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GIAN PIETRO CHIARO
Gian Pietro Chiaro
Introduzione all’analisi
2007
D O M U S E S T U B I C U M Q U E B E N E E S T

©2007 Gian Pietro Chiaro Introduzione all’analisi
1 . Definizione assiomatica dei
numeri reali
1.0 Introduzione allo studio
L’insieme dei numeri reali è un corpo commutativo, o campo, perché esso è un Anello
commutativo rispetto alla somma, è un Anello commutativo rispetto al prodotto e queste due
operazioni sono legate tra loro dalla proprietà distributiva. Ricordo che un dato insieme numerico è
un Anello rispetto ad una operazione se esso è chiuso rispetto ad essa, se, sempre per essa, vale la
proprietà associativa, esiste un elemento neutro ed un elemento opposto. L’Anello è commutativo
(o Abeliano 1 ) se per quell’operazione vale la proprietà commutativa.
Il fatto che sia un corpo commutativo ci ha sempre garantito la possibilità di eseguire senza
ambiguità il calcolo letterale, nonché risolvere le equazioni. Qui però utilizzeremo queste proprietà
per un fine diverso: lo scopo dello studio dell’analisi matematica in un Liceo è lo studio delle
funzioni reali a variabile reale, cioè delle funzioni definite in uno spazio cartesiano reale a due
dimensioni 2 , in modo particolare con l’introduzione del concetto di limite.
E per introdurre il concetto di limite servono nozioni di topologia su
. Ma cos’è la topologia
La topologia è una branca della matematica moderna che tratta delle trasformazioni geometriche in
cui si conserva la continuità. Cioè, se consideriamo due punti qualsiasi A,B di una certa figura F, se
si fa diventare la distanza AB sempre più piccola , diventa sempre più piccola la distanza fra i punti
A 1 e B 1 corrispondenti ad A,B sulla figura F 1 corrispondente di F.
Ad esempio sono topologicamente equivalenti un rettangolo ed una circonferenza, dato che si
possono ottenere l’una dall’altro senza produrre lacerazioni. Invece un toro 3 ed una sfera non sono
topologicamente equivalenti. Ma senza addentrarci in discussioni, che in questo contesto sarebbero
solo forvianti, sappiate che occorre definire la topologia su attraverso una metrica 4 per poter
indagare con precisione sulla natura dei punti “particolari” 5 di una funzione reale, ovvero poter
utilizzare l’operazione di limite.
Ecco quindi i passi che ci porteranno al concetto di limite che affronteremo nei prossimi capitoli:
prima vedremo che e un corpo commutativo, poi definiremo in esso una metrica, quindi un
sistema di intorni 6 per ogni punto.
1 Dal nome del grande matematico norvegese Niels Abel (5.8.1802 † 6.4.1829).
2 Ricordo che lo spazio cartesiano, così come è stato definito, si può immaginare come insieme di coppie ordinate (x, y)
in cui gli elementi x ed y sono numeri reali, cioè ogni coppia (x, y) è un elemento del prodotto cartesiano .
3 Una sorta di ciambella col “buco” che si ottiene facendo ruotare una circonferenza attorno ad una retta ad essa
complanare che non le sia secante.
4 Una formula per il calcolo della distanza che possieda determinate caratteristiche numeriche che studieremo più avanti.
5 Essi potrebbero essere punti in cui la funzione ammette un massimo od un minimo relativo, oppure punti in cui la
funzione improvvisamente si inerpica fino all’infinito,…
6 Una specie di “grado di parentela” per i punti reali con cui si possa ordinare ogni sottoinsieme reale.
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1.1 è un corpo commutativo
Assioma
1.1
Assioma
1.2
Assioma
1.3
In
In
In
è definita l’operazione interna addizione, che gode delle seguenti proprietà:
a + b = b + a a,b (proprietà commutativa)
(a + b) + c = a + (b + c) a,b,c (proprietà associativa)
Esiste un elemento neutro per l’addizione, lo 0, tale che a + 0 = 0 + a = a
a 7
Esiste l’elemento opposto, cioè a (- a) tale che a + (-a) = 0 8
è definita l’operazione interna prodotto, che gode delle seguenti proprietà:
a b = b a a,b (proprietà commutativa)
(a b) c = a (b c) a,b,c (proprietà associativa)
Esiste un elemento neutro per il prodotto, l’1, tale che a 1 = 1 a = a a 9
Di ogni numero reale diverso da zero, esiste il reciproco, cioè a , a ≠ 0,
1
1
tale che a = 1
10
a
a
vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, cioè
(a + b) c = ac + bc a,b,c (proprietà distributiva)
Infatti, come esercizio, proviamo a dedurre dagli assiomi appena enunciati la legge di annullamento
del prodotto.
Teorema 1.1
Dim:
Se è ab = 0 allora a = 0 oppure b = 0, qualunque siano a,b reali
(legge di annullamento del prodotto)
Se a ≠ 0 allora esiste il suo reciproco tale che a a
1 = 1.
Allora, se moltiplichiamo a destra e sinistra per il reciproco di a, si ottiene
1 1 ab = 0
a a
Ma a
1 ab= 1b = b e a
1 0 = 0 , da cui si trae b = 0.
Si procede in modo analogo supponendo che sia b ≠ 0
▄
7 Dimostriamo l’unicità dello 0
Supponiamo per assurdo che esita un altro numero reale u ≠ 0 tale che a + u = u + a = a a ; ma allora a + u = a
e a + 0 = a qualunque sia a, si ricava così che 0 + u = 0 = u, contro l’ipotesi che u ≠ 0.
Dimostriamo l’unicità dell’opposto
Siano per assurdo x,y numeri reali diversi tali che a + x = 0 ed a + y = 0 qualunque sia il reale a. Allora, se
aggiungiamo y ad entrambi i membri della prima uguaglianza si trae a + x + y = 0 + y da cui si trae (a + y) + x = y. Ma
essendo a + y = 0 si trae x = y. Assurdo.
9 Dimostriamo l’unicità dell’1
Supponiamo per assurdo che esita un altro reale u ≠ 1 tale che a u = u a = a a ; ma allora au = a e a1 = a
qualunque sia a, si ricava 1u = 1 = u, contro l’ipotesi che u ≠ 1.
Dimostriamo l’unicità del reciproco
Siano per assurdo x,y numeri reali diversi tali che ax = 1 ed ay = 1 qualunque sia il reale a non nullo. Allora, se
moltiplichiamo per y entrambi i membri della prima uguaglianza si trae axy = 1y da cui si trae (ay)x = y.
Ma essendo ay = 1 si trae x = y. Assurdo.
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1.2 Metriche su e su
2
Per introdurre la metrica dobbiamo prima capire cos’è una “distanza”, o meglio, capire prima come
si possono ordinare i numeri reali secondo una qualsiasi relazione d’ordine per poi definire una
specie di “grado di parentela” e considerare quindi “gruppi di numeri” od insiemi di numeri alla
stregua di uno solo di essi, eletto come rappresentante di tutta una classe. Per fare questo occorre
definire una relazione d’ordine su .
Assioma
1.4
In
è definita una relazione d’ordine totale ≤, che gode delle seguenti proprietà:
a,b,c , a ≤ b a+ c ≤ b + c
a,b, c >0 , a ≤ b ac ≤ bc
È evidente che per ogni coppia di numeri reali si possa sempre stabilire chi segue e chi precede,
ovvero che a,b allora è vera solo una delle tre a < b oppure b < a oppure b = a.
Ora, questa operazione che invero ci appare piuttosto banale, è in realtà un aspetto molto delicato
della questione giacché questo “confronto” risulta molto facile per coppie di valori interi, come ad
esempio 13 e 47, od anche per numeri decimali che, per esempio, si ottengono dalle frazioni ⅔ e ⅞.
La cosa non è già più semplice se confrontiamo tra loro numeri irrazionali o, come si dice in gergo
“grandezze incommensurabili”.
Occorre infatti definire il numero reale come un “intervallo” di numeri, in cui l’estremo inferiore è
il numero stesso approssimato per difetto, mentre l’estremo superiore è il numero approssimato per
eccesso. Ad esempio, possiamo senz’altro dire che
1< 2

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Infatti
1.5 – 1.4 = 0.1 = 10 -1
1.41 – 1.42 = 0.01 = 10 -2
1.414 – 1.415 = 0.001 = 10 -3
: : : :
1.414213562…8 -1.414213562…9 = 0.000000000…1 = 10 -n
Così possiamo dire che I 1 approssima 2 a meno di 0.1, cioè 10 -1 , I 2 approssima 2 a meno di
0.01, cioè 10 -2 , e così via. A questo punto torna utile definire
Def 1.1
Si considera il valore assoluto definito da
a
a
a
se
se
a
a
0
0
Così possiamo dire che, se a,b sono estremi di un intervallo di approssimazione qualsiasi I k , ed un
numero reale positivo qualsiasi tale che > 10 -k , possiamo concludere che | b – a | = 10 -k < .
Più avanti, troveremo spesso la scrittura
| b – a | <
ad indicare che b ed a sono vicini “a piacere” od anche “arbitrariamente” vicini.
È giunto il momento di enunciare l’ultimo assioma che riguarda il corpo reale. Esso è anche conosciuto
come assioma della completezza, perché stabilisce che l’insieme numerico non ha
“buchi” o “stappi” al suo interno.
Assioma
1.5
Se A,B sono sottoinsiemi non vuoti di tali che a A e b B si abbia a ≤ b, allora
esiste almeno un elemento tale che
a ≤ ≤ b
Questo elemento a volte è detto elemento “separatore” di A e B.
Dato che è un insieme completo, si può sempre trovare un numero reale positivo qualsiasi,
tale che, presi comunque due numeri reali a,b si abbia
| b – a | <
Fermiamoci un istante sul valore assoluto: esso è un primo esempio di metrica su .
Infatti, affinché una funzione f sia una metrica su un insieme occorre che essa verifichi le tre
proprietà seguenti:
Vediamo infatti che
1. f(x) ≥ 0 x (è evidente che f(x) = 0 se e solo se x = 0)
2. f(x,y) = f(y, x) (f deve essere simmetrica)
3. f(x + y) ≤ f(x) + f(y) x,y (disuguaglianza triangolare)
1. | x | ≥ 0 x per come è stato definito il valore assoluto
2. | x – y | = |– (y – x)| = | y – x |
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| x + y | ≤ | x | + | y | x,y la dimostrazione è lasciata come esercizio 12
Siamo ora pronti a definire una metrica nell’usuale spazio bidimensionale, la cui struttura
“soggiace” ad
2 , nel senso che un punto nello spazio è rappresentato da una coppia di valori reali
(x, y), cioè ad un elemento del prodotto cartesiano , ovvero
2 .
Sia C un corpo, i cui elementi chiamiamo scalari, e sia S un gruppo abeliano rispetto alla somma.
Definiamo spazio vettoriale S sul corpo C il gruppo abeliano additivo S, con una operazione di
moltiplicazione degli elementi di C per gli elementi di S tale che: per a,b elementi qualsiasi di S e
k,h elementi qualsiasi di C si abbia
1. k(a + b) = ka + kb
2. (h + k )a = ha + ka
3. (hk)a = h(ka)
4. ea = a essendo e l’elemento neutro di C
Orbene,
quindi
è un corpo e si può dimostrare che
2 è uno spazio vettoriale su .
2 è un gruppo abeliano rispetto alla somma 13 ,
Def 1.2
Uno spazio vettoriale si dice euclideo 14 se in esso è definita una funzione distanza tra
elementi data da
A,B
2
d(A, B) =
x
a
x
b
2
y
a
y
b
2
Vale la pena osservare che d(A, B) = |A – B| non appena A,B piuttosto che A,B
2 . Infatti, in
tal caso A,B sarebbero numeri reali anziché coppie di reali cioè ad esempio potremmo scrivere che
A = x a e B = x b , e dunque
d(A, B) =
2
x = |x a – x b | = |A – B|
a
x b
Quindi,
con la distanza definita dal valore assoluto è uno spazio euclideo.
Concludendo, visto che sono tra loro equivalenti, possiamo dire che useremo come distanza il
valore assoluto |…| non appena ci riferiremo a numeri reali (gli scalari), mentre useremo la distanza
euclidea d(...,...) non appena ci riferiremo a punti del piano (i vettori).
12 Se x ed y hanno segni opposti è ovvio che | x + y | < | x | + | y | dato che x + y è in realtà una differenza. Se, invece x
ed y hanno lo stesso segno è evidente che | x + y | = | x | + | y | per come è stato definito il modulo.
13 Basta fare vedere che esso è chiuso rispetto alla somma, che ha elemento neutro e che è commutativo.
14 In onore al grande matematico greco Euclide di Alessandria (300 aC circa) fondatore della geometria.
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2 . Nozioni di topologia reale
2.0 Intorni
Def 2.1
Siano x
2 un punto del piano e un numero reale positivo. Si dice palla (od
anche disco) di centro x e raggio l’insieme
P(x, ) = {y
2 | d(x,y)≤ }
Def. 2.2 Siano x
2 un punto del piano. Si chiama intorno del punto x ogni insieme che
contenga una palla di centro x stesso, qualunque sia il raggio scelto.
Al variare di nei reali, si è soliti indica con P x l’insieme di tutti gli intorni di x.
Queste due definizioni da sole potrebbero chiudere qui l’argomento. Occorrono allora alcuni esempi
che spieghino la situazione 15 e soprattutto occorre analizzare le proprietà di cui godono gli intorni.
Esempio 1:---------------------------------------------------------------------------------------------------------
y
Siano dati il punto A(a x , a y ) nel piano e un numero
reale >0. Si consideri nel piano il “quadrato” Q di
semilato definito dall’insieme dei punti B del piano:
a y
A
Q(A) = { B(b x , b y )
2 | | b x - a x |≤ , | b y – a y |≤ }
Tale quadrato contiene al suo interno una palla di centro
A e raggio , per cui è un intorno di A.
O
a x
x
Infatti: | b x - a x |≤ e | b y – a y |≤ significa che:
b
x
a
x
2
Esempio 2:---------------------------------------------------------------------------------------------------------
L’intervallo reale I 1 = ]-2, 3[ è un intorno del punto x = 0, perché contiene una palla di centro 0 e
raggio >0. Osserviamo però che tale intorno I non è simmetrico rispetto allo 0.
Non occorre però che lo sia: la definizione 2.2 dice che un intorno del punto x è ogni insieme che
contiene una palla di centro x stesso, qualunque sia il raggio scelto.
Esempio 3:---------------------------------------------------------------------------------------------------------
L’intervallo reale I 2 = ]-3, 2[ è un intorno (asimmetrico) del punto x = 0, perché contiene una palla
di centro 0 e raggio >0.
b
y
a
y
2
15 “La via d’imparare è lunga se si va per regole, breve ed efficace se si procede per esempi” (Seneca)
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Si può facilmente vedere che anche l’insieme I = I 1 I 2 = ]-2, 2[ è un intorno di x = 0. Anzi,
questa è una proprietà generale.
Teorema Siano A
2 un punto del piano e U,V due intorni di A.
2.1 Allora anche W = U V è intorno di A.
Dim. Se U,V sono intorni di A, devono esistere due dischi P U ,P V di centro A e raggi 1, 2
contenute rispettivamente in U ed in V.
Posto = | 1 - 2 | si ha che la palla P(A, ) = {B
2 | d(A,B)≤ }è contenuta sia in
U che in V.
Dunque essa è contenuta anche in W = U V e perciò esso è un intorno di A.▄
Analogamente si può facilmente dimostrare che
Teorema Siano A
2 un punto del piano e U intorno di A e V U tale che A V.
2.2 Allora anche V è intorno di A.
Teorema Sia A
2 un punto del piano.
2.3 Per ogni intorno U di A esiste un intorno V di A tale che U è intorno do ogni altro punto
B di V.
Dim. Se U è intorno di A allora U contiene una palla P(A, ) con un numero reale
positivo.
Poniamo V = P(A, ) con un numero reale positivo dato da
2 .
Evidentemente V è un intorno di A.
Sia ora B un qualunque altro punto di V. Proveremo che P(B, ) P(A, ) U. Con ciò
sarà provato che ogni altro punto di V ha come intorno U perché è in esso contenuto.
Infatti, per ogni punto C appartenente a P(B, ) si ha che
d(A,C) ≤ d(A, B) + d(B, C) ≤
2
2
dunque C è un punto di P(A, ) come volevasi dimostrare.▄
Una figura forse può chiarire meglio le idee.
U
V
A
B
C
Questo teorema è piuttosto importante perché ci fa capire come “trovare” un intorno che è
contenuto in un altro intorno: basta considerare una palla che ha un raggio “inferiore”. Questo però
non ci induca a trarre delle conclusioni sbagliate: di due punti diversi è sempre possibile trovare due
intorni “disgiunti” cioè ad intersezione nulla.
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Teorema Siano A,B
2 due punti del piano distinti.
2.4 Allora esistono due intorni, U di A e V di B, disgiunti, cioè tali che U V = Ø
Dim. Se A e B sono punti distinti, allora d(A, B) = > 0.
Se allora consideriamo un numero reale tale che 0< < 2
, i due dischi P(A, ) e
P(B, ) non hanno punti in comune.
Tali dischi forniscono gli intorni U,V richiesti. ▄
Grazie a questa proprietà possiamo dire che è uno spazio topologico separato (o di Hausdorff 16 ).
Forse non è ben chiaro a tutti, ma il fatto che sia separato ci autorizza a far derivare la sua
topologia da un distanza e noi abbiamo eletto la distanza euclidea (od equivalentemente al valore
assoluto) per la naturale semplicità connessa al trattare di esse. Ma una stessa topologia può venire
dedotta da diverse distanze, come avrete occasione di verificare in un corso di studi più
approfondito dell’Analisi, all’Università.
“È interessante osservare che, sebbene sia stata l’aritmetizzazione dell’Analisi a mettere in moto lo
sviluppo del pensiero insiemistico (da Cantor ad Hausdorff), alla fine il concetto di numero viene
ad essere sommerso sotto un punto di vista molto più generale. E anche se la topologia parla
spesso di punti, essi hanno poco a che fare con la geometria ordinaria, così come con i numeri
dell’aritmetica comune. Nel corso del nostro secolo la topologia si è affermata come disciplina che
unifica quasi l’intero campo della matematica, in un certo senso come la filosofia cerca di
coordinare tutte le conoscenze. Proprio a causa del suo carattere primitivo, la topologia sta alla
base di gran parte della matematica e le fornisce così una coesione insospettata” 17 .
16 Felix Hausdorff (1868 † 1942) matematico tedesco chiamato il “gran sacerdote” della topologia di insiemi di punti.
Nella sua fondamentale opera del 1914 “Grundzüge der Mengenlehre” egli definisce il concetto di continuità a partire
da insiemi di punti definiti con i teoremi sopra citati.
17 Citazione tratta da Carl B. Boyer – “Storia della matematica” – Oscar studio Mondatori – 1982- pagina 711.
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