Potere prezzi e distribuzione in economie mercantili caratterizzate ...

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Osservazione. Con una funzione di utilità U~(x.), , , ovunque ben
definita, continua a tratti e discontinua a livello di sussi
stenza (x~), l'insieme _~.(z.) è chiuso
, " ,
Vz,..
Dimostrazione. Come è noto, l'insieme y.(z.) di cui alle pagg.
l ,
11-2, è compatto per costruzione V z.. , Allora, poiché ., U~(X.) ,
è ovunque definita, si può sempre individuare un elemento mas
simale per u~ I
l
Y. ( Z. )•
l ,
Per quanto visto nella sezione A, si verifica una sola delle
seguenti due alternative:
1) u* > .O
2) u* = O
l) u* > O: in questo caso, u* si trova nel tratto continuo
a destra di x~, chiuso rispetto a x~, della funzione di uti
-l
lità. Data tale regolarità di comportamento, si ha che U~ (u*)
l
è 'chiuso, da cui discende la chiusura di _~.(z. l, per
" l
sua stessa definizione.
l ,
2) u* = O: in tal caso u* si trova nel tratto continuo, a si
n,s . t ra d', xi' s
de11 a f unzione di utilità.
Per le definizioni nell'Appendice, Sez. A,
ed A è aperto.
Tuttavia, è di immediata verifica che se
( 31)
V Z. E y. (Z. ), U~ ( z.+: :X. ) (32)
, , l l 1 1