×ž×›× ×™×§×” ×§×•×•× ×˜×™×ª 2 Ö¾ תרגול - ×”×˜×›× ×™×•×Ÿ

מכניקה קוונטית 2 ־ תרגול
מתרגל:‏ עמרי בהט
26 ביוני 2009
מחברת זו נכתבה משמיעה בהרצאות של עמרי בהט.‏ המחברת עלולה להכיל חוסרים וטעויות.‏ אין הטכניון
או מי מטעמו ־ ובפרט,‏ הפקולטה לפיזיקה,‏ על מרציה ומתרגליה,‏ אחראים לתוכנו של מסמך זה.‏
הערות והארות,‏ אתם מוזמנים לשלוח ל־ronen@tx.tehcnion.ac.il
תוכן עניינים
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . טרנספורם פורייה 1 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תרגיל 1.1 3
עוד שאלה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . התמרת פורייה דו מימדית 1.3 3
התפתחון בזמן ‏(במרחב חופשי)‏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תרגול שני ־ חסר 2 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תרגול שלישי 3 4
מטריצות צפיפות במערת שני גופים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תרגיל 3.2 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תמונת הייזנברג 3.3 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אוסצילטור הרמוני 3.3.1 7
‏(תרגול תיקון טעות.‏ התרגול המקורי חסר)‏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ניסוי שני סדקים 4.1 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הפיצול העל־דק 5 9
החישוב המדויק . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אפקט זימן 6 11
אפקט זימן הנורמלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 12
אפקט זימן האנומלי ‏(קירוב שדה חזק)‏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בשדה חלש 6.3 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חלקיק קוונטי בשדה מגנטי 7 16
תורת ההפרעות תלויה הזמן . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מלכודת אופטית לאטומים קרים 8.1 18
סיפור נחמד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . כללי ברירה למעברים אטומיים 9 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תורת הפיזור ־ קירוב בורן 10 22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תרגיל 10.1 1 טרנספורם פורייה
אופרטור התנע ־
∂ −i pˆ. = מצבים עצמיים של אופרטור התנע,‏ בסימון דיראק ־
∂x
ˆp |ψ p 〉 = p |ψ p 〉
〈x|ψ p 〉 = ψ p (x)
−i ∂
∂x ψ P (x) = pψ p (x)
1

זוהי משוואה דיפרנציאלית שהפתרון שלה הוא
ψ p (x) = e −i px
אלו הם המצבים העצמיים של H בפוטנציאל חופשי.‏ ואלו הפונקציות העצמיות של אופרטור התנע בהצגת
המקום.‏
∫
˜f(p) = F [f(x)] ≡ dxe −ipx/k f(x)
כלומר,‏ סכום על היטלים של f על כל הגלים המישוריים.‏ יש מצבים שבהם אפשר להחליף את האינטגרל בסכום
דיסקרטי.‏
מה המשמעות של ˜f(p)
• נבנה את הפונקציה ˜f(p) על ידי סכום של גלים מישוריים.‏ בבניה מחדש ‏(או שחזור)‏ של f(x) על ידי גלים
מישוריים,‏
∫
f(x) = dpe ipx/ ˜f(p)
כאשר ˜f(p) הם המקדמים של כל גל מישורי.‏ אם הגלים המישוריים היו יכולים לקבל תנעים רק מתוך
קבוצה מסויימת,‏ ניתן היה לרשום
= ∑ j
e ipjx/ a j (1)
כדי לבנות פונקציה ספציפית,‏ צריך לבחור קומבינציה לינארית של a, j שיוצרת את f. משוואה (1) היא
טרנספורם פורייה דיסקרטי.‏
1.1 תרגיל
חלקיק מתואר על ידי פונקצית הגל .ψ(x) מה ההסתברות למדוד את החלקיק ב־ x 0
אחרי המדידה,‏ צריכים להמצא במצב עצמי של אופרטור המקום.‏ ההסתברות תינתן על ידי הטלה של המצב
ההתחלתי על המצב העצמי שערכו העצמי x 0
P = |〈final|ψ〉| 2
המצב |final〉 הוא מצב עצמי של האופרטור אותו ״מודדים״ ‏(מודדים גודל פיזיקלי שאותו האופרטור מתאר).‏
במקרה שלנו,‏ נרצה מצב עצמי של אופרטור המקום סביב x. 0
זה הפתרון של משוואת הערכים העצמיים
ψ final (x 0 ) = δ (x − x 0 )
ˆx |ψ x0 〉 = x 0 |ψ x0 〉
∫
〈ψ final |ψ〉 =
δ(x − x 0 )ψ x dx
כלומר,‏
= ψ(x 0 )
P (x = x 0 ) = |ψ(x 0 )| 2
הדברים הגרועים בתשובה:‏
• לא בהכרח ≥ 1
2

, ולהסתברות אין יחידות ־ היחידות בשתי האגפים
• אין התאמה של יחידות ־ לפונקציה גל יש יחידות של x√ 1
לא מתאימות
• אין משמעות למדוד חלקיק בנקודה מסויימת
• התייחסנו למצב העצמי של אופרטור המקום כאילו הוא פונקצית גל ־ והוא לא,‏ ) 0 δ x) − x לא שייכת
למרחב של פונקציות הגל הכשרות ־ האינטגרביליות בריבוע.‏ ) 2 L)
הערה 1.1 גם המצבים העצמיים של אופרטור התנע,‏ לא שייכים ל־ L. 2
הערה 1.2 ״הפיזיקה״ נמצאת רק בגלים ב־ L. 2 בדרך משתמשים בגלים מישוריים,‏ דלתאות,‏ וגלים לא פיזיקליים
אחרים
1.2 עוד שאלה
מה ההתסברות למדוד תנע ששיך לקטע δ] σ = [p 0 − δ, p 0 +
∫
˜ψ(p) =
ψ(x)e −ipx/k dx
כאשר ˜ψ(x) הם המקדמים של הגלים המישוריים שמרכיבים את .ψ(x)
P (p ∈ σ) =
∫ p0+δ
p 0−δ
∫
dp ∞
√
2π
−∞
e −ipx/ ψ(x)dx
1.3 התמרת פורייה דו מימדית
ˆ⃗p = −i ⃗ ∇·
e −i⃗p·⃗r/ ⃗p = (p x , p y )
⃗r = (x, y)
∫
F (f(x, y)) = e −i(pxx+pyy) f(x, y)dxdy
1.4 התפתחון בזמן ‏(במרחב חופשי)‏
ψ(x, 0) → ψ(x, t)
אנחנו יודעים לקדם בזמן רק מצבים עצמיים של ההמילטוניאן ־
H |n〉 = E n |n〉
|n(t)〉 = e −iHt/ |n〉 = e −iωnt |n(0)〉
גלים מישוריים הם מצבים עצמיים של ההמילטוניאן ־ נרשום את (0 ψ(x, כסכום של גלים מישוריים ־
טרנספום פוריה
3

∫
ψ(x, 0) =
∫
ψ(x, t) =
dp
e −ipx/
2π } {{ }
˜ψ(p)
eigentstates of H
dp
2π e−ipx/ ˜ψ(p) · e
−iω pt
∫
ψ(x, t) =
dp
ip2
ipx/− ˜ψ(p)e 2m t
2π
= p ω. הביטוי הכללי ל־
p2
כאשר 2m
זהו הקידום בזמן של כל פונקצית גל שנרצה.‏
תרגול שני ־ חסר
2 תרגול שלישי
3 3.1 מטריצות צפיפות במערת שני גופים
( )
Sz
˜S 1z =
S z
˜S 2z = ( )
I2×2
2 I 2×2
|ψ〉 = α |++〉 + β |−+〉 + γ |+−〉 + δ |−−〉
נקח מצב טהור 〈ψ|
אופרטור הצפיפות.‏ במצב טהור,‏ הוא שווה זהותית לאופרטור ההטלה
ˆρ = |ψ〉 〈ψ| = |α| 2 |++〉 〈++| + αβ ⋆ |++〉 〈−+| + . . .
אם נרצה לכתוב הצגה מטריצית,‏ בבסיס (−− ,−+ ,+− ,++) אזי
ρ 11 = 〈++ | ˆρ | ++〉 = |α| 2
ρ 12 = 〈+ + |ˆρ| − +〉 = 〈++| . . . + αβ ⋆ |++〉 〈−+| + . . . |−+〉 = αβ ⋆
⎛
|α| 2 αβ ⋆ αγ ⋆ αδ ⋆ ⎞
ρ = ⎜ |β| 2 βγ ⋆ βδ ⋆
⎟
⎝
|γ| 2 γδ ⋆ ⎠
|δ| 2
ולכן מטריצת הצפיפות תהיה
4

〈 〉
˜S1z = trace
(ρ ˜S
)
1z
⎡ ⎛
⎞ ⎛
α 2 1
= ⎢
2 ⎣ trace ⎜ β 2 ⎟ ⎜
⎝ γ 2 ⎠ ⎝
δ 2
−1
1
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
−1
נחשב
(|α| 2 − |β| 2 + |γ| 2 − |δ| 2)
= 2
⎛
⎞
α 2
〈 〉
˜S2z = 2 trace ⎜ β 2 ⎟
⎝ −γ 2 ⎠
−δ 2
= 2
(
3.2 תרגיל 2) |δ| |α| 2 + |β| 2 − |γ| 2 −
נקח מערכת של שני חלקיקים.‏ מסיבה כלשהי,‏ נתעלם לחלוטין מאחת מדרגות החופש ‏(מאחד מהחלקיקים).‏ נבנה
מטריצת צפיפות אפקטיבית שמתארת רק את המצב של החלקיק השני,‏ ולמרות שהתחלנו ממצב טהור,‏ נסיים עם
מצב שהוא לא טהור עבור אחד מהחלקיקים.‏ נראה זאת על ידי דוגמה.‏
יש מערכת של שני חלקיקים הנמצאת במצב טהור.‏ נבנה ״מטריצת צפיפות אפקטיבית״,‏ שמתארת רק את
המצב של החלקיק הראשון,‏ על ידי ‏,הוצאה מהמשחק״ של חלקיק מספר 2. (Trac-Out)
התוצאה:‏ מטריצת הצפיפות האפקטיבית היא של מצב מעורב.‏
המצב ההתחלתי
|ψ〉 = α |++〉 + β |−−〉
ˆρ 4 = ∣ ∣ α
2 ∣ ∣ |++〉 〈++| + αβ ⋆ |++〉 〈−−| + α ⋆ β |−−〉 〈++| + |β| 2 |−−〉 〈−−|
נבנה מטריצת צפיפות אפקטיבית,‏ שתתאר חלקיק מספר אחד ‏(מטריצה ממימד ): 2
ρ (1)
eff(2)
= P (2 : +) · () + P (2 : −) · ()
אלו שני המצבים האפשריים היחידים.‏ כאשר כל אחד מה־()‏ הוא מטריצת צפיפות של חלקיק 1.
= ∑ j
〈j|ˆρ 4 |j〉 = trace λ (ˆρ 4 )
כאשר הסכימה על על כל המצבים האפשריים של חלקיק 2, והעקבה היא חלקית רק בתת המרחב של חלקיק 2.
במקרה שלנו ־ המצבים האפשריים הם 〈+ : 2| או 〈− : 2|.
ρ (1)
eff = 〈2 : +|ρ 4|2 : +〉 + 〈2 : −1|ρ 4 |2 : −〉
ρ 4−1,1 = |α| 2 〈2 : +| (|1 : +〉 |2 : +〉 〈2 : +| 〈1 : +|) |2 : +〉
= |α| 2 |1 : +〉 〈1 : +|
נסתכל על האיבר של
יש לנו 2 מכפלות שנותנות לנו 1 ־
5

ρ (1)
eff = |α|2 |+〉 〈+| + |β| 2 |−〉 〈−|
ρ (1)
eff = ( |α|
2
|β| 2 )
[ ] 2
ρ (1) (1)
eff ≠ ρ
eff
ולכן
נשים לב ש־
כלומר ־ זהו מצב מעורב.‏
למה זה שימושי‏ כאשר יודעים מצב התחלתי של מערכת מורכבת עם הרבה דרגות חופש ־ הם הרבה פעמים לא
רלוונטים.‏ אם נרצה לפתור מצב עם הרבה חלקיקים והרבה דרגות חופש ־ שרק חלקם רלוונטים,‏ נעשה Traced
, out ונשאר עם החלקיקים הרלוונטים.‏ את החלקיקים הללו לא נוכל ליצג בתור מצב טהור,‏ ונצרך לייצג אותם
בתור מטריצת צפיפות.‏
3.3 תמונת הייזנברג
i dA H
dt
= [A, H]
כאשר ל־A אין תלות מפורשת בזמן,‏ כלומר
∂H S
∂t
= 0
3.3.1 אוסצילטור הרמוני
iẋ = [x, H] =
[x, P 2 ]
= i p 2m m
ẋ = p m
זה ביטוי הדומה למהירות במכניקה ניוטונית.‏ אפשר להסתכל על זה בתור הכללה של משפט ארנפסט ‏(שהיה
עבור ערכי תצפית בלבד).‏
אפשר לחשב את השינוי של : p
וקיבלנו את המשוואה הניוטונית עבור תנועה הרמונית.‏
הפתרון עבור
iṗ = [P, H] =
[P, 1 ]
2 mω2 x 2 = −imω 2 x
ṗ = −mω 2 k
x(t) = ˆx cos ωt +
ˆp sin ωt
mω
במצב
|ψ〉 = 1 √
2
(|0〉 = |1〉)
נניח והמערכת
6

מצב עצמי של אוסצילטור הרמוני.‏
‏(מקוונטית 1). נפתור את זה בצורה אחרת:‏ 2mω cos ωt
〈x〉 (t) =
√
〈x〉 (t) = cos ωt 〈ψ 0 |ˆx|ψ〉 =
sin ωt
mω 〈ψ 0|p|ψ 0 〉
,a. a † מחשבים באמצעות 〈x〉 בכל מצב קשור ‏(כל מצה שמוגבל לסביבה במרחב),‏ ואת 〈p〉 = 0
√
= cos ωt
2mω
4 ‏(תרגול תיקון טעות.‏ התרגול המקורי חסר)‏
4.1 ניסוי שני סדקים
מקור בנקודה A. נקודה B נמצאת על מסך.‏ כיצד תראה צפיפות ההסתברות על המסך‏
עניין שגוי מהותי:‏
בתרגול נאמר שצפיפות ההסתברות ρ היא |G|, 2 כאשר G הפרופגטור.‏
משמעות הפרופגטור:‏
G ־ פונקצית גרין.‏ מתעניינים בהתפתחות בזמן
ψ (x, 0) → ψ (x, t)
הפרופגטור,‏ G, היא הפונקציה המתקבלת לאחר התפתחות בזמן כאשר המצב ההתחלתי הוא מצב עצמי של xˆ,
כלומר,‏
ψ (x, 0) = δ (x − x 0 )
‏(כאשר δ, ∋/ L 2 היא אינה ניתנת לנירמול).‏ G יכולה לספר לנו משהו על פיזיקה של בעיה.‏
לפי פיינמן,‏ כמו שיריב הוכיח בהרצאה,‏ חלקיק בנקודה x a מתפשט לנקודה x. b לפי פיינמן,‏ האמפלידטודה
ל־ x b בזמן t b נתונה על ידי
∫
ψ (x b , t b ) = G (x b , t b ; x, t) ψ (x, t) dx
כלומר,‏ בהנתן הפרופגטור,‏ ומיקום החלקיק בזמן מסויים,‏ ניתן למצוא את האמפליטודה למיקום החלקיק בכל
מקום ובכל זמן.‏
בגלל שהמרחק של שני הסדקים מהמקור שווים,‏ בזמן מסויים האמפליטודה של החלקיק תהיה להמצא סביב
אחד הסדקים.‏ נקבע את הזמן שבו החלקיק עובר דרך אחד הסדקים כ־‎0‎ = t.
• ״האמפליטודה״ שאנחנו מדברים עליה כרגע היא פונקצית הגל.‏
ψ 1 מתאר את התהליך מחריץ אחד לנקודה B ו־ ψ 2 מתאר את את התהליך מהחריץ השני לנקודה B. אזי
אזי,‏ האמפליטודה באזור החריצים היא:‏
ψ tot = ψ 1 + ψ 2
ψ a1 ∼ e −(x−xa 1) 2 /σ 2
ψ a2 ∼ e −(x−xa 2) 2 /σ 2
‏(הבחירה בגאוסיאן היא שרירותית.‏ ניתן לבחור כל פונקציה אחרת שמרוכזת סביב הנקודות)‏
נניח הנחה,‏ שאינה נכונה ואינה פיזיקאלית,‏ אבל את האפקט החשוב ־ אפקט של התאבכות,‏ נקבל.‏ החישוב
בגאוסיאינים הוא מסובך.‏ נחליף את הגאוסיאנים בפונקצית דלתא:‏
ψ a1 = δ (x − x a2 )
ψ a2 = δ (x − x a2 )
( x b − x A → |⃗x b − ⃗x a | אפשר להכליל את כל הסיפור לעוד מימדים מבחינת נוטציה,‏ ,x = ⃗x)
7

√
im(x
m
G =
2πi (t b − t a ) e b −x) 2
2(2 b −ta)
נכתוב את הפרופגטור עבור חלקיק חופשי (0 = V)
אזי,‏ נסצן ,x b − x a1 = L ו־l‏∆‏ ההפרש בית x b − x a1 ל־ x b − x a2
∫ √
[
]
m
ψ 1 =
2πi (t b − t a ) exp im (x b − x) 2
δ (x − x a1 ) dx a1
2 (2 b − t a )
√
[
]
m
=
2πi (t b − t a ) exp im (x b − x a ) 2
2 (2 b − t a )
√
[ ]
m
=
2πi (t b − t a ) exp im (L) 2
2 (T )
ψ 2 = √ im(L 2 +2L∆l)
e 2T
ו־
אזי
ρ = |ψ tot | 2 = |ψ 1 | 2 + |ψ 2 | 2 + 2Re (ψ 1 ψ2)
⋆
= 2 ∣ √∣ ∣ 2 + 2 ∣ [
√∣ ∣ 2 mL 2
cos
2T − m ( L 2 + 2L∆l ) ]
2T
= 2 ∣ √∣ ( )]
∣
[1 2 mL∆l
+ cos
t
‏(חישוב קטן בצד = p
, mL ומחולק ב־h זהו אורך גל דה־ברולי)‏
T
== ∣ ∣ √∣ ∣ 2 cos 2 (
2π ∆l
2λ
)
כמה הערות
• התאבכות בונה ‏(עוצמה מקסימלית):‏ כאשר l∆ הוא כפולה שלמה של λ.
∆l = nλ
n ∈ Z
.∆l = d sin θ ∼ dx L קיבלנו ש־
• בזוויות קטנות,‏
ρ ∝ cos 2 (# · x)
∫ ∞
−∞
‏(עבור # מקדם כלשהו).‏ ביטוי זה אינו ניתן לנירמול:‏
ρdx → ∞
זה לא מפתיע:‏ כי התחלנו עם פונקצית דלתא שאינה ניתנת לנירמול.‏ הפרופגציה היא אוניטרית,‏ ולכן היא
אינה משנה את הנורמה.‏ אם היינו עושים את החשבון עם גאוסיאנים,‏ לא היתה לנו את הבעיה הזו.‏
• למרות שהשתמשנו בפעולה ״לא חוקית״,‏ קיבלנו את האפקט המרכזי שחיפשנו.‏
מכיל את התלות בזמן.‏ את הביטוי הזה שכחנו בשבוע שעבר.‏
√
∣
∣
2
m
2πi(T )
• הביטוי
8

5 הפיצול העל־דק
Hyper fine splitting
בצורה קלאסית,‏ גוף טעון עם תנע זוויתי,‏ יוצר שדה מגנטי.‏ לפרוטון באטום מימן,‏ יש ספין ומטען.‏
לכן,‏ הגרעין באטום המימן משפיע על אלקרונים גם באמצעות שדה מגנטי שהוא יוצר.‏
נסתכל על הגרעין כעל לולאת זרם עם מומנט מגנטי µ⃗. P על האלקטרון ניתן לחשוב גם כן כעל לולאת זרם,‏
עם מומנט מגנטי ⃗ M e . לכן,‏ תהיה אינטראקציה מגנטית בין האלקטרון לפרוטון.‏
עבור שדה מגנטי ⃗ B על האלקטרון,‏ אנרגית האינטראקציה הקלאסית תהיה,‏
U = − ⃗ M e · ⃗B
מומנט הדיפול של לולאת זרם קלאסית עם זרם I בשטח ,A אז . 1 ⃗µ = I · A · ˆn
נגדיר את ההמילטוניאן של האינטראקציה,‏
H int == γ (r) ⃗ S · ⃗I
עבור מקדם כלשהו γ, כאשר I הוא אופרטור הספין של הפרוטון.‏
השאלה:‏ איך H int משנה את הספקטרום‏ נבצע את החישוב רק על מצבי S, כלומר,‏ = 0 l ונקבל
∆E (1)
n,0,0 = 〈ψ|H int|ψ〉
⃗µ p = g pe
2m p c · Î
5.1 החישוב המדויק
המומנט המגנטי של הפרוטון
כאשר g p הוא הפקטור הגירומגנטי,‏ שנמצא מתוך ניסוי.‏ עבור אלקטרון,‏ והפרוטון,‏
כשנכתבה משוואת דיראק,‏ חישבו את = 2.0
מתאימה,‏ ועבור הפרוטון,‏ ממש לא.‏
g. dirac עבור האלקטרון,‏ המשוואה
p
g e = 2.001
g p = 5.56
,g dirac ועבור פרוטון,‏ = 2.0
e
כשכתבו את משוואת דיראק,‏ הניחו שגם האלקטרון וגם הפרוטון הם חלקיקים נקודתיים.‏ ההנחה הזו מתאימה
עבור אלקטרון אבל לא מתאימה עבור פרוטון.‏ זו היתה האינדיקציה הראשונה לכך שהאלקטרון אינו חלקיק
יסודי.‏
נחשב את השדה המגנטי שיוצר הפרוטון
הפוטנציאל המגנטי של דיפול:‏
⃗A (r) = 1
( )
1 1
⃗µ × ⃗r =
4πr3 4π ⃗µ × ∇ r
נחליף את הסדר של המכפלה,‏ ונקבל מינוס.‏ את ההחלפה ניתן לעשות כי µ אינו תלוי בקוארדינטה,‏ כי למומנט
המגנטי של חלקיק שנובע מספין,‏ אין תלות מרחבית.‏ הספין אינו ״חי״ במרחב האמיתי,‏ ולכן אין תלות כזו.‏
= 1 ( )
⃗∇
1
× µ
4π r
1 אסף נוי שאל את השאלה שהובילה לתשובה הזו
9

⃗B = ∇ ⃗ × A ⃗ = 1
4π (∇ × ∇ × ⃗µ) 1 r =
= 1 [
grad (div⃗µ) − ∇ 2 ⃗µ ] 1
4π
⎡
r
⎤
= 1
⎢
(∇
4π ⎣ grad (div⃗µ) − ⃗µ 2 1 )
⎥
r ⎦
} {{ }
−4πδ(⃗r)
.A i = CB i מכפלה
הערה 5.1 נציג סימון:‏ במקום ⃗ A = C ⃗ B נוכת לכתוב A x = CB x או = 1, 2, 3 i
סקאלרית בנוטציה הזו נרשום ⃗ A ⃗ B = ∑ i A iB i .
B i = 1 [
4πδ (r) µ i + ∂ i (∂ j µ j ) 1 ]
4π
r
H int = − ⃗ M · ⃗B = −M i B i
= − 1
4π
כאשר על ) j ∂) j µ יש סכימה לפי הסכם הסכימה של אינשטין.‏
אזי
[
4πδ (r) µ i M i + ∂ i ∂ j µ j M i
1
r
⃗M·⃗µ
{ }} {
= −δ (r) M i µ i − 1 ( )
4π M 1
iµ i ∂ i ∂ j
r
]
נחשב אלמנט מטריצה של מצב היסוד כאשר לוקחים בחשבון את הספינים של האלקטרון.‏ עבור מצב היסוד,‏
= 1 n ,l = 0, m = 0, המצב המרחבי
space−part proton electorn
{ }} { { }} { { }} {
|g〉 = |1, 0, 0〉 ⊗ |i, m I 〉 ⊗ |s, m s 〉
כאשר 1) + (i i הוע ע״ע של I 2 ו־ m I הוא ערך עצמי של .I z
ראשית,‏ נוציא מהמשחק את דרגות החופש המרחביות,‏ ואז נטפל בדרגות החופש הספיניות.‏
∫
∫
〈n, 0, 0|H int |n, 0, 0〉 = d 3 r |φ n00 (r)| 2 (−δ (r) M i µ i ) +
( [ ])
d 3 r |φ n00 | 2 1
−M i µ j ∂ i ∂ j
2
האינטגרל הראשון הוא פשוט אינטגרל על פונקצית δ. השני יתר בעייתי...‏
∫
d 3 r |φ (r)| 2 ∂ i ∂ j
1
r
, 1 r אבל ל־ ∂ i ∂ j אין סימטריה ספרית.‏ אינטגרל על אופרטור
כאשר ל־(‏r‏)‏ φ יש סימטריה ספרית,‏ כמו גם ל־
אי־זוגי,‏ כפול פונקציה זוגית על תחום סימטרי,‏ מתאפס.‏
∫
d 2 r∂ x
1
r = 0
והאינטגרל שלנו הוא בדיוק אותו דבר,‏ בעוד מימד..‏ ולכן האינטגרל שלנו מתאפס.‏ יש מקרים שבהם הוא אינו
מתאפס,‏ והם המקרים האלכסוניים ־ i = j ולכן,‏
∫
d 3 r |φ (r)| 2 ∂ i ∂ j
1
r ∝ δ ij
10

.∂ xx = 1 3 ∇2 .∇ בגלל שכל הכיוונים שווים,‏ 2 = ∂ xx + ∂ yy + ∂ zz . ∂ i ∂ j = ∂ 2 j
∫
∫
d 3 r |φ (r)| 2 1
∂ i ∂ j
r = δ ij
|φ| 2 1
3 ∇2 1 4
}{{}
−4πδ
כאשר ,i = j אז
כלומר,‏
∫
∫
〈n, 0, 0|H int |n, 0, 0〉 = −M i µ i |φ| 2 1
δ (r) d 3 r + M i µ j δ ij
3 |φ|2 δ (r)
(
= M i µ i |φ n00 (0)| 2 −1 + 1 )
= − 2 3 3
ולכן,‏
כדי לקבל את
∆E n,0,0 ∝ − 2 3 |φ (0)|2 〈i, m i | 〈s, m s | ⃗ I · ⃗S |s, m s 〉 |i, m i 〉
כאשר את אלמנט המטריצה הזה יריב חישב ההרצאה ‏(וחישבנו גם בשיעורי הבית).‏
נגדיר תנע זוויתו כולל
⃗F = ⃗ I + ⃗ S
⃗F 2 = ⃗ I 2 + ⃗ S 2 + 2 ⃗ S · ⃗I
אזי
=⇒ ⃗ S · ⃗I = 1 2
(
אזי הערכים האפשריים ל־I ⃗ S ⃗ הם,‏ 2) f 2 − I 2 − S
〈
F 2 − I 2 − S 2〉 = f (f + 1) − i (i + 1) − s (s + 1)
כדי למצוא את ההפרשים באנרגיה,‏ לא באמת צריכים לעבור בסיס.‏
הם הסכומים האפשריים של הערכים
העצמיים האפשריים של i, s, f ‏(כאשר = 0, 1 (f ולכן
〈SI〉 =
{
1
4
f = 1
− 3 4
f = 0
6 אפקט זימן
איך משתנה הספקטרום בגלל שדה מגנטי חיצוני‏
6.1 אפקט זימן הנורמלי
‏(ללא התיחסות לספין)‏
H 0 = p2
2m − e2
r
המצבים העצמיים ש לההמילטוניאן:‏
|n, l, m〉
11

ו־
E n,l,m = E 0
n 2
יש ניוון גדול:‏ רמות האנרגיה לא תלויות ב־m ,l. זו תוצעה של סימטריה גבוהה של ההמילטוניאן H. 0
∑ l מצבים.‏ כאשר נוסיף שדה מגנטי,‏ חלק מהניוון יוסר.‏
המילטוניאן האינטראקציה של המימן עם שדה מגנטי:‏
H int = γ ⃗ B · ⃗L
= γB
}{{} 0
ˆLz
ω L
עבור כל n, ניוו של (1 + 2l)
עבור , B = B 0 ẑ
נחשב את המילטוניאן האינטראקציה באמצעות תורת ההפרעות המנוונת:‏ צריך לכתוב את H int בכל תת מרחב
מנוון של , H 0 עבור n־נתון,‏ וללכסן.‏ כך נקבל את התיקונים לאנרגיה.‏
בבסיס הזה,‏ L z הוא מלוכסן,‏
〈n, l, m | H int | n, l ′ , m ′ 〉 ∝ δ l,l ′δ m,m ′
m ′ 〈n, l, m|n, l ′ , m ′ 〉
כלומר,‏ בגלל שההפרעה שלנו אלכסונית,‏ לא צריך ללכסן.‏ מספיק לחשב את אלמנטי המטריצה האלכסונית.‏
אפשר להשתמש בתורה לא־מנוונת.‏
[H int , H 0 ] = 0
∆E n,l,m = ω L m
6.2 אפקט זימן האנומלי ‏(קירוב שדה חזק ( 2
נסתכל על הרמה = 2 n. המצב הזה מנוון הרבה פעמים:‏
עם שדה מגנטי ≠ 0 B, יהיו לנו שלושה מצבים:‏
l = 1, m = ±1, 0
l = 0, m = 0
m = 1, m = −1
ופעמיים,‏ = 0 .m
בלי השדה המגנטי היה לנו מעבר אחד ‏(ל־‎1‎ = n) אבל בשדה,‏ נראה פוטונים בשלושה
תדירויות שונות,‏ שעוברים מ־‎2‎ = n ל־‎1‎ = n.
באפקט זימן האנומלי,‏ לוקחים בחשבון ספין:‏
H 0 = p2
2m − e2
r + A⃗ L · ⃗S + Bp 4
כאשר A הוא מקדם קבוע לצימוד,‏ התיקון ⃗ L · S⃗ הוא תיקון הנובע מצימוד ספין־מסלול,‏ והתיקון של , Bp 4 הוא
תיקון יחסותי,‏ הוא מאותו סדר גודל,‏ ולכן צריך לקחת גם אותו בחשבון.‏
2 זה שדה של הכח החזק,‏ או שדה בעוצמה גבוהה של הכח האלקטרומגנטי‏
12

המצבים שלנו,‏ שבהם H 0 מלכוסן,‏ הם 〉 j .|n, l, s, j, m
⎛ ⎞
H int = γB ⃗ · ⎝⃗ L +
}{{} 2 S ⃗⎠
g e
כאשר g e מגיע ממשוואות דיראק.‏ תהיה אנרגיה אופינית E, LS ואנרגיה נוספת שתהיה קשורה לשדה E. B אם
נניח שדה מגנטי חזר,‏ נקבל ש־ E. B ≫ E LS
לכן,‏ בשדה חזק,‏ אפשר להזניח את L · S ואת p. 2 לכן,‏ נקבל
˜H 0 = p2
2m − e2
r
, לכן החישוב של אלמנטי המטריצה הוא פשוט למדי.‏
〈n, l, s, m l , m s |L z + 2S z |n, l, s, m l , m s 〉 = m l + 2m s
∆E = ω (ml + 2m s )
[ ]
ו־‎0‎ = int ˜H0 , H
אז התקיקון הוא
6.3 בשדה חלש
.E L·S ≫ E B אזי נכניס את E LS ל־ ,H 0 ו־ E B יהיה ההפרעה.‏
[H 0 , H int ] ≠ 0
. לכן,‏ חייבים לעבוד בתורה מנוונת.‏
H int = ω L (J z + S z )
L z + gS z
[ ]
מאחר ו־ ≠ 0 Z ⃗L · S, ⃗ Jz + S
‏(נזניח את הפקטור הג׳ירומגנטי)‏ ההפרעה היא
אם = 1 ,g . L z + S z = J z אבל עבור = 2 ,g . L z + 2S z = J z + S Z
〈n, l, s, j, m j |J z + S z |n, l, s, j, m j 〉 = m j + 〈j, m j |s z |j, m j 〉
′ j 〈j, m j |s Z |j, m j 〉 ∝ δ mjm ‏(תרגיל בית)‏ בגלל שההפרעה אלכסונית בתת המרחב המנוון,‏ אפשר בכל
〉
3
∣2 , −1 =
2
〈 3
2 , −1 2 ∣ S z ∣
3
2 , −1 2
: j = 3 2 , m j = − 1 2
〉
√ ∣ 〉 √ ∣ 2 ∣∣∣
3 |1, 0〉 1
1 ∣∣∣
2 , −1 +
2 3 |1, −1〉 1
2 , 1 〉
2
〈 〉
3
2 , −1 2 ∣ S 3
z ∣ 2 , −1 = 2 (
− )
+ 1 2 3 2 3 ·
2
∆E n, 3
(−
2 ,− 1 = ω 1 2 2 − 1 )
= − 2 6 3 ω
נראה ש־
זאת להשתמש בתורה לא־מנוונת.‏
נדגים על מצב מסויים:‏
נעבור בסיס:‏
אז אלמנטי המטריצה יהיו
לכן,‏
13

B =
{
B 0 r < a
0 r > 0
7 חלקיק קוונטי בשדה מגנטי
בשדה מגנטי
במרחק גדול מהשדה,‏ , R ≫ a מסתובב חלקיק שמאולץ לנוע על טבעת.‏ מסת החלקיק m.
נראה שהשתף המגנטי דרך הסליל שבמרכז המערכת (a r) < בכל זאת משפיע על גדלים פיזיקליים,‏ למרות
שהחלקיק בעצמו אינו מרגיש שדה מגנטי.‏
⃗B = ∇ × ⃗ A = 0 =⇒ ⃗ A = ∇Λ
נמצא את A⃗
יש לנו חופש כיול בבחירה של ⃗ A . נעבוד בכיול קולון ‏(כיול קרינה)‏
⃗∇ · ⃗A = 0
∇ 2 Λ = 0
מהמשוואות הללו,‏ נקבל כי
במקום לפתור משוואה וקטורית,‏ אנחנו פותרים משוואה סקאלרית מסדר שני.‏
נרשום את המשוואה בקוארדינטות גליליות:‏
1
r
∂
∂r
(
r ∂Λ )
+ 1 ( ∂ 2 )
Λ
∂r z 2 ∂θ 2 + ∂2 Λ
∂z
= 0 2 הפתרון = 0 2 Λ = c · θ
⃗A = ∇Λ = C 1 r
∂
∂θ (θ) ˆθ = cˆθ
r
פותר את המשוואה.‏ אזי,‏
אנחנו נדרשים לקבוע את הקבוע C:
הטבעת/דרך הסליל.‏
נרצה להביע את הקבוע באמצעות הפרמטר הפיזיקלי ־ השטף דרך
∫
⃗A · d ⃗ l =
∫∫ (⃗∇
× ⃗ A
)
d⃗s = Φ
נשים לב שהמשוואה = 0 A ⃗ B = ∇ × ⃗ נכונה רק עבור r, ≫ a לעומת זאת,‏ באינטגרל המסלולי שלנו,‏ מדובר
על כל התחום בתוך הטבעת,‏ ולכן האינטגרל הכולל אינו אפס,‏ כי אם השתף,‏ Φ. נחשב את האינטרגל על ⃗ Adl ,
על המסלול הטבעתי ברדיוס R.
∫
Φ =
Adl =
d ⃗ l = R · dθˆθ
∫ 2π
0
( c
R ˆθ)
Rdθˆθ = 2πc
אז האינטגרל,‏
ולכן,‏
C = Φ 2π
⃗A =
Φ
2πr ˆθ
בסופו שלדבר,‏ מצאנו ש־
14

בגלל שהטבעת במישור ,L y = L x = 0 ,x − y הם אינם גדלים רלוונטים לבעיה.‏
⃗p → ⃗p − q c ⃗ A
} {{ }
⃗p mec
⃗L = ⃗r × ⃗p mec = ⃗r × ⃗p − q c ⃗r × ⃗ A
L z = (⃗r × ⃗p)
} {{ z
− q } c rˆr × Φ 2π · ˆθ
} {{ }
− i∂
∂θ
qΦ
2πc
איך Φ משפיע על L z
ממכניקה אנליטית,‏ נזכר שבנוכחות שדה מגנטי,‏
כאשר ⃗p מקיים [p, x] = i ואילו .⃗p mec = mv אי,‏
נחשב את רכיב ẑ של התנע הזוויתי:‏
מצאנו את האופרטור החדש של התנע הזוויתי,‏ ועכשיו..‏
נמצא את הערכים העצמיים של L z
נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית
L z ψ = λψ
(
−i ∂ ∂θ − qΦ )
ψ (θ) = λψ (θ)
2πc
ψ (θ) = e imθ
שפתרונה ,
בגלל שהפונקציה צריכה לקיים תנאי שפה מחזוריים,‏ m הוא שלם.‏ אזי הפונקציות העצמיות אינן משתנות.‏
נציב את הפונקציות העצמיות לתוך המשוואה,‏ ונמצא את הערכים העצמיים:‏
λ = m − qΦ (
2πc = m − qΦ
hc
.Magnetic flux quanta גודל המכונה ,φ 0 = hc
e
H = L2 z
2I
)
עבור אלקטרון,‏ q, = e ואז מגדירים
איך ישתנו רמות האנרגיה‏
R, עבור חלקיק נקודתי ברדיוס z. היא האנרגיה קינטית של גוף מסתובב,‏ ולעניינו,‏ רק בכיוון L2
E m =
[ (
m − qΦ )] 2 (
1
hc 2I =
2
2mR 2 m − Φ ) 2
Φ 0
2I
כאשר
I = mR 2
לכן
,m). קיימת פרבולה שהמינימה שלה הוא ב־(‏‎0‎ , m לכן,‏ לכל E, n ∝ Φ 2
.m = מצב היסוד מתאים ל־‎0‎ , Φ Φ 0
• עבור = 0
Φ
, מצב יסדור מתאים ל־‎1‎ = m ‏(והאנרגיה שלו אינה אפס)‏
Φ 0
• עבור = 3 4
• מה קורה עבור
ולכן,‏ לכאורה,‏ יש ניוון של האנרגיה.‏
m, = ,0 m = 1 יושבים על נקודת החיתוך בין שתי פרבולות.‏ אז יש שני מצבים,‏ Φ Φ 0
= 1 2
הערה 7.1 למשפט (7.5) מקוונטית 1: ללא נוכחות שדה מגנטי,‏ כל המצבים הקשורים יכולים לבהחר כפונקציה
ממשית.‏
15

I = q T , T = 2πR
〈v〉
זרם בנוכחות שדה מגנטי
ולכן,‏
במצב היסוד,‏ עבור
I = q 〈v〉
2πR
〈L z 〉 = m 〈v〉 R =⇒ I = q 〈L z〉
2πmR 2
I =
q Φ
2πmR 2 Φ 0
(n = 0)
∣ Φ Φ 0
∣ ∣∣ <
1
2
כלומר,‏ במצב היסוד,‏ יש זרם קבוע בזמן,‏ שמושפע מהשדה המגנטי!‏
מקרה אמיתי יותר אנחנו תיארנו את האלקטרונים בתוך הטבעת כחלקיקים חופשיים.‏ דה־פקטו,‏ אלקטרון בתוך
מתכת לא זז כל כך חלק.‏
נסתכל על השפעת פוטנציאל ״מפריע״ על הספקטרום.‏
נסתכל על איזור החיתוך בין הפרבולה של = 1 n ל‎0‎ = n, באזור
. Φ Φ 0 יש שני מצבים מנוונים:‏
= 1 2
|0〉 = 1 √
2π
|1〉 = 1 √
2π
e iθ
H in =
( 〈0|V |0〉
) 〈0|V |1〉
〈1|V |0〉 〈1|V |1〉
אזי מטריצת ההפרעה תהיה
איננו יודעים דבר על הפוטנציאל V, אז אנחנו לא יודעים לחשב א תכל אלמנטי המטריצה אבל
〈0|V |1〉 = 〈1|V |1〉
( )
A C
H int =
A
C ⋆
כי המצבים שונים רק עד כדי פאזה.‏ אזי
ולכן
λ ± = A ± |C|
האנרגיה של מצב אחד עלתה,‏ ושל השני ירדה.‏
המערכת.‏
לכן,‏ יהיו טווחי אנרגיה בהם,‏ ללא תלות בשתף,‏ לא תמצא
8 תורת ההפרעות תלויה הזמן
בזמן = 0 t, המערכת נמצאת במצב 〈i| של המילטוניאן H. 0
נשאל שתי שאלות:‏
1. מהי ההסתברת למצוא את המערכת במצב 〈f| בזמן t כלשהו,‏ מאוחר יותר.‏
16

2. מהי ההסתברות שהמערכת ביצעה מעבר למצב 〈f| עד לזמן t
היום נתעסק בשאלה השניה.‏
לפני שתחיל לפתור בעיה קונקרטית נרשום ביטוי לאמפליטודה למצוא את המערכת במצב 〈f|, עד זמן t:
c f (t) = 1 ∫ t
〈f|V |i〉 dte −i(E f −E i)t ′ /
i −∞
(⋆)
U ∼ −⃗p at · ⃗E ∼ −αE 2 ∼ −αI
8.1 מלכודת אופטית לאטומים קרים
הקיטוב של אטום הוא ⃗p at = α · ⃗E . באופן קלאסי,‏
כאשר I היא עוצת האור,‏ וה־E ⃗ הוא של האור.‏
כאשר פותרים בעיה קוונטית,‏ מדברים על המילטוניאן אינטראקציה,‏
h int ∼ −αI (x, y, z)
‏(עבור לייזר משתנה במרחב).‏
בגלל הצורה המרחבית של הליזר,‏ זה ישמש כמו בור פוטנציאל.‏
העוצה של הלייזר במישור הניצב לכיוון ההתקדמות היא גאוסיאן סביב מרכז האלומה,‏ לכן הפוטנציאל,‏ (x) V
יהיה גאוסיאן־הפוך ‏(בור פוטנציאל)‏ ‏(כי ( V = −αI
ניתן לקרב את הפוטנציאל,‏ שנראה כמו גאוסיאן,‏ לאוסצילטור הרמוני.‏ הקרוב הזה טוב עבור רמות האנרגיה
הנמוכות.‏
נשנה את הרוחב,‏ σ, של הלייזר.‏ אז מקבלים
v ≃ 1 2 mω2 (t) x 2
ω (t) = ω 0 + δω (t) = ω 0 + δω cos Ωt
נרשום את
כאשר δω ≪ ω 0
שאלה:‏ מה הסתברות המעבר מרמת היסוד לרמות גבוהות יותר‏
ראשית,‏ נרשום את המילטוניאן ההפרעה:‏
v q (t) = −⃗ρ · ⃗E (t) = 0
v at (t) ∼ 1 2 mω2 (t) x 2 ∼ 1 2 m ( ω 2 0 + 2ω 0 δω cos Ωt ) x 2
H 0 = p2
2m + 1 2 mω2 0
v ′ (t) = mω 0 δω cos Ωt
מאחר ואטומים הם נייטרלים.‏
אזי הפוטנציאל שלנו יהיה
לאחר הזנחת ערכים מסדר גודל של δω 2 אזי
אם המצב ההתחלתי הוא מצב היסוד,‏ אז נחשב את אלמנט המטריצה עבור (⋆)
〈f|v (t) |i〉 ∼ 〈 f|x 2 |0 〉 cos ωt
17

עבור > 2 f, נקבל שאלמנט המטריצה מתאפס,‏ ו־ 〉 0| 2 x|0 〈 גם לא ממש מעניין.‏ אזי
= 〉 |0 2 2|x 〈 ו־
√
2mω0
(
E n = ω n + 1 )
2
• בדו מימד,‏ צריך להיות 1) + y . E n = ω (n x + n
נותר לנו לחשב את האינטגרל ב־ (⋆)
c f=2 (t) = √ δω ∫ t
dt ′ e 2iω0t′ cos ωt ′ dt
2i 0
[
= δω
2 √ e i(ω0− Ω 2 )t sin t ( )
]
ω 0 − Ω 2
+ (Ω → −Ω)
2i
ω 0 − Ω/2
קיבלנו אמפליטודה שתלויה בזמן.‏
היא תלויה בפרמטר Ω, זהו הקצב בו משנים את רחוב העדשה)‏
נחשב את ההסתברות:‏ (t) P, 2=f נקבל שלושה איברים.‏ האיבר הראשון,‏ יהיה
δω 2 sin 2 [ t ( )]
ω 0 − Ω 2
( )
8 ω0 − Ω 2
2
כפונקציה של Ω, האיבר נראה כמו sinc סביב 2ω. 0 כאשר , Ω = 2ω 0 הסתברות המעבר תהיה מקסימלית.‏
לכן,‏ האיבר הראשון תורם בעיקר כאשר . Ω ∼ 2ω 0
יהיה לנו איבר זהה לגמרי,‏ עד כדי Ω−, שמרוכז סביב Ω = 2ω− 0 ואיבר שלישי,‏ שיראה כמו
cos Ωt sin [( ) ] [(
ω 0 − Ω 2 t sin ω0 + Ω
( ) ( )
2
ω0 − Ω 2 ω0 + Ω 2
)
t
]
יש לנו מכפלה שי איבר שמרוכז סביב 2ω 0 באיבר שמרוכז סביב 2ω− 0 . לכן,‏ האיבר הזה לא ממש תורם
בסביבות ה״פיקים״.‏
לסיכום,‏ אם עובדים סביב , Ω ≈ 2ω 0 רק האיבר הראשון תורם באופן משמעותי.‏
8.2 סיפור נחמד
בעיית פיזור במימד אחד:‏ מדרגת פוטנציאל אינסופית,‏ עם חלקיק שמגיע מ־∞−‏ . מדרגת הפוטנציאל היא בגובה
E. ולחלקיק יהיה אנרגיה V 0
כאשר , E < V 0 הסתברות החזרה תהיה .1
( 1 2 לדוגמה,‏ אלקטרונים,‏ אז המשוואה שמתארת
אם חוזרים על אותו תרגיל עם חלקיקים יחסותיים ‏(עם ספין
את הדינמיקה של החלקיקים אינה משוואת שרדינגר,‏ כי אם משוואת דיראק.‏ ברגע שחוזרים על אותו תרגיל
בדיוק ‏(אפילו עבור ∞ = 0 V) מקבלים שהסתברות ההחזרה שונה מ־‎1‎ והסתברות המעבר שונה מ־‎0‎ .
תוצאה שהיא עוד יותר מפתיעה,‏ מתקבלת כאשר החלקיקים חסרי מסה:‏ עבור פרמיונים חסרי מסה,‏ נקבל
שהסתברות המעבר שווה ל־‎1‎‏.‏
זוהי בעיית .Klein tunneling ‏(אותו קליין עם הבקבוק)‏
9 כללי ברירה למעברים אטומיים
לתוך מיכל עם גז דליל ‏(למשל,‏ מימן)‏ מכניסים אור לבן.‏
האור נפלט לכל הכיוונים,‏ משום שלפיזור של האור מתוך הגז אין כיוון מועדף.‏ את האור העבירו דרך מנסרה,‏
וכל אורך גל יצא מזווית אחרת.‏
על מסח שמעבר למנסרה,‏ ניתן לראות שכל אורך גל נקלט בנקודה אחרת על המסך.‏
כשעושים את הניסוי יש רצף דיסקרטי של קווי פליטה.‏ העוצמה של כל אחד מהקווים הספקטרליים היתה
שונה.‏
ננסה להסביר מדוע קווים ספקרליים מסויימים חזקים יותר מאחרים.‏
18

T |i〉→|f〉 = 2π
〈
∣ f ∣ ˆV ∣∣
2
(t) ∣ i〉∣
ρ (E)
קצב המעברים,‏
נתעניין מתי אלמנט המטריצה 〈f| 〈i|V מתאפס.‏ כיוון שאז קצב המעברים ‏(עוצמת הקו הספקטרלי)‏ קטן ‏(מאוד).‏
שולחים גל עם וקטור ŷ
גל מישורי שמתקדם בכיוון , y הקיטוב ‏(הכיוון של השדה החשמלי)‏ ניצב לכיוון ההתקדמות,‏ כלומר,‏ על מישוור
. x − y
.λ ∼ 1µ .ˆk = 2π λ
H =
⃗A = ⃗ Ae i(ky−ωt)
⃗B = ⃗ ∇ × ⃗ A ∼ ⃗ k × ⃗ A
⃗E = − ∂ ⃗ A
∂t ∼ −iω ⃗ A
על ידי בחירת כיול,‏ = 0 φ, נקבל
נכתוב את ההמילטוניאן ונראה איזה איבר בהפרעה שלנו הכי חשוב.‏
(
⃗p − qA
⃗ ) 2
2a
+ V (r)
} {{ }
+γS ⃗ · ⃗B
Columb potential
= p2
2m + V (r) − 2 (
⃗p ·
2m
⃗A + A ⃗ · ⃗p +✟q 2✟ A 2) + γS · B
האיבר q 2 A 2 הוא מאוד מאוד קטן ומאוד מאוד קשה לראות אותו ניסונית.‏
⃗A = ⃗ A (r)
אבל הסקלה שעליו A משתנה היא λ, ∼ µ והסקלת האורך האטומית היא a 0 ו־λ . a 0 ≪ לכן,‏ הנגזרות של a
לפי הקוארדינטה מאוד מאוד קטנות,‏ ו־A ,p מתחלפים.‏
H 0 = p2
2m + V (r)
H = H 0 + W pA + W SB
נשאל את עצמנו איזה איבר הוא הגורם הדומיננטי למעברים בין הרמות‏
נבצע הערכה כללית של האנרגיה שאופיינית לשני האופרטורים הללו.‏
W SB
W pA
∼
q
m kA 0
q
= a 0
m a 0
A 0 λ ≪ 1
a 0 שיקול אפשרי הוא אי־ודאות.‏
סדר הגודל של תנע בתוך אטום הוא
לכן,‏ האיבר הדומיננטי שישרה מעברים אטומיים הוא W. pA נסתכל מתי האיבר הזה לא משרה מעברים:‏ לכן
אמרנו שהמעברים החלשים לא יהיו לגמרי אפס,‏ כי האיבר הנוסף יכול ליצור תיקונים מסדרים גבוהים יותר.‏
ψ n,l,m (r, θ, ϕ) = R nl (x) Y l,m (θ, ϕ)
spin
{}}{
|ξ〉
〈
nlm|⃗p · ⃗A|nlm〉 = 0
אז אנחנו מתעניינים ב־
19

הערה 9.1 יריב הראה לנו בהרצאה שהאופרטורים p⃗ · A⃗ ו־E‏⃗‏ r⃗ · , שקולים עד כדי טרנספורמציית כיול ‏(עד כדי
קבועים).‏ האופרטור p⃗ · A⃗ לא אינוורינטי לכיול,‏ ואילו r⃗, · E⃗ כן.‏ אם נחשב את אלמנטי המטריצה בלי לעשות
טרנספורמצית כיול מתאימה לפונקצית הגל,‏ כדי לבטל את התלות של האופרטור.‏
אם נחשב את אלמנטי המטריצה עם r⃗. · E⃗ לכן,‏ תמיד כדאי להשתמש באופרטור הזה.‏
E (r) ∼ E 0 e iky ∼ = E0 (1 + iky + . . .)
נקח רק את הסדר המוביל של האופרטור,‏ , E ⃗ והקירוב נקרא קירוב הדיפול החשמלי.‏
אזי
⎡
⃗r · ⃗E 0 = ⎣E x sin θ cos ϕ +E
} {{ } y sin θ sin ϕ +E
} {{ } z cos θ⎦ }{{}
r
ˆx
ŷ
ẑ
נשים לב שביטוי הזה הוא,‏ עד כדי קבועים,‏ קומבינציה לינארית של Yים,‏ lm ולכן
= r [(E x − iE y ) Y 1,−1 + (−E x + iE y ) y 11 + y 10 E z ]
E x , E y = 0
⎤
נחשב את אלמנטי המטריצה:‏
נתחיל עם גל מקוטב ב־ẑ‏:‏
〈
⃗r E ⃗ 〉 ∫
=
∫
RnlR ⋆ n′ l ′r3 dr
dΩy ⋆ l ′ m ′y 10y lm
החלק הרדיאלי לא מאפס את האינטגרל אף פעם.‏ (0 = y E, x , E ולכן לא צריך את הצירופים בינהם..)‏ יש
נוסחא כללית לחשב ביטוי כזה,‏ ומתקבל
∼ [Aδ l′ ,l+1 + Bδ l′ ,l−1] δ m′ ,m
מ־m‏,‏ ,δ m′ לכן = 0 ∆m .m ′ − m = נסתכל על שתי הדלתאות אחרות:‏ = ±1 ∆l
כלומר,‏ אלקטרון שנמצא ב־〈‏‎0‎ = m ,|n = 2, l = 0, לא יכול לרדת,‏ לרמת היסוד 0〉 |1, 0, כי ≠ 0 .∆l
למעשה,‏ המעבר היחיד שמותר מ־‎2‎ = n ל־‎1‎ = n הוא מ־〈‏‎0‎ ,2|! ,1
∫
dΩy l′ m ′ (y 1,−1 − y 1,1 ) y lm ∼ [Aδ l′ ,l+1 + Bδ l′ ,l−1] δ m′ ,m±1
גל מקוטב ב־X
לכן,‏ = ±1 m‏∆ו־‎±1‎ = l∆ . הקיטוב קובע איזה מעברים מותרים ואיזה אסורים.‏
המעברים הללו אסורים אך ורק בקירוב דיפול!‏
10 תורת הפיזור ־ קירוב בורן
חתך הפעולה הדיפרנצילי,‏ (ϕ σ, ,θ) אפשר לסמן גם ב־(‏ϕ dσ ,θ) ‏(חתך הפעולה הכולל הוא פשוט σ)
(ϕ σ ,θ) הוא מספר החלקיקים שהתפזרו לזווית dΩ ליחידת זמן,‏ חלקי שטף החלקיקים הנכנס.‏
חתך הפעולה הכולל,‏
∫
σ tot = σ (θ, ϕ) dΩ
אם יש לנו פוטנציאל מפזר,‏ אנחנו מתעניינים בפונקציית הגל רחוק מהמטרה.‏ אם לפוטנציאל יש אורך אופייני
a, אנחנו מתעניינים ב־a r. ≫ כלומר,‏ בצורה האסימפטוטית של פונקציית הגל.‏
20

ψ (x) = e i⃗p⃗r + f (θ, ϕ) · eikr
r
כאשר (ϕ f ,θ) היא אמפליטודת הפיזור.‏
σ (θ, ϕ) = |f (θ, ϕ)| 2
אפשר לקבל משוואה אינטגרלית שנותנת ממש את הביטוי ל־ψ‏,‏ ומשם אפשר לחשב את f.
∫
ψ (r) = e i⃗k⃗r + A
e ik|⃗r−⃗r′ |
|⃗r − ⃗r ′ ·V (r ′ ) · ψ (r ′ ) d 3 r ′
|
} {{ }
green function for free schredinger eq
כלומר,‏ עוברים על כל הנקודות של הפוטנציאל המפז,‏ וכופל את כל הנקודות בפונקציית הגרין ובפוטנציאל.‏ זהו
ביטוי לפונקצית הגל.‏
המשוואה הזו לא ממש עוברת.‏ זוהי משוואה סתומה לא כל כך פתירה..‏
נבצע את קירוב בורן.‏ אנחנו יודעים ש־ ′ r , r ≫ כי r ≫ a ו־ ′ r חסום על ידי a. זה יפשט את הביטוי אבל
עדין ישאיר את ψ בשני האגפים:‏
1
|⃗r − ⃗r ′ | ≃ 1 r
במונה נצרך להיות יותר עדינים,‏ כי שינויים בפאזה הם רגישים יותר,‏ ולכן,‏
|⃗r − ⃗r ′ | = r − ⃗r ′ · ˆr
ψ (r) = e i⃗ k⃗r + A eikr
r
∫
e i⃗q·ˆr′ V (r ′ ) ψ (r ′ ) d 3 r
לכן,‏ נקבל,‏
כאשר ⃗q = ⃗ k i − k f ˆr .
קירוב בורן:‏ נניח שעיקר החלקיקים לא מתפזרים:‏ הם מתפזרים במסלול המקורי:‏ הגל המישורי שמכניסים
למערכת.‏ לכן,‏ פונקציית הגל מסדר אפס היא
ψ 0 = e i⃗ k⃗r
פונקציית הגל המתוקנת,‏ מסדר ראשון,‏ תהיה
∫
ψ (1) = e i⃗k⃗r +
e i⃗q⃗r V (r)
e i⃗ k⃗r
{}}{
ψ 0
) (n) ψ היא הפונקציה המתוקנת מסדר , n ולא רק ה״תיקון״)‏ אחר כך,‏ מציבים איטרטיבית.‏
לכן,‏
f (θ, ϕ) = − m
2π 2 ∫
e i⃗q·⃗r V (r) d 3 r
זו בסך הכל התמרת פורייה תלת מימדית של הפוטנציאל!‏
דרך אחרת להסתכל עליו:‏ אלמנט המטריצה 〉 f k〉. i V| k|
21

10.1 תרגיל
גוף המורכב מ־‎3‎ כדורים בניצב לציר . z שלושת מרכזי הפיזור מופרדים במרחק D אחד מהשני.‏
הפוטנציאל המתאים לכל אחד ממרכזי הפיזור הוא
u (r) = gr 2 e −αr2
זה דומה למולקולה עם שלושה אטומים זהים.‏ נרצה לראות איך נראה חתך הפעולה.‏
• נראה שאמפליטודת הפיזור ניתנת לכתיבה כאמפליטודה של מפזר יחיד כפול איבר התאבכות
f (θ, ϕ) = F (V (r)) = F
F
[ (
u ⃗r − D ⃗ )
(
+ u (⃗r) + u ⃗r + D ⃗ )]
( (
u ⃗r − D ⃗ ))
= e i⃗q ⃗D F [u (⃗r)]
האמפלטודה,‏
נשתמש ב־
f (θ, ϕ) =
(
e i⃗q ⃗D + 1 + e −i⃗q ⃗ D ) F [u (r)]
לכן,‏
הוא איבר ההתאבכות.‏
(
e i⃗q ⃗D + 1 + e −i⃗q ⃗ D ) =
(
)
e i⃗q ⃗D + 1 + e −i⃗q D ⃗ הוא מפזר יחיד ו־ F [u (r)]
sin
sin
(
3
2 ⃗q D ⃗ )
(
1
2 ⃗q D ⃗ )
ו־
• נחשב את אמפליטודת הפיזור של מפזר יחיד,‏ [(r) F u]
∫
f (θ, ϕ) ∝
r 2 e −αr2 e i⃗q·⃗r d 3 r
במקום ,r 2 . ∫ V rdr
=
∫ 2π
0
dϕ
∫ ∞
0
r 2 e −αr2 r 2 dr
∫ π
0
נשים לב ש־qr .⃗q · ⃗r = qr cos θ ,⃗q · ⃗r ≠
iqr cos θ
sin θdθ e
נחליף משתנים:‏ cos θ = x ו־dx‏−‏ sin θdθ = ולכן,‏ מהאינטגרציה הזוויתית,‏ נקבל
=
∫ ∞
0
sin qr
iqr
( ) sin (qr)
r 2 e −αr2 r✄ 2 dr
iq ✁ r
והאינטגרל הכולל יהיה
( )
sin qr
iq
נשים לב שהפיתוח עד כה נכון לכל פוטנציאל רדיאלי.‏ תמיד,‏ האינטגרל יהיה
∝
(
− ∂ ) ∫ ∞
e −αr2 r sin (qr) dr
∂α 0
נגזור את e −αr2 לפי α.
22

∞ ∫ ולהוסיף פקטור . 1 2 = −iqr e
הפונקציה היא פונקציה זוגית,‏ ולכן ניתן להחליף את האינטגרציה ל־
−∞
qr) i, (cos qr − i sin נוכל להחליף את הקוסינום ב־ , e −iqr בגלל שהאינטגרל על ה־cos יתאפס,‏ ולכן,‏
∝ 1 2
(
− ∂
∂α
) ∫ ∞
e −αr2 re −iqr
−∞
, i ∂ ∂q ונקבל,‏
(
∝ − ∂ ) (
i ∂ ) ∫ ∞
e −αr2−iqr dr
∂α ∂q −∞
√ π
q2
2
e− 4α
נחזור על הטריק ונחליף את ה־r הבודד ב ־
והאינטגרל הוא התמרת פורייה חד מימדית של גאוסיאן,‏ שהולכת כמו
ולאחר שגוזרים ומכניסים את הקבועים,‏ מקבלים,‏
= − 3gm√ )
π
2 2 α − 5 α
(1 − q2
6α
(. q 2 = 4 |p| 2 sin 2 נקבל θ 2 , |p i| = |p f | עבור פיזור אלסטי,‏ ,θ, ϕ ולכן הוא כולל את הזוויות ⃗q = ⃗p i − ⃗p f )
עבור זוויות מסויימות,‏ הביטוי יתאפס.‏ כאשר . σ (θ) = 0 , q 2 = 6α
זה דבר מאוד בולט בפלט פיזור:‏ נראה שבזוויות מסויימות,‏ לא נקבל חלקיקים כלל.‏
כשמסתכלים על חתף פעולה כללית,‏ יש אפסים שנובעים בגלל אמפלטודה של מפזה יחיד ואפסים שנובעים
מאיבר ההתאבכות.‏
• מהו התנאי לאפסים בגלל איבר ההתאבכות‏
⃗ D) sin( 3 2 ⃗q מתאפס,‏ והמכנה לא.‏ כלומר,‏ כאשר
sin( 1 2 ⃗q D) ⃗
[
3
2 ⃗q D ⃗ 1
= nπ ∧ ¬
2 ⃗q D ⃗ = nπ]
כאשר המונה של הביטוי
כאשר המכנה מתאפס,‏ גם המונה מתאפס,‏ ולכן הגבול שלהם הוא סופי.‏ כאשר המכנה מתאפס,‏ נקבל מקסימה
של חתך העולה.‏
המקסימות יתקבלו כאשר
1
2 ⃗q · ⃗D = nπ
cos ( θ
2)
נקבל מספר חסום של מקסימות,‏ בגלל ש־ ≤ 1
23