Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

6. APPROSSIMAZIONE
x i y i x 2 x
i i y i
1 1.2 1 1.2
2 2.3 4 4.6
3 4.5 9 13.5
4 5.1 16 20.4
5 7 25 35
6 8.5 36 51
7 10.2 49 71.4
8 13.1 64 104.8
9 12.5 81 112.5
10 16.5 100 165
A 12 = 55 b 1 = 80.9 A 22 = 385 b 2 = 579.4
Tabella 6.3: Tabella per il calcolo della retta di approssimazione ai minimi quadrati
Figura 6.3: Retta di approssimazione sugli scarti verticali.
6.3 Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati
In generale, avendo a disposizione n+1 coppie di punti, il problema di approssimazione si può ricondurre
alla ricerca di un polinomio di approssimazione di grado m, p m (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ...+ a m x m con m < n.
Quando n = m il polinomio d’approssimazione coincide con quello d’interpolazione.
La funzione da minimizzare è
S(a 0 , a 1 ,..., a m ) =
n∑ [
(a0 + a 1 x i + a 2 x 2 i + ... + a m x m ] 2
i
) − y i
i=0
La procedura seguita per la retta viene generalizzata. Questa volta bisogna porre uguali a zero le m+1 derivate
parziali della S rispetto ai coefficienti del polinomio p m .
∂S
∂a j
= 0
j = 0,1,...,m
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