Potere prezzi e distribuzione in economie mercantili caratterizzate ...

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- 43 Tenendo presente che p può variare in modo continuo su [0,1], quanto sopra si può esprimere con (29) (30) che dimostra la discontinuità di UO(x) a x . s Q. E. D. B) Si i ntende qui mostrare come la (prova di) esistenza dell'equilibrio economico generale non-walrasiano dimostrata in P.M. Pacini, rimanga valida quando si adotti una funzione sistenza. come di utilità continua a tratti e discontinua a livello di susquella esaminata nella sezione precedente. La dimostrazione è fatta con riferimento diretto all 'articolo appena richiamato. l'introduzione di una funzione di utilità discontinua potrebbe inva1idare la dimostrazione di esistenza a proposito del requisito della chiusura dell'insieme Vz., del Lemma 4. Tale problema è affrontato '~I (ii ) • l nella seguente osservazione. Adotteremo, per comodità. stessi simboli usati nel Lemma 4. pagg. 11-12. gli
_ 44 _ Osservazione. Con una funzione di utilità U~(x.), , , ovunque ben definita, continua a tratti e discontinua a livello di sussi stenza (x~), l'insieme _~.(z.) è chiuso , " , Vz,.. Dimostrazione. Come è noto, l'insieme y.(z.) di cui alle pagg. l , 11-2, è compatto per costruzione V z.. , Allora, poiché ., U~(X.) , è ovunque definita, si può sempre individuare un elemento mas simale per u~ I l Y. ( Z. )• l , Per quanto visto nella sezione A, si verifica una sola delle seguenti due alternative: 1) u* > .O 2) u* = O l) u* > O: in questo caso, u* si trova nel tratto continuo a destra di x~, chiuso rispetto a x~, della funzione di uti -l lità. Data tale regolarità di comportamento, si ha che U~ (u*) l è 'chiuso, da cui discende la chiusura di _~.(z. l, per " l sua stessa definizione. l , 2) u* = O: in tal caso u* si trova nel tratto continuo, a si n,s . t ra d', xi' s de11 a f unzione di utilità. Per le definizioni nell'Appendice, Sez. A, ed A è aperto. Tuttavia, è di immediata verifica che se ( 31) V Z. E y. (Z. ), U~ ( z.+: :X. ) (32) , , l l 1 1
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