Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

CAPITOLO 6
Approssimazione
I numeri governano il mondo.
Platone
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Retta di regressione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 Approssimazioni di tipo esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1 Introduzione
La legge di Hooke stabilisce che l’allungamento subito da una molla, costruita con materiale uniforme,
è direttamente proporzionale alla forza applicata: F (x) = kx dove k è la costante di proporzionalità, detta
costante elastica, e x rappresenta l’allungamento della molla.
Supponiamo di voler determinare k per una molla che, quando è a riposo, esercita una forza di
1.4724811N . Se applichiamo una forza pari a 2.418165N si misura un allungamento pari a 0.042m. Siano
effettuate diverse misure, ricavando i dati di Tabella 6.1. I dati raccolti non giacciono esattamente su una
x 0.00000 0.04200 0.08000 0.11800 0.15600
F 1.472481 2.418165 3.363849 4.309533 5.255217
Tabella 6.1: Dati sperimentali per la legge di Hooke
linea retta. Per approssimare la costante elastica k, potremmo prendere una qualunque coppia di dati e fare
il rapporto tra la forza e l’allungamento. In questo modo, tuttavia, non terremmo conto di tutte le misure
effettuate. È più ragionevole trovare la linea retta che meglio approssima tutti i dati sperimentali e utilizzarla
per approssimare il valore di k. Questo tipo di approssimazione sarà l’argomento di questo Capitolo.
A differenza dell’interpolazione, in cui si cerca una funzione che passi esattamente per i dati assegnati,
nell’approssimazione si cerca una funzione (più semplice di quella data, se vi è una funzione di partenza) che
approssimi al meglio i dati assegnati, senza passare esattamente per questi.
Alcuni dei motivi che spingono a cercare una funzione di approssimazione piuttosto che di interpolazione
sono questi:
G i dati a disposizione sono affetti da errore;
G siamo interessati a vedere l’andamento dei dati su lunga scala, in una visione globale 1
1 Se si hanno a disposizione n = 100 dati, anche molto accurati, una funzione interpolante può dare una buona idea localmente,
mentre una funzione approssimante data da una retta fornisce una migliore idea del comportamento su lunga scala dei dati.
85