Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

6.4. Approssimazioni di tipo esponenziale
Ricaviamo, quindi
2
n∑
(a 0 + a 1 x i + ... + a m x m i
− y i )x j = 0 per j = 0,1,...,m
i
i=0
In forma estesa possiamo scrivere
n∑
n∑
x j i + a 1
a 0
i=0
x j +1
i=0
i
+ ... + a m
n∑
x j +m =
i
i=0
i=0
n∑
x j i y i
per j = 0,1,...,m
Poichè queste equazioni si hanno per j = 0,1...,m, si ha da risolvere un sistema, che, scritto in forma
matriciale, è:
A T Aa = A T b
dove A è una matrice rettangolare (n + 1) × (m + 1), data da
⎛
1 x 0 x0 2 ... x m ⎞
0
1 x 1 x1 2 ... x m 1
A =
⎜
⎝
.
.
.
⎟
. ⎠
1 x n xn 2 ... xn
m
Le equazioni del sistema sono dette equazioni normali. Si può provare che la matrice Q = A T A è
simmetrica, definita positiva 3 ed è non singolare, quindi il sistema ammette soluzione.
6.4 Approssimazioni di tipo esponenziale
Può capitare che i dati sperimentali abbiano un andamento di tipo esponenziale o ricordino una funzione
potenza della variabile x. Allora si può richiedere che la funzione approssimante abbia una delle due forme
seguenti (e, a seconda della rappresentazione, si ha un diverso modello):
y(x) = ae bx
y(x) = ax b
modello esponenziale
modello potenza
con a e b opportune costanti. Per ricavare a e b si passa ai logaritmi ricavando l’equazione di una retta i cui
coefficienti sono ottenuti con la procedura di minimizzazione ai minimi quadrati. Da questi, si ritorna poi ai
coefficienti delle funzioni di partenza. Vediamo come.
G Nel caso del modello esponenziale, passando ai logaritmi (in base naturale) si ha:
ln(y) = ln(a) + bx
Ponendo X = x, Y = ln(y), a 0 = ln(a) e a 1 = b, si ha un’equazione del tipo Y = a 0 + a 1 X .
Quindi, dalle coppie di dati (x i , y i ) i = 0,1,...,n, si deve passare alle coppie (X i = x i , Y i = ln(y i ))
e su queste coppie si costruisce la retta di approssimazione ai minimi quadrati con la procedura che
abbiamo studiato in Sezione 9.3. Una volta ricavati i coefficienti a 0 e a 1 , si ha a = e a 0
e b = a 1 .
G Nel caso del modello potenza, passando ai logaritmi (qualunque sia la base usata, il risultato non
cambia) si ha:
log(y) = log(a) + b log(x)
Ponendo X = log(x), Y = log(y), a 0 = log(a) e a 1 = b, si ha un’equazione del tipo Y = a 0 + a 1 X .
Quindi, dalle coppie di dati (x i , y i ) i = 0,1,...,n, si deve passare alle coppie (X i = log(x i ), Y i =
log(y i )) e su queste coppie si costruisce la retta di approssimazione ai minimi quadrati. Una volta
ricavati i coefficienti a 0 e a 1 , si ha b = a 1 mentre, con gli opportuni passaggi, si trova il valore di a.
3 Le definizioni di matrice simmetrica e matrice definita positiva sono date nel Capitolo 7.
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