Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

6.5. Esercizi
Esercizio 6.5.2 Sono assegnati i seguenti dati sperimentali
x i 4.0 4.2 4.5 4.7 5.1 5.5 5.9 6.3 6.8 7.1
y i 102.56 113.18 131.2 142 168 196.2 225 256.8 299.51 325.6
Costruire la curva di approssimazione ai minimi quadrati della forma ax b .
Svolgimento Per trovare la curva di approssimazione del tipo y = ax b , dobbiamo prima passare ai logaritmi:
log(y) = log(ax b ) = log(a) + b log(x)
In questo modo ci riconduciamo ad una retta di approssimazione ai minimi quadrati sui logaritmi dei punti
assegnati. Consideriamo il logaritmo naturale (ma i risultati non cambiano con i logaritmi in un’altra base).
I dati su cui lavorare sono dunque:
log(x i ) log(y i )
1.386294361 4.630447993
1.435084525 4.728979472
1.504077397 4.876722876
1.547562509 4.955827058
3.931825633 5.123963980
1.704748092 5.279134547
1.774952351 5.416100402
1.840549633 5.548297572
1.916922612 5.702147806
1.960094784 5.785669634
Calcoliamo la retta di approssimazione ai minimi quadrati, ponendo X i = log(x i ) e Y i = log(y i ). Il sistema
da risolvere è
{
(n + 1)a0 + ∑ n
i=0 X i a 1 = ∑ n
i=0 Y i
∑ n
i=0 X i a 0 + ∑ n
i=0 X 2 i a 1 = ∑ n
i=0 X i Y i
dove n + 1 = 10.
Si ha ∑ n
i=0 X i = 16.6995268, ∑ n
i=0 X 2 = 28.2537116, ∑ n
i i=0 Y i = 52.0472913, ∑ n
i=0 X i Y i = 87.6541085
Il sistema da risolvere diventa
{
10a0 + 16.6995268a 1 = 52.0472913
16.6995268a 0 + 28.2537116a 1 = 87.6541085
che ha come soluzione a 0 = 1.84197978 e a 1 = 2.013679425.
Ora a 0 = log(a) da cui a = e a 0
= 6.30901637 Invece a 1 = b. Il modello y = ax b diventa quindi y =
6.30901637x 2.013679425 .
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