Studio geotecnico e termico di un impianto geotermico a sonda ...

2.4 Concetti fondamentali di conduzione termica 33
2.4.2 La conduttività termica dei materiali
Secondo l’ipotesi di Fourier si può attribuire alle sostanze una grandezza fisica denominata
conduttività termica che in generale dipende, oltre che dallo stato e natura della sostanza, anche
dalla temperatura e dalla pressione. Questa grandezza fisica è normalmente determinata per
le varie sostanze sperimentalmente secondo diversi metodi, molti dei quali sono basati sulla
misura del flusso termico e del gradiente di temperatua. Per maggiori dettagli si fa riferimento
a testi specializzati [16] [8]
2.4.3 Equazione generale della conduzione
Lo studio del calore per conduzione all’interno di un mezzo, comporta l’analisi del campo
termico al suo interno, ossia la precisazione della funzione introdotta nell’equazione 2.16. Tale
funzione può essere ottenuta dalla risoluzione dell’equazione generale della conduzione, che
esprime il bilancio di energia di un sistema sede di propagazione del calore per conduzione.
Il bilancio energetico può essere impostato su un generico volume di controllo oppure su un
elemento infinitesimo, individuati all’interno del mezzo. A tale fine consideriamo un cubetto
elementare di volume dV tenendo presenti, per semplicità, le seguenti condizioni:
a) il mezzo è costituito da un solido opaco a baricentro fermo, con propietà fisiche definite
e indipendenti dal tempo;
b) le variazioni di volume, conseguenti alle variazioni di temperatura, sono trascurabili in
confronto al volume stesso;
c) le sorgenti di calore interne descritte da ˙q(x,y,z) rappresentano l’energia generata per
unità di volume, nell’unità di tempo.
L’equazione generale della conduzione si ricava applicando all’elemento infinitesimo considerato
il primo principio della termodinamica 2.1 che nelle condizioni precisate (dE = dU,
dL = 0), può essere così formulato: nell’intervallo di tempo dτ, la quantità di calore dQ
scambiata per conduzione dall’elemento, più quella generata all’interno ˙qdV dτ, è uguale la
variazione di energia interna dU della sostanza contenuta nel volume; per maggiori dettagli si
rimanda al libro [16]. Riportiamo, omettendone la dimostrazione, l’equazione generale della
conduzione del calore nella forma:
∂
∂x
(
k ∂T
∂x
)
+ ∂ ∂y
(
k ∂T )
+ ∂ (
k ∂T )
+ ˙q=ρc ∂T
∂y ∂z ∂z ∂τ
(2.23)
ovvero in notazione vettoriale:
∇(k∇T)+ ˙q=ρc ∂T
(2.24)
∂τ
Infine, nel caso di un mezzo omogeneo e isotropo con conduttività termica costante risulta:
a∇ 2 T + ˙q ρc = ∂T
∂τ
(2.25)