to get the file - Dipartimento di Sistemi Elettrici e Automazione

Elettrotecnica 

12 CFU, 1 ◦ e 2 ◦ Periodo 

Rocco Rizzo, DSEA - Dipartimento di Sistemi Elettrici ed Automazione - Università di Pisa; rocco.rizzo@dsea.unipi.it 

REGISTRO DELLE LEZIONI 

CORSO DI ELETTROTECNICA 

PER ALLIEVI INGEGNERI ELETTRICI 

A.A. 2008/2009 

Docente: Rocco Rizzo

Elettrotecnica 1 ◦ Periodo A.A. 2008/2009 

Rocco Rizzo, DSEA - Dipartimento di Sistemi Elettrici ed Automazione - Università di Pisa; 

NOTA: per consultare gli argomenti trattati nelle singole lezioni, cliccare su go to Lezione . (In nero le lezioni NON tenute, in rosso le lezioni di recupero, in verde le esercitazioni). 

LEZIONI 1 ◦ PERIODO: SETTEMBRE-DICEMBRE 2008 

Settimana Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì 

29 Settembre 

05 Ottobre 








02 Novembre 

03 Novembre 

09 Novembre 

10 Novembre 

16 Novembre 

17 Novembre 

23 Novembre 

24 Novembre 

30 Novembre 

01 Dicembre 

07 Dicembre 

08 Dicembre 

14 Dicembre 

15 Dicembre 

21 Dicembre 

29/09 

06/10 

13/10 

20/10 

27/10 

03/11 

10/11 

17/11 

24/11 

01/12 

08/12 

15/12 

go to Lezione 








go to Esercit. 





30/09 

07/10 

14/10 

21/10 

28/10 

04/11 

11/11 

18/11 

25/11 

02/12 

09/12 

16/12 













01/10 

08/10 

15/10 

22/10 

29/10 

05/11 

12/11 

19/11 

26/11 

03/12 

10/12 

17/12 







02/10 

09/10 

16/10 

23/10 

30/10 

06/11 

13/11 

20/11 

27/11 

04/12 

11/12 

18/12 













03/10 

10/10 

17/10 

24/10 

31/10 

07/11 

14/11 

21/11 

28/11 

05/12 

12/12 

19/12 

04/10 

Sab. 

05/10 

Dom. 

11/10 

12/10 

18/10 

19/10 

25/10 

26/10 

20/12 13/12 06/12 29/11 22/11 15/11 08/11 01/11 

Festa 

21/12 14/12 07/12 30/11 23/11 16/11 09/11 02/11

Elettrotecnica 2 ◦ Periodo A.A. 2008/2009 


Settimana Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì 

Sab. 

Dom. 

02 Marzo 

08 Marzo 

02/03 

03/03 


04/03 


05/03 


06/03 

07/03 

08/03 

LEZIONI 2 ◦ PERIODO: MARZO-MAGGIO 2009 

09 Marzo 

15 Marzo 

16 Marzo 

22 Marzo 

23 Marzo 

29 Marzo 

30 Marzo 

05 Aprile 

06 Aprile 

12 Aprile 

13 Aprile 

19 Aprile 

20 Aprile 

26 Aprile 

27 Aprile 

03 Maggio 

04 Maggio 

10 Maggio 

11 Maggio 

17 Maggio 

18 Maggio 

24 Maggio 

18/05 11/05 04/05 27/04 20/04 13/04 06/04 30/03 23/03 16/03 09/03 

Vacanze di Pasqua 

19/05 12/05 05/05 28/04 21/04 14/04 07/04 31/03 24/03 17/03 10/03 












20/05 13/05 06/05 29/04 22/04 15/04 08/04 01/04 25/03 18/03 11/03 












21/05 14/05 07/05 30/04 23/04 16/04 09/04 02/04 26/03 19/03 12/03 













22/05 15/05 08/05 01/05 24/04 17/04 10/04 03/04 27/03 20/03 13/03 


Primo Maggio 

23/05 16/05 09/05 02/05 25/04 18/04 11/04 04/04 28/03 21/03 14/03 

25 

Aprile 

24/05 17/05 10/05 03/05 26/04 19/04 12/04 05/04 29/03 22/03 15/03 

25 Maggio 

31 Maggio 

25/05 

26/05 


27/05 


28/05 


29/05 

30/05 

31/05

Elettrotecnica Lezioni 1 a parte suddivise per argomento, A.A. 2008/2009 


1 a Parte: Teoria dei Circuiti Lezioni Tot. ore 

Principi Fondamentali - Dai campi elettromagnetici ai circuiti elettrici; Il problema fondamentale 

delle reti elettriche; definizioni di corrente, tensione, potenza ed energia; I Bipoli 

Elettrici; I Principi di Kirchhoff; il Teorema di Tellegen; Il Principio di Sostituzione o 

equivalenza; 

29/09/08 06/10/08 07/10/08 Lez. 6 

Elementi circuitali: relazioni costitutive e caratterizzazione energetica - Il Resistore; Il 

Generatore; Il Condensatore; L’Induttore; Gli Induttori Mutuamente Accoppiati; 07/10/08 09/10/08 13/10/08 14/10/08 

Lez. 5 + 

Eserc. 2 

Risoluzione del Problema Fondamentale delle reti - Reti resisitive; Il Partitore di tensione; 

Il Partitore di corrente; Il Principio di Sovrapposizione degli Effetti; Il Teorema di Millman; I 

Teoremi di Thevenin e Norton; Metodi di risoluzione generali: Il metodo delle correnti di ramo; 

Il metodo delle correnti di maglia; Il metodo delle tensioni nodali; 

14/10/08 20/10/08 21/10/08 23/10/08 

27/10/08 29/10/08 30/10/08 

Lez. 9 + 

Eserc. 5 

Reti lineari dinamiche: soluzione con il metodo classico - soluzione complementare e 

soluzione particolare; Scomposizione della risposta in transitorio e regime permanente; 03/11/08 

Lez. 1 + 

Eserc. 1 

Circuiti in regime sinusoidale - Richiamo sui fasori; Rappresentazione fasoriale di 

Tensione e Corrente; La Potenza; I Teoremi sulla Potenza; Il rifasamento; I circuiti risonanti; 

03/11/08 05/11/08 06/11/08 10/11/08 

12/11/08 13/11/08 17/11/08 20/11/08 

27/11/08 16/12/08 17/12/08 18/12/08 

Lez. 13 + 

Eserc. 9 

Circuiti Magnetici - Analisi con la rete elettrica equivalente; Il Trasformatore; 11/12/08 15/12/08 16/12/08 03/03/09 

04/03/09 26/05/09 

Lez. 5 + 

Eserc. 4 

I Sistemi Trifase - Sistemi simmetrici ed equilibrati; Sistemi dissimmetrici e squilibrati; 

Metodo delle Sequenze; 

25/03/09 26/03/09 31/03/09 01/04/09 

02/04/09 07/04/09 08/04/09 16/04/09 

21/04/09 22/04/09 23/04/09 26/05/09 

Lez. 15 + 

Eserc. 7 

27/05/09 

Circuiti in regime periodico NON sinusoidale - Uso della trasformata serie di Fourier; 

28/04/09 30/04/09 

Lez. 3 + 

Eserc. 1 

Circuiti in regime a-periodico - La trasformata di Laplace; Analisi dei transitori; 05/05/09 06/05/09 07/05/09 12/05/09 

13/05/09 14/05/09 19/05/09 21/05/09 

Lez. 8 + 

Eserc. 4

Elettrotecnica Lezioni 2 a parte suddivise per argomento, A.A. 2008/2009 


2 a Parte: Elettromagnetismo Applicato Lezioni Tot. ore 

Richiami di Analisi Vettoriale - Sistemi di coordinate spaziali; L’Integrale di linea di un 

campo vettoriale; Gli operatori vettoriali: Gradiente, Divergenza e Rotore; Il teorema della 

Divergenza; Il teorema di Stokes; 

24/11/08 01/12/08 Lez. 5 

Il Campo Magnetostatico - Cariche in movimento (corrente continua); Forza tra conduttori 

percorsi da corrente; Il vettore di Induzione Magnetica; Legge di Biot-Savart; Forza di Lorentz; 

Legge di Ampère; Flusso del vettore Induzione Magnetica; Potenziale Vettore; Materiali 

Magnetici; Condizioni di Interfaccia; Induttanza; Mutuo Accoppiamento; Energia e Forze 

Magnetiche; 

Il Campo Elettrostatico - Legge di Coulomb; Campo generato da distribuzioni di cariche; 

Teorema di Gauss; Il Potenziale Elettrostatico; Conduttori e Dielettrici; Condizioni di 

interfaccia; Energia elettrostatica; Capacità; 

01/12/08 02/12/08 03/12/08 04/12/08 

10/12/08 

05/03/09 10/03/09 11/03/09 12/03/09 

17/03/09 18/03/09 19/03/09 

Lez. 7 + 

Eserc. 2 

Lez. 8 + 

Eserc. 3 

Magnetodinamica - Legge di Faraday-Neumann-Lenz; Conservazione della carica; Legge 

di Ampère e corrente di spostamento; Le Equazioni di Maxwell; Relazioni costitutive nei 

mezzi; Condizioni di Interfaccia; Flusso di Potenza e Vettore di Poynting; 

15/12/08 24/03/09 

Lez. 3 + 

Eserc. 1 

NOTA: per ragioni didattiche legate al coordinamento degli argomenti con quelli del corso di Macchine Elettriche, la parte di Magnetostatica è stata 

svolta alla fine del primo periodo di lezioni, posticipando l’Elettrostatica all’inizio del secondo periodo.



Argomento lezione del 29 Settembre 2008 

Aula B25 -3 ore 

- Lettura volantino dei Ricercatori con le motivazioni della protesta in atto presso la Facoltà di Ingegneria; 

- Introduzione al corso: programma dettagliato degli argomenti; modalità di esame; bibliografia; 

- Lezione introduttiva: dai campi elettromagnetici ai circuiti elettrici (proiezione di slides); Condizione di Abraham 

sulla lunghezza d’onda in relazione alle dimensioni fisiche del sistema; applicazioni e controesempi; 

Inizio Lezione ore 15:50 - Fine lezione: ore 17:20. 

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Argomento lezione del 30 Settembre 2008 

Aula C44 - 1 ora 

- Lezione NON TENUTA per adesione del Docente alla protesta dei ricercatori (la lezione è stata recuperata nelle 

settimane successive). 




Argomento lezione del 2 Ottobre 2008 

Aula B22 - 2 ore 

- Lezione NON TENUTA per sospensione ufficiale della didattica da parte della Facoltà (la lezione è stata recuperata 

nelle settimane successive). 






- Descrizione del Problema Fondamentale dell’Elettrotecnica; 

- Definizioni di base: corrente, tensione, potenza ed energia; 

- I bipoli elettrici: definizione; relazione costitutiva; 

- Convenzioni per la potenza (riferimenti associati e NON associati); 

- Classificazione dei bipoli; tipologie di comando (in tensione o corrente); bipoli lineari o non-lineari, con o senza 

memoria, tempo-varianti o tempo-invarianti, passivi o attivi, conservativi o dissipativi; 

- Esempi di classificazione; 

Inizio Lezione ore 15:45 - Pausa: 17:25-17:35 - Fine lezione: ore 18:30. 






Aula C44 - 2+1=3 ore 

- Definizione di rete elettrica; 

- 1 ◦ e 2 ◦ Principio di Kirchhoff; 

- Teorema di Tellegen sulla Potenza istantanea; 

- Definizione di circuito equivalente e Principio di Sostituzione; 

- Collegamenti tipici tra bipoli: serie, parallelo, misti e stella/triangolo (solo equivalenza schematica); 

- Elementi circuitali: introduzione; 

- Il Resistore: Legge di Ohm puntuale e integrale; Collegamenti tipici tra resistori; Caratterizzazione energetica dei 

resistori; 

Le prime due ore sono state prese in prestito dal Docente di Automazione dei Sistemi Industriali e restituite nelle settimane 

successive; 








ESERCITAZIONE: 

- Esercizi relativi al calcolo di resistenze equivalenti con collegamenti serie, parallelo, misti e stella/triangolo; 








- Breve sintesi sul resistore: caso R = 0 e R = ∞; Caratterizzazione energetica del resistore; Esempio di resistore 

NON lineare; 

- Il bipolo Generatore: ideale di tensione e ideale di corrente; Generatori reali; Equivalenza tra generatori reali; 

Collegamenti tipici tra generatori; Generatori controllati; Caratterizzazione energetica dei generatori; Generatore 

come bipolo attivo; 

- Il Bipolo Condensatore: relazione costitutiva; Collegamenti tipici tra condensatori; Caratterizzazione energetica dei 

condensatori. 







Aula C44 - 2+1=3 ore 

- Il Bipolo Induttore: relazione costitutiva; Collegamenti tipici tra induttori; Caratterizzazione energetica degli induttori; 

- Il Doppio Bipolo Induttore Mutuamente Accoppiato: relazione costitutiva; Trasformazioni a “T“ e a ”Pi-greca“; 

Caratterizzazione energetica di Induttori Mutuamente Accoppiati; Vincolo sul parametro M: M ≤ √ L 1 · L 2 . 

- Risoluzione del Problema fondamentale dell’Elettrotecnica: 

a) Formulazione matematica per la descrizione del modello circuitale; 

b) Soluzione del modello matematico; 

- Applicazione alle Reti Resistive; 

- Il 2 ◦ Principio di Kirchhoff in forma operativa con esempio; 

Le prime due ore sono state prese in prestito dal Docente di Automazione dei Sistemi Industriali e restituite nelle settimane 

successive; 







2 ore 

- Lezione NON TENUTA per sospensione ufficiale della didattica da parte della Facoltà (la lezione è stata recuperata 

nelle settimane successive). 






- Ulteriore esempio sul 2 ◦ PdK in forma operativa; 

- Metodi di soluzione particolari delle reti elettriche: partitore di tensione; partitore di corrente; trasformazione 

topologica di generatori di tensione e generatori di corrente; Principio di Sovrapposizione degli Effetti; Teorema di 

Millman; 

- Descrizione di due casi particolari del principio di sostituzione: generatore di tensione al posto di un ramo con 

tensione “V” nota e generatore di corrente al posto di un ramo con corrente “I” nota; 

- Teorema di Thevenin; 

- Teorema di Norton; 

- Corollario dei due teoremi: equivalenza tra generatori di tensione con resistenza in serie e generatori di corrente 

con resistenza in parallelo; 

NOTA: Tutti i metodi di soluzione, sia particolari, sia generali (cfr. lezioni successive), sono stati descritti facendo riferimento 

a reti elettriche composte da soli resistori e sono stati applicati a semplici esercizi; 








- Metodi generali per la risoluzione di reti elettriche: metodo delle correnti di ramo (Tableau e maglie a finestra per 

l’individuazione delle equazioni linearmente indipendenti con il 2 ◦ PdK); 

- Esempio con solo generatori di tensione; 

- Esempio con generatori di tensione e di corrente; 









- Esercizio di calcolo della resistenza di un conduttore di alluminio a due diverse temperature; 

- Esercizio di calcolo della resistenza di un catodo di carbonio (di forma cilindrica+tronco di cono) tramite la 

definizione di resistenza ricavata dalla legge di Ohm puntuale (uso dell’integrale); 

- Esercizio di scrittura delle equazioni con il metodo delle correnti di ramo; 

- Esercizio precedente risolto con l’uso del Teorema di Thevenin; 

- Esercizio di applicazione del Teorema di Norton (commenti e indicazioni anche per la risoluzione con il metodo 

delle correnti di ramo); 

- Esercizio di applicazione del Teorema di Thevenin in presenza di generatori pilotati; 








- Elementi di Topologia delle reti: principali definizioni; risultato fondamentale della topologia delle reti; 

- Due teoremi: a) note le correnti nelle corde è possibile ricavare le correnti in tutti i rami; b) note le tensioni sui rami 

d’albero è possibile ricavare le tensioni su tutti i rami); 

- Il Metodo delle correnti di maglia (uso delle maglie monocorda per l’individuazione delle equazioni linearmente 

indipendenti con il 2 ◦ PdK); Esempio con soli generatori di tensione; Commento sul metodo del Tableau e delle 

maglie a finestra come alternativa per l’individuazione delle equazioni linearmente indipendenti; Esempio con 

generatori di corrente; 

- Il Metodo delle tensioni nodali; tensione nodale fittizia; Esempio con solo generatori di corrente; Esempio con 

generatori di corrente e di tensione con percorso unico tra nodo di riferimento e altro nodo; Esempio con generatori 

di tensione in percorsi diversi: soluzione tramite Principio di Sovrapposizione degli Effetti o tramite l’uso del 

Principio di Sostituzione; Problematiche di applicazione del metodo in circuiti contenenti induttori mutuamente 

accoppiati e generatori reali di tensione. 







Aula A23 - 1,5 ore 


- Esercizio di applicazione del Metodo delle Correnti di Maglia (MCM) (maglie monocorda); 

- Risoluzione dello stesso esercizio con applicazione del Metodo delle Tensioni Nodali (MTN); 

- Risoluzione dello stesso esercizio con il MTN modificato con l’aggiunta di generatori reali di tensione anche su più 

percorsi; 

- Ulteriore esercizio risolto con il MCM; 

- Ulteriore esercizio risolto con il MTN in presenza di generatore pilotato di corrente con anche un resistore in serie; 









- NOTA su generatori di tensione in percorso unico nel Metodo delle Tensioni Nodali; 

- Esercizio di applicazione del Teorema di Thevenin con generatori pilotati; scrittura delle equazioni sia con MCM, sia 

con MTN; calcolo della resistenza equivalente di Thevenin (R th ) con metodi diversi; 

- Esercizio con applicazione in sequenza del Teorema di Thevenin; 

- Esercizio di applicazione del Teorema di Thevenin con circuito a ponte (trasformazione stella/triangolo per R th ); 

stesso esercizio con calcolo della R th tramite la definizione: R th = Vp 

I p 

; 

- Esercizio di applicazione del Principio di Sovrapposizione degli Effetti (problemi in presenza di generatori pilotati); 






Argomento lezione del 3 Novembre 2008 


- Studio delle Reti Dinamiche: determinazione a-priori dell’ordine delle equazioni integro-differenziali 

- Esempio di risoluzione del transitorio in circuito RL con e(t) = E = costante ed e(t) = E M · sin(ωt + α); 

Scomposizione in integrale particolare (di regime) e soluzione complementare (transitorio); il problema delle 

condizioni iniziali; definizione e commenti sulla costante di tempo τ del circuito; 

- Circuito RLC: scrittura dell’equazione risolutiva di 2 ◦ ordine (non risolta ma solo commenti su difficoltà di 

risoluzione); Schema a blocchi sull’uso della trasformata di Laplace per lo studio dei transitori (studio rimandato al 

2 ◦ periodo); 

- Soluzione di regime: schema a blocchi della trasformata di Steinmetz (o fasoriale); 

- Circuiti in regime sinusoidale; Definizione delle principali caratteristiche di una sinusoide: ampiezza, pulsazione, 

angolo di fase, periodo, frequenza; Definizione di Valore Efficace e suo significato fisico; 

- Uso dei fasori: passaggio dalla sinusoide nel dominio del tempo, al vettore rotante nel piano di Gauss, al suo fasore 

rappresentativo; 








- Breve sintesi sui fasori; uso del Valore Efficace al posto di quello massimo; Passaggio dalla sinusoide al fasore 

rappresentativo e viceversa; esempi numerici; 

- Operazioni nel dominio del tempo e nel dominio dei fasori: somma, differenza, derivata e integrale (operazioni 

svolte anche per via grafica sul piano di Gauss); 

- Relazioni costitutive nel dominio dei fasori: Resistore, Condensatore, Induttore e Induttori Mutuamente Accoppiati; 








- Definizione di Impedenza; Triangolo dell’Impedenza; Legge di Ohm nel dominio dei fasori; l’Ammettenza; triangolo 

dell’Ammettenza; considerazioni sui collegamenti tipici: serie, parallelo e stella/triangolo di Impedenze; 

- Passaggio dal ramo fisico all’impedenza equivalente e dall’impedenza alla sua rappresentazione circuitale 

equivalente: ¯Z = R + jX; 

- Casi particolari di impedenze (con relativa rappresentazione grafica dei fasori di tensione e corrente): ¯Z 

ohmico-capacitiva; ¯Z ohmico-induttiva; ¯Z puramente ohmica; ¯Z puramente capacitiva; ¯Z puramente induttiva; 

- Svolgimento di due esercizi numerici di calcolo dell’impedenza equivalente di rami RLC in vari collegamenti; 

- Svolgimento di un esercizio di applicazione dei fasori; metodo analitico e grafico; metodo del fasore presunto; 

- Commento sulla validità di tutti i principi, i teoremi ed i metodi di risoluzione visti per le reti resistive (PdK; metodo 

delle Correnti di ramo; MCM; MTN; ecc.) nel dominio fasoriale; 








- Trasformazione di un circuito semplice E-RLC dal dominio del tempo al dominio dei fasori; 

- Esercizio numerico; rappresentazione dei risultati (vettore di tensione e corrente) sul piano di Gauss; 

- La potenza nei circuiti in regime sinusoidale; potenza istantanea; suddivisione in potenza costante + potenza 

fluttuante; suddivisione in potenza attiva istantanea p a(t) + potenza reattiva istantanea p r (t); andamenti temporali 

sul piano p − t; 

- I 4 parametri della potenza: P, Q, S e cos ϕ; 

- La potenza apparente complessa ¯S ; 

- La potenza negli elementi circuitali: R, L, C e negli induttori mutuamente accoppiati; dimostrazione dell’esistenza di 

un termine di potenza attiva relativa al mutuo accoppiamento; 








- Esercizio numerico sul calcolo della potenza in rami con induttori mutuamente accoppiati; 

- Teorema di Boucherot; 

- Esercizio numerico di ricapitolazione sulla potenza: circuito E-RLC con 3 modi distinti di calcolo potenza 

(Definizioni; Potenza complessa; Teorema di Boucherot); 

- Il rifasamento monofase; problematica generale; il rifasamento totale; il rifasamento parziale; formule in termini 

energetici; 








- Sintesi delle formule sul rifasamento; 

- Osservazioni su rifasamento: 1) Corrente su carico prima e dopo il rifasamento nel caso in cui si supponga 

costante il Valore efficace della tensione sul carico; 2) Invarianza del rifasamento monofase rispetto alla tensione 

sul carico; 3) indicazione dei condensatori in KVAR anziché in Farad; 4) Prescrizioni normative: cos ϕ < 0.7 ⇒ 

rifasamento obbligatorio; 0.7 < cos ϕ < 0.9 ⇒ rifasamento facoltativo (ragioni economiche); 0.9 < cos ϕ < 1 ⇒ 

rifasamento non necessario; 5) Modalità di rifasamento (centralizzato; distribuito; ecc.); 6) Commento sulla caduta 

di tensione (CdT) sulla linea e tensione sul carico nel caso in cui si fissa la tensione sul generatore al posto della 

tensione sul carico; CONCLUSIONI sul rifasamento: vantaggi; 

- Esercizio numerico sul rifasamento con calcolo della CdT con formula approssimata; 

- Circuiti risonanti: definizione di Funzione di Rete e Risposta in Frequenza; 

- Circuito risonante serie; calcolo della pulsazione di risonanza; il problema della sovratensione; il Fattore di Merito; 

diagrammi di Modulo e Fase; Banda passante; selettività; 








LEZIONE: 

- Breve sintesi sul circuito risonante serie con i diagrammi della risposta in frequenza; 

- Il circuito risonante parallelo ideale; calcolo della pulsazione di risonanza; il problema della sovracorrente; il Fattore 

di Merito; diagramma di Modulo e Fase; Banda Passante; Selettività; 

- Il circuito risonante parallelo reale; calcolo della pulsazione di risonanza; 

- Calcolo dell’energia elettromagnetica istantanea e media immagazzinata negli elementi conservativi (Induttori, 

Condensatori ed Induttori Mutuamente accoppiati); Caso particolare dei circuiti risonanti (Energia pari al doppio di 

quella nei singoli elementi); 

- Il Teorema del Massimo Trasferimento di Potenza, dimostrazione; problema dell’adattamento del carico; calcolo del 

rendimento del sistema; commento su differenza tra massimo trasferimento di potenza e massimo rendimento; 

- Caratterizzazione dei carichi monofase: dai dati di targa (P n, V n, e cos ϕ) all’impedenza equivalente ( ¯Z c ); 

Esercizio numerico; 


- Esercizio di scrittura equazioni con il Metodo delle Correnti di Maglia e con il Metodo delle Tensioni Nodali; 

Commenti approfonditi a possibili complicazioni nella scrittura delle equazioni con i due metodi (scelta di alberi più 

o meno convenienti; uso del Tableau e delle maglie a finestra; esistenza di generatori reali di tensione; esistenza di 

possibili generatori ideali su percorsi diversi; ecc.) 

Per l’esercitazione sono state distribuite le fotocopie dei testi di diversi esercizi (circuiti per la scrittura delle equazioni; uso 

dei Teoremi di Thevenin e Norton; rifasamento; ecc.) 









- Esercizio 1: scrittura delle equazioni con il metodo delle correnti di maglia in presenza di mutuo accoppiamento e 

generatore pilotato (maglie monocorda con albero generico); commento sulla scelta di un albero che porta a 

equazioni più semplici (induttori mutuamente accoppiati sulle corde); 

- Stesso esercizio risolto con il metodo delle tensioni nodali; trasformazione del mutuo accoppiamento a “Pi-greca”; 

- Calcolo delle potenze erogate dai singoli generatori della rete (metodo delle potenze complesse); commento su 

segno negativo della potenza attiva (possibile se la rete contiene due o più generatori); 

- Verifica del Teorema di Boucherot; 

- Esercizio 2: calcolo dell’andamento temporale della corrente in un ramo della rete, dell’energia elettromagnetica 

media impegnata negli induttori mutuamente accoppiati e della potenza attiva e reattiva erogata dai singoli 

generatori; uso del metodo delle tensioni nodali con sdoppiamento di un generatore di tensione; verifica finale sulla 

potenza tramite Teorema di Boucherot; 

Per l’esercitazione sono state distribuite le fotocopie del testo del primo esercizio con la soluzione numerica delle correnti e 

delle tensioni derivanti dai due sistemi risolutivi. 








- Richiami approfonditi sui sistemi di coordinate ortogonali: coordinate cartesiane; coordinate cilindriche; coordinate 

sferiche; 

- Definizione matematica di campo scalare e campo vettoriale; 

- Operatori vettoriali: gradiente e integrale di linea; 







2 ore 

- NON SVOLTA 







- Esercizio di applicazione del Teorema di Thevenin con generatori pilotati; scrittura delle equazioni con MTN; 

- Continuazione esercizio precedente con calcolo potenza attiva, reattiva ed apparente su un carico collegato ai 

morsetti del circuito equivalente di Thevenin; Passaggio dai dati di targa del carico alla sua impedenza equivalente; 

Calcolo della batteria di condensatori per il rifasamento a cos ϕ = 0.9; verifica riduzione caduta di tensione e 

potenza dissipata sulla linea; 

- Stesso esercizio con applicazione del Teorema di Norton; 

- Esercizio di scrittura delle equazioni con successivo calcolo della potenza attiva e reattiva erogata dal generatore; 

Verifica tramite il Teorema di Boucherot; 






Argomento lezione del 1 ◦ Dicembre 2008 


- Operatori vettoriali: divergenza e rotore; 

- Teorema della Divergenza; Teorema di Stokes; Teorema di Helmholtz; 

- Identità vettoriali importanti: 

1.) ∇ × ∇f = 0 ⇒ se un campo vettoriale è irrotazionale (∇ × F = 0) può essere espresso come gradiente di 

una funzione scalare (F = ∇f ); 

2.) ∇ · (∇ × F) = 0 ⇒ se un campo vettoriale è solenoidale (∇ · G = 0) può essere espresso come rotore di 

una funzione vettoriale (G = ∇ × F); 

- Primo principio di Kirchhoff in forma puntuale dedotto dal principio di conservazione della carica; 

- Forza magnetica tra due conduttori paralleli percorsi da corrente; Permeabilità magnetica del vuoto; 

- Forza magnetica tra due conduttori percorsi da corrente disposti in maniera casuale nello spazio; commento su 

principio di azione e reazione ( ¯F 12 = ¯F 21 ); 






Argomento lezione del 2 Dicembre 2008 


- Definizione del vettore di Induzione Magnetica ¯B; 

- Legge di Biot-Savart (anche in funzione della densità di corrente superficiale e di volume); 

- Esercizio di calcolo del campo ¯B dovuto ad un filo rettilineo indefinito con corrente I; 

- Esercizio di calcolo del campo ¯B sui punti dell’asse di una spira circolare percorsa da corrente I; 

- Legge di Ampére in forma puntuale (∇ × ¯B = µ 0 ¯J); Introduzione del vettore Campo Magnetico ¯H nel vuoto; 

Commento su relazione tra ¯B e ¯H in assenza di materiali magnetici; 

- Legge di Ampére in forma integrale ( ∮ ¯H · d ¯l = I c ); circuitazione del campo ¯H con visualizzazione grafica del 

concetto di corrente concatenata; 







Aula SI3 - 2 ore 

- Esercizio di applicazione della Legge di Ampére: conduttore rettilineo indefinito di sezione S; commento sulle 

simmetrie; 

- Forza di Lorentz; forza specifica (¯f = ¯J × ¯B); forza su una carica elettrica: ¯F = q(Ē + ¯v × ¯B); 

- Il Potenziale Vettore Ā ricavato con operazioni matematiche effettuate sulla formula di Biot-Savart; legame tra ¯B e Ā 

( ¯B = ∇ × Ā); Osservazioni sul Potenziale Vettore: a) Nessun significato fisico ma solo artificio matematico per 

calcolo di ¯B; b) semplificazioni matematiche nell’uso di Ā (stessa direzione della corrente; dipendenza inversa con 

la distanza e non con il suo quadrato); c) Per il Teorema di Helmholtz, necessità di imposizione della divergenza di 

Ā (Gauge di Coulomb: ∇ · Ā = 0); Formule del Potenziale Vettore in funzione della densità di corrente sia 

superficiale, sia di volume; 

- Esercizio di applicazione del Potenziale Vettore ad un conduttore rettilineo filiforme di lunghezza 2L; calcolo di 

¯B = ∇ × Ā; 

- Flusso del vettore ¯B e sua solenoidalità; 

- Introduzione ai materiali magnetici: equivalenza tra modello atomo di Bohr e spira circolare percorsa da corrente; 

espressione del Potenziale Vettore dovuto alla spira nei punti a distanza molto maggiore del raggio della stessa; 

Definizione del Momento di Dipolo Magnetico ¯m; espressione del campo ¯B ricavato da ¯B = ∇ × Ā; 

- Espressione della forza e della coppia agente su una spira percorsa da corrente ed immersa in un campo ¯B: 

¯T = ¯m × ¯B; commento su posizione di equilibrio (vettori ¯m e ¯B paralleli); 

Su richiesta degli studenti, la lezione, inizialmente prevista per il pomeriggio, è stata anticipata al mattino in due ore libere; 







A22 - 1 ora + B22 - 2 ore: tot. 3 ore 

- I materiali magnetici: introduzione; Il vettore magnetizzazione ¯M; Correnti equivalenti di magnetizzazione: di 

volume (¯J vb = ¯∇ × ¯M) e di superficie (¯J sb = ¯M × ā s); Esempio di calcolo del campo ¯B sui punti dell’asse di un 

parallelepipedo di magnetizzazione ¯M nota; 

- Definizione del campo magnetico ¯H nei materiali; Legge di Ampére generalizzata; Suscettività magnetica χ m e 

permeabilità magnetica relativa µ r ; 

- Breve classificazione dei materiali: Diamagnetici; Paramagnetici; Ferromagnetici (con descrizione ciclo di isteresi); 

Ferrimagnetici; 

- Condizioni ai bordi per i vettori ¯B e ¯H; Esercizio di calcolo del rapporto tra angoli di incidenza del campo ¯B tra due 

mezzi con permeabilità relativa µ r1 e µ r2 ; Caso con µ r2 ≫ µ r1 . 

La lezione, inizialmente prevista di 2 ore, è stata portata a 3 per assenza docente dell’ora precedente; 

Inizio Lezione ore 11:45 in aula A22 - Pausa per trasferimento in aula B22 (10 minuti) - Fine Lezione ore 13:20. 






3 ore 

- Lezione NON TENUTA per festività della Madonna Immacolata. 





1 ora 

- Lezione tenuta dal Docente di Automazione per indisponibilità del Docente titolare di Elettrotecnica (l’ora è stata 

restituita la settimana successiva). 






- Definizione di Induttanza e Mutua Induttanza; Formula di Neumann; 

- Potenza dai campi alle correnti e dalle correnti ai campi; Energia Magnetica in termini di ¯B · ¯H ed in termini di Ā · ¯J; 

Determinazione dell’induttanza per circuiti NON filiformi tramite l’energia magnetica; 








- I Circuiti Magnetici; analogia con le reti elettriche; legge di Hopkinson; definizione di forza magneto-motrice e di 

riluttanza magnetica; circuito magnetico equivalente per il calcolo del flusso; circuito elettrico equivalente tramite 

calcolo di L ed M; commento sui segni di M; 

- Esempi di applicazione della teoria; 








- Il Fenomeno dell’Induzione Elettromagnetica; La Legge di Faraday-Neumann-Lenz in forma integrale ed in forma 

puntuale; Caso 1): spira fissa nello spazio e campo ¯B variabile nel tempo; Caso 2): spira mobile o deformabile e 

campo ¯B costante nel tempo; Caso 3): spira mobile o deformabile e campo ¯B variabile nel tempo; Esempi numerici 

per il caso 1) e 2); 

- Analisi qualitativa del fenomeno delle correnti parassite o eddy currents e dell’effetto pelle o skin effect; commenti 

sulle soluzioni tecniche per la riduzione di tali fenomeni nella pratica; 

- Il Trasformatore monofase ideale; Ipotesi di idealità; relazioni tra tensioni e correnti primarie e secondarie; la 

potenza apparente; il circuito elettrico equivalente; calcolo dell’impedenza di carico “vista” dai morsetti del primario 

e del secondario; 

Inizio Lezione ore 15:55 - Pausa: 17:50-17:55 Fine lezione: ore 18:25. 






Aula C44 - 1+1=2 ore 

- Trasformatore reale; circuito elettrico equivalente costruito a partire dal trasformatore ideale considerando non 

valide le ipotesi di idealità; circuiti elettrici equivalenti semplificati; 

- Descrizione delle prove per il calcolo dei parametri del circuito elettrico equivalente: prova a vuoto e prova in 

corto-circuito; Determinazione dell’impedenza di magnetizzazione o a vuoto ( ¯Z 0 ) e dell’impedenza di corto-circuito 

( ¯Z cc ); 

- Dati di targa di un carico monofase: determinazione della potenza attiva, reattiva ed apparente a tensione diversa 

( ) 2 Vx 

da quella nominale (P x = P n · ); Parallelo tra due carichi a tensione nominale diversa: uso di una tensione 

V n 

di riferimento (P rif = P n · 

( Vrif 

V n 

) 2 

); Calcolo del cos ϕ complessivo. 

La prima delle due ore è stata restituita dal Docente di Automazione dei Sistemi Industriali a seguito del prestito effettuato 

la settimana precedente; 









- Esercizio sul massimo trasferimento di potenza: calcolo dell’adattatore (reattanza in serie + trasformatore ideale) 

per ottenere le due condizioni richieste dal teorema (R i = R c e X i = −X c ); 

- Due esercizi sul calcolo della potenza attiva, reattiva ed apparente sia sui generatori sia sulle impedenze; 

- Due esercizi sul calcolo dell’energia elettrica e magnetica immagazzinata negli elementi circuitali (anche in 

risonanza); 









- Esercizio sul trasformatore reale; calcolo dei parametri relativi al circuito elettrico equivalente a partire dalle prove a 

vuoto ed in corto-circuito; calcolo delle perdite nel ferro; 

- Esercizio di scrittura delle equazioni con il MCM; 

- Esercizio di scrittura delle equazioni con il MTN anche in presenza di induttori mutuamente accoppiati; 

- Esercizio di applicazione del Teorema di Thevenin; 

- Esercizio di applicazione del Teorema di Norton; 






Argomento lezione del 28 Ottobre e del 4, 11, 18 e 25 Novembre 2008 

1 ora/giorno 

- Lezioni tenute dal Docente di Automazione per recupero ore delle settimane dal 6 al 12 Ottobre e dal 13 al 19 

Ottobre “prestate” al Docente di Elettrotecnica. 




Argomento lezione del 3 Marzo 2009 

Aula C31 - 2 ore 

- Esercizio sui circuiti magnetici: calcolo B nel traferro; calcolo circuito elettrico equivalente in termini di L 1 , L 2 e M; 

- Commento su curva di magnetizzazione B-H; definizioni di permeabilità magnetica (assoluta, relativa, differenziale, 

differenziale iniziale); Circuiti magnetici in presenza di non-linearità: problema inverso e problema diretto (metodo 

delle approssimazioni successive); 

- Forze magnetiche: dimostrazione del calcolo della forza come gradiente dell’energia magnetica ( ¯F = ¯∇W m); 









- Esercizio sul calcolo della forza magnetica di un nucleo su un’ancora magnetica; 

- Esercizio sul calcolo della forza magnetica di un solenoide lungo su un cilindro magnetico mobile; 

- Esercizio sul calcolo della forza magnetica in un sistema magnetico a relè; 

- Esercizio sul calcolo della coppia magnetica di un nucleo su un’ancora magnetica libera di ruotare (C = ∂Wm 

∂θ ); 

- Forze magnetiche su conduttori immersi in un campo magnetico B: d ¯F = d ¯l × ¯BI; 

- Esercizio sul calcolo della coppia magnetica su una spira immersa in un campo magnetico B; 








- ELETTROSTATICA: carica elettrica; distribuzione puntiforme di carica; distribuzione di linea, di superficie e di 

volume; 

- Legge sperimentale di Coulomb: F = k qQ 

R 2 ; costante k = 1 

4πε 0 

nel sistema SI; permettività elettrica del vuoto 

ε 0 = 8.854 × 10 −12 F m ; 

- Direzione e verso della forza; formula vettoriale della forza ¯F ; applicazione nel sistema di coordinate cartesiane; 

- Esempio numerico di calcolo della forza tra due cariche elettriche; 

- Sovrapposizione degli effetti in sistemi di distribuzione puntuale di cariche; forza esercitata da una distribuzione di 

volume di carica su una carica q a distanza R (integrale di volume); 

- Esempio numerico di calcolo della forza esercitata su una carica q da una distribuzione superficiale di carica posta 

su un disco; 








- Definizione del vettore Campo Elettrico: Ē = ¯F 

q ; 

- Esempi di calcolo del campo elettrico dovuto ad una distribuzione superficiale di carica: su disco e sulla superficie 

laterale di un cilindro indefinito; 

- Definizione del vettore Densità di Flusso Elettrico nel vuoto: ¯D = ε 0 Ē; 

- Teorema di Gauss in forma integrale; 

- 2 esempi di applicazione del teorema di Gauss per il calcolo del campo elettrico dovuto a distribuzioni superficiali di 

carica (cilindro e sfere concentriche); 

- Teorema di Gauss in forma puntuale; 








- Proprietà del campo elettrostatico: conservatività e irrotazionalità; 

- Il campo elettrostatico come gradiente di una funzione potenziale scalare; 

- Definizione di funzione potenziale elettrico scalare; Differenza di potenziale tra due punti e potenziale assoluto; 

- Esempi di calcolo del potenziale a partire dal campo elettrico dovuto ad una carica puntiforme ed ad una 

distribuzione superficiale di carica; 

- Definizione di superfici equipotenziali; proprietà di ortogonalità del campo elettrostatico rispetto alle superfici 

equipotenziali; 

- Uso del potenziale elettrico per il calcolo del campo elettrostatico; 

- Esempio di applicazione ad un disco con densità superficiale di carica; 

- Introduzione al campo elettrico nella materia: distinzione tra materiali conduttori e materiali dielettrici; 

- Distribuzione della carica all’interno dei materiali conduttori. Equazione di distribuzione della carica; tempo di 

rilassamento; 

- Il campo elettrostatico all’interno dei conduttori (Ē = 0) e proprietà di equipotenzialità dei corpi conduttori; 

- Breve classificazione dei materiali al variare della conducibilità elettrica (Conduttori → Dielettrici: Argento → Rame 

→ Alluminio → · · · → Ferro → · · · → Acqua salata → · · · → Ferrite → · · · → Acqua distillata → · · · → Vetro → 

Quarzo fuso). 








- Il dipolo elettrico: definizione e calcolo del potenziale assoluto in un punto P e del relativo campo elettrico; 

Definizione di momento di dipolo elettrico ¯p; 

- La polarizzazione dei dielettrici: descrizione qualitativa del fenomeno; 

- Definizione del vettore di polarizzazione ¯P; Distribuzione equivalente di cariche vincolate di superficie e di volume; 

- Definizione del vettore Densità di Flusso Elettrico in presenza di mezzi polarizzabili: ¯D = (ε 0 Ē + ¯P); 

- Suscettività elettrica e costante dielettrica relativa dei materiali: passaggio da ¯D = (ε 0 Ē + ¯P) a ¯D = ε 0 ε r Ē = εĒ; 

- Esempio descrittivo del fenomeno della polarizzazione: piastra dielettrica inserita tra due armature metalliche; 








- Esercizio di applicazione della teoria della polarizzazione: sistema di sfere concentriche di materiale dielettrico e 

conduttore con carica puntuale posta nel centro (calcolo di ¯D, Ē, ¯P, ρ s, ρ sb e ρ vb e rappresentazione grafica dei 

vettori calcolati). 

- Condizioni sull’interfaccia di due materiali a permettività elettrica diversa: caso generale; caso particolare con un 

mezzo conduttore ed un mezzo dielettrico; caso particolare di due mezzi dielettrici in assenza di cariche esterne; 

- Determinazione del rapporto tra angoli di incidenza del campo elettrico sull’interfaccia tra due mezzi ( tan θ 1 

tan θ 2 

= ε 2 

ε 1 

); 

- Energia nel campo elettrostatico; 

- Definizione di capacità: caso di due piastre parallele. 








- Definizione di capacità per due conduttori di forma qualsiasi; circuito elettrico equivalente; calcolo di C tramite 

l’energia immagazzinata nel sistema; 

- Definizione di capacità per tre o più conduttori di forma qualsiasi; coefficienti di auto e mutua capacità; circuito 

elettrico equivalente; matrice dei parametri e loro calcolo tramite prove; 

- Esempio di calcolo della capacità per un sistema di due conduttori cilindrici paralleli (linea bifilare con d ≫ r); 

- Forza elettrostatica: caso con Q = costante e caso con V = costante; esempio su condensatore a piastre piane 

indefinite; 

- Equazione di Poisson e Laplace; dimostrazione del teorema di unicità; formulazione di Dirichlet, di Neumann e 

mista; 








- Esempio di soluzione dell’Equazione di Laplace per un cavo coassiale di lunghezza indefinita con d.d.p. V 0 ; calcolo 

della capacità per unità di lunghezza; 

- Metodo delle Immagini: introduzione al metodo tramite analisi di un conduttore cilindrico posto al di sopra di un 

piano metallico collegato a terra; esempio di calcolo della capacità per unità di lunghezza quando il raggio a a è 

molto maggiore dell’altezza h del conduttore rispetto al piano; 

- Commento a casi più complessi (caso 1 - a ≃ h: problema della NON uniforme distribuzione della carica; caso 2 - 

presenza di più piani di interfaccia: piano ad L con necessità di distribuzioni multiple di cariche); 








- Sintesi equazioni dell’Elettrostatica e Magnetostatica; 

- Richiamo della Legge di Faraday - Neumann -Lenz e della legge di conservazione della carica; 

- La corrente di spostamento; esempio condensatore piano; condizioni di trascurabilità della corrente di spostamento 

o della corrente di conduzione nei materiali (caso del rame e del teflon a frequenza di 1 MHz); 

- Sintesi Equazioni di Maxwell; 

- Modello elettromagnetico completo: Equazioni di Maxwell + Forza di Lorentz + Relazioni Costitutive dei mezzi + 

equazione di continuità della carica; 

- Teorema di Poynting: definizione ed esempio di applicazione ad un tratto di conduttore percorso da corrente 

continua; 








- Sistemi trifase: introduzione e vantaggi; 

- Definizione di sistema trifase di tensioni; sequenza diretta ed inversa; andamento temporale delle tensioni di fase e 

dei relativi fasori rappresentativi; 

- Definizione di sistema simmetrico di tensioni trifase; fattore di rotazione α per la rappresentazione fasoriale; 

definizione di terna pura e spuria; definizione di terna dissimmetrica; 

- Definizione di carico trifase; carico equilibrato e squilibrato; definizione di terna di correnti equilibrata e squilibrata; 

terna di correnti pura e spuria; 

- Collegamenti tra i terminali delle fasi del generatore e del carico: collegamento a stella (⋋) ed a triangolo (∆); 

definizione di punto neutro e centro stella; connessioni tipiche tra generatore e carico: ⋋ → ⋋, ⋋ → ∆, ∆ → ⋋ e 

∆ → ∆; 

- Definizione di fase e di linea; definizioni di tensione e corrente di fase (o stellata) e di linea (o concatenata); 

direzioni convenzionali delle correnti; 

- Rapporto tra grandezze di fase e di linea nel collegamento a stella e a triangolo; 

- Sintesi delle definizioni relative alle tensioni, alle correnti ed ai carichi; 








- Tipologia di Sistemi trifase: - Simmetrici ed Equilibrati; - Simmetrici e Squilibrati; - Dissimmetrici ed Equilibrati; - 

Dissimmetrici e Squilibrati; 

- Studio dei Sistemi Trifase Simmetrici ed Equilibrati; trasformazione stella/triangolo dei carichi; generatori equivalenti 

a stella; circuito monofase equivalente: dimostrazione equipotenzialità dei centri stella; analisi del circuito monofase 

equivalente e calcolo delle correnti sul circuito originale; 

- Determinazione della potenza istantanea in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato; potenza con grandezze di 

fase e di linea; invarianza della potenza calcolata con le grandezze di linea rispetto al tipo di collegamento; 








- Definizione dei parametri di potenza nei sistemi trifase: Potenza attiva, Potenza reattiva, Potenza apparente e 

fattore di potenza; Potenza apparente complessa; 

- Numero di strumenti necessari per la misura della potenza nei sistemi trifase a 3 e 4 fili; Metodo Aron per la misura 

della potenza attiva nei sistemi trifase a 3 fili generali; dimostrazione del metodo Aron per la misura della potenza 

reattiva nei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati; 

- Dimostrazione della possibilità di risparmio di 1/4 di volume di rame nell’uso di una linea trifase al posto di una 

monofase a parità di Potenza attiva, distanza di trasmissione, tensione di esercizio e perdite per effetto Joule sulla 

linea; 

- Caratterizzazione dei carichi trifase: dai dati di targa alle impedenze equivalenti; esempio numerico con due carichi 

trifase in parallelo: calcolo dei parametri di potenza ad una tensione diversa da quella nominale e determinazione 

dell’impedenza complessiva del carico; 

- Teorema di reciprocità per le reti elettriche: enunciato e relazioni di reciprocità (Ȳ hk = İh = İk = Ȳ kh e 

˙V k ˙V h 

¯Z hk = ˙V h 

İk 

= ˙V k 

İh 

= ¯Z kh ); 






Argomento lezione del 1 Aprile 2009 


- Esempio di applicazione del teorema di reciprocità per la determinazione del circuito equivalente di una rete a due 

porte; equivalenza in termini di equazioni risolutive; 

- Estensione a caso di circuito ad n-porte; determinazione del numero minimo di parametri circuitali per la 

costruzione del circuito equivalente e di coefficienti della matrice risolvente in base al numero di porte ed al tipo di 

rete (n 2 n · (n + 1) 

se rete generica; se rete reciproca); 

2 

- Applicazione ad una rete trifase generica a 4 fili; determinazione del circuito equivalente ridotto con 6 elementi 

circuitali; circuito senza accoppiamenti mutui; caso con accoppiamenti mutui; commento su processo inverso: dato 

un sistema a 4 fili con accoppiamenti mutui, ricavare un circuito equivalente senza accoppiamenti; 

- Sistema trifase a 3 fili: metodi di riduzione ad un carico equivalente; descrizione di vari casi con passaggi 

stella/triangolo e viceversa per effettuare il parallelo tra carichi; esempio di riduzione di un carico trifase a 3 fili con 

accoppiamenti mutui, ad un carico trifase a stella senza accoppiamenti mutui; commento dualità per carico con 

collegamenti a triangolo; 

- Definizione di alcune proprietà dei sistemi trifase Dissimmetrici e Squilibrati; 








- Definizione di baricentro elettrico; relazioni tra tensioni stellate baricentriche e tensioni stellate generiche; relazioni 

tra tensioni baricentriche e tensioni concatenate relative; rappresentazione tramite generatori equivalenti delle 

tensioni di linea (soluzione con 3 generatori equivalenti a stella pari alle tensioni stellate baricentriche; soluzione 

con due generatori equivalenti pari a due delle tre tensioni concatenate); 

- Descrizione del problema generale dei sistemi trifase: note le tensioni dei generatori, le impedenze dei singoli 

carichi e le caratteristiche delle linee elettriche, determinare tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) sulle 

linee e sui carichi; 

- Descrizione del procedimento generale di soluzione: 1) riduzione del complesso dei carichi ad un circuito 

equivalente unico; 2) determinazione dei parametri circuitali equivalenti della linea trifase; 3) calcolo delle 

grandezze sul circuito equivalente; 4) determinazione delle grandezze elettriche sul circuito originale; 

- Esempio di analisi di un sistema trifase dissimmetrico ed squilibrato a 3 fili (con impedenze di linea note); riduzione 

ad un carico unico complessivo tramite passaggi stella/triangolo e viceversa e serie/parallelo; soluzione del circuito 

equivalente e calcolo delle grandezze elettriche nel circuito reale; 

- Commento su necessità di riduzione di eventuali carichi mutuamente accoppiati; 








- Analisi dei Sistemi trifase Dissimmetrici e Squilibrati a 3 fili tramite matrici dei coefficienti; esempio di 

determinazione della matrice dei coefficienti per carichi a triangolo (metodo delle tensioni nodali) e per carichi a 

stella (metodo delle correnti di maglia); 

- Estensione del metodo ai sistemi a 4 fili; 

- Introduzione ai modelli circuitali descrittivi delle linee elettriche; 2 ◦ PdK in forma generale: e(t) = R · i(t) + dφ 

dt ; 








- Determinazione dell’induttanza di una linea bifilare; caso con conduttori di raggio uguale e di raggio diverso; 

- Linea trifase a 3 fili con conduttori posizionati in maniera arbitraria nello spazio e chiusa in cto-cto; determinazione 

dei flussi concatenati dovuti alle varie correnti nei conduttori; scrittura delle equazioni; determinazione del circuito 

elettrico equivalente tramite 3 impedenze a stella; caso particolare di linea con conduttori posti ai vertici di un 

triangolo equilatero; 

- Linea trifase a 4 fili con conduttori posizionati in maniera arbitraria nello spazio e chiusa in cto-cto; determinazione 

dei flussi concatenati dovuti alle varie correnti nei conduttori; scrittura delle equazioni; determinazione del circuito 

elettrico equivalente tramite 3 impedenze a stella con accoppiamenti mutui; caso particolare di linea con conduttori 

posti ai vertici di un triangolo equilatero e con il neutro nel baricentro del triangolo; Commento sulla trasposizione 

delle linee. 








- Potenza nei sistemi trifase dissimmetrici e squilibrati; potenza instantanea come somma di un termine costante + 

un termine di potenza fluttuante; caratterizzazione dei sistemi dissimmetrici e squilibrati in funzione della potenza 

fluttuante; 

- Parametri di potenza: Potenza attiva, reattiva, apparente e fattore di potenza; 

- Potenza apparente complessa; potenza fluttuante complessa; 

- Commento su validità del Teorema di Aron per il calcolo della sola potenza attiva; 

- Esempio di calcolo della potenza in un sistema trifase squilibrato tramite la potenza complessa; 

- Rifasamento di un sistema trifase; Formula in termini di potenza reattiva; calcolo della capacità di rifasamento con 

collegamento a stella ed a triangolo; commento sull’utilità dei vari collegamenti a secondo del livello della tensione 

del sistema (BT→ ∆; AT→ ⋋); 

- Rifasamento nel caso di sistema simmetrico ed equilibrato (indipendenza della capacità di rifasamento dal valore 

della tensione); caso di sistema dissimmetrico e squilibrato (dipendenza della capacità di rifasamento dal valore 

della tensione: metodo delle approssimazioni successive); 








- Premessa sui tipi di carichi trifase; autoimpedenze; mutue impedenze ascendenti; mutue impedenze discendenti; 

particolarità dei sistemi fisicamente simmetrici o resi tali ( ¯Z 11 = ¯Z 22 = ¯Z 33 = ¯Z a; ¯Z 12 = ¯Z 23 = ¯Z 31 = ¯Z ma; 

¯Z 21 = ¯Z 32 = ¯Z 13 = ¯Z md ) e dei sistemi fisicamente simmetrici e reciproci ( ¯Z ma = ¯Z md ); 

- Premessa generale sull’uso delle trasformate nella soluzione dei problemi ingegneristici; introduzione alla 

2π 

trasformata di Fortescue o delle Sequenze; operatore α = e j 3 e sue potenze: 

α 0 = 1; α = − 1 √ 

3 

2 + j 2 ; α2 = − 1 √ 

3 

2 − j 2 ;; costruzione dei vettori di sequenza diretta (1, α2 , α), di sequenza 

inversa (1, α, α 2 ) e di sequenza omopolare (1, 1, 1); 

- Teorema di Fortescue; Matrice delle sequenze; Matrice inversa delle sequenze; operazione di trasformazione e di 

antitrasformazione; caratteristiche delle terne di sequenza a partire dalle terne originali (terna pura ⇒ sequenza 

omopolare nulla; terna spuria ⇒ sequenza omopolare diversa da zero); relazioni tra vettori concatenati e vettori 

stellati nel dominio delle sequenze; 

- Applicazione ai sistemi trifase a 4 fili; forma delle equazioni nel dominio delle sequenze; matrice delle impedenze di 

sequenza; caratterizzazione della matrice nel caso di sistemi fisicamente simmetrici o resi tali e nel caso di sistemi 

fisicamente simmetrici e reciproci; circuiti monofase di sequenza; 

- La potenza complessa nel dominio delle sequenze; 

- Applicazione ai sistemi trifase a 3 fili: caso particolare di quelli a 4 fili; forma delle equazioni nel dominio delle 

sequenze in funzione delle tensioni concatenate di sequenza; matrice delle impedenze di sequenza; 

caratterizzazione della matrice nel caso di sistemi fisicamente simmetrici o resi tali e nel caso di sistemi fisicamente 

simmetrici e reciproci; circuiti monofase di sequenza; 









- Premessa sulla determinazione diretta delle impedenze di sequenza omopolare, diretta ed inversa per i diversi tipi 

di carichi (con o senza mutui accoppiamenti; con o senza filo neutro; con o senza impedenza del filo neutro); 

- Esercizio numerico di un sistema trifase a 4 fili dissimmetrico e con impedenze di linea mutuamente accoppiate: 

svolgimento con il metodo matriciale classico e con il metodo delle componenti di sequenza; 

- Esercizio numerico di sistema trifase complesso con carichi vari (a stella e a triangolo) e con due linee fisicamente 

simmetriche a 3 e a 4 fili: svolgimento con il metodo delle componenti di sequenza; 

- Introduzione al calcolo delle correnti di guasto in un circuito analizzato con il metodo delle componenti di sequenza; 









- Tipologie di guasto frequenti nei sistemi trifase; collegamenti tra i circuiti monofase di sequenza per la simulazione 

dei guasti; 

- Esempio numerico di calcolo di un guasto monofase a terra (applicazione su esercizio della lezione precedente); 








- Introduzione ai circuiti alimentati da tensioni periodiche NON sinusoidali; 

- Trasformata serie di Fourier; condizioni di Dirichlet; calcolo dei coefficienti delle armoniche; semplificazioni dovute 

alle simmetrie delle forme d’onda; forma trigonometrica compatta della trasformata; forma esponenziale della 

trasformata; 

- Uso del principio di sovrapposizione degli effetti per il calcolo del contributo delle singole armoniche; 

rappresentazione dei generatori di tensione in serie e dei generatori di corrente in parallelo; antitrasformazione dal 

dominio di Fourier al dominio del tempo; 

- Parametri caratteristici: Valore efficace; fattore di forma; fattore di picco; fattore di deformazione; fattore di 

distorsione armonica totale (THD); fattore di distorsione della n-esima armonica (D n); 








- Lezione NON tenuta per sospensione ufficiale della didattica da parte della Facoltà; 







LEZIONE: 

- Potenza nei circuiti a regime periodico NON sinusoidale; 


- Esercizio numerico per il calcolo della corrente, della potenza, del THD e del D n in un circuito R-L-C alimentato con 

un generatore di tensione di forma d’onda rettangolare alternativa; 

- Esercizio numerico per la soluzione di un circuito in presenza di generatori a frequenza diversa; 

Su richiesta degli studenti, la lezione, inizialmente prevista per le 12:30, è stata anticipata alle 9:30 e prolungata per 

recuperare le due ore non svolte il giorno precedente; 






Argomento lezione del 5 Maggio 2009 


- Introduzione all’analisi dei circuiti in condizioni dinamiche; commento sulle difficoltà di analisi nel dominio del tempo; 

- Trasformata di Laplace; condizioni di Dirichlet; operazione di trasformatazione e di antitrasformazione; 

- Proprietà di linearità della trasformata di Laplace; determinazione della trasformata di Laplace di alcune funzioni 

caratteristiche: funzione a gradino u(t) (commento sull’utilità di tale funzione: uso nell’approssimazione di funzioni 

generiche; azzeramento di funzioni periodiche per t < 0); funzione di Dirac δ(t); derivata prima di una funzione; 

derivata n-esima di una funzione; integrale di una funzione; 

La lezione è durata solo 1 ora per sospensione della didattica nella seconda ora dovuta alla elezioni studentesche; 








- Proprietà di traslazione temporale per la trasformata di Laplace; 

- Dal dominio di Laplace al dominio del tempo: integrale di antitrasformazione; uso delle tabelle; 

- Funzioni di Laplace nella forma R(s) = N(s) ; metodo di scomposizione in “fratti semplici”; formule per la 

D(s) 

determinazione delle costanti nel caso di molteplicità unitaria delle radici e nel caso di molteplicità diversa da 1; 

commento su grado numeratore e denominatore; 

- Esercizi numerici di calcolo delle antitrasformate di funzioni nel dominio di Laplace: esempio con radici reali; 

esempio con grado numeratore=grado denominatore e molteplicità doppia delle radici; esempio con relativa 

generalizzazione di radici complesse coniugate; commento nel caso di radici immaginarie pure; 

- Metodo alternativo per il calcolo dei coefficienti tramite confronto dei numeratori; esercizio numerico; 

- Commento sulle 3 tipologie di risposta nel dominio del tempo a partire dalle radici del denominatore: risposta di 

forma esponenziale semplice nel caso di radici reali; risposta di forma oscillante smorzata esponenzialmente nel 

caso di radici complesse coniugate; risposta oscillante pura nel caso di radici immaginarie pure; 

- Uso della trasformata di Laplace per la soluzione di equazioni differenziali lineari: esempio numerico e commento 

sul soddisfacimento automatico delle condizioni iniziali; 

- Applicazione ai circuiti elettrici; passaggio dalle relazioni costitutive nel dominio del tempo a quelle nel dominio di 

Laplace per i diversi elementi circuitali: resistore, induttore, condensatore, induttori mutuamente accoppiati; 

rappresentazione circuitale degli elementi con generatori di condizioni iniziali; commento sulla trasformazione dei 

generatori indipendenti e controllati; definizione di impedenza generalizzata; commento sulla validità nel dominio di 

Laplace di tutti i teoremi ed i principi sulle reti studiati in precedenza; 








- Esempio numerico di applicazione della trasformata di Laplace per il calcolo della corrente in un circuito R-L 

alimentato da un generatore di tensione costante inserito tramite chiusura di un interruttore; 

- Il problema delle condizioni iniziali; stato energetico di una rete e variabili di stato su induttori e condensatori; 

continuità delle variabili di stato in presenza di discontinuità in circuiti privi di maglie o nodi impropri; 

- Esempio numerico di applicazione della trasformata di Laplace ad un circuito R-C, con il calcolo preventivo delle 

condizioni iniziali v c (0 − ) ai capi del condensatore; 








- Esercizio numerico di applicazione della trasformata di Laplace completa; 

- Scomposizione della soluzione in componente a regime stazionario o componente permanente ed in componente 

transitoria; commento sull’individuazione delle due componenti a partire dall’analisi dei denominatori delle frazioni 

semplici della funzione di Laplace; 

- Metodo generale per il calcolo delle due componenti (permanente e transitoria) tramite sovrapposizione degli effetti 

con due circuiti equivalenti: circuito equivalente a regime permanente e circuito L-trasformato equivalente del 

transitorio; commento sugli effettivi vantaggi di questo metodo rispetto a quello generale nel caso di sollecitazioni a 

regime stazionario continuo, sinusoidale o periodico NON sinusoidale; 

- Sintesi del metodo e riassunto dei passi necessari per la sua applicazione (1) calcolo c.i. (condizioni iniziali) allo 0 − 

sul circuito prima della perturbazione; 2) calcolo della risposta permanente e delle c.i. permanenti sul circuito a 

regime dopo la perturbazione; 3) determinazione delle c.i. transitorie come differenza delle precedenti; 4) studio del 

circuito L-trasformato equivalente a perturbazione avvenuta e con solo generatori di c.i. transitorie; 5) 

composizione della soluzione completa come somma della soluzione permanente e della soluzione transitoria); 

- Applicazione del nuovo metodo all’esercizio già risolto con il metodo della trasformata di Laplace completa; 

- Soluzione parziale di due esercizi numerici con perturbazioni dovute a chiusure ed aperture di interruttori; 

commenti finali sui metodi da adottare; 








- Teorema di compensazione per l’analisi dell’effetto della variazione di elementi circuitali sulle grandezze di una rete; 

- Esercizio per la valutazione della variazione della corrente in un ramo a seguito della variazione della resistenza: 

uso del metodo classico con la trasformata di Laplace completa e uso del teorema di compensazione; commento 

sui vantaggi del teorema; 

- Corollari del teorema di compensazione per la trattazione dell’apertura e della chiusura di interruttori; 

- Esempio numerico di analisi di un transitorio a seguito della chiusura di un interruttore tramite il teorema di 

compensazione; 

- Sintesi finale sulla Trasformata di Laplace e dei 3 metodi di analisi del transitorio nei circuiti elettrici: 1 ◦ metodo: 

Laplace completo; 2 ◦ metodo: scomposizione in risposta permanente (su circuito a regime) e risposta transitoria 

(su circuito transitorio); 3 ◦ metodo: teorema di compensazione; 








- Problema delle condizioni iniziali in circuiti dinamici con nodi impropri e maglie improprie trattati nel dominio del 

tempo; esempio di calcolo delle c.i. allo 0 + su un insieme di induttori che formano un nodo improprio a seguito 

dell’apertura di un interruttore; calcolo delle c.i. 0 + su un insieme di condensatori che formano una maglia 

impropria a seguito della chiusura di un interruttore; 

- Semplificazione della problematica descritta, tramite l’uso della trasformata di Laplace; svolgimento di un esercizio 

numerico; 









- Esercizio numerico di calcolo di un transitorio dovuto all’inserzione di un generatore di forma d’onda a-periodica 

(impulso rettangolare di ampiezza E 0 e durata T ) in un circuito con generatori controllati; 

- Esercizio numerico di calcolo di un transitorio dovuto all’inserzione di un generatore di forma d’onda a-periodica 

(rampa crescente da 0 a T e poi valore costante E 0 per t > T ); 

- Esercizio numerico di calcolo di un transitorio dovuto alla chiusura di un interruttore in un circuito con induttori 

mutuamente accoppiati e generatori controllati (metodo di Laplace completo); 


mutuamente accoppiati e generatori a frequenza diversa (metodo di Laplace con separazione della risposta 

permanente e transitoria); 








- Lezione NON tenuta per sospensione ufficiale della didattica da parte della Facoltà; 










mutuamente accoppiati, generatori a frequenza diversa e maglia impropria (uso del teorema di compensazione); 









- Esercizio numerico di calcolo di un circuito magnetico alimentato con sistema di generatori periodico non 

sinusoidale: calcolo del circuito elettrico equivalente, dell’energia magnetica media e della forza magnetica; 

- Esercizio numerico di calcolo di un circuito con condensatore a piastra circolare alimentato con sistema di 

generatori periodico non sinusoidale: calcolo del valore del condensatore, dell’energia elettrica media, della forza 

elettrica tra le piastre e dell’energia dissipata sulle resistenze a seguito della disinserzione dei generatori; 

- Esercizio numerico per la soluzione di un sistema trifase a 3 fili simmetrico e squilibrato con calcolo della batteria di 

condensatori sottoposta ad un sistema dissimmetrico di tensioni (processo iterativo e relativi commenti); 

- Esercizio numerico per la soluzione di un sistema trifase a 3 fili dissimmetrico e squilibrato con calcolo dei 

parametri di una linea con conduttori complanari; 









- Esercizio numerico per la soluzione tramite il sistema delle matrici di un sistema trifase complesso (sezione a 4 fili 

+ sezione 3 fili) simmetrico e squilibrato con calcolo dei parametri delle due linee (a 3 e a 4 fili) con conduttori 

complanari; 








- Lezione conclusiva con breve panoramica sui principali errori commessi dagli studenti nel 1 o compitino e breve 

sintesi delle procedure per sostenere gli esami scritti ed orali.

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