Trave appoggiata.
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<strong>Trave</strong> <strong>appoggiata</strong>.<br />
Determinare le reazioni vincolari per l’elemento illustrato in figura.<br />
Tracciare le caratteristiche di sollecitazione.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Lo spostamento di una forza con componente orizzontale al baricentro della trave richiede di tenere conto del momento<br />
flettente localizzato.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
<strong>Trave</strong>rsa porta-carrucola.<br />
L’elemento a trave in figura sopporta, ad un proprio estremo, una carrucola per il sollevamento di carichi.<br />
Siano P = 2000 N, a = 940 mm, b = 560 mm e α = 60°.<br />
Dopo aver trovato le reazioni dei vincoli, si traccino gli andamenti delle caratteristiche di sollecitazione. La traversa sia<br />
scelta con sezione a doppia T o rettangolare cava. Si disponga la sezione in maniera da garantire la massima rigidezza<br />
della trave e si determini il valore massimo della freccia. Si studi gli effetti del raggio della carrucola e dell’apertura α<br />
per il della fune sulle caratteristiche di sollecitazione.<br />
a<br />
b<br />
α<br />
F<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
La sezione trasversale può essere rettangolare cava con quote di ingombro esterno 40x60 mm e spessore 3 mm. Lo<br />
spostamento, al baricentro della trave, di una forza con componente orizzontale richiede di tenere conto del momento<br />
flettente localizzato.<br />
P<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Carico in bandiera.<br />
Determinare le reazioni vincolari per gli elementi AC e BD illustrati in figura.<br />
Studiare come queste variano se l’elemento RD forma l’angolo α = ± 15° rispetto all’orizzontale.<br />
Tracciare le caratteristiche di sollecitazione per i due elementi.<br />
Scegliere il profilo più idoneo per la trave AC nei casi: α = 0 e α = ± 15°.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Il profilo di AC è da discutere in relazione al momento flettente ed al carico normale.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Tira-fune articolato.<br />
Sia dato il sistema in figura.<br />
Siano: F = 1000 N, a = 300 mm, b = 200, m, l = 400 mm e α =30°.<br />
Dopo aver trovato le reazioni dei vincoli, si traccino gli andamenti delle caratteristiche di sollecitazione. Si vernichino a<br />
resistenza le due travi, supposte a sezione a doppia T (o rettangolare cava), calcolando la deflessione all’estremo l. Si<br />
calcoli la coppia da applicare attorno alla cerniera A dell’elemento a squadra, per riportare tale estremo a livello.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Le reazioni sono immediatamente ricavabili con l’equilibrio del telaio. Il calcolo della freccia deve integrare una trave<br />
(non rettilinea) con carico a sbalzo, tenendo conto del cedimento dell’appoggio intermedio, dovuto ad accorciamento e<br />
rotazione dell’elemento a squadra.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Putrella a squadra con asta di livello.<br />
Sia dato il sistema in figura (il valore del carico tiene conto dell’effetto del peso proprio, concentrato in mezzeria).<br />
Siano: F = 5 000 N , a = 2000 mm, b = 3000, c =2800 mm, l = 500 mm e α = 60°.<br />
Dopo aver trovato le reazioni dei vincoli, si traccino gli andamenti delle caratteristiche di sollecitazione. Una volta<br />
dimensionato a resistenza (con uso di nomal-profili idonei), si calcoli di quanto deve essere variato l’angolo α, con lo<br />
spostamento dell’attacco al suolo dell’elemento inferiore, per riportare allo stesso livello i due estremi della porzione<br />
orizzontale della putrella a squadra.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Le reazioni sono immediatamente ricavabili con l’equilibrio del telaio. L’elemento inferiore è un ‘tirante’; l’entità della<br />
componente verticale dell’allungamento deve essere corretta per includere l’accorciamento del tratto verticale della<br />
putrella a squadra.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Mensola contro-ventata.<br />
In figura è schematizzata una traversa sorretta da due aste inclinate allo scopo di impedirne l’imbardata a seguito di<br />
spinte trasversali. La forza agente all’estremità sia diretta verso il basso e abbia intensità P=10.000 N. In corrispondenza<br />
dei punti A, B, C e M la struttura è vincolata per mezzo di cerniere sferiche (A, B e C giacciono sullo stesso piano<br />
verticale fisso).<br />
Si dimensionino, scegliendo il materiale, i tre elementi, adottando per le aste oblique una sezione quadrata cava ed il<br />
profilo che si ritiene più opportuno per l’elemento orizzontale.<br />
1000 1000<br />
P<br />
A<br />
M<br />
B<br />
C<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Le reazioni sono immediatamente ricavabili con l’equilibrio del telaio. La simmetria permette di studiare la trave in un<br />
piano. Il profilo della trave deve tenere conto dell’andamento del momento flettente.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Leva tira-tubi.<br />
In figura è illustrata la fase di assiemaggio manuale di due spezzoni di tubo. Quando l’operatore applica il carico F<br />
all’estremità della leva del semplice dispositivo indicato, l’estremità conica di un tubo è forzata nell’imbocco del tubo<br />
ospitante. Sapendo che, per assicurare un montaggio stabile, la componente della forza di inserzione lungo l’asse<br />
comune dei tubi deve essere pari a 2 000 N.<br />
Dati: a = 180 mm, b = 1 500 mm, β = 20°, α = 28°<br />
Si determini il tiro T nella fune e la forza F. Si traccino i diagrammi di sollecitazione per la leva e si individui per essa<br />
la geometria (profilo, sezioni) che ne garantisce la resistenza, scegliendo il materiale.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Le reazioni sono ricavabili con l’equilibrio della leva. L’operazione è pensata in due fasi: prima l’avvicinamento dei<br />
tubi (con trascinamento del peso); quindi l’inserzione. La leva deve risultare convenientemente leggera e maneggevole.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Rotaia inclinata.<br />
In figura (a sinistra) è mostrato lo schema di una rotaia per la movimentazione obliqua di carichi, grazie a un carrello le<br />
cui ruote insistono sulle ali del profilo a T della rotaia (figura a destra).<br />
Si consideri un carico massimo P, mobile lungo la guida AB incernierata per un estremo ad un tirante e per l'altro al<br />
soffitto dello stabilimento.<br />
Si trascurino gli effetti della massa distribuita.<br />
Dati (le unità di misura sono mm e N): lunghezza AB: 3000<br />
angolo CAB: 15°; angolo ACB: 35°<br />
peso P: 1500<br />
distanza del baricentro G dall'asse della rotaia: 400<br />
Individuate per quali posizioni del carico si hanno sollecitazioni massime per il tirante BC e per la rotaia AB, per<br />
entrambi i casi, si richiede:<br />
1 il calcolo delle reazioni in A e in C<br />
2 i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione per il tratto AB<br />
3 i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione per il tratto CB<br />
4 la scelta della sezione per la rotaia AB<br />
5 la scelta della sezione per il tirante BC<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Nelle equazioni d’equilibrio, occorre ricordare la coppia (localizzata) dovuta allo scostamento del baricentro del carico<br />
dall’asse della rotaia. I due casi richiesti sono di immediata definizione.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Leva di manovra.<br />
Determinare le componenti delle reazioni vincolari in D ed in B per la leva di comando ED mostrata in figura.<br />
Tracciare le caratteristiche di sollecitazione. Valutare lo stato di tensione e sceglierne le sezioni, considerando la<br />
soluzione costruttiva per l’asola in corrispondenza del punto B, in cui la sede per accogliere l’estremo B dell’asta AB è<br />
ottenuto saldando due barre piatte ai due tronconi della leva, come illustrato schematicamente.<br />
Siano: EB=400 mm, BD=160 mm, a=120 mm<br />
Fissata la corsa dello stantuffo D, l’analisi è da ripetersi per diversi angoli d’inclinazione della leva, ed angolazioni fra<br />
leva e puntone per fissare le condizioni di pompaggio ottimali (per esempio, con contro-pressione costante).<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Le reazioni sono immediatamente ricavabili con l’equilibrio della leva. Il raddoppio della sezione resistente in B è<br />
buona norma, come risulta dalle verifiche.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Biella a pattino inclinato.<br />
In figura è indicato il sistema biella-manovella che esercita una forza costante F sul pattino. Si individui l’angolo θ per<br />
cui risulta essere massimo il momento M da applicare in A, si traccino le caratteristiche di sollecitazione nei due<br />
elementi AB e BC e se ne dimensionino le sezioni, previa scelta del materiale da costruzione.<br />
Dati:<br />
a = 200 mm b = 600 mm F = 3000 N<br />
B<br />
A<br />
a<br />
θ<br />
b<br />
C<br />
F<br />
M<br />
170°<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Calcolate le reazioni (forza e momento) in A, si tracciano le caratteristiche. Si trova il massimo di M in funzione della<br />
direzione (assegnata) di F, e si completa il dimensionamento. La scelta del materiale è vincolata al tipo di impiego.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Telaio di bicicletta.<br />
Si voglia realizzare un telaio di bicicletta, secondo le specifiche date nelle figure (tratto AB orizzontale, dimensioni in<br />
mm.), utilizzando dei tubi di acciaio (tensione di snervamento σy = 240 MPa). Data la forza F = 1500 N, supponendo le<br />
reazioni R 1 e R 2 verticali e che i collegamenti siano schematizzabili come cerniere, determinare:<br />
- le caratteristiche di sollecitazione nei diversi tratti<br />
- le sezioni dei tubi<br />
- la massa del telaio.<br />
A<br />
600<br />
F<br />
B<br />
R 1<br />
R 2<br />
550<br />
VISTA LATERALE<br />
700 500<br />
D<br />
C<br />
400<br />
A<br />
C<br />
D<br />
1<br />
D 2<br />
VISTA DALL'ALTO<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Le reazioni verticali sono immediatamente ricavabili con l’equilibrio del telaio nel suo insieme.<br />
Occorre poi procedere partendo da un nodo in cui sia nota la forzante, ad esempio il nodo A: il tubo orizzontale e quello<br />
obliquo sono aste scariche e con l’equilibrio si trovano gli sforzi normali entro esse. La azione del tubo orizzontale, una<br />
volta determinata, è sommata vettorialmente alla forza F; il tubo orizzontale può così essere eliminato: in B si avranno<br />
due aste BC e BD scariche con carico esterno noto; con l’equilibrio si trovano le azioni nelle aste, ecc.<br />
BD, in realtà, non è un elemento singolo ma è costituito da due foderi obliqui, così come CD; le azioni sul singolo<br />
fodero saranno la metà di quelle individuate.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Gru snodabile.<br />
Si abbia la gru di sollevamento indicata in figura 1, avente doppio azionamento in elevazione, e braccio sfilabile (in<br />
posizione di massimo). Con riferimento alla rappresentazione (fortemente) semplificata di figura 2, e supponendo di<br />
voler realizzare i diversi tratti con degli scatolati rettangolari cavi (in acciaio al carbonio avente σsn = 400 MPa) di<br />
spessore 10 mm, si determinino:<br />
- le caratteristiche di sollecitazione nei tratti AB e BD<br />
- le sezioni dei profilati, tenendo conto che CD dovrà poter scorrere all'interno di BC.<br />
Fig. 1 - Gru in posizione di massima elongazione del braccio.<br />
4m<br />
6.5m<br />
2m 0.8m<br />
3m<br />
B<br />
0.8m<br />
C<br />
F<br />
D<br />
A<br />
15°<br />
21°<br />
Fig. 2 - Schema semplificato.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
I cilindri idraulici lavorano come puntoni/tiranti (sono aste scariche, con sezione variabile).<br />
Sul braccio BC agisce un momento flettente concentrato a causa del fatto che l’azione del pistone è disassata di 0.8 m.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Telaio per macchina di trazione.<br />
Si abbia da dimensionare il telaio di una macchina per prove di trazione il cui ingombro é mostrato in figura.<br />
Supponendo di scegliere come materiale da costruzione un acciaio al carbonio (σsn = 450 MPa), si determinino:<br />
- le caratteristiche di sollecitazione nei diversi tratti;<br />
- la sezione maggiormente sollecitata;<br />
- le sezioni dei profilati;<br />
- le tensioni principali nel punto più sollecitato.<br />
250 mm<br />
F=10000 N<br />
1600 mm<br />
simbolo per cerniera<br />
Nota: la struttura è simme<br />
F<br />
500 mm<br />
250 mm<br />
Schizzo del telaio<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Per la simmetria, basta riferirsi a mezza struttura (incastro in mezzeria).<br />
Scelte le sezioni (per esempio, scatolati rettangolari, convenientemente orientati) si trovano caratteristiche e tensioni<br />
locali. Simmetria e cerniere permettono di non porre tolleranze sulle frecce.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Braccio per bancale di misura.<br />
Il braccio B ruota intorno all’asse della colonna C fissata ad una bancale (vedasi figura). All’estremità del braccio é<br />
applicato un carico verticale F = 2000 N. Si richiede che lo spostamento verticale dell’estremo de braccio non superi<br />
fmax = 9 mm.<br />
1) Si trovino le caratteristiche di sollecitazione nel braccio e nella colonna.<br />
2) Si dimensionino il braccio e la colonna, scegliendo il materiale da costruzione.<br />
1000 mm.<br />
B<br />
F<br />
800 mm.<br />
C<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Scelte le sezioni, si trovano caratteristiche e tensioni locali. Quindi si scrivono le equazioni delle linee elastiche, da<br />
integrare, per trovare inclinazioni e frecce.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Supporto smontabile.<br />
In figura é mostrato lo schizzo tridimensionale di un montante da fiera, atto a sorreggere all’estremità un carico<br />
massimo P = 5000 N.<br />
Il braccio, ai fini di un rapido smontaggio, è fissato ai due montanti per mezzo di tre spine cilindriche (situate ai vertici<br />
di un triangolo); i montanti sono saldati su di una piastra la quale a sua volta è imbullonata al basamento.<br />
Dati:<br />
• lunghezza braccio b = 1200 mm<br />
• altezza montanti h = 1800 mm<br />
Si richiede il dimensionamento del braccio, del montante, delle spine e dei bulloni, scegliendo il materiale.<br />
Per la forma dei montanti, si scelga il profilo più opportuno; il braccio, invece, dovrà essere un profilato cavo.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
L’effetto della coppia dell’elemento a mensola è ripartito sulle tre spine. La verifica di queste tiene conto del taglio.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Supporto per carichi a direzione variabile.<br />
In figura è mostrato un sistema costituito da una asta con tirante, che sopporta un carico F = 6 kN, dovuto al tiro di funi,<br />
con direzioni variabili entro un semipiano.<br />
1) Si trovino le caratteristiche di sollecitazione nell’asta e nel tirante per i casi:<br />
a) forza diretta verso il basso (come in figura)<br />
b) forza diretta verso destra<br />
c) forza diretta a 30° rispetto all’orizzontale<br />
d) forza diretta verso l’alto.<br />
2) Si dimensionino asta e tirante per la condizione di carico più gravosa, scegliendo il materiale da costruzione ed<br />
adottando per la sezione dell’asta un profilo a “T” (convenientemente orientato).<br />
d)<br />
c)<br />
b)<br />
a)<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Si tracciano le caratteristiche e si trovano tensioni locali.<br />
Può essere indicativo, anche, trovare le frecce dell’estremo dell’asta.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Levismo a squadra.<br />
In figura è illustrato lo schizzo tridimensionale di un meccanismo di bloccaggio.<br />
Le leve K e L sono saldate all’alberino “a”. Sull’estremità della leva L agisce un carico P che deve essere contrastato<br />
dalla forza F applicata perpendicolarmente alla leva K; i supporti C e B sostengono i perni di estremità “e” dell’albero<br />
“a” (albero e perni sono ricavati di pezzo ed attraversati da un foro passante).<br />
Dati:<br />
lunghezza di “a”: 90 mm (esclusi i perni)<br />
larghezza supporti B e C (in direzione y): 18 mm<br />
distanza tra “s” e K: 20 mm<br />
distanza tra L e K: 30 mm<br />
lunghezza di K (dall’asse dell’albero): 150 mm<br />
lunghezza di L (dall’asse dell’albero): 90 mm<br />
diametro esterno albero: 30 mm<br />
altezza dello spallamento “s”: 3 mm<br />
P=800 N<br />
angolo tra P e piano x-y: 50°<br />
angolo tra K e piano x-y: 30°<br />
angolo tra K e L: 90°<br />
Si richiede:<br />
• la valutazione della forza F;<br />
• il tracciamento delle caratteristiche di sollecitazione per le leve K e L, per l’albero “a” e per i perni “e”;<br />
• il dimensionamento della leva K (scelta dello spessore);<br />
• il dimensionamento della leva L (scelta dello spessore);<br />
• la determinazione del diametro del foro passante.<br />
Soluzione numerica (Unità: Nmm, mm, N):<br />
P è inclinata di 20° rispetto a L.<br />
F*150=Pcos20°<br />
F=451<br />
Leva L:<br />
Taglio: Pcos20°=752; Normale: Psen20°= -274; Momento massimo=752*(Lungh.L-Dalbero/2)=56400<br />
Leva K:<br />
Taglio: F=451; Momento massimo=451*(Lungh.K-Dalbero/2)=60885<br />
Pz= Psen50°=-613 ; Px= Pcos50°=-514 ; Fx= Fsen30°=225 ; Fz= Fcos30°=-390.<br />
Albero a:<br />
Piano x-y<br />
Taglio. Tratto CK: 69 - Tratto KL: 294 - Tratto LB: -220<br />
Momento. Tratto CK: max 2001 - Tratto KL: max 10820. In C e B: 0<br />
Momento torcente=451*Lungh.K=67650.<br />
Piano z-y<br />
Taglio. Tratto CK: 563 - Tratto KL: 173 - Tratto LB: -440<br />
Momento. Tratto CK: max 16327 - Tratto KL: max 21560. In C e B: 0<br />
La sezione più sollecitata è in corrispondenza di L. Momento Composto=24100.<br />
Scelta del materiale: Acciaio AISI 1015, in barre laminate a freddo, di diametro tra 19-32 mm<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Composizione (%): C 0.12 - 0.18; Fe 99.13 - 99.58; Mn 0.3 - 0.6; P Max 0.04; S Max 0.05<br />
Carico di rottura:385.<br />
Limite di snervamento: 325.<br />
Allungamento a rottura(%): 18.<br />
Durezza Brinell: 111.<br />
Dimensionamento, utilizzando un fattore di sicurezza.<br />
Il perno in C è il più sollecitato. Esso ha un diametro 30-3*2=24 mm.<br />
Taglio composto (somma vettoriale di 563 e 69): 567<br />
Momento composto: 567*9 (semilunghezza perno)=5105.<br />
Dimensionamento a momento flettente: con un Diam. Interno di 23 si ha una tensione normale di 24 MPa.<br />
Dimensionamento a taglio: a causa della limitata lunghezza dell’elemento occorre verificarne la resistenza:<br />
a taglio. L’area della corona circolare è 37. La tensione di taglio è 567/37=15.<br />
Verifica dell’albero. Diametro esterno: 30; diametro interno: 23. Tensione: 37.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Paranco a fune.<br />
Si voglia dimensionare l’apparato di sollevamento schematicamente rappresentato nella figura seguente. Il carico sia<br />
sollevato da una fune metallica azionata da un tamburo, posto al suolo in prossimità della colonna. Per semplicità, nel<br />
problema statico, l’estremità della fune può essere vincolata a terra. La fune è guidata da due carrucole (nota: la<br />
carrucola in B appartiene al tratto AB). Supponendo di scegliere come materiale da costruzione un acciaio al carbonio<br />
(σsn = 240 MPa), si determinino:<br />
- le caratteristiche di sollecitazione nei tratti AB, BC, DE;<br />
- la sezione maggiormente sollecitata;<br />
- le sezioni dei profilati.<br />
(NB: un primo calcolo può ritenere il raggio delle carrucole trascurabile; in alternativa, riportare la forza sull’asse<br />
implica aggiungere un momento localizzato).<br />
IPOTESI DI SOLUZIONE.<br />
Fig. 1. Schema unifilare (I vincoli sono: in A incastro, in B,D,E cerniere).<br />
Con il teorema dei seni si valutano per prima cosa le diverse lunghezze dei membri:<br />
DB = 1m<br />
DE<br />
sen Dˆ B E = DB<br />
sen Bˆ E D = BE<br />
sen BD ˆ E<br />
DE = DB sen105°<br />
sen 30° =1.93m<br />
BE =1.41m<br />
a) Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione.<br />
Per la loro determinazione é necessario dapprima individuare le forze ed i momenti che gli elementi della struttura si<br />
scambiano reciprocamente. Si adotta, cioè, il diagramma del corpo libero, pensando di isolare un elemento dalla<br />
struttura completa ed applicando alle sezioni, che si sono venute a creare in seguito alla sconnessione, le azioni (forze e<br />
momenti) necessarie a mantenere l'elemento nelle condizioni in cui si trovava prima dello scollegamento (nel caso in<br />
oggetto: condizioni di equilibrio statico).<br />
Tratto BC<br />
Isolando il tratto BC e considerando le forze note ed incognite si ha lo schema di Fig. 2. Si osservi come all'estremo C<br />
agisce oltre alla forza peso del carico F anche il tiro della fune che, per poter sorreggere il carico, occorre sia diretto<br />
verso il punto B e con valore uguale alla forza F.<br />
y<br />
+<br />
+<br />
x<br />
+<br />
R By<br />
B<br />
R B<br />
R Ey<br />
R E<br />
R Bx<br />
E<br />
15° 45°<br />
Fig. 2.· Forze su BC.<br />
R Ex<br />
F<br />
C<br />
F<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Si possono fare alcune semplificazioni poiché:<br />
- nel punto E (cerniera) non si ha un momento flettente;<br />
- la reazione R E provocata dall'asta DE ha la stessa direzione del suo asse essendo DE compresa tra due cerniere.<br />
y +<br />
+<br />
x<br />
+<br />
955<br />
E<br />
881<br />
1654<br />
C<br />
676<br />
773<br />
B<br />
15°<br />
45°<br />
279<br />
Fig. 3. · Azioni su BC.<br />
Prendendo per comodità un sistema di assi cartesiani con x in direzione dell'asse del tratto BC, ed imponendo<br />
l'equilibrio alle traslazioni ed alle rotazioni, si hanno le seguenti equazioni (per le componenti dei vettori delle forze):<br />
∑ F x<br />
= 0 ⇒ R Bx<br />
+ R Ex<br />
− F − Fsen(15°) = 0<br />
∑ F y<br />
= 0 ⇒ R By<br />
+ R Ey<br />
− Fcos(15°) = 0<br />
∑ M B<br />
= 0 ⇒−R Ey<br />
BE + F cos(15°)BC = 0<br />
R Ey<br />
= tan(30°)<br />
R Ex<br />
che, sostituiti i valori numerici, conducono a:<br />
R Bx<br />
=−773 N<br />
R By<br />
=−279 N<br />
R Ey<br />
= 955 N<br />
R Ex<br />
= 1654 N<br />
I valori negativi ottenuti per le componenti della reazione RB (i cui versi erano stati scelti arbitrariamente) stanno a<br />
significare che i versi reali sono opposti a quelli assunti. La condizione di carico su BC è, scomponendo la forza F del<br />
carico secondo i due assi cartesiani, quella indicata in Fig. 3.<br />
I diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione sono indicati in Fig. 4.<br />
N [N]<br />
B<br />
773<br />
E -881<br />
C<br />
T [N]<br />
B<br />
-279<br />
E<br />
676<br />
C<br />
M [Nm]<br />
B<br />
E<br />
C<br />
-392<br />
Fig. 4.· Caratteristiche di sollecitazione per BC.<br />
La sezione maggiormente sollecitata è in corrispondenza del punto E, in si ha: N= -881 N (compressione), T= 676 N,<br />
M= 392 Nm.<br />
Tratto DE<br />
Nel punto E é applicata una forza di modulo uguale (1654/cos(30°) = 1910 N) e di verso opposto a R E , Fig. 5). L'unica<br />
forza agente é un carico normale di compressione (Fig. 6).<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
1910<br />
E<br />
15°<br />
45°<br />
1910<br />
D<br />
Fig. 5.· Forze su DE.<br />
N [N]<br />
D<br />
E<br />
-1910<br />
Fig. 6.· Caratteristica di sollecitazione per DE.<br />
Tratto AB.<br />
Per il tratto AB si riportano le azioni esercitate dai membri BC e DE, oltre alle forze indotte dalla fune ed alle reazioni<br />
(incognite) che l'incastro produce. Si ha lo schema di Fig. 7.·<br />
279 700 773<br />
15°<br />
B<br />
1351<br />
700<br />
B<br />
49<br />
45°<br />
+<br />
x<br />
+<br />
x<br />
1910<br />
D<br />
+<br />
y<br />
+<br />
1351<br />
1351<br />
D<br />
+<br />
y<br />
+<br />
R Ay<br />
R Ay<br />
M A<br />
M A<br />
A<br />
A<br />
R Ax<br />
R Ax<br />
Fig. 7.·· Forze su AB e loro scomposizione lungo x e y.<br />
Per l'equilibrio:<br />
R Ax<br />
= 0<br />
R Ay<br />
=1400 N<br />
M A<br />
=−1351 Nm<br />
In Fig. 8·sono riportati i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione.<br />
N [N]<br />
A<br />
D<br />
B<br />
-1400<br />
-49<br />
T [N]<br />
A<br />
D<br />
1351<br />
B<br />
M [Nm]<br />
A<br />
-1351<br />
D<br />
B<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Fig. 8.·· Caratteristiche di sollecitazione per AB.<br />
Le sezioni più sollecitate sono:<br />
1) quella all'immediata sinistra del punto D in cui N=-1400 N, T=0, M=-1351 Nm<br />
2) quella all'immediata destra del punto D in cui N=-49 N, T=1351, M=-1351 Nm<br />
Scelta del profilato per il tratto AB.<br />
Si ricorda che una trave é definibile tale quando la sua lunghezza l sia molto maggiore della massima dimensione della<br />
sezione trasversale d. Ora, per una trave è possibile trascurare il taglio rispetto al momento flettente, poiché le tensioni<br />
di taglio dovute al taglio sono piccole rispetto alle tensioni normali indotte dal momento flettente.<br />
Le caratteristiche da considerare per il dimensionamento saranno, dato che si trascura il taglio, quelle agenti<br />
all’immediata sinistra del punto D: N=-1400 N, M=-1351 Nm, T=0.<br />
Le tensioni normali date dalla forza normale di compressione sono distribuite in modo uniforme sulla superficie A<br />
(trasversale) e sono date da:<br />
σ c<br />
= N A<br />
Il momento flettente invece provoca una distribuzione di tensioni normali di tipo triangolare: esse sono nulle sull'asse<br />
neutro ed hanno i valori massimi (in valore assoluto) per fibre più distanti dall'asse neutro. Se la sezione del profilato<br />
utilizzato é simmetrica rispetto ad un asse baricentrico normale al piano in cui avviene la flessione, il modulo di<br />
resistenza a flessione (relativamente a quell'asse) é uno solo, per cui si ha:<br />
σ f1<br />
=− M Ed<br />
I<br />
σ f2<br />
=+ M d E<br />
I<br />
Per il profilato a "doppio T" sollecitato da momento flettente (negativo), si ha la distribuzione di tensioni data in Fig. 9.<br />
Nel caso di sezione asimmetrica si ha invece:<br />
σ f1<br />
=− M E d 1<br />
I 1<br />
M<br />
y<br />
+<br />
+<br />
x<br />
M<br />
+<br />
σ f1<br />
d<br />
-d<br />
-<br />
σ f2<br />
asse<br />
neutro<br />
Fig. 9.·· Tensioni provocate da flessione di un elemento a “doppio T”.<br />
σ f2<br />
=+ M Ed 2<br />
I 2<br />
Per un profilato a "T" sollecitato da un momento flettente (negativo) si ottiene la distribuzione di tensioni indicata in<br />
Fig. 10.· Si noti come la tensione massima di trazione in corrispondenza dell'ala superiore è (in valore assoluto) minore<br />
della massima tensione di compressione che si ha all'estremo inferiore dell'anima verticale.<br />
y<br />
+<br />
+<br />
x<br />
-<br />
σ<br />
f2<br />
+<br />
σ<br />
f1<br />
d 1<br />
-d 2<br />
asse<br />
neutro<br />
M<br />
M<br />
Fig. 10.· · Tensioni provocate da flessione di un elemento a “T”.<br />
E' evidente che nel caso di sola flessione e per un materiale avente comportamento simmetrico a trazione e a<br />
compressione, una sezione asimmetrica è controindicata perché non "sfrutta" appieno il materiale. L'adozione di una<br />
sezione asimmetrica é invece possibile quando il materiale ha un limite di resistenza a compressione maggiore di quello<br />
a trazione (come avviene, ad esempio, per le ghise). A compressione potranno perciò essere raggiunte tensioni normali<br />
che hanno valori più elevati (in modulo) di quelle dovute alla trazione.<br />
Per un materiale a comportamento simmetrico (a trazione e compressione), é possibile avere una distribuzione di<br />
tensioni non simmetrica anche per sezioni simmetriche, quando alla flessione é sovrapposta trazione o compressione. In<br />
questo caso é consigliabile l'adozione di una sezione asimmetrica in quanto, se opportunamente scelta, essa consente di<br />
ridurre la differenza (sempre con riferimento ai valori assoluti) tra le tensioni agenti all'estradosso (fibre tese) e<br />
all'intradosso (fibre compresse).<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Ricordando che il materiale da costruzione é acciaio, la disequazione da rispettare sarà:<br />
σ max<br />
=+ M E<br />
W + N A ≤σ amm<br />
Scegliendo un coefficiente di sicurezza n=2,5 si ha:σ amm<br />
= σ sn<br />
n = 96MPa<br />
e numericamente: 1351000<br />
W + 1400<br />
A<br />
≤ 96 [unità in N e mm]<br />
ove A e W sono incognite e dipendono dalla geometria della sezione.<br />
Si scelga come primo tentativo un profilato a "doppio T" con denominazione IPE 120. Da tabelle normalizzate é<br />
possibile ricavare i valori del modulo di resistenza a flessione (secondo l'asse desiderato) e dell'area per differenti<br />
dimensioni della sezione retta:<br />
A=1320 mm 2 , Wxx=53000 mm 3<br />
Tra i due moduli di resistenza alla flessione é stato scelto Wxx (che è maggiore di Wyy): ciò significa che il profilato<br />
sarà orientato in modo che l'anima centrale sia parallela al piano secondo il quale avviene di flessione (o, in altre parole,<br />
con l'asse x-x parallelo al vettore del momento flettente).<br />
Si ha:<br />
1351000<br />
53000 + 1400 = 25 +1 = 26 ≤ 96<br />
1320<br />
La sezione soddisfa i criteri di resistenza, ma é sovradimensionata, dato che la massima sollecitazione è inferiore ad un<br />
terzo della tensione ammissibile.<br />
Si prova, quindi, con un IPE 80: A=764 mm 2 ; Wxx=20000 mm 3<br />
Per il quale si ha:<br />
1351000<br />
20000 + 1400<br />
764 = 68 + 2 = 70 ≤ 96 .<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Sollevatore semovente.<br />
Determinare le componenti delle reazioni vincolari in A ed in C per il braccio telescopico mostrato in figura. Tracciare<br />
le caratteristiche di sollecitazione per il braccio e scegliere le sezioni per i due tratti considerando che l’elemento<br />
“sfilante” deve poter scorrere entro il tratto AG. Il carico massimo sollevabile nella configurazione data sia P=4000 N.<br />
(NB: un primo calcolo può ritenere in asse l’azione delle funi; in alternativa, occorre aggiungere momenti localizzati,<br />
dipendenti dai bracci effettivamente presenti).<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Il braccio telescopico presenta sezione (circolare, cava) discontinua. Il puntone CD può assumere angolazioni diverse,<br />
comunque, limitate dalla condizione di non-ribaltamento del veicolo.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Freno per bicicletta.<br />
Si consideri il sistema di frenatura a doppia ganascia per la ruota anteriore di una bicicletta schematizzato in figura (non<br />
in scala). Le leve “L” possono ruotare attorno ad un perno “A” solidale alla forcella e sono azionate da due cavi<br />
ancorati ad una piastrina triangolare che in fase di frenatura viene sollevata: i pattini sono così spinti dai perni “B”<br />
contro i fianchi del cerchione.<br />
Supponendo che il carico gravante sul perno ruota sia F, che la decelerazione desiderata sia a = 0.7 g, si determini il<br />
valore di T (previa opportuna scelta del fattore di attrito tra pattino e cerchio) e si individuino le caratteristiche di<br />
sollecitazione nella leva freno e nel perno “B”.<br />
Si dimensionino la leva “L”, il perno “B” e il perno “A” affinché non si abbia rottura (scegliendo il materiale).<br />
Figura - Schema semplificato di un freno a doppia ganascia.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
La forza esercitata dal pattino sul cerchio è perpendicolare alla retta passante tra la superficie del pattino ed il perno A<br />
(a patto che la forza di attrito lo consenta).<br />
La leva del pattino esercita sul la leva L taglio, momento torcente, momento flettente, sforzo normale.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Ponte sollevabile.<br />
Si voglia realizzare un ponte sollevabile (fig. 1). Si supponga di scegliere per le torri T e la campata mobile D degli<br />
scatolati rettangolari di acciaio al carbonio avente σsn = 400 MPa, al posto di tralicci (fig. 2, per la campata sono<br />
riportate le dimensioni della sezione retta). Le torri sono vincolate al terreno tramite due cerniere ciascuna (E e F). La<br />
campata è bilanciata da due contrappesi (C) che agiscono su essa per mezzo di funi metalliche guidate da carrucole (A e<br />
B). Il carico massimo sopportabile dalla campata (in mezzeria) sia P = 70 kN.<br />
Si determinino le caratteristiche di sollecitazione nelle torri T e nella campata D tenendo conto del suo peso (per<br />
semplicità lo si consideri come un carico concentrato applicato al baricentro) e del carico P.<br />
Si verifichi la sezione della campata e si scelgano le sezioni delle torri.<br />
Fig. 1 - Ponte sollevabile<br />
Fig. 2 - Schema del ponte mobile<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
La struttura è simmetrica.<br />
A causa del tiro delle funi sulle pulegge in B, sui montanti “T”, oltre a tagli e sforzi normali, agiscono anche momenti<br />
flettenti dovuti ai carichi concentrati.<br />
Sugli appoggi, non vi sono componenti delle forze orizzontali.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Mensola articolata.<br />
Si abbia una parte di una macchina caricata come in figura (dimensioni in mm). Il pezzo AB é costituito da un profilato<br />
ad "U" dello spessore di 3 mm.<br />
Trascurando il peso delle diverse parti, ed assumendo che i giunti (cerniere) siano già stati correttamente dimensionati:<br />
1) si traccino le caratteristiche di sollecitazione per il tratto AB<br />
2) si individui la sezione in cui é massima la sollecitazione composta per il tratto AB<br />
3) si verifichi se la sezione maggiormente sollecitata è adeguata, essendo σamm = 200 MPa la tensione massima<br />
ammissibile per l’acciaio.<br />
Sezione A-A<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
L’asta obliqua è incernierata agli estremi e non ha carichi intermedi, e quindi esercita solo forze dirette come il proprio<br />
asse. Per l’elemento superiore: in B esiste un momento flettente non nullo.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Telaio d’ancoraggio per monorotaia.<br />
In relazione al telaio indicato nella figura, sottoposto al carico P, si calcolino il diametro d (acciaio S240) e la freccia f<br />
corrispondente.<br />
Si calcolino d 1 e d 2 necessari ad avere:<br />
1) la stessa sollecitazione massima;<br />
2) la stessa rigidezza.<br />
Si dimensionino le viti di attacco per le due soluzioni (telaio e barra a sbalzo), scegliendo opportunamente h e H<br />
(distanza tra gli assi delle viti).<br />
h<br />
nervature di ir rigid imento<br />
H d 1<br />
45°<br />
l = l/ 2<br />
f<br />
P= 10000 N<br />
d<br />
H d 2<br />
l = 1 m<br />
Schema di telaio di supporto ad aste.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Per il telaio: le aste non hanno carichi eccetto che alle cerniere, pertanto quella superiore si allunga e quella<br />
inferiore si accorcia. La forza P è la risultante delle due forze di reazione delle aste (uguali in modulo).<br />
Per le viti: devono serrare le piastre sulle pareti in modo che non vi sia scivolamento verso il basso della struttura (si<br />
deve specificare un fattore di attrito), né distacco delle piastre. Per le mensole, occorre che le viti superiori contrastino<br />
anche il momento dovuto al carico.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Bancale a mensole sfalsate.<br />
Data la struttura sottoposta alle condizioni di carico e di vincolo riportate in figura (dimensioni in millimetri), essendo<br />
P 1 = 500 N e P 2 = 1000 N, si richiede, scelto del materiale, di:<br />
• determinare le reazioni nei vincoli A e B;<br />
• tracciare le CDS per l’elemento verticale;<br />
• scegliere le sezioni e i profili per i diversi elementi.<br />
N.B. La squadra di fissaggio è supposta infinitamente rigida.<br />
· Bancale a doppia mensola sfalsata.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Per evitare che il problema sia iperstatico, occorre che il vincolo in A consenta il movimento verticale della struttura<br />
(che è già impedito da B): in B si avrà una cerniera ed in A una cerniera + pattino verticale.<br />
Le viti devono comprimere gli elementi in modo che non vi sia distacco di essi rispetto al telaio di ancoraggio<br />
(tratteggiato): esse sono pertanto sollecitate a pura trazione.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Capriata con carico centrale.<br />
In figura é rappresentato in modo schematico un telaio (le dimensioni indicate sono in mm), il quale è soggetto ad un<br />
carico verticale F=10.000 N applicato alla cerniera di mezzeria:<br />
- si traccino le caratteristiche di sollecitazione per i diversi tratti;<br />
- si dimensionino gli elementi, previa scelta del materiale da costruzione.<br />
· Schema di telaio per carichi sospesi.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Il problema è 1 volta iperstatico! La soluzione è, per altro, immediatamente ottenibile per la simmetria di carichi e<br />
vincoli.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Capriata con carico concentrato.<br />
In figura é rappresentato schematicamente un telaio (le dimensioni indicate sono in mm.) al quale viene applicato un<br />
carico verticale F=10.000 N, sulla travatura superiore.<br />
• Si traccino le caratteristiche di sollecitazione per i diversi tratti;<br />
• Si dimensionino gli elementi, previa scelta del materiale da costruzione.<br />
· Presentazione di telaio con carico concentrato.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Si tenga conto che il solo tratto superiore è soggetto a flessione (poiché gli altri tratti non presentano carichi intermedi<br />
fra le cerniere).<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Sospensione oscillante.<br />
Si determinino le caratteristiche di sollecitazione del braccio nella configurazione 2 (in cui OA é perpendicolare a OM),<br />
supponendo che la rigidezza della molla rimanga costante durante l’allungamento, e nella configurazione 3. Si chiede di<br />
dimensionare lo stesso, in modo che la freccia in corrispondenza dell’estremo su cui agisce il carico non superi il valore<br />
di 5 mm.<br />
· Cinematismo schematico per sospensione di motoretta.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Per prima cosa occorre valutare, per mezzo di considerazioni geometriche, la variazione di lunghezza della molla (tra 1<br />
e 3); essa è un’asta scarica (di lunghezza variabile), per cui è immediato trovare la variazione di forza che essa esercita<br />
(tra 1 e 3). Con i dati trovati si determina la rigidezza della molla e conseguentemente la forza che essa esercita nella<br />
posizione 2).<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Afferraggio per movimentazione.<br />
In figura è mostrata una pinza atta alla movimentazione di carichi. Essa è di semplice uso e non richiede alcun<br />
meccanismo di bloccaggio poiché l’applicazione della forza P determina l’avvicinamento relativo dei tamponi A e B:<br />
questi, in virtù della forza di attrito generata dalla forza di compressione che essi esercitano, riescono a trascinare la<br />
tavola (in legno) e la cassa sovrastante.<br />
Essendo m=200 kg, la massa del carico, e ipotizzando valori ragionevoli per i coefficienti di attrito tavola/suolo e<br />
tamponi/pinze:<br />
• si determini l’entità della forza P<br />
• si traccino i diagrammi di sollecitazione per le leve della pinza<br />
• si individui la sezione maggiormente sollecitata<br />
• si effettui il dimensionamento della pinza e dei perni<br />
• si espongano sommariamente le soluzioni costruttive e di montaggio dei diversi elementi.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
I tamponi, se molto deformabili, consentono significative forze di trascinamento (di là dall’attrito superficiale). Per una<br />
migliore aderenza, le leve terminano con flangie A e B articolate. Per simmetria, sul perno C non vi sono componenti<br />
nella direzione del traino.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Pinze con ganasce ad attrito.<br />
E' fornito in figura uno schizzo indicativo di una pinza per sollevamento lamiere aventi spessore non superiore a 20 mm e<br />
peso minore di 4.000 N.<br />
L'afferraggio deve essere garantito dal solo attrito metallo/metallo.<br />
Data la configurazione di cui allo schema, supponendo che il coefficiente di attrito consenta l’afferaggio, si definiscano:<br />
1. le forze agenti nei perni A, B, C<br />
2. le caratteristiche di sollecitazione nelle leve e nei tiranti<br />
3. le dimensioni delle leve e dei tiranti.<br />
Cinematismo schematico per pinza a ganascia.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Le due aste superiori hanno carichi solo alle estremità.<br />
Si dà per scontato che l’attrito consenta la presa. Il problema si semplifica notevolmente notando che, grazie alla<br />
simmetria, sul perno A non possono che agire forze esclusivamente orizzontali.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Paranco a bandiera.<br />
In figura è mostrata una “gru a bandiera” per il sollevamento e la movimentazione di carichi all’interno di stabilimenti.<br />
Dell’intera struttura, si considerino i soli elementi AB (trave) e CD (tirante), con carico nella posizione più sfavorevole.<br />
Si supponga che: i vincoli in B, C e D siano cerniere; AB sia orizzontale e D sia posto verticalmente sopra B.<br />
Dati (le unità di misura sono mm e N): AB=6000; CB=4000; angolo BCD=20°; P=7500<br />
Sezione CD: quadrata 30x30; Sezione AB: rettangolare 60x100.<br />
Si richiede:<br />
1 il modello di riferimento e la tipologia dei materiali<br />
2 il calcolo delle reazioni in B e D<br />
3 i diagrammi delle CDS per:<br />
a. il tratto AB<br />
b. il tratto CD<br />
4 la sezione più sollecitata nel tratto AB<br />
5 la sezione più sollecitata nel tratto CD<br />
6 la individuazione della componente massima di tensione di taglio<br />
7 la individuazione delle componenti massime di tensione normale<br />
8 la rotazione di A rispetto a B<br />
9 lo spostamento di A rispetto a B<br />
C<br />
D<br />
A<br />
B<br />
Gru a bandiera.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
La posizione più sfavorevole del carico è il punto A. Le scelte delle sezioni devono essere motivate, ed, eventualmente,<br />
suggerite alternative migliorative. Parimenti, le ipotesi per la “riduzione a modello” devono essere discusse, dando<br />
giustificazione delle stesse.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Carroponte monotrave.<br />
In figura è dato il disegno schematico di un carroponte monotrave. Dovranno essere evidenziate le principali soluzioni<br />
costruttive ed i materiali impiegati per i componenti strutturali.<br />
Per la taglia del carroponte potranno essere assunti i seguenti dati indicativi, che comunque il candidato ha facoltà di<br />
variare:<br />
- Portata: 1 tonnellata<br />
- Sc = 10 m , Scartamento<br />
- S = 1800 mm, Scartamento testate<br />
E’ richiesto di impostare il progetto di massima, motivando le scelte privilegiate.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Fra gli elementi da discutere, occorre comprendere:<br />
- dimensioni e profilo della monotrave;<br />
- modalità di vincolo agli appoggi;<br />
- tipologia del carrello e modalità di collegamento;<br />
- modalità di azionamento del carico;<br />
- ecc.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Cesoia per potatura.<br />
In figura è mostrata una forbice per potatura. Al punto E sia richiesta una forza tagliante di 200 N.<br />
Con le misure illustrate e rilevando approssimativamente quelle eventualmente necessarie (assumendo, per semplicità<br />
che le leve siano diritte e formino tra loro un angolo pari a 44°), si richiede di:<br />
- determinare la forza P<br />
- tracciare le caratteristiche di sollecitazione nei diversi elementi<br />
- individuare e dimensionare gli organi del meccanismo, inclusi i perni, scegliendo il materiale ed adottando per le<br />
leve una sezione ad U.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Si noti che BC è asta scarica. L’attrito dei perni è trascurato Per la configurazione in figura, i perni A, B, C e D hanno<br />
bracci in corrispondenza. L’elemento in E è supposto piccolo, per cui le azioni applicate passano (approssimativamente)<br />
dal centro.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Pinza di singolarizzazione e presa di teli.<br />
In figura, é mostrato lo schizzo (dimensioni in mm) di un dispositivo di singolarizzazione per teli in configurazione di<br />
chiusura. Il tampone “F” deve poter esercitare una forza di compressione (contro la base fissa “E”) pari a 350 N. La<br />
lunghezza delle leve AB e CD sia 340 mm; la cerniera G si consideri collocata nella mezzeria di AB.<br />
Per le condizioni assegnate e nei due casi:<br />
a) coefficiente di attrito tra “E” e “F” nullo<br />
b) coefficiente di attrito tra “E” e “F” pari a 0.8<br />
• si determini la forza che l’attuatore lineare “a” deve esercitare;<br />
• si individuino le caratteristiche di sollecitazione per i diversi tratti;<br />
• si dimensionino le leve AB, CD e BF, previa scelta del materiale.<br />
· Meccanismo di singolarizzazione e presa di teli.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
L’asta CD non ha carichi fuori dalle cerniere. Nel caso in cui si trascuri l’attrito, la forza scambiata tra E e F è<br />
puramente verticale; nel caso con attrito, la forza che F esercita su E ha direzione perpendicolare a FC (sempre che<br />
l’angolo di attrito lo consenta, come in questo caso, altrimenti occorre valutare la componente tangenziale data dalla<br />
forza normale moltiplicata il coefficiente di attrito).<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Meccanismo di blocco irreversibile.<br />
In figura, é mostrato lo schema (dimensioni in mm) di un sistema di bloccaggio rapido per prismi di taratura. Il<br />
serraggio avviene esercitando una forza verso il basso in corrispondenza del punto F sulla leva “L”; grazie ad un<br />
meccanismo a quadrilatero, la leva “T” ruota ed il suo punto terminale G si abbassa.<br />
Per la configurazione mostrata in figura e per quella in cui si hanno gli assi dei perni 1, 2 e 3 complanari, data una forza<br />
di comando P = 150 N, si determinino:<br />
• il valore della forza verticale applicata nel punto G necessaria per l’equilibrio<br />
• le caratteristiche di sollecitazione per le leve “L” e “T”.<br />
Si dimensioni la leva L per la condizione di carico più gravosa, scegliendo il materiale.<br />
F<br />
L<br />
T<br />
G<br />
1<br />
2<br />
B<br />
3<br />
TELAIO<br />
Meccanismo di blocco irreversibile.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Per la configurazione in figura, si noti che B è asta scarica. Quando i perni 1, 2 e 3 sono allineati il meccanismo è<br />
irreversibile: in G può essere applicata verso l’alto una forza (teoricamente) infinita, in realtà tale forza è limitata dalla<br />
rottura degli elementi.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Freno equilibrato a ceppi.<br />
In figura, è mostrato un freno con due leve all’estremità delle quali sono applicate le forze F. Il coefficiente di attrito tra<br />
ceppo e disco sia f=0,35.<br />
• Si trovino le caratteristiche di sollecitazione nelle leve.<br />
• Si dimensionino le leve, scegliendo il materiale da costruzione e le possibili soluzioni geometriche.<br />
Freno a ceppi.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Il problema è apparentemente simmetrico; ma non lo é a causa della rotazione del disco e conseguenti forze d’attrito. Si<br />
assuma per i ceppi una altezza di 40 mm.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Freno con ceppo singolo.<br />
In figura è mostrato un freno con un solo pattino ed una forza applicata all’estremità della leva (il freno completo<br />
avrebbe normalmente un secondo pattino per bilanciare le forze). Il coefficiente di attrito tra ceppo e tamburo sia<br />
f=0,35.<br />
1) Si trovino le caratteristiche di sollecitazione nel tratto verticale ed orizzontale della leva.<br />
2) Si dimensioni il braccio, scegliendo il materiale da costruzione e le possibili soluzioni geometriche.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
L’assenza di un secondo pattino ha effetto sui vincoli (di leva e tamburo).<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Morsetto portatile.<br />
In figura é schematicamente rappresentato un morsetto portatile. Come indicato, per effettuare il serraggio viene<br />
applicato un momento M all’estremità di una vite di manovra avente passo 2 mm accoppiata all’elemento con filettatura<br />
interna A (madrevite). Si supponga che l’assieme sia ancorato nel punto D.<br />
Dati:<br />
M = 0.06 Nm<br />
BC = 40 mm<br />
AC = 40 mm<br />
• Si determini la forza di serraggio esercitata dai tamponi di contrasto D ed E<br />
• Si traccino le caratteristiche di sollecitazione per le leve EBC ed ACD<br />
• Si dimensioni la leva ACD scegliendo il materiale<br />
IPOTESI DI SOLUZIONE.<br />
In A vi è il momento concentrato =0.06, che ha una componente di torsione (0.06*.707=0.042 Nm) ed una di flessione.<br />
La forza di separazione tra A e B si può determinare uguagliando il lavoro fatto dal momento per l’effettuazione di un<br />
giro con quello fatto dalla forza incognita per l’avanzamento di un passo (la vite compiendo un giro avanza di una<br />
distanza pari al passo):<br />
M*2*pigreco=F*0.002;<br />
Forza FB=FA=F: 188 N.<br />
FA_vert=133;<br />
FA_orizz=133;<br />
FB_vert=133;<br />
FB_orizz=133;<br />
Forza di serraggio FE:<br />
A meno dei radice_2: facendo polo in C:<br />
FB*(40)=FE*(30+40); FE=107<br />
FE_vert=76<br />
FE_orizz=76<br />
Sull’elemento ACD:<br />
FC_vert= FE_vert+ FB_vert=76+133=210 N<br />
FC_orizz= - FB_orizz + FE_orizz+ =-133 + 76 = - 67 N<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Ganascia d’afferraggio di forza.<br />
La pinza per robot, schematizzata in figura, deve poter esercitare una forza di compressione tra le ganasce P=200 N. I<br />
due fianchi affacciati delle ganasce non devono subire, sotto l’applicazione del carico, una rotazione superiore a 0.2°.<br />
Dopo aver determinato la forza A che l’attuatore (non indicato) deve applicare alle estremità delle leve di comando:<br />
- si traccino le caratteristiche di sollecitazione per le quattro leve;<br />
- si individuino la sezioni maggiormente sollecitate;<br />
- si dimensionino le leve;<br />
- si dimensionino i perni.<br />
P<br />
G<br />
G<br />
S<br />
L<br />
L<br />
S<br />
Telaio<br />
Telaio<br />
A<br />
A<br />
Ganascia a presa di forza.<br />
Vista Laterale<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Le leve “S” sono puntoni.<br />
Per l’equilibrio delle ganasce G si pensa di scollegarle dal resto e di adottare un vincolo di tipo cerniera nel punto di<br />
connessione con la leva “L”, applicando nel punto di connessione con la leva “S” una forza nota in direzione ed<br />
incognita in entità.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Colonna di sollevamento in linee automatiche.<br />
In figura é mostrato lo schizzo di una macchina per il sollevamento di componenti ingombranti fra linee di produzione<br />
automatica. Il carico è sostenuto dalla piattaforma T guidata nella corsa verticale dalle ruote di contrasto E che rotolano<br />
sulla colonna A. La piattaforma è azionata dal motoriduttore M tramite la catena K, ed è parzialmente bilanciata dal<br />
contrappeso C: la distanza b è tale che per un carico P=12000 N il baricentro della coppia carico+piattaforma mobile<br />
giace sulla linea di azione della catena K.<br />
Dati:<br />
Peso telaio mobile: 4000 N<br />
Carico massimo: P=24000 N<br />
Contrappeso: C=15000 N<br />
Interasse ruote E: d=1000 mm<br />
Corsa verticale telaio: l=5000 mm<br />
Velocità: 20 m/min.<br />
Durata della accelerazione: 0,5 s<br />
Coeff. attrito: µ = 0,05<br />
b=600 mm; c=400 mm; a=300 mm<br />
E’ richiesto il dimensionamento della guida A.<br />
D<br />
M<br />
b<br />
K<br />
A<br />
a<br />
c<br />
P<br />
E<br />
T<br />
d<br />
C<br />
· Pilastro elevatore.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Occorre, dapprima, trovare il baricentro della piattaforma T.<br />
Si pone, quindi, in equilibrio l’insieme piattaforma/carico massimo P; la catena K esercita una forza di richiamo<br />
verticale mentre le guide reagiscono con sole forze orizzontali.<br />
Passando alla colonna: si trasferiscono su di essa le azioni delle guide. Sulla sommità della colonna agisce un carico<br />
verticale dato da T+C+P ed un momento flettente concentrato dato da: b(P+T)-C*a.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Sollevatore a benna.<br />
In figura è illustrato lo schizzo di uno dei due bracci di un elevatore a tazza.<br />
Il carico massimo che la tazza può sollevare (comprensivo del peso proprio della tazza) è pari a 20 000 N.<br />
Si richiede:<br />
- il tracciamento delle caratteristiche di sollecitazione per i diversi elementi<br />
- il dimensionamento braccio ECF, adottando uno scatolato a sezione rettangolare a profilo variabile triangolarmente<br />
(con rapporto altezza-base in corrispondenza del punto C uguale a 2) ed un acciaio strutturale di media qualità<br />
- il dimensionamento dei perni in E, in C ed in F<br />
- il dimensionamento dei martinetti AB e CD<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Si suppone il carico a distribuzione uniforme, per cui la trave ECF risulti avere deformata piana.<br />
Il perno C può pensarsi centrato rispetto al profilato angolare (trascurando le discontinuità dei momenti).<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Scavatore a livello.<br />
In figura (dimensioni in metri) è schematicamente raffigurato un escavatore.<br />
Il braccio è supposto incastrato ad una piattaforma portante. Le condizioni di vincolo e carico permettono di assumere<br />
un piano di simmetria, e la soluzione è impostabile come caso di sollecitazione piana.<br />
1) Si dimensionino i bracci A e B scegliendo gli scatolati ed il materiale.<br />
2) Si dimensioni il martinetto idraulico (cilindro + pistone) sottoposto al carico massimo supponendo che la pressione<br />
di esercizio sia di 100 atm.<br />
3) Si dimensionino i perni, previo sviluppo di massima della geometria del braccio articolato ed ipotesi di simmetria.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Il peso proprio dei componenti è trascurato nel calcolo iniziale. Il carico è applicato all’estremità della benna.<br />
Si pone, quindi, in equilibrio l’insieme, per trovare le reazioni (forze e momento) all’incastro.<br />
Si passa ad imporre le condizioni d’equilibrio ai due congegni (leve ed aste) articolati, e si tracciano le caratteristiche di<br />
sollecitazione delle leve. Per l’individuazione delle tensioni, è da tenere conto della sagomatura.<br />
La verifica dei perni è fatta a pressione specifica.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Escavatore a benna.<br />
In figura 2 è riportato lo schema semplificato dell’escavatore mostrato in figura 1.<br />
Dati:<br />
- F=5000 N, inclinata rispetto all’orizzontale di 27°<br />
- quote (mm): DE=1000; EG=5000; EB=4000; BO=2000; EC=1700<br />
- angoli rispetto all’orizzontale (gradi): OB=60; EB=25.<br />
Si richiede (per la configurazione illustrata):<br />
• il valore delle spinte esercitate dai martinetti DC e AB<br />
• il valore della reazione vincolare in O<br />
• il tracciamento delle caratteristiche di sollecitazione per i bracci EB, BO e DG<br />
• il dimensionamento dei suddetti, tenendo conto della variazione di profilo indicata, utilizzando una sezione a “U”.<br />
D<br />
E<br />
C<br />
B<br />
A<br />
O<br />
G<br />
F<br />
Fig. 1 - Scavatore (LBX mod. 2800)<br />
g. 2 - Schema semplificato<br />
Soluzione (Unità: Nm, mm, N, °. Sistema di coordinate: x verso destra, y verso l’alto, origine in O)<br />
Quote verticali:<br />
Quote orizzontali:<br />
Angoli:<br />
Carico:<br />
OB=1732; OE=3422; OD=4422; OG=-1578<br />
OA=1000; OG=4625<br />
ECD=23°; EBO=145°<br />
Fy= Fsen27°=2270; Fx= Fcos27°=4455<br />
Reazioni vincolari: Equilibrio dei momenti (polo O):<br />
Dist_vert_GO = 1578; Dist_orizz_GO = 4625; Fy*4625 + Fx*1578 =RAy*1000 => RAy=-17530<br />
Equilibrio delle forze:<br />
Fx+ROx=0 Ray+Fy+ROx=0 => ROy=15260; ROx=4455<br />
Spinte martinetti: AB lavora in trazione e “tira” B con intensità RAy=-17530; CD è in compressione: N=-32300.<br />
CDS: (FEx=26730 e FEy=-25660)<br />
GE: -4455 T; -2270 N; ED: 22280 T; 23390 N; Mmax in E: 22275.<br />
EC: 11960 T; 35070 N; M_C= 22605; CB: 175 T; 5000 N; M_B= 22975; BO: 11490 T; -10990 N; M_B= 22975.<br />
Dimensionamento: [Scegliendo an acciaio S240: σsn=240, σamm=80 (con n=3)]<br />
In B il momento massimo è 22975000 Nmm e lo sforzo normale è 5000 N.<br />
Per una sezione ad U rovesciata 350x80x6 mm si ha: J=68E6, W=33E4, distanza massima dal baricentro=202.<br />
La tensione massima è 70 MPa.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Apparato di sollevamento.<br />
In figura è schematicamente rappresentato il telaio di un apparato di sollevamento. Dopo aver scelto il materiale da<br />
costruzione,<br />
1) si dimensionino gli elementi A, B ed E. Per il braccio A ed il montante E si adottino degli scatolati a sezione<br />
rettangolare variabile, per la leva B una sezione a “doppio T”;<br />
2) si dimensionino i perni degli snodi.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Il peso proprio dei componenti è trascurato nel calcolo iniziale. Il carico è applicato è supposto verticale.<br />
Si pone, quindi, in equilibrio l’insieme, per trovare le reazioni (forze e momento) all’incastro.<br />
Si impongono le condizioni d’equilibrio ai due congegni (leva e braccio) e relative aste. Si tracciano le caratteristiche di<br />
sollecitazione. Per l’individuazione delle tensioni, è da tenere conto della sagomatura.<br />
La verifica dei perni è fatta a pressione specifica.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Falcone di sollevamento-tronchi.<br />
In figura, é mostrato lo schizzo (dimensioni in metri) di un dispositivo dedicato al sollevamento e movimentazione di<br />
tronchi d’albero. Il falcone é montato sul pianale di un autocarro e compie le seguenti funzioni:<br />
• abbassamento punto E per raccogliere il tronco da terra;<br />
• sollevamento e trasferimento del carico;<br />
• deposito del carico.<br />
Il carico massimo sollevabile sia P=10 kN.<br />
Si scelga il materiale e si dimensionino il montante 2, il braccio 3, i martinetti idraulici 5 e 4 (con pressione di lavoro<br />
pari a 70 atmosfere), quando il braccio è nella posizione orizzontale.<br />
Forcone per movimentazione di tronchi d’albero.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Si veda l’esempio precedente. L’elemento 2 (asta compresa tra le due cerniere O 2 e D) è soggetto a forze disassate, che<br />
danno luogo a momenti concentrati in corrispondenza degli attacchi dei martinetti.<br />
I cilindri dei martinetti si considerino come recipienti cilindrici in parete sottile.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Capra con braccio regolabile.<br />
In figura é schematizzata una “capra” per sollevamento carichi. Per mezzo di un attuatore idraulico a doppio effetto<br />
(non indicato), azionato manualmente, l’operatore può variare l’angolazione del braccio telescopico da -60° a +30°<br />
rispetto all’orizzontale. In figura é riportata la configurazione con braccio esteso al massimo (portata 150 kg).<br />
L’elemento sfilabile può essere bloccato in 4 diverse posizioni per mezzo di spine cilindriche che si impegnano in<br />
altrettanti fori praticati nella porzione fissa ed in quella mobile del braccio. Con braccio completamente retratto la<br />
portata é di 500 kg.<br />
- Si traccino le caratteristiche di sollecitazione per gli elementi della struttura nella posizione orizzontale del braccio<br />
completamente esteso<br />
- Si scelgano opportuni profili per le diverse parti<br />
- si dimensionino i montanti, il braccio fisso e quello sfilabile.<br />
· Capra per sollevamento carichi.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
L’attuatore opera come un puntone.<br />
Il braccio sfilabile applica su quello cavo una coppia di forze (di taglio) uguali al momento flettente in corrispondenza<br />
della zona di imbocco diviso per la lunghezza della porzione comune dei bracci.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Meccanismo per carrello elevatore.<br />
In figura (dimensioni in mm) è schematicamente rappresentato un sistema articolato per un carrello elevatore: esso<br />
aziona la forchetta (elemento con forma a “L”) consentendole il movimento di sollevamento ed abbassamento<br />
(traslazione senza rotazione).<br />
Il carico massimo sia F=14 000 N.<br />
1) Si determinino le caratteristiche di sollecitazione per i bracci A e B (per α = 30°).<br />
2) Si dimensionino questi ultimi nell’ipotesi di impiego di acciaio avente limite di snervamento σsn = 350 MPa.<br />
· Il dispositivo nelle due posizioni estreme.<br />
4100<br />
A<br />
600<br />
F<br />
1500<br />
B<br />
1000<br />
α=30°<br />
106°<br />
Schema di carrello elevatore.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
L’asta A è soggetta a sola trazione (è un tirante); le aste A e B hanno assi paralleli. Il cilindro idraulico opera come<br />
puntone.<br />
Dapprima, supponendo di scollegare il tirante A dal resto della struttura, si pone in equilibrio la forchetta (vincolata nel<br />
punto in basso con una cerniera e caricata nel punto in alto da una forza di cui è nota la direzione ma non l’intensità);<br />
successivamente si trasferiscono le sue azioni sull’elemento B, tenuto conto della geometria del parallelogramma.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Piattaforma aerea telescopica.<br />
E’ riportata l’immagine di una gru telescopica per automezzo. Il candidato ne imposti il progetto, muovendo dal braccio<br />
estraibile. La gru può portare all’estremità accessori diversi dalla piattaforma della figura. Il progetto si intende limitato<br />
alla sola gru, senza considerare la struttura di collegamento all’automezzo ed il meccanismo di attacco degli accessori di<br />
estremità, come evidenziato dal contorno a linea spezzata.<br />
Devono essere discusse le fondamentali scelte costruttive ed i materiali scelti per i principali componenti strutturali.<br />
Sono consigliate le seguenti specifiche essenziali, non vincolanti per il candidato, che può assumerne liberamente altre:<br />
- Lunghezza del braccio fisso 5000 mm;<br />
- Portata massima 3 tonnellate.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE.<br />
Fra gli elementi da discutere, occorre comprendere:<br />
- dimensioni e profilo del braccio estraibile;<br />
- tipologia di vincolo ed azionamento;<br />
- modalità di sfilamento e guida;<br />
- sistemi di collegamento della piattaforma;<br />
- ecc.<br />
Il peso proprio dei componenti è trascurato nel calcolo iniziale. Il carico è applicato in mezzeria della piattaforma.<br />
Si pone in equilibrio l’insieme, per trovare le reazioni all’estremità inferiore. Si passa ad imporre le condizioni<br />
d’equilibrio ai due elementi (braccio e puntone) articolati, e si tracciano le caratteristiche di sollecitazione.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Palo per telecomunicazioni.<br />
In figura è illustrato un palo per telecomunicazioni. L’operatore esercita un tiro T,<br />
tramite una fune (contenuta in un piano parallelo al piano y). Alla mensola di<br />
lunghezza d è applicata la forza verticale F. La trave AE ha sezione circolare cava.<br />
Le unità di misura sono mm e N.<br />
Dati:<br />
angolo della fune rispetto alla verticale uguale a 30°<br />
a=1000; b=2000; c=3500; d=800<br />
T=500; F=1500<br />
Si richiede:<br />
1. il calcolo della reazione in A<br />
2. i diagrammi delle CDS per<br />
a. il tratto AE<br />
b. il tratto EG<br />
c. la mensola di lunghezza d<br />
3. la sezione più sollecitata nel tratto AE<br />
4. la massima tensione equipericolosa nel<br />
tratto AE<br />
5. la sezione più sollecitata nel tratto EG<br />
6. la scelta della sezione per il tratto EG<br />
7. la massima tensione equipericolosa nel<br />
tratto EG<br />
8. la sezione più sollecitata nel tratto di<br />
lunghezza d<br />
9. la scelta della sezione per il tratto di<br />
lunghezza d<br />
10. la massima tensione equipericolosa nel<br />
tratto di lunghezza d<br />
11. gli spostamenti dei punti E e G<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Recipiente cilindrico orizzontale.<br />
In Fig. 1 è schematicamente rappresentato un recipiente costituito da un mantello cilindrico M chiuso dai fondi F. Il<br />
recipiente, che contiene acqua alla pressione di 4 Bar (pari a MPa) é disposto orizzontalmente ed appoggiato alle<br />
estremità.<br />
Essendo:<br />
d=600 mm (diametro interno cilindro);<br />
l= 4000 mm (lunghezza cilindro).<br />
Si determini lo spessore s del mantello cilindrico utilizzando come materiale da costruzione un acciaio.<br />
F<br />
M<br />
d<br />
F<br />
Fig. 1 · Schema del recipiente.<br />
IPOTESI DI SOLUZIONE.<br />
Il momento quadratico di area J della sezione retta del recipiente (la sezione è una corona circolare) ed il corrispondente<br />
modulo di resistenza alla flessione W sono:<br />
J = π [ (d + s)4 − d 4<br />
]<br />
64<br />
[ ]<br />
2<br />
W = J ⋅<br />
d +s ≅ π (d+ s)3 − d 3<br />
32<br />
con la semplificazione suddetta possibile essendo lo spessore s molto piccolo (presunzione che a posteriori sarà<br />
verificata) nei confronti del diametro interno d.<br />
Il peso del recipiente (trascurando i fondi, i cui effetti possono, comunque, essere facilmente introdotti) ed il peso della<br />
massa d’acqua entro-contenuta sono, rispettivamente:<br />
P c<br />
=ρ c<br />
⋅g ⋅π⋅d ⋅s⋅ l<br />
P a<br />
=ρ a<br />
⋅ g⋅π⋅0.25⋅d 2 ⋅ l<br />
con le densità e l’accelerazione di gravità che hanno i seguenti valori espressi nelle particolari unità indicate utilizzando<br />
N e mm come unità principali (e ricavando la massa come unità derivata) in modo che le tensioni possano essere<br />
ottenute in MPa:<br />
ρ a<br />
=10 −9 tonnellate / mm 3<br />
ρ c<br />
= 7.85⋅10 −9 tonnellate / mm 3<br />
g = 9810 mm/ s 2<br />
Con ipotesi esemplificativa (ma cautelativa) si immagina di applicare la forza P pari al peso del recipiente e del suo<br />
contenuto nel baricentro del cilindro. Si perviene alla consueta espressione per la tensione massima dovuta alla sola<br />
flessione:<br />
σ zz(M)<br />
= M max<br />
W = Pl / 4<br />
π (d + s) 3 − d 3<br />
[ ]<br />
32<br />
=<br />
8Pl<br />
π [(d 3 + s 3 + 3ds 2 + 3sd 2 − d 3<br />
] ≅ 2.55 (P + P )l c a<br />
3sd 2<br />
σ zz(M)<br />
= 0.85 (ρ ⋅ g⋅π⋅d ⋅s⋅ l +ρ ⋅ g⋅π⋅0.25⋅ c a d2 ⋅ l)l<br />
sd 2<br />
σ zz(M)<br />
= 0.85 ⋅ g⋅π (ρ ⋅s ⋅l +ρ c a<br />
⋅ 0.25⋅ d ⋅ l)l<br />
sd<br />
σ zz(M)<br />
= M max<br />
W = 26 ⋅10 3 (7.85 ⋅10 −9 ⋅ s + 0.25⋅10 −9 ⋅ d)l 2<br />
= 26 ⋅10 −6 ⋅ l 2 ⎛ 7.85<br />
+ 0.25 ⎞<br />
sd<br />
⎝ d s ⎠<br />
Si valutano, ora, le tensioni di membrana dovute alla pressione interna, con riferimento alle relazioni che descrivono lo<br />
stato di tensione membranale nel recipiente cilindrico:<br />
l<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
σ zz (m)<br />
= pd<br />
4s<br />
σ θθ(m)<br />
= pd<br />
=<br />
0.4 ⋅600<br />
4s<br />
= 60 s<br />
2s = 120<br />
s<br />
Le fibre maggiormente sollecitate (in trazione) saranno quelle nella parte inferiore del recipiente; sovrapponendo gli<br />
effetti, la tensione lungo le generatrici è:<br />
σ zz (tot)<br />
=σ zz(m)<br />
+σ zz(M)<br />
= 60<br />
2s + 26 ⋅10 −6 ⋅4000 2 ⎛ 7.85<br />
600 + 0.25 ⎞<br />
⎝ s ⎠<br />
e, semplificando:<br />
σ zz(tot)<br />
=σ zz(M)<br />
+σ zz(m )<br />
= 60 ⎛ 0.25<br />
+ 416 0.013 +<br />
⎞<br />
s ⎝ s ⎠<br />
σ zz(tot)<br />
= 60 s<br />
+5.4 +<br />
104<br />
s<br />
σ zz(tot)<br />
= 5.4 + 164<br />
s<br />
Vale la pena notare come il contributo dovuto al peso del recipiente è piccolo in confronto agli effetti dati dal peso del<br />
liquido contenuto ed alla pressione interna.<br />
Si è in presenza di uno stato di tensione è biassiale, per cui, se si adotta l’ipotesi dell'energia potenziale critica di<br />
variazione di forma si ha che la tensione ideale (le tensioni prima ricavate sono principali poiché non vi sono tensioni<br />
tangenziali) è espressa da:<br />
σ id<br />
=<br />
2<br />
σ zz(tot)<br />
2<br />
+σ θθ(m)<br />
−σ zz(tot)<br />
⋅σ θθ(m)<br />
2<br />
⎞<br />
s ⎠<br />
+ 120<br />
2<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎝ s ⎠<br />
− 120<br />
⎝ s<br />
⎛<br />
σ id<br />
= 5.4 + 164<br />
⎞ ⎛ 164<br />
⎝<br />
⎠<br />
5.4 +<br />
⎞<br />
⎝ s ⎠<br />
e scegliendo per il materiale da costruzione una tensione ammissibile:<br />
σ id<br />
≤σ amm<br />
= 50 MPa<br />
si può determinare il valore minimo dello spessore del mantello.<br />
s<br />
σ id<br />
1 150<br />
2 77<br />
3 53<br />
4 41<br />
Fig. 3.48 · Valore della tensione equipericolosa in funzione dello spessore s del mantello.<br />
Il valore dello spessore che soddisfa i criteri di resistenza è, pertanto, s=4.<br />
E’ opportuno far notare che in questa sede si è volutamente trascurato il modo di cedimento a cui, molto probabilmente,<br />
il recipiente andrà incontro a causa della sua notevole lunghezza.<br />
Essendo, infatti, il guscio sottile nei confronti delle altre due dimensioni, è verosimile che possa essere soggetto alla<br />
cosiddetta “instabilità di forma” dovuta al carico di compressione delle fibre poste nella porzione superiore del<br />
mantello.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli
Condotta idraulica.<br />
Si abbia una condotta in pressione per l’alimentazione di una centrale elettroidraulica con turbine “Pelton”.<br />
Assegnato il diametro interno D=400 mm, si calcoli lo spessore della condotta, posto che il dislivello dal bacino<br />
superiore sia pari a 700 m.<br />
TRACCIA ALLA RISOLUZIONE<br />
Si veda l’esercizio precedente, salvo che non esiste l’effetto dei fondi e la sollecitazione dipende, in prima analisi, dalla<br />
pressione idrostatica della colonna d’acqua.<br />
PMARlab – Michelini e Razzoli