Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

6. APPROSSIMAZIONE
6.5 Esercizi
Esercizio 6.5.1 Sia data la tabella seguente:
x i -1 0 2 3 4
f (x i ) 9 0 0 15 84
(a) Trovare la retta ai minimi quadrati che minimizza la somma dei quadrati degli scarti verticali.
(b) Trovare la retta ai minimi quadrati che minimizza la somma dei quadrati degli scarti orizzontali.
(c) Calcolare il punto di intersezione delle due rette e dire di che punto si tratta.
Svolgimento
(a) Il sistema da risolvere per ottenere la retta di approssimazione ai minimi quadrati è:
{
(n + 1)a0 + ∑ n
i=0 x i a 1 = ∑ n
i=0 y i
∑ n
i=0 x i a 0 + ∑ n
i=0 x2 i a 1 = ∑ n
i=0 x i y i
dove n + 1 = 5. Poichè ∑ 4
i=0 x i = 8, ∑ 4
i=0 x2 i = 30, ∑ 4
i=0 y i = 108 e ∑ 4
i=0 x i y i = 372, si ha il sistema
{
5a0 + 8a 1 = 108
8a 0 + 30a 1 = 372
La soluzione è a 0 = 3.069767442, a 1 = 11.581395349. La retta ai minimi quadrati che minimizza gli
scarti verticali è: y = 3.069767442 + 11.581395349x.
(b) Ricaviamo la retta di approssimazione che minimizza gli scarti orizzontali.
{
(n + 1)b0 + ∑ n
i=0 y i b 1 = ∑ n
i=0 x i
∑ n
i=0 y i b 0 + ∑ n
i=0 y 2 i b 1 = ∑ n
i=0 y i x i
dove n + 1 = 5. Poichè ∑ 4
i=0 y i = 108, ∑ 4
i=0 y 2 i = 7362, ∑ 4
i=0 x i = 8 e ∑ 4
i=0 x i y i = 372, si ha il sistema
{
5b0 + 108b 1 = 8
108b 0 + 7362b 1 = 372
La soluzione è b 0 = 0.744452398, b 1 = 0.03960868528. La retta ai minimi quadrati che minimizza gli
scarti orizzontali è: x = 0.744452398 + 0.03960868528y.
(c) Troviamo il punto di intersezione delle due rette:
{
y = 3.069767442 + 11.581395349x
x = 0.744452398 + 0.03960868528y
Ricaviamo x = 1.6 e y = 21.6
Se calcoliamo il baricentro dei punti assegnati, troviamo
X =
∑ 4
i=0 x i
5
= −1 + 2 + 3 + 4
5
∑ 4
i=0
= 1.6 Y =
y i 9 + 15 + 84
= ) = 21.6
5
5
Il punto di intersezione delle due rette è il baricentro dei punti assegnati.
90