Analisi cluster gerarchica delle imprese metalmecc... - ResearchGate
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È noto come la distanza euclidea possa essere influenzata in modo negativo dalla possibile differente scala delle k misurazioni. Una possibile soluzione a tale problema potrebbe allora essere l’utilizzo di una procedura di normalizzazione dei dati. Una metrica di largo utilizzo è inoltre la metrica City-block, che risente in misura inferiore rispetto alla distanza euclidea degli scostamenti fra i caratteri associati alla differenti osservazioni. La distanza Euclidea e la distanza City-block costituiscono un caso speciale della metrica di Minkowski. Tale metrica funziona bene nel caso in cui il dataset presenti cluster compatti o isolati, ma non dovrebbe essere utilizzata nel caso in cui le k misurazioni contenute nella matrice dei dati abbiano valori medi e deviazioni standard largamente differenti. In tal caso è consigliato normalizzare i dati in modo opportuno o utilizzare altre metriche ad hoc. Una possibile fonte di distorsione nelle misure di distanza è data dalla possibile presenza di correlazione lineare fra i k caratteri. Tale distorsione è di norma evitata attraverso un processo di withening dei dati o utilizzando la metrica di Mahalanobis. La distanza di Mahalanobis associa pesi differenti alle differenti misurazioni sulla base delle varianze e delle correlazioni lineari a coppie. Variabili Qualitative Nel caso in cui le misurazioni corrispondano a variabili qualitative una misura comunemente utilizzata è la distanza di Hamming, che corrisponde alla proporzione delle variabili che risultano discordanti. ⎛ #( xih ≠ x jk ) ⎞ d = ⎜ ⎟ ij ⎝ n ⎠ #(.) indica il numero di misurazioni discordanti Variabili Miste Nel caso in cui le misurazioni siano di natura differente (qualitative e quantitative), una possibile misura di distanza che le consideri congiuntamente può essere calcolata utilizzando l’indice di Gower (1971). Tale indice è definito come: d k ∑ δ ijh h= 1 ij = 1− k ∑ h= 1 δ s ijh ijh dove se la h-esima variabile è quantitativa ed R(h) è il suo campo di variazione, si ha | xih − xjh | sijh = 1− R( h) mentre se è qualitativa ⎧1 se la h - esima variabile ha la stessa modalità per le osservazio ni i - esima e j - esima ⎪ s ijh = ⎨ ⎪ ⎩0 altrimenti ed in generale ⎧1 se si conoscono i valori dell' h - esima variabile per le osservazio ni i - esima e j - esima ⎪ ⎪ (serve quando vi sono dati mancanti) δ ijh = ⎨ ⎪ 0 nel caso contrario, ⎪ ⎩ oppure in caso di accordo 0/0 per variabili binarie di tipo presenza/a ssenza 9
3.2 I metodi Gerarchici I metodi gerarchici raggruppano in modo sequenziale gli oggetti presenti ne l dataset sulla base di un’opportuna misura di similarità, in modo tale che gruppi determinati ad un livello di distanza inferiore siano contenuti in quelli determinati in corrispondenza di livelli superiori della distanza. Essi possono quindi essere ulteriormente suddivisi in: - metodi agglomerativi: si considera inizialmente un numero di gruppi corrispondenti al numero di oggetti presenti nel dataset e si uniscono sequenzialmente i gruppi progressivamente formati fino alla determinazione di un singolo gruppo; - metodi scissori: il processo di raggruppamento avviene in senso contrario rispetto a quello dei metodi agglomerativi; si parte da un singolo gruppo, composto dall’intero dataset, che sarà progressivamente partizionato in sottogruppi iterativamente individuati. Un algoritmo agglomerativo prevede in genere i seguenti step: 1) Si calcola la matrice di prossimità contenente le distanze fra ogni coppia di oggetti. Ogni oggetto è considerato come un gruppo a sé stante. 2) Sulla base dell’informazione contenuta nella matrice di prossimità, le coppie di cluster che presentano un grado maggiore di similarità sono rilevate e unite in un solo gruppo. Si aggiorna la matrice di prossimità considerando tale operazione di unione. 3) Nel caso in cui tutti gli oggetti sia no contenuti in un unico cluster, si ha l’interruzione dell’algoritmo. In caso contrario, la procedura iterativa riparte dallo step 2. Differenti algoritmi agglomerativi possono essere implementati grazie all’utilizzo di differenti modalità di calcolo della misura di similarità e di aggiornamento della matrice di prossimità allo step 2. Possono infatti essere utilizzate differenti metriche per la determinazione e aggiornamento della matrice di prossimità. Se indichiamo con n r il numero di oggetti nel cluster r e n s il numero di oggetti nel cluster s e X ri l’i-esimo oggetto nel cluster r, possiamo formalizzare i differenti metodi gerarchici agglomerativi, che si distinguono fra loro sulla base del metodo di legame (linkage) che utilizzano. Il metodo di legame specifica il meccanismo di aggiornamento della matrice di prossimità ad ogni iterazione. Tra i metodi gerarchici agglomerativi i più noti sono: METODO DEL LEGAME SINGOLO: ogni oggetto è considerato inizialmente come un gruppo a sé stante. Si costruisce la matrice di prossimità contenente le distanze di tutte le possibili coppie di oggetti nel dataset. Si costruisce una lista in ordine ascendente di tali distanze e gli oggetti che sono a distanza minima gli uni rispetto gli altri sono assegnati ad un unico gruppo. Si calcola quindi la distanza fra tale gruppo appena formato e i rimanenti oggetti come la minima distanza tra tutti gli oggetti del gruppo e gli altri oggetti. Si ripete la procedura iterativamente fino ad arrivare alla formazione di una singola partizione. Si utilizza quindi la distanza minima fra gli oggetti nei due gruppi: d(r,s)=min(dist(X ri ,X sj )), i (1,…,n r ), j (1,…,n s ) METODO DEL LEGAME COMPLETO: tale algoritmo differisce da quello a “legame singolo” per le modalità di calcolo della distanza fra il gruppo appena formato e ognuno dei rimanenti oggetti o gruppi. In questo caso non si considera la distanza minima, ma quella massima. Il metodo del “legame completo” consente di identificare cluster più compatti rispetto a quello del “legame singolo”, ma fallisce, ad esempio, nell’identificazione di cluster concentrici. Jain e Dubes (1988) hanno osservato come l’algoritmo “a legame completo” identifichi gerarchie più significative rispetto a quello a legame singolo in molti campi di applicazioni. d(r,s)=max(dist(X ri ,X si )), i (1,…,n r ), j (1,…,n s ) 10
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È noto come la distanza euclidea possa essere influenzata in modo negativo dalla possibile<br />
differente scala <strong>delle</strong> k misurazioni. Una possibile soluzione a tale problema potrebbe allora<br />
essere l’utilizzo di una procedura di normalizzazione dei dati.<br />
Una metrica di largo utilizzo è inoltre la metrica City-block, che risente in misura inferiore<br />
rispetto alla distanza euclidea degli scostamenti fra i caratteri associati alla differenti<br />
osservazioni.<br />
La distanza Euclidea e la distanza City-block costituiscono un caso speciale della metrica di<br />
Minkowski. Tale metrica funziona bene nel caso in cui il dataset presenti <strong>cluster</strong> compatti o<br />
isolati, ma non dovrebbe essere utilizzata nel caso in cui le k misurazioni contenute nella<br />
matrice dei dati abbiano valori medi e deviazioni standard largamente differenti. In tal caso è<br />
consigliato normalizzare i dati in modo opportuno o utilizzare altre metriche ad hoc.<br />
Una possibile fonte di distorsione nelle misure di distanza è data dalla possibile presenza di<br />
correlazione lineare fra i k caratteri. Tale distorsione è di norma evitata attraverso un processo di<br />
withening dei dati o utilizzando la metrica di Mahalanobis. La distanza di Mahalanobis associa<br />
pesi differenti alle differenti misurazioni sulla base <strong>delle</strong> varianze e <strong>delle</strong> correlazioni lineari a<br />
coppie.<br />
Variabili Qualitative<br />
Nel caso in cui le misurazioni corrispondano a variabili qualitative una misura comunemente<br />
utilizzata è la distanza di Hamming, che corrisponde alla proporzione <strong>delle</strong> variabili che<br />
risultano discordanti.<br />
⎛ #( xih<br />
≠ x<br />
jk<br />
) ⎞<br />
d =<br />
⎜<br />
⎟<br />
ij<br />
⎝ n ⎠<br />
#(.) indica il numero di misurazioni discordanti<br />
Variabili Miste<br />
Nel caso in cui le misurazioni siano di natura differente (qualitative e quantitative), una<br />
possibile misura di distanza che le consideri congiuntamente può essere calcolata utilizzando<br />
l’indice di Gower (1971). Tale indice è definito come:<br />
d<br />
k<br />
∑<br />
δ<br />
ijh<br />
h=<br />
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= 1−<br />
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dove se la h-esima variabile è quantitativa ed R(h) è il suo campo di variazione, si ha<br />
| xih<br />
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= 1−<br />
R(<br />
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mentre se è qualitativa<br />
⎧1 se la h - esima variabile ha la stessa modalità per le osservazio ni i - esima e j - esima<br />
⎪<br />
s ijh<br />
= ⎨<br />
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⎩0 altrimenti<br />
ed in generale<br />
⎧1 se si conoscono i valori dell' h - esima variabile per le osservazio ni i - esima e j - esima<br />
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(serve quando vi sono dati mancanti)<br />
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