Note sulla funzione generatrice dei momenti

La funzione generatrice dei momenti
Definizione Data la v.a. X con funzione di ripartizione F X (x) si definisce funzione generatrice dei momenti (fgm
nel seguito) di X la funzione
G X (t)=E(e tX ) (1)
ogni qual volta tale valore atteso esiste finito in un intorno di t = 0 (ovvero per ogni t tale che −h

d G
X(t)
r
dt
t = 0
= µ
'
r
(4)
Si osservi che nel ricavare la (3) si è assunto la scambiabilità dell’operatore valore atteso (quindi della serie o
dell’integrale che lo definisce nel caso rispettivamente di v.a. discrete o continue) con la serie, scambiabilità
garantita da opportune proprietà delle serie di potenze. La (4) poi discende dal fatto che una serie di potenze può
essere derivata termine a termine.
Si noti che la fgm può non esistere. Essendo la funzione integranda o i termini della serie che la definiscono
positivi, può accadere, infatti, che l’integrale o la serie siano divergenti.
Se essa esiste finita, però, esistono finiti tutti i momenti della v.a., la fgm è derivabile con continuità nell’origine
ed è possibile calcolare i momenti della v.a. in base alla (4).
Si noti infine che, per poter essere utilizzabile per il calcolo dei momenti, si richiede solo l’esistenza della fgm in
un intorno dell’origine e non su tutto l’asse reale.
In particolare si avrà:
2
G'
X
(0) = E(X) , G'' (0) E(X )
da cui
X
(0) G'
X
(0)
Var(X)= ( ) 2
X
= ,
G''
− .
Valgono infine le seguenti proprietà.
Proprietà 1 Se X ha fgm G X (t), allora posto Y=a + bX si ha G Y (t)= e at G X (bt)
Dim. G Y (t) = E(e tY ) = E(e (a+bX)t ) = e at E(e bXt ) = e at G X (bt)
Essendo G X (bt)

Uso della fgm
La fgm, come suggerisce il suo nome e quanto sopra esposto, (ogni qual volta essa esista) è utilizzata per
calcolare i momenti di una v.a.
Un secondo importante aspetto è legato al seguente teorema che è enunciato senza dimostrazione.
Teorema Siano X e Y due v.a. con funzione di ripartizione rispettivamente F X (x) e F Y (y). Siano G X (t) e G Y (t) le
corrispondenti fgm tali che G X (t) = G Y (t) per ogni t in un’intorno dell’origine. Allora
X = d Y .
Il precedente teorema afferma che ad una funzione di ripartizione corrisponde una e una sola fgm (se questa
esiste). La fgm allora identifica in modo univoco la v.a. al pari della funzione di ripartizione.
Questo teorema si rivela particolarmente utile nell’individuare la distribuzione di una variabile aleatoria definita
a partire da una trasformazione di un’altra variabile aleatoria con distribuzione nota.
In altri termini sia X una v.a. con distribuzione F X (x) nota e Y=g(X), dove g(x) è una trasformazione nota di X.
Se risulta possibile identificare la fgm, G Y (t), di Y come quella associata ad una v.a. con funzione di ripartizione
nota, diciamo F(y), allora se ne potrà concludere che la trasformazione Y=g(X) definisce una v.a. con quella
distribuzione.
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