Autovalori ed autovettori - Danielegasparri.com

Cosa sono gli autovalori e gli autovettori
di Daniele Gasparri
Geometricamente ed intuitivamente possiamo pensare ad autovalori ed autovettori nel seguente
modo.
Consideriamo una trasformazione lineare geometrica su uno spazio vettoriale V qualsiasi e andiamo
ad analizzare come vengono trasformati i vettori appartenenti a tale spazio; in generale, direzione,
verso e modulo cambieranno; tuttavia, per certe trasformazioni, può succedere che ci siano vettori la
cui direzione non cambia: tali vettori sono chiamati auto vettori.
Sono autovettori tutti i vettori che ad esempio vengono moltiplicati per un coefficiente scalare; tale
coefficiente scalare viene detto autovalore ( λ ); ad un autovalore λ possono restare associati
diversi autovettori, che possono costituire uno spazio di autovettori con relativa base.
Un tipico esempio è considerare lo spazio tridimensionale ν 0
, scegliere una base ortonormale
(versori i, j, k ), considerare una certa trasformazione lineare e andare ad analizzare l’eventuale
presenza di autovettori: Consideriamo la trasformazione lineare che ruota ogni vettore dello spazio
attorno all’asse z (cioè all’asse generato dal versore k ) di un angolo di 180° (π ). Non è difficile
⎧T
( i)
= −i
⎪
immaginare che la direzione dei vettori della base ortonormale non cambi: ⎨T
( j)
= −j
. Inoltre
⎪
⎩T
( k)
= k
possiamo scrivere facilmente la matrice che rappresenta tale endomorfismo nella base assegnata:
−1
0 0
Λ = 0 −1
0 cioè una matrice diagonale.
0
0
1
In termini più rigorosi, possiamo dare la seguente definizione, estendendola ad ogni spazio
vettoriale V:
Considero T: V → V un endomorfismo, con V = spazio di dimensione finita sul campo generico K.
Il vettore generico v ∈V
è un autovetture per T, corrispondente all’autovalore λ se e solo se:
T ( v)
= λv , cioè se il trasformato del vettore v è lo stesso vettore v a meno di un coefficiente
scalare λ che prende il nome di autovalore. In generale non ci sono limiti al numero di autovettori
per un certo autovalore λ e quindi possiamo definire:
Autospazio V
λ
di peso λ il sottospazio: V
λ
= { v ∈V
|T ( v)
= λv
}
La prima applicazione di autovalori ed autovettori l’abbiamo già vista: se siamo in grado di trovare
gli autovettori di un certo endomorfismo la matrice di trasformazione ad esso associata è in forma
diagonale; possiamo quindi porci il problema più generale: Dato un endomorfismo T, esiste una
base rispetto alla quale la matrice associata si scriva in forma diagonale?
Consideriamo T: V → V ; se V ammette una base di autovettori v1 , v
2
,..., v
n
di autovalori
λ
1
, λ2
,..., λ n
; allora la matrice di T in questa base è la matrice diagonale Λ i cui elementi sono gli
autovalori e viceversa.
La dimostrazione è abbastanza semplice (e per questo te la faccio!!):
E’ chiaro che se si ha una base di autovettori di T, allora, per definizione si ha:
T ( v1 ) λ
1
v1,
T ( v
2
) = λ2v
2,....,
T ( v
n
) = λnv
n
e quindi la matrice è diagonale. Viceversa, se nella base
λ 0 0
v la matrice è nella forma diagonale:
1
, v
2
,..., v
n
1
Λ = 0 λ2
0 allora ogni vettore v i
è un
0 0
λ n

autovetture corrispondente all’autovalore λ i
: basta calcolare i trasformati, secondo T, dei vettori
v
1
, v
2
,..., v
n
; poiché il vettore v
i
ha tutte le coordinate nulle tranne la i-esima che vale 1, se ne
deduce che esso viene trasformato in λ
i
v
i
.
Come si determinano analiticamente autovalori ed autovettori?
Considero un endomorfismo T sul campo K e seleziono una base qualunque dello spazio V, tale che
la trasformazione si scrive: y = Ax
dove (SPECIFICARE Y E X) In questo caso, utilizzando le
coordinate del generico vettore v , la condizione affinché esista un autovetture è:
Ax = λx Ax
= λIx
( A − λ I)x = 0 . Affinché esista un tale vettore non nullo, occorre che la
matrice A − λI
sia singolare, cioè det( A − λ I)
= 0 Questa è la condizione che ci porta alla
definizione di polinomio caratteristico, le cui radici (ne esiste almeno una nel campo dei complessi)
ci danno gli autovaloti per l’endomorfismo T al quale è associata la matrice di trasformazione A.
Una volta trovati gli autovalori, che sono propri di un certo endomorfismo, possiamo risalire ai
relativi autospazi e quindi agli autovettori (per ogni autovalore) e ad eventuali basi.
Esempio geometrico:
Nello spazio ν 0
si consideri la trasformazione (lineare) che ruota tutti i vettori dello spazio di un
angolo pari a 90° attorno all’asse Z generato dal versore k ; in questo caso k resta invariato, poiché
T ( k ) = k , così come ogni altro vettore della retta da esso generata. Per gli altri vettori della base
T ( i)
= j
ortonormale si ha: e quindi la matrice di trasformazione rispetto a questa base si scrive:
T ( j)
= −i
A =
0 −1
1
0
0
0
0
0 . Troviamo ora il polinomio caratteristico di questa matrice; utilizzando la
1
definizione, si ha: ( λ ) = det( A − λI)
= 0 e quindi:
p
A
− λ
−1
0
p A
( λ)
= det 1 − λ 0
2
= (1 − λ)(
λ + 1) = 0 . Essendo di terzo grado esso ammette 3 radici, di
0 0 1−
λ
cui una reale e due complesse. Occorre ora capire e definire meglio il campo sul quale si lavora; se
è quello dei numeri reali, allora dobbiamo considerare la sola radice reale, altrimenti, se parliamo
del campo dei complessi occorre considerarle tutte e tre. Nel nostro caso geometrico il campo dei
complessi non ha chiaramente senso e dobbiamo limitarci a quello reale. In questo caso l’unica
radice reale è λ = 1
1: questo è l’unico autovalore che genera la rotazione di 90°. Per trovare
l’autospazio generato da tale autovalore occorre risolvere il sistema: ( A − λ I)x = 0 e quindi:
−1
1
0
−1
−1
0
0
0
0
x 0
y = 0
z
0
⎧x
+ y = 0
⎨
⎩x
− y = 0
. Le soluzioni sono terne: ( 0,0, z ) ; questo è il risultato trovato
qualitativamente in precedenza: all’autovalore λ = 1
1corrisponde l’auovettore k (e tutti i suoi
multipli)