Meccanica dei Solidi 3

Elementi Isoparametrici 3D
• Definizione degli elementi finiti solidi classici
– Elementi isoparametrici esaedrici a 8 nodi
– Elementi isoparamterici tetraedrici a 4 nodi
– Elementi isoparametrici solidi di ordine superiore (a 10 o a 20 nodi)
Anna Pandolfi Analisi Strutturale e Termica 16.1
Milano, A.A. 2010/2011

Elemento Esaedrico Trilineare
• Elemento solido con 12 lati rettilinei, definito da 8 nodi, situati nei vertici,
numerati in verso antiorario nei due piani inferiore e superiore, di
coordinate
• L’elemento solido biunitario e’ chiamato elemento parente. Le coordinate x
sono chiamate coordinate naturali. Le coordinate reali x e quelle naturali
sono legate tra loro dalla stessa trasformazione lineare (mapping) vista per
gli elementi monodimensionali e bidimensionali.
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Costruzione delle Funzioni di Forma (1)
• Le funzioni di forma vengono costruite partendo da una funzione di
interpolazione “trilineare” delle coordinate vere sull’elemento:
• dove le a i sono costanti da deteminare imponendo che la funzione
(espressione a destra) interpoli gli otto dati nodali (le coordinate dei nodi
nell’elemento parente sono in tabella):
• Le condizioni sono equivalenti al sistema lineare:
a x a h a z a
1 -1 -1 -1
2 1 -1 -1
3 1 1 -1
4 -1 1 -1
5 -1 -1 1
6 1 -1 1
7 1 1 1
8 -1 1 1
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Costruzione delle Funzioni di Forma (2)
• La soluzione del sistema, confrontata con il membro di destra della funzione
di partenza, fornisce l’espressione delle funzioni di forma:
• Esse sono la generalizzazione al caso 3D di quelle gia’ viste per gli elementi
monodimensionali e 2D.
• Si ripete lo stesso procedimento per le coordinate y e z, partendo da:
• Si ottengono le medesime funzioni di forma.
• Si osserva che per le funzioni di forma vale la seguente condizione (detta
proprieta’ di interpolazione):
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Elementi Esaedrici Isoparametrici
• Per la conduzione del calore la funzione di interpolazione della temperatura
e’:
• Per l’elastostatica, le funzioni di interpolazione degli spostamenti sono:
• Le funzioni hanno una variazione a paraboloide iperbolico sui piani di
contorno, e la forma e’ univocamente definita su ogni faccia. Pertanto e’
garantita la continuita’ tra elemento ed elemento.
• Se l’elemento non e’ troppo distorto, le funzioni di forma sono regolari
nell’intero dominio.
• L’elemento esaedrico (spesso chiamato brick) e’ il piu’ diffuso elemento 3D
insieme al tetraedro a 4 nodi.
• Si puo’ usare la tecnica della degenerazione di una faccia per ottenere
elementi di concio (wedge), e doppia degenerazione per ottenere i
tetraedri.
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Elementi Tetraedrici
• E’ l’estensione al 3D dell’elemento a 3 nodi a deformazione costante, definito
con le coordinate di volume (che estendono al 3D il concetto di coordinate
d’area).
• Si definisce dapprima l’elemento parente, un tetraedro rettangolo,
caratterizzato da tre coordinate r ed s e t lungo i tre lati ortogonali.
• Si introduce una quarta coordinata u, non
indipendente, definita come:
• Le funzioni di forma sono date dalle quattro
coordinate:
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Coordinate di Volume
• Nel caso di elementi tetraedrici, le quattro coordinate r, s, t ed u di un punto
P rappresentano i 4 volumi adimensionali in cui il tetraedro e’ suddiviso dai
piani che uniscono il punto con i vertici.
• Si osserva che il volume del tetraedro V e’ dato da:
• La trasformazione dal riferimento parente a quello reale e’ data da:
• Pur essendo la coordinata u ridondante, conviene usare sempre le 4
coordinate nel calcolo delle grandezze relative agli elementi tetraedrici.
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Elementi Esaedrici a 20 Nodi
• Sono gli elementi parabolici piu’ usati, insieme ai tetraedri a 10 nodi, per l’analisi di
problemi tridimensionali. Con riferimento alla figura, le funzioni di forma sono, per i nodi
da 1 a 8:
• Per i nodi 13, 14, 15, 16:
• Per i nodi 9,11, 17, 19:
• Per i nodi 10, 12, 18, 20:
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Elementi Tetraedrici a 10 Nodi
• Le funzioni di forma sono definite in termini di coordinate di volume.
Seguendo la numerazione della figura:
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