Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

CAPITOLO 7
Metodi diretti per la soluzione di sistemi
lineari
All’inizio e alla fine abbiamo il
mistero. Potremmo dire che
abbiamo il disegno di Dio. A questo
mistero la matematica si avvicina,
senza penetrarlo.
Ennio De Giorgi
7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Elementi di Algebra Lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 Metodo di eliminazione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3.1 Sostituzione all’indietro e in avanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3.2 Eliminazione di Gauss: esempio particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3.3 Eliminazione di Gauss: caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 Strategie di pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.5 Fattorizzazione triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5.1 Fattorizzazione LDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5.2 Fattorizzazione di Gauss senza pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.5.3 Fattorizzazione di Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.1 Introduzione
Si consideri la capacità C di un conduttore. Dall’elettrostatica, sappiamo che vale q = Cφ dove q rappresenta
la carica del conduttore e φ il suo potenziale elettrostatico, quando il conduttore è isolato. Nel caso in
cui il conduttore non sia isolato, la situazione cambia. Supponiamo di avere 4 conduttori in equilibrio elettrostatico
all’interno di una cavità collegata a terra (a terra il potenziale elettrostatico vale zero). Supponendo
di collegare i conduttori 2, 3 e 4 a terra, si ha φ 2 = φ 3 = φ 4 = 0 e φ 1 ≠ 0. Il conduttore 1 induce carica sugli altri
conduttori, per cui, per ciascun conduttore vale, rispettivamente:
q 1 = C 11 φ 1
q 2 = C 21 φ 1
q 3 = C 31 φ 1
q 4 = C 41 φ 1
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