Trave appoggiata.

Trave appoggiata.
Determinare le reazioni vincolari per l’elemento illustrato in figura.
Tracciare le caratteristiche di sollecitazione.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Lo spostamento di una forza con componente orizzontale al baricentro della trave richiede di tenere conto del momento
flettente localizzato.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Traversa porta-carrucola.
L’elemento a trave in figura sopporta, ad un proprio estremo, una carrucola per il sollevamento di carichi.
Siano P = 2000 N, a = 940 mm, b = 560 mm e α = 60°.
Dopo aver trovato le reazioni dei vincoli, si traccino gli andamenti delle caratteristiche di sollecitazione. La traversa sia
scelta con sezione a doppia T o rettangolare cava. Si disponga la sezione in maniera da garantire la massima rigidezza
della trave e si determini il valore massimo della freccia. Si studi gli effetti del raggio della carrucola e dell’apertura α
per il della fune sulle caratteristiche di sollecitazione.
a
b
α
F
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
La sezione trasversale può essere rettangolare cava con quote di ingombro esterno 40x60 mm e spessore 3 mm. Lo
spostamento, al baricentro della trave, di una forza con componente orizzontale richiede di tenere conto del momento
flettente localizzato.
P
PMARlab – Michelini e Razzoli

Carico in bandiera.
Determinare le reazioni vincolari per gli elementi AC e BD illustrati in figura.
Studiare come queste variano se l’elemento RD forma l’angolo α = ± 15° rispetto all’orizzontale.
Tracciare le caratteristiche di sollecitazione per i due elementi.
Scegliere il profilo più idoneo per la trave AC nei casi: α = 0 e α = ± 15°.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Il profilo di AC è da discutere in relazione al momento flettente ed al carico normale.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Tira-fune articolato.
Sia dato il sistema in figura.
Siano: F = 1000 N, a = 300 mm, b = 200, m, l = 400 mm e α =30°.
Dopo aver trovato le reazioni dei vincoli, si traccino gli andamenti delle caratteristiche di sollecitazione. Si vernichino a
resistenza le due travi, supposte a sezione a doppia T (o rettangolare cava), calcolando la deflessione all’estremo l. Si
calcoli la coppia da applicare attorno alla cerniera A dell’elemento a squadra, per riportare tale estremo a livello.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Le reazioni sono immediatamente ricavabili con l’equilibrio del telaio. Il calcolo della freccia deve integrare una trave
(non rettilinea) con carico a sbalzo, tenendo conto del cedimento dell’appoggio intermedio, dovuto ad accorciamento e
rotazione dell’elemento a squadra.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Putrella a squadra con asta di livello.
Sia dato il sistema in figura (il valore del carico tiene conto dell’effetto del peso proprio, concentrato in mezzeria).
Siano: F = 5 000 N , a = 2000 mm, b = 3000, c =2800 mm, l = 500 mm e α = 60°.
Dopo aver trovato le reazioni dei vincoli, si traccino gli andamenti delle caratteristiche di sollecitazione. Una volta
dimensionato a resistenza (con uso di nomal-profili idonei), si calcoli di quanto deve essere variato l’angolo α, con lo
spostamento dell’attacco al suolo dell’elemento inferiore, per riportare allo stesso livello i due estremi della porzione
orizzontale della putrella a squadra.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Le reazioni sono immediatamente ricavabili con l’equilibrio del telaio. L’elemento inferiore è un ‘tirante’; l’entità della
componente verticale dell’allungamento deve essere corretta per includere l’accorciamento del tratto verticale della
putrella a squadra.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Mensola contro-ventata.
In figura è schematizzata una traversa sorretta da due aste inclinate allo scopo di impedirne l’imbardata a seguito di
spinte trasversali. La forza agente all’estremità sia diretta verso il basso e abbia intensità P=10.000 N. In corrispondenza
dei punti A, B, C e M la struttura è vincolata per mezzo di cerniere sferiche (A, B e C giacciono sullo stesso piano
verticale fisso).
Si dimensionino, scegliendo il materiale, i tre elementi, adottando per le aste oblique una sezione quadrata cava ed il
profilo che si ritiene più opportuno per l’elemento orizzontale.
1000 1000
P
A
M
B
C
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Le reazioni sono immediatamente ricavabili con l’equilibrio del telaio. La simmetria permette di studiare la trave in un
piano. Il profilo della trave deve tenere conto dell’andamento del momento flettente.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Leva tira-tubi.
In figura è illustrata la fase di assiemaggio manuale di due spezzoni di tubo. Quando l’operatore applica il carico F
all’estremità della leva del semplice dispositivo indicato, l’estremità conica di un tubo è forzata nell’imbocco del tubo
ospitante. Sapendo che, per assicurare un montaggio stabile, la componente della forza di inserzione lungo l’asse
comune dei tubi deve essere pari a 2 000 N.
Dati: a = 180 mm, b = 1 500 mm, β = 20°, α = 28°
Si determini il tiro T nella fune e la forza F. Si traccino i diagrammi di sollecitazione per la leva e si individui per essa
la geometria (profilo, sezioni) che ne garantisce la resistenza, scegliendo il materiale.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Le reazioni sono ricavabili con l’equilibrio della leva. L’operazione è pensata in due fasi: prima l’avvicinamento dei
tubi (con trascinamento del peso); quindi l’inserzione. La leva deve risultare convenientemente leggera e maneggevole.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Rotaia inclinata.
In figura (a sinistra) è mostrato lo schema di una rotaia per la movimentazione obliqua di carichi, grazie a un carrello le
cui ruote insistono sulle ali del profilo a T della rotaia (figura a destra).
Si consideri un carico massimo P, mobile lungo la guida AB incernierata per un estremo ad un tirante e per l'altro al
soffitto dello stabilimento.
Si trascurino gli effetti della massa distribuita.
Dati (le unità di misura sono mm e N): lunghezza AB: 3000
angolo CAB: 15°; angolo ACB: 35°
peso P: 1500
distanza del baricentro G dall'asse della rotaia: 400
Individuate per quali posizioni del carico si hanno sollecitazioni massime per il tirante BC e per la rotaia AB, per
entrambi i casi, si richiede:
1 il calcolo delle reazioni in A e in C
2 i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione per il tratto AB
3 i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione per il tratto CB
4 la scelta della sezione per la rotaia AB
5 la scelta della sezione per il tirante BC
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Nelle equazioni d’equilibrio, occorre ricordare la coppia (localizzata) dovuta allo scostamento del baricentro del carico
dall’asse della rotaia. I due casi richiesti sono di immediata definizione.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Leva di manovra.
Determinare le componenti delle reazioni vincolari in D ed in B per la leva di comando ED mostrata in figura.
Tracciare le caratteristiche di sollecitazione. Valutare lo stato di tensione e sceglierne le sezioni, considerando la
soluzione costruttiva per l’asola in corrispondenza del punto B, in cui la sede per accogliere l’estremo B dell’asta AB è
ottenuto saldando due barre piatte ai due tronconi della leva, come illustrato schematicamente.
Siano: EB=400 mm, BD=160 mm, a=120 mm
Fissata la corsa dello stantuffo D, l’analisi è da ripetersi per diversi angoli d’inclinazione della leva, ed angolazioni fra
leva e puntone per fissare le condizioni di pompaggio ottimali (per esempio, con contro-pressione costante).
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Le reazioni sono immediatamente ricavabili con l’equilibrio della leva. Il raddoppio della sezione resistente in B è
buona norma, come risulta dalle verifiche.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Biella a pattino inclinato.
In figura è indicato il sistema biella-manovella che esercita una forza costante F sul pattino. Si individui l’angolo θ per
cui risulta essere massimo il momento M da applicare in A, si traccino le caratteristiche di sollecitazione nei due
elementi AB e BC e se ne dimensionino le sezioni, previa scelta del materiale da costruzione.
Dati:
a = 200 mm b = 600 mm F = 3000 N
B
A
a
θ
b
C
F
M
170°
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Calcolate le reazioni (forza e momento) in A, si tracciano le caratteristiche. Si trova il massimo di M in funzione della
direzione (assegnata) di F, e si completa il dimensionamento. La scelta del materiale è vincolata al tipo di impiego.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Telaio di bicicletta.
Si voglia realizzare un telaio di bicicletta, secondo le specifiche date nelle figure (tratto AB orizzontale, dimensioni in
mm.), utilizzando dei tubi di acciaio (tensione di snervamento σy = 240 MPa). Data la forza F = 1500 N, supponendo le
reazioni R 1 e R 2 verticali e che i collegamenti siano schematizzabili come cerniere, determinare:
- le caratteristiche di sollecitazione nei diversi tratti
- le sezioni dei tubi
- la massa del telaio.
A
600
F
B
R 1
R 2
550
VISTA LATERALE
700 500
D
C
400
A
C
D
1
D 2
VISTA DALL'ALTO
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Le reazioni verticali sono immediatamente ricavabili con l’equilibrio del telaio nel suo insieme.
Occorre poi procedere partendo da un nodo in cui sia nota la forzante, ad esempio il nodo A: il tubo orizzontale e quello
obliquo sono aste scariche e con l’equilibrio si trovano gli sforzi normali entro esse. La azione del tubo orizzontale, una
volta determinata, è sommata vettorialmente alla forza F; il tubo orizzontale può così essere eliminato: in B si avranno
due aste BC e BD scariche con carico esterno noto; con l’equilibrio si trovano le azioni nelle aste, ecc.
BD, in realtà, non è un elemento singolo ma è costituito da due foderi obliqui, così come CD; le azioni sul singolo
fodero saranno la metà di quelle individuate.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Gru snodabile.
Si abbia la gru di sollevamento indicata in figura 1, avente doppio azionamento in elevazione, e braccio sfilabile (in
posizione di massimo). Con riferimento alla rappresentazione (fortemente) semplificata di figura 2, e supponendo di
voler realizzare i diversi tratti con degli scatolati rettangolari cavi (in acciaio al carbonio avente σsn = 400 MPa) di
spessore 10 mm, si determinino:
- le caratteristiche di sollecitazione nei tratti AB e BD
- le sezioni dei profilati, tenendo conto che CD dovrà poter scorrere all'interno di BC.
Fig. 1 - Gru in posizione di massima elongazione del braccio.
4m
6.5m
2m 0.8m
3m
B
0.8m
C
F
D
A
15°
21°
Fig. 2 - Schema semplificato.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
I cilindri idraulici lavorano come puntoni/tiranti (sono aste scariche, con sezione variabile).
Sul braccio BC agisce un momento flettente concentrato a causa del fatto che l’azione del pistone è disassata di 0.8 m.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Telaio per macchina di trazione.
Si abbia da dimensionare il telaio di una macchina per prove di trazione il cui ingombro é mostrato in figura.
Supponendo di scegliere come materiale da costruzione un acciaio al carbonio (σsn = 450 MPa), si determinino:
- le caratteristiche di sollecitazione nei diversi tratti;
- la sezione maggiormente sollecitata;
- le sezioni dei profilati;
- le tensioni principali nel punto più sollecitato.
250 mm
F=10000 N
1600 mm
simbolo per cerniera
Nota: la struttura è simme
F
500 mm
250 mm
Schizzo del telaio
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Per la simmetria, basta riferirsi a mezza struttura (incastro in mezzeria).
Scelte le sezioni (per esempio, scatolati rettangolari, convenientemente orientati) si trovano caratteristiche e tensioni
locali. Simmetria e cerniere permettono di non porre tolleranze sulle frecce.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Braccio per bancale di misura.
Il braccio B ruota intorno all’asse della colonna C fissata ad una bancale (vedasi figura). All’estremità del braccio é
applicato un carico verticale F = 2000 N. Si richiede che lo spostamento verticale dell’estremo de braccio non superi
fmax = 9 mm.
1) Si trovino le caratteristiche di sollecitazione nel braccio e nella colonna.
2) Si dimensionino il braccio e la colonna, scegliendo il materiale da costruzione.
1000 mm.
B
F
800 mm.
C
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Scelte le sezioni, si trovano caratteristiche e tensioni locali. Quindi si scrivono le equazioni delle linee elastiche, da
integrare, per trovare inclinazioni e frecce.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Supporto smontabile.
In figura é mostrato lo schizzo tridimensionale di un montante da fiera, atto a sorreggere all’estremità un carico
massimo P = 5000 N.
Il braccio, ai fini di un rapido smontaggio, è fissato ai due montanti per mezzo di tre spine cilindriche (situate ai vertici
di un triangolo); i montanti sono saldati su di una piastra la quale a sua volta è imbullonata al basamento.
Dati:
• lunghezza braccio b = 1200 mm
• altezza montanti h = 1800 mm
Si richiede il dimensionamento del braccio, del montante, delle spine e dei bulloni, scegliendo il materiale.
Per la forma dei montanti, si scelga il profilo più opportuno; il braccio, invece, dovrà essere un profilato cavo.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
L’effetto della coppia dell’elemento a mensola è ripartito sulle tre spine. La verifica di queste tiene conto del taglio.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Supporto per carichi a direzione variabile.
In figura è mostrato un sistema costituito da una asta con tirante, che sopporta un carico F = 6 kN, dovuto al tiro di funi,
con direzioni variabili entro un semipiano.
1) Si trovino le caratteristiche di sollecitazione nell’asta e nel tirante per i casi:
a) forza diretta verso il basso (come in figura)
b) forza diretta verso destra
c) forza diretta a 30° rispetto all’orizzontale
d) forza diretta verso l’alto.
2) Si dimensionino asta e tirante per la condizione di carico più gravosa, scegliendo il materiale da costruzione ed
adottando per la sezione dell’asta un profilo a “T” (convenientemente orientato).
d)
c)
b)
a)
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Si tracciano le caratteristiche e si trovano tensioni locali.
Può essere indicativo, anche, trovare le frecce dell’estremo dell’asta.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Levismo a squadra.
In figura è illustrato lo schizzo tridimensionale di un meccanismo di bloccaggio.
Le leve K e L sono saldate all’alberino “a”. Sull’estremità della leva L agisce un carico P che deve essere contrastato
dalla forza F applicata perpendicolarmente alla leva K; i supporti C e B sostengono i perni di estremità “e” dell’albero
“a” (albero e perni sono ricavati di pezzo ed attraversati da un foro passante).
Dati:
lunghezza di “a”: 90 mm (esclusi i perni)
larghezza supporti B e C (in direzione y): 18 mm
distanza tra “s” e K: 20 mm
distanza tra L e K: 30 mm
lunghezza di K (dall’asse dell’albero): 150 mm
lunghezza di L (dall’asse dell’albero): 90 mm
diametro esterno albero: 30 mm
altezza dello spallamento “s”: 3 mm
P=800 N
angolo tra P e piano x-y: 50°
angolo tra K e piano x-y: 30°
angolo tra K e L: 90°
Si richiede:
• la valutazione della forza F;
• il tracciamento delle caratteristiche di sollecitazione per le leve K e L, per l’albero “a” e per i perni “e”;
• il dimensionamento della leva K (scelta dello spessore);
• il dimensionamento della leva L (scelta dello spessore);
• la determinazione del diametro del foro passante.
Soluzione numerica (Unità: Nmm, mm, N):
P è inclinata di 20° rispetto a L.
F*150=Pcos20°
F=451
Leva L:
Taglio: Pcos20°=752; Normale: Psen20°= -274; Momento massimo=752*(Lungh.L-Dalbero/2)=56400
Leva K:
Taglio: F=451; Momento massimo=451*(Lungh.K-Dalbero/2)=60885
Pz= Psen50°=-613 ; Px= Pcos50°=-514 ; Fx= Fsen30°=225 ; Fz= Fcos30°=-390.
Albero a:
Piano x-y
Taglio. Tratto CK: 69 - Tratto KL: 294 - Tratto LB: -220
Momento. Tratto CK: max 2001 - Tratto KL: max 10820. In C e B: 0
Momento torcente=451*Lungh.K=67650.
Piano z-y
Taglio. Tratto CK: 563 - Tratto KL: 173 - Tratto LB: -440
Momento. Tratto CK: max 16327 - Tratto KL: max 21560. In C e B: 0
La sezione più sollecitata è in corrispondenza di L. Momento Composto=24100.
Scelta del materiale: Acciaio AISI 1015, in barre laminate a freddo, di diametro tra 19-32 mm
PMARlab – Michelini e Razzoli

Composizione (%): C 0.12 - 0.18; Fe 99.13 - 99.58; Mn 0.3 - 0.6; P Max 0.04; S Max 0.05
Carico di rottura:385.
Limite di snervamento: 325.
Allungamento a rottura(%): 18.
Durezza Brinell: 111.
Dimensionamento, utilizzando un fattore di sicurezza.
Il perno in C è il più sollecitato. Esso ha un diametro 30-3*2=24 mm.
Taglio composto (somma vettoriale di 563 e 69): 567
Momento composto: 567*9 (semilunghezza perno)=5105.
Dimensionamento a momento flettente: con un Diam. Interno di 23 si ha una tensione normale di 24 MPa.
Dimensionamento a taglio: a causa della limitata lunghezza dell’elemento occorre verificarne la resistenza:
a taglio. L’area della corona circolare è 37. La tensione di taglio è 567/37=15.
Verifica dell’albero. Diametro esterno: 30; diametro interno: 23. Tensione: 37.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Paranco a fune.
Si voglia dimensionare l’apparato di sollevamento schematicamente rappresentato nella figura seguente. Il carico sia
sollevato da una fune metallica azionata da un tamburo, posto al suolo in prossimità della colonna. Per semplicità, nel
problema statico, l’estremità della fune può essere vincolata a terra. La fune è guidata da due carrucole (nota: la
carrucola in B appartiene al tratto AB). Supponendo di scegliere come materiale da costruzione un acciaio al carbonio
(σsn = 240 MPa), si determinino:
- le caratteristiche di sollecitazione nei tratti AB, BC, DE;
- la sezione maggiormente sollecitata;
- le sezioni dei profilati.
(NB: un primo calcolo può ritenere il raggio delle carrucole trascurabile; in alternativa, riportare la forza sull’asse
implica aggiungere un momento localizzato).
IPOTESI DI SOLUZIONE.
Fig. 1. Schema unifilare (I vincoli sono: in A incastro, in B,D,E cerniere).
Con il teorema dei seni si valutano per prima cosa le diverse lunghezze dei membri:
DB = 1m
DE
sen Dˆ B E = DB
sen Bˆ E D = BE
sen BD ˆ E
DE = DB sen105°
sen 30° =1.93m
BE =1.41m
a) Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione.
Per la loro determinazione é necessario dapprima individuare le forze ed i momenti che gli elementi della struttura si
scambiano reciprocamente. Si adotta, cioè, il diagramma del corpo libero, pensando di isolare un elemento dalla
struttura completa ed applicando alle sezioni, che si sono venute a creare in seguito alla sconnessione, le azioni (forze e
momenti) necessarie a mantenere l'elemento nelle condizioni in cui si trovava prima dello scollegamento (nel caso in
oggetto: condizioni di equilibrio statico).
Tratto BC
Isolando il tratto BC e considerando le forze note ed incognite si ha lo schema di Fig. 2. Si osservi come all'estremo C
agisce oltre alla forza peso del carico F anche il tiro della fune che, per poter sorreggere il carico, occorre sia diretto
verso il punto B e con valore uguale alla forza F.
y
+
+
x
+
R By
B
R B
R Ey
R E
R Bx
E
15° 45°
Fig. 2.· Forze su BC.
R Ex
F
C
F
PMARlab – Michelini e Razzoli

Si possono fare alcune semplificazioni poiché:
- nel punto E (cerniera) non si ha un momento flettente;
- la reazione R E provocata dall'asta DE ha la stessa direzione del suo asse essendo DE compresa tra due cerniere.
y +
+
x
+
955
E
881
1654
C
676
773
B
15°
45°
279
Fig. 3. · Azioni su BC.
Prendendo per comodità un sistema di assi cartesiani con x in direzione dell'asse del tratto BC, ed imponendo
l'equilibrio alle traslazioni ed alle rotazioni, si hanno le seguenti equazioni (per le componenti dei vettori delle forze):
∑ F x
= 0 ⇒ R Bx
+ R Ex
− F − Fsen(15°) = 0
∑ F y
= 0 ⇒ R By
+ R Ey
− Fcos(15°) = 0
∑ M B
= 0 ⇒−R Ey
BE + F cos(15°)BC = 0
R Ey
= tan(30°)
R Ex
che, sostituiti i valori numerici, conducono a:
R Bx
=−773 N
R By
=−279 N
R Ey
= 955 N
R Ex
= 1654 N
I valori negativi ottenuti per le componenti della reazione RB (i cui versi erano stati scelti arbitrariamente) stanno a
significare che i versi reali sono opposti a quelli assunti. La condizione di carico su BC è, scomponendo la forza F del
carico secondo i due assi cartesiani, quella indicata in Fig. 3.
I diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione sono indicati in Fig. 4.
N [N]
B
773
E -881
C
T [N]
B
-279
E
676
C
M [Nm]
B
E
C
-392
Fig. 4.· Caratteristiche di sollecitazione per BC.
La sezione maggiormente sollecitata è in corrispondenza del punto E, in si ha: N= -881 N (compressione), T= 676 N,
M= 392 Nm.
Tratto DE
Nel punto E é applicata una forza di modulo uguale (1654/cos(30°) = 1910 N) e di verso opposto a R E , Fig. 5). L'unica
forza agente é un carico normale di compressione (Fig. 6).
PMARlab – Michelini e Razzoli

1910
E
15°
45°
1910
D
Fig. 5.· Forze su DE.
N [N]
D
E
-1910
Fig. 6.· Caratteristica di sollecitazione per DE.
Tratto AB.
Per il tratto AB si riportano le azioni esercitate dai membri BC e DE, oltre alle forze indotte dalla fune ed alle reazioni
(incognite) che l'incastro produce. Si ha lo schema di Fig. 7.·
279 700 773
15°
B
1351
700
B
49
45°
+
x
+
x
1910
D
+
y
+
1351
1351
D
+
y
+
R Ay
R Ay
M A
M A
A
A
R Ax
R Ax
Fig. 7.·· Forze su AB e loro scomposizione lungo x e y.
Per l'equilibrio:
R Ax
= 0
R Ay
=1400 N
M A
=−1351 Nm
In Fig. 8·sono riportati i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione.
N [N]
A
D
B
-1400
-49
T [N]
A
D
1351
B
M [Nm]
A
-1351
D
B
PMARlab – Michelini e Razzoli

Fig. 8.·· Caratteristiche di sollecitazione per AB.
Le sezioni più sollecitate sono:
1) quella all'immediata sinistra del punto D in cui N=-1400 N, T=0, M=-1351 Nm
2) quella all'immediata destra del punto D in cui N=-49 N, T=1351, M=-1351 Nm
Scelta del profilato per il tratto AB.
Si ricorda che una trave é definibile tale quando la sua lunghezza l sia molto maggiore della massima dimensione della
sezione trasversale d. Ora, per una trave è possibile trascurare il taglio rispetto al momento flettente, poiché le tensioni
di taglio dovute al taglio sono piccole rispetto alle tensioni normali indotte dal momento flettente.
Le caratteristiche da considerare per il dimensionamento saranno, dato che si trascura il taglio, quelle agenti
all’immediata sinistra del punto D: N=-1400 N, M=-1351 Nm, T=0.
Le tensioni normali date dalla forza normale di compressione sono distribuite in modo uniforme sulla superficie A
(trasversale) e sono date da:
σ c
= N A
Il momento flettente invece provoca una distribuzione di tensioni normali di tipo triangolare: esse sono nulle sull'asse
neutro ed hanno i valori massimi (in valore assoluto) per fibre più distanti dall'asse neutro. Se la sezione del profilato
utilizzato é simmetrica rispetto ad un asse baricentrico normale al piano in cui avviene la flessione, il modulo di
resistenza a flessione (relativamente a quell'asse) é uno solo, per cui si ha:
σ f1
=− M Ed
I
σ f2
=+ M d E
I
Per il profilato a "doppio T" sollecitato da momento flettente (negativo), si ha la distribuzione di tensioni data in Fig. 9.
Nel caso di sezione asimmetrica si ha invece:
σ f1
=− M E d 1
I 1
M
y
+
+
x
M
+
σ f1
d
-d
-
σ f2
asse
neutro
Fig. 9.·· Tensioni provocate da flessione di un elemento a “doppio T”.
σ f2
=+ M Ed 2
I 2
Per un profilato a "T" sollecitato da un momento flettente (negativo) si ottiene la distribuzione di tensioni indicata in
Fig. 10.· Si noti come la tensione massima di trazione in corrispondenza dell'ala superiore è (in valore assoluto) minore
della massima tensione di compressione che si ha all'estremo inferiore dell'anima verticale.
y
+
+
x
-
σ
f2
+
σ
f1
d 1
-d 2
asse
neutro
M
M
Fig. 10.· · Tensioni provocate da flessione di un elemento a “T”.
E' evidente che nel caso di sola flessione e per un materiale avente comportamento simmetrico a trazione e a
compressione, una sezione asimmetrica è controindicata perché non "sfrutta" appieno il materiale. L'adozione di una
sezione asimmetrica é invece possibile quando il materiale ha un limite di resistenza a compressione maggiore di quello
a trazione (come avviene, ad esempio, per le ghise). A compressione potranno perciò essere raggiunte tensioni normali
che hanno valori più elevati (in modulo) di quelle dovute alla trazione.
Per un materiale a comportamento simmetrico (a trazione e compressione), é possibile avere una distribuzione di
tensioni non simmetrica anche per sezioni simmetriche, quando alla flessione é sovrapposta trazione o compressione. In
questo caso é consigliabile l'adozione di una sezione asimmetrica in quanto, se opportunamente scelta, essa consente di
ridurre la differenza (sempre con riferimento ai valori assoluti) tra le tensioni agenti all'estradosso (fibre tese) e
all'intradosso (fibre compresse).
PMARlab – Michelini e Razzoli

Ricordando che il materiale da costruzione é acciaio, la disequazione da rispettare sarà:
σ max
=+ M E
W + N A ≤σ amm
Scegliendo un coefficiente di sicurezza n=2,5 si ha:σ amm
= σ sn
n = 96MPa
e numericamente: 1351000
W + 1400
A
≤ 96 [unità in N e mm]
ove A e W sono incognite e dipendono dalla geometria della sezione.
Si scelga come primo tentativo un profilato a "doppio T" con denominazione IPE 120. Da tabelle normalizzate é
possibile ricavare i valori del modulo di resistenza a flessione (secondo l'asse desiderato) e dell'area per differenti
dimensioni della sezione retta:
A=1320 mm 2 , Wxx=53000 mm 3
Tra i due moduli di resistenza alla flessione é stato scelto Wxx (che è maggiore di Wyy): ciò significa che il profilato
sarà orientato in modo che l'anima centrale sia parallela al piano secondo il quale avviene di flessione (o, in altre parole,
con l'asse x-x parallelo al vettore del momento flettente).
Si ha:
1351000
53000 + 1400 = 25 +1 = 26 ≤ 96
1320
La sezione soddisfa i criteri di resistenza, ma é sovradimensionata, dato che la massima sollecitazione è inferiore ad un
terzo della tensione ammissibile.
Si prova, quindi, con un IPE 80: A=764 mm 2 ; Wxx=20000 mm 3
Per il quale si ha:
1351000
20000 + 1400
764 = 68 + 2 = 70 ≤ 96 .
PMARlab – Michelini e Razzoli

Sollevatore semovente.
Determinare le componenti delle reazioni vincolari in A ed in C per il braccio telescopico mostrato in figura. Tracciare
le caratteristiche di sollecitazione per il braccio e scegliere le sezioni per i due tratti considerando che l’elemento
“sfilante” deve poter scorrere entro il tratto AG. Il carico massimo sollevabile nella configurazione data sia P=4000 N.
(NB: un primo calcolo può ritenere in asse l’azione delle funi; in alternativa, occorre aggiungere momenti localizzati,
dipendenti dai bracci effettivamente presenti).
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Il braccio telescopico presenta sezione (circolare, cava) discontinua. Il puntone CD può assumere angolazioni diverse,
comunque, limitate dalla condizione di non-ribaltamento del veicolo.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Freno per bicicletta.
Si consideri il sistema di frenatura a doppia ganascia per la ruota anteriore di una bicicletta schematizzato in figura (non
in scala). Le leve “L” possono ruotare attorno ad un perno “A” solidale alla forcella e sono azionate da due cavi
ancorati ad una piastrina triangolare che in fase di frenatura viene sollevata: i pattini sono così spinti dai perni “B”
contro i fianchi del cerchione.
Supponendo che il carico gravante sul perno ruota sia F, che la decelerazione desiderata sia a = 0.7 g, si determini il
valore di T (previa opportuna scelta del fattore di attrito tra pattino e cerchio) e si individuino le caratteristiche di
sollecitazione nella leva freno e nel perno “B”.
Si dimensionino la leva “L”, il perno “B” e il perno “A” affinché non si abbia rottura (scegliendo il materiale).
Figura - Schema semplificato di un freno a doppia ganascia.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
La forza esercitata dal pattino sul cerchio è perpendicolare alla retta passante tra la superficie del pattino ed il perno A
(a patto che la forza di attrito lo consenta).
La leva del pattino esercita sul la leva L taglio, momento torcente, momento flettente, sforzo normale.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Ponte sollevabile.
Si voglia realizzare un ponte sollevabile (fig. 1). Si supponga di scegliere per le torri T e la campata mobile D degli
scatolati rettangolari di acciaio al carbonio avente σsn = 400 MPa, al posto di tralicci (fig. 2, per la campata sono
riportate le dimensioni della sezione retta). Le torri sono vincolate al terreno tramite due cerniere ciascuna (E e F). La
campata è bilanciata da due contrappesi (C) che agiscono su essa per mezzo di funi metalliche guidate da carrucole (A e
B). Il carico massimo sopportabile dalla campata (in mezzeria) sia P = 70 kN.
Si determinino le caratteristiche di sollecitazione nelle torri T e nella campata D tenendo conto del suo peso (per
semplicità lo si consideri come un carico concentrato applicato al baricentro) e del carico P.
Si verifichi la sezione della campata e si scelgano le sezioni delle torri.
Fig. 1 - Ponte sollevabile
Fig. 2 - Schema del ponte mobile
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
La struttura è simmetrica.
A causa del tiro delle funi sulle pulegge in B, sui montanti “T”, oltre a tagli e sforzi normali, agiscono anche momenti
flettenti dovuti ai carichi concentrati.
Sugli appoggi, non vi sono componenti delle forze orizzontali.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Mensola articolata.
Si abbia una parte di una macchina caricata come in figura (dimensioni in mm). Il pezzo AB é costituito da un profilato
ad "U" dello spessore di 3 mm.
Trascurando il peso delle diverse parti, ed assumendo che i giunti (cerniere) siano già stati correttamente dimensionati:
1) si traccino le caratteristiche di sollecitazione per il tratto AB
2) si individui la sezione in cui é massima la sollecitazione composta per il tratto AB
3) si verifichi se la sezione maggiormente sollecitata è adeguata, essendo σamm = 200 MPa la tensione massima
ammissibile per l’acciaio.
Sezione A-A
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
L’asta obliqua è incernierata agli estremi e non ha carichi intermedi, e quindi esercita solo forze dirette come il proprio
asse. Per l’elemento superiore: in B esiste un momento flettente non nullo.
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Telaio d’ancoraggio per monorotaia.
In relazione al telaio indicato nella figura, sottoposto al carico P, si calcolino il diametro d (acciaio S240) e la freccia f
corrispondente.
Si calcolino d 1 e d 2 necessari ad avere:
1) la stessa sollecitazione massima;
2) la stessa rigidezza.
Si dimensionino le viti di attacco per le due soluzioni (telaio e barra a sbalzo), scegliendo opportunamente h e H
(distanza tra gli assi delle viti).
h
nervature di ir rigid imento
H d 1
45°
l = l/ 2
f
P= 10000 N
d
H d 2
l = 1 m
Schema di telaio di supporto ad aste.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Per il telaio: le aste non hanno carichi eccetto che alle cerniere, pertanto quella superiore si allunga e quella
inferiore si accorcia. La forza P è la risultante delle due forze di reazione delle aste (uguali in modulo).
Per le viti: devono serrare le piastre sulle pareti in modo che non vi sia scivolamento verso il basso della struttura (si
deve specificare un fattore di attrito), né distacco delle piastre. Per le mensole, occorre che le viti superiori contrastino
anche il momento dovuto al carico.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Bancale a mensole sfalsate.
Data la struttura sottoposta alle condizioni di carico e di vincolo riportate in figura (dimensioni in millimetri), essendo
P 1 = 500 N e P 2 = 1000 N, si richiede, scelto del materiale, di:
• determinare le reazioni nei vincoli A e B;
• tracciare le CDS per l’elemento verticale;
• scegliere le sezioni e i profili per i diversi elementi.
N.B. La squadra di fissaggio è supposta infinitamente rigida.
· Bancale a doppia mensola sfalsata.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Per evitare che il problema sia iperstatico, occorre che il vincolo in A consenta il movimento verticale della struttura
(che è già impedito da B): in B si avrà una cerniera ed in A una cerniera + pattino verticale.
Le viti devono comprimere gli elementi in modo che non vi sia distacco di essi rispetto al telaio di ancoraggio
(tratteggiato): esse sono pertanto sollecitate a pura trazione.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Capriata con carico centrale.
In figura é rappresentato in modo schematico un telaio (le dimensioni indicate sono in mm), il quale è soggetto ad un
carico verticale F=10.000 N applicato alla cerniera di mezzeria:
- si traccino le caratteristiche di sollecitazione per i diversi tratti;
- si dimensionino gli elementi, previa scelta del materiale da costruzione.
· Schema di telaio per carichi sospesi.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Il problema è 1 volta iperstatico! La soluzione è, per altro, immediatamente ottenibile per la simmetria di carichi e
vincoli.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Capriata con carico concentrato.
In figura é rappresentato schematicamente un telaio (le dimensioni indicate sono in mm.) al quale viene applicato un
carico verticale F=10.000 N, sulla travatura superiore.
• Si traccino le caratteristiche di sollecitazione per i diversi tratti;
• Si dimensionino gli elementi, previa scelta del materiale da costruzione.
· Presentazione di telaio con carico concentrato.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Si tenga conto che il solo tratto superiore è soggetto a flessione (poiché gli altri tratti non presentano carichi intermedi
fra le cerniere).
PMARlab – Michelini e Razzoli

Sospensione oscillante.
Si determinino le caratteristiche di sollecitazione del braccio nella configurazione 2 (in cui OA é perpendicolare a OM),
supponendo che la rigidezza della molla rimanga costante durante l’allungamento, e nella configurazione 3. Si chiede di
dimensionare lo stesso, in modo che la freccia in corrispondenza dell’estremo su cui agisce il carico non superi il valore
di 5 mm.
· Cinematismo schematico per sospensione di motoretta.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Per prima cosa occorre valutare, per mezzo di considerazioni geometriche, la variazione di lunghezza della molla (tra 1
e 3); essa è un’asta scarica (di lunghezza variabile), per cui è immediato trovare la variazione di forza che essa esercita
(tra 1 e 3). Con i dati trovati si determina la rigidezza della molla e conseguentemente la forza che essa esercita nella
posizione 2).
PMARlab – Michelini e Razzoli

Afferraggio per movimentazione.
In figura è mostrata una pinza atta alla movimentazione di carichi. Essa è di semplice uso e non richiede alcun
meccanismo di bloccaggio poiché l’applicazione della forza P determina l’avvicinamento relativo dei tamponi A e B:
questi, in virtù della forza di attrito generata dalla forza di compressione che essi esercitano, riescono a trascinare la
tavola (in legno) e la cassa sovrastante.
Essendo m=200 kg, la massa del carico, e ipotizzando valori ragionevoli per i coefficienti di attrito tavola/suolo e
tamponi/pinze:
• si determini l’entità della forza P
• si traccino i diagrammi di sollecitazione per le leve della pinza
• si individui la sezione maggiormente sollecitata
• si effettui il dimensionamento della pinza e dei perni
• si espongano sommariamente le soluzioni costruttive e di montaggio dei diversi elementi.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
I tamponi, se molto deformabili, consentono significative forze di trascinamento (di là dall’attrito superficiale). Per una
migliore aderenza, le leve terminano con flangie A e B articolate. Per simmetria, sul perno C non vi sono componenti
nella direzione del traino.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Pinze con ganasce ad attrito.
E' fornito in figura uno schizzo indicativo di una pinza per sollevamento lamiere aventi spessore non superiore a 20 mm e
peso minore di 4.000 N.
L'afferraggio deve essere garantito dal solo attrito metallo/metallo.
Data la configurazione di cui allo schema, supponendo che il coefficiente di attrito consenta l’afferaggio, si definiscano:
1. le forze agenti nei perni A, B, C
2. le caratteristiche di sollecitazione nelle leve e nei tiranti
3. le dimensioni delle leve e dei tiranti.
Cinematismo schematico per pinza a ganascia.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Le due aste superiori hanno carichi solo alle estremità.
Si dà per scontato che l’attrito consenta la presa. Il problema si semplifica notevolmente notando che, grazie alla
simmetria, sul perno A non possono che agire forze esclusivamente orizzontali.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Paranco a bandiera.
In figura è mostrata una “gru a bandiera” per il sollevamento e la movimentazione di carichi all’interno di stabilimenti.
Dell’intera struttura, si considerino i soli elementi AB (trave) e CD (tirante), con carico nella posizione più sfavorevole.
Si supponga che: i vincoli in B, C e D siano cerniere; AB sia orizzontale e D sia posto verticalmente sopra B.
Dati (le unità di misura sono mm e N): AB=6000; CB=4000; angolo BCD=20°; P=7500
Sezione CD: quadrata 30x30; Sezione AB: rettangolare 60x100.
Si richiede:
1 il modello di riferimento e la tipologia dei materiali
2 il calcolo delle reazioni in B e D
3 i diagrammi delle CDS per:
a. il tratto AB
b. il tratto CD
4 la sezione più sollecitata nel tratto AB
5 la sezione più sollecitata nel tratto CD
6 la individuazione della componente massima di tensione di taglio
7 la individuazione delle componenti massime di tensione normale
8 la rotazione di A rispetto a B
9 lo spostamento di A rispetto a B
C
D
A
B
Gru a bandiera.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
La posizione più sfavorevole del carico è il punto A. Le scelte delle sezioni devono essere motivate, ed, eventualmente,
suggerite alternative migliorative. Parimenti, le ipotesi per la “riduzione a modello” devono essere discusse, dando
giustificazione delle stesse.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Carroponte monotrave.
In figura è dato il disegno schematico di un carroponte monotrave. Dovranno essere evidenziate le principali soluzioni
costruttive ed i materiali impiegati per i componenti strutturali.
Per la taglia del carroponte potranno essere assunti i seguenti dati indicativi, che comunque il candidato ha facoltà di
variare:
- Portata: 1 tonnellata
- Sc = 10 m , Scartamento
- S = 1800 mm, Scartamento testate
E’ richiesto di impostare il progetto di massima, motivando le scelte privilegiate.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Fra gli elementi da discutere, occorre comprendere:
- dimensioni e profilo della monotrave;
- modalità di vincolo agli appoggi;
- tipologia del carrello e modalità di collegamento;
- modalità di azionamento del carico;
- ecc.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Cesoia per potatura.
In figura è mostrata una forbice per potatura. Al punto E sia richiesta una forza tagliante di 200 N.
Con le misure illustrate e rilevando approssimativamente quelle eventualmente necessarie (assumendo, per semplicità
che le leve siano diritte e formino tra loro un angolo pari a 44°), si richiede di:
- determinare la forza P
- tracciare le caratteristiche di sollecitazione nei diversi elementi
- individuare e dimensionare gli organi del meccanismo, inclusi i perni, scegliendo il materiale ed adottando per le
leve una sezione ad U.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Si noti che BC è asta scarica. L’attrito dei perni è trascurato Per la configurazione in figura, i perni A, B, C e D hanno
bracci in corrispondenza. L’elemento in E è supposto piccolo, per cui le azioni applicate passano (approssimativamente)
dal centro.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Pinza di singolarizzazione e presa di teli.
In figura, é mostrato lo schizzo (dimensioni in mm) di un dispositivo di singolarizzazione per teli in configurazione di
chiusura. Il tampone “F” deve poter esercitare una forza di compressione (contro la base fissa “E”) pari a 350 N. La
lunghezza delle leve AB e CD sia 340 mm; la cerniera G si consideri collocata nella mezzeria di AB.
Per le condizioni assegnate e nei due casi:
a) coefficiente di attrito tra “E” e “F” nullo
b) coefficiente di attrito tra “E” e “F” pari a 0.8
• si determini la forza che l’attuatore lineare “a” deve esercitare;
• si individuino le caratteristiche di sollecitazione per i diversi tratti;
• si dimensionino le leve AB, CD e BF, previa scelta del materiale.
· Meccanismo di singolarizzazione e presa di teli.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
L’asta CD non ha carichi fuori dalle cerniere. Nel caso in cui si trascuri l’attrito, la forza scambiata tra E e F è
puramente verticale; nel caso con attrito, la forza che F esercita su E ha direzione perpendicolare a FC (sempre che
l’angolo di attrito lo consenta, come in questo caso, altrimenti occorre valutare la componente tangenziale data dalla
forza normale moltiplicata il coefficiente di attrito).
PMARlab – Michelini e Razzoli

Meccanismo di blocco irreversibile.
In figura, é mostrato lo schema (dimensioni in mm) di un sistema di bloccaggio rapido per prismi di taratura. Il
serraggio avviene esercitando una forza verso il basso in corrispondenza del punto F sulla leva “L”; grazie ad un
meccanismo a quadrilatero, la leva “T” ruota ed il suo punto terminale G si abbassa.
Per la configurazione mostrata in figura e per quella in cui si hanno gli assi dei perni 1, 2 e 3 complanari, data una forza
di comando P = 150 N, si determinino:
• il valore della forza verticale applicata nel punto G necessaria per l’equilibrio
• le caratteristiche di sollecitazione per le leve “L” e “T”.
Si dimensioni la leva L per la condizione di carico più gravosa, scegliendo il materiale.
F
L
T
G
1
2
B
3
TELAIO
Meccanismo di blocco irreversibile.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Per la configurazione in figura, si noti che B è asta scarica. Quando i perni 1, 2 e 3 sono allineati il meccanismo è
irreversibile: in G può essere applicata verso l’alto una forza (teoricamente) infinita, in realtà tale forza è limitata dalla
rottura degli elementi.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Freno equilibrato a ceppi.
In figura, è mostrato un freno con due leve all’estremità delle quali sono applicate le forze F. Il coefficiente di attrito tra
ceppo e disco sia f=0,35.
• Si trovino le caratteristiche di sollecitazione nelle leve.
• Si dimensionino le leve, scegliendo il materiale da costruzione e le possibili soluzioni geometriche.
Freno a ceppi.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Il problema è apparentemente simmetrico; ma non lo é a causa della rotazione del disco e conseguenti forze d’attrito. Si
assuma per i ceppi una altezza di 40 mm.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Freno con ceppo singolo.
In figura è mostrato un freno con un solo pattino ed una forza applicata all’estremità della leva (il freno completo
avrebbe normalmente un secondo pattino per bilanciare le forze). Il coefficiente di attrito tra ceppo e tamburo sia
f=0,35.
1) Si trovino le caratteristiche di sollecitazione nel tratto verticale ed orizzontale della leva.
2) Si dimensioni il braccio, scegliendo il materiale da costruzione e le possibili soluzioni geometriche.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
L’assenza di un secondo pattino ha effetto sui vincoli (di leva e tamburo).
PMARlab – Michelini e Razzoli

Morsetto portatile.
In figura é schematicamente rappresentato un morsetto portatile. Come indicato, per effettuare il serraggio viene
applicato un momento M all’estremità di una vite di manovra avente passo 2 mm accoppiata all’elemento con filettatura
interna A (madrevite). Si supponga che l’assieme sia ancorato nel punto D.
Dati:
M = 0.06 Nm
BC = 40 mm
AC = 40 mm
• Si determini la forza di serraggio esercitata dai tamponi di contrasto D ed E
• Si traccino le caratteristiche di sollecitazione per le leve EBC ed ACD
• Si dimensioni la leva ACD scegliendo il materiale
IPOTESI DI SOLUZIONE.
In A vi è il momento concentrato =0.06, che ha una componente di torsione (0.06*.707=0.042 Nm) ed una di flessione.
La forza di separazione tra A e B si può determinare uguagliando il lavoro fatto dal momento per l’effettuazione di un
giro con quello fatto dalla forza incognita per l’avanzamento di un passo (la vite compiendo un giro avanza di una
distanza pari al passo):
M*2*pigreco=F*0.002;
Forza FB=FA=F: 188 N.
FA_vert=133;
FA_orizz=133;
FB_vert=133;
FB_orizz=133;
Forza di serraggio FE:
A meno dei radice_2: facendo polo in C:
FB*(40)=FE*(30+40); FE=107
FE_vert=76
FE_orizz=76
Sull’elemento ACD:
FC_vert= FE_vert+ FB_vert=76+133=210 N
FC_orizz= - FB_orizz + FE_orizz+ =-133 + 76 = - 67 N
PMARlab – Michelini e Razzoli

Ganascia d’afferraggio di forza.
La pinza per robot, schematizzata in figura, deve poter esercitare una forza di compressione tra le ganasce P=200 N. I
due fianchi affacciati delle ganasce non devono subire, sotto l’applicazione del carico, una rotazione superiore a 0.2°.
Dopo aver determinato la forza A che l’attuatore (non indicato) deve applicare alle estremità delle leve di comando:
- si traccino le caratteristiche di sollecitazione per le quattro leve;
- si individuino la sezioni maggiormente sollecitate;
- si dimensionino le leve;
- si dimensionino i perni.
P
G
G
S
L
L
S
Telaio
Telaio
A
A
Ganascia a presa di forza.
Vista Laterale
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Le leve “S” sono puntoni.
Per l’equilibrio delle ganasce G si pensa di scollegarle dal resto e di adottare un vincolo di tipo cerniera nel punto di
connessione con la leva “L”, applicando nel punto di connessione con la leva “S” una forza nota in direzione ed
incognita in entità.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Colonna di sollevamento in linee automatiche.
In figura é mostrato lo schizzo di una macchina per il sollevamento di componenti ingombranti fra linee di produzione
automatica. Il carico è sostenuto dalla piattaforma T guidata nella corsa verticale dalle ruote di contrasto E che rotolano
sulla colonna A. La piattaforma è azionata dal motoriduttore M tramite la catena K, ed è parzialmente bilanciata dal
contrappeso C: la distanza b è tale che per un carico P=12000 N il baricentro della coppia carico+piattaforma mobile
giace sulla linea di azione della catena K.
Dati:
Peso telaio mobile: 4000 N
Carico massimo: P=24000 N
Contrappeso: C=15000 N
Interasse ruote E: d=1000 mm
Corsa verticale telaio: l=5000 mm
Velocità: 20 m/min.
Durata della accelerazione: 0,5 s
Coeff. attrito: µ = 0,05
b=600 mm; c=400 mm; a=300 mm
E’ richiesto il dimensionamento della guida A.
D
M
b
K
A
a
c
P
E
T
d
C
· Pilastro elevatore.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Occorre, dapprima, trovare il baricentro della piattaforma T.
Si pone, quindi, in equilibrio l’insieme piattaforma/carico massimo P; la catena K esercita una forza di richiamo
verticale mentre le guide reagiscono con sole forze orizzontali.
Passando alla colonna: si trasferiscono su di essa le azioni delle guide. Sulla sommità della colonna agisce un carico
verticale dato da T+C+P ed un momento flettente concentrato dato da: b(P+T)-C*a.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Sollevatore a benna.
In figura è illustrato lo schizzo di uno dei due bracci di un elevatore a tazza.
Il carico massimo che la tazza può sollevare (comprensivo del peso proprio della tazza) è pari a 20 000 N.
Si richiede:
- il tracciamento delle caratteristiche di sollecitazione per i diversi elementi
- il dimensionamento braccio ECF, adottando uno scatolato a sezione rettangolare a profilo variabile triangolarmente
(con rapporto altezza-base in corrispondenza del punto C uguale a 2) ed un acciaio strutturale di media qualità
- il dimensionamento dei perni in E, in C ed in F
- il dimensionamento dei martinetti AB e CD
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Si suppone il carico a distribuzione uniforme, per cui la trave ECF risulti avere deformata piana.
Il perno C può pensarsi centrato rispetto al profilato angolare (trascurando le discontinuità dei momenti).
PMARlab – Michelini e Razzoli

Scavatore a livello.
In figura (dimensioni in metri) è schematicamente raffigurato un escavatore.
Il braccio è supposto incastrato ad una piattaforma portante. Le condizioni di vincolo e carico permettono di assumere
un piano di simmetria, e la soluzione è impostabile come caso di sollecitazione piana.
1) Si dimensionino i bracci A e B scegliendo gli scatolati ed il materiale.
2) Si dimensioni il martinetto idraulico (cilindro + pistone) sottoposto al carico massimo supponendo che la pressione
di esercizio sia di 100 atm.
3) Si dimensionino i perni, previo sviluppo di massima della geometria del braccio articolato ed ipotesi di simmetria.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Il peso proprio dei componenti è trascurato nel calcolo iniziale. Il carico è applicato all’estremità della benna.
Si pone, quindi, in equilibrio l’insieme, per trovare le reazioni (forze e momento) all’incastro.
Si passa ad imporre le condizioni d’equilibrio ai due congegni (leve ed aste) articolati, e si tracciano le caratteristiche di
sollecitazione delle leve. Per l’individuazione delle tensioni, è da tenere conto della sagomatura.
La verifica dei perni è fatta a pressione specifica.
PMARlab – Michelini e Razzoli

Escavatore a benna.
In figura 2 è riportato lo schema semplificato dell’escavatore mostrato in figura 1.
Dati:
- F=5000 N, inclinata rispetto all’orizzontale di 27°
- quote (mm): DE=1000; EG=5000; EB=4000; BO=2000; EC=1700
- angoli rispetto all’orizzontale (gradi): OB=60; EB=25.
Si richiede (per la configurazione illustrata):
• il valore delle spinte esercitate dai martinetti DC e AB
• il valore della reazione vincolare in O
• il tracciamento delle caratteristiche di sollecitazione per i bracci EB, BO e DG
• il dimensionamento dei suddetti, tenendo conto della variazione di profilo indicata, utilizzando una sezione a “U”.
D
E
C
B
A
O
G
F
Fig. 1 - Scavatore (LBX mod. 2800)
g. 2 - Schema semplificato
Soluzione (Unità: Nm, mm, N, °. Sistema di coordinate: x verso destra, y verso l’alto, origine in O)
Quote verticali:
Quote orizzontali:
Angoli:
Carico:
OB=1732; OE=3422; OD=4422; OG=-1578
OA=1000; OG=4625
ECD=23°; EBO=145°
Fy= Fsen27°=2270; Fx= Fcos27°=4455
Reazioni vincolari: Equilibrio dei momenti (polo O):
Dist_vert_GO = 1578; Dist_orizz_GO = 4625; Fy*4625 + Fx*1578 =RAy*1000 => RAy=-17530
Equilibrio delle forze:
Fx+ROx=0 Ray+Fy+ROx=0 => ROy=15260; ROx=4455
Spinte martinetti: AB lavora in trazione e “tira” B con intensità RAy=-17530; CD è in compressione: N=-32300.
CDS: (FEx=26730 e FEy=-25660)
GE: -4455 T; -2270 N; ED: 22280 T; 23390 N; Mmax in E: 22275.
EC: 11960 T; 35070 N; M_C= 22605; CB: 175 T; 5000 N; M_B= 22975; BO: 11490 T; -10990 N; M_B= 22975.
Dimensionamento: [Scegliendo an acciaio S240: σsn=240, σamm=80 (con n=3)]
In B il momento massimo è 22975000 Nmm e lo sforzo normale è 5000 N.
Per una sezione ad U rovesciata 350x80x6 mm si ha: J=68E6, W=33E4, distanza massima dal baricentro=202.
La tensione massima è 70 MPa.
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Apparato di sollevamento.
In figura è schematicamente rappresentato il telaio di un apparato di sollevamento. Dopo aver scelto il materiale da
costruzione,
1) si dimensionino gli elementi A, B ed E. Per il braccio A ed il montante E si adottino degli scatolati a sezione
rettangolare variabile, per la leva B una sezione a “doppio T”;
2) si dimensionino i perni degli snodi.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Il peso proprio dei componenti è trascurato nel calcolo iniziale. Il carico è applicato è supposto verticale.
Si pone, quindi, in equilibrio l’insieme, per trovare le reazioni (forze e momento) all’incastro.
Si impongono le condizioni d’equilibrio ai due congegni (leva e braccio) e relative aste. Si tracciano le caratteristiche di
sollecitazione. Per l’individuazione delle tensioni, è da tenere conto della sagomatura.
La verifica dei perni è fatta a pressione specifica.
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Falcone di sollevamento-tronchi.
In figura, é mostrato lo schizzo (dimensioni in metri) di un dispositivo dedicato al sollevamento e movimentazione di
tronchi d’albero. Il falcone é montato sul pianale di un autocarro e compie le seguenti funzioni:
• abbassamento punto E per raccogliere il tronco da terra;
• sollevamento e trasferimento del carico;
• deposito del carico.
Il carico massimo sollevabile sia P=10 kN.
Si scelga il materiale e si dimensionino il montante 2, il braccio 3, i martinetti idraulici 5 e 4 (con pressione di lavoro
pari a 70 atmosfere), quando il braccio è nella posizione orizzontale.
Forcone per movimentazione di tronchi d’albero.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Si veda l’esempio precedente. L’elemento 2 (asta compresa tra le due cerniere O 2 e D) è soggetto a forze disassate, che
danno luogo a momenti concentrati in corrispondenza degli attacchi dei martinetti.
I cilindri dei martinetti si considerino come recipienti cilindrici in parete sottile.
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Capra con braccio regolabile.
In figura é schematizzata una “capra” per sollevamento carichi. Per mezzo di un attuatore idraulico a doppio effetto
(non indicato), azionato manualmente, l’operatore può variare l’angolazione del braccio telescopico da -60° a +30°
rispetto all’orizzontale. In figura é riportata la configurazione con braccio esteso al massimo (portata 150 kg).
L’elemento sfilabile può essere bloccato in 4 diverse posizioni per mezzo di spine cilindriche che si impegnano in
altrettanti fori praticati nella porzione fissa ed in quella mobile del braccio. Con braccio completamente retratto la
portata é di 500 kg.
- Si traccino le caratteristiche di sollecitazione per gli elementi della struttura nella posizione orizzontale del braccio
completamente esteso
- Si scelgano opportuni profili per le diverse parti
- si dimensionino i montanti, il braccio fisso e quello sfilabile.
· Capra per sollevamento carichi.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
L’attuatore opera come un puntone.
Il braccio sfilabile applica su quello cavo una coppia di forze (di taglio) uguali al momento flettente in corrispondenza
della zona di imbocco diviso per la lunghezza della porzione comune dei bracci.
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Meccanismo per carrello elevatore.
In figura (dimensioni in mm) è schematicamente rappresentato un sistema articolato per un carrello elevatore: esso
aziona la forchetta (elemento con forma a “L”) consentendole il movimento di sollevamento ed abbassamento
(traslazione senza rotazione).
Il carico massimo sia F=14 000 N.
1) Si determinino le caratteristiche di sollecitazione per i bracci A e B (per α = 30°).
2) Si dimensionino questi ultimi nell’ipotesi di impiego di acciaio avente limite di snervamento σsn = 350 MPa.
· Il dispositivo nelle due posizioni estreme.
4100
A
600
F
1500
B
1000
α=30°
106°
Schema di carrello elevatore.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
L’asta A è soggetta a sola trazione (è un tirante); le aste A e B hanno assi paralleli. Il cilindro idraulico opera come
puntone.
Dapprima, supponendo di scollegare il tirante A dal resto della struttura, si pone in equilibrio la forchetta (vincolata nel
punto in basso con una cerniera e caricata nel punto in alto da una forza di cui è nota la direzione ma non l’intensità);
successivamente si trasferiscono le sue azioni sull’elemento B, tenuto conto della geometria del parallelogramma.
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Piattaforma aerea telescopica.
E’ riportata l’immagine di una gru telescopica per automezzo. Il candidato ne imposti il progetto, muovendo dal braccio
estraibile. La gru può portare all’estremità accessori diversi dalla piattaforma della figura. Il progetto si intende limitato
alla sola gru, senza considerare la struttura di collegamento all’automezzo ed il meccanismo di attacco degli accessori di
estremità, come evidenziato dal contorno a linea spezzata.
Devono essere discusse le fondamentali scelte costruttive ed i materiali scelti per i principali componenti strutturali.
Sono consigliate le seguenti specifiche essenziali, non vincolanti per il candidato, che può assumerne liberamente altre:
- Lunghezza del braccio fisso 5000 mm;
- Portata massima 3 tonnellate.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.
Fra gli elementi da discutere, occorre comprendere:
- dimensioni e profilo del braccio estraibile;
- tipologia di vincolo ed azionamento;
- modalità di sfilamento e guida;
- sistemi di collegamento della piattaforma;
- ecc.
Il peso proprio dei componenti è trascurato nel calcolo iniziale. Il carico è applicato in mezzeria della piattaforma.
Si pone in equilibrio l’insieme, per trovare le reazioni all’estremità inferiore. Si passa ad imporre le condizioni
d’equilibrio ai due elementi (braccio e puntone) articolati, e si tracciano le caratteristiche di sollecitazione.
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Palo per telecomunicazioni.
In figura è illustrato un palo per telecomunicazioni. L’operatore esercita un tiro T,
tramite una fune (contenuta in un piano parallelo al piano y). Alla mensola di
lunghezza d è applicata la forza verticale F. La trave AE ha sezione circolare cava.
Le unità di misura sono mm e N.
Dati:
angolo della fune rispetto alla verticale uguale a 30°
a=1000; b=2000; c=3500; d=800
T=500; F=1500
Si richiede:
1. il calcolo della reazione in A
2. i diagrammi delle CDS per
a. il tratto AE
b. il tratto EG
c. la mensola di lunghezza d
3. la sezione più sollecitata nel tratto AE
4. la massima tensione equipericolosa nel
tratto AE
5. la sezione più sollecitata nel tratto EG
6. la scelta della sezione per il tratto EG
7. la massima tensione equipericolosa nel
tratto EG
8. la sezione più sollecitata nel tratto di
lunghezza d
9. la scelta della sezione per il tratto di
lunghezza d
10. la massima tensione equipericolosa nel
tratto di lunghezza d
11. gli spostamenti dei punti E e G
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Recipiente cilindrico orizzontale.
In Fig. 1 è schematicamente rappresentato un recipiente costituito da un mantello cilindrico M chiuso dai fondi F. Il
recipiente, che contiene acqua alla pressione di 4 Bar (pari a MPa) é disposto orizzontalmente ed appoggiato alle
estremità.
Essendo:
d=600 mm (diametro interno cilindro);
l= 4000 mm (lunghezza cilindro).
Si determini lo spessore s del mantello cilindrico utilizzando come materiale da costruzione un acciaio.
F
M
d
F
Fig. 1 · Schema del recipiente.
IPOTESI DI SOLUZIONE.
Il momento quadratico di area J della sezione retta del recipiente (la sezione è una corona circolare) ed il corrispondente
modulo di resistenza alla flessione W sono:
J = π [ (d + s)4 − d 4
]
64
[ ]
2
W = J ⋅
d +s ≅ π (d+ s)3 − d 3
32
con la semplificazione suddetta possibile essendo lo spessore s molto piccolo (presunzione che a posteriori sarà
verificata) nei confronti del diametro interno d.
Il peso del recipiente (trascurando i fondi, i cui effetti possono, comunque, essere facilmente introdotti) ed il peso della
massa d’acqua entro-contenuta sono, rispettivamente:
P c
=ρ c
⋅g ⋅π⋅d ⋅s⋅ l
P a
=ρ a
⋅ g⋅π⋅0.25⋅d 2 ⋅ l
con le densità e l’accelerazione di gravità che hanno i seguenti valori espressi nelle particolari unità indicate utilizzando
N e mm come unità principali (e ricavando la massa come unità derivata) in modo che le tensioni possano essere
ottenute in MPa:
ρ a
=10 −9 tonnellate / mm 3
ρ c
= 7.85⋅10 −9 tonnellate / mm 3
g = 9810 mm/ s 2
Con ipotesi esemplificativa (ma cautelativa) si immagina di applicare la forza P pari al peso del recipiente e del suo
contenuto nel baricentro del cilindro. Si perviene alla consueta espressione per la tensione massima dovuta alla sola
flessione:
σ zz(M)
= M max
W = Pl / 4
π (d + s) 3 − d 3
[ ]
32
=
8Pl
π [(d 3 + s 3 + 3ds 2 + 3sd 2 − d 3
] ≅ 2.55 (P + P )l c a
3sd 2
σ zz(M)
= 0.85 (ρ ⋅ g⋅π⋅d ⋅s⋅ l +ρ ⋅ g⋅π⋅0.25⋅ c a d2 ⋅ l)l
sd 2
σ zz(M)
= 0.85 ⋅ g⋅π (ρ ⋅s ⋅l +ρ c a
⋅ 0.25⋅ d ⋅ l)l
sd
σ zz(M)
= M max
W = 26 ⋅10 3 (7.85 ⋅10 −9 ⋅ s + 0.25⋅10 −9 ⋅ d)l 2
= 26 ⋅10 −6 ⋅ l 2 ⎛ 7.85
+ 0.25 ⎞
sd
⎝ d s ⎠
Si valutano, ora, le tensioni di membrana dovute alla pressione interna, con riferimento alle relazioni che descrivono lo
stato di tensione membranale nel recipiente cilindrico:
l
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σ zz (m)
= pd
4s
σ θθ(m)
= pd
=
0.4 ⋅600
4s
= 60 s
2s = 120
s
Le fibre maggiormente sollecitate (in trazione) saranno quelle nella parte inferiore del recipiente; sovrapponendo gli
effetti, la tensione lungo le generatrici è:
σ zz (tot)
=σ zz(m)
+σ zz(M)
= 60
2s + 26 ⋅10 −6 ⋅4000 2 ⎛ 7.85
600 + 0.25 ⎞
⎝ s ⎠
e, semplificando:
σ zz(tot)
=σ zz(M)
+σ zz(m )
= 60 ⎛ 0.25
+ 416 0.013 +
⎞
s ⎝ s ⎠
σ zz(tot)
= 60 s
+5.4 +
104
s
σ zz(tot)
= 5.4 + 164
s
Vale la pena notare come il contributo dovuto al peso del recipiente è piccolo in confronto agli effetti dati dal peso del
liquido contenuto ed alla pressione interna.
Si è in presenza di uno stato di tensione è biassiale, per cui, se si adotta l’ipotesi dell'energia potenziale critica di
variazione di forma si ha che la tensione ideale (le tensioni prima ricavate sono principali poiché non vi sono tensioni
tangenziali) è espressa da:
σ id
=
2
σ zz(tot)
2
+σ θθ(m)
−σ zz(tot)
⋅σ θθ(m)
2
⎞
s ⎠
+ 120
2
⎛ ⎞ ⎛
⎝ s ⎠
− 120
⎝ s
⎛
σ id
= 5.4 + 164
⎞ ⎛ 164
⎝
⎠
5.4 +
⎞
⎝ s ⎠
e scegliendo per il materiale da costruzione una tensione ammissibile:
σ id
≤σ amm
= 50 MPa
si può determinare il valore minimo dello spessore del mantello.
s
σ id
1 150
2 77
3 53
4 41
Fig. 3.48 · Valore della tensione equipericolosa in funzione dello spessore s del mantello.
Il valore dello spessore che soddisfa i criteri di resistenza è, pertanto, s=4.
E’ opportuno far notare che in questa sede si è volutamente trascurato il modo di cedimento a cui, molto probabilmente,
il recipiente andrà incontro a causa della sua notevole lunghezza.
Essendo, infatti, il guscio sottile nei confronti delle altre due dimensioni, è verosimile che possa essere soggetto alla
cosiddetta “instabilità di forma” dovuta al carico di compressione delle fibre poste nella porzione superiore del
mantello.
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Condotta idraulica.
Si abbia una condotta in pressione per l’alimentazione di una centrale elettroidraulica con turbine “Pelton”.
Assegnato il diametro interno D=400 mm, si calcoli lo spessore della condotta, posto che il dislivello dal bacino
superiore sia pari a 700 m.
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE
Si veda l’esercizio precedente, salvo che non esiste l’effetto dei fondi e la sollecitazione dipende, in prima analisi, dalla
pressione idrostatica della colonna d’acqua.
PMARlab – Michelini e Razzoli