />

<br />

۵x١<br />

x٢<br />

x٣<br />

٠ ۵x١<br />

x٣<br />

x٣<br />

٠<br />

۵x١<br />

x٣<br />

x x٢<br />

٣<br />

٣ ٣<br />

<br />

<br />

١٢x<br />

٢<br />

<br />

١٨x<br />

١٢ ٠<br />

<br />

٣<br />

٢ x٣<br />

x٢<br />

x٣<br />

<br />

١٨ ٣<br />

٢۴x٣<br />

٠<br />

<br />

<br />

١ ١<br />

)<br />

x١<br />

x٢<br />

x٣<br />

٢ ٣<br />

بنابراين<br />

از دو بردار ويژه ديگر است.‏<br />

است و مي توان نتيجه گرفت<br />

‎2‎و‎1‎‏)‏ يك بردار ويژه براي‎7‎‏=‏ است كه مستقل

٦٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

تابع چند متغيره:‏<br />

تابع<br />

را كه قلمرو آن زير مجموعه اي از<br />

فصل پنجم<br />

توابع چند متغيره<br />

و برد آن زير مجموعه اي از اعداد حقيقي R باشد يك تابع n<br />

f : R<br />

n R<br />

f (x, y)<br />

x<br />

٣<br />

y<br />

۴<br />

۶<br />

R n<br />

f : R<br />

٢ R<br />

f<br />

متغيره مي ناميم.‏<br />

مثال : تابع<br />

مثال:‏ تابع<br />

با ضابطه تعريف<br />

با ضابطه تعريف<br />

يك تابع دو متغيره است.‏<br />

f x) يك تابع سه متغيره است<br />

١<br />

١,x<br />

٢,x٣<br />

) x١<br />

x١x<br />

٢ x٣<br />

c<br />

R n<br />

f : R<br />

٣ R<br />

اعمال جبري بر روي توابع چند متغيره:‏<br />

x<br />

n<br />

اگر g,f<br />

شود.‏<br />

دو تابع<br />

متغيره باشند آنگاه هر<br />

از<br />

و هر عدد حقيقي<br />

اعمال جبري به صورت زير تعريف مي<br />

١)( f g)x f (x) g(x)<br />

٢)( kf )(x) kf (x)<br />

٣)( f.g)x f (x)g(x)<br />

f f (x)<br />

۴)( )(x) <br />

g g(x)<br />

f<br />

g<br />

g,f<br />

f.g<br />

f-g<br />

دامنه تعريف توابع f+g<br />

هاي<br />

و<br />

است بجز نقاطي كه<br />

و<br />

برابر با اشتراك دامنه هاي<br />

و تابع<br />

دامنه تعريف برابر با<br />

است و دامنه تعريف<br />

دارد<br />

برابر اشتراك دامنه<br />

<br />

<br />

f<br />

kf<br />

g(x)=0<br />

( x١,x<br />

٢,.......xn<br />

)<br />

g,f<br />

دامنه تعريف ‏(قلمرو):‏<br />

مقاديري از n تايي<br />

مثال:‏ دامنه تعريف تابع<br />

كه در ضابطه تابع تعريف شده باشند را دامنه تعريف گويند.‏<br />

<br />

(x, y) x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

٩ ٠<br />

<br />

(x, y) x<br />

(x, y) x<br />

۵y<br />

٠<br />

<br />

٠,<br />

y ٠<br />

f<br />

g<br />

(y f ,x) را بدست آوريد.‏<br />

<br />

x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

٩<br />

بايستي زير راديكال بزرگتر مساوي صفر باشد<br />

f (x, y)<br />

<br />

x<br />

۶<br />

۵<br />

y<br />

مثال:‏ دامنه تعريف تابع<br />

بايستي مخرج مخالف صفر باشد.‏<br />

مثال:‏ قلمرو تابع<br />

را پيدا كنيد.‏<br />

f (x, y) ۵ x ۶ را پيدا كنيد<br />

x <br />

y<br />

دامنه تعريف نقطه اشتراك‎٠‎ ٠ <br />

است در واقع ناحيه اول محورهاي مختصات<br />

f-g و f+g توابع g(x,<br />

y)<br />

x<br />

٢<br />

y<br />

٣<br />

, y<br />

f (x, y)<br />

۶ x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

مثال:‏ تابع<br />

و<br />

و<br />

را بدست آوريد.‏<br />

( f g)(x, y) f (x, y) g(x, y) f g : R<br />

٢<br />

R

و‎0‎<br />

( f g)(x, y) ۶<br />

x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

y<br />

٣<br />

۶<br />

y<br />

٢<br />

y<br />

٣<br />

( f g)(x, y) ۶ x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

(x<br />

٢<br />

y<br />

٣<br />

) ۶ ٢x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

y<br />

٣<br />

f<br />

(x, y) : R<br />

g<br />

f<br />

(x, y)<br />

g<br />

(x,y)<br />

limf (x, y)<br />

x<br />

٢<br />

y<br />

٣<br />

<br />

R<br />

٢<br />

٠<br />

۶ x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

<br />

x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

L برابر (a,b)<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎63‎<br />

f<br />

حد توابع چند متغيره:‏<br />

فرض كنيم f<br />

به نقطه<br />

يك تابع دو متغيره باشد.‏ گويند حد تابع<br />

نزديك شود مقدار<br />

در نقطه<br />

به عدد حقيقي L نزديك شود به عبارتي<br />

است،‏ اگر هنگامي نقطه<br />

L<br />

( x, y) (a,b)<br />

P 0<br />

f<br />

R n<br />

P 0<br />

f(x,y)<br />

f<br />

n<br />

(a,b)<br />

بنابراين مي توان گفت تابع<br />

متغيره<br />

تعريف شده است اگر به ازاي هر ٠<br />

در نقطه<br />

بتوان<br />

در<br />

P٠, را چنان يافت كه<br />

مفروضند و تابع<br />

در يك همسايگي اطراف<br />

٠<br />

P٠,<br />

٠<br />

٠<br />

P P٠<br />

f (P) L <br />

٠ براي تابع دو متغيره<br />

٠<br />

٠<br />

(x a)<br />

٢<br />

(y b)<br />

٢<br />

<br />

F(x, y)<br />

L <br />

لازم به توضيح است كه براي توابع n متغيره همانند تعريف بالا عمل مي شود با اين تفاوت كه در حالت دو<br />

P 0<br />

P٠ (x١,x<br />

٢,.......xn<br />

)<br />

متغيره به جاي (a,b) ٠ P <br />

و در حالت n متغيره<br />

در نظر گرفته مي شود.‏<br />

نكته:‏ حد توابع چند متغير در صورت وجود منحصر به فرد است حال اگر از دو مسير متفاوت به<br />

مقدار حد برابر نشود مي توان نتيجه گرفت كه حد موجود نيست.‏<br />

مثال:‏ حد تابع<br />

را در<br />

بررسي كنيد.‏<br />

نزديك و<br />

limf (x, y)<br />

(x, y)<br />

limf (a, y)<br />

(0<br />

)<br />

f (x, y)<br />

y<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

<br />

y<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

براي حل y را برابر mx فرض مي كنيم و بايستي به يك عدد منحصر به فرد برسيم و m وابسته نباشد.‏<br />

y<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

(mx)<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

(m<br />

٢<br />

١)<br />

m<br />

٢<br />

١<br />

lim lim<br />

lim <br />

y<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

(mx)<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

(m<br />

٢<br />

١)<br />

m<br />

٢<br />

١<br />

( ٠,<br />

٠)<br />

(x, y) ( ٠٠ , ) x ٠ x ٠<br />

حال به ازاي m هاي مختلف بايد يك نتيجه حاصل شود<br />

-1<br />

اگر 0=m<br />

قضيه:‏<br />

باشد حد برابر<br />

اگر حد تابع دو متغيره<br />

و اگرm=1‎ باشد حد برابر صفر است بنابراين تابع داراي حد نيست.‏<br />

L limf (x, y) L<br />

,limf (x, y)<br />

( x, y) (a,b) (a, y) (a,b) , (x,b) <br />

(a,b)<br />

در نقطه (a,b) برابر L<br />

باشد آنگاه<br />

L<br />

(a,b)<br />

x=a , y=b در مسيرهاي (x,y)<br />

f<br />

است كه مفهوم آن به صورت زير مي باشد<br />

حد تابع وقتي كه نقطه<br />

اين قضيه صادق نيست<br />

به نقطه<br />

ميل كند برابر با L است ولي عكس<br />

f

و‎0‎<br />

و‎0‎<br />

و‎0‎<br />

و‎3‎<br />

مثال:‏ حد تابع<br />

را در نقطه<br />

٦٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

limf (x, y)<br />

بدست آوريد.‏<br />

lim۶x<br />

٢<br />

٣y<br />

۶<br />

١<br />

٢<br />

٣ ٣ ٣<br />

( x, y) ( ١,<br />

٣)<br />

(a, y) ( ١,<br />

٣)<br />

limf (x, y)<br />

( x, y) ( ٠,<br />

٠)<br />

۴(<br />

٠)<br />

٣<br />

۵(<br />

٠)<br />

٢<br />

<br />

<br />

( ٠)<br />

٣<br />

( ٠)<br />

٢<br />

(1<br />

)<br />

(0<br />

)<br />

f (x, y) ۶x<br />

٢ ٣y<br />

f (x, y)<br />

۴x<br />

٣<br />

۵y<br />

٢<br />

<br />

x<br />

٣<br />

y<br />

٢<br />

حد تابع<br />

را در نقطه<br />

در صورت وجود بدست آوريد.‏<br />

٠<br />

٠<br />

مبهم<br />

۴x<br />

٣<br />

۵x<br />

limf (x, ٠)<br />

lim ٠ lim۴<br />

۴<br />

x<br />

٣<br />

٠<br />

( x, y) ( ٠,<br />

٠)<br />

(x, ٠)<br />

( ٠,<br />

٠)<br />

۴(<br />

٠)<br />

٣<br />

۵y<br />

٢<br />

limf ( ٠,<br />

y) lim<br />

lim( ۵)<br />

۵<br />

( ٠)<br />

٣<br />

y<br />

٢<br />

( ٠,<br />

y) ( ٠٠ , )<br />

( ٠,<br />

y) ( ٠,<br />

٠)<br />

limf (x, y)<br />

)<br />

limf (x, ٠)<br />

limf ( ٠,<br />

چون (y<br />

بنابراين تابع در<br />

0) حد ندارد<br />

( x, ٠)<br />

( ٠٠ , ) ( ٠,<br />

y) ( ٠,<br />

٠)<br />

<br />

<br />

lim lim<br />

f (x, y) <br />

xy<br />

<br />

yb<br />

<br />

تعريف:‏<br />

كرده سپس حد را وقتي x پيدا مي كنيم<br />

نكته:‏ اگر<br />

يعني ابتداx را ثابت فرض كرده و<br />

آنگاه تابع<br />

را در صورت وجود حساب<br />

در نقطه (a,b) حد ندارد.‏<br />

٠<br />

٣<br />

٠<br />

limf (x, y) <br />

٠<br />

٣<br />

٠<br />

٣ ٠<br />

( x, y) ( ٠,<br />

٠)<br />

٠<br />

٣ <br />

lim limf (x,<br />

۴<br />

٠<br />

٣<br />

x <br />

x ٠ y ٠ x ٠<br />

y<br />

٣ <br />

lim limf (x,<br />

٠<br />

۴ ٣<br />

y <br />

y ٠ x ٠ y ٠<br />

f<br />

<br />

<br />

<br />

lim lim<br />

f (x, y) lim lim<br />

f (x, y) <br />

xa<br />

<br />

yb<br />

<br />

yb<br />

xa<br />

<br />

y<br />

٣<br />

(0 ) f (x, y) <br />

x<br />

۴<br />

y<br />

٣<br />

مثال:‏ حد تابع<br />

در نقطه<br />

در صورت وجود بدست آوريد.‏<br />

مبهم<br />

y) <br />

lim<br />

٠<br />

y<br />

٣ <br />

٣<br />

y <br />

y) <br />

lim<br />

lim<br />

١

و‎0‎<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎65‎<br />

<br />

<br />

<br />

lim lim<br />

f (x, y) lim lim<br />

f (x, y) <br />

y٠<br />

x٠<br />

x٠<br />

y٠<br />

<br />

چون ‎٠به ١ عبارتي<br />

قضيه هاي حد توابع چند متغيره:‏<br />

اگر حد توابع دو متغيره<br />

در نقطه<br />

وجود داشته باشد.‏ آنگاه<br />

تابع حد ندارد<br />

١) lim(f g)(x, y) limf (x, y) limg(x, y)<br />

( x, y) (a,b) (x, y) (a,b) (x, y) (a,b)<br />

٢) lim(kf )(x, y) k limf (x, y)<br />

( x, y) (a,b) (x, y) (a,b)<br />

٣) lim(fg)(x, y) limf (x, y limg(x, y)<br />

<br />

( x, y) (a,b) (x, y) (a,b) (x, y) (a,b)<br />

limf (x,y)<br />

f (x,y) (a,b)<br />

۴)lim(<br />

)(x, y) , limg(x,y)<br />

٠<br />

g limg(x,y)<br />

(x,y) (a,b)<br />

(x, y) (x, y<br />

lim( g.f )<br />

limg(f (x, y)) g(L)<br />

( x, y) (a,b) (x, y) (a,b)<br />

x<br />

limLn(e<br />

٢<br />

. ) limLn(e<br />

٢<br />

<br />

y<br />

(a,b)<br />

نكته:‏ اگر حد تابع و مقدار تابع برابر باشند تابع در نقطه مورد نظر پيوسته است<br />

e<br />

)<br />

١<br />

در L<br />

g,f<br />

lim f (x,y) L<br />

(x,y) (a,b)<br />

قضيه:‏<br />

مثال:‏ مقدار<br />

و تابع يك متغيره g<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

پيوسته باشد آنگاه<br />

Ln(e<br />

٢<br />

e)<br />

(a,b)<br />

limL<br />

n (e<br />

٢<br />

<br />

x<br />

)<br />

y<br />

( x, y) (e, ١)<br />

نكته:‏ تابع دومتغيره f<br />

الف)تابع<br />

در نقطه<br />

در نقطه<br />

تعريف شده باشد<br />

پيوسته است اگر سه شرط زير برقرار باشد<br />

(0<br />

f(a,b)<br />

(a,b)<br />

f<br />

ب)‏ y) limf (x,<br />

وجود داشته باشد.‏ يعني<br />

معين باشد.‏<br />

)<br />

f (x, y)<br />

xy<br />

٢x<br />

٢<br />

<br />

x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

<br />

٠<br />

limf (x, y)<br />

( x, y) (a,b)<br />

( x, y) (a,b)<br />

پ)‏ (a,b) f<br />

مثال:‏ آيا با ضابطه تعريف<br />

در نقطه<br />

پيوسته است

چون<br />

٦٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

٠<br />

٢x<br />

٢<br />

lim limf (x,<br />

x<br />

٢<br />

٠<br />

x ٠ y ٠ x ٠<br />

٠<br />

٠<br />

lim limf (x,<br />

٠<br />

٢ <br />

y<br />

y) <br />

lim ٢<br />

y) <br />

lim ٠<br />

y ٠ x ٠ y ٠<br />

٢ ٠<br />

مثال:‏ آيا تابع دو متغيره<br />

نيست بنابراين تابع حد ندارد و پيوسته نيست<br />

h(x,<br />

y) cos(x<br />

٢ ٢y)<br />

x<br />

٢ ٢y<br />

پيوسته است<br />

چون تابع يك چند جمله اي است و پيوسته است و تابع<br />

طبق قضيه قبل اين تابع پيوسته است<br />

پيوسته است و<br />

g(z)<br />

cosz<br />

نيز پيوسته است بنابراين<br />

. g.f=h بنابراين g(z)<br />

cosz<br />

f (x, y) x<br />

٢ ٢y<br />

f<br />

( g(a,b) ٠)<br />

,f.g,f g<br />

g<br />

(a,b) gوf<br />

نكته :<br />

(a,b)<br />

در صورتي كه توابع<br />

نيز پيوسته در نقطه<br />

مشتقهاي جزئي<br />

اگر در تابع n متغيره<br />

f<br />

در نقطه<br />

پيوسته هستند.‏<br />

پيوسته است.‏<br />

پيوسته باشند در اين صورت توابع<br />

نيز پيوسته است<br />

تمام متغيرها به جز يكي از آنها را ثابت نگه داريم و مانند يك عقيقي در نظر بگيريم<br />

تابعي يك متغيره خواهيم و مشتق آن مانند توابع يك متغيره مي باشد.‏ كه مشتق اين تابع يك متغيره را يك<br />

مشتق جزئي تابع<br />

مشتق نسبت به x<br />

f<br />

مي ناميم و به صورت زير تعريف مي شود.‏<br />

f<br />

f (x h, y) f (x, y)<br />

fx<br />

lim<br />

و y<br />

x<br />

h٠<br />

h<br />

f<br />

f (x, y h) f (x, y)<br />

fy<br />

lim<br />

و x<br />

y<br />

h٠<br />

h<br />

. f (x, y) x<br />

٢ ۴y<br />

Y<br />

مشتق نسبت به y<br />

ها عدد ثابت فرض شود<br />

ها عدد ثابت فرض شود<br />

مثال:‏ مشتق هاي جزئي مرتبه اول تابع<br />

ها عدد ثابت فرض مي شود و نسبت به x مشتق مي گيريم<br />

xها عدد ثابت فرض مي شود و نسبت به y مشتق مي گيريم<br />

مشتقهاي جزئي مرتبه بالاتر :<br />

را بدست آوريد<br />

همانگونه در توابع يك متغيره از يك تابع مي توانستيم تا چند مرتبه مشتق بگيريم در توابع<br />

f<br />

f x ٢x<br />

x<br />

f<br />

f y ۴<br />

y<br />

n<br />

توان در صورت امكان چندين مرحله مشتق جزئي محاسبه كرد.‏ كه به صورت زير تعريف مي شود.‏<br />

يعني دو بار نسبت به x مشتق بگيريم.‏<br />

يعني دو بار نسبت به y مشتق بگيريم.‏<br />

متغير نيز مي<br />

<br />

٢<br />

f f<br />

f xx ( )<br />

x<br />

٢ x<br />

x<br />

<br />

٢<br />

f f<br />

f yy ( )<br />

y<br />

٢ y<br />

y

٢<br />

f<br />

f yx <br />

xy<br />

<br />

٢<br />

f<br />

f xy <br />

yx<br />

f<br />

( )<br />

x<br />

y<br />

f<br />

( )<br />

y<br />

x<br />

f (x, y)<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎67‎<br />

يعني ابتدا نسبت به y مشتق بگيريم سپس نسبت به x<br />

يعني ابتدا نسبت به x مشتق بگيريم سپس نسبت به y<br />

مشتقات مرتبه بالاتر نيز به همين ترتيب تعريف مي شوند.‏<br />

x<br />

٣<br />

٣x<br />

٢<br />

y y<br />

٢<br />

۴y<br />

٣<br />

مشتقات جزئي مرتبه اول و دوم تابع<br />

را بدست آوريد.‏<br />

f<br />

f x ٣x<br />

٢ ۶xy<br />

x<br />

f<br />

f ٣x<br />

٢<br />

٢y<br />

١٢y<br />

٢<br />

y <br />

y<br />

<br />

٢<br />

f<br />

f xx ۶x<br />

۶x<br />

vx<br />

٢<br />

<br />

٢<br />

f<br />

f yy ٢ ٢۴y<br />

y<br />

٢<br />

<br />

٢<br />

f <br />

f yx ( ٣x<br />

٢<br />

٢y<br />

١٢y<br />

٢<br />

) ۶x<br />

xy<br />

x<br />

<br />

٢<br />

f <br />

f xy ( ٣x<br />

٢ ۶xy)<br />

۶x<br />

yx<br />

y<br />

(a,b)<br />

f yx<br />

f xy<br />

fyx fxy<br />

yوx<br />

قضيه:‏ اگر f<br />

تابعي با دو متغيره با متغيرهاي<br />

باشد و توابع<br />

در نقطه و<br />

پيوسته باشند آنگاه<br />

fxy<br />

(a,b) fyx(a,b)<br />

ديفرانسيل كل تابع:‏<br />

در صورتي كه f<br />

مي شود.‏<br />

تابعي دو متغيره و مشتقات مرتبه اول آن موجود باشد ديفرانسيل كل تابع به صورت زير تعريف<br />

f<br />

f<br />

df .dx .dy<br />

x<br />

x<br />

ديفرانسيل كل توابع بيش از دو متغير نيز به همين ترتيب تعريف مي شود مثلاً‏ اگر g تابعي چهار متغيره باشد<br />

g<br />

g<br />

g<br />

g<br />

dg .dx .dy dz .dt<br />

x<br />

y<br />

z<br />

t<br />

f<br />

f<br />

٣x<br />

٢ <br />

<br />

۴y<br />

x<br />

y<br />

f (x, y)<br />

ديفرانسيل كل به صورت زير بدست مي آيد.‏<br />

x<br />

٣<br />

٢y<br />

٢<br />

مثال:‏ ديفرانسيل كل تابع<br />

را بدست آوريد.‏

٦٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

f<br />

f<br />

df .dx .dy ٣x<br />

٢ dx ۴ydy<br />

x<br />

y<br />

dy=0/2<br />

dx=0/1 y=2<br />

x=1<br />

f (x, y) x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

مثال:‏ ديفرانسيل كل تابع ٣xy<br />

محاسبه كنيد.‏<br />

را وقتي كه<br />

و<br />

و<br />

است را<br />

f<br />

f<br />

٢x<br />

٣y<br />

٢y<br />

٣x<br />

x<br />

y<br />

dy ٠/<br />

٢<br />

f<br />

f<br />

dx ٠/<br />

١<br />

df .dx .dy df ( ٢<br />

١<br />

٣ ٢)<br />

٠/<br />

١<br />

( ٢<br />

٢ ٣ ١)<br />

٠/<br />

٢<br />

x<br />

y<br />

x ١<br />

y ٢<br />

df ٠ / ۴ ٠/<br />

٢ ٠/<br />

٢<br />

dx<br />

dx .dt<br />

dt<br />

t<br />

نكته:‏ در صورتي f<br />

تابعي از دو متغير yوx باشد و متغيرهاي yوx تابعي از<br />

باشند در اين صورت داريم:‏<br />

dy<br />

,dy .dt<br />

dt<br />

f (t<br />

٢<br />

, ٣t,t<br />

٣<br />

) x<br />

٢<br />

٢y<br />

٢<br />

z<br />

٣<br />

مثال:‏ ديفرانسيل كل تابع<br />

جواب:‏ با توجه به سوال<br />

است<br />

را بدست آوريد.‏<br />

x<br />

dx .dt ٢tdt<br />

t<br />

f<br />

f<br />

f<br />

dy ٣dt<br />

df .dx .dy dz<br />

x<br />

y<br />

z<br />

dz ٣t<br />

٢<br />

dt<br />

df ( ٢ x).( ٢ tdt) ( ۴ y)( ٣ dt) ( ٣ z<br />

٢<br />

)( ٣ t<br />

٢<br />

)<br />

df ۴t<br />

٣<br />

dt ٣۶tdt<br />

٩t<br />

٨<br />

dt<br />

df ( ٩t<br />

٨<br />

۴t<br />

٣<br />

٣۶t)dt<br />

f<br />

t<br />

y,x<br />

z t<br />

٣<br />

, y ٣t,x<br />

t<br />

٢<br />

yوx<br />

:t<br />

مشتق كل تابع f<br />

نسبت به<br />

در صورتي كه F تابعي از دو متغير<br />

نسبت به<br />

از رابطه<br />

باشد و متغيرهاي<br />

تابعي از<br />

باشند در اين صورت مشتق كل تابع<br />

f<br />

<br />

t<br />

f<br />

f<br />

dx<br />

.<br />

x<br />

dt<br />

<br />

f<br />

dy<br />

.<br />

y<br />

dt<br />

z cost, y e<br />

t<br />

بدست مي آيد.‏ براي توابع n متغيره n٢<br />

نيز به همين ترتيب تعريف مي شود.‏<br />

x sin t و<br />

f (x, y,z)<br />

xy yz xz<br />

t<br />

مثال:‏ فرض كنيد<br />

به<br />

را بدست آوريد.‏<br />

كه در آن<br />

مشتق كل<br />

نسبت<br />

f<br />

f<br />

dx f<br />

dy f<br />

dz<br />

. . .<br />

t<br />

x<br />

dt y<br />

dt z<br />

dt<br />

df<br />

(y z)(cost) (x z)(e<br />

t<br />

) (y x)( sin t)<br />

dt<br />

df<br />

(cost e<br />

t<br />

)cos t (sin t cos t)e<br />

t<br />

(e<br />

t<br />

sin t)( sin t)<br />

dt<br />

t

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎69‎<br />

df cos<br />

٢<br />

t ٢e<br />

t cost sin<br />

٢ t<br />

dt<br />

قاعده زنجيره اي براي توابع چند متغيره:‏<br />

y,x<br />

اگر f<br />

تابعي دو متغيره از<br />

به متغيرهاي VوU برابر است با<br />

باشد و y,x توابعي از دو متغير VوU باشند آنگاه مشتق جزئي مرتبه اولf نسبت<br />

f<br />

f<br />

x<br />

f<br />

y<br />

. .<br />

U<br />

x<br />

U<br />

y<br />

U<br />

f<br />

f<br />

x<br />

f<br />

y<br />

. .<br />

V<br />

x<br />

V<br />

y<br />

V<br />

f<br />

نكته:‏ اين قاعده براي توابع بيش از دو متغير نيز قابل تقسيم است<br />

y ٢r<br />

s,x r s<br />

f (x, y)<br />

Ln(x<br />

٢<br />

مثال:‏ فرض (y <br />

و<br />

را بدست آوريد.‏<br />

كه در آن<br />

مشتقهاي جزئي مرتبه اول<br />

نسبت به<br />

f<br />

f<br />

x<br />

f<br />

y<br />

. .<br />

r<br />

x<br />

r<br />

y<br />

r<br />

f<br />

٢x<br />

١ ٢x<br />

٢ ٢(r<br />

s) ٢<br />

.( ١)<br />

.( ٢)<br />

<br />

r<br />

x<br />

٢<br />

y x<br />

٢<br />

y x<br />

٢<br />

y (r s)<br />

٢<br />

( ٢r<br />

s)<br />

f<br />

٢x<br />

١ ٢x<br />

١ ١<br />

٢(r<br />

s)<br />

.( ١)<br />

.( ١)<br />

<br />

s<br />

x<br />

٢<br />

y x<br />

٢<br />

y x<br />

٢<br />

y (r s)<br />

٢<br />

( ٢r<br />

s)<br />

x<br />

y<br />

s<br />

r<br />

مشتق گيري ضمني<br />

فرض كنيم f (x, y) ٠<br />

مي گيريم.‏<br />

و متغير<br />

تابعي از<br />

باشد به آن تابع ضمني گويند كه بنابر قاعده زنجيره اي نتيجه<br />

f (x, y)<br />

٠<br />

dy<br />

dx<br />

f<br />

Fx(x, y) <br />

x<br />

Fy(x, y) f<br />

y<br />

z<br />

Fy(x, y,z) x<br />

٣<br />

e<br />

yz<br />

<br />

y<br />

Fz(x, y,z) x<br />

٣<br />

e<br />

yz<br />

f (x, y)<br />

١<br />

f<br />

dx Fy(x, y)<br />

y<br />

, <br />

dy Fx(x, y) f<br />

x<br />

نكته:‏ اين قاعده براي توابع از دو متغير نيز قابل تقسيم است.‏<br />

z<br />

y<br />

f (x, y,z)<br />

x<br />

٣ e<br />

yz<br />

مثال:‏ اگر<br />

ماكسيمم و مينيمم توابع در متغيره:‏<br />

باشد حاصل<br />

اگر(‏f(x,y تابعي از دو متغيره y,x باشد و<br />

را بدست آوريد.‏<br />

نقطه اي از دامنه تعريف آن در اين صورت داريم<br />

f (a,b)<br />

f<br />

(x,y)<br />

(a,b)<br />

f<br />

الف)‏ f(a,b)<br />

ب)‏<br />

را ماكسيمم مطلق<br />

را مينيمم مطلق<br />

گويند.‏ اگر براي هر<br />

از دامنه تعريف<br />

گويند.‏ اگر براي هر ‏(‏x,y‏)از دامنه تعريف<br />

داشته باشيم<br />

f (x, y) f (a,b) داشته f<br />

f<br />

f(a,b)

و‎0‎<br />

و‎0‎<br />

و‎0‎ و‎0‎<br />

(a,b) در f پ)‏ تابع<br />

طوري كه به ازاي هر<br />

ت)تابع<br />

داراي ماكزيمم نسبي است اگر دايره اي به مركز<br />

٧٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

(a,b) در دامنه f<br />

(x,y)<br />

در درون دايره داشته باشيم<br />

f (x, y)<br />

f (a,b)<br />

f<br />

به ازاي هر<br />

قضيه:‏<br />

در(‏a,b‏)‏ داراي مينيمم نسبي است اگر دايره اي به مركز<br />

(a,b) در دامنه f<br />

(x,y)<br />

در درون دايره داشته باشيم<br />

f (x, y)<br />

f (a,b)<br />

تابع دو متغير(‏f(x,y در ‏(‏a,b‏)يك ماكسيمم يا مينيمم نسبي دارد اگر f x و<br />

نكته:‏ نقاط ماكسيمم يا مينيمم را نقاط اكسترمم نيز گويند.‏<br />

نقطه بحراني:‏ نقطه<br />

مثال:‏ اگر<br />

بنابراين نقاط<br />

نقطه<br />

نقطه<br />

نكته:‏<br />

f y<br />

وجود داشته باشد به<br />

وجود داشته به طوري كه<br />

موجود باشد و<br />

fy(a,b)<br />

٠,f<br />

x (a,b)<br />

٠<br />

(a,b)<br />

را نقطه بحراني گويند اگر در دستگاه صدق كند.‏<br />

<br />

fx<br />

(a,b) ٠<br />

<br />

<br />

fy<br />

(a,b) ٠<br />

f (x, y) x<br />

٣<br />

y<br />

٣<br />

١٢x<br />

باشد مقدار ماكسيمم يا مينيمم نسبي تابع<br />

f<br />

را بدست آوريد.‏<br />

f<br />

٣x<br />

٢<br />

١٢<br />

٠<br />

x ٢<br />

<br />

fx<br />

(a,b) ٠ x<br />

<br />

<br />

fy<br />

(a,b) ٠<br />

<br />

f<br />

٣y<br />

٢<br />

٠<br />

y ٠<br />

<br />

y<br />

(+2<br />

(-2 و )<br />

)<br />

نقطه بحراني تابع<br />

f<br />

(+2<br />

)<br />

مينيمم نسبي است<br />

مي باشد<br />

f ( ٢,<br />

٠)<br />

٨ ٠<br />

٢۴ ١۶<br />

(-2<br />

)<br />

ماكسيمم نسبي است<br />

f ( ٢,<br />

٠)<br />

٨<br />

٠<br />

٢۴ ١۶<br />

fx<br />

(a,b) fy(a,b)<br />

اگر ٠<br />

(a,b)<br />

(a,b) در f ولي تابع<br />

نقطه داراي يك نقطه زين اسبي است.‏<br />

مراحل تعيين نقاط ماكسيمم و مينيمم نسبي و زين اسبي با آزمون مشتق دوم<br />

ماكسيمم يا مينيمم نسبي نداشته باشد.‏ تابع<br />

f<br />

-1<br />

نقاط بحراني تعيين مي كنيم<br />

<br />

fx<br />

(a,b) ٠<br />

<br />

<br />

fy<br />

(a,b) ٠<br />

-2<br />

مشتقات مرتبه دوم را محاسبه مي كنيم<br />

( fxx<br />

,fyy,fxy)<br />

-3<br />

در صورتي كه مشتقهاي فرعي مرتبه اول و دوم F موجود باشد و در درون دايره اي به مركز<br />

پيوسته باشند<br />

در<br />

(a,b)<br />

( a,b) fxx<br />

(a,b)fyy(a,b)<br />

xy<br />

f<br />

(a,b) ٢<br />

مبين معادله را محاسبه مي كنيم كه هر يك از حالات زير امكان دارد رخ دهد.‏<br />

الف)‏<br />

ب)‏<br />

f xx (a,b) ٠,<br />

(a,b)<br />

اگر ٠<br />

(a,b) در f باشد آنگاه<br />

f xx (a,b) ٠,<br />

(a,b)<br />

اگر ٠<br />

پ)‏ اگر<br />

ت)‏<br />

(a,b) در f باشد آنگاه<br />

(a,b)٠<br />

(a,b) در f باشد آنگاه<br />

ماكسيمم نسبي دارد<br />

مينيمم نسبي دارد<br />

يك نقطه زين اسبي است به عبارتي تابع<br />

f<br />

(a,b)<br />

اگر ٠<br />

باشد از اين آزمون نتيجه اي به دست نمي آيد.‏<br />

مثال:‏ نقاط اكسترمم نسبي يا نقطه زين اسبي تابع<br />

f (x, y) x<br />

٣<br />

y<br />

٣<br />

۶xy<br />

اكسترمم نسبي ندارد<br />

را بدست آوريد.‏

و‎0‎<br />

و‎2‎ و‎0‎<br />

و‎2‎<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎71‎<br />

<br />

٢<br />

٣<br />

٢<br />

۶ ٠<br />

٣<br />

٢<br />

۶ <br />

٢<br />

x<br />

fx<br />

x y x y x ٢y<br />

y <br />

٢<br />

١)<br />

<br />

<br />

٢<br />

٣<br />

۴<br />

٣<br />

٢<br />

x<br />

۶ ٠<br />

٣<br />

٢<br />

x<br />

f y y ( ) ۶x<br />

٠<br />

۶x<br />

٠<br />

٣x<br />

۴<br />

y<br />

٢۴x<br />

٠<br />

<br />

٢<br />

۴<br />

٣x(x<br />

٣<br />

٨)<br />

٠<br />

x١<br />

٠,x<br />

٢ ٢,<br />

y١<br />

٠,<br />

y٢<br />

٢<br />

بنابراين نقاط بحراني تابع ) f 0) 2)<br />

به صورت<br />

و(‏<br />

مي باشد.‏<br />

fxx<br />

۶x<br />

fyy<br />

۶y<br />

fxy ۶<br />

fxx<br />

( ٠,<br />

٠)<br />

٠ fyy(<br />

٠٠ , ) ٠ fxy( ٠٠ , ) ۶<br />

( a,b) f (a,b).f (a,b) f (a,b) (<br />

٠٠ , ) ٠<br />

٠<br />

( ۶)<br />

٢<br />

xx yy x, y<br />

٣۶<br />

fxx<br />

( ٢,<br />

٢)<br />

١٢ fyy(<br />

٢,<br />

٢)<br />

١٢ fxy( ٢,<br />

٢)<br />

۶<br />

( ٢,<br />

٢)<br />

١٢<br />

١٢<br />

( ۶)<br />

٢<br />

١٠٨٠ <br />

(<br />

٢,<br />

٢)<br />

٠<br />

fxx<br />

( ٢,<br />

٢)<br />

٠<br />

<br />

min (2 )<br />

(0<br />

بنابراين نقطه )<br />

نقطه زين اسبي است<br />

تابعf در نقطه<br />

ماكسيمم و مينيمم توابع چند متغيره با محدوديت<br />

داراي<br />

نسبي است.‏<br />

در عمل تعيين ماكسيمم و مينيمم يك تابع چند متغيره با توجه به يك يا چند شرط صورت مي گيرد كه اين<br />

عمل به دو روش صورت مي گيرد.‏<br />

روش جايگزيني:‏ در اين روش با توجه به شرط يكي از متغيرها را برحسب متغيرهاي ديگر بدست<br />

آورده و در تابع اصلي قرار مي دهيم.‏<br />

مثال:‏ فرض كنيد مصرف كننده اي بستگي به مصرف او از دو كالا داشته باشد اگر ٢ x ١ ميزان مصرف او ‎3‎و‎3‎<br />

واحد پول به ترتيب قيمت اين دو كالا و واحد پول درآمد مصرف كننده باشد و تابع مطلوبيت اين مصرف<br />

x<br />

,<br />

x٢,<br />

x ١<br />

24<br />

U f (x١x<br />

٢)<br />

۴x١x<br />

٢<br />

-1<br />

كننده به صورت<br />

حداكثر برسد.‏<br />

تابع محدوديت به صورت<br />

باشد<br />

مي باشد<br />

را طوري تعيين كيد كه مطلوبيت مصرف كننده به<br />

٣<br />

٢x١<br />

٣x٢<br />

٢۴<br />

٢x١<br />

٢۴<br />

٣x٢<br />

x١<br />

١٢<br />

x٢<br />

٢<br />

٣<br />

U ۴x<br />

٢<br />

١x<br />

٢<br />

U ۴(<br />

١٢<br />

x٢).x٢<br />

۴٨x٢<br />

۶x٢<br />

٢<br />

dU<br />

۴٨ ١٢x<br />

٢ ٠<br />

x٢<br />

۴<br />

dx٢<br />

d<br />

٢<br />

U<br />

<br />

١٢٠ <br />

dx٢<br />

٣ ٣<br />

x١<br />

١٢<br />

x٢<br />

١٢<br />

۴ ۶<br />

٢ ٢<br />

٢x١ ٣x٢<br />

٢۴<br />

مشتق نسبت به x ٢<br />

بنابراين در نقطه<br />

مي گيريم تا نقاط اكسترمم مشخص شود.‏<br />

x ٢ ۴ داراي ماكزيمم است

و‎4‎<br />

و‎4‎<br />

روش لاگرانژ<br />

٧٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

g(x,y)=0<br />

f(x,y)<br />

-2<br />

مي خواهيم ماكسيمم يا مينيمم تابع<br />

عنوان ضريب لاگرانژ در نظر گرفته مي شود و تابع<br />

را تحت محدوديت<br />

بدست آوريم در اين روش به<br />

F(x, را به عنوان تابع لاگرانژ<br />

y)<br />

F<br />

F<br />

g<br />

٠<br />

<br />

x<br />

x<br />

x<br />

F<br />

F<br />

g<br />

٠<br />

y<br />

y<br />

y<br />

F<br />

g(x,<br />

y) g(x, y) ٠<br />

<br />

g(x, y)<br />

F(x,<br />

y)<br />

x ٢y<br />

۶ ٠<br />

f (x, y) g(x,<br />

y)<br />

تعريف مي كنيم و با حل دستگاه زير نقاط ماكسيمم يا مينيمم بدست مي آيد.‏<br />

x ٢y<br />

۶<br />

f (x, y)<br />

y<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

مثال:‏ ماكزيمم مقدار تابع<br />

با شرط<br />

را بدست آوريد.‏<br />

f (x, y) g(x,<br />

y)<br />

F(x,<br />

y) y<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

(x<br />

٢y<br />

۶)<br />

F<br />

<br />

٢x<br />

٠<br />

x <br />

<br />

x<br />

٢<br />

F<br />

٢y<br />

٢ ٠<br />

y <br />

y<br />

F<br />

<br />

x ٢y<br />

۶ ٠<br />

٢ ۶ ٠ ۴<br />

<br />

٢<br />

<br />

x ٢<br />

٢<br />

f(x,y)<br />

, y<br />

۴<br />

(2<br />

بنابراين نقطه )<br />

نقطه بحراني تابع تحت شرط مفروض مي باشد.‏<br />

شرط كافي براي وجود ماكسيمم يا مينيمم توابع چند متغيره با محدوديت در صورتي كه تابع دو متغيره<br />

تحت شرطg(x,y)=0‎ داده شده باشد و<br />

براي وجود ماكسيمم يا مينيمم به صورت زير است<br />

تابع لاگرانرد معرفي شده باشد ثابت مي شود شرط كافي<br />

٠<br />

gx<br />

gy<br />

٠<br />

gx<br />

gy<br />

gx<br />

Fxx<br />

Fyx<br />

gx<br />

Fxx<br />

Fyx<br />

gy<br />

Fxy<br />

٠<br />

Fyy<br />

gy<br />

Fxy<br />

٠<br />

Fyy<br />

F(x,y,)<br />

(2<br />

الف)‏ ماكسيمم است اگر<br />

)<br />

ب)‏ مينيمم است اگر<br />

در مثال قبل آيا نقطه<br />

ماكزيمم نسبي است.‏

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎73‎<br />

gx<br />

١ gy<br />

٢ Fxx<br />

٢<br />

Fyy<br />

٢<br />

F xy ٠ Fyx<br />

٠<br />

٠ gx<br />

gx<br />

Fxx<br />

gy<br />

Fyx<br />

gy<br />

Fxy<br />

Fyy<br />

٠ ١<br />

١ ٢<br />

٢ ٠ ١<br />

٠ ١ ٢<br />

٢ ٠ ٢ ٢ ٠<br />

( ٠ ٠<br />

٠)<br />

( ٢ ٨)<br />

۶٠<br />

ماكزيمم نسبي است

٧٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

y<br />

معادله ديفرانسيل مربعه n<br />

تابعي ازx اگر<br />

فصل ششم<br />

معادلات ديفرانسيل<br />

يك رابطه بين x<br />

و<br />

و مشتقهاي آن باشد رابطه F يك معادله<br />

F(x, y, y ,....y<br />

(n)<br />

باشد.‏ ) ٠<br />

ديفرانسيل معمولي مرتبه n گويند.‏<br />

بيشترين مرتبه مشتق در معادله ديفرانسيل را مرتبه معادله ديفرانسيل و بيشترين توان بزرگترين مرتبه مشتق را<br />

۴y<br />

٣y<br />

۶x<br />

٠<br />

d<br />

۴<br />

y<br />

( )<br />

۶<br />

٣y<br />

۶y<br />

۴x<br />

٠<br />

dx<br />

۴<br />

y<br />

۵ ) ( ۶x<br />

۴)<br />

٣xy<br />

cos y ٠<br />

2<br />

1<br />

y<br />

درجه معادله ديفرانسيل گويند.‏<br />

معادله ديفرانسيل مرتبه دوم درجه<br />

معادله ديفرانسيل مرتبه چهار درجه<br />

معادله ديفرانسيل مرتبه درجه (<br />

جواب عمومي معادله ديفرانسيل<br />

1<br />

5<br />

F(x, y, y ,.....y<br />

(n)<br />

در صورتي به هر ، x I تابع y=f(x) و مشتقهاي آن در معادله ٠<br />

y=F(x) جواب عمومي معادله ديفرانسيل گويند.‏<br />

مثال:‏ جواب عمومي معادله ديفرانسيل<br />

را بدست آوريد<br />

صدق كند.‏<br />

y<br />

<br />

dy<br />

dx<br />

y ٨<br />

٨ dy ٨dx<br />

y ٨x<br />

c y<br />

مجموعه جواب عمومي ٨<br />

چون c<br />

مي تواند هر عدد دلخواه باشد جواب منحصر به فرد نيست در صورتي كه شرايط اوليه داده شود جواب<br />

y( ١)<br />

٣<br />

منحصر به فرد بدست مي آيد كه به آن جواب خصوصي گويند.‏<br />

مثال:‏ جواب عمومي و خصوصي معادله ديفرانسيل y ۵<br />

جواب عمومي<br />

را با شرط اوليه<br />

را بدست آوريد<br />

مختصات داده شده بايد در جواب عمومي<br />

y( ١)<br />

٣<br />

٣<br />

۵<br />

١<br />

c c ٢<br />

y ۵x<br />

٢<br />

dy<br />

y ۵<br />

dy ۵dx<br />

y ۵x<br />

c<br />

dy<br />

y( ١)<br />

١<br />

x٠ y<br />

<br />

y<br />

x<br />

صدق كند.‏<br />

جواب خصوصي<br />

مثال:‏ در معادله ٠<br />

و با شرط اوليه<br />

جواب عمومي و خصوصي را بدست آوريدو<br />

y<br />

y ٠<br />

y<br />

<br />

x<br />

y<br />

x<br />

<br />

dy<br />

dx<br />

y<br />

<br />

x<br />

Lny cLnx<br />

Lny cLnx<br />

١<br />

y <br />

dy<br />

y<br />

C<br />

x<br />

<br />

dx<br />

x<br />

C<br />

١<br />

y( ١)<br />

١<br />

١<br />

c ١<br />

y <br />

١<br />

x<br />

جواب عمومي<br />

جواب خصوصي

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎75‎<br />

y<br />

۵y<br />

۶y<br />

<br />

مثال:‏ معادله ديفرانسيل ٠<br />

الف)‏ نشان دهيد هر يك از توابع<br />

را در نظر بگيريد.‏<br />

y e<br />

۶x<br />

, y e<br />

x<br />

٢ ١ <br />

y c e<br />

x<br />

c e<br />

۶x<br />

ب)‏ نشان دهيد براي هر دو عدد حقيقي , c ١ ٢ ١ ٢ c<br />

است<br />

الف)‏ بايستي جوابها در معادله صدق كنند.‏<br />

تابع<br />

جوابي از معادله ديفرانسيل فوق است<br />

جوابي از معادله ديفرانسيل فوق<br />

y e اگر<br />

x<br />

y<br />

e<br />

x<br />

y<br />

e<br />

x<br />

e<br />

x<br />

۵e<br />

x<br />

۶e<br />

x<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

y e<br />

۶x<br />

y<br />

۶e<br />

۶x<br />

y<br />

٣۶e<br />

۶x<br />

بنابراين جواب است<br />

بنابراين جواب است<br />

اگر<br />

٣۶e<br />

۶x<br />

۵(<br />

۶e<br />

۶x<br />

) e<br />

۶x<br />

٠<br />

٠<br />

٠<br />

y c e<br />

x<br />

c e<br />

۶x<br />

y c e<br />

x<br />

c e<br />

۶x<br />

y c e<br />

x<br />

c e<br />

۶x<br />

١ ٢ <br />

<br />

١ ۶ ٢ <br />

<br />

١ ٣۶ ٢<br />

(c ٣<br />

۶<br />

۵ ۶<br />

۶<br />

۶<br />

۶<br />

١e<br />

x<br />

c٢e<br />

x<br />

) ( c<br />

<br />

١e<br />

x<br />

c٢e<br />

x<br />

) (c<br />

<br />

١e<br />

x<br />

c٢e<br />

x<br />

) ٠<br />

٠ ٠<br />

ب)‏<br />

بنابراين جواب است<br />

نكته:‏ هر تركيب خطي از جوابهاي معادله ديفرانسيل يك جواب براي معادله ديفرانسيل است<br />

ay<br />

by<br />

نكته:‏ براي بدست آوردن جوابهاي عمومي معادله ديفرانسيل مرتبه cy ٠<br />

را تشكيل مي دهيم در صورتي ٠<br />

و هر تركيب خطي آنها جواب معادله ديفرانسيل است<br />

معادله درجه دوم<br />

باشد و A وB ريشه هاي معادله باشند در اين صورت<br />

y<br />

٣y<br />

٢ ٠<br />

at<br />

٢<br />

bt c ٠<br />

c e<br />

Bt<br />

,c e<br />

At<br />

٢ ١<br />

مثال:‏ جوابهاي عمومي معادله ديفرانسيل<br />

را بدست آوريد.‏<br />

٣t<br />

٢ ٣t<br />

٢ ٠<br />

b<br />

٢<br />

۴<br />

a c ٣<br />

٢<br />

۴<br />

١<br />

٢ ١<br />

b ٣ ١ A<br />

١<br />

x ١٢ , <br />

٢a<br />

٢<br />

١ B<br />

٢<br />

y c e<br />

At<br />

y e<br />

t<br />

١ ١ ١<br />

y c e<br />

Bt<br />

y c e<br />

٢t<br />

٢ ٢ ٢ ٢<br />

هر تركيب خطي دو جواب بدست آمده نيز يك جواب عمومي براي معادله ديفرانسيل فوق است.‏<br />

حل معادله ديفرانسيل:‏<br />

معادله ديفرانسيل جدايي پذير<br />

P(x)dx<br />

q(y) dy ٠<br />

-1<br />

معادله ديفرانسيل<br />

عمومي آن را بدست آورد معادله ديفرانسيل جدايي پذير گويند<br />

مثال:‏ معادله ديفرانسيل<br />

كه با انتگرال گيري مستقيم از طرفين معادله مي توان جوابهاي<br />

٣x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

dx dy ٠<br />

٣x را حل كنيد.‏<br />

٢<br />

y<br />

٣<br />

dx dy ٠<br />

y<br />

٣<br />

طرفين تقسيم بر

٧٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

dy<br />

dy<br />

x<br />

٢<br />

dx <br />

<br />

x<br />

٢<br />

dx C x<br />

٣ ١<br />

٣<br />

٠ ٣<br />

y<br />

١ c<br />

y<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

٢<br />

١ ٣ ١<br />

y<br />

<br />

c x y <br />

c x<br />

٣<br />

f<br />

(tx,ty)<br />

f(x,y)<br />

معادله همگن:‏<br />

در تابع دو متغيره<br />

اگر به ازاي هر t,y,x كه<br />

متعلق به قلمرو<br />

در اين صورت معادله فوق را معادله همگن مرتبه n گويند.‏<br />

باشد،‏ داشته باشيم<br />

(ty)<br />

۵<br />

f (tx,ty) ٢(tx)<br />

٢<br />

(ty)<br />

٢<br />

۴(tx)<br />

۴<br />

۶<br />

(tx)<br />

<br />

y<br />

۵ <br />

t<br />

٢<br />

x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

x<br />

۴<br />

t<br />

۴<br />

٢ ۴ ۶ f (x, y)<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

N(x,y)<br />

f (x, y)<br />

y<br />

۵<br />

٢x<br />

٢<br />

y<br />

٢<br />

۴x<br />

۴<br />

۶<br />

x<br />

f (tx,ty) t<br />

n<br />

f (x, y)<br />

مثال:‏ آيا معادله<br />

بنابراين همگن از درجه<br />

مي باشد.‏<br />

همگن است.‏<br />

نكته:‏ مجموع توانهاي هر جمله در چند جمله اي را درجه معادله همگن گويند.‏<br />

M(x,y)<br />

M(x, y)dx<br />

4<br />

معادله ديفرانسيل همگن:‏<br />

را اگر<br />

و<br />

توابعي همگن باشند<br />

dy tdx <br />

xdt, y<br />

tx<br />

-2<br />

معادله ديفرانسيلي به فرم N(x, y) dy ٠<br />

معادله ديفرانسيل همگن گويند و با تغيير متغير<br />

پذير تبديل كرد.‏<br />

مثال:‏ معادله ديفرانسيل زير را حل كنيد.‏<br />

مي توان آن را به معادله جدايي<br />

(y<br />

٣<br />

٣xy)dx<br />

٣x<br />

٣<br />

dy ٠<br />

y tx dy tdx xdt<br />

كه هر دو همگن درجه 3<br />

هستند.‏<br />

N(x, y)<br />

(t<br />

٣<br />

x<br />

٣<br />

٣tx<br />

٣<br />

)dx ٣ x<br />

٣<br />

(tdx xdt)<br />

٠<br />

t<br />

٣<br />

x<br />

٣<br />

dx ٣ x<br />

۴<br />

dt ٠<br />

t<br />

٣ x<br />

۴<br />

طرفين بخش بر<br />

dx dt<br />

٣ ٠<br />

x t ٣<br />

dx dt<br />

٣<br />

٣ c Ln(x) c<br />

x t<br />

٣<br />

٢t<br />

٢<br />

y<br />

y tx t <br />

x<br />

٣ x<br />

٢<br />

٣ x<br />

٢<br />

Ln x c Ln x c <br />

٢ y<br />

٢<br />

٢ y<br />

٢<br />

٣x<br />

٣<br />

,M(x, y) y<br />

٣<br />

٣x<br />

٢<br />

y<br />

جواب عمومي معادله ديفرانسيل

y<br />

٢ ٢ ١<br />

y <br />

٣x<br />

٢ Ln x c<br />

M<br />

N<br />

<br />

y<br />

x<br />

٢<br />

٣x<br />

٢<br />

(Ln x c)<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎77‎<br />

M(x, y)dx<br />

N(x, y) dy ٠<br />

3- معادله ديفرانسيل كامل:‏<br />

هرگاه در معادله ديفرانسيل<br />

را معادله ديفرانسيل كامل گويند.‏<br />

قضيه:‏<br />

رابطه<br />

داراي يك جواب به صورت<br />

برقرار باشد معادله ديفرانسيل<br />

F(x,y)=c است كه در آن<br />

M(x, y)dx<br />

معادله ديفرانسيل كامل N(x, y) dy ٠<br />

و c<br />

يك عدد ثابت است.‏<br />

F<br />

N<br />

N(x, y), M(x, y)<br />

y<br />

x<br />

مراحل حل مسائل يك معادله ديفرانسيل كامل:‏<br />

از تابع M(x,y)<br />

نسبت به x انتگرال مي گيريم بنابراين y عدد ثابت فرض مي شود.‏<br />

F(x,y) M(x,y)dx G(x,y) f (y)<br />

F(x,<br />

y) G(x,<br />

y) F(y)<br />

<br />

y<br />

y<br />

(y)<br />

F(y)<br />

G(x,<br />

y)<br />

N(x, y) <br />

y<br />

y<br />

<br />

F(y)<br />

dy f (y)<br />

y<br />

N(x,y)<br />

تابعي بر حسب y است.‏<br />

f(x,y)<br />

(1<br />

: F(y)<br />

از تابع<br />

نسبت به y مشتق مي گيريم و برابر<br />

قرار مي دهيم.‏<br />

N(x, y)<br />

f(y)<br />

F(y)<br />

y<br />

(2<br />

‎3‎‏)از تابع<br />

نسبت به y انتگرال مي گيريم تا برابر تابع<br />

بنابراين جواب نهايي به صورت<br />

بدست آيد.‏<br />

مي شود معادله ديفرانسيل<br />

M(x,<br />

y)<br />

e<br />

y<br />

F(x,<br />

y)<br />

N(x, y)<br />

G(x, y) f (y) c<br />

xe<br />

y ٣y<br />

٢<br />

را حل كنيد .<br />

فرض<br />

باشد معادله ديفرانسيل كامل است.‏<br />

ديفرانسيل كامل است<br />

باشد.‏ چون اگر<br />

M(x,<br />

y)<br />

e<br />

y<br />

y<br />

<br />

<br />

N(x,<br />

y)<br />

e<br />

y<br />

<br />

x<br />

F(x, y) M(x,<br />

y)dx e<br />

y<br />

dx xe<br />

y<br />

f (y)<br />

F(x,<br />

y)<br />

N(x, y) xe<br />

y<br />

f (y)<br />

xe<br />

y<br />

٣y<br />

٢<br />

f (y)<br />

٣y<br />

٢<br />

y<br />

F(y) ٣y<br />

٢<br />

dy y<br />

٢<br />

c F(x, y) xe<br />

y<br />

y<br />

٢<br />

c<br />

-4<br />

(xe<br />

y<br />

٣y<br />

٢ )dy e<br />

y<br />

dx ٠<br />

M(x,<br />

y) N(x,<br />

y)<br />

<br />

y<br />

x

معادلات خطي مرتبه اول:‏<br />

٧٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

-4<br />

الف-‏ معادله ديفرانسيل خطي مرتبه اول:‏<br />

y<br />

معادله ديفرانسيل به فرم q(x) P(x)y <br />

آن به صورت<br />

را معادله ديفرانسيل خطي مرتبه اول گويند كه جواب عمومي<br />

است كه در آن q(x),p(x)<br />

توابعي از x مي باشند.‏<br />

P(x)dx<br />

y e<br />

<br />

<br />

q(x)e<br />

p(x)dx<br />

dx c<br />

x<br />

٢<br />

y<br />

٣xy<br />

x<br />

٣<br />

<br />

مثال:‏ معادله ديفرانسيل<br />

طرفين بخش بر<br />

را حل كنيد.‏<br />

٣<br />

y<br />

y x<br />

x<br />

p(x)<br />

<br />

٣ ,q(x) x<br />

x<br />

٣<br />

<br />

p(x)dx<br />

dx ٣Lnx<br />

Lnx<br />

٣<br />

x<br />

P(x)dx<br />

٣<br />

٣ ١<br />

٣<br />

e e<br />

Lnx<br />

<br />

P(x)dx<br />

x ,e e<br />

Lnx<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

٣<br />

P(x)dx<br />

q(x)e dx x dx x<br />

<br />

<br />

١ ٢ ١<br />

dx c<br />

x<br />

٣<br />

x<br />

P(x)dx p(x)dx<br />

y e<br />

<br />

q(x)e<br />

c<br />

<br />

٣ ١ <br />

y x c x<br />

٢<br />

cx<br />

٣<br />

<br />

<br />

x <br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

x تا به فرم معادله ديفرانسيل كامل درآيد.‏<br />

n<br />

٣<br />

e<br />

Lnx<br />

x<br />

٣<br />

y<br />

p(x)y q(x)y<br />

n<br />

ب)‏ معادله برنولي:‏<br />

معادله ديفرانسيل<br />

گويند.‏ كه با قرار دادن<br />

را كه در آن<br />

هر عدد حقيقي بجز<br />

و يك باشد را معادله برنولي<br />

معادله برنولي به معادله ديفرانسيل خطي مرتبه اول نسبت به z,x<br />

تبديل مي<br />

P(x) <br />

٣ q(x) ٢x<br />

٢<br />

x<br />

n ۴<br />

.<br />

z<br />

(y<br />

٣<br />

) y<br />

<br />

y<br />

y<br />

١<br />

٣<br />

۴ ۴<br />

y<br />

z<br />

٣<br />

٣<br />

y<br />

y ٢x<br />

٢<br />

y<br />

۴<br />

x<br />

۴ ٣<br />

y<br />

<br />

y<br />

y<br />

٣<br />

٢x<br />

٢<br />

x<br />

١ ٣ ٢ ٩<br />

z<br />

z ٢x<br />

z<br />

z ۶x<br />

٢<br />

٣ x<br />

x<br />

z y<br />

١ n<br />

٣<br />

y<br />

y ٢x<br />

٢<br />

y<br />

۴<br />

x<br />

شود.‏<br />

مثال:‏ معادله<br />

بنابراين با تغير<br />

را حل كنيد.‏<br />

z y به معادله ديفرانسيل خطي مرتبه اول تبديل مي شود<br />

١<br />

۴ y<br />

٣<br />

۴<br />

طرفين بخش بر y

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎79‎<br />

٩<br />

P(x)<br />

q(x) ۶x<br />

٢<br />

x<br />

٩<br />

dx<br />

P(x)dx<br />

e e x e<br />

٩Lnx<br />

e P(x)dx<br />

x ٩<br />

P(x)dx<br />

q(x)e<br />

dx<br />

<br />

٩<br />

e<br />

Lnx<br />

٢ ٩ ١<br />

۶x<br />

x dx x<br />

١٢<br />

٢<br />

٩ ١٢ ١<br />

Z x<br />

<br />

( <br />

١ x c) x<br />

٣<br />

cx<br />

٩<br />

٢<br />

٢<br />

x<br />

٩<br />

z y<br />

٣<br />

با قرار دادن<br />

y<br />

٣<br />

<br />

١ x<br />

٣<br />

cx<br />

٩<br />

٢

نيمسال اول 84-85<br />

٨٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

زمان امتحان:‏ تستي و تكميلي 50 دقيقه تشريحي 70<br />

1. اگر A يك ماتريس متعامد باشد.‏ كدام گزينه درست است؟<br />

(A<br />

T<br />

)<br />

1<br />

A<br />

1 T<br />

ب.‏ A A<br />

ج.‏<br />

د.‏ هر سه مورد<br />

A T A<br />

الف.‏ I<br />

T T T<br />

( A B C) B A <br />

باشند.‏ كدام گزينه صحيح است؟<br />

C<br />

T<br />

‎2‎‏.اگر C,B,A ماتريسهاي n×n<br />

T T T<br />

الف.‏ ( A B)C (A B) C<br />

ب.‏<br />

(A B<br />

T<br />

C<br />

T<br />

)<br />

T<br />

A<br />

T<br />

BC<br />

T<br />

( AB C) C A B<br />

T<br />

T<br />

T<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

3<br />

<br />

2<br />

3 <br />

<br />

2 <br />

1 <br />

2 <br />

اگر<br />

A باشد.‏ A ماتريسي است:‏<br />

.3<br />

الف.متعامد<br />

ب.‏ متقارن<br />

ج.شبه متقارن<br />

د.‏ اسكالر<br />

2<br />

<br />

1<br />

3<br />

4<br />

<br />

<br />

2<br />

3<br />

<br />

1<br />

4 <br />

2 3<br />

<br />

1<br />

4<br />

‎4‎‏.اگر<br />

الف.‏<br />

(AdjA) كدام است؟ A باشد.‏ ماتريس الحاقي A<br />

4<br />

<br />

1<br />

3<br />

2<br />

<br />

<br />

4 3<br />

<br />

1<br />

2<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

<br />

5<br />

<br />

1<br />

4<br />

1<br />

<br />

<br />

1 4 <br />

<br />

1<br />

5<br />

A كدام است؟<br />

1<br />

4<br />

<br />

1<br />

5<br />

1 , A<br />

5<br />

<br />

1<br />

1<br />

<br />

4<br />

4 <br />

1<br />

‎5‎‏.اگر <br />

<br />

1<br />

5<br />

<br />

<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

X<br />

2Y<br />

2<br />

<br />

2X<br />

Y Z 3<br />

‎6‎‏.در مورد دستگاه<br />

الف.يك جواب دارد<br />

ب.‏ ناسازگار است<br />

كدام گزينه صحيح است؟ دستگاه:‏<br />

ج.جواب ندارد<br />

د.‏ بي نهايت جواب دارد<br />

<br />

( 1,<br />

2),(<br />

10<br />

, ),( 3,<br />

2)<br />

<br />

كدام گزينه صحيح است؟ مجموعه<br />

<br />

( 02 , ),( 2,<br />

1)<br />

الف)‏ <br />

ج)‏<br />

مستقل خطي است.‏<br />

مستقل خطي است.‏<br />

ب)‏<br />

د)‏<br />

مستقل خطي است.‏<br />

مستقل خطي است.‏<br />

( 1,<br />

1),(<br />

1,<br />

1)<br />

<br />

<br />

( 00 , ), ( 1,<br />

2)<br />

<br />

.7

k 2<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎81‎<br />

x<br />

y z 0<br />

<br />

kx<br />

2y<br />

z 0<br />

<br />

x<br />

y 2z<br />

0<br />

k 2<br />

به ازاي كدام مقدار k دستگاه<br />

ب.‏<br />

جواب غير بديهي دارد؟<br />

ج.‏ k 1<br />

د.‏<br />

.8<br />

الف.‏1‎ k <br />

x1x2<br />

<br />

x1<br />

<br />

f ( <br />

<br />

)<br />

<br />

x1<br />

x2<br />

x2<br />

<br />

x2<br />

<br />

2 3<br />

‎9‎‏.كداميك از توابع زير ‏(تابع ( f : R R<br />

الف)‏<br />

يك تابع خطي است؟<br />

ب)‏<br />

x1<br />

1<br />

<br />

x1<br />

<br />

f ( <br />

<br />

)<br />

<br />

x1<br />

2x2<br />

x2<br />

<br />

2x1<br />

x2<br />

x1<br />

x2<br />

<br />

x1<br />

<br />

f ( )<br />

<br />

<br />

2x1<br />

x2<br />

x2<br />

<br />

x1<br />

<br />

2sin x1<br />

<br />

x1<br />

<br />

f ( )<br />

<br />

<br />

x1<br />

x2<br />

x2<br />

<br />

x1<br />

x2<br />

ج)‏<br />

د)‏<br />

f (x, y)<br />

<br />

x <br />

كدام ناحيه دامنه تابع y<br />

را نشان مي دهد؟<br />

.10<br />

ب.‏ دوم<br />

الف.‏ اول<br />

ج.سوم<br />

د.‏ چهارم<br />

1<br />

( 0,<br />

) 2<br />

f (x, y)<br />

3x<br />

2<br />

2y<br />

2<br />

3x<br />

نقطه بحراني تابع 2<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

كدام است؟<br />

د.‏<br />

1<br />

( , 0)<br />

2<br />

( 0,<br />

1 )<br />

2<br />

.11<br />

1<br />

الف.‏ 0) , (<br />

2<br />

x y 6<br />

f<br />

(x, y)<br />

x<br />

2<br />

3xy<br />

y<br />

2<br />

اكسترمم تابع<br />

تحت قيد<br />

در كدام نقطه بدست مي آيد؟<br />

( 3,<br />

3)<br />

( 6,<br />

0)<br />

( 1,<br />

5)<br />

( 2,<br />

4)<br />

.12<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

0/ dx dy كدام<br />

1,<br />

y 0,<br />

x 1<br />

0/4<br />

f<br />

f (x, y)<br />

2<br />

x <br />

y<br />

در تابع e<br />

مقدار ديفرانسيل كل<br />

به ازاي<br />

0/2<br />

.13<br />

است؟<br />

الف.‏‎0/1‎<br />

ب.‏<br />

ج.‏‎0/3‎<br />

د.‏<br />

λ<br />

1 0,<br />

λ 2 <br />

1<br />

λ<br />

1 1,<br />

λ 2 <br />

3<br />

λ<br />

3<br />

1<br />

<br />

0<br />

1 <br />

, λ 3<br />

مقادير ويژه ماتريس<br />

ب.‏<br />

كدام است؟<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

1 1 2 <br />

λ<br />

1 1,<br />

λ 2 <br />

.14<br />

الف.‏ 3<br />

λ<br />

1<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

<br />

1<br />

3<br />

4<br />

<br />

<br />

اگر λ 2<br />

يك مقدار ويژه براي ماتريس<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

باشد.‏ بردار ويژه وابسته به<br />

د.‏<br />

كدام است؟<br />

1<br />

<br />

1<br />

1<br />

<br />

1<br />

<br />

.15<br />

1<br />

<br />

الف.‏ <br />

1

16. حاصل انتگرال<br />

كدام است؟<br />

٨٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

3 2<br />

x x<br />

x c<br />

3 2<br />

3<br />

x 1<br />

dx<br />

x 1<br />

3 2<br />

x x<br />

x c<br />

3 2<br />

الف)‏<br />

ب)‏<br />

3 2<br />

x x<br />

x c<br />

3 2<br />

3 2<br />

x x<br />

x c<br />

3 2<br />

ج)‏<br />

د)‏<br />

-1<br />

برابر است با:‏<br />

π<br />

2 0<br />

.17 حاصل انتگرال معين (cos x sin x)dx<br />

1<br />

الف.‏‎0‎<br />

ب.‏<br />

ج.‏‎2‎<br />

د.‏<br />

5<br />

4π<br />

2<br />

5<br />

4π<br />

2<br />

كدام است؟<br />

sin(x y z)<br />

.18<br />

2 2 2<br />

x y<br />

lim<br />

( x,y,z) (<br />

0,<br />

π ,π)<br />

z<br />

2<br />

4<br />

5π<br />

2<br />

4<br />

5π<br />

2<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

6<br />

3<br />

d y<br />

)<br />

3<br />

dx<br />

2<br />

2<br />

d y<br />

6x<br />

<br />

2<br />

dx<br />

dy<br />

y<br />

dx<br />

مرتبه معادله ديفرانسيل 1<br />

( كدام است؟<br />

2<br />

.19<br />

الف.‏‎1‎<br />

ب.‏<br />

ج.‏‎3‎<br />

د.‏<br />

ky<br />

y ck<br />

جواب عمومي كدام معادله ديفرانسيل است؟<br />

ب)‏<br />

kx <br />

y e c .20<br />

ky<br />

الف ( ck y <br />

ky y<br />

ck<br />

ky y<br />

ج)‏ ck<br />

د)‏<br />

2x<br />

y z 0<br />

<br />

x<br />

y z 3<br />

<br />

3x<br />

4y<br />

z 8<br />

ماتريس<br />

سوالات تشريحي<br />

A داده شده است.‏<br />

A f xx ( 0 , 0 ) f yy ( 00 , ) 2 f xy ( 0 , 0 )<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

2<br />

1<br />

2<br />

2<br />

1<br />

3<br />

<br />

<br />

3 <br />

و ماتريس<br />

2<br />

A را بدست آوريد.‏<br />

.1<br />

الف.‏ detA<br />

ب.‏ نشان دهيد.‏<br />

A A<br />

1 adj(A)<br />

. 2<br />

دستگاه مقابل را به روش كرامر حل كنيد.‏<br />

f (x, y) e<br />

x<br />

y<br />

e<br />

xy<br />

در تابع<br />

مقدار<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

.3

f (x, y)<br />

y<br />

3<br />

12y<br />

x<br />

2<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎83‎<br />

6x<br />

نقاط ماكزيمم و مينيمم يا زين اسبي تابع 5<br />

را در صورت وجود<br />

π<br />

2<br />

<br />

4<br />

0<br />

cos<br />

x<br />

x<br />

.4<br />

بدست آوريد.‏<br />

مقدار انتگرال معين dx<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

.5<br />

پاسخ سوالات تستي<br />

1 T<br />

A 1,A<br />

A<br />

‎1‎‏-گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

در ماتريس متعامد<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

است.‏<br />

T T T T T T T<br />

A<br />

B C (A B) C B A C<br />

cosθ<br />

<br />

sinθ<br />

sinθ<br />

cosθ<br />

<br />

<br />

2×2 جاي<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏ ماتريسهاي دوران به صورت<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏ كافي است در ماتريسهاي<br />

فرعي را قرينه كنيم.‏<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

ماتريس دوران مي باشد.‏<br />

عناصر قطر اصلي را عوض كنيم و عناصر قطر<br />

5 4<br />

A ( 1)(<br />

5)<br />

( 4)(<br />

1<br />

5<br />

4 1<br />

1<br />

1<br />

)<br />

-2<br />

-3<br />

-4<br />

-5<br />

1<br />

4<br />

adjA <br />

1<br />

5 <br />

1<br />

1 1 1<br />

4<br />

1<br />

A adjA <br />

A 1<br />

<br />

1 5 1<br />

1 2<br />

A 1<br />

4 5<br />

0<br />

2 1<br />

4 <br />

5<br />

<br />

<br />

6- گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

r(A) 2 <br />

r(A B) r(A) n<br />

r(A b) 2<br />

0<br />

2<br />

2<br />

01<br />

22<br />

4<br />

0<br />

1<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

دستگاه داراي بي نهايت جواب است <br />

مستقل خطي است <br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏ شرط آنكه دستگاه داراي جواب غير بديهي باشد آن است كه دترمينان ماتريس<br />

-7<br />

-8<br />

ضرايب برابر صفر شود.‏

٨٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

1<br />

k<br />

1<br />

f<br />

<br />

<br />

f<br />

x<br />

y<br />

1<br />

2<br />

1<br />

F(x, y)<br />

1<br />

1<br />

0<br />

( 4 1<br />

k) ( 2k<br />

1<br />

2)<br />

0<br />

k 2<br />

2<br />

y0 y0<br />

, x0<br />

x0<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

ناحيه ي اشتراك ناحيه ي چهارم است.‏<br />

0<br />

<br />

3<br />

6x<br />

3 0<br />

x <br />

<br />

<br />

<br />

6<br />

0<br />

<br />

4y<br />

0<br />

y 0<br />

<br />

f (x, y) λg(x, y) x<br />

<br />

2<br />

1<br />

2<br />

3xy<br />

y<br />

2<br />

<br />

λ x y 6<br />

<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

F(x,<br />

y)<br />

0<br />

2x<br />

3y<br />

λ 0<br />

<br />

x<br />

F(x,<br />

y)<br />

<br />

0 3x<br />

2y<br />

λ 0<br />

y<br />

<br />

F(x,<br />

y)<br />

<br />

0<br />

x y 6 0<br />

x 6 y<br />

λ<br />

2(<br />

6 y) 3y<br />

λ 0<br />

12<br />

5y<br />

λ 0<br />

<br />

<br />

30<br />

6y<br />

0<br />

y 5,<br />

x 1<br />

<br />

3(<br />

6 y) 2y<br />

λ 0<br />

18<br />

y λ 0<br />

df<br />

df <br />

2<br />

f (x, y) f (x, y)<br />

.dx .dy<br />

x<br />

y<br />

2 y<br />

0<br />

dx<br />

e<br />

x<br />

.dy 0/<br />

1<br />

e<br />

0/<br />

10/<br />

2<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه<br />

روش اول<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

2<br />

2<br />

λ tr(A)λ A 0<br />

λ 4λ<br />

3 0<br />

(λ 1)(λ<br />

3)<br />

0<br />

λ1<br />

1,<br />

λ2<br />

3<br />

3 λ 1<br />

A λI 0<br />

0<br />

( 3 λ)( 1<br />

λ) 0<br />

λ1 1,<br />

λ2<br />

3<br />

0 1<br />

λ<br />

<br />

A<br />

λIX<br />

0<br />

1<br />

λ<br />

<br />

2<br />

روش دوم<br />

روش تستي:‏ در ماتريسهاي مثلثي و قطري مقادير ويژه عناصر روي قطر اصلي هستند<br />

3 x<br />

0<br />

<br />

3<br />

<br />

4 λ<br />

<br />

y<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

3x<br />

<br />

3x<br />

3y<br />

0<br />

<br />

<br />

x y<br />

y<br />

0<br />

2<br />

2x<br />

2y<br />

0<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

-9<br />

-10<br />

-11<br />

-12<br />

-13<br />

-14<br />

-15<br />

-16

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎85‎<br />

x 3<br />

1<br />

2<br />

1 3 1<br />

dx (x x 1)dx<br />

x x<br />

2 x c<br />

x 1<br />

3 2<br />

π<br />

π<br />

<br />

2<br />

0 02 <br />

(cosx sin x)dx sin x cosx 11<br />

0<br />

π<br />

sin( 0<br />

π)<br />

sin(x y z) 2 1<br />

lim<br />

<br />

<br />

2 2 2 2<br />

2<br />

x y z π 2 5π<br />

0<br />

π<br />

4 4<br />

π<br />

(x, y,z) ( 0,<br />

,π)<br />

2<br />

4<br />

<br />

2<br />

5π<br />

x<br />

<br />

x<br />

<br />

x 1<br />

<br />

0<br />

3<br />

x<br />

2<br />

x<br />

1<br />

3<br />

1<br />

2<br />

x<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

x<br />

x<br />

x<br />

2<br />

2<br />

x 1<br />

x 1<br />

گزينه<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

-17<br />

-18<br />

2<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏ معادله ي ديفرانسيل مرتبه 3<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

و درجه ي<br />

است.‏<br />

جواب معادله ي ديفرانسيل در معادله ديفرانسيل بايد صدق كند بنابراين در تك تك گزينه ها قرار داده<br />

جواب را بدست مي آوريم.‏<br />

y e<br />

kx<br />

c y<br />

ke<br />

ky y<br />

ck k(e<br />

kx<br />

kx<br />

c) ke<br />

kx<br />

ke<br />

kx<br />

kc ke<br />

kx<br />

در گزينه ‏(ج)‏ بررسي مي كنيم kc<br />

پاسخ سوالات تشريحي<br />

-19<br />

-20<br />

1- الف-‏ ستون دوم و سوم را جمع مي كنيم.‏<br />

A <br />

0<br />

3<br />

2<br />

1<br />

2<br />

2<br />

1<br />

3 <br />

3<br />

0<br />

3<br />

2<br />

1 1<br />

2 3<br />

2 3<br />

1<br />

3 <br />

3<br />

0<br />

3<br />

2<br />

0<br />

1<br />

1<br />

1<br />

3<br />

3

هوژپ ظفاح تاراشتنا ٨٦<br />

1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

3<br />

1<br />

1<br />

1<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

)<br />

(<br />

)<br />

(<br />

A<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

1<br />

3<br />

2<br />

2<br />

3<br />

2<br />

3<br />

1<br />

1<br />

0<br />

3<br />

2<br />

2<br />

3<br />

2<br />

3<br />

1<br />

1<br />

0<br />

2<br />

A<br />

1<br />

-ب<br />

-<br />

AdjA<br />

AdjA<br />

A<br />

AdjA<br />

A<br />

A<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

1 1<br />

1<br />

-2<br />

9<br />

1<br />

4<br />

8<br />

1<br />

1<br />

3<br />

1<br />

1<br />

0<br />

9<br />

1<br />

4<br />

3<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

Δ<br />

Δ<br />

9<br />

8<br />

4<br />

3<br />

3<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

2<br />

9<br />

1<br />

8<br />

3<br />

1<br />

3<br />

1<br />

1<br />

0<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z<br />

Δ<br />

Δy<br />

1<br />

9<br />

9<br />

1<br />

9<br />

9<br />

1<br />

9<br />

9<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

Δ<br />

Δz<br />

z<br />

Δ<br />

Δy<br />

y<br />

Δ<br />

Δx<br />

x<br />

-3<br />

y<br />

x<br />

y<br />

x<br />

xy<br />

y<br />

x<br />

y<br />

x<br />

y<br />

y<br />

x<br />

y<br />

x<br />

x<br />

e<br />

e<br />

f<br />

e<br />

e<br />

f<br />

e<br />

e<br />

y)<br />

(x,<br />

f<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

y<br />

x<br />

y<br />

x<br />

yy<br />

y<br />

x<br />

y<br />

x<br />

xx<br />

e<br />

e<br />

f<br />

e<br />

e<br />

f<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

1<br />

00<br />

2<br />

1<br />

1<br />

00<br />

2<br />

1<br />

1<br />

0<br />

0 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

)<br />

,<br />

(<br />

f<br />

)<br />

,<br />

(<br />

f<br />

)<br />

,<br />

(<br />

f<br />

xy<br />

yy<br />

xx<br />

8<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

00<br />

2<br />

00<br />

0<br />

0 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

)<br />

,<br />

(<br />

f<br />

)<br />

,<br />

(<br />

f<br />

)<br />

,<br />

(<br />

f<br />

A<br />

xy<br />

yy<br />

xx<br />

-4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

0<br />

12<br />

3<br />

3<br />

0<br />

6<br />

2<br />

2<br />

y<br />

y<br />

f<br />

x<br />

x<br />

f<br />

y<br />

x<br />

طاقن<br />

ينارحب<br />

)<br />

2و<br />

(3<br />

و<br />

2)<br />

-و<br />

(3<br />

.تسا<br />

2<br />

f xx<br />

f yy 6y<br />

<br />

0<br />

f xy<br />

0<br />

24<br />

0<br />

2<br />

6<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

3<br />

2<br />

3<br />

2<br />

3<br />

2<br />

3<br />

1 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

)<br />

)(<br />

(<br />

f<br />

f<br />

f<br />

Δ<br />

)<br />

,<br />

(<br />

xy<br />

)<br />

,<br />

(<br />

yy<br />

)<br />

,<br />

(<br />

xx<br />

)<br />

,<br />

(

و‎2‎<br />

Δ<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎87‎<br />

(3<br />

نتيجه اي براي نقطه )<br />

نمي توان گرفت.‏<br />

( 3,<br />

2)<br />

2<br />

f<br />

xy 2<br />

( 6 2)<br />

0<br />

24<br />

0<br />

( 3,<br />

2)<br />

( 3,<br />

2)<br />

( 3,<br />

2)<br />

2 fxx<br />

fyy<br />

<br />

<br />

وΔ چون 0<br />

f xx 0 است بنابراين نقطه (2 و-‏ 3) نقطه ي ماكزيمم است.‏<br />

2<br />

π<br />

2<br />

π<br />

2<br />

π<br />

4 cos x<br />

2 4 cos x<br />

0 0<br />

2 0<br />

4 π<br />

dx dx sin x 2sin<br />

2sin0<br />

2<br />

x<br />

2 x<br />

2<br />

-5

و‎0‎<br />

نيمسال دوم 84-85<br />

٨٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

60 دقيقه<br />

مقدار دترمينان،‏ ماتريس<br />

الف.‏‎2‎<br />

زمان امتحان:‏ تستي و تكميلي 60 دقيقه تشريحي<br />

-3<br />

A به ازاي چه مقدار از x برابر صفر است؟<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

1<br />

2<br />

0<br />

1<br />

ب.‏<br />

ج.صفر<br />

د.‏<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

2<br />

.1<br />

1<br />

A 2A<br />

A<br />

1 A<br />

<br />

2<br />

، آنگاه معكوس ماتريس A كدام است؟<br />

2<br />

A 2I<br />

1<br />

A 2A<br />

A<br />

1 A<br />

<br />

2<br />

اگر<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

.2<br />

الف .<br />

1<br />

A <br />

1<br />

A<br />

A B<br />

<br />

A<br />

يك ماتريس مربعي باشد كدام گزينه نادرست است؟<br />

B<br />

ب.‏ AB A B<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

.3 اگر A<br />

الف.‏ A T A<br />

3<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

1<br />

<br />

<br />

2<br />

رتبه ماتريس<br />

كدام است؟<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

1<br />

.4<br />

الف.صفر<br />

ب.‏<br />

ج.‏‎2‎<br />

د.‏<br />

k 2<br />

.5 سه بردار 3) , , 12 ),( , 10 ),(k, , , 111 (<br />

الف.‏1‎<br />

ب.‏<br />

به ازاي كدام مقدار k مستقل خطي نيستند.‏<br />

ج.‏ k 2<br />

د.‏<br />

k 1<br />

k<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

0 0<br />

1 0<br />

<br />

<br />

0 1<br />

2<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

اگر معكوس ماتريس مربعي A برابر<br />

باشد،‏ ماتريس الحاقي A برابر است با:‏<br />

0 0<br />

1 0<br />

<br />

<br />

0 1<br />

0<br />

0 1 <br />

<br />

<br />

0 1 1<br />

<br />

<br />

1 0 1 <br />

0 0<br />

2 0<br />

<br />

<br />

0 2<br />

1<br />

1<br />

1<br />

<br />

<br />

0 1 0<br />

<br />

<br />

0 0 1<br />

.6<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

f<br />

( g 4 )( 01 , , 0)<br />

g<br />

-10<br />

g<br />

(x, y,z)<br />

x y z<br />

f (x, y,z)<br />

x<br />

2<br />

y<br />

2<br />

اگر z<br />

و<br />

آنگاه<br />

كدام است؟<br />

-5<br />

.7<br />

الف.‏‎5‎<br />

ب.‏<br />

ج.‏‎10‎<br />

د.‏<br />

(0<br />

)<br />

xy<br />

x<br />

<br />

f (x, y) <br />

2<br />

x y<br />

<br />

0<br />

2<br />

2<br />

(x, y)<br />

(x, y)<br />

( 00 , )<br />

( 00 , )<br />

با ضابطه تابع f<br />

در نقطه<br />

.8

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎89‎<br />

الف.‏ ناپيوسته است<br />

ب.‏ داراي حدصفر است<br />

ج.‏ داراي حد يك است<br />

د.‏ پيوسته است<br />

2<br />

2<br />

4<br />

f y ( 3,<br />

1)<br />

f x ( 3,<br />

1)<br />

x<br />

، f (x, y) 2 مقدار<br />

x y<br />

3 2 3 2<br />

,<br />

, <br />

2 4<br />

2 4<br />

فرض كنيد<br />

و<br />

بترتيب كدام است؟<br />

3 2 , <br />

2 4<br />

.9<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

3 ,<br />

10<br />

f (x, y) x Ln(x<br />

اگر ، ديفرانسيل كل تابع وقتي<br />

1<br />

13<br />

<br />

11<br />

13<br />

11<br />

2 <br />

x و y 3 برابر است با:‏<br />

11<br />

<br />

13<br />

y<br />

2<br />

)<br />

و 2 dy و1‎ dx <br />

11<br />

13<br />

.<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

0<br />

كدام است؟<br />

xy<br />

2<br />

lim<br />

( x,y) )<br />

2 2<br />

( 0 , 0 x y <br />

2<br />

x<br />

11. حاصل<br />

الف.‏‎1‎‏-‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏‎1‎‏+‏<br />

د.‏<br />

-2<br />

x<br />

0<br />

lim<br />

x0<br />

sin t<br />

dt<br />

t<br />

x<br />

12. حاصل حد<br />

الف.‏‎1‎<br />

ب.‏<br />

كدام است؟<br />

ج.‏‎2‎<br />

د.‏<br />

-1<br />

F(x) c <br />

<br />

x<br />

dx<br />

x 1<br />

فرض كنيد<br />

x كدام است؟<br />

در صورتيكه<br />

C 0 فرض شود،‏ مقدار انتگرال به ازاي<br />

1<br />

<br />

2<br />

4<br />

<br />

3<br />

4<br />

3<br />

1<br />

2<br />

.13<br />

0<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

25<br />

x<br />

2ay<br />

0<br />

<br />

x<br />

4y<br />

0<br />

دستگاه<br />

به ازاي كدام مقدارa جوابهاي بي شمار دارد؟<br />

-1<br />

.14<br />

الف.‏‎2‎‏-‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏‎1‎<br />

د.‏<br />

7<br />

2<br />

<br />

4<br />

3<br />

5<br />

<br />

<br />

در ماتريس<br />

، مجموع مقادير ويژه كدام است؟<br />

3<br />

.15<br />

الف.‏‎2‎<br />

ب.‏<br />

ج.‏‎4‎<br />

د.‏<br />

1<br />

<br />

3<br />

3<br />

Ln<br />

2<br />

4<br />

1<br />

x (<br />

3<br />

2Ln<br />

2<br />

dx<br />

x 1)<br />

16. حاصل انتگرال<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

برابر است با:‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

1<br />

3

٩٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

كدام تابع خطي است؟<br />

x1<br />

<br />

x1<br />

<br />

3 3<br />

f 5x1<br />

1 f : R R<br />

x <br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2x2<br />

<br />

.17<br />

الف.‏<br />

x1<br />

<br />

x1<br />

<br />

2 4<br />

y<br />

<br />

x2<br />

1<br />

<br />

<br />

f : R R<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0 <br />

ب.‏<br />

x1<br />

<br />

2<br />

x<br />

<br />

h<br />

<br />

x2<br />

<br />

<br />

x2<br />

x<br />

x <br />

<br />

3 <br />

3 <br />

x1<br />

x3<br />

<br />

w<br />

<br />

x<br />

<br />

2 x<br />

<br />

<br />

<br />

2 <br />

<br />

x3<br />

<br />

<br />

x1<br />

<br />

3 2<br />

h : R R<br />

3 3<br />

w : R R<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

n n است)‏<br />

كدام عبارت درست است؟ (A<br />

ماتريس<br />

r(I<br />

n<br />

) n 1<br />

.18<br />

الف.‏<br />

r(A)<br />

ب.‏ n<br />

ج.‏<br />

اگر و تنها اگر A وارون ناپذير باشد.‏<br />

det(A) اگر و تنها اگر 0 r(A)<br />

n<br />

det(A) 0<br />

r(A)<br />

د.‏ n<br />

اگر و تنها اگر<br />

λ<br />

2<br />

3λ 2<br />

يك ماتريس 2×٢<br />

و چند جمله اي ويژه آن بصورت<br />

باشد،‏ دترمينان A<br />

كدام<br />

4<br />

2<br />

.19 اگر A<br />

است؟<br />

الف.‏‎1‎<br />

ب.‏<br />

ج.‏‎3‎<br />

د.‏<br />

Cx<br />

y<br />

‎20‎‏.جواب معادله ديفرانسيل مقابل كدام است0‎ 4y<br />

2<br />

ج.‏ Cx<br />

1 x<br />

4<br />

2<br />

ب.‏<br />

د.‏<br />

الف.‏ sin2x

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎91‎<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

4<br />

با استفاده از اعمال سطري وارون ماتريس<br />

سؤالات تشريحي<br />

A را بدست آوريد و نشان دهيد<br />

x<br />

y z 3<br />

<br />

kx<br />

y 2z<br />

5<br />

<br />

x<br />

2y<br />

z 4<br />

f<br />

f<br />

f<br />

(x y z)<br />

x<br />

y<br />

z<br />

3<br />

0<br />

4<br />

3<br />

1<br />

<br />

<br />

3 <br />

است.‏<br />

1<br />

و A A<br />

از K<br />

adjA A<br />

به ازاي چه مقداري<br />

فرض كنيد<br />

، دستگاه زير داراي يك جواب منحصر بفرد است.‏<br />

2<br />

نشان دهيد.‏<br />

2<br />

f (x, y,z) x y y z z x<br />

y<br />

x<br />

2<br />

در كارخانه اي دو نوع اتومبيل به تعداد<br />

و<br />

توليد مي شود.‏ تابع هزينه توليد اين دو نوع اتومبيل<br />

f (x, y)<br />

x<br />

2<br />

xy 2y<br />

2<br />

2<br />

عبارت است از:‏<br />

براي به حداقل رسانيدن هزينه،‏ چند اتومبيل از هر نوع بايد توليد شود،‏ در صورتيكه مجموع تعداد<br />

3<br />

y x<br />

2<br />

y x<br />

اتومبيلهاي توليد شده برابر 8 باشد.‏<br />

مساحت ناحيه محصور به منحني هاي<br />

و<br />

رابدست آوريد.‏<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

.5<br />

پاسخ سؤالات تستي:‏<br />

x<br />

2<br />

2<br />

x<br />

2<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

A 0<br />

1 0 2 1 0 ( 0<br />

4 2)<br />

( 4 2x<br />

0)<br />

2 2x<br />

0<br />

x 1<br />

1 1 2 1 1<br />

A<br />

2 1<br />

2 1<br />

1<br />

1<br />

A<br />

2I<br />

A<br />

A<br />

2A<br />

I A 2A<br />

1<br />

2 1<br />

1<br />

R<br />

<br />

<br />

<br />

3 2R2<br />

<br />

1 1 1<br />

<br />

R2<br />

R1<br />

0<br />

<br />

0 0 0<br />

<br />

0<br />

2<br />

1<br />

0<br />

A<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

2<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

-1<br />

-2<br />

-3<br />

-4

تعداد عناصر مخالف صفر روي قطر اصلي رتبه ماتريس است.‏<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

٩٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

U 0<br />

k 1 0 k 1 ( 3 0<br />

2k)<br />

( 3k<br />

01)<br />

2 k 0<br />

k 2<br />

1 2 3 1 2<br />

1<br />

A 111<br />

1<br />

1<br />

1<br />

A A 1<br />

A<br />

1<br />

1<br />

1 1<br />

A adjA A adjA <br />

<br />

<br />

1<br />

A<br />

<br />

1<br />

f<br />

0 1<br />

0<br />

g 4 ( 010)<br />

4<br />

g<br />

010<br />

0<br />

x <br />

lim lim f (x, y) lim 1<br />

x0<br />

0<br />

0 2 2<br />

y<br />

x<br />

<br />

x 0<br />

<br />

00<br />

<br />

lim lim f (x, y) lim 0<br />

0 0<br />

0 2<br />

<br />

y<br />

x<br />

y<br />

<br />

0 y <br />

f<br />

f<br />

( 3,<br />

1)<br />

x<br />

( 3,<br />

1)<br />

y<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

مي دانيم دترمينان ماتريس مثلثي برابر حاصل ضرب عناصر قطر اصلي است.‏<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

4 5<br />

f (x, y) 2(x<br />

y) 12x<br />

2y<br />

2<br />

<br />

<br />

x<br />

2<br />

2<br />

(x y) (x y) ( 3 1)<br />

f (x, y) 0<br />

( 1)(<br />

2x)<br />

2x<br />

23<br />

<br />

y<br />

2<br />

2 2<br />

(x y) (x y) ( 3 1)<br />

(x,y)<br />

(x,y)<br />

f<br />

f<br />

2x<br />

df .dx dy ( 1<br />

x<br />

y<br />

2<br />

x y<br />

22<br />

2<br />

3 17<br />

df ( 1<br />

) 1<br />

( ) 1<br />

<br />

2 2 2 2<br />

2 3 2 3 13<br />

2<br />

گزينه<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

تابع داراي حد نيست بنابراين پيوسته نيست<br />

)dx (<br />

x<br />

6<br />

13<br />

<br />

11<br />

13<br />

2<br />

2<br />

6<br />

4<br />

2y<br />

y<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

2<br />

<br />

4<br />

<br />

2<br />

3<br />

2<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

)dy<br />

-5<br />

-6<br />

-7<br />

-8<br />

-9<br />

10- گزينه

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎93‎<br />

<br />

<br />

lim lim f (x, y) lim<br />

x0<br />

y0<br />

x0<br />

<br />

lim<br />

<br />

0<br />

lim f (x, y)<br />

y<br />

x0<br />

<br />

lim<br />

y0<br />

0 0<br />

0 0<br />

2<br />

x 1<br />

U x 1<br />

U x U 1<br />

dx 2UdU<br />

x 0<br />

U 1<br />

2<br />

2<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

11- گزينه<br />

12- گزينه<br />

13- گزينه<br />

x U 1<br />

2 1<br />

3 2 3 2 4<br />

dx 2UdU<br />

2(U<br />

1)dU<br />

2<br />

<br />

U U<br />

<br />

U 2U<br />

2 <br />

x 1<br />

U<br />

3<br />

3 3 3<br />

1<br />

A <br />

1<br />

2a<br />

4<br />

0<br />

4 2a<br />

0<br />

a 2<br />

tr(A) λ i 2 5 7<br />

1<br />

U x 1<br />

dU dx<br />

2 x<br />

4 dx 4 1 1<br />

<br />

21<br />

<br />

x ( x 1)<br />

2 x x 1<br />

3<br />

2Ln(<br />

4 1)<br />

<br />

2<br />

Ln 1 1<br />

2Ln3<br />

Ln2<br />

2Ln<br />

2<br />

1 dx 2Ln(<br />

x 1)<br />

1<br />

4<br />

2<br />

λ trAλ A 0<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

14- گزينه<br />

15- گزينه<br />

مي دانيم اثر ماتريس برابر مجموع مقادير ويژه است<br />

2×2<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

-16<br />

17- گزينه<br />

18- گزينه<br />

19- گزينه<br />

مي دانيم معادله ي مشخصه ماتريس<br />

صحيح است.‏<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

به صورت<br />

است بنابراين گزينه ‏(ب)‏<br />

y sin2x,<br />

y<br />

2cos2x,<br />

y<br />

4sin2x<br />

y<br />

4y<br />

0 4sin2x<br />

4sin2x<br />

0<br />

20- گزينه<br />

جواب معادله ديفرانسيل صدق مي كند بنابراين

٩٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

پاسخ سؤالات تشريحي<br />

<br />

4<br />

A I<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

4<br />

R 1<br />

0<br />

3 R2<br />

R2<br />

<br />

<br />

0 1<br />

R3<br />

4R1R3<br />

<br />

0 4<br />

3<br />

0<br />

4<br />

1<br />

0<br />

1<br />

3 1 0 0<br />

1 0<br />

1 0 1 0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

R 1 R 2 <br />

4 3<br />

<br />

3 0 0 1<br />

<br />

4 4<br />

0 1 0<br />

1<br />

0<br />

R <br />

1 0 1 3<br />

4R<br />

2 R3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0 1<br />

0 4 1<br />

<br />

0 0<br />

<br />

I A<br />

<br />

<br />

A I<br />

ب-‏ ايستي <br />

را به<br />

تبديل كنيم.‏<br />

1<br />

3<br />

3<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

0<br />

4<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

0<br />

4<br />

0 <br />

1<br />

<br />

<br />

3<br />

1<br />

1<br />

R <br />

<br />

3 R 3 <br />

0<br />

<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

1<br />

4<br />

1<br />

0<br />

4<br />

0<br />

1<br />

R <br />

1 1<br />

R<br />

3 R1<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

3<br />

<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

1<br />

4<br />

1<br />

4<br />

3<br />

21<br />

3 3 22<br />

4 3 32<br />

4 3<br />

A ( 1)<br />

( 1)<br />

0<br />

( 1)<br />

1<br />

4 3<br />

4 3<br />

4 4<br />

A 3 0<br />

4 1<br />

1 1<br />

1<br />

A adjA A adjA<br />

A<br />

A<br />

1<br />

A A است و چون A 1 است بنابراين:‏<br />

1<br />

A adjA<br />

1<br />

A 0<br />

k<br />

( 1)<br />

1<br />

1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2 <br />

1<br />

2<br />

( 1)<br />

1<br />

k<br />

1<br />

1<br />

1<br />

A A است بنايراين<br />

2<br />

( 1)<br />

1<br />

11<br />

12<br />

13<br />

k<br />

0<br />

4<br />

3<br />

1<br />

<br />

<br />

3 <br />

نسبت به سطر دوم بسط مي دهيم<br />

همانگونه كه مشاهده مي شود<br />

‎2‎‏-بايستي دترمينان ضرائب مخالف صفر باشد.‏<br />

(<br />

1)<br />

<br />

1<br />

1<br />

<br />

2<br />

3 k 2 2k<br />

10 2<br />

k 0<br />

k 2<br />

-3

95تيريدم رد نآ دربراك و تايضاير يناحتما تلااؤس و امنهار<br />

zx<br />

y<br />

z<br />

f<br />

yz<br />

x<br />

y<br />

f<br />

z<br />

xy<br />

x<br />

f<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2 )<br />

z<br />

y<br />

(x<br />

zx<br />

yz<br />

xy<br />

z<br />

y<br />

x<br />

z<br />

f<br />

y<br />

f<br />

x<br />

f<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

-4<br />

0<br />

8<br />

8 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

y<br />

x<br />

y<br />

x<br />

8 0<br />

<br />

<br />

y<br />

x<br />

y)<br />

g(x,<br />

)<br />

y<br />

λ(x<br />

y<br />

xy<br />

x<br />

λg(x,g)<br />

y)<br />

f (x,<br />

y)<br />

(x,<br />

F 8<br />

2 2<br />

2 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4<br />

4<br />

8<br />

2<br />

0<br />

8<br />

0<br />

8<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

0<br />

3<br />

3<br />

0<br />

2<br />

0<br />

2<br />

1<br />

y<br />

,<br />

x<br />

x<br />

x<br />

x<br />

y<br />

x<br />

λ<br />

y)<br />

F(x,<br />

λ<br />

y<br />

x<br />

y<br />

y)<br />

F(x,<br />

λ<br />

y<br />

x<br />

x<br />

y)<br />

F(x,<br />

y<br />

x<br />

y<br />

x<br />

λ<br />

y<br />

x<br />

λ<br />

y<br />

x<br />

-5<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

2<br />

2<br />

3<br />

2<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

,<br />

x<br />

)<br />

(x<br />

x<br />

x<br />

x<br />

x<br />

x<br />

f (x)<br />

g(x)<br />

حطس دحاو<br />

12<br />

1<br />

4<br />

1<br />

3<br />

1<br />

4<br />

1<br />

3<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

4<br />

3<br />

3<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

x<br />

)dx<br />

x<br />

(x<br />

S

نيمسال اول 85-86<br />

٩٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

زمان امتحان:‏ تستي و تكميلي 60 دقيقه تشريحي 60 دقيقه<br />

F(x) xLnx x 5<br />

f (x) مي باشد؟<br />

‎1‎‏.كدام يك از توابع زير تابع اوليه ي Lnx<br />

الف)‏ F(x) xLnx x 2<br />

ب)‏<br />

F(x) Lnx x 1<br />

F(x)<br />

ج)‏ xLnx<br />

د)‏<br />

1<br />

3<br />

1<br />

2<br />

2<br />

( x 1)<br />

C<br />

برابر است با:‏<br />

2<br />

‎2‎‏.انتگرال نامعين x x 1dx<br />

1<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

( x 1)<br />

الف)‏ C<br />

ب)‏<br />

2<br />

3<br />

1<br />

2<br />

2<br />

( x 1)<br />

C<br />

2<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

( x 1)<br />

ج)‏ C<br />

د)‏<br />

3<br />

4<br />

Ln3<br />

1<br />

3Ln<br />

3<br />

1 dx<br />

0 x<br />

3 1<br />

1<br />

3Ln<br />

4<br />

مقدار<br />

الف.‏<br />

برابر است با:‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

1 Ln 4<br />

.3<br />

π<br />

3<br />

π<br />

4<br />

برابر است با:‏<br />

2<br />

0<br />

π<br />

2<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

π<br />

2<br />

cos<br />

. مقدار xdx<br />

الف.‏ π<br />

4,<br />

x و خطوط 1 f (x) <br />

مساحت ناحيه محدود به نمودار تابع x<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

x برابر است با:‏<br />

7<br />

3<br />

1 2<br />

<br />

1<br />

5<br />

د.‏<br />

1<br />

<br />

<br />

2<br />

14<br />

3<br />

8<br />

3<br />

1<br />

B 1 ماتريس<br />

5<br />

,<br />

A<br />

<br />

1<br />

9<br />

<br />

5<br />

2<br />

16<br />

3<br />

فرض كنيد<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

A B برابر است با:‏<br />

5 <br />

10<br />

<br />

<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

2<br />

10<br />

<br />

<br />

.5<br />

.6<br />

3<br />

4<br />

3<br />

1<br />

0<br />

1<br />

5<br />

2<br />

0<br />

0<br />

2<br />

3<br />

0<br />

0<br />

0<br />

1<br />

مقدار<br />

برابر است با:‏<br />

.7

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎97‎<br />

3<br />

-6<br />

2<br />

الف.‏‎1‎<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

det αA<br />

1<br />

3<br />

0 5<br />

<br />

5 0<br />

<br />

<br />

α det A<br />

( 5,<br />

2,<br />

7)<br />

<br />

y x<br />

3<br />

, y x<br />

2<br />

مساحت محدود به نمودار توابع<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

برابر است با:‏<br />

1<br />

4<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

1<br />

<br />

2<br />

2<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

12<br />

1<br />

24<br />

كدام يك از ماتريس هاي زير شبه متقارن است؟<br />

0<br />

<br />

1<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

0<br />

0<br />

1<br />

<br />

<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

كدام يك از روابط زير نادرست است؟<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

د.‏<br />

n<br />

det αA α<br />

<br />

( 2,<br />

1),(<br />

2,<br />

1)<br />

det A<br />

<br />

T<br />

( AB) B<br />

T<br />

A<br />

T<br />

1<br />

1<br />

.8<br />

.9<br />

.10<br />

( A ) A<br />

كدام يك از مجموعه هاي زير وابسته خطي اند؟<br />

<br />

( 12 , , 3),(<br />

00 , , 1)<br />

ب.‏ <br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

( 12 , ),( 2,<br />

الف.‏ (1<br />

.11<br />

1<br />

2<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

0<br />

3<br />

1<br />

0<br />

4<br />

3<br />

2<br />

<br />

<br />

5<br />

‎12‎‏.رتبه ي ماتريس<br />

ب.‏<br />

برابر است با:‏<br />

ج.‏<br />

د.‏ صفر<br />

الف.‏ 2<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

x1<br />

x3<br />

<br />

( f كدام است؟<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x2<br />

<br />

)<br />

<br />

x2<br />

<br />

<br />

x3<br />

<br />

<br />

x1<br />

<br />

1<br />

1<br />

0 0<br />

1<br />

<br />

<br />

0 1 0<br />

<br />

1<br />

<br />

0 0 1<br />

ماتريس نمايشگر تابع خطي<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

0 1<br />

<br />

1 0<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

0<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

.13<br />

( 0,<br />

0)<br />

2x<br />

f (x, y) <br />

x<br />

-3<br />

2<br />

2<br />

3y<br />

y<br />

2<br />

2<br />

14. حد تابع<br />

ب.‏<br />

در نقطه ي<br />

برابر است با:‏<br />

ج.‏ صفر<br />

د.‏ وجود ندارد<br />

الف.‏ 2<br />

( 0,<br />

‎15‎‏.كدام يك از توابع زير در نقطه ي (0<br />

پيوسته است؟

الف)‏<br />

٩٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

f (x, y)<br />

y<br />

<br />

x<br />

<br />

1<br />

,(x, y)<br />

,(x, y)<br />

( 00 , )<br />

( 00 , )<br />

ب)‏<br />

f (x, y)<br />

xy<br />

x<br />

<br />

<br />

2<br />

x y<br />

<br />

0<br />

2<br />

2<br />

,(x, y)<br />

,(x, y)<br />

( 00 , )<br />

( 00 , )<br />

f (x, y)<br />

<br />

<br />

x<br />

<br />

0<br />

2x<br />

2<br />

3<br />

3y<br />

2<br />

,(x, y)<br />

,(x, y)<br />

( 00 , )<br />

( 00 , )<br />

f (x, y)<br />

x<br />

<br />

x<br />

<br />

1<br />

2<br />

2<br />

y<br />

y<br />

2<br />

2<br />

,(x, y)<br />

,(x, y)<br />

( 00 , )<br />

( 00 , )<br />

ج)‏<br />

د)‏<br />

2<br />

f<br />

xy<br />

2<br />

f (x, y) sin(x<br />

2 <br />

y<br />

3<br />

تابع )<br />

الف)‏<br />

را در نظر بگيريد،‏<br />

ب)‏<br />

برابر است با:‏<br />

2<br />

6x<br />

y sin(x y<br />

3<br />

)<br />

2<br />

2<br />

6xy<br />

cos(x y<br />

3<br />

)<br />

.16<br />

2<br />

2<br />

6x<br />

y cos(x y<br />

3<br />

)<br />

2<br />

2<br />

6xy<br />

sin(x y<br />

3<br />

ج)‏ )<br />

د)‏<br />

1<br />

2<br />

d y<br />

)<br />

2<br />

dx<br />

3<br />

dy 2<br />

( ) xy 1<br />

dx<br />

5<br />

‎17‎‏.معادله ي ديفرانسيل<br />

ب.‏<br />

( از مرتبه ي چند است؟<br />

ج.‏ 2<br />

د.‏<br />

الف.‏ 6<br />

2<br />

d y dy<br />

2 3y<br />

0<br />

2<br />

dx dx<br />

كدام يك از توابع زير يك جواب خصوصي معادله ي ديفرانسيل<br />

الف)‏<br />

ب)‏<br />

مي باشد؟<br />

y<br />

x<br />

e<br />

<br />

e<br />

3x<br />

y e<br />

x<br />

e<br />

3x<br />

.18<br />

x<br />

y <br />

2<br />

e e<br />

3x<br />

د)‏<br />

y e<br />

2x<br />

3x<br />

e<br />

ج (<br />

3,0<br />

1,<br />

3<br />

3<br />

<br />

<br />

4<br />

3,4<br />

0 <br />

1<br />

<br />

<br />

مقادير ويژه ماتريس<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

A عبارتند از:‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

1,3<br />

.19<br />

3<br />

<br />

2<br />

4<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

2<br />

ماتريس <br />

<br />

كدام يك از بردارهاي زير،‏ بردار ويژه متناظر با مقدار ويژه λ 1<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

مي باشد؟<br />

4<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

4<br />

2<br />

<br />

4<br />

<br />

.20<br />

سؤالات تشريحي

ب.‏<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎99‎<br />

<br />

sin x<br />

dx<br />

x<br />

انتگرال هاي زير را محاسبه كنيد.‏<br />

فلا.‏<br />

2 3x<br />

x e dx<br />

.1<br />

a<br />

b c<br />

1<br />

1<br />

A 2<br />

0<br />

b<br />

a c<br />

1<br />

2<br />

3<br />

5<br />

c<br />

a b 0<br />

1<br />

4<br />

1<br />

4<br />

2x1<br />

x2<br />

3x3<br />

2<br />

<br />

x1<br />

4x2<br />

1<br />

<br />

2x1<br />

6x2<br />

x3<br />

5<br />

f (x, y)<br />

x<br />

3<br />

3xy<br />

y<br />

A وارون ماتريس ،(adj A)<br />

بدون محاسبه ي دترمينان ثابت كنيد:‏<br />

با محاسبه ي ماتريس الحاقي<br />

با استفاده از روش حذفي گاوس دستگاه معادلات زير را حل كنيد.‏<br />

را بدست آوريد:‏<br />

نقاط ماكسيمم و مينيمم نسبي و زين اسبي تابع زير را در صورت وجود بيابيد.‏<br />

3<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

.5<br />

پاسخ سؤالات تستي<br />

U Lnx dU <br />

dv dx V x<br />

Lnxdx<br />

xLnx<br />

dx<br />

x<br />

dx<br />

x<br />

x<br />

xLnx x <br />

2<br />

U x 1<br />

dU 2xdx<br />

<br />

x<br />

x<br />

2<br />

1<br />

1dx<br />

<br />

2<br />

<br />

x<br />

2<br />

1<br />

1(<br />

2xdx)<br />

<br />

2<br />

<br />

c<br />

U<br />

1<br />

2<br />

1 1<br />

dU U<br />

2 1<br />

1<br />

2<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه<br />

انتگرال گيري جزء به جزء<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

1<br />

1<br />

2<br />

c<br />

-1<br />

-2

١٠٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

3<br />

2<br />

1 1 2<br />

U c (x 1)<br />

2<br />

3 3<br />

3<br />

c<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

U 3x<br />

1<br />

dU 3dx<br />

1 dx 1 1 3dx<br />

1 4 dU 1 1<br />

1<br />

0 0<br />

1<br />

LnU Ln4<br />

Ln1<br />

Ln4<br />

3x<br />

1<br />

3 3x<br />

1<br />

3 U 3 3<br />

3<br />

π<br />

π<br />

2 1 π<br />

1 1 2<br />

02<br />

cos xdx 02<br />

( 1 cos2x)dx<br />

<br />

<br />

x sin2x<br />

<br />

<br />

2<br />

2 2 0<br />

S b 4<br />

a<br />

f (x)dx 1<br />

A B <br />

1<br />

<br />

5<br />

<br />

<br />

1<br />

4<br />

1 1<br />

<br />

2 4<br />

xdx x 2 <br />

1 <br />

1<br />

3<br />

1<br />

2<br />

1<br />

1 2 110<br />

9<br />

π<br />

4<br />

2<br />

x<br />

x 8<br />

1<br />

3<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

14<br />

<br />

3<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

-3<br />

-4<br />

-5<br />

-6<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏ دترمينان ماتريس مثلثي برابر حاصل ضرب عناصر روي قطر اصلي است.‏<br />

A 3 121<br />

6<br />

x<br />

S<br />

2<br />

x<br />

0<br />

1<br />

3<br />

(x<br />

2<br />

0<br />

x<br />

x<br />

3<br />

2<br />

(x 1)<br />

0<br />

x 0,<br />

x 1<br />

1<br />

)dx x<br />

3<br />

3<br />

1<br />

x<br />

4<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

0<br />

<br />

1<br />

3<br />

<br />

1<br />

4<br />

<br />

1<br />

12<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

واحد سطح<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏ ماتريس شبه متقارن ماتريسي است كه روي قطر اصلي عناصر آن صفر باشد و<br />

نسبت به قطر اصلي اعداد قرينه باشند.‏<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ب)‏ صحيح است.‏ سطر دوم و سوم را جابه جا مي كنيم و تعداد عناصر روي قطر اصلي مخالف<br />

2<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

0<br />

1<br />

4<br />

0<br />

3<br />

5<br />

<br />

<br />

5<br />

-7<br />

-8<br />

-9<br />

10- گزينه<br />

11- گزينه<br />

12- گزينه<br />

صفر رتبه ماتريس است.‏<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

13- گزينه<br />

14- گزينه

2x<br />

0<br />

lim lim f (x, y) lim 2<br />

x0<br />

0<br />

0 2<br />

y<br />

x<br />

<br />

x 0<br />

<br />

2<br />

<br />

3y<br />

<br />

lim lim f (x, y) lim<br />

3<br />

y0<br />

x0<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

y <br />

2<br />

f 3<br />

<br />

2 2<br />

6xy<br />

sin(x y<br />

xy<br />

t<br />

y<br />

2<br />

1<br />

2t<br />

3 0<br />

(t 3)(t<br />

1)<br />

0<br />

t 3,<br />

t 1<br />

3x x<br />

c1<br />

e , y2<br />

c2<br />

x<br />

3x<br />

e<br />

)<br />

2<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎101‎<br />

بنابراين حد ندارد<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

2 3<br />

15- گزينه<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

f 3<br />

<br />

2<br />

2x cos(x y<br />

x<br />

‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

)<br />

-16<br />

17- گزينه<br />

18- گزينه<br />

بنابراين هر تركيب خطي از آنها نيز جواب معادله ديفرانسيل است.‏<br />

y e e<br />

19- گزينه<br />

3 λ<br />

4<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏ در ماتريس قطري و مثلثي عناصر روي قطر اصلي مقادير ويژه هستند<br />

0<br />

0<br />

( 3 λ)( 1<br />

λ) 0<br />

λ<br />

1<br />

λ<br />

3<br />

λ 2<br />

x<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

λy<br />

0<br />

<br />

4 2x<br />

0<br />

4x<br />

2y<br />

0<br />

<br />

<br />

2 1y<br />

0<br />

2x<br />

y 0<br />

y 2x<br />

3 ,λ<br />

1 2 <br />

1<br />

20- گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

sin x<br />

dx<br />

x<br />

1<br />

U x dU dx<br />

2 x<br />

sin x<br />

dx<br />

x<br />

sin<br />

2<br />

2<br />

الف)‏<br />

پاسخ سؤالات تشريحي<br />

dx sin UdU cos U c cos x <br />

x<br />

x<br />

2<br />

2<br />

2<br />

c<br />

-1

١٠٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

ب)‏ به روش جزء به جزء<br />

2<br />

U x dU 2xdx<br />

3x<br />

1 3x<br />

dV e dx V e<br />

3<br />

2 3<br />

1 2 3x<br />

1<br />

x e dx x e 2<br />

x( e<br />

3<br />

3<br />

2 3x<br />

x e dx<br />

UdV U.V Vdx<br />

x 3x<br />

2 3x<br />

3x<br />

)dx x e xe<br />

U x dU dx<br />

3x<br />

3x<br />

dV e dx V 1 e <br />

3<br />

3x<br />

1 3x<br />

1 3x<br />

1 3x<br />

1 3x<br />

xe<br />

dx xe <br />

e dx xe e<br />

3 3<br />

3 9<br />

2 3x<br />

1 2 3x<br />

2 1 3x<br />

1 3x<br />

1 2 3x<br />

2 3x<br />

2 3x<br />

x e dx x e <br />

<br />

xe e<br />

<br />

x e xe e c<br />

2 3 3 9 2 9 27<br />

A<br />

a b<br />

b c a c<br />

1<br />

2<br />

2<br />

3<br />

dx<br />

2- سطر اول و سطر دوم را جمع مي كنيم.‏<br />

c a b c<br />

a b<br />

a b a b c a b c a b c (a b c) 1 1<br />

1 1 1 1 1 1<br />

1 1<br />

A ( 1)<br />

31<br />

2<br />

0<br />

3<br />

4<br />

( 1)<br />

1<br />

c<br />

1 0<br />

1<br />

چون دو سطر با هم برابر است بنابراين دترمينان صفر مي شود<br />

نسبت به سطر سوم بسط مي دهيم تا دترمينان را محاسبه كنيم<br />

32<br />

1<br />

5<br />

2<br />

4<br />

( 1)<br />

1<br />

33<br />

1 2<br />

4<br />

7<br />

2 3<br />

-3<br />

همسازه هاي عناصر ماتريس A را محاسبه مي كنيم.‏<br />

2 3 1<br />

3 2 4<br />

( 1)<br />

17<br />

A21<br />

( 1)<br />

1<br />

A31<br />

( 1)<br />

5 4<br />

5 4<br />

2<br />

3<br />

4<br />

<br />

1<br />

4<br />

11 <br />

14<br />

A<br />

3 2 1<br />

4 1 4<br />

( 1)<br />

8 A22<br />

( 1)<br />

4<br />

A32<br />

( 1)<br />

0 4<br />

0 4<br />

5<br />

12 <br />

1<br />

2<br />

4<br />

1<br />

7<br />

A<br />

4 2 3<br />

5 1 2<br />

( 1)<br />

10<br />

A23<br />

( 1)<br />

5<br />

A33<br />

( 1)<br />

0 5<br />

0 5<br />

1<br />

2<br />

2<br />

6<br />

13 <br />

17<br />

<br />

<br />

12<br />

<br />

14<br />

8 10 <br />

4 5<br />

<br />

<br />

7 7 <br />

3<br />

7<br />

ماتريس همسازه ها به صورت<br />

است.‏

103تيريدم رد نآ دربراك و تايضاير يناحتما تلااؤس و امنهار<br />

تروص هب يقاحلا سيرتام نياربانب<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

7<br />

5<br />

10<br />

7<br />

4<br />

8<br />

4<br />

12<br />

17<br />

adjA<br />

.تسا<br />

هجيتن رد و<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

7<br />

5<br />

10<br />

7<br />

4<br />

8<br />

14<br />

12<br />

17<br />

7<br />

1<br />

1<br />

1<br />

adjA<br />

A<br />

A<br />

-4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

1<br />

6<br />

2<br />

2<br />

3<br />

1<br />

2<br />

1<br />

0<br />

4<br />

1<br />

5<br />

1<br />

6<br />

2<br />

1<br />

0<br />

4<br />

1<br />

2<br />

3<br />

1<br />

2<br />

R 1 R 2<br />

A B<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

7<br />

1<br />

2<br />

0<br />

9<br />

4<br />

3<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

4<br />

1<br />

7<br />

1<br />

2<br />

0<br />

4<br />

3<br />

9<br />

0<br />

1<br />

0<br />

4<br />

1<br />

2<br />

2<br />

9<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

2<br />

3<br />

1<br />

2<br />

3<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

11<br />

1<br />

0<br />

0<br />

9<br />

4<br />

3<br />

1<br />

1<br />

0<br />

9<br />

7<br />

3<br />

4<br />

0<br />

1<br />

9<br />

55<br />

3<br />

5<br />

0<br />

0<br />

4<br />

3<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

4<br />

1<br />

1<br />

2<br />

4<br />

1<br />

3<br />

2<br />

5<br />

3<br />

3<br />

2<br />

2<br />

3 R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

11<br />

1<br />

0<br />

0<br />

3<br />

5<br />

0<br />

1<br />

0<br />

3<br />

17<br />

0<br />

0<br />

1<br />

1<br />

3<br />

3<br />

4<br />

1<br />

2<br />

3<br />

3<br />

1<br />

2<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

نياربانب<br />

3<br />

17<br />

3<br />

5<br />

3<br />

11<br />

1<br />

2<br />

3 <br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

,<br />

x<br />

,<br />

x<br />

.تسا هاگتسد باوج اهنت<br />

-5<br />

y<br />

x<br />

y<br />

x<br />

x<br />

f<br />

(x)<br />

f<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

0<br />

3<br />

3<br />

0<br />

3<br />

3<br />

0<br />

3<br />

3<br />

0<br />

3<br />

3<br />

4<br />

2<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

x<br />

)<br />

(x<br />

x<br />

y<br />

x<br />

y<br />

f<br />

f (x)<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

3<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

y<br />

,<br />

y<br />

,<br />

,x<br />

x<br />

)<br />

x<br />

x(<br />

:زا دنترابع ينارحب طاقن<br />

)<br />

,<br />

),(<br />

,<br />

( 0<br />

0<br />

11<br />

3<br />

6<br />

6 <br />

<br />

<br />

<br />

xy<br />

yy<br />

xx<br />

f<br />

y<br />

f<br />

x<br />

f<br />

0<br />

9<br />

3<br />

0<br />

00<br />

2<br />

2<br />

00<br />

00<br />

00<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

)<br />

(<br />

f<br />

f<br />

f<br />

)<br />

,<br />

Δ(<br />

)<br />

,<br />

(<br />

xy<br />

)<br />

,<br />

(<br />

yy<br />

)<br />

,<br />

(<br />

xx<br />

هطقن نياربانب<br />

)<br />

,<br />

( 0<br />

0<br />

تسا يبسا نيز هطقن

نقطه<br />

١٠٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

Δ( 11 , ) 66<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

3 36 9<br />

270<br />

( 11 , )<br />

f xx 60<br />

,1 ( نسبي است<br />

1)<br />

min

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎105‎<br />

60 دقيقه<br />

نيمسال دوم 85-86<br />

زمان امتحان:‏ تستي و تكميلي<br />

60 دقيقه تشريحي<br />

2<br />

3<br />

x<br />

3<br />

2<br />

<br />

1<br />

2<br />

x<br />

2<br />

c<br />

5x<br />

2<br />

<br />

6x<br />

3<br />

x<br />

x<br />

انتگرال dx<br />

برابر است با:‏<br />

ب.‏<br />

x<br />

5<br />

2<br />

x<br />

2<br />

.1<br />

الف.‏ c<br />

2<br />

3<br />

x<br />

5<br />

2<br />

x<br />

2<br />

c<br />

x<br />

3<br />

2<br />

<br />

1<br />

2<br />

x<br />

2<br />

ج)‏ c<br />

انتگرال<br />

با كدام روش قابل حل است؟<br />

د)‏<br />

<br />

(x<br />

2<br />

x<br />

1)<br />

2<br />

dx<br />

الف.‏ تجزيه كسر<br />

ب.‏ جزء به جزء<br />

ج.‏ تغيير<br />

د.‏ روش ذوزنقه اي<br />

2<br />

متغير x 1 u<br />

.2<br />

e 1<br />

Sin 1<br />

e 1<br />

برابر است با :<br />

1<br />

e<br />

1<br />

.3 مقدار انتگرال ln xdx<br />

الف.‏e<br />

مقدار انتگرال<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

CoS 1<br />

e cos(Lnx)dx<br />

1 برابر است با:‏<br />

x<br />

CoS e<br />

الف.‏ Sin e<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

.4<br />

1<br />

3<br />

0,1‎برابر است با:‏<br />

y x<br />

3<br />

, y x<br />

2<br />

مساحت ناحيه محدود به نمودار توابع<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

در فاصله<br />

د.‏<br />

1<br />

24<br />

1<br />

6<br />

1<br />

الف.‏<br />

12<br />

.5<br />

11<br />

2 1 4 3 <br />

‎6‎‏.مقدار انتگرال ( x 2x)dx<br />

ب.‏<br />

با استفاده از قاعده منشور برابر است با:‏<br />

ج.‏ 24<br />

د.‏<br />

12<br />

الف.‏ 21<br />

7. كدام يك از روابط زير همواره درست است؟<br />

(A<br />

1 T T 1<br />

)<br />

ب.‏ ) (A <br />

T<br />

( AB) A<br />

T<br />

B<br />

الف.‏ T<br />

1 1<br />

1<br />

(AB)<br />

A B<br />

T<br />

T<br />

T<br />

( A B) A B<br />

ج)‏ T<br />

د)‏

هوژپ ظفاح تاراشتنا ١٠٦<br />

برض لصاح .8<br />

<br />

<br />

1<br />

21<br />

1<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

؟تسمادك<br />

.فلا<br />

2<br />

.ب<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

1<br />

0<br />

.ج<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

1<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

.د<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

2<br />

1<br />

1<br />

2<br />

0<br />

0<br />

0<br />

يسيرتام هلداعم باوج .9<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

3<br />

2<br />

1<br />

1<br />

X<br />

؟تسمادك<br />

.فلا<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

1<br />

2<br />

.ب<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

1<br />

2<br />

.ج<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

1<br />

2<br />

.د<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

.10<br />

يسيرتام عون<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

2<br />

3<br />

2<br />

3<br />

2<br />

1<br />

؟تسمادك<br />

.فلا<br />

تسا نراقتم<br />

تسا نراقتم هبش .ب<br />

.ج<br />

تسا درفنم<br />

.د<br />

تسا دماعتم<br />

هلداعم باوج .11<br />

1<br />

3<br />

1<br />

4<br />

3<br />

2<br />

0<br />

1<br />

X<br />

؟تسمادك<br />

-6 .فلا<br />

.ب<br />

6<br />

.ج<br />

3<br />

.د<br />

-3<br />

يسيرتام نوراو.12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

0<br />

0<br />

2<br />

1<br />

0<br />

2<br />

2<br />

1<br />

؟تسمادك<br />

.فلا<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

0<br />

0<br />

2<br />

1<br />

0<br />

2<br />

2<br />

1<br />

.ب<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

0<br />

0<br />

2<br />

1<br />

0<br />

2<br />

2<br />

1<br />

.ج<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

0<br />

0<br />

2<br />

1<br />

0<br />

2<br />

2<br />

1<br />

.د<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

0<br />

0<br />

2<br />

1<br />

0<br />

2<br />

2<br />

1<br />

.13<br />

يسيرتام هبتر<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

0<br />

0<br />

0<br />

2<br />

0<br />

4<br />

2<br />

1<br />

0<br />

2<br />

1<br />

؟تسمادك<br />

1 .فلا<br />

.ب<br />

2<br />

.ج<br />

3<br />

.د<br />

4

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎107‎<br />

1<br />

2<br />

2<br />

x<br />

lim<br />

2x<br />

(x, y)<br />

<br />

<br />

y<br />

y<br />

)(<br />

01 , )<br />

مقدار<br />

برابر است با:‏<br />

ب.‏ 1<br />

ج.‏<br />

د.‏ صفر<br />

x1<br />

2x1<br />

x3<br />

<br />

<br />

f<br />

<br />

<br />

x2<br />

<br />

<br />

<br />

3x2<br />

x3<br />

<br />

<br />

x3<br />

<br />

<br />

0 <br />

الف.‏ 1-<br />

كدام تابع خطي است؟<br />

x1<br />

x2<br />

<br />

x1<br />

<br />

f <br />

<br />

2x1<br />

<br />

x2<br />

<br />

x2<br />

x1<br />

1<br />

الف)‏<br />

ب)‏<br />

.14<br />

.15<br />

x1<br />

2x1<br />

x<br />

f <br />

2<br />

x2<br />

<br />

x 1 x<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

x1<br />

x1x2<br />

<br />

f <br />

x2<br />

x1<br />

x2<br />

ج)‏<br />

د)‏<br />

x 2y<br />

<br />

x 2z<br />

z<br />

2<br />

u<br />

2x<br />

y<br />

<br />

x 2z<br />

dz<br />

كدامست؟<br />

dy<br />

xy<br />

2<br />

zx z<br />

2<br />

اگر y 0<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

باشد مقدار<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

z<br />

z<br />

<br />

x<br />

y<br />

z<br />

v<br />

2xy<br />

1<br />

<br />

x 2z<br />

x y V ,x y u<br />

2x<br />

1<br />

<br />

x 2z<br />

x y<br />

,z f ( )<br />

x y<br />

z<br />

2<br />

v<br />

.16<br />

‎17‎‏.اگر<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

باشند آنگاه<br />

ج.‏<br />

كدامست؟<br />

د.‏<br />

z<br />

u<br />

2 3 2 <br />

f (x, y) y x 6x<br />

8y<br />

( 1,<br />

1,<br />

نقطه ي (4<br />

الف.‏ ماكسيمم<br />

براي تابع<br />

ب.‏ مينيمم<br />

ج.‏ زين اسبي<br />

چه نقطه اي است؟<br />

د.‏ هيچكدام<br />

.18<br />

3,<br />

1<br />

3,1<br />

2<br />

1 <br />

<br />

1 2<br />

ب.‏‎2,1‎ <br />

‎19‎‏.ويژه مدارهاي ماتريس<br />

الف.‏‎2,1‎<br />

الف)‏<br />

كدامند؟<br />

جواب كدام معادله ديفرانسيل زير مي باشد؟<br />

ج.‏<br />

ب)‏<br />

د.‏<br />

y<br />

2y<br />

y 0<br />

y<br />

y<br />

2y<br />

0<br />

y e<br />

y<br />

2y<br />

y 0<br />

y<br />

4y<br />

ج)‏ y 0<br />

د)‏<br />

2x<br />

.20

١٠٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

سوالات تشريحي<br />

0 1 x<br />

2<br />

sin xdx<br />

انتگرالهاي زير را محاسبه كنيد:‏<br />

<br />

dx<br />

x x<br />

.1<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

دستگاه زير را به روش گاوسي حل كرده و راه حل هاي كرامر و وارون ماتريس آن را بيان كنيد:‏<br />

2x1<br />

3x2<br />

x3<br />

9<br />

<br />

x1<br />

2x2<br />

3x3<br />

6<br />

<br />

3x1<br />

x2<br />

2x3<br />

8<br />

x 4y را بدست آوريد.‏<br />

2<br />

2<br />

3<br />

y y<br />

2xy<br />

y<br />

f<br />

(x, y)<br />

x<br />

2<br />

y<br />

2<br />

ماكسيمم يا مينيمم تابع<br />

نشان دهيد كه<br />

را تحت محدوديت<br />

جواب معادله ديفرانسيل<br />

است.‏<br />

2<br />

<br />

2<br />

1<br />

3<br />

<br />

<br />

y<br />

2<br />

1 cx c<br />

8<br />

ويژه مقدارها و ويژه بردارهاي ماتريس<br />

را بدست آوريد.‏<br />

پاسخ سؤالات تستي<br />

3<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

.5<br />

2<br />

5x<br />

6x<br />

<br />

3 x<br />

x 5<br />

dx x<br />

3<br />

U Lnx dU <br />

dV dx V x<br />

<br />

dx<br />

x<br />

e<br />

e<br />

<br />

e<br />

e<br />

1 Lnxdx xLnx 1 1<br />

x xLnx x 1<br />

(e e) ( 01)<br />

1<br />

U Lnx dU <br />

dx<br />

x<br />

3<br />

2<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

3<br />

1<br />

5 1 2 1 2<br />

dx 2xdx<br />

x 2<br />

x c x<br />

3 3 2<br />

1<br />

2<br />

dx<br />

x<br />

e cos( Lnx)<br />

e<br />

1 dx sin Lnx1<br />

sin1<br />

x<br />

<br />

5<br />

2<br />

2<br />

x c<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

-1<br />

-2<br />

-3<br />

-4<br />

-5

S<br />

0<br />

1<br />

(x<br />

2<br />

x<br />

1<br />

)dx <br />

3<br />

3<br />

x<br />

2 ( 1)<br />

( 4x<br />

2x)dx<br />

<br />

6<br />

3<br />

1<br />

x<br />

4<br />

<br />

4 1<br />

0<br />

<br />

1<br />

12<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎109‎<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

واحد سطح<br />

b a a b <br />

a<br />

b f (x)dx <br />

<br />

f (a) f ( ) f (b<br />

6 2 <br />

<br />

)<br />

(<br />

32<br />

4)<br />

( 4 2)<br />

( 4<br />

2 12<br />

2 1 ) <br />

0<br />

0 0 0 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

2 1 1<br />

<br />

<br />

2 1 1<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

2 1<br />

1<br />

روش منشور<br />

گزينه ‏(ب صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(د صحيح است.‏<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

1<br />

1a<br />

b<br />

1<br />

0 <br />

<br />

<br />

2<br />

3c<br />

d<br />

1<br />

1<br />

a<br />

c 1<br />

a 1<br />

c<br />

<br />

b d 0<br />

b d<br />

<br />

2a<br />

3c<br />

1<br />

2(<br />

1<br />

c) 3c<br />

1<br />

2<br />

2c<br />

3c<br />

1<br />

c 1,a<br />

1<br />

( 1)<br />

2<br />

<br />

2b<br />

3d<br />

1<br />

2(<br />

d)<br />

3d<br />

1<br />

d 1,b<br />

1<br />

2 1 <br />

X <br />

1<br />

1<br />

10- گزينه<br />

1<br />

3<br />

1<br />

0<br />

x<br />

3<br />

2<br />

4<br />

1<br />

1<br />

3<br />

1<br />

0<br />

x (x 018)<br />

( 012<br />

2x)<br />

0<br />

x 6<br />

3<br />

‏(د صحيح است.‏<br />

‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

A 1<br />

1<br />

2 2 1 0 0<br />

1<br />

2 0 1 0 2<br />

<br />

R<br />

1<br />

2R<br />

3 R1<br />

<br />

R<br />

<br />

0 1 2 0 1 0<br />

<br />

<br />

0 1 0 0 1 2<br />

<br />

1<br />

R 2<br />

<br />

<br />

2 R3<br />

R2<br />

0 0 1 0 0 1<br />

<br />

0 0 1 0 0 1 <br />

1<br />

0 0 1 2 2 <br />

R<br />

1 2R<br />

2 R1<br />

<br />

<br />

<br />

0 1 0 0 1 2<br />

<br />

<br />

0 0 1 0 0 0 <br />

-6<br />

-7<br />

-8<br />

-9<br />

11- گزينه<br />

12- گزينه

‏(ال ف ( صحيح است.‏ چون ستونها مضربي از يكديگر هستند.‏<br />

‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

١١٠ انتشارات حافظ پژوه<br />

2<br />

x y 01<br />

lim 1<br />

2x<br />

y 01<br />

( x, y) ( 0,<br />

1)<br />

dz<br />

dy<br />

f<br />

y<br />

2xy<br />

1<br />

<br />

f<br />

x 2z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

U<br />

z<br />

V<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

. . 1<br />

1<br />

<br />

x<br />

U<br />

x<br />

V<br />

x<br />

U<br />

V<br />

U<br />

V<br />

z<br />

z<br />

U<br />

z<br />

V<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

. . 1<br />

<br />

y<br />

U<br />

y<br />

V<br />

x<br />

U<br />

V<br />

U<br />

V<br />

z<br />

z<br />

Z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

2<br />

x<br />

y<br />

U<br />

V<br />

U<br />

V<br />

U<br />

f<br />

<br />

<br />

f<br />

f<br />

x<br />

y<br />

xx<br />

Δf<br />

6x<br />

6y<br />

0<br />

x y 1<br />

2y<br />

6x<br />

8 0<br />

8y<br />

8 y 1<br />

6 f 2 f 6<br />

xx<br />

f<br />

yy<br />

yy<br />

xy<br />

2<br />

2<br />

f<br />

6<br />

6 2 40<br />

<br />

0<br />

xy<br />

2<br />

λ 4λ<br />

3 0<br />

(λ 1)(λ<br />

3)<br />

0<br />

λ1<br />

1<br />

, λ2<br />

3<br />

y e<br />

2x<br />

2x<br />

y<br />

2e<br />

y<br />

4e<br />

y<br />

y<br />

2y<br />

0<br />

4e<br />

2x<br />

2e<br />

2x<br />

‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

13- گزينه<br />

14- گزينه<br />

15- گزينه<br />

16- گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

17- گزينه<br />

U x y,V x y<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

نقطه زين اسبي است<br />

18- گزينه<br />

19- گزينه<br />

20- گزينه<br />

جواب معادله ي ديفرانسيل در معادله ديفرانسيل بايد صدق كند<br />

2x<br />

2e<br />

2x<br />

0

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎111‎<br />

U <br />

1<br />

x 1<br />

dU dx<br />

2 x<br />

پاسخ سؤالات تشريحي<br />

-1<br />

dx dx 1 dx<br />

2<br />

2Ln(<br />

x 1)<br />

c<br />

x x x ( x 1)<br />

x 1<br />

2 x<br />

0 1 x<br />

2<br />

sin xdx<br />

2<br />

U x dU 2xdx<br />

dV sin xdx V cos x<br />

2<br />

2<br />

x sin xdx x<br />

cos x 2x cos xdx c<br />

U x dU du<br />

dV cos xdx V sin x<br />

x cosxdx xsin x sin xdu xsin x cosx c<br />

2<br />

x sin xdu x cos x 2xsin x cos x c<br />

1<br />

1<br />

0 x<br />

2 sin xdu x cos x 2xsin x cosx0<br />

<br />

cos1<br />

2sin1<br />

cos1<br />

( 001)<br />

2sin11<br />

الف)‏<br />

ب)‏ از تكنيك انتگرال جزء به جزء استفاده مي كنيم<br />

2 3 1 9 R2<br />

R1<br />

1 2 3 6<br />

1 2 3 6 <br />

<br />

2<br />

3 1 9<br />

3 1 2 8<br />

3 1 2 8<br />

1<br />

R<br />

2<br />

2R<br />

1R2<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

R3<br />

3R1<br />

R3<br />

<br />

0<br />

<br />

R3<br />

<br />

1 2<br />

R<br />

18<br />

3<br />

0<br />

1<br />

<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

R<br />

<br />

1 2R<br />

<br />

2 R1<br />

0<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

2 3 6 <br />

1<br />

2 3<br />

R<br />

<br />

1<br />

5 3 <br />

2 R2<br />

<br />

<br />

<br />

0 1 5<br />

R<br />

5 7 10<br />

3 ΔR2<br />

R3<br />

<br />

<br />

0 0 18<br />

93<br />

<br />

<br />

1 2 0<br />

3 6<br />

<br />

<br />

18<br />

R <br />

29<br />

5 3 1<br />

3R<br />

<br />

3 R 3<br />

0<br />

1 0 <br />

15<br />

R2<br />

5R<br />

3 R2<br />

18 <br />

1 <br />

<br />

5<br />

8<br />

0 0 1<br />

<br />

<br />

18 <br />

35<br />

0 0<br />

18 <br />

29<br />

1 0 <br />

18 <br />

5<br />

0 1<br />

<br />

18 <br />

6<br />

3<br />

<br />

<br />

5<br />

-2

بنابراين<br />

١١٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

x جواب منحصر به فرد دستگاه است روش وارون ماتريس در<br />

5<br />

,x<br />

18<br />

29<br />

<br />

18<br />

, x<br />

3 2 1 <br />

صورتي كه تعداد معادلات و تعداد مجهولات برابر باشد و ماتريس ضرائب دستگاه وارون پذير باشد در اين<br />

35<br />

18<br />

1 1<br />

1<br />

صورت:‏ Ax B A AX A B X A B<br />

روش كرامر:‏ اگر ماتريس ضرائب يك دستگاه وارون پذير باشد و براي هر مجهول ماتريسي را تشكيل دهيم كه<br />

F(x,<br />

y)<br />

<br />

f (x, y)<br />

X<br />

i <br />

λg(x, y)<br />

det A<br />

det A<br />

xi<br />

معلومات در ستون ضرائب آن مجهول باشد در اين صورت :<br />

-3<br />

2<br />

2<br />

F(x,<br />

y) x y λ(x 4y<br />

2)<br />

F(x,y)<br />

λ<br />

2x<br />

λ 0<br />

x <br />

x<br />

2<br />

F(x,y)<br />

2y<br />

4λ<br />

0<br />

y 2λ<br />

y<br />

F<br />

(x,y)<br />

λ<br />

x 4y<br />

2 0<br />

8λ<br />

2<br />

017λ<br />

4 λ <br />

λ<br />

2<br />

λ 2<br />

x x <br />

2 17<br />

8<br />

y 2λ<br />

y <br />

17<br />

4<br />

17<br />

4- جواب معادله ديفرانسيل بايد در معادله ديفرانسيل صدق كند.‏<br />

c<br />

y 2 cx <br />

1 c 3 2yy<br />

c y<br />

8<br />

2y<br />

3<br />

2 c 3 c c 2cx<br />

y .( ) 2x(<br />

) y y<br />

2y<br />

2y<br />

8y<br />

2y<br />

1 3<br />

2 3<br />

2 1 3<br />

(c 8cx)<br />

y 8y<br />

c 8cx<br />

y c cx<br />

8y<br />

8<br />

2 λ 1 2<br />

A λI 0<br />

0<br />

λ 5λ<br />

4 0<br />

(λ 1)(λ<br />

4)<br />

0<br />

2 3 λ<br />

λ , λ 4<br />

λ<br />

1<br />

1 1 2 <br />

1<br />

1<br />

<br />

2<br />

1x<br />

0<br />

x<br />

y 0<br />

x y<br />

2<br />

<br />

y<br />

<br />

<br />

0<br />

2x<br />

2y<br />

0<br />

-5

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎113‎<br />

λ<br />

2<br />

<br />

2<br />

2 <br />

2<br />

<br />

y<br />

<br />

2x<br />

y 0<br />

y 2x<br />

x <br />

1 x<br />

0<br />

2<br />

<br />

<br />

1<br />

y<br />

0<br />

<br />

y<br />

2x<br />

y 0<br />

y 2x<br />

x <br />

<br />

2<br />

x<br />

x<br />

<br />

, <br />

2x<br />

<br />

x<br />

بنابراين بردارهاي ويژه عبارتند از

نيمسال اول 86-87<br />

١١٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

زمان امتحان:‏ تستي و تكميلي 60 دقيقه تشريحي 60 دقيقه<br />

n<br />

n<br />

الف)‏<br />

اگر ماتريس<br />

A هم متقارن و هم شبه متقارن باشد در اين صورت:‏<br />

ب)‏ عناصر روي قطر اصلي A همگي صفرند<br />

A I<br />

.1<br />

ج)‏ عناصر خارج قطر اصلي همگي صفرند A 0<br />

د)‏<br />

3<br />

det( A كدام است؟<br />

T )<br />

1<br />

<br />

3<br />

det(A باشد آنگاه حاصل<br />

1 ) 3<br />

3<br />

2<br />

1<br />

3<br />

اگر<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

.2<br />

10<br />

<br />

3<br />

2<br />

7<br />

0<br />

4<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

23<br />

6<br />

<br />

<br />

15<br />

35<br />

1<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

0<br />

1<br />

7<br />

<br />

<br />

4<br />

10<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

3. حاصل ضرب<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

كدام است؟<br />

ج.‏<br />

د.‏ هيچكدام<br />

16<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

9<br />

3<br />

7<br />

<br />

<br />

4<br />

2<br />

x مقدار det(A ) 2<br />

t<br />

1<br />

A <br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0 <br />

x<br />

<br />

<br />

1<br />

الف.‏ 1<br />

اگر<br />

و<br />

ب.‏<br />

برابر است با:‏<br />

ج.‏ 0<br />

د.‏<br />

-1<br />

.4<br />

2<br />

0<br />

:<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

1 <br />

رتبه ماتريس<br />

ب.‏<br />

برابر است با<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

-1<br />

الف.‏ 1<br />

.5<br />

1 0 1<br />

x<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 0 0<br />

<br />

y<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

1 1 <br />

<br />

z <br />

<br />

1 <br />

دستگاه معادلات<br />

الف.‏ جواب ندارد ب.‏ يك جواب دارد<br />

ج.‏ بي شمار جواب دارد<br />

د.‏ دو جواب دارد<br />

.6<br />

1<br />

<br />

<br />

a<br />

<br />

0<br />

1<br />

1<br />

1<br />

0 <br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

به ازاي چه مقدار از a<br />

ماتريس<br />

داراي معكوس است؟<br />

.7

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎115‎<br />

a 1<br />

a 2<br />

ب.‏ a 2<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

الف.‏1‎ a <br />

1<br />

2<br />

2<br />

π<br />

04<br />

sec<br />

2<br />

8. حاصل انتگرال xdx<br />

ب.‏<br />

برابر است با:‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

2<br />

2<br />

الف.‏ 0<br />

F( 0)<br />

كه در شرط 2 f (x) 3x<br />

2 2x<br />

تابع اوليه<br />

الف)‏<br />

F(x) براي تابع<br />

ب)‏<br />

صدق كند برابر است با:‏<br />

f (x) 3x<br />

2 2x<br />

2<br />

f (x) x<br />

3<br />

x<br />

2<br />

2<br />

.9<br />

f (x)<br />

x<br />

3<br />

x<br />

2<br />

c<br />

f (x)<br />

x<br />

3<br />

x<br />

2<br />

ج)‏<br />

د)‏<br />

1-<br />

2<br />

2<br />

π<br />

2<br />

<br />

π<br />

4 2<br />

16<br />

sin<br />

2<br />

x<br />

dx<br />

x<br />

مقدار انتگرال<br />

ب.‏<br />

برابر است با؟<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

1<br />

الف.‏ 0<br />

.10<br />

x ln t<br />

2<br />

2x<br />

(x 1)e<br />

انتگرال dx<br />

الف.‏ تغيير متغير<br />

از كدام روش محاسبه مي گردد؟<br />

ب.‏ جزء به جزء<br />

ج.‏ كسرهاي ساده<br />

د.‏ تغيير متغير<br />

.11<br />

U 2x<br />

: 1,<br />

x 0<br />

f (x) x 3x<br />

11<br />

6<br />

1<br />

11<br />

<br />

الف .<br />

6<br />

11<br />

6<br />

مساحت محدود به نمودار تابع 2 <br />

ب.‏<br />

كدام يك از توابع زير خطي است؟<br />

الف)‏<br />

و محور xها و خطوط<br />

ج.‏<br />

ب)‏<br />

د.‏<br />

x برابر است با<br />

x<br />

y<br />

<br />

f ( )<br />

<br />

y<br />

2<br />

x<br />

<br />

<br />

x<br />

x<br />

1<br />

f ( )<br />

<br />

y<br />

y<br />

<br />

.12<br />

.13<br />

x<br />

x.y<br />

f ( )<br />

<br />

y<br />

x<br />

<br />

x<br />

2x<br />

<br />

f ( )<br />

<br />

y<br />

y<br />

y<br />

<br />

<br />

ج)‏<br />

د)‏<br />

2 2<br />

x 4y<br />

lim<br />

( x,y) ( 0 , 0 )<br />

2 2<br />

3x<br />

y<br />

در مورد حد<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

كدام گزينه صحيح است؟<br />

ج.‏<br />

د.‏ وجود ندارد<br />

0<br />

4<br />

1<br />

3<br />

اگر<br />

آنگاه<br />

f xx برابر است با:‏<br />

f<br />

(x, y)<br />

ln(xy)<br />

.14<br />

.15

١١٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

1<br />

<br />

2<br />

y<br />

1<br />

y<br />

1<br />

x<br />

2<br />

1<br />

x<br />

الف.‏<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

3<br />

f (x, y) x 4xy<br />

5x<br />

2<br />

‎16‎‏.اگر<br />

الف.‏<br />

باشد در اينصورت حاصل<br />

df برابر است با:‏<br />

df ( 3x<br />

2 5)dx<br />

( 8y)dy<br />

2<br />

2<br />

df ( 3x<br />

4y<br />

5)dx<br />

( 8xy)dy<br />

df ( 8xy)dx<br />

( 3x<br />

4y<br />

5)dy<br />

2<br />

2<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

df<br />

د.‏ 0<br />

1<br />

<br />

2<br />

f x ( 3,<br />

1)<br />

x<br />

f (x, y) 2<br />

x y<br />

اگر<br />

باشد مقدار<br />

ب.‏<br />

برابر است با:‏<br />

ج.‏ 1<br />

د.‏<br />

0<br />

xy 0 , fyy<br />

1<br />

, fxx<br />

2<br />

1<br />

الف.‏<br />

2<br />

اگر در يك نقطه<br />

الف.‏ مينيمم نسبي<br />

f باشد آنگاه f در آن نقطه داراي:‏<br />

.17<br />

.18<br />

است<br />

ب.‏ ماكزيمم نسبي است<br />

ج.‏ زين اسبي است<br />

د.‏ هيچ كدام<br />

xy 2<br />

y( 1)<br />

1<br />

y<br />

y<br />

<br />

x<br />

1<br />

y <br />

x<br />

19. جواب معادله ديفرانسيل<br />

ب.‏<br />

با شرط<br />

ج.‏<br />

برابر است با:‏<br />

xy 2 د.‏<br />

الف.‏1‎ y <br />

6<br />

5y<br />

(y )<br />

3<br />

2y<br />

3<br />

y<br />

مرتبه ي معادله ي ديفرانسيل 0<br />

ب.‏<br />

ج.‏<br />

برابر است با:‏<br />

د.‏<br />

2<br />

3<br />

الف.‏ 1<br />

.20<br />

سؤالات تشريحي<br />

<br />

2<br />

x 2x<br />

dx<br />

3 2<br />

x 3x<br />

1<br />

حاصل هر يك از انتگرالهاي زير را بيابيد:‏<br />

<br />

x.sec xtgxdx<br />

.1<br />

الف.‏<br />

وارون ماتريس<br />

ب.‏<br />

را به كمك اعمال سطري مقدماتي بيابيد؟<br />

1<br />

A <br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

1<br />

1<br />

0 <br />

1 1<br />

<br />

<br />

0 1 <br />

.2

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎117‎<br />

x<br />

y 2z<br />

5<br />

<br />

2x<br />

3y<br />

z 2<br />

<br />

4x<br />

5y<br />

3z<br />

7<br />

f (x, y) xy yln(xy)<br />

جواب دستگاه معادلات<br />

فرض كنيد<br />

را در صورت وجود بيابيد.‏<br />

نشان دهيد كه:‏<br />

2<br />

f<br />

x.<br />

2<br />

x<br />

2<br />

2<br />

.3<br />

.4<br />

f 2 f<br />

y. y .<br />

xy<br />

2<br />

y<br />

.5<br />

فرض كنيد مطلوبيت مصرف كننده اي بستگي به مصرف او از دو كالا داشته باشد اگر ميزان مصرف او از<br />

اين كالاها به ترتيب y,x و قيمت هر واحد به ترتيب‎3‎ و‎4‎ هزار تومان و درآمد مصرف كننده 48<br />

تومان و تابع مطلوبيت مصرف كننده برابر<br />

هزار<br />

U f ,x) (y 3xy باشد به كمك روش لاگرانژ را طوري<br />

بيابيد كه مطلوبيت مصرف كننده حداكثر شود.‏<br />

پاسخ سؤالات تستي<br />

A<br />

1<br />

3 A <br />

1<br />

3<br />

<br />

T<br />

A A<br />

<br />

1<br />

3<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏ ضرب ماتريسهاي فوق امكان پذير نيست چون تعداد ستون ماتريس اول بايد<br />

برابر تعداد سطرهاي ماتريس اول باشد.‏<br />

A <br />

T<br />

A<br />

2<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

-1<br />

-2<br />

-3<br />

-4<br />

A<br />

1<br />

1 2 x<br />

( ) 1<br />

1<br />

x 2 x 1<br />

1 1<br />

5- گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

R <br />

0 1<br />

R<br />

<br />

3 R1<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1 <br />

<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

R 1<br />

1 R2<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

1<br />

<br />

1<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏ دترمينان ماتريس ضرائب مخالف صفر است بنابراين جواب منحصر به فرد<br />

دارد يا طبق سؤال قبل رتبه ماتريس و مرتبه آن برابر است بنابراين جواب منحصر به فرد است.‏<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

1 1<br />

0<br />

A 0<br />

a 1 1 0<br />

a 2<br />

0 1 1<br />

0<br />

1<br />

1<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

1<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

-6<br />

-7<br />

-8

١١٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

π<br />

04<br />

sec<br />

2<br />

xdx tan x<br />

F( 0)<br />

2 c 2<br />

F(x) x<br />

π<br />

2<br />

<br />

π4<br />

16<br />

3<br />

x<br />

2<br />

2<br />

π<br />

4<br />

0<br />

sin x<br />

du cos<br />

2 x<br />

<br />

1<br />

3x)du<br />

x<br />

3<br />

1<br />

x<br />

π<br />

2<br />

4<br />

π<br />

2<br />

16<br />

<br />

3<br />

x<br />

2<br />

π π<br />

cos<br />

cos <br />

2 4<br />

f (x) <br />

2<br />

2<br />

x<br />

1 3 11<br />

1 0<br />

( <br />

3 2 6<br />

0 2<br />

3 2 0<br />

1 (x<br />

)<br />

2<br />

<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

f (x)du x<br />

3<br />

x<br />

‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

3x<br />

0<br />

x1<br />

0,<br />

x2<br />

2<br />

c<br />

-9<br />

10- گزينه<br />

11- گزينه<br />

12- گزينه<br />

3<br />

<br />

2<br />

x 4y<br />

lim lim<br />

x0<br />

2<br />

3x<br />

y<br />

<br />

y0<br />

2<br />

2<br />

<br />

x<br />

lim<br />

x0<br />

3x<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2<br />

x 4y<br />

4y<br />

lim lim<br />

<br />

0 2 2 lim<br />

y<br />

2<br />

3x<br />

y y<br />

x0<br />

<br />

f (x, y)<br />

Ln(xy)<br />

2<br />

2<br />

<br />

1<br />

3<br />

4<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

1<br />

4 بنابراين حد وجود ندارد.‏<br />

3<br />

13- گزينه<br />

14- گزينه<br />

چون<br />

15- گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

f (x)<br />

<br />

y<br />

xy<br />

1<br />

f<br />

x<br />

xx<br />

1<br />

<br />

2<br />

x<br />

f<br />

f<br />

2 2<br />

df .dx .dy ( 3x<br />

4y<br />

5)dx<br />

( 8xy)dy<br />

x<br />

y<br />

16- گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏

2(x)<br />

2x<br />

2y<br />

fx <br />

2<br />

(x y) (x y)<br />

Δf<br />

xx<br />

P<br />

y<br />

<br />

yy<br />

y<br />

x<br />

2<br />

f<br />

x<br />

2<br />

( 3,<br />

1)<br />

<br />

( 3 1)<br />

2<br />

fxy 210<br />

20,<br />

f <br />

0<br />

<br />

Lny cLnx<br />

dy<br />

dx<br />

1<br />

<br />

y<br />

x<br />

y <br />

<br />

c<br />

x<br />

xx<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎119‎<br />

2<br />

2 1<br />

<br />

4 2<br />

Min<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

نسبي است<br />

dy dx<br />

Lny cLnx<br />

y x<br />

c<br />

1<br />

y( 1)<br />

1 1<br />

c 1<br />

y <br />

1<br />

x<br />

‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

پاسخ سؤالات تشريحي<br />

17- گزينه<br />

18- گزينه<br />

19- گزينه<br />

20- گزينه<br />

<br />

xsecctgxdu<br />

الف)‏ به روش جزء به جزء<br />

U x du dx<br />

dV secxtgxdx V secx<br />

xsecxtgxdu<br />

xsecx secx<br />

secxdx<br />

xsecx Ln secx tan x c<br />

<br />

3<br />

x<br />

2<br />

<br />

x 3x<br />

1<br />

A I<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

1<br />

<br />

x<br />

2 3 2<br />

2<br />

U x 3x<br />

1<br />

dU (x<br />

2<br />

1<br />

1<br />

0 1 0<br />

1 1<br />

0 1<br />

0 1 0 0<br />

0<br />

1<br />

R <br />

0 3 R<br />

1 R1<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

1<br />

<br />

0<br />

1<br />

0 1 0<br />

1 1<br />

0 1<br />

1 1 1<br />

0<br />

2x)dx<br />

-1<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

-2<br />

1<br />

<br />

1 1<br />

0 1 0 0<br />

R 3 R3<br />

<br />

1<br />

R<br />

3<br />

R<br />

<br />

2 R2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0 1 1<br />

0 1 0<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

0 0 2 1<br />

1<br />

1<br />

0<br />

<br />

1<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

1<br />

1<br />

0<br />

1<br />

<br />

2<br />

0<br />

1<br />

1<br />

<br />

2<br />

<br />

0<br />

<br />

0<br />

1<br />

<br />

2

هوژپ ظفاح تاراشتنا ١٢٠<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

1<br />

0<br />

0<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

1<br />

0<br />

0<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

1<br />

1<br />

2<br />

2<br />

1<br />

2<br />

3<br />

2 R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

R<br />

-3<br />

ياراد هاگتسد نياربانب تسا رفص بيارض سيرتام نانيمرتد نوچ مينك يم لح ار هاگتسد ركارك شور هب<br />

.تسين درف هب رصحنم باوج<br />

0<br />

3<br />

5<br />

4<br />

1<br />

3<br />

2<br />

2<br />

1<br />

1<br />

<br />

<br />

Δ <br />

-4<br />

2<br />

2<br />

2<br />

x<br />

y<br />

x<br />

f<br />

x<br />

y<br />

y<br />

xy<br />

y<br />

y<br />

y<br />

X<br />

F<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

y<br />

xy<br />

x<br />

y<br />

f<br />

Ln(xy)<br />

x<br />

xy<br />

x<br />

y.<br />

ln(xy)<br />

x<br />

y<br />

f 1<br />

1<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

x<br />

y<br />

x<br />

f<br />

)<br />

y<br />

f<br />

(<br />

1<br />

1<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

I<br />

y<br />

x<br />

y<br />

y<br />

x<br />

y<br />

)<br />

x<br />

(<br />

)<br />

x<br />

y<br />

(<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

2<br />

يواست نياربانب<br />

I<br />

و<br />

II<br />

.تسا رارقرب<br />

II<br />

y<br />

y<br />

y<br />

y<br />

f<br />

y<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

-5<br />

48<br />

4<br />

3<br />

48<br />

4<br />

3 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

y<br />

x<br />

y)<br />

y(x,<br />

y<br />

x<br />

xy<br />

y)<br />

(x,<br />

f 3<br />

<br />

)<br />

y<br />

x<br />

λ(<br />

xy<br />

y)<br />

λg(x,<br />

y)<br />

F(x,<br />

y,λ)<br />

(x,<br />

F 48<br />

4<br />

3<br />

3 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

6<br />

0<br />

48<br />

4<br />

3<br />

4<br />

3<br />

48<br />

4<br />

3<br />

3<br />

4<br />

0<br />

4<br />

3<br />

0<br />

3<br />

3<br />

λ<br />

λ<br />

λ<br />

λ<br />

y<br />

λ<br />

F<br />

λ<br />

x<br />

λ<br />

x<br />

y<br />

F<br />

λ<br />

y<br />

λ<br />

y<br />

x<br />

F<br />

نياربانب<br />

6<br />

8<br />

6<br />

3<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

y<br />

,<br />

x

60 دقيقه<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎121‎<br />

نيمسال دوم 86-87 زمان امتحان:‏ تستي و تكميلي 60 دقيقه تشريحي<br />

u xe<br />

x<br />

,dv dx<br />

dv , u كدامند؟<br />

در حل xe x dx<br />

الف)‏<br />

به روش جزء به جزء<br />

ب)‏<br />

u e<br />

x<br />

,dv xdx<br />

.1<br />

u e<br />

x<br />

dx ,dv x<br />

u x ,dv e<br />

x<br />

ج)‏ dx<br />

د)‏<br />

x<br />

2<br />

x 5<br />

2x<br />

1<br />

A<br />

(x 1)<br />

در تجزيه كسر<br />

الف)‏<br />

به مجموع كسرهاي جزئي،‏ شكل صحيح تجزيه كدامست؟<br />

A B<br />

<br />

(x 1 ) (x 1)<br />

2<br />

ب)‏<br />

.2<br />

A Bx c<br />

<br />

x 1 2<br />

(x 1)<br />

A<br />

(x 1)<br />

2<br />

ج)‏<br />

د)‏<br />

3<br />

x z<br />

2<br />

2<br />

x z<br />

<br />

xdx<br />

1 x<br />

4 3<br />

‎3‎‏.در حل<br />

كدام تغيير متغير راه حل سوال است؟<br />

3<br />

x z<br />

ب.‏ 4<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

الف.‏ x z 4<br />

4 , x 0<br />

2 <br />

h(x)<br />

‎4‎‏.مساحت ناحيه ي محدود به نمودار x 4x<br />

معين زير مشخص مي گردد؟<br />

الف)‏<br />

، محور xها و خطهاي<br />

ب)‏<br />

x با كدام انتگرال<br />

A<br />

<br />

4 2<br />

<br />

4 2<br />

0 (x x)dx 2 (x<br />

4 4x)<br />

dx<br />

A<br />

0<br />

4<br />

(x<br />

2<br />

<br />

4x)<br />

dx<br />

4 2<br />

A 0 (x <br />

4x)<br />

dx<br />

A<br />

<br />

4 2<br />

<br />

4 2<br />

0 (x x)dx 2 (x<br />

ج)‏<br />

د)‏<br />

4 4x)<br />

dx<br />

3×3<br />

<br />

3<br />

B <br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

<br />

, A <br />

<br />

3 0<br />

4 <br />

ماتريس 2×2 AB<br />

1<br />

2<br />

<br />

<br />

اگر<br />

الف)‏<br />

هست.‏ و<br />

كدام مورد صحيح نيست؟<br />

ب)‏ ماتريس BA<br />

هست.‏ و<br />

.5<br />

AB BA<br />

ج)‏ AB BA<br />

د)‏<br />

A<br />

T<br />

B A B<br />

T<br />

دو ماتريس<br />

n n باشند،‏ كدام مورد صحيح است؟<br />

A<br />

T<br />

B (A B<br />

T<br />

)<br />

T<br />

.6 اگر B,A<br />

الف)‏<br />

ب)‏

١٢٢ انتشارات حافظ پژوه<br />

A<br />

T<br />

B (A B<br />

)<br />

T<br />

A<br />

T<br />

B (A<br />

T<br />

B<br />

T<br />

)<br />

T<br />

ج)‏<br />

د)‏<br />

14<br />

7<br />

2<br />

2x<br />

1<br />

7<br />

در معادله ي<br />

مقدار x چند است؟<br />

ب.‏ 1<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

الف.‏ 2<br />

.7<br />

ماتريسهاي مربع،‏ k اسكالر و<br />

tr(A) اثر ماتريسA باشد،‏ كدام مورد صحيح نيست؟<br />

tr(AB)<br />

tr(A).tr(B)<br />

tr(kA)ktr(A)<br />

.8 اگر B ,A<br />

الف)‏<br />

ب)‏<br />

tr(AB)<br />

tr(BA)<br />

tr(A<br />

ج)‏ tr(B) B) tr(A) <br />

د)‏<br />

2<br />

Q<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

1<br />

1<br />

<br />

<br />

0<br />

3<br />

Q<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

3<br />

0<br />

0<br />

2<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

0<br />

اگر<br />

Q باشد،‏ كدام مورد صحيح است؟<br />

Q<br />

ب.‏ 3 0<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

Q<br />

الف.‏ 2 0<br />

.9<br />

det A<br />

1<br />

<br />

det A<br />

<br />

4<br />

A <br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

4<br />

adjA A<br />

3<br />

0<br />

4<br />

3<br />

1<br />

<br />

<br />

3 <br />

A.adjA<br />

الف.‏ I<br />

در مورد ماتريس<br />

ب.‏<br />

كدام گزينه صحيح نيست؟<br />

1<br />

ج.‏ A A<br />

د.‏<br />

.10<br />

اگر تعداد مجهولها با تعداد معادله هاي يك دستگاه معادلات خطي n معادله n<br />

مجهولي برابر باشد،‏ آنگاه:‏<br />

الف.‏ در صورتيكه ماتريس ضرايب دستگاه وارون پذير باشد،‏ اين دستگاه همواره جواب منحصر بفرد دارد.‏<br />

ب.‏ در صورتيكه دترمينان ماتريس ضرايب دستگاه صفر باشد،‏ اين دستگاه همواره جواب منحصر بفرد دارد.‏<br />

ج.‏ اين دستگاه همواره جواب منحصر بفرد دارد.‏<br />

د.‏ اين دستگاه هيچگاه جواب منحصر بفرد نخواهد داشت.‏<br />

,X2 دو جواب دستگاه غير همگن<br />

X 1<br />

X1,<br />

الف.‏ X 2<br />

اگر<br />

جوابي براي دستگاه همگن<br />

AX B باشند،‏ كدام مورد صحيح نيست؟<br />

AX 0 است.‏<br />

.11<br />

.12<br />

. AX 0<br />

ج<br />

X<br />

,<br />

ب.‏ 2 X 1<br />

جوابي براي دستگاه همگن<br />

است<br />

AX 0 جواب<br />

دستگاه غيرهمگن<br />

AX B جواب منحصر بفرد دارد اگر و تنها اگر دستگاه همگن<br />

.<br />

منحصر بفرد داشته باشد.‏

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎123‎<br />

د.‏ هر جواب دستگاه غير همگن<br />

در مورد مجموعه<br />

AX B جوابي از دستگاه همگن0‎ AX نيز هست و بالعكس<br />

چه مي توان گفت؟<br />

( 101 , , ),( 011 , , ),( 11 , , 0)<br />

<br />

الف.‏ مستقل خطي است<br />

ب.‏ وابسته ي خطي است<br />

ج.‏ فقط زير مجموعه هاي سره ي آن مستقل خطي اند<br />

د.‏ يك تركيب خطي از بردارهاي فوق يافت مي شود كه مخالف صفر است<br />

.13<br />

2<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

3<br />

6<br />

0<br />

1<br />

2<br />

<br />

<br />

1 <br />

det A 0<br />

در مورد ماتريس<br />

الف)‏<br />

A كدام مورد صحيح نيست؟<br />

ب)‏ رتبه ي A،<br />

است<br />

.14<br />

3<br />

ج)‏ رتبه ي A، نمي تواند برابر 3<br />

باشد<br />

د)‏ رتبه ي A، دقيقاً‏<br />

است<br />

x<br />

y z 6<br />

<br />

3x<br />

4y<br />

2z<br />

2<br />

<br />

2x<br />

5y<br />

x 0<br />

6<br />

در دستگاه معادلات روبرو اگر دترمينان ماتريس ضرايب 36-<br />

ب.‏ صفر<br />

ج.‏<br />

باشد،‏ مقدار متغيرx كدامست؟<br />

د.‏<br />

2<br />

x1<br />

<br />

<br />

g(<br />

<br />

x2<br />

<br />

) 2x1<br />

3x2<br />

x3<br />

<br />

x3<br />

<br />

الف.‏ 4-<br />

x1<br />

2x2<br />

<br />

x1<br />

<br />

<br />

x1x2<br />

f (<br />

<br />

)<br />

x2<br />

1<br />

x1<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

g خطي و f<br />

اگر<br />

الف)‏<br />

و<br />

غير خطي است<br />

آنگاه:‏<br />

ب)‏ هر دو تابع خطي اند<br />

.15<br />

.16<br />

ج)‏ f<br />

غيرخطي و g خطي است<br />

د)‏ هر دو تابع غيرخطي اند<br />

h(x,<br />

y)<br />

<br />

2<br />

1<br />

x y<br />

2<br />

تابع<br />

الف)‏ دامنه ي h كل صفحه<br />

مفروض است.‏ كدام گزينه در اين مورد نادرست است؟<br />

<br />

2<br />

0<br />

0<br />

h (x,<br />

ب)‏ دامنه ي y) R x , y <br />

است<br />

2<br />

R است<br />

.17<br />

در كل<br />

در هر نقطه اي از<br />

حد دارد<br />

2<br />

R<br />

د)‏ h<br />

2<br />

R پيوسته است<br />

ج)‏ h

كدام است؟<br />

١٢٤ انتشارات حافظ پژوه<br />

-1<br />

lim sin(x 2y<br />

z)<br />

π π<br />

(x, y,z) ( 0,<br />

, )<br />

2 2<br />

18. حاصل<br />

الف.‏ صفر<br />

اگر<br />

ب.‏ يك<br />

به ازاي<br />

ج.‏<br />

د.‏ بينهايت<br />

0/ dy چيست؟<br />

2,<br />

dx 0/<br />

1,<br />

y 9 , x 4<br />

5/8<br />

0/058<br />

مقدارdf ، f (x, y) <br />

ب.‏ 0/0058<br />

ج.‏<br />

د.‏<br />

1<br />

x 2<br />

<br />

1<br />

y2<br />

الف.‏ 0/58<br />

.19<br />

3<br />

6y<br />

3y<br />

4x<br />

2<br />

5y<br />

در مورد معادله ي 0<br />

چه مي توان گفت؟<br />

الف)‏ يك معادله ي ديفرانسيل نيست ب)‏ معادله ديفرانسيلي از مرتبه ي<br />

هست<br />

.20<br />

ج)‏ معادله ديفرانسياي از مرتبه ي اول است<br />

د)‏ معادله ديفرانسيلي از مرتبه ي دوم است<br />

الف)‏ انتگرال نامعين<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

سؤالات تشريحي<br />

2 0<br />

<br />

( 1<br />

3<br />

2<br />

e x dx<br />

x<br />

x<br />

)<br />

2<br />

ب)انتگرال معين<br />

فرض كنيد<br />

را محاسبه كنيد.‏<br />

3 5<br />

2<br />

2<br />

3A 2C<br />

4B<br />

C ماتريس B , A <br />

2<br />

0<br />

4<br />

6 <br />

1<br />

2<br />

1 1<br />

، A بدون محاسبه ي ، A مقدار det A را بدست آوريد.‏<br />

<br />

<br />

2 3<br />

<br />

3 3<br />

x1<br />

2x2<br />

x3<br />

2<br />

<br />

3x1<br />

x2<br />

2x<br />

3 1<br />

<br />

4x1<br />

3x2<br />

x3<br />

3<br />

<br />

2x1<br />

4x2<br />

2x<br />

3 4<br />

اگر<br />

را طوري بيابيد كه<br />

f (x, y)<br />

3<br />

2<br />

<br />

<br />

4<br />

دستگاه معادلات خطي داده شده را به روش حذفي گاوس حل كنيد.‏<br />

x<br />

2<br />

y<br />

2<br />

نقاط ماكسيمم و مينيمم نسبي و زين اسبي تابع 1<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه<br />

پاسخ سؤالات تستي<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏ كوچكتر مضرب مشترك مخرج تواناي<br />

را در صورت وجود بيابيد.‏<br />

را در نظر مي گيريم.‏<br />

3<br />

x 4 ,<br />

x<br />

1<br />

2<br />

.1<br />

.2<br />

.3<br />

.4<br />

-1<br />

-2<br />

-3

x<br />

2<br />

4x<br />

0<br />

x 0<br />

x 4<br />

(A B<br />

2<br />

2x<br />

T<br />

)<br />

T<br />

A<br />

T<br />

(B<br />

T<br />

)<br />

T<br />

A<br />

1<br />

14<br />

2x<br />

0<br />

x 7<br />

7<br />

T<br />

B<br />

0<br />

0 0<br />

0<br />

0 0<br />

0<br />

0 0<br />

2<br />

Q <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 0 0<br />

<br />

2 0 0<br />

<br />

0 0 0<br />

<br />

<br />

3 2 0<br />

<br />

3 2 0<br />

<br />

4 0 0<br />

0<br />

0 0<br />

0<br />

0 0<br />

0<br />

3 2<br />

Q Q .Q <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0 0 0<br />

<br />

2 0 0<br />

<br />

0<br />

<br />

4 0 0<br />

<br />

3 2 0<br />

<br />

0<br />

4<br />

A 1<br />

4<br />

<br />

4<br />

AA <br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

4<br />

1<br />

0<br />

1<br />

0<br />

1<br />

1<br />

1<br />

A 2<br />

1<br />

1<br />

3<br />

0<br />

4<br />

0<br />

4<br />

3<br />

1 2<br />

0<br />

0<br />

3<br />

6<br />

0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

0<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎125‎<br />

0<br />

0<br />

<br />

<br />

0<br />

3<br />

1<br />

1 1<br />

A adjA A.adjA I<br />

3<br />

3<br />

4<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

3 <br />

<br />

4<br />

3<br />

0<br />

4<br />

3<br />

1<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0<br />

3 <br />

<br />

0<br />

0<br />

1<br />

0<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

0<br />

1<br />

0<br />

<br />

<br />

I A A <br />

1<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

گزينه ‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

det A<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏<br />

‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ال ف ( صحيح است.‏ چون دترمينان حاصل از مجموعه بردارها مخالف است<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

مستقل خطي است<br />

2<br />

0<br />

r(A) n<br />

3<br />

1<br />

-4<br />

-5<br />

-6<br />

-7<br />

-8<br />

-9<br />

10- گزينه<br />

1<br />

det A<br />

11- گزينه<br />

12- گزينه<br />

13- گزينه<br />

14- گزينه

‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

١٢٦ انتشارات حافظ پژوه<br />

15- گزينه<br />

Δx <br />

6<br />

2<br />

0<br />

1<br />

4<br />

5<br />

1<br />

2<br />

1<br />

72<br />

x <br />

Δx<br />

Δ<br />

72<br />

2<br />

36<br />

گزينه ‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

‏(ب)‏ صحيح است.‏<br />

-16<br />

17- گزينه<br />

18- گزينه<br />

lim<br />

π<br />

(x,y,z) (<br />

0,<br />

,<br />

2<br />

f (x, y)<br />

<br />

π<br />

)<br />

2<br />

x <br />

π π<br />

sin(x 2y<br />

z) limsin( 0<br />

π ) sin 1<br />

2 2<br />

y<br />

f<br />

f<br />

1 1 1 1<br />

df .du .dy .dx dy 0/<br />

1<br />

0/<br />

2 0/<br />

058<br />

x<br />

y<br />

2 x 2 y 4 6<br />

( 1<br />

<br />

2<br />

x )<br />

dx<br />

x<br />

‏(ج)‏ صحيح است.‏<br />

‏(د)‏ صحيح است.‏<br />

پاسخ سؤالات تشريحي<br />

19- گزينه<br />

20- گزينه<br />

1- الف)‏<br />

1<br />

U 1<br />

x dU du<br />

2 x<br />

2<br />

( 1<br />

x )<br />

2 dx 2 2 3<br />

dx 2(<br />

1<br />

x ) ( ) 2U<br />

dU U<br />

x<br />

2 3<br />

( 1<br />

x ) C<br />

3<br />

3<br />

3<br />

3<br />

2<br />

x<br />

2 2 2 x<br />

2 2 3 2 x <br />

<br />

2 <br />

0 e dx 0<br />

e ( dx) e<br />

3 2 3 <br />

0<br />

2<br />

x<br />

3<br />

C<br />

ب)‏<br />

2 3<br />

2 2 3<br />

2<br />

e ( ) e <br />

3 3 3 3

و‎0‎<br />

1<br />

3A 2c<br />

4B<br />

2c<br />

3A<br />

4B<br />

c 3A<br />

4B<br />

2<br />

راهنما و سؤالات امتحاني رياضيات و كاربرد آن در مديريت‎127‎<br />

<br />

-2<br />

1 <br />

6<br />

C <br />

2<br />

<br />

12<br />

1<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

3<br />

1<br />

A <br />

2<br />

3<br />

3<br />

1<br />

A<br />

6<br />

12<br />

<br />

18<br />

<br />

<br />

8<br />

20<br />

1 <br />

6<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

<br />

2 20<br />

26<br />

<br />

3<br />

<br />

18<br />

<br />

10<br />

13<br />

9<br />

<br />

<br />

3<br />

1<br />

2 3 <br />

1 4<br />

2<br />

R 2 2R1<br />

<br />

2<br />

0 1 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

1<br />

5 12<br />

7<br />

3 3 <br />

<br />

<br />

A ( )<br />

1<br />

3 5<br />

<br />

R R<br />

4<br />

<br />

0 3 8<br />

1<br />

<br />

7<br />

معادله چهارم دو برابر معادله اول است بنابراين معادله اول را مي نويسيم.‏<br />

1<br />

2 1 2<br />

1<br />

2 1 2 <br />

<br />

R <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3 1 2 1 2 3R1<br />

R2<br />

<br />

<br />

0 5 5 5<br />

R <br />

<br />

<br />

4 3 1<br />

3<br />

3 4R1<br />

R 3<br />

<br />

<br />

0 11<br />

5 5<br />

R2<br />

1<br />

2 1 2 <br />

1<br />

2 1 2<br />

R<br />

<br />

2<br />

<br />

5 <br />

R <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0 1 1 1 3 11R<br />

2 R3<br />

<br />

<br />

0 1 1 1<br />

<br />

<br />

0 11<br />

5 5<br />

<br />

0 0 6 6<br />

1<br />

2 1 2<br />

1<br />

2 0 1<br />

R3<br />

R <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

0 1 1 1 1 R3<br />

R<br />

R<br />

1<br />

3 <br />

0 1 0 0<br />

6 R<br />

<br />

<br />

0 0 1 1<br />

2 R3<br />

R2<br />

<br />

<br />

0 0 1 1<br />

1<br />

0 0 1 1<br />

R<br />

1 2R<br />

2 R1<br />

<br />

<br />

0 1 0 1 0<br />

<br />

<br />

0 0 1 0 1<br />

x3 1 ,x2<br />

0<br />

, x1<br />

1<br />

fx<br />

2x<br />

0<br />

x 0<br />

<br />

<br />

fy<br />

2y<br />

0<br />

y 0<br />

-3<br />

-4<br />

بنابراين<br />

جواب منحصر به فرد دستگاه است.‏<br />

-5<br />

fxx<br />

2 f yy 2<br />

fxy<br />

0<br />

2<br />

f (x, y) Δ( 00 , 2 20 40<br />

Δ f f <br />

)<br />

xx yy<br />

(0<br />

نقطه )<br />

نقطه بحراني است.‏<br />

نقطه زين اسبي است

١٢٨ انتشارات حافظ پژوه<br />

منابع<br />

رياضيات و كاربرد آن در مديريت انتشارات دانشگاه پيام نور مؤلف:‏ ليدا فرخو

logo

Prodotti

Risorse

Aziende

Terms of service
Privacy policy
Cookie policy
Cookie settings
Imprint
Change language
Made with love in Switzerland
© 2024 Yumpu.com all rights reserved

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!