Esonero di Meccanica Statistica del 17 Aprile 2009 - statistiche
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<strong>Esonero</strong> <strong>di</strong> <strong>Meccanica</strong> <strong>Statistica</strong> <strong>del</strong> <strong>17</strong> <strong>Aprile</strong> <strong>2009</strong><br />
Esercizio n.1<br />
Sapendo che l’energia libera <strong>di</strong> un sistema termo<strong>di</strong>namico, F(V, T, N), ha un carattere estensivo,<br />
mostrare che<br />
N<br />
( ) ( )<br />
∂F ∂F<br />
+ V<br />
∂N V,T ∂V N,T<br />
= Nf = F<br />
con f la densità <strong>di</strong> energia libera espressa in opportune variabili. Con questo risultato mostrate<br />
inoltre che sfruttando le proprietà <strong>di</strong>fferenziali <strong>di</strong> F(V, T, N), riusciamo imme<strong>di</strong>atamente a dedurre<br />
che<br />
G = Nµ<br />
con G energia <strong>di</strong> Gibbs definita come G = F + PV . Nella precedente espressione µ è il potenziale<br />
chimico opportunemante definito in termini <strong>di</strong> F(V, T, N).<br />
Soluzione<br />
Partiamo da F(V, T, N). Assumere l’estensività per tale potenziale termo<strong>di</strong>namico significa che<br />
F(V, T, N) = Nf(v, T)<br />
dove v = V/N è il volume specifico e f(v, T) la densità <strong>di</strong> energia libera funzione <strong>del</strong> volume<br />
specifico v e temperatura T. A questo punto proce<strong>di</strong>amo al calcolo <strong>di</strong> alcune derivate<br />
N<br />
( ) ∂F<br />
∂N V,T<br />
= N<br />
(<br />
f(v, T) + N ∂f<br />
∂v<br />
) (<br />
∂v<br />
= N f(v, T) − N ∂f<br />
∂N<br />
∂v<br />
)<br />
V<br />
N 2<br />
dove si è tenuto conto che la <strong>di</strong>pendenza da N sta anche nella variabile v in f(v, T). Possiamo<br />
inoltre stimare<br />
V<br />
( ) ∂F<br />
∂V N,T<br />
= V N ∂f<br />
∂v<br />
A questo punto sommando le equazioni (1) e (2) si ottiene<br />
N<br />
( ) ( )<br />
∂F ∂F<br />
+ V<br />
∂N V,T ∂V N,T<br />
∂v<br />
∂V = V N ∂f<br />
∂v<br />
= Nf = F<br />
(1)<br />
1<br />
N . (2)<br />
che è il risultato cercato. Da notare che il termine legato a ∂f<br />
∂v<br />
si semplifica in quanto <strong>di</strong> segno<br />
opposto. Dalle proprietà <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong>la energia libera sappiamo che<br />
dF = −SdT − PdV + µdN<br />
1
e quin<strong>di</strong><br />
( ) ∂F<br />
P = −<br />
∂V<br />
( ) ∂F<br />
µ =<br />
∂N<br />
che usati nel risultato precedentemente trovato porgono<br />
( ) ∂F<br />
N = Nµ = F + PV<br />
∂N<br />
che è il risultato cercato visto che possiamo identificare G = F + PV .<br />
V,T<br />
N,T<br />
V,T<br />
Esercizio n.2<br />
Un sistema è composto da N particelle <strong>di</strong> spin 1 2<br />
, immerse in un campo magnetico esterno H. Le<br />
particelle sono fisse nelle loro posizioni e sono dotate <strong>di</strong> un momento magnetico µ. L’Hamiltoniana<br />
<strong>di</strong> tale sistema è<br />
N∑<br />
H = −µH σ i<br />
i=1<br />
dove σ i = ±1. Dopo aver calcolato l’entropia S, calcolate l’energia E, il calore specifico C e la<br />
magnetizzazione M <strong>di</strong> tale sistema in funzione <strong>del</strong>la temperatura e <strong>del</strong> campo esterno. Provate<br />
che nel limite <strong>di</strong> campo esterno nullo, vale la legge <strong>di</strong> Curie, ovvero la suscettività magnetica è<br />
inversamente proporzionale alla temperatura.<br />
Suggerimento: La suscettività magnetica fornisce la variazione <strong>del</strong>la magnetizzazione al variare <strong>del</strong><br />
campo magnetico esterno.<br />
Soluzione<br />
Poniamo ǫ = µH e siano N ± il numero degli spin con valore ±1. L’Hamiltoniana si scrive<br />
da cui<br />
N∑<br />
H = E = −µH σ i = −ǫN + + ǫN − = −ǫN + + ǫ(N − N + ) = ǫN − 2ǫN +<br />
i=1<br />
N + = 1 2<br />
(<br />
N − E )<br />
.<br />
ǫ<br />
Analogamente possiamo provare che<br />
N − = 1 2<br />
(<br />
N + E )<br />
.<br />
ǫ<br />
2
L’entropia è data dal numero <strong>di</strong> <strong>di</strong>verse configurazioni <strong>del</strong> sistema, ovvero da tutti i mo<strong>di</strong> nei quali<br />
si possono avere N + ed N − spin con il vincolo N = N + + N − . Questo numero è uguale al numero<br />
<strong>di</strong> mo<strong>di</strong> <strong>di</strong> prendere N + (oppure N − ) oggetti da N. Possiamo quin<strong>di</strong> scrivere<br />
S = k log<br />
( (<br />
N!<br />
N<br />
N + !N − ! ≈ k N log N −<br />
2 2ǫ)<br />
− E ( N<br />
log<br />
2 2ǫ)<br />
− E ( N<br />
−<br />
2 2ǫ)<br />
+ E ( N<br />
log<br />
2 2ǫ))<br />
+ E<br />
dove abbiamo usato l’approssimazione <strong>di</strong> Stirling per i fattoriali. La <strong>di</strong>pendenza dalla temperatura<br />
è data calcolando<br />
da cui estraiamo infine<br />
ed il calore specifico<br />
C =<br />
Infine la magnetizzazione è data da<br />
( )<br />
( )<br />
1 ∂S<br />
T = = k ∂E 2ǫ log N − E ǫ<br />
( )<br />
N + E ǫ<br />
E = −NµH tanh µH<br />
kT<br />
( ) ∂E<br />
= Nµ2 H 2 (<br />
∂T kT 2<br />
1 − tanh 2 µH<br />
kT<br />
)<br />
.<br />
M = µ(N + − N − ) = − E H<br />
= Nµ tanh<br />
µH<br />
kT<br />
e la suscettività magnetica è<br />
χ =<br />
( ) (<br />
∂M<br />
= Nµ2<br />
∂H kT<br />
1 − tanh 2 µH<br />
kT<br />
)<br />
.<br />
Nel limite <strong>di</strong> campo esterno che va a zero, troviamo infine<br />
che è la legge <strong>di</strong> Curie.<br />
lim χ = Nµ2<br />
H→0 kT<br />
3