Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

6. APPROSSIMAZIONE
Figura 6.1: Legge di Hooke: i dati sperimentali
x i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y i 1.2 2.3 4.5 5.1 7 8.5 10.2 13.1 12.5 16.5
Tabella 6.2: Dati sperimentali
G vogliamo che la funzione dipenda da pochi parametri, sebbene questi siano determinati considerando
tutti i dati a disposizione.
Nel seguito studieremo l’approssimazione ai minimi quadrati.
6.2 Retta di regressione lineare
Supponiamo di avere i 10 dati sperimentali della Tabella 6.2 (quindi n + 1 = 10). La Figura 6.2 (a sinistra)
mostra il grafico delle coppie di punti: appare evidente che la relazione tra x e y è di tipo lineare. Il motivo
per cui i dati non sono esattamente su una retta è dovuto ad errori nei dati. Non ha senso, quindi, cercare una
funzione che passi esattamente per i dati assegnati (come accade nell’interpolazione), perchè una funzione
del genere introdurrebbe oscillazioni prive di significato fisico: lo vediamo andando a costruire il polinomio
di interpolazione di grado 9 che passa esattamente per i dati e che vediamo in Figura 6.2 (a destra). Cerchiamo
allora una retta (funzione lineare, poichè abbiamo visto che i dati hanno una relazione di tipo lineare) che
meglio approssima i dati senza dover coincidere con essi. Sia p 1 (x) = a 0 + a 1 x la retta che andiamo cercando
(dobbiamo quindi capire come trovare i due coefficienti a 0 e a 1 ). Allora p 1 (x i ) = a 0 + a 1 x i , per i = 0,1,...,n
rappresenta il valore sulla retta che deve approssimare il valore y i dato dal problema. Per ogni dato sperimentale,
per i = 0,1,...,n, possiamo misurare lo scarto che scaturisce dall’approssimare y i mediante a 0 + a 1 x i .
Nell’approccio ai minimi quadrati, si cerca di minimizzare la somma dei quadrati delle differenze tra i valori
dati y i e i valori corrispondenti p 1 (x i ) sulla retta; si cerca, cioè, di minimizzare la somma dei quadrati degli
scarti. Introduciamo, quindi la funzione che dipende dai coefficienti incogniti a 0 e a 1 .
S(a 0 , a 1 ) =
n∑ [ ] 2
(a0 + a 1 x i ) − y i
i=0
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