Esonero di Meccanica Statistica del 17 Aprile 2009 - statistiche

Esonero di Meccanica Statistica del 17 Aprile 2009
Esercizio n.1
Sapendo che l’energia libera di un sistema termodinamico, F(V, T, N), ha un carattere estensivo,
mostrare che
N
( ) ( )
∂F ∂F
+ V
∂N V,T ∂V N,T
= Nf = F
con f la densità di energia libera espressa in opportune variabili. Con questo risultato mostrate
inoltre che sfruttando le proprietà differenziali di F(V, T, N), riusciamo immediatamente a dedurre
che
G = Nµ
con G energia di Gibbs definita come G = F + PV . Nella precedente espressione µ è il potenziale
chimico opportunemante definito in termini di F(V, T, N).
Soluzione
Partiamo da F(V, T, N). Assumere l’estensività per tale potenziale termodinamico significa che
F(V, T, N) = Nf(v, T)
dove v = V/N è il volume specifico e f(v, T) la densità di energia libera funzione del volume
specifico v e temperatura T. A questo punto procediamo al calcolo di alcune derivate
N
( ) ∂F
∂N V,T
= N
(
f(v, T) + N ∂f
∂v
) (
∂v
= N f(v, T) − N ∂f
∂N
∂v
)
V
N 2
dove si è tenuto conto che la dipendenza da N sta anche nella variabile v in f(v, T). Possiamo
inoltre stimare
V
( ) ∂F
∂V N,T
= V N ∂f
∂v
A questo punto sommando le equazioni (1) e (2) si ottiene
N
( ) ( )
∂F ∂F
+ V
∂N V,T ∂V N,T
∂v
∂V = V N ∂f
∂v
= Nf = F
(1)
1
N . (2)
che è il risultato cercato. Da notare che il termine legato a ∂f
∂v
si semplifica in quanto di segno
opposto. Dalle proprietà differenziali della energia libera sappiamo che
dF = −SdT − PdV + µdN
1

e quindi
( ) ∂F
P = −
∂V
( ) ∂F
µ =
∂N
che usati nel risultato precedentemente trovato porgono
( ) ∂F
N = Nµ = F + PV
∂N
che è il risultato cercato visto che possiamo identificare G = F + PV .
V,T
N,T
V,T
Esercizio n.2
Un sistema è composto da N particelle di spin 1 2
, immerse in un campo magnetico esterno H. Le
particelle sono fisse nelle loro posizioni e sono dotate di un momento magnetico µ. L’Hamiltoniana
di tale sistema è
N∑
H = −µH σ i
i=1
dove σ i = ±1. Dopo aver calcolato l’entropia S, calcolate l’energia E, il calore specifico C e la
magnetizzazione M di tale sistema in funzione della temperatura e del campo esterno. Provate
che nel limite di campo esterno nullo, vale la legge di Curie, ovvero la suscettività magnetica è
inversamente proporzionale alla temperatura.
Suggerimento: La suscettività magnetica fornisce la variazione della magnetizzazione al variare del
campo magnetico esterno.
Soluzione
Poniamo ǫ = µH e siano N ± il numero degli spin con valore ±1. L’Hamiltoniana si scrive
da cui
N∑
H = E = −µH σ i = −ǫN + + ǫN − = −ǫN + + ǫ(N − N + ) = ǫN − 2ǫN +
i=1
N + = 1 2
(
N − E )
.
ǫ
Analogamente possiamo provare che
N − = 1 2
(
N + E )
.
ǫ
2

L’entropia è data dal numero di diverse configurazioni del sistema, ovvero da tutti i modi nei quali
si possono avere N + ed N − spin con il vincolo N = N + + N − . Questo numero è uguale al numero
di modi di prendere N + (oppure N − ) oggetti da N. Possiamo quindi scrivere
S = k log
( (
N!
N
N + !N − ! ≈ k N log N −
2 2ǫ)
− E ( N
log
2 2ǫ)
− E ( N
−
2 2ǫ)
+ E ( N
log
2 2ǫ))
+ E
dove abbiamo usato l’approssimazione di Stirling per i fattoriali. La dipendenza dalla temperatura
è data calcolando
da cui estraiamo infine
ed il calore specifico
C =
Infine la magnetizzazione è data da
( )
( )
1 ∂S
T = = k ∂E 2ǫ log N − E ǫ
( )
N + E ǫ
E = −NµH tanh µH
kT
( ) ∂E
= Nµ2 H 2 (
∂T kT 2
1 − tanh 2 µH
kT
)
.
M = µ(N + − N − ) = − E H
= Nµ tanh
µH
kT
e la suscettività magnetica è
χ =
( ) (
∂M
= Nµ2
∂H kT
1 − tanh 2 µH
kT
)
.
Nel limite di campo esterno che va a zero, troviamo infine
che è la legge di Curie.
lim χ = Nµ2
H→0 kT
3